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INDICE
Contenidos: Página: Tema I. Elementos del diseño de los sistemas de control de procesos industriales…………………….. 3 Tema II. Control de Procesos Multivariables…………………... 35
Tema III. Control de Procesos Industriales…………………….. 65
3.1. Control de Generadores de Vapor…………………... 65
3.2. Control de Torres de Destilación……………………. 91
Bibliografía……………………………………………………..112
3
Tema I: Elementos del diseño de los sistemas de control de procesos industriales. 1.1 Pasos fundamentales en el Diseño de Sistemas de Control.
Fig.1.1.-Diagrama de bloques de los pasos fundamentales en el Diseño de Sistemas de Control.
Selección de parejas: variable controlada-variable manipulada
Información de procesos existentes
Definir objetivos del sistema de control
Objetivos de la dirección
Principios físicos-químicos
Datos experimentales del proceso
Obtención del modelo
del proceso Simulación con computadora
Configuración de Control. Estrategia de Control. Ajuste inicial de los
parámetros del controlador
Teoría del Control
Control de Procesos
Experiencias de plantas existentes
Simulación en computadoras
Selección de componentes de
medición y control
Información de suministradores
Cálculos para la selección
Experiencias de plantas existentes
Instalación del sistema
Ajuste final de los parámetros del controlador en planta
4
1.1.2 Objetivos del Sistema de Control: Seguridad Operacional, Producción, Economía. Estos objetivos generalmente se identifican con los objetivos operacionales y económicos del proceso productivo.
1.1.3 Obtención del modelo del proceso. Existen dos vías para obtener el modelo del proceso:
- Modelo teórico o analítico. Se obtiene empleando los principios de la física y la química (Balances de flujo másico y/o flujo energético a régimen no estacionario)
- Modelo empírico o experimental. Se obtiene a partir del tratamiento matemático-estadístico de datos experimentales del proceso.
1.1.4 Configuraciones de Control.
1. Configuración de control retroalimentado.
Objetivo de Seguridad Está vinculado con las normas de seguridad en la operación de la planta y con el cumplimiento de las regulaciones ambientales.
Objetivo de producción Está vinculado con las especificaciones técnicas de la producción del artículo (calidad, cantidad)
Objetivo de económico Está vinculado con la producción del artículo a producto con la calidad deseada, a bajo costo.
Modelos empíricos
- Procesando la respuesta transitoria a un escalón o un pulso
- Procesando la respuesta frecuencial a una función sinusoidal o a un pulso
5
a) Simple lazo retroalimentado.
Fig 1.2.- Diagrama de un lazo de control retroalimentado.
El sistema de control realimentado se basa en la medición de la variable controlada y en el error (entre la variable controlada y el valor deseado), que la perturbación origina. Este sistema de control, modifica el valor de la variable manipulada después que la variable controlada se ha desviado del valor deseado. b) Doble lazo retroalimentado (cascada).
Fig 1.3- Diagrama de lazo de control en cascada.
2. Control anticipatorio retroalimentado. El sistema de control anticipatorio, se basa en la medición de la perturbación antes de entrar al proceso y en la comparación entre ésta y el valor deseado de la variable controlada. Este sistema “modifica el valor de la variable
Controlador retroalimentado
Válvula Proceso
Sensor Transmisor
_
1. Valor deseado de la variable controlada
2. Error 3. Variable manipulada 4. Perturbación 5. Variable controlada
(1) (2) (3)
(4) (5)
(1) Valor deseado de la variable controlada
(2) Perturbación (3) Variable controlada
_
(1) Controlador
primario Proceso
(2)
Válvula Controlador secundario
Transmisor secundario
_
Transmisor secundario
(3)
6
manipulada antes que la variable controlada sea afectada por la acción de la perturbación”, es decir, la medición de la perturbación produce una acción correctiva que se inicia de inmediato con el objetivo de cancelar o reducir su efecto en la variable controlada.
En la práctica, muchos sistemas de control anticipatorio son instalados como sistemas combinados con lazos retroalimentados (control anticipatorio retroalimentado), porque con la sola acción del controlador anticipatorio no es posible una satisfactoria compensación en las siguientes situaciones:
- Inexactitud en la medición de la perturbación - Proceso con tiempo murto apreciable - Cuando el proceso experimenta cambios en su comportamiento, como
consecuencia de la suciedad del equipo o del cambio en la propiedades de los fluidos tecnológicos.
- Existencia de perturbaciones que no se miden. En el diagrama de bloques anterior:
- GC(s): Función de transferencia del controlador retroalimentado - GA(s): Función de transferencia de la acción anticipatorio del
controlador - L(s): Perturbación que afecta al proceso - GV(s): Función de transferencia de la válvula de control - GP(s): Función de transferencia del proceso sometido a la variación del
flujo regulado por la válvula - GPL(s): Función de transferencia del proceso sometido a la variación de
la perturbación
GC(s) GV(s) GP(s)
GT(s)
_
Fig 1.4.-Lazo de Control Anticipatorio retroalimentado
R(s)
Controlador retroalimentado
L(s)
GA(s)
GP L(s)
R(s)
Controlador anticipatorio
C(s) GC(s) GV(s) GP(s)
GT(s)
_
Fig 1.4.-Lazo de Control Anticipatorio retroalimentado
R(s)
Controlador retroalimentado
L(s)
GA(s)
GP L(s)
R(s)
Controlador anticipatorio
C(s)
7
El control de relación es una configuración anticipatorio retroalimentada especial. El control de relación consiste en mantener constante la relación entre dos variables medidas, mediante la regulación de una de ellas, denominada variable secundaria, como una función de la otra, variable primaria.
- Control de relación: En un sistema de control de relación, la variable controlada es la relación de dos variables medidas: K = x1/x2, donde K es la constante de la relación entre las variables medidas, x1 y x2 son las variables medidas.
El control de relación, consiste en mantener constante la relación entre dos variables medidas, mediante la regulación de una de ellas, denominada variable secundaria, como una función de la otra, variable primaria. Control de relación: Cuando se comparan valores de las constantes.
Fig 1.5.- Diagrama de control de relación con comparación del valor de las constantes. Control de relación: Cuando se comparan valores de las variables.
Fig 1.6.-Diagrama de control de relación con comparación del valor de las variables.
Controlador Válvula Proceso
%
_
R=K
X2
X1
X1: variable primaria X2: variable secundaria
T2 T1
T2
T1
X1
X2
1/K
R=X1 / K
Controlador Válvula Proceso _
8
3. Control Selectivo
- Control de Protección: Se implementa en el control con lazo retroalimentado de una variable pero tomando en cuenta que otra variable del proceso no exceda un valor límite máximo o mínimo.
Fig. 1.7.- Diagrama de control selectivo Para h > hm, IC1 < IC2
Para h = hm, IC1 > IC2
- Control Subastador: Esta configuración se emplea para seleccionar de un conjunto de variables medidas de igual naturaleza, aquella con el mayor o menor valor y alimentada al único controlador existente.
Fig 1.8.- Diagrama de Control Subastador.
