數學sng學測專刊-2019-第01期 - chwa.com.t · 數學專刊 3 二100 ∼107...

2 CHHWA全華圖書

前言

108年學測試題，可能創下近 5年或近 10年最簡單、只考基本數學能力的一份升大學試

題，其特色有：

杕命題題幹簡明清晰，即使是生活素養命題的第 4、6、8、11題與第 C、D題也淺顯易懂。因

此考生很容易了解題目，並掌握住題意。

杌除了第 13題包含多個重點外，其餘每題之命題都是明確的單一重點，且內容就是該章節重

點，並非如往年每題都會以二個重點命題，因此對中等程度以上的學生來說不難。

杈數學的生活素養題，舉凡第 4、6、8、11、C、D題都是，可見 108新課綱的影子已藏在試

題中，除了讚賞命題教授用心選題材外，也可預期未來幾年的命題趨勢！然而，素養試題增

加的緣故，這幾題可能就是影響 108年成績高低的關鍵！也令人擔心 108新課綱是否會拖垮

學習意願及數學水準。

杝試題中除了第 11題掌握題意，繪出樹狀圖解題、第 13題利用觀念解題、第 C題不能將題目

繁雜化、第 D題繪製文氏圖求解，及唯一可能是 108年最難的第 G題外，其餘各題都是平

時練習的題目，印證了筆者在 107年提及課綱末 3年試題會趨於簡單化的叮嚀。

杍二次曲線（拋物線、橢圓及雙曲線）在第 B題出現，考國中菱形面積並結合橢圓長短軸的計

算，算是橢圓最基本的概念，再次印證筆者過去的預測：此單元已不再是學測命題重點。

總之，108年學測試題最大特色是簡單、樸實無華，然而也提醒明、後年考生，掌握生活

數學素養題材、踏實練習基礎題目、熟記性質等，不可好高騖遠，更不能放棄數學！

一 101~108年歷屆試題題型題數分配

試題題型第壹部分（選擇題）占分

第貳部分占分註

年度單選題多選題選填題

101 7 6 65 7 35

每題 5分

總分 100分

102 6 6 60 8 40

103 6 6 60 8 40

104 4 6 50 10 50

105 6 7 65 7 35

106 7 6 65 7 35

107 7 5 60 8 40

108 6 7 65 7 35

由上表知 108年試題題型題數：第壹部分（單選、多選題）13題，第貳部分（選填題）7

題，占分比 65：35，選擇題比 107年多 1題，選填題少 1題，與歷年幾近相同，差異不大。

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3數學專刊

二 100∼ 107年歷屆五標成績

五標年度

頂標前標均標後標底標級距

100 13 11 7 4 3 6.67

101 13 11 7 4 3 6.57

102 12 10 7 4 3 6.42

103 13 11 8 5 3 6.67

104 12 10 7 4 3 6.53

105 12 10 7 4 3 6.48

106 11 9 6 3 2 6.29

107 12 10 6 4 3 6.65

預估 108 13 11 8 4 3 6.7

108年五標成績預估如上表，估計原始成績 93分左右可得 15級分，均標約落在 47分

（8∼9題），可比擬 100與 101年，若中後段成績維持或優於 107年，則各標成績可能再提高。


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三 108年試題分布分析

冊別章節 107試題題目單元占分冊別占分

第 1冊

Ch1數與式 8 5

25Ch2多項式函數 2，12 10

Ch3指數與對數 3，5 10

第 2冊

Ch1數列與級數 7 5

30Ch2排列、組合 4，D 10

Ch3機率 9，11 10

Ch4數據分析 6 5

第 3冊

Ch1三角 10，E 10

25Ch2直線與圓 1，C 10

Ch3平面向量 G 5

第 4冊

Ch1空間向量 13 5

20Ch2空間中的平面與直線 F 5

Ch3矩陣 A 5

Ch4二次曲線 B 5

合　計單選（6）、多選（7）、選填（7） 100

杕試題第一、二冊有較多命題，呈現幾近各冊平均分布試題，其中

坽第 3題以指數型式命題，最重要是求整數解的方法，同屬第一冊，不同章節而已。

夌第 8題以數線上移動命題，隱藏平面向量、物理學等，仍歸給數與式章節。

杌數學素養之試題中：

坽第 6題考相關係數、利用迴歸直線推估數據，但真正去求迴歸直線卻是難解，需以相關係

數的觀念解之。

夌選填第 C題，看似是平面向量最大值的問題，但利用數與式甚至國小數學都可解之。

也就是說，試題中各題出處的章節相當明確。


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四 108年試題測驗能力指標分析

題型題目測驗能力指標註難易度

單選題

1 圓與直線的作圖、點到直線距離、對稱性的觀念三角函數、參數式求解中

2 因式分解、複數根的求法可利用牛頓定理易

3 指數化簡、正整數解的求法易

4 排列、組合的計算樹狀圖計數中

5 指對數運算三次方根求值易

6 相關係數、迴歸直線觀念直線方程式、比例中偏難

多選題

7 等差數列基本觀念、算術平均數求法易偏中

8 平移觀念、分點公式平面向量易

9 事件個數計數、古典機率計算易偏中

10 銳角正弦、餘弦函數值、三角形邊角關係正弦定理易

11 條件機率、貝氏定理樹狀圖繪製中偏難

12 多項式函數的四則運算除法原理中

13 空間中平面、直線、點的關係、距離計算向量外積中偏難

選填題

A 矩陣運算、解聯立方程式加減消去法易

B 橢圓長短軸認識、菱形面積求法菱形性質易

C 圓周長計算平面向量中最大、小值

求法易

D 集合計算、繪製文氏圖排容原理中

E 三角形外角性質、餘弦定理三角函數中

F 立體空間概念、最短距離坐標化、空間中兩點間

距離計算中

G 相似形觀念、平面向量的加減運算、和差角公式相似形證明、平行性質難


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從測驗的能力指標中，可知道試題著重在基本概念，即使是第 G題，也是向量加減法的運

