3. RESOLUCI DE PROBLEMES MITJANANT REGLES DE TRES SIMPLES DIRECTESEn Manel ha trigat 2 hores per escriure 6 pgines. Quantes pgines escriur en 6 hores?

PRIMER. Identifiquem les magnituds i esbrinem si hi ha relaci de proporcionalitatdirecta entre elles.

SEGON. Plantegem la regla de tres.

TERCER. Resolem la regla de tres.

Les magnituds Nre. de pgines Temps sn directament proporcionals.

Si en 2 hores 6 pginesen 6 hores x pgines

pgines26

6 6 62

18= =

=x

x

escriur

ha escrit

Ra directa

146

1. ESBRINA SI DUES MAGNITUDS SN DIRECTAMENTPROPORCIONALS

Un bolgraf costa 1,25 . Hi ha relaci de proporcionalitat directa entre el nombrede bolgrafs comprats i el preu total?

PRIMER. Construm una taula amb els valors de les dues magnituds.

SEGON. Les magnituds sn directamentproporcionals si el quocient de les dadescorresponents s constant.

1 2 3 451,25 2,5 3,75

0,8= = = =

2. ESBRINA SI DUES MAGNITUDS SN INVERSAMENTPROPORCIONALS

Una impremta triga 12 minuts a imprimir un llibre. Si fossin 2 impremtes, es trigaria 6 minuts... Hi ha relaci de proporcionalitatinversa?

PRIMER. Construm una taula amb els valors de les dues magnituds.

SEGON. Les magnituds sn inversamentproporcionals si el producte de les dadescorresponents s constant.

1 12 = 2 6 = 3 4 = 4 3 = 12

FES-HO AIX

Nre. de bolgrafs 1 2 3 4

Preu () 1,25 2,50 3,75 5 Nre. dimpremtes 1 2 3 4

Temps (min) 12 6 4 3

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 146

PROPORCIONALITAT NUMRICA7NOM: CURS: DATA:

Esbrina si dues magnituds sn directamentproporcionals

1. Si amb 150 g dametlles podem fer un torr de 200 g, quina quantitat dametlles necessitemper preparar 75 g de torr?a) 56,25 g b) 400 g c) 50 g d) 100 g

Esbrina si dues magnituds sn inversamentproporcionals

2. Si 3 bombes daigua triguen 12 dies per buidarun dipsit, 4 bombes trigaran:a) 48 dies b) 9 dies c) Menys dies

Resoluci de problemes mitjanant regles de tres simples directes

3. Amb 40 vaques, lAdela ven 750 de lletdiriament. Per vendren 1.200 necessita:a) 25 vaques b) 64 vaques c) 2.250 vaques

Resoluci de problemes mitjanant regles de tres simples inverses

4. Per pintar un edifici en 30 dies sha previst que caldran 10 pintors. Si hi hagus 15 pintors es trigaria:a) 20 dies b) 45 dies c) 5 dies

Clcul del terme desconegut en un problemade percentatge

5. De 1.500 alumnes, 1.200 practiquen esport. Quinpercentatge dalumnes practiquen esport?a) 70 % b) 30 % c) 90 % d) 80 %

Clcul daugments i disminucionspercentuals

6. Mhan augmentat la paga el 5 %. Si abans em donaven 15 , ara em donaran:a) 0,75 b) 15,75 c) 15,50 d) 16

I ARA PRACTICA

147

5. CLCUL DEL TERME DESCONEGUT EN UN PROBLEMA DE PERCENTATGE

Un jugador ha encistellat 15 tirs lliures de 25.Quin s el seu percentatge dencert?

PRIMER. Plantegem una regla de tres.

Si de 25 tirs 15 encerts de 100 tirs x encerts

SEGON. Calculem el terme desconegut.

25100

15 100 1525

60= =

=x

x %

25

10015

=x

6. CLCUL DAUGMENTS I DISMINUCIONS PERCENTUALS

Un anell que costa 80 lhan rebaixat el 12 %.Quant costa ara?

PRIMER. Determinem el tant per cent. Augmentar el t % s calcular el (100 + t) %. Disminuir el t % s calcular el (100 t) %.