LT LC LS FC
FT
Qe
hm
It2 Ic2 Ic1
It1 Iss
Qs
hm: Nivel mínimo en el tanque LC: Controlador de nivel FC: Controlador de flujo Iss: Corriente de salida del selector
TI1 TI2 TI3 TI4 TI5
T1
T2
T3
T4
T5
Selector
TI5
9
4. Configuración de Control Inferencial Esta configuración se emplea para controlar una variable que no se mide, que es afectada por una perturbación que tampoco se mide, que es afectada por una perturbación que tampoco se mide y por una variable manipulada que se mide.
Fig.1.9.a Esquema del Proceso y sus perturbaciones.
Fig.1.9.b- Diagrama de Control Inferencial.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )sCsGsG
sMsGpsGsG
sGpsCL
L
L
L2
2
12
2
11 +
−=
∧
à Ecuación de la variable
controlada estimada. 1.2 . Estrategia de Control Las perturbaciones causan que la variable controlada se desvié del valor deseado, por tanto la acción de control tiene que ser cambiada para mantener
GL2(s) GL1(s)
Gp1(s)
Gp1(s)
L(s)
M(s) C1(s)
C2(s)
C1(s): variable controlada (no medida) C2(s): variable secundaria (medida) M(s): variable manipulada (medida) C1(s) = Gp1(s) M(s) + GL1(s) L(s) C2(s) = Gp2(s) M(s) + GL2(s) L(s)
Proceso
Proceso
Controlador Proceso
Estimador
R(s) L(s)
C1(s) C2(s)
M(s)
( )sC∧
( )sC∧
: Variable controlada estimada
Configuración inferencial
10
la variable de salida a régimen estacionario en el referido valor. Lo anterior se puede logar mediante varias vías o estrategias de control. La estrategia de control es un conjunto de ecuaciones, reglas (algoritmos) con las cuales se determinan las acciones de control necesarias que especifican un comportamiento dado en la variable controlada. Clasificación: Estrategias de Control:
1.2.1 Particularidades de los controladores basados en modelo.
I. Controlador de estructura “PID”: Aquí el modelo del proceso es empleado para determinar los valores “óptimos” de los parámetros del controlador con estructura PID.
II. Controladores de “Síntesis Directa”: En estos controladores, el modelo del proceso está presente en su algoritmo. Ejemplos: Controlador (IMC, Deadbeat (Batimiento), Dahlin, Predictor de Smith, etc.)
- Basado en modelo
§ PID (Analógico y Digital) § IMC (Analógico y Digital) § Deadbeat (Digital) § Dahli (Digital) § Predictor de Smith (Digital)
§ Sistemas Experto § Lógica Borrosa § Redes Neuronales
- Basado en conocimiento
11
Estrategias de control según tipo de señal y tipo de sistema
IMC: Control con Modelo Interno DMC: Matriz Dinámica de Control Controladores Predictivos GPC: Control Predictivo Generalizado 1.3 . Métodos para el ajuste inicial de los parámetros de controladores PID
I. Métodos basados en la respuesta transitoria. a. Métodos que emplean la respuesta transitoria a lazo abierto del
proceso representado por un modelo de primer orden con tiempo muerto para obtener la respuesta del proceso a lazo cerrado con relación de caída ¼ o con mínima integral del error.
Estructura del modelo del proceso a lazo abierto.
( )1+
=−
TsKe
sGsθ
donde: G(s) = Gv(s)Gp(s)Gt(s)
K: ganancia adimensional
Sistemas SISO
Continuo PID, IMC
Discreto PID, Dahlin, Adoptivo IMC, Batimiento, DMC Predictor de Smith, GPC
Continuo Control Multilazo PID o IMC Control Multilazo PID con desacopladotes Control Adaptativo DMC o GPC
Discreto Control Multilazo PID o IMC Control Predictivo Control Multivariable
Sistemas MIMO
12
Métodos para relación de caída ¼ Métodos para la mínima integral del
error § Cohen-Coon (CC) § Ziegler-Nichols (ZN)
§ IAE § ISE § ITAE
II. Métodos basados en la respuesta frecuencial Métodos que emplean la respuesta frecuencial a lazo abierto del proceso representado por modelos de diferente orden y respuesta especifica del proceso a lazo cerrado. § Método de Ziegler-Nichols de los oscilaciones continuas § Método del Margen de Ganancia § Método del Margen de Fase Ajuste de los parámetros de controladores con estructura PID El ajuste es el procedimiento mediante el cual se acomodan los parámetros de controladores por retroalimentación para obtener una respuesta específica del lazo cerrado de un proceso con características dinámicas.
1.4 . Métodos de ajuste basados en la respuesta transitoria.
En cualquiera de estos métodos:
mC
entradadeseñallaenCambiosalidadeseñallaenfinalCambio
K∆∆
==
El tiempo muerto (θm) y la constante de tiempo (T) se pueden determinar al menos mediante dos procedimientos, con cada uno de los cuales se obtienen valores diferentes.
Métodos basados en el modelo del
proceso 1
)(+
=−
TsKe
sGsmθ
y respuesta
¼ de relación de amortiguamiento.
§ Cohen-Coon § Ziegler-Nichols § Integrales del Error
G(s) C(s) m(s)
13
§ Procedimiento 1: Emplea la línea tangente a la curva de reacción en el
punto de máxima pendiente.
§ Procedimiento 2: En este procedimiento no se necesita conocer el
punto de inflexión de la curva de reacción, el cual es difícil de encontrar debido al ruido en la medición y la pequeña escala en la carta de los registradores, mas bien lo que es necesario conocer son los valores de ∆C en dos instantes de tiempo. El Dr. Cecil Smith propone medir:
t1 = tiempo en el cual ∆C = 0,28∆Ce t2 = tiempo en el cual ∆C = 0,63∆Ce T= 1,5 (t2 – t1) θm = 1,5 (t1 – 1/3 t2)
Gc(s) Gv(s) Gp(s)
Gc(s)
R(s) M(s)
C(s)
Y(s)
Fig.10.Esquema Prueba escalón con lazo abierto
14
1.4.1 Método de Cohen-Coon
Acción de Control
Parámetro Valor de ajuste Cohen-Coon
P Kc
+ 33,0
11αK
Kc
+ 083,09,01
αK
PI Ti
+
+α
αα22,21
33,033,3 2
T
Kc
+ 25,0
33,11αK
Ti
+
+α
αα6,01
46,046,2 2
T PID
Td
+ α
α2,01
37,0T
Donde Tmθ
α = : relación de controlabilidad
1.4.2 Método de Ziegler-Nichols (empleando en Procedimiento 1).
Acción de Control
Parámetro Valor de ajuste Cohen-Coon
P Kc
α11
K
Kc
α9,01
K
PI Ti mθ33,3
Kc
α2,11
K
Ti mθ0,2 PID
Td mθ5,0
15
Fig 12. Método de Cohen-Coon 1.4.3 Método Integral Mínima del Error. IEC (ISE): Integral del Error al Cuadrado à ∫
∞
0
2dte
IEA (IAE): Integral del Error Absoluto à ∫∞
0dte
IEAT (ITAE): Integral del Tiempo por el Error Absoluto à ∫∞
0dtet
El método de la Integral Mínima del Error fue desarrollado por los profesores Muriel y Smith en la Universidad de Lousiana (1967) § El conjunto optimo de los valores de los parámetros no depende
únicamente del tipo de criterio empleado, sino que también depende del tipo de entrada (cambio en la carga o en el punto de control) y de su forma (escalón, impulso, etc.)