算，然而，筆者也看出試題有以下幾點特色：

坽強化活用性質、觀念去解決問題，不是死守公式、耗時才可以得到答案，例如：

題號活用性質、觀念的解法死守公式等的解法

第 1題運用垂直與對稱的觀念，快速得知另有 3

交點。

法 1：利用垂直直線 L，假設過 A點之方程式，再解圓與直線的交點。

法 2：假設單位圓的參數式 x = cos θy = sin θ

，

0 ≤ θ < 2π，再解圓的參數式與直線L的距離。

第 6題

利用相關係數為－ 0.99，近似完全負相

關，表示所有點幾近在同一直線上，運用

共線觀念，每降低 2°C，相差 68∼ 82杯

之間（平均 75杯），找出 8°C時的杯數介

在 587∼ 662之間。

利用迴歸直線（最適合直線）方程式公式

y – μY = rX, Y σY

σX ( x – μX )。

第 C題

運用當寬的長度（圓的直徑）最小時，去

估算出直線跑道 AB 長度的最大整數值，

尤其是整數值，不必太過於精算數值。

假設長增加 x公尺，寬增加 y公尺，總長度為 400公尺之下，利用算幾不等式計算。

第 F題

運用立體空間坐標化解題；再根據蜜蜂在

正立方體中，飛行兩頂點的最短距離的概

念，發現最小化 AB 可求出最小邊長。

直接作立體空間的平面 z = 0、z = 6，只有

難解兩個字；再測試兩頂點的位置，才能

找出使邊長最短的兩點。

夌把數學性質結合生活素材，例如：

題號生活素材測驗能力指標

第 4題廚師想用食材作三道菜問題繪製樹狀圖、排列組合的基本運算

第 6題超商販售咖啡數量與當天平均氣溫的關係相關係數的概念，利用迴歸直線作推測

第 8題質點在數線上的移動同方向、反方向的相對概念、分點坐標計

算

第 11題防疫署大腸癌篩檢議題繪製樹狀圖、古典機率的基本運算

第 C題操場中直線跑道的規劃最大值與最小值的概念

第 D題選舉中公投案的議題文氏圖的繪製方法、排容原理


7數學專刊

奅測驗基本能力的試題，例如：

題號測驗能力指標基本數學能力

第 2題複數根的分解

延續國中的實數系到高中的複數系方程式，分解

因式的方法未加深、加難（例如牛頓定理、勘根定

理）

第 3題指數運算國中生的能力就會解答

第 5題對數運算、指數與對數互換原理常用對數（底數為 10）的觀念、測試指數與對數互

換原理

第 7題等差數列各項比大小、公差的求法延續國中的等差數列，將其一般化

第 8題數線上質點移動延續國中的數線上質點移動、相交情形

第 9題事件個數的計數、古典機率求法古典機率的基本計算能力

第 10題正弦、餘弦函數值的比較、邊角關

係

銳角的正弦、餘弦函數的遞增、遞減性質，沒有擴

及廣義三角函數；及延續國中的三角形邊角關係

第 12題多項式基本的四則運算多項式的四則運算能力，未擴及綜合除法等變化

第 A題矩陣的基本運算、解聯立方程式矩陣的運算

第 B題橢圓標準式的基本概念橢圓的基本概念

整份試題著重在測試考生對高中數學基本觀念的認知與了解程度，其次測試考生是否著實

的練習。

五趨勢分析及展望未來108年學測落幕了，試題大致偏向測試考生高中數學的基本能力，因而提供給準備 7月指

考或 109年學測的考生一些準備方向：

A：給準備 7月指考的考生

