Departamento de Ingeniera Informtica y Ciencias de la Computacin

Facultad de Ingeniera

Universidad de Concepcin

Asignatura: Anlisis de algoritmos

Tarea 1

Integrantes: Pablo Flores Torres Matas Lermanda Sandoval Profesora: Mara Andrea Rodrguez Tastets Ayudante: Erick Elejalde Sierra Fecha: 20 de Abril de 2015

1. Considere el siguiente algoritmo donde la entrada es una matriz de n x (n + 1) de nmeros reales.

for i = 0 to n-1 do for j = i + 1 to n- 1 do for k = i to n do A[j, k]

public class matriz { public static void main(String[] args) { int matriz[][] = new int[3][4]; // Creamos una matriz de 3x4 como ejemplo int i, j, k, n = 3; // Inicializamos los valores de la matriz matriz[0][0] = 2; matriz[0][1] = 4; matriz[0][2] = 4; matriz[0][3] = 7; matriz[1][0] = 6; matriz[1][1] = 6; matriz[1][2] = 9; matriz[1][3] = 13; matriz[2][0] = 8; matriz[2][1] = 10; matriz[2][2] = 12; matriz[2][3] = 33; // Recorremos la matriz para verificar su configuracin inicial for (int x = 0; x < matriz.length; x++) { for (int y = 0; y < matriz[x].length; y++) { System.out.print(matriz[x][y]); } System.out.println(); } //proceso sealado en la tarea for (i = 0; i

Derive la complejidad del algoritmo.

Desarrollando cada for y la cantidad de veces en que se realiza cada uno podemos llegar a

la siguiente sumatoria:

S = 4*n(n-i+1)(n-i)

Extendiendo esta sumatoria se tiene:

i=0 -> 4n3 + 4n2

i=1-> 4n3 - 4n2

i=2-> 4n3 -12n2 +8n . . . i=n-1-> 8n

Por lo cual el trmino dominante es n3 y por lo tanto nuestra sumatoria S esta acotada de la

siguiente forma:

S cn3 con c R, n0 n

Lo que nos indica que en notacin Big-O la complejidad de este algoritmo es O(n3).

Existe alguna mejora posible al algoritmo?

Para mejorar el algoritmo cambiamos la funcin Enigma por el siguiente cdigo:

for (i = 1; i 2n-2 i=3-> 3n-3 . . . i=n-1-> n2 -2n + 1

Por lo cual el trmino dominante es n2 y por lo tanto nuestra sumatoria S esta acotada de la

siguiente forma:

S cn2 con c R, n0 n

Lo que nos indica que en notacin Big-O la complejidad de este algoritmo es O(n2). Siendo

mejor que el anterior algoritmo que tenia complejidad O(n3).

A continuacin se muestra el cdigo para que pueda ser probado y comprobar que realiza lo

mismo que el cdigo original.

public class matriz {

public static void main(String[] args) {

int matriz[][] = new int[3][4]; // Creamos una matriz de 3x4 como ejemplo

int i, j, k, n = 3;

// Inicializamos los valores de la matriz

matriz[0][0] = 2;

matriz[0][1] = 4;

matriz[0][2] = 4;

matriz[0][3] = 7;

matriz[1][0] = 6;

matriz[1][1] = 6;

matriz[1][2] = 9;

matriz[1][3] = 13;

matriz[2][0] = 8;

matriz[2][1] = 10;

matriz[2][2] = 12;

matriz[2][3] = 33;

// Recorremos la matriz para verificar su configuracin inicial

for (int x = 0; x < matriz.length; x++) {

for (int y = 0; y < matriz[x].length; y++) {

System.out.print(matriz[x][y]);

}

System.out.println();

}

//proceso mejorado

for (i = 1; i

2. Quickselect es el siguiente algoritmo simple para encontrar el k-esimo elemento ms pequeo en un conjunto desordenado S.

QuickSelect(S; k) Tome un elemento pivote p aleatoriamento de S Comparando p a cada uno de los elementos de S, divide S en dos partes: S1 = {x S : x < p} and S2 = {x S : x > p} if jS1j = k - 1 then return p if jS1j > k - 1 then return QuickSelect(S1; k) if jS1j < k - 1 then return QuickSelect(S2; k -|S1|- 1)

Determine el nmero esperado de comparaciones hechas por el QuickSelect en el

conjunto S de tamao n. Puede asumir que inicialmente k = n/2, el cual es el peor caso.

Primero que todo, por simplicidad suponemos que los nmeros del conjunto S no se repiten

y adems k |S| para conservar la correctitud del algoritmo de bsqueda.

Definimos nuestra variable aleatoria.

- X: nmero de iteraciones que realiza el algoritmo. En donde xi seala la i-sima iteracin.

Por lo tanto nuestra ecuacin para determinar la esperanza queda de la siquiente forma:

E[X] = E[ xi] = =

Expandiendo la sumatoria descrita anteriormente tenemos:

=

.

.

.

En donde el Si es el conjunto no seleccionado en la i-sima iteracin.

Al hacer los supuestos expuestos anteriormente y expandir la sumatoria nos damos cuenta

que es un caso muy complejo de analizar, por lo cual realizamos este intento por simplificar

el estudio del caso de las comparaciones y llegamos a buscar en internet si alguien ms

haba solucionado esta incgnita y nos encontramos con el estudio del matemtico y

experto en ciencias de la computacin Donald Knuth (1971) que demostr que Ck

n ,el

nmero medio de comparaciones necesarias para seleccionar el k-simo de entre n es:

Ckn = 2((n + 1)Hn - (n + 3 - j)Hn+1-k - (j + 2)Hk + n + 3)

El valor mximo se alcanza para k = n/2; entonces:

Ckn = 2(ln 2 + 1)n + O(n).

Lo que nos indica que el valor esperado de comparaciones para el k-simo elemento es

O(n)

Probabilidad de encontrar

el k-simo elemento en la

iteracin n

Probabilidad de no haber

encontrado el elemento

anteriormente