§ Si los cambios son en la perturbación, el controlador es un “regulador”. § Si los cambios son en el punto de control, el controlador es un
“servoregulador”. Puesto que la función de transferencia del proceso es diferente para cada perturbación y la señal de salida del controlador, los parámetros óptimos de
Controlador PI 1+
−
TsKe stmR(s) M(s) C(s)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
2
4
6
8
10
12 Para el ajuste empleando Cohen-Coon.
083,09,0
+=αLCK
α
KKK CLC =
16
ajuste dependen de la velocidad relativa de la respuesta de la variable controlada a la perturbación, mientras mas lenta sea la respuesta a la perturbación, con mas rigor se puede ajustar el controlador y su ganancia puede ser mas alta; en el otro extremo, si la variable controlada responde instantáneamente a la perturbación, el ajuste del controlador será lo menos riguroso posible, lo cual equivale al ajuste para cambios en el punto de control (Smith-Corripio, versión en español, pág. 287-288). Fórmulas y coeficientes para calcular el ajuste del controlador continuo para cambios en la perturbación.
Criterios. Valores de sus parámetros Acción de control ISE IAE ITAE a = 1,411 0,902 0,490 P
bC K
aK α= b = -0,917 -0,985 -1,084
a1 = 1,305 0,984 0,859 b1 = -0,959 -0,986 -0,977 a2 = 0,492 0,608 0,674
PI
2
1
2
1
bi
bC
aT
t
Ka
K
α
α
=
=
b2 = 0,739 0,707 0,680 a1 = 1,495 1,435 1,357 b1 = -0,945 -0,921 -0,947 a2 = 1,101 0,878 0,842 b2 = 0,771 0,749 0,738 a3 = 0,560 0,482 0,381
PID
3
2
1
3
2
1
bd
bi
bC
Tat
aT
t
Ka
K
α
α
α
=
=
=
b3 = 1,006 1,137 0,995
Donde Tmθ
α = : relación de controlabilidad
Fórmulas y coeficientes para calcular el ajuste del controlador continuo para cambios en el punto de control.
Criterios. Valores de sus parámetros Acción de control IAE ITAE
a1 = 0,758 0,586 b1 = -0,861 -0,916
PI
a2 = 1,02 1,03
17
α
α
22
1 1
baT
t
Ka
K
i
bC
+=
= b2 = -0,323 -0,165
a1 = 1,086 0,965 b1 = -0,869 -0,855 a2 = 0,740 0,796 b2 = -0,130 -0,147 a3 = 0,348 0,308
PID
3
1
3
22
1
bd
i
bC
Tat
baT
t
Ka
K
α
α
α
=
+=
=
b3 = 0,914 0,9292 1.4.4 Ajuste para controladores discretos con estructura PID. Cuando el tiempo de muestreo sea un décimo o un vigésimo de la constante de tiempo efectiva del proceso en las fórmulas de ajuste vistas anteriormente su efecto se puede tener en cuenta con la adición de un medio del tiempo de muestreo al tiempo muerto del proceso.
2t
mmc∆
+= θθ ( )Tst∆
mcθ : tiempo muerto corregido t∆ : tiempo de muestreo
Para controladores discretos de estructura PID, “ mcθ ” es el empleado en cada una de las fórmulas de ajuste anteriormente planteadas para controladores continuos de estructura PID. 1.5 Estrategia de Control de “Síntesis Directa”. Generalidades. Es un algoritmo de control en el que es necesario conocer el modelo del proceso y la respuesta deseada, a lazo cerrado, para su elaboración. La figura muestra el diagrama de bloques de un sistema de control retroalimentado.
18
Fig .1.13 Esquema de un sistema de control realimentado. Función de transferencia del lazo cerrado para cambios en la referencia:
)()(1)()(
)()(
sGsGcsGsGc
sRsC
+= (1.1)
Despejando Gc(s) de la ecuación (1), se obtiene la ecuación de diseño básico del controlador de síntesis directa.
−
=)()(1
)()()(
1)(
sRsCsRsC
sGsGc (1.2)
Como se evidencia en la ecuación (1.2), los controladores de Síntesis Directa contienen la inversa del modelo del proceso [1/G(s)]. § Observando las ecuaciones (1.1) y (1.2) se tiene que en el producto
Gc(s)G(s) se puede dar la situación que los polos del controlador cancelen los ceros del proceso y los ceros del controlador, cancelen los polos del proceso. En este caso ideal, se tiene un controlador de cancelación de polos y ceros.
§ Debido a errores de modelo, es decir, modelos del proceso que no reflejan exactamente el proceso real, el controlador no realiza la cancelación de polos y ceros.
§ Debido a lo anterior, esta estrategia debe ser usada con precaución en procesos con polos o ceros inestables.
1.5.1 Ejemplo # 1 Obtener la función de transferencia del controlador de síntesis directa en la situación siguiente:
Gc(s) G(s) R(s) M(s) C(s)
Donde: G(s) = Gv(s)Gp(s)Gt(s)
19
Modelo del proceso: Función de transferencia deseada del proceso a lazo cerrado
1)(
+=
−
TsKesG
sθ
Donde: θ: tiempo muerto del proceso T: constante de tiempo del proceso
)()(
sRsC =
1+
−
sTe
c
scθ
Parámetros de diseño del controlador: θc = θmc: tiempo muerto de la respuesta Tc: constante de tiempo de la respuesta
θc = θ debido a que la variable controlada no puede responder a cambios en la referencia en tiempo menor que el tiempo muerto del proceso θ. Considerando en caso que θc = θ, aproximar el término del tiempo muerto e-θs mediante el término lineal de la serie de Taylor a el término lineal de Padé. § Para la aproximación con la serie de Taylor se tiene:
se s θθ −≈− 1 (1.3) Sustituyendo la ecuación (1.3) en la función de transferencia del proceso y en la función de transferencia deseada del proceso a lazo cerrado.