杕三角函數、二次曲線不用再花時間準備，了解其意義就好。

杌從 108年學測試題推論，除了學測試題未考到的基本重點（參考 B）外，選修數學甲、乙

的基本重點，如下表：

數學甲、乙基本重點

數學甲

杕隨機二項分布、常態分布機率的變異數、標準差、期望值等計算

杌抽樣方法、抽樣誤差、信賴區間計算

杈三角函數圖形、週期、疊合的計算等

杝複數的坐標意義

杍數列、函數的極限值求法、歛散性

杚微分、積分基本運算（黎曼積分、定積分、不定積分等）、面積求法

數學乙

杕隨機二項分布、常態分布機率的變異數、標準差、期望值等計算

杌數列、函數的極限值求法、歛散性

杈獨立事件、互斥事件計算

杝抽樣方法、抽樣誤差概念

杍三角函數等不用準備


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B：給準備 109年學測的考生

單元名稱 108年沒有考的基本重點

數與式杕循環小數杌雙根號化簡杈三角不等式杝分點公式杍算幾不等式

多項式函數

杕二次多項式函數圖形平移、最大值與最小值

杌二次方程式根與係數的關係杈綜合除法、泰勒展開式

杝餘式定理、牛頓定理、虛根成雙定理、勘根定理杍不等式

指數與對數杕指數、對數圖形（定義、平移等）杌指對數方程式、不等式（遞增、遞減

性質）杈複利計息、地震能量、酸鹼值杝查對數表

數列與級數杕等差級數、等比數列與級數杌遞迴數列杈 Σ符號的運算

排列、組合杕集合運算杌符號 P、C的計算杈加法、乘法原理

杝二項式定理（不需做艱深題目）

機率杕古典機率計算杌條件機率、貝氏定理杈獨立、互斥事件

數據分析杕平均數、標準差計算杌數據平移關係杈最小平方法原理（迴歸直線）

（大數據時代，請注意數據指標的意義）

三角杕銳角、廣義角函數值杌正弦、餘弦定理杈和、差角、倍角公式計算

杝簡單測量計算杍內角平分線性質、平行四邊形定理、中線定理（留意）

直線與圓杕直線斜率（平行與垂直）杌線性規劃（指考重點，今年學測沒考要更注意）

杈圓方程式、與直線的關係杝圓上、圓外切線求法（切線段長）

平面向量杕向量加、減法運算杌向量組合（共線）杈向量夾角、長度、正射影（長）

杝利用向量計算面積杍柯西不等式杚二階行列式基本運算（三階不考）

空間向量杕歪斜意義杌外積計算杈坐標化解題

空間中的平面與

直線

杕平面方程式的四種形式、求法（截距式重要）杌點到平面的距離

杈兩面角的求法杝空間中直線的表示法

矩陣杕矩陣的加、減、乘法運算杌二階反矩陣杈轉移矩陣（指考重點）

二次曲線杕拋物線、橢圓、雙曲線的定義與標準式

杌留意雙曲線的漸近線（本單元指考不考）

綜觀 108年學測試題是給不放棄數學，且腳踏實地默默耕耘數學的考生的最佳報酬，相信

這樣的態度與學習方式是準備數學的最佳捷徑！


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108學年度學科能力測驗試題∼數學考科∼

第壹部分：選擇題（占65分）

一、單選題（占30分）

杕點 A(1, 0)在單位圓 Г：x2 + y2 = 1上 . 試問：Г上除了 A點以外 , 還有幾個點到直線

L：y = 2x的距離 , 等於 A點到 L的距離？坽 1個　夌 2個　奅 3個　妵 4個　妺 0個 .

