CBTA 261

Matemticas Aplicadas

Integral definida y problemas de rea

Gerardo FLIX

Fecha lmite: Primera clase de la semana 18-22 mayo

ACTIVIDAD:

ACTIVIDAD 1: Problema que dio origen al clculo integral.

Competencias a desarrollar:

Pendiente

Instrucciones: Investiga cual problema dio origen al clculo integral y da ejemplos de ello.

ACTIVIDAD 2: Problema de rea y sumas de Riemann

En esta seccin partimos de la base que el concepto de rea es bien conocido. Esto no significa que

el alumno deba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, sino ms bien que todos

poseemos una idea intuitiva que no necesita aclaracin. El tipo de regin ms simple con el que nos

podemos encontrar es un rectngulo, cuya rea se define como el producto de su base por su altura.

A partir de esta definicin podemos obtener las frmulas para el rea de regiones ms complicadas:

tringulos, paralelogramos, polgonos regulares, etc. El gran problema se plantea cuando se intenta

calcular el rea de regiones ms generales que las poligonales. Los primeros matemticos que

intentaron resolver el problema de una forma seria fueron los griegos, utilizando el mtodo de

exhaucin. Este mtodo, atribuido a Arqumedes, consiste en encajar la regin entre dos

polgonos, uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las reas de los dos polgonos es

pequea, entonces podemos aproximar el rea de la regin por cualquier nmero comprendido

entre el rea del polgono inscrito y el rea del polgono circunscrito. El mtodo que emplearemos

aqu es parecido. Se trata de aproximar la regin por una unin de rectngulos de tal forma que el

rea de la regin se aproxime por la suma de las reas de los rectngulos.

1. Una empresa constructora quiere comprar un terreno para lo cual realiza algunas mediciones y dibuja

el plano de la figura. Calcula el valor que deber pagar sabiendo que el metro cuadrado tiene un

precio de 3600 pesos.

2. Mediante el mtodo que estime conveniente, calcule el rea aproximada de las

figuras amorfas, en a) cm2 y b) mm2

Observacin: Copie las figuras I.2a y l.2b y dibjalas en una superficie independiente.

Si la figura tiene lneas rectas es posible dividirla en polgonos regulares.

ACTIVIDAD 3: Teorema fundamental del clculo (TFC)

Hasta este momento. La conexin fue descubierta de manera independiente por Isaac Newton y Gottfried

Leibniz. El parcial pasado aprendiste que la derivacin y la integracin son procesos inversos. De esta manera

un poco informal es como se entiende el teorema fundamental de clculo el cual se enuncia como:

La derivada de la integral de una funcin es la misma funcin. Es decir, si una funcin f(x) es continua en el

intervalo [a,b], y x es cualquier punto dentro del intervalo, se puede definir F(x) como:

()

As, la integral de f(x) puede verse como la antiderivada o primitiva de esa funcin. La importancia de este

Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Clculo (TFC 1), reside en dos

aspectos:

Relaciona las dos principales nociones del clculo, derivacin e integracin, demostrando que son

procesos inversos. Eso significa que si se integra una funcin continua, al derivarla despus se recupera

la funcin original.

Proporciona un mtodo simple para resolver muchas de las integrales definidas.

De este Teorema se desprende el Segundo Teorema Fundamental del Clculo (TFC 2), conocido tambin por

Regla de Barrow o Regla de Newton-Leibniz, que permite calcular fcilmente el valor de la integral definida a

partir de cualquiera de las primitivas de la funcin. Esto es, dada una funcin f(x) continua en el intervalo [a,b],

si F(x), es una funcin primitiva de f(x), es decir:

() = () ()

CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

1. Explica con tus propias palabras el Teorema Fundamental de Clculo.

2. Hasta este momento haz utilizado el smbolo de integral para aplicar la integral indefinida (una

familia de funciones) y para la integral definida (un nmero) desde tu punto de vista: Cmo se

utiliz primero? Argumenta tu respuesta.

3. Clasifica las siguientes integrales de acuerdo al TFC que se aplica en cada uno.