)()(1)()(
)()(
sGsGcsGsGc
sRsC
+= (1.1)
[ ]
[ ]
[ ])()()()()(
)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
)()()()()(1)(
sCsRsGsCsGc
sCsRsGsGcsCsGsGcsCsRsGsGcsCsRsGsGcsGsGcsCsC
sRsGsGcsGsGcsC
−=
−=−==+
=+
Dividiendo entre R(s)
[ ]dsRsCdsRsC
sGsGc
|)()(1|)()(
)(1
)(−
(1.2) Ecuación de diseño del controlador de
síntesis Directa
Suponiendo: Modelo del proceso 1
)(+
=−
TsKesG
sθ
(1.4)
d
20
Función de transferencia deseada del proceso a lazo cerrado: )()(
sRsC =
1+
−
sTe
c
scθ
(1.5) Sustituyendo (1.4) y (1.5) en (1.2). Considerando se s θθ −=− 1 y se c
sc θθ −=− 1
( )
( )
( )( )
( )
( )ssTKTs
sGc
ssTs
sKTs
sGc
doconsideran
sTs
sTs
sKTssGc
c
c
c
c
c
c
c
θ
θθ
θ
θθθ
θ
θ
+−++
=
−−+−
⋅−+
=
=
+−
−
+−
⋅−+=
111
)(
111
11
)(
,
11
1
11
11)(
( )sTKTs
sGcc θ+
+=
1)( Ecuación del controlador de síntesis directa con un solo
parámetro de control (Tc). Podemos observar entonces que: Multiplicando por T. numerador y denominador:
( ) TsTs
TKT
sGcc
1)(
+⋅
+=
θ (1.6)
Función de transferencia del controlador PI:
+=
+=
sTsT
KcsT
KcsGci
i
i
111)(
(1.7)
Por similitud de las ecuaciones (1.6) y (1.7): iTT = y ( )θ+=
cTKT
Kc
( )1
1)(
+−
=Ts
sKsG
θ (1.3)
)()(
sRsC = ( )
11
+−sT
sK
c
cθ Suponiendo K=1, )()(
sRsC = ( )
11
+−sT
s
c
cθ
d d
21
La ecuación básica de diseño del controlador es:
−
=
)()(
1
)()(
)(1
)(
sRsCsRsC
sGsGc (1.5)
Sustituyendo las ecuaciones (1.3) y (1.4) en (1.5) se tiene la ecuación de diseño del controlador específico para el proceso con la respuesta la lazo cerrado específica.
( ) ( )( )
( ) ( )ssTKTs
ssTs
sKTs
sTs
sTs
sKTs
sGccc
c
c
c
c
θθθ
θθ
θ
θ +−++
=−−+
−⋅
−+
=
+−
−
+−
⋅−+
=11
111
11
1
11
1
11
11
)(
( )sTKTs
sGcc θ+
+=
1)( Ecuación del controlador de síntesis directa con un solo
parámetro de control (Tc). 1.6 Estrategia de “Control con Modelo Interno (IMC)”. Generalidades. Este algoritmo de control, que fue desarrollado por Morari y García en 1982, también emplea el modelo del proceso. Este algoritmo está basado en la cancelación de polos y ceros, porque en su estructura contiene la inversa del modelo del proceso. Tiene la ventaja, sobre otros, de tener en cuenta los errores de modelado. El esquema muestra el diagrama de bloques de dicha estrategia de control.
Fig. 1.14. Estrategia de Control por Modelo Interno (IMC).
Gc* (s) R(s) E(s)
G (s)
GL(s)
M(s)
L(s)
Cm
C(s)
Modelo del Proceso
Proceso
)(~
sG
Error de modelado
d
d
22
Desviación: d = C - Cm C(s): Respuesta del proceso Cm: Respuesta del modelo Gc*(s): Función de transferencia del controlador IMC Generalmente C(s) ≠ Cm(s) debido a errores de modelado y efectos de la perturbación L(s), no tenidos en cuenta en el modelo. Función de transferencia del lazo de control con modelo interno.
[ ][ ]
[ ] )()(
~)()(1
)()()(1)(
)(~
)()(1)()(
)(*
*
sLsGsGsGcsGsGsGc
sRsGsGsGc
sGsGcsC L
−+−
+−+
=∗
∗
(1.8)
Si no existen errores de modelado, )()(
~sGsG =
[ ] )()()()(~
1)()()(~
)( sLsGsGscGsRsGscGsC L++= (1.9) 1.6.1 El controlador IMC es diseñado en dos pasos (Métodos de factorización del modelo) § Paso 1: El modelo del proceso se factoriza:
)(~
)(~
)(~
sGsGsG −+ ⋅= (1.10) Donde:
)(~ sG+ : Contiene el tiempo muerto del modelo, los ceros a la derecha del semiplano, ganancia unitaria. )(
~sG− : Contiene los términos estables del modelo
§ Paso 2: El controlador es especificado como:
)()(
~1)(~ sF
sGscG
−
∗ = (1.11)
Donde: F(s) es un filtro pasa bajo de primer o segundo orden con ganancia unitaria.
El filtro IMC tiene la forma: ( )nf sT
sF1
1)(
+= (1.12)
Donde Tf: constante del filtro n: orden del filtro
23
El controlador Gc*(s) no debe ser empleado en procesos instables a lazo abierto. Función de transferencia del lazo de control empleando el controlador IMC. Para error de modelado nulo: )(
~)( sGsG = , la ecuación (1.4) adquiere la
forma: [ ] )()()(~)(1)()()(~)( sLsGsGsFsRsFsGsC L++ −+= (1.4a), función de
transferencia del sistema a lazo cerrado (salida del sistema). 1.6.2 Ejemplo a) Obtener la función de transferencia del controlador IMC en un proceso cuyo modelo es el mismo del ejemplo 1.
1)(~
+=
−
TsKesG
sθ
Factorizar el modelo:
+=
−≅=
+=
−
−+−
1)(
~1)(
~
1)(
~
TsK
sG
sesG
TsKe
sG
ss θθ
θ
Seleccionar el filtro de primer orden: ( )11)(
+=
sTsF
f
El controlador IMC se especifica entonces como:
)()(
~1)( sF
sGsGc
−
∗ = 1
1
1
1)(
+⋅
+
=∗
sTTs
KsGc
f
Entonces, la función de transferencia del controlador para el proceso en particular es:
111
)(+
⋅+
=∗
sTKTs
sGcf
Controlador con un solo parámetro de ajuste,
Tf
b) Comprobar que el controlador IMC hace cero el error a estado estacionario de la respuesta al cambiar la perturbación L(s) según escalón unitario. La función de transferencia a lazo cerrado viene dada por la ecuación (1.4a)
[ ] )()()(~
)(1)()()(~
)( sLsGsGsFsRsFsGsC L++ −+=
24
Como el cambio es en la perturbación, entonces R(s) = 0 y solo queda ( ) )()()(
~)(1)( sGsLsGsFsC L+−= siendo GL(s) = 1 (escalón unitario).
Aplicando el teorema del valor final a la anterior expresión:
( ) ( )( )
+−−=
−
+−
>−>− 111lim1
111lim
00 sTss
sT fs
fs
θθ
∆C(∞) = 1-1 = 0 desviación nula (error cero)
1.7 Estrategia de control para compensar tiempo muerto. Predictor de Smith.
El tiempo muerto en la industria de procesos, comúnmente se presenta debido a retrasos en la transportación de masa o energía, lazos de recirculación, de masas asociadas a los análisis de composición, etc. Para mejorar el comportamiento de procesos con apreciable tiempo muerto se emplean especiales estrategias de control como el “Predictor de Smith”. El algoritmo “Predictor de Smith” fue desarrollado en 1957, se le considere como un controlador basado en modelo debido a que emplea parámetros del modelo del proceso en su estructura. La figura que viene a continuación muestra el diagrama de bloques con el predictor.
Gc(s): Generalmente es un controlador de estructura PID.