：奅【出處】第三冊，ch2直線與圓

：如右圖 ,

直線 L：y = 2x為通過原點 , 斜率為 2的直線 ,

設 A點到直線 L的距離為 d = d(A, L) = AP,

過 A點作 AP垂直直線 L, 交圓 Г 於點 C, 則 d(C, L) = d = AP,

又 D點到直線 L的距離亦為 d(D, L) = d = AP ,

過 D點作 DQ垂直直線 L, 交圓 Г 於點 B, 則 d(B, L) = d = AP ,

故滿足題意且在圓 Г 上的點還有 B, C, D三個點 .

杌下列哪一個選項是方程式 x3 – x2 + 4x – 4 = 0的解？（註：i = 1）

坽 2i　夌 i　奅 i　妵 2　妺 4.

：坽【出處】第一冊，ch2多項式函數

：因式分解 x3 – x2 + 4x – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)(x2 + 4) = (x – 1)(x + 2i)(x – 2i) = 0,

得解為 x = 1, x = 2i, x = – 2i.

杈試問共有多少組正整數 (k, m, n)滿足 2k4m8n = 512？

坽 1組　夌 2組　奅 3組　妵 4組　妺 0組 .

：奅【出處】第一冊，ch1數與式，ch3指數與對數

：2k4m8n = 2k22m23n = 29 ⇒ k + 2m + 3n = 9,

如右表所示 , 正整數解 (k, m, n) = (4, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 1, 2)共 3組 . k 4 2 1

m 1 2 1

n 1 1 2


10 CHHWA全華圖書

杝廚師買了豬﹑雞﹑牛三種肉類食材以及白菜﹑豆腐﹑香菇三種素類食材 . 若廚師想用完

這六種食材作三道菜 , 每道菜可以只用一種食材或用多種食材 , 但每種食材只能使用一

次 , 且每道菜一定要有肉 , 試問食材的分配共有幾種方法？

坽 3　夌 6　奅 9　妵 18　妺 27.

：妺【出處】第二冊，ch2排列、組合

：作三道菜 , 每道菜一定要有肉 ⇒ 豬﹑雞﹑牛三種肉類各分配於一道菜中 ,

白菜﹑豆腐﹑香菇三種分別搭配豬﹑雞﹑牛三種肉類 ⇒ 共有 3 × 3 × 3 = 27種方法 .

杍設正實數 b滿足 (log 100)(log b) + log 100 + log b = 7. 試選出正確的選項 .

坽 1≤ b≤ 10　夌 10≤ b≤ 10　奅 10≤ b≤ 10 10　妵 10 10≤ b≤ 100　

妺 100≤ b≤ 100 10 .

：妵【出處】第一冊，ch3指數與對數

：原式為 2log b + 2 + log b = 7 ⇒ log b = 53

, 即 b = 1053 = 10

3 100 ≈ 46.⋯ ,

又 10 ≈ 3.16, 所以 10 10 ≤ b≤ 100,

故選妵 .

杚某超商依據過去的銷售紀錄 , 冬天平均氣溫在 6°C到 24°C時 , 每日平均售出的咖啡數量

與當天的平均氣溫之相關係數為 – 0.99, 部分紀錄如下表 .

平均氣溫（°C） 11 13 15 17 19 21

平均售出量（杯） 512 437 361 279 203 135

某日平均氣溫為 8°C, 依據上述資訊推測 , 試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選

項？

坽 570杯　夌 625杯　奅 700杯　妵 755杯　妺 800杯 .

：夌【出處】第二冊，ch4數據分析

：題意的數據可求出其迴歸直線 , 再預估氣溫為 8°C的咖啡數量 ,

然而因相關係數為 – 0.99, 近似完全負相關（所有點幾近在同一直線上）

⇒ 可視為所有點在斜率近似於 – 1的直線 , 則可依比例估計如下：

平均氣溫（°C） 7 8 9 11 13 15 17 19 21

平均售出量（杯） 662 624.5 587 512 437 361 279 203 135

預估值相差 75 76 82 76 68

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平均相差 75

故預估氣溫為 8°C時 , 咖啡數量接近 625杯 , 故選夌 .