Rebaixar el 12 % Calcular el (100 12) %

SEGON. Calculem el tant per cent.

(100 12) % de 80 = 7,40 8088

100 =

4. RESOLUCI DE PROBLEMES MITJANANT REGLES DE TRES SIMPLES INVERSESSi 30 gallines consumeixen un sac de pinso en 10 minuts, quant trigaran 50 gallines?

PRIMER. Identifiquem les magnituds i esbrinem si hi ha relaci de proporcionalitat inversa entre elles.

SEGON. Plantegem la regla de tres.

TERCER. Resolem la regla de tres.

Les magnituds Nre. de gallines Tempssn inversament proporcionals.

Si 30 gallines 10 min50 gallines x min

min3050 10

30 1050

6= =

=x

x

trigaran

triguen

Ra inversa

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 147

148

ActivitatsRA I PROPORCI

36. A una bta amb 4 de vi hi afegim 0,4 daigua.Esbrina la ra entre vi i aigua.

37. Per terme mitj dormim 8 hores al dia. Quina sla ra entre el temps que dormim i el temps total?Quant de temps has dormit, de mitjana, fins a lactualitat?

38. Expressa la ra anterior per a aquests casos:

a) Temps despert i temps total.b) Temps dormit i temps despert.c) Temps total i temps dormit.

39. Dels 500 habitants dun poble, 300 sn dones.Troba la ra entre homes i dones.

40. Esbrina si sn correctes aquestes proporcions:

a) b)

41. Forma proporcions a partir de les igualtats:

a) 5 8 = 20 2 c) 5 8 = 10 4b) 7 4 = 14 2 d) 6 5 = 15 2

42. Comprova que 422 = 12 147 i dedueix-ne una proporci.

43. La ra entre les probabilitats de guanyar

de dos equips A i B s . Qu significa aquesta

ra? Podries calcular, en tant per cent, les possibilitats de victria de A? I les de B?

5

3

52

8=

3,2104

16=

6,4

TERME DESCONEGUT DUNA PROPORCI

44. Calcula x en aquestes proporcions:

a) b) c)

45. Calcula el valor de a, b i c en aquestes

proporcions: .

46. Troba el terme que falta perqu els nombressegents formin una proporci:

a) 24, 51 i 104 b) 5, 6 i 40 c) 3, 5 i 12

48. Troba dos nombres iguals que forminproporci amb els nombres segents:

a) 4 i 49 b) 1 i 0,64 c) i

49. Calcula quant val x en la proporci

.

50. Calcula a i b si saps que

i que s la constant de proporcionalitat.

51. Calcula a i b si saps que a + b = 15

i que .

52. Troba dos nombres que tinguin 2,25 de ra i que sumin 65.

7 28

a b=

8

9

a

b45

16=

3

5 20

15

70

++

=x

2720

35

3

5

18

25 12= = =

a

b c

2,41,5

=8x

4 53x

=x4

3=

1

COM CALCULEM ELS MITJANS O ELS EXTREMS DUNA PROPORCI QUAN SN IGUALS?

47. Calcula x en la proporci: .

PRIMER. Apliquem la propietat fonamental.

SEGON. Resolem lequaci que en resulta.

Aix doncs, la proporci s: .168

84

=

x x2 64 64 8= = =

164

16 4 642x

xx x x= = =

16

4x

x=

FES-HO AIX

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 148

149

3 9 6 30

5 15 10 50

2 5 3 10

4 10 6 20

1 2 4 5

3 3 6 9

3 9 15 6

4 16 20 8

A 6 5 30

B 90 54

A 2 6 15 4

B 75

Temps de lectura 5 min 10 min 15 min 20 min

Pgines llegides 2

Temps de fabricaci

18 min 36 min 54 min 72 min

Nre. dobjectesfabricats

4

A 2 5 9 17

B 7

A 2 3 6 11

B 5

A 5 7 9 16

B 4

A 3 4 10 13

B 9

A 2 4 8 16 1,5 6,4

B 8 4 2 0 10 2,5

A 10 15 20 25 30 35

B 5 3 2,5 2 1,5 1,3

MAGNITUDS INVERSAMENTPROPORCIONALS

57. Estudia si la relaci que hi ha entre aquestesparelles de magnituds s de proporcionalitat, i en el cas que ho sigui, si s directa o inversa:

a) Velocitat i temps en un moviment amb velocitatconstant.

