TEHNIČKA TEHNIČKA MEHANIKA 1MEHANIKA 1

STATIKASTATIKA

VI predavanjeVI predavanje

NOSANOSAČIČI

Pod nosačem u Mehanici (Statici) podrazumevamo Pod nosačem u Mehanici (Statici) podrazumevamo krut štap ili sistem krutih štapova, čija je sloboda krut štap ili sistem krutih štapova, čija je sloboda kretanja, sistema kao celine, pa i svakog štapa u kretanja, sistema kao celine, pa i svakog štapa u sastavu sistema, eliminisana, a pri tome im je sastavu sistema, eliminisana, a pri tome im je namena da primaju aktivne sile i prenose ih na namena da primaju aktivne sile i prenose ih na oslonce.oslonce.

1.Nosači mogu biti: prostorni, ravanski i linijski

PODELA NOSAČA:

Prostorni nosačiProstorni nosači imaju sve tri dimenzije. imaju sve tri dimenzije. Primer: Temeljni nosačPrimer: Temeljni nosač

aabb

cc

Površinski nosačiPovršinski nosači imaju jednu dimenziju imaju jednu dimenziju mnogo manju u odnosu na ostale dve.mnogo manju u odnosu na ostale dve.

Primeri: ploča i ljuskaPrimeri: ploča i ljuska

aabb

PločaPloča LjuskaLjuska

U ravanske nosače spadaju i ramovski nosači U ravanske nosače spadaju i ramovski nosači koji spadaju u grupu linijskih nosača:koji spadaju u grupu linijskih nosača:

Linijski nosačiLinijski nosači imaju dve dimenzije mnogo imaju dve dimenzije mnogo manje u odnosu namanje u odnosu na treću dimenziju.treću dimenziju.

Preseci normalni na osu štapa su poprečni preseci. Osa Preseci normalni na osu štapa su poprečni preseci. Osa štapa spaja težišta poprečnih preseka.štapa spaja težišta poprečnih preseka.

2.Nosači mogu biti: statički određeni i statički neodređeni

Statički određen noač je nosač kod koga je r=3 u ravni i r=6 u prostoru. Nosač je u ravnoteži (miruje) jer je n=r-3=0 za ravan, odnosno n=r-6=0 za prostor, pod uticajem spoljašnjih sila i veza, ali je isto tako u ravnoteži i pod uticajem aktivnih sila i reakcija veza, posle primene aksioma o oslobađanju.-Nosač je statički određen, ako uslovi ravnoteže čine potpun sistem jednačina za određivanje reakcija veza nosača.

Statički neodređeni nosači su nosači kod kojih je su nosači kod kojih je broj veza u ravni r>3 a u prostoru r>6.

3.Nosači mogu biti: prosti i složeni

I) Prost nosač je nosač sastavljen samo od jednog štapa.

Najmanji broj veza u ravni je r=3 a u prostoru r=6.

xx

yy n=3n=3

xx

yy n=1n=1

xx

yy n=0n=0

yy

zz n=3n=3

xxyy

zz n=0n=0

xx

Prosta gredaProsta greda::

YYAA

XXAA xx

yy

AA BBFF

YYBB

XXAA, Y, YAA, Y, YB B → r=3 → r=3 → n=3-r=0→ n=3-r=0

Greda sa prepustima (statički određen nosač):Greda sa prepustima (statički određen nosač):

aa ℓℓ

xxyy

AA BBFF

bb

FF

AA BB

aa ℓℓ bb

DDCC

Kontinualan nosač (statički neodređen):Kontinualan nosač (statički neodređen):

XXAA

YYAAYYBB YYCC YYDD

r=5 (Xr=5 (XAA, , YYAA, Y, YBB, Y, YCC, Y, YDD)) →n=3-5=-2, Dakle 2 puta →n=3-5=-2, Dakle 2 puta

statički neodređen nosač.statički neodređen nosač.

Konzola u ravni:Konzola u ravni:

XXAA

YYAAMMAA

A:XA:XAA,Y,YAA,M,MAA→r=3 →n=3-3=0→r=3 →n=3-3=0

Konzola u prostoru:Konzola u prostoru:XXAA

YYAA

MMAxAx

ZZAA

MMAzAz

MMAyAy

xx

yy

zz

A:XA:XAA,Y,YAA,Z,ZAA,M,MAxAx,M,MAyAy.M.MAzAz

n=6-6=0n=6-6=0

II) Složeni nosači su oni nosači koji se sastoje od sistema štapova, vezanih međusobno unutrašnjim vezama.

Gerberova greda:

II IIII IIIIII IVIV N=VN=V

11 22 33 Mz=4Mz=4

N=5, MN=5, Mzz=N-1=4=N-1=4

Broj međuzglobova je: Mz=N-1. Da bi nosač bio stabilan

mora biti: 3N=rs+ru (r=rs+ru)rs=3N-ru

rs=3N-2(N-1)=N+2

N=2; rN=2; rss=4=N+2=2+2=4=N+2=2+2

rruu=2(N-1)=2=2(N-1)=2

N=3; rN=3; rss=5=5 rruu=2(N-1)=4=2(N-1)=4

n=3N-r=3x3-9=0n=3N-r=3x3-9=0

Veze nisu dobro (pravilno) raspoređene.Veze nisu dobro (pravilno) raspoređene.-U krajnjem polju ne smeju biti dva međuzgloba.-U krajnjem polju ne smeju biti dva međuzgloba.