11數學專刊

二、多選題（占35分）

杋設各項都是實數的等差數列 a1, a2, a3, ⋯ 之公差為正實數 α. 試選出正確的選項 .

坽若 bn = – an , 則 b1 > b2 > b3 > ⋯　

夌若 cn = an2, 則 c1 < c2 < c3 < ⋯　

奅若 dn = an + an + 1, 則 d1, d2, d3, ⋯是公差為 α 的等差數列　

妵若 en = an + n, 則 e1, e2, e3, ⋯是公差為 α + 1的等差數列　

妺若 fn為 a1, a2 ⋯ , an的算術平均數 , 則 f1, f2, f3, ⋯ 是公差為 α 的等差數列 .

：坽妵【出處】第二冊，ch1數列與級數

：根據題意 , 設 < an >：a1, a2, a3, ⋯, 其中 an = a1 + (n 1)α, α > 0, n = 1,2,3,⋯

坽∵ bn + 1 bn = an + 1 ( an) = (a1 + nα ) + (a1 + (n 1)α) = α < 0, n = 1, 2, 3, ⋯

　⇒ bn + 1 < bn, 即 b1 > b2 > b3 >⋯ （正確）

夌∵ c2 c1 = a22 a1

2 = (a1 + α)2 a12 = 2a1α + α2, 不一定為正數 , ∴ c1 < c2不一定成立（錯誤）

奅∵ d2 d1 = (a2 + a3) (a1 + a2) = a3 a1 = 2α≠ α （錯誤）

妵∵ en + 1 en = (an + 1 + n + 1) (an + n) = an + 1 an + 1 = α + 1, n = 1, 2, 3, ⋯ （正確）

妺∵ f2 f1 = a1 + a2

2 a1 =

a2 a1

2 = α2≠ α （錯誤）

毐在數線上 , 甲從點 – 8開始做等速運動 , 同時乙也從點 10開始做等速運動 , 乙移動的速

率是甲的 a倍 , 且 a > 1. 試選出正確的選項 .

坽若甲朝負向移動而乙朝正向移動 , 則他們會相遇

夌若甲朝負向移動且乙朝負向移動 , 則他們不會相遇

奅若甲朝正向移動而乙朝負向移動 , 則乙先到達原點 0

妵若甲朝正向移動且乙朝正向移動 , 則他們之間的距離會越來越大

妺若甲朝正向移動而乙朝負向移動 , 且他們在點 – 2相遇 , 則 a＝ 2.

：妵妺【出處】第一冊，ch1數與式

：坽如圖 1, 甲﹑乙方向相反 , 且越離越遠⇒不會相遇（錯誤）

夌如圖 2, 甲﹑乙同方向移動 , 且乙移動的速率是甲的 a倍

　⇒乙會追上甲⇒會相遇（錯誤）

奅如圖 3, 甲﹑乙與原點距離比為 8：10, 且速率比為 1：a,

　則時間比為 8：10a ,

　故當 1 < a < 54時 , 甲先到達原點 0 （錯誤）

妵如圖 4, 甲﹑乙同方向移動 , 且乙移動的速率是甲的 a 倍（a > 1）

　⇒距離 = 速率時間 , ∴時間越長 , 相距之距離會越來越大（正確）

妺如圖 5, 甲﹑乙在點 2相遇時 , 移動距離比為 6：12 = 1：2⇒ a = 2 （正確）

圖 1

圖 3

圖 2

圖 4

圖 5



氙從 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這七個數字中隨機任取兩數 . 試選出正確的選項 .

坽其和大於 10的機率為17　夌其和小於 5的機率為

17　奅其和為奇數的機率為

47

妵其差為偶數的機率為57　妺其積為奇數的機率為

27

.

：奅妺【出處】第二冊，ch3機率

：樣本空間個數 n（S：7個數字中隨機任取兩數） = C 72 = 21.

