8/17/2019 sup_bc

1/2

FICHE 1

Introduction aux éléments finis

Comment faire pour ...

Prendre en compte d’autres conditions aux limites

(conditions de Neumann et de Robin)

Question 1.  Adapter le code Scilab de BBcamef pour que l’utilisateur puissechoisir les faces du carré sur lesquelles la condition de Dirichlet u =  g  est imposée(Γ ⊂  ∂ Ω). Modifier la boı̂te de dialogue et la fonction  maillage en conséquence.

Nous n’avons parlé jusqu’ici que des conditions aux limites de Dirichlet quiconsistent à imposer l’inconnue sur une partie du bord du domaine :

u(x, y) = g(x, y),   pour tout (x, y) ∈  ΓD  ⊂ ∂ Ω.

Il existe d’autres types de conditions aux limites, en particulier celles pour les-

quelles les dérivées du champ  u  sont données sur une partie ΓN   de la frontière.Ces conditions sont dites   conditions aux limites de Neumann . Par exemple, sil’on a affaire à l’équation de la chaleur, elles correspondent à la donnée du fluxde chaleur qui rentre ou qui sort par ΓN   et s’expriment par

κ∇u(x, y) · n(x, y) = F (x, y),   pour tout (x, y) ∈  ΓN .

Dans cette expression,  n  désigne le vecteur unitaire normal à la frontière ΓN pris, en général (mais ce n’est qu’une convention), dans le sens sortant et   κreprésente la conductivité thermique.

Nous pouvons aussi avoir une condition aux limites   « mixte  » qui relie de façonlinéaire le champ  u  et ses dérivées sur une partie ΓR de la frontière, par exemple

∇u(x, y) · n(x, y) + αu(x, y) =  k(x, y), ,   pour tout (x, y) ∈  ΓR.Ce type de condition est appelé  conditions de Robin  ou  condition de Fourier   ouencore condition d’impédance.

Considérons donc les problèmes

(P 1)

−∆u   =   f    dans Ω,u   =   g   sur ΓD,

∇u · n   =   h   sur ΓN ,(P 2)

−∆u   =   f    dans Ω,u   =   g   sur ΓD,

∇u · n   =   h   sur ΓN ,∇u · n + α u   =   k   sur ΓR,

avec ΓD ∪ ΓN   = ∂ Ω pour (P 1) et ΓD ∪ ΓN  ∪ ΓR =  ∂ Ω pour (P 2).

8/17/2019 sup_bc

2/2

R. Hassani Introduction aux ́eléments finis  

Question 2.   Pour le problème (P 1), montrer que dans la formulation varia-

tionnelle que l’on a étudiée

(P V )

  trouver u  ∈  U  vérifiant

a(u, v − u) = l(v − u)   ∀v ∈  U,

seule la forme linéaire  l  est modifiée en

l(v) =

 Ω

f v dΩ +

 ΓN 

h v dΓ.

Bien entendu,  U   désigne ici l’espace

v ∈  H 1(Ω) ;   v =  g  sur ΓD

.

Les composantes  F i  =  l(ϕi) du second membre  F , qui résultent d’une approxi-mation P 1, sont donc maintenant augmentées des termes   « surfaciques  »

e∈I i

 ΓN ∩∂ Ωe

h ϕi dΓ.

Ceux-ci peuvent-être calculés avant ou après la boucle sur les éléments ; il suffiten effet d’avoir en mémoire la liste des arêtes élémentaires ΓN e   := ΓN  ∩ ∂ Ωeformant le maillage de ΓN .

Question 3.  Modifier le code Scilab pour :– lire la liste des facettes ΓN e   du domaine qui composent ΓN ,– lire la fonction h,– extraire du maillage la liste des arêtes Γe.

On pourra utiliser un tableau   edge   = [n1 n2 n3...; m1 m2 m3...] permettant deŕecupérer les numéros (ne, me) des deux nœuds de chaque arêtes Γ

N e   .

Sur une arête donnée, ΓN e   , l’intégrale ΓN e

h ϕi dΓ est nulle si   i   n’est pas l’un

des nœuds de celle-ci (car dans ce cas   ϕi|ΓN e

= 0). Dans le cas contraire, on

pourra simplement estimer cette intégrale en remplaçant h  par la moyenne h̄e =(h(xne , yne) + h(xme , yme))/2 qu’elle prend aux deux extrémités de cette arête : 

ΓN e

h ϕi dΓ   1

2Leh̄e.

Question 4.   Ajouter à votre code Scilab une fonction qui calcule, à l’aided’une boucle sur les arêtes ΓN e   , ces termes suppĺementaires et les ajoute ausecond membre  F .

Question 5.   Considérons le problème (P 2). Montrer que la forme bilinéaire  aet la forme linéaire  l  sont maintenant

a(u, v) =

 Ω

∇u · ∇v +

 ΓR

α u v, l(v) =

 Ω

f v  +

 ΓN 

g v +

 ΓR

kv.

Question 6.   Établir alors que le problème discret s’écrit

(A+M R)U  = F 

où  A   est la matrice du laplacien,  M R   est la matrice   «  masse de bord   »   dontles éĺements sont  M ij   =

 ΓR

αϕiϕj   et  F   est le vecteur obtenu à la question 2

augmenté du vecteur de composantes ΓR

kϕi.

2