Gc(s) G(s) e-θS
Gc(s)
)(~
sG e-θS
R(s) E(s) E’(s) M(s)
L(s)
C1m(s) C2m(s)
C(s)
d = C- C2 m desviación
Proceso
Fig.1.14.Esquema Predictor de Smith
25
Modelo del proceso: SesG θ~
)(~ −
)(~
sG : Modelo de la parte estable del proceso C1m: respuesta predecida por )(
~sG
§ El modelo SesG θ
~)(
~ − se emplea para predecir el efecto de M(s) en salida del proceso.
§ El controlador emplea la respuesta predecida C1m para calcular su salida.
§ La comparación entre C y C2m es empleada para corregir los errores de modelado al igual que el IMC.
Si se asume que no hay error en el modelo, )()(
~sGsG = , el diagrama anterior se
puede expresar como se muestra a continuación:
Fig.1.15. Esquema Predictor Smith considerando que no hay error de modelado.
( )sesGsGcsGc
sEsMsGc
θ~
1)(~)(1)(
)()()('
−−+== (1.13)
1.8 Análisis del Sistema de Control Discreto a Lazo Cerrado. Ese sistema posee señales continuas y discretas en el tiempo.
Gc(s) G(s)e-θs
GL(s)
( )sesG θ~
1)(~ −−
R(s) E(s) E’(s) M(s)
L(s)
C(s)
C1 m-C2 m
Controlador Predictor de Smith (Gc’(s)
26
Fig. 1.16. Representación en bloques de un SCA general. Y: Variable real de salida del proceso
se
sHts∆−−
=1
)( : retenedor de orden cero
§ Señales continuas: SH, L, Y, C § Señal continua de la variable de salida: Y(s) = Y1(s) + Y2(s) (1.14)
Donde: Y1(s) à señal efecto variable manipulada Y2(s) à señal efecto variable perturbación
§ Señal continua de la variable controlada: C(s) = Y(s)Gt(s) (1.15)
§ Señal muestreada de la variable controlada a lazo abierto.
[ ] [ ])()()()()( 21 sGtsYZsGtsYZzC ⋅+⋅= (1.16) Donde:
[ ][ ] [ ])()()()(
)()()()(
2
1
sLsGZsGtsYZzMzHGsGtsYZ
L=⋅=⋅ [ ]
( )
−=
==
⇒
−
ssG
ZZzHG
sGsHZzHGsGtsGpsGsG V
)(1)(
)()()()()()()(
1
No se puede definir la función de transferencia discreta GL(z) [ ] )()()()( zLzGsLsGZ LL ≠ (1.17)
Porque L(s) no es una señal muestreada
§ Señal muestreada del proceso a lazo abierto [ ])()()()()( sLsGZzMzHGzC L+= (1.18)
Kt D(z) H(s) Gv(s) Gp(s)
GL(s)
Gt(s)
)(sY
[ ][ ])()(
)()(
zRzC
sRsC∗
∗∗
)(
)(
zM
sM ∗
)()(
zCsC∗
C(s)
SH(s) Q(s)
Y1(s)
Y2(s)
Y (s)
L(s)
Sensor-Transmisor
Retenedor Proceso
27
§ Ecuación general del controlador discreto: [ ])()()()( zCzCzDzM −= (1.19) Sustituyendo (1.19) en (1.18)
§ Función de transferencia discreta del sistema de control:
[ ])()(1
)()()(
)()(1)()(
)(zDzHG
sLsGZzC
zDzHGzDzHG
zC L
++
+= (1.20)
Ecuación característica del sistema controlado: 0)()(1 =+ zDzHG
∗ )(
)(
sC
zC dependencia de GL(s), Gp(s), D(z) y ∆t (1.21)
1.8.1 Funciones de transferencias discretas del proceso.
(1) Caso general: ( )
( )( )111
)()(
)(21 ++
+==
−
sTsTesTKp
sMsC
sGps
aθ
)()()(
zMzCzHGp =
( )( )2
21
1
22
11
1)(
−−
−−−
+++
=zazazzbzb
zHGpN
sacando z-1 como factor común queda: ( )( )1
21
1
1121
1)( −−
−−−
+++
=zaza
zzbbzHGp
N
donde:
21
21
//2
//1
TtTt
TtTt
eea
eea∆−∆−
∆−∆−
⋅=
−−=
−−
+−−
+=
−−
+−−
+=
∆−∆−
+∆−
∆−∆−
1221
21
21
/
21
2/
21
12
/
21
2/
21
11 1
TtTtTTTT
t
TtTt
eTTTaT
eTTTTa
eKpb
eTTTaT
eTTTTa
Kpb
(2) 1)(
)()(
+⋅
==−
sTeKp
sMsC
sGpp
sθ
. En este caso: Ta = 0 y T2 = 0
Por tanto
02
/1
=−= ∆−
aea PTt
[ ]0
1
2
/1
=−= ∆−
beKpb PTt
Por tanto: ( )[ ]1/
1/
11)(
−∆−
−−∆−
−−=
zezzeKpzHGp
Tpt
NTpt
28
haciendo ( )1
1/
11
)( −
−−∆−
−−
=⇒=az
zaKpzHGea
NTpt donde tN ∆= θ
(3) 1)(
)()(+
==sTKp
sMsCsGp
p
. En este caso: Ta = 0, T2 = 0 y θ = 0
Por tanto
02
/1
=−= ∆−
aea PTt
[ ]0
1
2
/1
=−= ∆−
beKpb PTt
0=∆
=t
Nθ
Por tanto: ( )[ ]1/
1/
11)(
−∆−
−∆−
−−=
zezeKpzHGp
Tpt
Tpt
haciendo ( )1
1/
11
)( −
−∆−
−−
=⇒=az
zaKpzHGea Tpt
para todos los casos:
1)()(
)(+
==sTK
sLsC
sGL
LL considerando:
sL
sL∆
=)( : escalón
[ ] ( )( )( )11
1
111
)()()(−−
−
−−∆−
=⋅=zbz
LzbKzLGsLsGZ L
LL donde: LTteb /∆−=
1.9 Estabilidad en los planos s y z. Para los sistemas discretos y continuos en el tiempo, la condición de estabilidad es determinada por las raíces de la ecuación característica (polos o raíces del sistema). [ ] [ ])()(1,)()(1 zDzHGsGcsG ++ Sistemas Continuos Estables: tienen los polos de la ecuación característica con parte real negativa. ibas += donde 0<a
Sistemas Discretos Estables: Los correspondientes polos en el plano Z, son menores en magnitud a la unidad
( )