坽事件：兩數和大於 10 = {(4和 7), (5和 6), (5和 7), (6和 7)}共 4種⇒機率 = 421（錯誤）

夌事件：兩數和小於 5 = {(1和 2), (1和 3)}共 2種⇒機率 = 221

（錯誤）

奅事件：和為奇數（奇數 1, 3, 5, 7取一數 , 偶數 2, 4, 6取一數）, 個數有 C 41 C 3

1 = 12

　　　　⇒機率 = 1221

= 47（正確）

妵事件：兩數差為偶數（取二奇數 , 或二偶數）, 個數有 C 42 + C 3

2 = 9⇒機率 = 921

= 37

（錯誤）

妺事件：兩數乘積為奇數（取二奇數相乘）, 個數有 C 42 = 6⇒機率 =

621

= 27（正確）

氚在△ ABC中 , 已知 50°≤∠ A < ∠ B≤ 60° . 試選出正確的選項 .

坽 sin A < sin B　夌 sin B < sin C　奅 cos A < cos B　妵 sin C < cos C　妺 AB < BC.

：坽夌【出處】第三冊，ch1三角

：∵∠ A < ∠ B≤ 60° , ∴∠ C > 60° ⇒∠ C > ∠ B > ∠ A ,

根據邊角關係 , 得知 AB > AC > BC.

坽∵∠ A < ∠ B且正弦函數為遞增函數 , ∴ sin A < sin B （正確）

夌∵∠ B < ∠ C且正弦函數為遞增函數 , ∴ sin B < sin C （正確）

奅∵∠ A < ∠ B且餘弦函數為遞減函數 , ∴ cos A > cos B （錯誤）

妵∵∠ C > 60° , ∴ sin C > sin 45° = 12

= cos 45° > cos C （錯誤）

妺∵∠ C > ∠ A , 根據邊角關係 , 得知 AB > BC（錯誤）

汸某地區衛生機構成功訪問了 500人 , 其中年齡為 50－ 59歲及 60歲（含）以上者分別有

220名及 280名 . 這 500名受訪者中 , 120名曾做過大腸癌篩檢 , 其中有 75名是在一年之

前做的 , 有 45名是在一年之內做的 . 已知受訪者中 , 60歲（含）以上者曾做過大腸癌篩

檢比率是 50－ 59歲者曾做過大腸癌篩檢比率的 3.5倍 . 試選出正確的選項 .

坽受訪者中年齡為 60歲（含）以上者超過 60%

夌由受訪者中隨機抽取兩人 , 此兩人的年齡皆落在 50－ 59歲間的機率大於 0.25

奅由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人 , 其中一人在一年之內受檢而另一人在

一年之前受檢的機率為 2 · (45120

)(75119

)

妵這 500名受訪者中 , 未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 75%

妺受訪者中 60歲（含）以上者 , 曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90名 .

：奅妺【出處】第二冊，ch3機率


13數學專刊

：根據題意 , 作樹狀圖如下：

∵條件x

220 3.5 =

120 − x280

, 得 x = 22.

坽受訪者中年齡為 60歲（含）以上者占280500

100% = 56% < 60% （錯誤）

夌機率 = 此 2人是 50∼ 59歲

500人任取 2人 =

C 2202

C 5002

= 220 219500 499

= 0.193 ⋯ < 0.25 （錯誤）

奅機率 = 1年前 1人 1年內 1人

120人任取 2人 =

C 751 C 45

1 C 120

2

= 75 45

120 1192

= 2 · (45120

)(75119

)（正確）

妵比率 = 未做篩檢人數全部 500人

= 500 − 120

500 =

380500

= 0.76 = 76% > 75% （錯誤）

妺由樹狀圖得知有 120 x = 98名 , 超過 90名（正確）

汧設 f1(x), f2(x)為實係數三次多項式 , g(x)為實係數二次多項式 . 已知 f1(x), f2(x)除以 g(x)的

餘式分別為 r1(x), r2(x). 試選出正確的選項 .

坽 – f1(x)除以 g(x)的餘式為 – r1(x)　　　夌 f1(x) + f2(x)除以 g(x)的餘式為 r1(x) + r2(x)

奅 f1(x)f2(x)除以 g(x)的餘式為 r1(x)r2(x)　妵 f1(x)除以 – 3 g(x)的餘式為 – 13

r1(x)

妺 f1(x)r2(x) – f2(x)r1(x)可被 g(x)整除 .

