ejemplos series de fourier

8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier

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INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECNICA Y

ELCTRICA.

UNIDAD CULHUACN.

Series y transformada de Fourier

Ing. Jonathan Alejandro Cortes

Montes De Oca

Series de Fourier


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Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 1

Series de Fourier.

Es importante recordar que las series de Fourier permiten generar funcin de series

trigonomtricas que permiten el anlisis de funciones que pueden representar, pulsos, vibracin,

seales, etc.

La forma de la serie Fourier para una funcinfdentro de un intervalo (-p,p) es:

2 + ( ) + ( )

= 2

Podemos simplificar la forma de esto aplicando:

2

2 + + =


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Donde:

1

1 1


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Ejemplo 1.

Determine la serie de Fourier de la funcin.

En la figura se muestra la grfica de la funcin de escaln por medio de la serie de Fourier

obtendremos una funcin que permita la trazar la grfica de esta, de a .

En este caso la funcin va desde por lo cual se considera que , como la funcinse parte en dos segmentos se partirn las integrales de Fourier segn sea los rangos.

1

0 < 0

0 <


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1 0

+1

1

2

1

2 0 0

2 1

2

2

1 0

+1

1

es una integral directa, mientras es una integral porpartes.

[ ]

0Sustituyendo a

0 0

Se considera igual a cero debido a que n siempre ser un valor entero y el seno decualquier valor entero de pi es cero.

c o s 1 [

] 1

[

+

1

cos]

{[ +

1 cos] [0 0 +

1 cos0]}


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1 cos 1 1 1 c o s

1 c o s Solo funciona con valores impares para n dando como resultado constante 2mientras con las valores pares para n dar 0. Por lo cual puedes ser sustituido por la expresin

1 1entonces.

1 1

1 1 1

1 1

1 0

+1

1 es una integral directa, mientras es una integral porpartes.

[

cos]

+0

1 c o s

cos

s e n 1

[

]

1

[ +

1 sen]

- + sen 0 + sen0


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cos

1 cos + cos 1Entonces la serie de Fourier queda integrada da la forma

22 + 1 1

cos + 1

=

4 + 1 1

cos + 1

=

El nmero de interacciones que se desarrollen en la serie de Fourier darn la aproximacin de la

grafica ahora como se ve la parte de seno siempre ser cero y se puede discriminar en el

desarrollo de la serie.

Por ejemplo desarrollaremos la serie de n=1 hasta 5

4 + 1 1

1 cos + 1 1

2 cos2 + 1 1

3 cos3+ 1 14 cos4 + 1 1

5 cos5

4 + {

2 cos +

04 cos2 +

29 cos3 +

016 cos4 +

225 cos5}

4 + {2 cos + 29 cos3 + 225 cos5}


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En la figuras se muestra la aproximacin que existe en las graficas segn las interacciones

Con n=1 a 1 de a Con n=1 a 10 de - a

Con n=1 a 10 de 5 a 5 Con n=1 a 50 de a

Con n=1 a 100 de a Con n=1 a 100 de5 a 5


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Ejemplo 2. (Seal de onda Cuadrada)

En este caso ahora considerremos a 2 y . 12 1

+

12 1

12

+

12 + 12 0 2 + 2 0 12 2 + 2 0Cuando 0, quiere decir que la funcin tiene simetra.

12 cos

+12

12 [ 1 ] + [ 1 sen]

Sustituyendo a

12 [

2 (

2 )]

+ [2

sen(

2 )]

1 { [(02 ) (22 )] + [(22 ) (02 )]} 1 0 + 0 0

1 2 < 0

1 0 < 2


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12

+12

1

2 [ 1

]

+ [ 1

]

12 [ 2 (2 )] + [ 2 (2 )]

(12) ( 2) 02 (22 )+ 22 +(02 ) 1 1 c o s cos + 1

Como cos cosel resultado se puede reducir como 1 22cos 2 1cos

Ahora bien se puede hacer el siguiente anlisis sobre 1cosque con valores impares para nsiempre dar 2 y con pares 0

Entonces se puede escribir la expresin como

421Donde 2 1, siempre dar un valor impar.Entonces la serie de Fourier quedara

02 + {0 [212 ] + 421 [212 ]}

=

Como el valor, es constante se puede factorizar y entonces la serie quedara

4

21 2 1

0


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4 { 12 1 [212 ]}

=

Desarrollando de = 4 { 1211 [2112 ] + 1221 [2212 ]

+ 1231 [2312 ] + 1241 [2412 ]+ 1251 [2512 ]}

4 { [2 ] + 13 [32 ] + 15 [52 ] + 17 [72 ] + 19 [92 ]}Grficas

Con n=1 a 1 de -2 a 2 Con n=1 a 1 de -6 a 6

Con n=1 a 10 de -6 a 6Con n=1 a 10 de -2 a 2


12/19


13/19


14/19



(3 )

[3 (3 )]

3 (3 )

(

3)

[ 3

(

3) + 9

cos(

3)]

[30 (03 ) + 9 cos(03 )] [33 (33 ) + 9 cos(33 )]

[0 + 9 cos0] [9 + 9 cos]

(3 )

9 9 cos

3 (3 ) 3

c o s (3 ) 3 (3 ) 3 [

33 (3 )] 3 (3 )

(3 )

[33 (3 ) + 9 cos(3 )]

[333 (33 ) + 9 cos(33 )] [303 (03 ) + 9 cos(03 )] [0 + 9 cos] [9 0 + 9 cos0]

3 (3 )

9 cos 9

13 [ 9 9 cos + 9 cos 9]Como cos cosel resultado se puede reducir como

0


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13 (3 )

+13 + 3(3 )

1

3 (

3)

+ 3 (

3)

y 3 , son integrales por partes.

(3 )

s e n (3 ) 3 (3 )

(3 )

[ 3 (3 )]

3 (3 )

(3 )

[3 (3 ) + 9 (3 )]

[ 30 (03 ) + 9 (03 )] [ 33 (33 ) + 9 (33 )]

[ 0 + 9 0] [ 9 + 9 ]

3

9

3 (3 )

3

s e n (3 ) 3 (3 )

3 (3 ) [ 33 (3 )] 3 (3 )

3(3 )

[33 (3 ) + 9 (3 )]


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17/19



Desarrollando de + = 32 + 6 { 121 [213 ] + 122 [223 ] + 123 [233 ] + 124 [243 ]

+ 125 [253 ]} 32 + 6 {12 [23 ] + 14 [43 ] + 16 [63 ] + 18 [83 ] + 110 [103 ]}

Grficas.


Con n=1 a 10 de -3 a 3 Con n=1 a 10 de -9 a 9


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19/19



Ejercicios Propuestos.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

0 < 0

1 0 < 0 1 < 0

0 < 10 < 0

0 < 2 3 < 0

2 0 < 3

0 2 < < 0

0 < 11 1 < 21 5 < 0

+ 1 0 < 5

0 < 0 c o s 0 <

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