ta
tibta
tibats
eZ
eeZ
eeZ
∆
∆∆
∆+∆
=
⋅=
==
Para a < 0 ; |Z| < 1
29
1.10 Guía para seleccionar el periodo de muestreo para controladores PID.
Recomendación Comentario Referencia 1. Tipo de variable física:
a) Flujo: st 1≅∆ b) Nivel y Presión:
st 5≅∆ c) Temperatura y
concentración: st 20≥∆
Desconocimiento de la dinámica del proceso. Williams
2. Sistema a lazo abierto.
a) max1,0 Tt <∆ Tmax: Constante de tiempo dominante
Kalman y Bertrani
b) 0,12,0 <∆
<θ
t Para modelo del
proceso:1
)(+
=−
TsKe
sGsθ
Kalman y Bertrani
c) 05,001,0 <∆
<T
t Para modelo del
proceso:1
)(+
=−
TsKesG
sθ
Aström y
Wittenmark
d) 615SS t
tt
<∆< tS: Tiempo de establecimiento (95% de la respuesta) del sistema a lazo abierto
Isserman
e) 5,025,0 <∆
<rtt tr: Tiempo de levantamiento del
sistema a lazo abierto Aström y
Wittenmark
f) 5,015,0 <⋅∆< crwt wcr : frecuencia crítica para sistemas continuos a lazo abierto
Aström y Wittenmark
Real -1
1
Imag
Plano Z
Estable
1
-1
Fig1.18Sistemas Discretos Estables
-a
b
Real (+)
Imag (ib)
Real (-)
Plano S
Estable
Fig1.17Sistemas Continuos Estables
30
Ejemplo. Determinar los periodos de muestreo para un controlador de configuración PID basados en las recomendaciones de la categoría 2 de la guía para seleccionar ∆t. Solución: Suponer que la respuesta de un proceso a lazo abierto (ante un cambio en el valor preescrito) sea la que se muestra en la figura: A partir de la respuesta se obtiene: θm = 6 min T = 22 – 6 = 16 min tr = 30 – 6 = 24 min ts = 43 min (tiempo de establecimiento 95%) dato: tm = 6 min, wcr ≅ 0,21 rad/min
Guía (Criterio) Valor numérico ∆t (min) 2a max1,0 Tt <∆ 6,1<∆t - menor ∆t
2b 0,12,0 <∆
<θ
t 62,1 <∆< t - mayor ∆t
2c 05,001,0 <∆
<T
t 8,016,0 <∆< t - menor ∆t
2d 615SS t
tt
<∆< 2,79,2 <∆< t - mayor ∆t
2e 5,025,0 <∆
<rtt 126 <∆< t - mayor ∆t
2f 5,015,0 <⋅∆< crwt 4,271,0 <∆< t - menor ∆t El resultado de la tabla muestra que los valores refomentadados de ∆t varían entre 0,16-12min. Isserman [Digital Control Systems, cap 27 (1981)] reporta el estudio del efecto del tiempo de muestreo en el proceso, empleando un control PID discreto con parámetros ajustados por el método de la Integral del Error. Concluyó que el ∆t apropiado para el proceso estudiado se encontraba en el rango de 4-8min
31
1.11 Algoritmo de velocidad del controlador con estructura PID.
( ) ( )
−
∆+
−⋅
∆+== −
−1
11
11
1)()(
)( zt
tzt
tKc
zEzM
zD d
i
en el dominio de la variable z.
A partir de dicha ecuación, operando matemáticamente quedaba la ecuación en diferencia:
−
∆+−
∆
+−
∆
+∆++−= )2()1(2
1)(1)1()( ket
tke
tt
ket
tttKckmkm ddd
i
en el dominio
del tiempo (k) Ejemplo. Para poder simular en la computadora el sistema de control discreto de un proceso, se necesita evaluar las funciones de transferencia discretas del proceso y del controlador (con acción PI)
Modelo del proceso continuo: 17
4)(
2
+=
−
se
sGS
Solución: Primero se tiene que determinar el tiempo de muestreo mas apropiado
mediante la recomendación de Kalman y Bertrán: 0,12,0 <∆
<θ
t
donde: 22,0 <∆< t
Se selecciona tut ⋅=∆ 1 , por lo que 2=∆
=t
Nθ
Evaluación de la función de transferencia HG(z): ( )2
21
1
22
11
1)( −−
−−−
+++
=zazazzbzb
zHGpN
donde:
[ ] [ ]0
532,0867,01401
0867,0
2
/1
2
7/1/1
==−=+−=
=−=−=−=
∆−
−∆−
bekb
aeea
Tt
Tt
1
3
1
21
867,01532,0
)(867,01
532,0)( −
−
−
−−
−=⇒
−⋅
=z
zzHGp
zzz
zHGp
Evaluación de la función de transferencia D(z) del controlador
( )
−∆+==
−111
)()()(
zttKc
zEzMzD
i
32
Determinación de los valores de los parámetros del controlador digital, empleando criterio ITEA, para cambios en la perturbación.
5,221
22
=+=∆
+=t
mθθ à θ : modificado
( )
( ) tuttaT
t
KcKcKa
Kc
iib
i
b
⋅=⇒=⇒=
=⇒=⇒= −
16,5357,0674,07
59,0357,04859,0
680,0
2
977,01
2
1
α
α
donde: Tθ
α = , θ : modificado
K= 4 ; T = 7 ; 357,075,2
==α
Siendo: a1 = 0,859 ; a2 = 0,674 ; b1 = -0, 977 ; b2 = 0,680
( )
( )( )
( )
−
+−=
−
+−=
−
+=
−
⋅∆
+==
−
−
−
−
−
−
1
1
1
1
1
1
16,516,5151616,5
59,0116,5
1116,559,0
116,51
159,0)(
11
1)()(
)(
zz
zz
zzD
ztt
KczEzM
zDi
1
1
16,516,504,3634,3
)( −
−
−−
=zz
zD Función de transferencia del Controlador Digital (en el
dominio de la variable z) Expresando ahora la ecuación en diferencia finita
−−
∆++−= )1()(1)1()( keket
tKckmkmi
Luego:
)1(59,0)(16,559,0
)(59,0)1()(
)1()(16,51159,0)1()(
−−+=−−
−−
+=−−
kekekekmkm
kekekmkm
)1(59,0)(704,0)1()( −−=−− kekekmkm ; en el dominio del tiempo (k) 1.12 Aproximación del modelo dinámico de un proceso de segundo
orden a uno de primer orden con tiempo muerto.
2121 1)1)(1(
)( TTTs
eKsTsT
KsGs
≥+
⋅≅++
=−θ
33
En el libro de Smith-Corripio (pág. 280-283, en español) se plantean las siguientes ecuaciones de relación mediante las cuales se puede hacer la transformación de T1 y T2 a T y θ
+=
++= −
21
2
1
/2,6
1
2
1
208,1116,1
172,0812,0828,0 12
TTT
T
eTT
TT TT
θ
Ejemplo. Un proceso de segundo orden más tiempo muerto tiene la siguiente función de transferencia:
140,1
)( 2
26,0
++=
−
sse
sGs
(el tiempo en minutos)
Comparar las respuestas del controlador PI, a un escalón unitario en el punto de control, cuyos parámetros hayan sido ajustados según los métodos siguientes: (a) Ziegler-Nichols; (b) IAE; (c) Cohen-Coon Solución: 1er paso: Trasformar la función de transferencia de segundo orden.
min27,073,34
min73,32
4164
014
014
14
1)4(
4
4
1
141)()1)(1(
2
1
12
1
12
1
211
11
12
21
21
221
22121
=−=
=−+
=
=+−
=+−
=−
=−
−=
⇒
=+
=
++=+++=++
T
T
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
sssTTsTTsTsT
)127,0)(173,3(0,1
140,1
)(26,0
2
26,0
++=
++=
−−
sse
sse
sGss
2do Paso: Hacer la aproximación del modelo de segundo orden.