：坽夌妺【出處】第一冊，ch2多項式函數

：根據題意 , 設 f1(x) = g(x)Q1(x) + r1(x), f2(x) = g(x)Q2(x) + r2(x), 其中 deg r1(x)≤ 1, deg r2(x)≤ 1.

坽 – f1(x) = – g(x)Q1(x) – r1(x) = g(x)[ – Q1(x)] + ( – r1(x)), ∴餘式為 – r1(x)（正確）

夌 f1(x) + f2(x) = [g(x)Q1(x) + r1(x)] + [g(x)Q2(x) + r2(x)] = g(x)[Q1(x) + Q2(x)] + [r1(x) + r2(x)]

　∵ deg [r1(x) + r2(x)]≤ 1, ∴餘式為 r1(x) + r2(x)（正確）

奅 f1(x)f2(x) = [g(x)Q1(x) + r1(x)][g(x)Q2(x) + r2(x)]

　　　　 = g(x)[g(x)Q1(x)Q2(x) + Q1(x)r2(x) + Q2(x)r1(x)] + r1(x)r2(x)

　∵ deg [r1(x)r2(x)]≤ 2 = deg g(x), ∴ r1(x)r2(x)不一定為餘式（錯誤）

妵 f1(x) = g(x)Q1(x) + r1(x) = – 3 g(x)[ – 13

Q1(x)] + r1(x), ∴餘式為 r1(x)（錯誤）

妺 f1(x)r2(x) – f2(x)r1(x) = [g(x)Q1(x) + r1(x)]r2(x) – [g(x)Q2(x) + r2(x)]r1(x)

　　　　　　　　　 = g(x)Q1(x)r2(x) + r1(x)r2(x) – g(x)Q2(x)r1(x) – r2(x)r1(x)

　　　　　　　　　 = g(x)[Q1(x)r2(x) – Q2(x)r1(x)] + 0

　∵餘式 = 0, ∴可被 g(x)整除（正確）



汫坐標空間中有一平面 P過 (0, 0, 0), (1, 2, 3)及 ( – 1, 2, 3)三點 . 試選出正確的選項 .

坽向量 (0, 3, 2)與平面 P垂直　　　夌平面 P與 xy平面垂直奅點 (0, 4, 6)在平面 P上　　　　　妵平面 P包含 x軸妺點 (1, 1, 1)到平面 P的距離是 1.

：奅妵【出處】第四冊，ch1空間向量

：如右圖 , 設 O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B( – 1, 2, 3), 平面 P的法向量為 n⇀,

∵ O⇀A = (1, 2, 3), O⇀B = ( – 1, 2, 3), O⇀A O⇀B = – 2(0, 3, – 2),

取 n⇀ = (0, 3, – 2).

坽向量 (0, 3, 2)與 n⇀不平行⇒與平面 P不垂直（錯誤）

夌 xy平面的法向量為 (0, 0, 1), 且 (0, 3, – 2) · (0, 0, 1) = – 2≠ 0

　⇒平面 P與 xy平面不垂直（錯誤）

奅平面 P的方程式為 3y – 2z = 0, 將點 (0, 4, 6)代入 3y – 2z = 0成立

　⇒點 (0, 4, 6)在平面 P上（正確）

妵 x軸的方向向量為 (1, 0, 0)與 n⇀垂直 , 且 x軸上任意點 (k, 0, 0)滿足方程式 3y – 2z = 0 （正確）

妺距離 d((1, 1, 1), P：3y – 2z = 0) = | 0 3 2 |

02 32 (2)2 = 113≠ 1 （錯誤）

第貳部分：選填題（占35分）

A. 設 x, y為實數 , 且滿足3　 1　32　 4　1

xy1

= 6

6, 則 x + 3y＝　　　　　.

：4 【出處】第四冊，ch3矩陣

：根據矩陣運算⇒3x y + 3 = 62x + 4y 1 = 6

⇒3x y = 32x + 4y = 5

, 得知 x = 12

, y = 32

,

∴ x + 3y = 12

+ 3(32

) = 4.

B. 如圖（此為示意圖）, A, B, C, D是橢圓 x2

a2 y2

16 = 1的頂點 . 若四邊

形 ABCD的面積為 58, 則 a = 　　　　　（化為最簡分數）

：294

【出處】第四冊，ch4二次曲線

：如右圖 , 設中心為 O ⇒ 短軸長 = BD = 2 16 = 8,

四邊形 ABCD的面積 = 菱形 ABCD面積 = 12

8 AC = 58, ∴ AC = 292

,

長軸長 = 2a = AC = 292

, ∴ a = 294

.