b) Espai i temps en un moviment amb velocitatconstant.

c) Nombre de persones que es reparteixen un pasts i tros que els toca a cadasc.

d) Nombre dhores que un alumne mira latelevisi i nombre dhores destudi.

e) Quantitat de diners que estalvia una famlia i quantitat de diners que dedica a despeses.

f) Quantitat daprovats i quantitat de suspensosen una assignatura.

g) Nombre de paletes i temps que triguen per construir una paret.

h) Nombre de persones que mengen i quantitatdaliment.

i) Nombre de persones que participen en lacompra dun regal i diners que hi aporten.

j) Nombre de jornalers i temps que triguen en la recollida de loliva.

58. Completa les taules segents si saps que A i B representen magnituds inversamentproporcionals. Troba la constant de proporcionalitat en cada cas.

a) b)

59. Crea una taula de valors que relacioni duesmagnituds inversament proporcionals que tinguinles constants de proporcionalitat segents:

a) 36 b) 48 c) 60 d) 140

60. Corregeix aquestes taules si A i B snmagnituds inversament proporcionals:

a)

b)

MAGNITUDS DIRECTAMENTPROPORCIONALS

53. Assenyala si les parelles de magnituds segents sn directamentproporcionals o no:

a) Temps en qu somple una ampolla i quantitatde lquid a linterior.

b) Nombre de persones que participen en unaexcursi i diners que paguen.

c) Nombre dhores treballades i diners cobrats.d) Edat i pes duna persona.e) Costat dun quadrat i rea.f) Costat dun quadrat i permetre.g) Nombre dobrers i durada duna obra.h) Velocitat i temps en un moviment amb velocitat

constant.

54. Comprova si aquestes taules corresponen amagnituds directament proporcionals:

a) c)

b) d)

55. Completa la taula i troba la constant de proporcionalitat directa en cada cas:

a)

b)

56. Completa les taules segents si saps que A i B representen magnituds directamentproporcionals. Troba la constant de proporcionalitat directa en cada cas.

a) c)

b) d)

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 149

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT

61. En una fbrica de cotxes es fan 300 unitats cada5 hores. Quants cotxes es fabricaran en 12 horessi es mant el mateix ritme?

62. Un pintor cobra 425 per 5 dies de feina.Quant cobrar per 7 dies?

63. Quatre tractors llauren un camp en 6 hores.Calcula el temps que trigarien 6 tractors per llaurar-lo.

64. Vuit persones recullen les taronges dun camp en 9 hores. Quant trigarien a fer-ho 6 persones?

65. Duna deu hem recollit 200 litres daigua en 4 minuts. Quants litres obtindrem en 7 minuts?

66. Tres cavalls consumeixen una crrega de farratge en 10 dies. Quant els durar la mateixaquantitat de farratge a 5 cavalls?

67. Quatre excavadores han obert les voreres dun carrer en 14 dies. Per fer-ho en 7 dies,quantes excavadores caldrien?

68. Per fer dues camises calen 4,5 m de roba.

a) Quanta roba cal per fer 3 camises?

b) I per fer 7 camises?

c) Quantes camises es poden fer amb 15 m de roba?

69. Amb una velocitat de 20 nusos, un vaixell fauna travessia en 8 hores. Troba la velocitat dun altre vaixell que fa la mateixa travessia en 6 hores i mitja.

150

70. Per fer una paella necessitem 2 gots daigua per cada got darrs. Si hi tirem 4 gotsi mig daigua, quants gots darrs hi hauremdafegir?

71. Els meus cabells creixen 1 cm cada 3 setmanes.Expressa-ho com una ra. Escriu la proporci delcreixement dels meus cabells al cap de 7 setmanes.