-U srednjim poljima broj međuzglobova ne sme -U srednjim poljima broj međuzglobova ne sme biti veći od dva.biti veći od dva.

Luk sa tri zgloba:

xx

yy

AA BB

GGn=3N-rs-rn=3N-rs-ruu=3x2-4-2=6-6=0=3x2-4-2=6-6=0

OdreOdređivanje reakcija veza luka na tri zgloba:đivanje reakcija veza luka na tri zgloba:

FF11

FF22 FF33FF44

aa11 aa22

hh22

hh11AA

GG

BB

Nepoznate: Nepoznate:

XXAA, , YYAA, , XXBB,,YYBB, , XXGG, Y, YGG

OOdređivanje reakcija primenom dekompozicijedređivanje reakcija primenom dekompozicije::

aa11

FF33FF44

aa22

hh22

hh11BBTelo Telo

I:I:

(1)(1)ΣΣX=0: XX=0: XAA+F+F11+X+XGG=0=0

(2)(2)ΣΣY=0: YY=0: YAA+Y+YGG-F-F22=0=0

(3)(3)ΣΣMM(A)(A)=0:=0:

-F-F11hh22+Y+YGGaa11-X-XGGhh22=0=0

Telo Telo II:II:

(1)(1)ΣΣX=0: -XX=0: -XBB-X-XGG-F-F33=0=0

(2)(2)ΣΣY=0: YY=0: YBB-Y-YGG-F-F44=0=0

(3)(3)ΣΣMM(B)(B)=0:=0:

FF33((hh11+h+h22))+Y+YGGaa22+X+XGG(h(h11+h+h

22)=0)=0

FF11

FF22

AAXXAA

YYAA

XXGGXXGG

YYGG YYGG

XXBB

YYBB

Određivanje prvo spoljašnjih reakcija (Delimična Određivanje prvo spoljašnjih reakcija (Delimična dekompozicija)dekompozicija)::

(1)(1)ΣΣX=0: XX=0: XAA+F+F11-F-F33-X-XBB=0=0

(2)(2)ΣΣY=0: YY=0: YAA+Y+YGG-F-F22-F-F44=0=0

(3)(3)ΣΣMM(A)(A)=0:Y=0:YBB((aa11+a+a22))+F+F33hh2 2

-F-F44((aa11+a+a22)-F)-F11hh22++ XXBBhh11=0=0

(4) (4) ΣΣMM(G)LEVO(G)LEVO =0: =0:XXAAhh22--

YYAAaa11++FF22aa11=0=0

FF11

FF22 FF33FF44

aa11 aa22

hh22

hh11AA

GG

BBXXBB

XXAA

YYAA

YYBB

Zatim određujemo unutrašnje reakcijeZatim određujemo unutrašnje reakcije::

(1)(1)ΣΣX=0: XX=0: XAA+X+XGG+F+F1 1 =0→=0→XXGG

(2)(2)ΣΣY=0: YY=0: YAA+Y+YGG-F-F22=0→=0→YYGG

(3)(3)ΣΣMM(A)(A)=0:=0: (kontrola rešenja) (kontrola rešenja)

FF11

FF22

AAXXAA

YYAA

XXGG

YYGG

Metod delimične dekompozicije:Metod delimične dekompozicije:

1. Cilj je da se prvo postavi potpun sistem 1. Cilj je da se prvo postavi potpun sistem jednačina za određivanje reakcija spoljnih veza-jednačina za određivanje reakcija spoljnih veza-ukidaju se samo spoljne veze.ukidaju se samo spoljne veze.

2. Postavljamo uslove ravnoteže spoljnih 2. Postavljamo uslove ravnoteže spoljnih sila(aktivne i reakcije spoljnih veza) za nosač kao sila(aktivne i reakcije spoljnih veza) za nosač kao celinu.celinu.

3. Raspolažemo uslovima anuliranja momenata u 3. Raspolažemo uslovima anuliranja momenata u međuzglobovima za sile levo ili desno od međuzglobovima za sile levo ili desno od međuzgloba.međuzgloba.

4.Naknadno postavljamo uslove ravnoteže za 4.Naknadno postavljamo uslove ravnoteže za pojedine delove, iz kojih nalazimo reakcije pojedine delove, iz kojih nalazimo reakcije unutrašnjih veza.unutrašnjih veza.