15數學專刊

C. 某高中已有一個長 90公尺﹑寬 60公尺的足球練習場 .

若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400公

尺的跑道 , 跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓 ,

而中間是上下各一條的直線跑道 , 直線跑道與足球練

習場的長邊平行（如示意圖）. 則圖中一條直線跑道

AB長度的最大可能整數值為　　　　　公尺 .

：105 【出處】第三冊，ch2直線與圓

：先估算左右兩側兩半圓之圓周長 = 2π (602

)≈ 188.5,

AB長度 = 12

(400 188.5)≈ 105.75, 取最大整數值 105.

D. 某次選舉中進行甲﹑乙﹑丙三項公投案 , 每項公投案一張選票 , 投票人可選擇領或不領 .

投票結束後清點某投票所的選票 , 發現甲案有 765人領票﹑乙案有 537人領票﹑丙案有

648人領票 , 同時領甲﹑乙﹑丙三案公投票的有 224人 , 並且每個人都至少領了兩張公投

票 . 根據以上資訊 , 可知同時領甲﹑乙兩案但沒有領丙案公投票者共有　　　　　人 .

：215 【出處】第二冊，ch2排列、組合（集合）

：根據題意 , 作文氏圖如右 , 得數據如下：

甲案：a + 224 + c＝ 765⇒ a + c = 541

乙案：a + 224 + b＝ 537⇒ a + b = 313

丙案：b + 224 + c＝ 648⇒ b + c = 424

⇒ a＝ 215, 即為同時領甲﹑乙兩案但沒有領丙案公投票的人數 .

E. 如圖（此為示意圖）, 在△ ABC中 , AD交 BC於 D點 , BE交 AD於 E

點 , 且∠ ACB = 30° , ∠ EDB = 60° , ∠ AEB = 120° . 若 CD = 15, ED = 7,

則 AB = 　　　　　.

：13 【出處】第三冊，ch1三角

：在△ ACD中 , 根據外角性質 , ∠ ACB = 30° = ∠ CAD,

∴ CD = 15 = AD⇒ AE = 15 – ED = 8,

在△ ABE中 , 根據外角性質 , ∠ EDB = 60° = ∠ EBD, ∴ EB = ED = 7,

在△ ABE中 , 根據餘弦定理

AB2 = 82 + 72 – 2 8 7 cos 120° = 169, ∴ AB = 169 = 13.



F. 坐標空間中 , 考慮有一個頂點在平面 z = 0上 , 且有另一個頂點在平面 z = 6上的正立方

體 . 則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為　　　　　（化成最簡根式）

：2 3 【出處】第四冊，ch2空間中的平面與直線

：如右圖 , 令 A(0, 0, 0), B(0, 0, 6), 設正立方體邊長為 x,

∴正立方體中 AB距離最短

⇒ 在△ ABC中 , AB = 6 = x2 x2 x2 , 得邊長最小 x = 12 = 2 3 .

G. 如圖（此為示意圖）, A, B, C, D為平面上的四個點 .

已知 B⇀C = A⇀B + A⇀D, A⇀C, B⇀D兩向量等長且互相垂直 ,

則 tan∠ BAD = 　　　　　.

：3 【出處】第三冊，ch1三角、ch3平面向量

：因 B⇀C＝ A⇀C－ A⇀B＝ A⇀B＋ A⇀D, ∴ 2 A⇀B＝ A⇀C－ A⇀D＝ D⇀C,

故 AB // DC且 2 AB＝ DC,

如圖 , 設 AC, BD交於點 P, 在△ ABP, △ CDP中

坽∠ APB 90° ∠ DPC,

夌∠ a ∠ b（∵ AB // DC, 內錯角相等）

⇒△ ABP∼△ CDP（AA相似）

⇒APCP

BPDP

ABCD

12

, 令 AP k, CP 2k,

又∵ AC BD, ∴ BP k, DP 2k,

tan∠ BAD tan(∠ b＋∠ c) (tan ∠ b)(tan ∠ c)

1 (tan ∠ b) (tan ∠ c)

121 1 2

3.


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