72. LAlcia i lAntoni reparteixen propaganda.Els 5 paquets de lAlcia pesen 6 quilos. Quant pesen els 7 paquets de lAntoni?

73. La propietria duna pensi t menjar per alimentar els seus 18 hostes durant 12 dies. Si vnen 6 hostes nous, per a quants dies tindran menjar?

74. La Maria escriu dues pgines en mitja hora.

a) Quantes pgines escriur en 3 hores?b) Quant de temps trigar per escriure 84 pgines?

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DENGRANATGES?

75. En un rellotge antic, un engranatge t dues rodes, de 18 i 12 dents, respectivament. Si la roda gran fa 6 voltes, calcula quantes voltes fa la petita.

PRIMER. Comprovem el tipus de proporcionalitatque tenen les magnituds.

Amb 18 dents 6 voltesAmb 36 dents 3 voltes

La relaci de proporcionalitat s inversa.

SEGON. Es planteja una regla de tres.Dents Voltes

La roda de 12 dents far 9 voltes.

x =

=18 6

129ra inversa

18 612 x

far

fa

FES-HO AIX

receptes

RRS

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 150

151

76. Dues rodes dentades engranen mtuament.La primera t 20 dents, i la segona, 50. Si la primera ha fet 5.000 voltes, quantes voltes ha fet la segona?

77. Les rodes del darrere i del davant dun cotxe tenen 1,3 m i 1 m de dimetre, respectivament. Si les rodes del darrere han fet 260 voltes,quantes nhan fet les del davant?

78. He pagat 60 per labonament de la piscinadaquest estiu, per noms hi puc anar 45 dies. Si lentrada normal costa 1,25 al dia, estalviardiners havent comprat labonament?

79. A la taula segent veiem loferta duns gransmagatzems si comprem un nombre determinat de litres de llet. Sn directament proporcionalslobsequi i la compra?

80. A la taula segent veiem loferta duna fruiteria si comprem un nombre determinat de quilos de patates. Sn directament proporcionals lobsequi i la compra?

Quina quantitat de patates hem de comprarperqu ens en regalin 10,5 kg?

81. La relaci entre la diferncia de potencial(volts) entre els dos extrems dun determinat cableconductor i la intensitat de corrent (crrega que passa pel cable) s igual a la resistncia delcable conductor. Aquesta llei va ser establerta per George Ohm lany 1827 i sescriu aix: V = I R; s a dir, la diferncia de potencial i la resistnciasn inversament proporcionals.

Esbrina la intensitat de corrent I que circula pelcircuit de la figura. I si la resistncia hagus estatde 7,5 ?

83. Lautobs de Cap Amunt surt a les 12 delmigdia en direcci a Cap Avall. Una hora i deuminuts ms tard surt de Cap Amunt un autombilamb la mateixa direcci. Si lautobs circula a 80 km/h i lautombil va a 95 km/h:

a) Quant trigar el cotxe a agafar lautobs?

b) Si la distncia entre les dues poblacions s de 146 km, el cotxe agafar lautobs abansdarribar a Cap Avall?

Litres comprats 40 55 75 100

Litres obsequiats 1 2 3 5

Quilos comprats 20 40 60 80

Quilos obsequiats 1,5 3 4,5 6

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MBILS?

82. Un caminant i un ciclista van per la mateixacarretera. El caminant va a una velocitat de 4 km/h, i el ciclista, de 20 km/h.

a) Si surten alhora, des de punts oposats que disten entre si 12 km, quant trigaran a trobar-se?

b) Si surten del mateix punt i el caminant t un avantatge de 4 km, quant de tempstrigar el ciclista per agafar-lo?

PRIMER. Sumem o restem les quantitats, segonsque la direcci sigui diferent o la mateixa.

a) VELOCITAT PER TROBAR-SE = 20 + 4 = 24 km/hb) VELOCITAT PER AGAFAR-LO = 20 4 = 16 km/h

SEGON. La ra entre la distncia que els separa i la velocitat a la qual saproximen s el temps, t.

a) per trobar-se.

b) per agafar-lo.t = = =distnciavelocitat

0,25 h4

16

t = = =distnciavelocitat

0,5 h1224

FES-HO AIX

4 km/h12 km

F20 km/h

G

4 km/h

4 kmF

20 km/hF

V=

9V

R = 2,5 I

830863 _ 0135-0154.qxd 2/1/08 12:08 Pgina 151

152

84. Una aixeta aboca un cabal de 25 /min i ompleun dipsit daigua en 1 hora i 20 minuts. Quanttrigar a omplir el mateix dipsit una altra aixetaamb un cabal de 20 /min?