34
min273,0min074,027,0208,173,3
27,0116,1min69,373,399,0
072,073,327,0
99,0172,0)072,0(812,0828,0
1
1
2)072,0(9,6
1
==⋅+
⋅=
=⋅=
===+⋅+= −
mTm
T
TT
eTT
θθ
El tiempo muerto efectivo del modelo de primer orden con retraso se debe añadir al tiempo muerto del proceso real, para obtener el tiempo muerto real.
min533,026,0273,026,0 =+=+= mm θθ
El modelo de primer orden con retraso es: 169,3
0,1)(
533,0
+=
−
se
sGs
(a) Ajuste de parámetros con métodos de Ziegles-Nichols.
min77,1;)%16%(%23,6
min77,1)533,0(33,023,6144,019,0
144,069,3533,0
33,3,9,0
==
===⋅
===⇒=
==
i
i
i
tBPKc
tKcTm
mtK
Kc
αθ
α
θα
α: factor de controlabilidad
(b) Ajuste de parámetros con criterio IAE para cambio en el punto de control.
min79,3;%6,24%(%0,4144,0323,002,1
69,3)144,0(1758,0
323,0861,002,1758,0
861,0
21
21
22
1 1
==⋅−
==
−=−===
+==
−
i
i
ib
tBPKc
tKc
bbaa
baT
tKa
Kcα
α
(c) Ajuste de parámetros con método Cohen-Coon.
min36,1%84,15%(%31,6
)144,0(22,21)144,0(33,0)0144(33,369,3;083,0
144,09,0
11
22,2133,033,3
;083,09,01
2
2
==
⋅+
⋅+⋅=
+=
+
+=
+=
i
i
i
tBPKc
tKc
TtK
Kcα
ααα
35
Tema II. Control de Procesos Multivariables. 2.1 Introducción a los procesos multivariables. Un proceso multivariable es aquel en el cual una señal de entrada no solamente afecta su propia señal de salida, sino además una o más de las otras salidas del sistema. Esta característica se le conoce como interacción del proceso. Por ejemplo, un proceso 2x2, se dice que posee una interacción parcial o acoplamiento (coupling) si una entrada afecta ambas señales de salida y la otra entrada sólo afecta una salida. Si ambas señales de entrada afectan ambas señales de salida se dice entonces que existe interacción total o simplemente interacción. Los procesos multivariables también se designan como procesos de múltiple entrada – múltiple salida (MIMO). El sistema de control de estos procesos se le conoce como Control de Procesos Multivariables. Ejemplos de Sistemas Multivariables: Ø Mezcladores Ø Calentadores Ø Torres de destilación Ø Evaporadores
Proceso Variable de Salida Variable de Entrada (Variable Controlada) (Variable Manipulada)
XA: Concentración GA: Flujo del componente A del Componente A GB. Flujo del componente B Gs: Flujo de salida Gd. Perturbación
Fig.2.1. MEZCLADOR
36
0s: Temperatura de la Gv: Flujo de vapor de solución de salida. Agua. Gs: Flujo de la solución h: Nivel de la solución a la salida . Ge: Flujo de la solución A la entrada. 0e: Temperatura de la solución a la entrada.
Fig.2.2. CALENTADOR
P: presión dentro Ga: Flujo de agua de la torre D: Flujo de destilado 0: Temperatura LR: Flujo del reflujo dentro de la torre B: Flujo del residuo o XD: Composición producto del fondo. Del destilado Gv: Flujo del vapor ha: Nivel en el de agua Acumulador PERTURBACIONES Hf: Nivel en el F: Flujo del alimentado
Fondo de la torre Xf: Composición del alimentado Fig.2.3. TORRE DE DESTILACIÓN 1.2 Representación matemática en el dominio de la transformada de Laplace de un proceso multivariable.
37
Fig 2.4- Proceso multivariable donde: m1(s)…..mn (s): Variables manipuladas C1(s)…..Cn(s): Variables controladas L(s): Variable perturbadora El proceso puede ser representado en el dominio Laplaciano por n ecuaciones que muestran como todas las variables manipuladas y la variable perturbadora afectan cada una de las variables controladas a través de sus funciones de transferencia. Para el caso particular de una sola señal perturbadora, el sistema de ecuaciones queda en la forma: (2.1)
)()()()(..........)()()()()(..
)()()()(........)()()()()()()()()(.........)()()()()(
2211
222221212
112121111
sLsGsmsGsmsGsmsGsC
sLsGsmsGsmsGsmsGsCsLsGsmsGsmsGsmsGsC
nLnnnnnn
Lnn
Lnn
++++=
++++=++++=
(2.1)
El anterior conjunto de n ecuaciones se puede representar mediante la siguiente ecuación vectorial matricial:
)()()()()( sLsGsmsGsC Ln += (2.2) donde:
:)(sC Vector de las n variables controladas
38
:)(sG Matriz nxn de las funciones de transferencia del proceso a lazo abierto que relaciona las variables controladas y las variables manipuladas.
:)(sm Vector de las n variables manipuladas. :)(sGL Vector de las funciones de transferencia del proceso a lazo abierto
que relaciona las variables controladas con la variable perturbadora.
Fig 2.5. Diagrama de bloques del proceso multivariable con una sola variable perturbadora.
=)(sG
)(..
)()(
1
21
11
sG
sGsG
n
)(..
)()(
2
22
12
sG
sGsG
n
……
)(..
)()(
2
1
sG
sGsG
nn
n
n
=)(sGL
)(..
)()(
2
1
sG
sGsG
Ln
L
L
Caso General: Para el caso de k variables perturbadoras, el conjunto de “n” ecuaciones se representa ahora mediante la ecuación matricial – vectorial siguiente:
)()()()()( sLsGsmsGsC L+= (2.3) donde:
39
=)(sGL
)(..
)()(
1
21
11
sG
sGsG
Ln
L
L
)(..
)()(
2
22
12
sG
sGsG
Ln
L
L
……
)(..
)()(
2
1
sG
sGsG
Lnk
kL
kL
:)(sGL Matriz de las funciones de transferencia del proceso a lazo abierto
que relaciona a las variables controladas y perturbadoras. 2.3 Representación matemática en el dominio del tiempo. Proceso a lazo abierto. El modelado dinámico de un proceso lineal simple entrada- simple salida (SISO) como el mostrado en la figura 3 está representado por el sistema de ecuaciones (4.a), (4.b) y (4.c) L(t): Variable perturbadora M(t): Variable manipulada X(0): Condición inicial C(t): Variable medida o controlada X(t): Variable del proceso (variable interna) Sistema de ecuaciones del proceso lineal SISO en el dominio del tiempo.
)()()( tdLtbmtaxdtdx
++= (2.4.a)
XotoX =)( (2.4.b) )(.)( txcty = (2.4.c)
El caso SISO es realmente un caso especial de los sistemas multivariables (MIMO). La ecuación diferencial ordinaria es igualmente útil para la representación de los sistemas lineales multivariables, excepto que en lugar de una ecuación diferencial de orden n se emplean n ecuaciones diferenciales de primer orden, expresadas en el formato vectorial-matricial. Lo anterior conduce al concepto de variable de estado y su uso en la descripción de un sistema multivariable de orden n.