4.Nosači mogu biti: puni i rešetkasti

REŠETKASTI NOSAČIREŠETKASTI NOSAČI::

FF

FF

Pored punih nosača, imamo i rešetkaste. Pored punih nosača, imamo i rešetkaste. Karakteristike rešetki su:Karakteristike rešetki su:

-Kod rešetke imamo samo prave štapove;-Kod rešetke imamo samo prave štapove;

-U čvoru rešetke ose svih štapova moraju da se -U čvoru rešetke ose svih štapova moraju da se seku u jednoj tački;seku u jednoj tački;

-Aktivne sile deluju samo u čvorovima rešetke;-Aktivne sile deluju samo u čvorovima rešetke;

-Oslonci su samo u čorovima;-Oslonci su samo u čorovima;

EElementi rešetke:lementi rešetke:

Gornji pojasGornji pojas

VertikalaVertikala

Donji pojasDonji pojas

DijagonalaDijagonala

Rešetka je kruta, ako se rastojanja između Rešetka je kruta, ako se rastojanja između njenih čvorova nemogu menjati.njenih čvorova nemogu menjati.

Rešetka je kruta, ako se rastojanja između njenih Rešetka je kruta, ako se rastojanja između njenih čvorova nečvorova ne mogu menjati.mogu menjati.

xx

yy

θθn=3n=3

AA

BB

xx

yy

θθ

n=3n=3

Kruta rešetkaKruta rešetka

Labilna rešetkaLabilna rešetka

Oznake:Oznake:

k- broj čvorova rešetkek- broj čvorova rešetke

s-broj štapova rešetkes-broj štapova rešetke

Odnos između Odnos između ""ss"" i i ""kk"" kod rešetkastih nosača: kod rešetkastih nosača:

n=2k-sn=2k-s

s=2k-3s=2k-3→→Odnos između Odnos između ""ss"" i i ""kk"" kod krute kod krute rešetke u ravnirešetke u ravni

Rešetka u ravni je kruta ako je sastavljena Rešetka u ravni je kruta ako je sastavljena iz trouglova.iz trouglova.

k=9;s=15k=9;s=15

2k-s=18-15=3=n 2k-s=18-15=3=n

Određivanje reakcija rešetkastih nosača:Određivanje reakcija rešetkastih nosača:

RRBB

XXAAYYAA

Reakcije se određuju kao i kod punih nosača.Reakcije se određuju kao i kod punih nosača.

Statička određenost nosača:Statička određenost nosača:

Nosač je statički određen ako je broj uslova Nosač je statički određen ako je broj uslova ravnoteže jednak broju reakcija veza.ravnoteže jednak broju reakcija veza.

rrss+s-2k=0 (za ravan) i rs+s-3k=0 (za prostor)+s-2k=0 (za ravan) i rs+s-3k=0 (za prostor)

Ako postoje prekobrojne veze, nosač je statički Ako postoje prekobrojne veze, nosač je statički neodređen:neodređen:

n=2k-s-rn=2k-s-rss=2x7-11-4 =-1 =2x7-11-4 =-1

(1x statički neodr).(1x statički neodr).

Sila u štapu rešetke:Sila u štapu rešetke:

Mehanički utiacaj štapa na čvor rešetke, Mehanički utiacaj štapa na čvor rešetke, predstavlja silu u štapu rešetke.predstavlja silu u štapu rešetke.

Izračunavanje sila u štapovima rešetke:Izračunavanje sila u štapovima rešetke:

1.1. Dirketno postavljanje uslova ravnoteže čvorova-Dirketno postavljanje uslova ravnoteže čvorova--analitički način-analitički način (isecanje čvorova):(isecanje čvorova):

II11 22

4F4FIIII IIIIII

AABBYYBB

YYAA

XXAA 33 44 5566

77

aa aa aa aa

aa

Čvor A:Čvor A: (1)(1)ΣΣX=0: X=0: --XXAA++SS11+0.707S+0.707S33=0=0

(2)(2)ΣΣY=0: YY=0: YAA++0.707S0.707S33=0=0YYAA

XXAA SS33

SS11

AA

sin45sin4500= = =0.707 =0.707

2

2

SS11

SS44

SS22

SS55

IIČvor I:

(3)(3)ΣΣX=0: X=0: -S-S11+S+S22+0.707(S+0.707(S5 5 –S–S44) =0) =0

((4)4)ΣΣY=0:Y=0:0.707S0.707S4 4 +0.707S+0.707S55=0=0

Čvor B:

Čvor II:

Čvor III:

SS22

SS66BB

YYBB

(5)(5)ΣΣX=0: X=0: -0.707S-0.707S66-S-S22 =0 =0

((66))ΣΣY=0:Y=0:0.707S0.707S66 ++YYBB=0=0

SS33SS44IIIISS77

(7)(7)ΣΣX=0: X=0: 0.707(S0.707(S44-S-S33)+S)+S77 =0 =0

((88))ΣΣY=0:Y=0:-0.707(S-0.707(S33 ++S4)=0S4)=0

(9)(9)ΣΣX=0: X=0: 0.707(S0.707(S66-S-S55)-S)-S77-4F =0-4F =0

((1010))ΣΣY=0:Y=0:-0.707(S-0.707(S55 ++SS66)=0)=0SS55

SS77

SS66

IIIIII

4F4F

10 jed; 10nepoznatih:S10 jed; 10nepoznatih:S11, S, S2,2,SS33,S,S44,S,S55,S,S66,S,S7, 7, XXAA,Y,YA,A,YYBB