85. En una banyera, laigua arriba a 12 cm daltura amb una aixeta que treu 180 ml/s daigua en 12 minuts. Si laixeta tragus 90 ml/s, a quina altura arribaria en el mateix temps?

87. Una piscina t dos desguassos. El primertriga 8 hores per buidar la piscina. I quan sobreel segon desgus, la piscina triga 6 hores perbuidar-se. Quant de temps trigar a buidar-se si obrim tots dos desguassos alhora?

88. Dos desguassos iguals buiden una bassadaigua en 4 hores i quart. En quant de temps es buidaria si obrssim tres desguassos?

89. Una aixeta omple un estany en 8 hores. Com a conseqncia duna avaria, laixeta abocatan sols 2/3 parts del seu cabal. Per omplirlestany encara falten les 3/4 parts. Quants de temps trigar ara laixeta per omplir-lo?

90. Un arquitecte calcula acabar un edifici en un any i mig, amb lajut de 36 obrers. Si li concedeixen un prrroga de mig any, de quants obrers pot prescindir?

PROBLEMES AMB PERCENTATGES

91. En un poble hi ha 2.350 habitants. Si el 68 % sn nens, esbrina el nombre de nensdel poble.

92. En una classe de 30 alumnes, nhan faltat 6.Quin ha estat el percentatge dabsncies?

93. De 475 persones, a 76 els agrada el futbol. A quin percentatge de persones no els agrada el futbol?

94. El 18 % duna collita denciams sn 10.800 kg.Quants quilos t la collita?

95. Un vestit costa 280 . Si napugen el preu el 12 %, quant costar?

96. Les reserves daigua duna comarca eren de 350 hm3. Si han augmentat el 12 %, quines sn les reserves actuals?

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DOMPLIR I BUIDAR?

86. Una aixeta A triga 36 hores a omplir una piscina, i una altra aixeta B triga 24 hores.Si obrim totes dues aixetes alhora, quanttrigar a omplir-se la piscina?

PRIMER. Redum a la unitat en cada aixeta.

Aixeta A i aixeta B, en 1 hora, omplen:

parts de piscina

SEGON. Redum a la unitat en totes dues aixetes.

parts de piscina en 1 h parts

de piscina en h parts de la piscina

en

Totes dues aixetes trigaran a omplir-la 14 h 24 min.

7215

14 = h 24 min

7272

15

172

572

136

124

572

+ =

Aixeta A, en 1 hora, omple:1

36parts de piiscina

Aixeta B, en 1 hora, omple:1

24partts de piscina

FES-HO AIX

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 152

153

97. Dels 1.200 alumnes dun institut, el 25 %practiquen atletisme; el 15 %, bsquet, i el 40 %,futbol. Calcula el nombre dalumnes quepractiquen cada esport i el percentatge dels que no el practiquen.

98. Tres excursionistes senduen aliment per a la seva estada a la muntanya. Quan arriben al refugi descobreixen que tenen el 15 % ms de provisions. Si disposen de 402,5 kg de menjar, esbrina quant en tenien al principi.

99. Un establiment venia el caf a 5 /kg. Si ara el ven a 4,75 /kg, calcula el percentatgede descompte que hi ha aplicat.

100. Volem fer la fotocpia duna lmina, de la qual reduirem laltura de 12,5 cm a 6 cm.Quin percentatge de reducci hi aplicarem?

102. Calcula el capital final que retiraremdesprs de 6 anys si sinverteixen:

a) 10.000 , al 3,5% anual.b) 5.000 , al 4% anual.

103. A quin tant per cent shan invertit 12.000 durant 3 anys si shan obtingut 900 de benefici?

104. Durant quants anys hem invertit 15.000 al 2,8 % si desprs tenim 17.100 ?

INVESTIGA

105. Aquesta s la situaci que es va plantejarquan lAlfred va anar a comprar un televisor.

Penses que lAlfred i la dependenta parlen del mateix preu?

106. Una fotocopiadora triga una hora per fer m fotocpies. I una altra, per fer el mateixnombre de fotocpies, triga una hora i mitja.Quants minuts trigaran totes duesfotocopiadores per fer alhora aquest nombre m de fotocpies?

107. Al segle VIII, un monjobenedict angls conegut amb el nom de Beda el Venerable vaplantejar aquest curis problema.

Un testador a punt de morir deixadit en la seva herncia: Com quela meva dona aviat donar a llum,atorgar la meva herncia enfunci del sexe de la meva prole: sis nen li deixar 2/3 de lherncia,i a la seva mare, 1/3; i si s nena, li deixar 1/3 de lherncia, i a lameva dona, 2/3. El testador esmor, i al cap duns quants dies la vdua dna a llum una parella de bessons de diferent sexe.Com shan de repartir lherncia?

1.600 ms el 10 % dIMPOSTOS

A aquest preu cal afegir-hi

el 12 % dIVA.

Doncs llavors li pago1.600 ms el 22 %.

OFERTA

12,5 cm

COM CALCULEM LA QUANTITAT FINAL DUNA INVERSI?101. Invertim 3.000 al banc a un rdit del 5 %

anual. Quina quantitat de diners tindremdesprs de 10 anys?

PRIMER. Calculem el benefici anual.

Benefici anual 150

SEGON. Multipliquem el benefici anual pel nombredanys que mantenim la inversi.

Benefici = 150 10 = 1.500

TERCER. Sumem els beneficis a la quantitat inicial.

Quantitat final = 3.000 + 1.500 = 4.500 Desprs de 10 anys tindrem 4.500 .

= =3 0005

100.

FES-HO AIX

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 153

154

108. La Margarida Garcia s una bilogaespecialitzada en amfibis.

Est investigant la propagaci de malaltiesen les comunitats

de granotes. Per fer-ho, ha buscat un estany

en el qual, a simple vista,nhi ha una gran

quantitat.

La primera tasca sdeterminar el nombre

de granotes que hi ha a lestany.

Ha repetit el procs tres vegades i aquests snels resultats que ha obtingut:

Quantes granotes, aproximadament, hi ha a lestany?

109. Al parc que hi ha al costat de lescola hi ha una esplanada on juguem a futbol.

Al costat daquesta esplanada hi ha un terrenyen el qual shan plantat flors. Per protegir-les es construir una tanca on es collocaran 800 llistons de fusta, que tindran una separacide 15 cm entre si.

110. En Sebasti practica atletisme i haparticipat en diverses competicions, per fins lany passat no va crrer la primera marat.

A en Sebasti li va agradar tant lexperinciaque ha decidit entrenar-se professionalment i ha buscat un entrenador.

En quin percentatge disminuir el temps en qu correr la marat respecte del temps de lany passat?

A la vida quotidiana

Farem el segent...Posem una xarxa a lestany i comptem les granotes

que atrapem. Els fem una petita marca amb tint i les tornem a lestany.

Tornem a posar la xarxa, comptem les granotes quetraguem i anotem les que tenen la marca de tint.

El problema s que tan sols tenim 600 llistons...A quina distncia els haurem de collocar els uns

dels altres per cobrir les flors?

Si segueixes de manera estricta aquest pla dentrenament, quan acabi lany la teva

velocitat haur augmentat el 25 %.

1a extracci

96 granotes

2a extracci

80 granotes

EXPERIMENT 2

9 marcades

1a extracci

182 granotes

2a extracci

195 granotes

EXPERIMENT 1

38 marcades

1a extracci236 granotes2a extracci

204 granotes

EXPERIMENT 3

51 marcades

830863 _ 0135-0154.qxd 17/12/07 09:18 Pgina 154

830863014683086301478308630148830863014983086301508308630151830863015283086301538308630154