)()(...)()()(....)()( 1121211112121111 tLdtmbtmbtmbtxatxatxa
dtdx
rrnn ++++++++=
40
.
.
)()(...)()()(....)()( 22112211 tLdtmbtmbtmbtxatxatxadt
dxnrnrnnnnnnn
n ++++++++=
0
101
)(
.
.
)(
nn xtox
xtox
=
=
)()(..
)(.)( 111
txCty
txCty
lll =
=
(2.5)
Sistema de ecuaciones que representan el proceso lineal multivariable a lazo abierto en el dominio del tiempo. En términos de la notación vectorial-matricial, se puede escribir el anterior sistema de ecuaciones para una sola variable perturbadora.
)(.)(.)( tLDtmBtAXdtdx
++= (2.6.a)
)0()( XtoX = (2.6.b) )(.)( tXCtY = (2.6.c)
donde:
=
1.
.2111
)(
an
aa
matriznxnA
2..
2212
an
aa
......
ann
nana
.
.21
=
dn
dd
vectornxD
.
.21
)1(
=
1.
2111
)(
bn
bb
matriznxrB
2..
2212
bn
bb
....
bnr
nbrb
.
.21
=
1.
.2111
)(
cl
cc
matrizlxnC
2..
2212
cl
cc
...
ln.
.21
c
ncnc
XT (vector de estado, nx1) = X1 , X 2 , ....Xn m T (vector de entradas, rx1) = m1 , m2 .....mr
41
yT (vector de salidas, lx1) = y1 , y 2 ,.........yl L (variable perturbadora, 1x1) = L Para k variables perturbadoras, el diagrama de bloques del proceso multivariable y el sistema de ecuaciones, vienen dados por:
)(.)(
)()(
)(.)(.)(.
tXCtY
oXtoX
tLDtmBtXAdtdx
=
=
++=
).7.2(
).7.2().7.2(
c
ba
Fig 2.6. Proceso con varias variables perturbadoras. Donde: A y B iguales que en el caso anterior.
D (Matriz nxk) =
1.
.2111
dn
dd
2..
2212
dn
dd
.........
dnk
kdkd
.
.21
LT = L 1 , L 2 , ....., L k 2.4.- Relación entre las representaciones matemáticas dinámicas de los sistemas multivariables (dominio del tiempo y dominio de la transformada). Como es conocido, la dinámica de los sistemas lineales multivariables con coeficientes constantes, puede ser analizada tanto en el dominio del tiempo, a partir de los modelos de la forma (2.7.a), (2.7.b) y (2.7.c), o en el dominio de la Transformada de Laplace, con el modelo de la forma:
)()()()()( sLsGsmsGsY L+= (2.8)
42
Para determinar la relación existente entre las matrices A, B, C y D y las matrices de las funciones de transferencia G(s) y G L (s), simplemente se aplica la transformación de Laplace a las ecuaciones (2.7.a ) y (2.7.c), haciendo X(o)=0, como es requerido de la definición de la función de transferencia: SX(s) – AX(s) = Bm(s) + DL(s) (2.9) Y(s) = CX(s) (2.10) Despejando a X(s) en la ecuación (2.9) y sustituyendo el resultado en la ecuación (2.10), se obtiene la ecuación (2.11). SX(s) – AX(s) = Bm(s) + DL(s) X(s)(s-A) = Bm(s) + DL(s)
[ ] [ ]
[ ] [ ] )()()(
)()()()()()(
1)(
11
1
sDLAsICsBmAsICsY
sDLsBmAsIsDLsBmAs
sX
−−
−
−+−=∴
+−=+−
=
)11.2(
donde I: Matriz de Identidad Comparando la ecuación (2.11) con la ecuación (2.8), se obtienen las ecuaciones que relacionan las representaciones matemáticas en ambos dominios.
[ ][ ] DAsICsG
BAsICsG
L1
1
)(
)(−
−
−=
−= )13.2()12.2(
Al igual que se ha estudiado la representación matemática en el dominio de la transformada de Laplace, así como en el dominio del tiempo de un proceso multivariable a lazo abierto, a continuación se analizará la representación de dicho proceso en ambos dominios, a lazo cerrado. 2.5.- Representación en el dominio del tiempo de la Transformada de Laplace del proceso a lazo cerrado. La figura que se muestra a continuación, muestra el diagrama de bloques del proceso multivariable con un sistema de control retroalimentado añadido (sistema de control en el dominio de la transformada).
43
Fig 2.7.- Diagrama de bloques vectorial matricial del lazo cerrado. Donde:
I: Matriz Identidad Gc (s): Matriz de los controladores retroalimentados. La mayoría de los procesos industriales, emplean los controladores retroalimentados SISO. Un controlador es empleado en cada lazo para controlar una variable (Variable controlada), mediante el ajuste de una variable manipulada. En este caso, la matriz de los controladores G c (s) sólo posee elementos en la diagonal (controladores con estructura diagonal o controladores SISO). Todos los elementos fuera de la diagonal son cero, como se ilustra a continuación:
=
0..
00
)(1
)(
sGc
sGc
0.
.0
)(2
0
sGc
.........
)(0.
.00
sGcn
(2.14)
donde: Gc1(s), Gc2(s)...., Gcn(s) son las funciones transferenciales de los controladores individuales en cada uno de los n lazos. Estos controladores en los sistemas multilazos se les conoce como controladores con estructura diagonal.
44
Los controladores con estructura no diagonal, poseen elementos en todas las posiciones de la matriz Gc(s) y son conocidos como controladores multivariables retroalimentados.
=
)(1.
.)(21)(11
)(
sGcn
sGcsGc
sG
)(2
.
.)(22)(12
sGcn
sGcsGc
.......
)(.
.)(2)(1
sGcnn
snGcsnGc
(2.15)
La matriz del controlador retroalimentado representa la función de transferencia entre las variables manipuladas y los errores:
)(.
.)(2)(1
smn
smsm
=
)(1.
.)(21)(11
sGcn
sGcsGc
)(2
.
.)(22
)(12
sGcn
sGc
sGc
..........
)(.
.)(2)(1
sGcnn
snGcsnGc
)(.
.)(2)(1
sEn
sEsE
(2.16)
Para cualquier tipo de controlador retroalimentado:
[ ])()()()()().()(
sCsCdsGcsmsEsGcsm
−== (2.16.a)
La ecuación (2.16.a) refleja que m(s) es determinada por los controladores retroalimentados. Sustituyendo la ecuación (2.16.a) en la ecuación del proceso a lazo abierto (ecuación 2.2), queda: C(s) = G(s)m(s) + G L(s)L(s) (2.2) C(s) = G(s)Gc (s)[ ])()()()( sLsGsCsCd l+− (2.17)
( ) )()()()()()()()( sLsGsCdsGsGsGsGIsC Lcc +=+ (2.18) ( )[ ] ( )[ ] )()()()()()()()()()( 11 sLsGsGsGIsCdsGsGsGsGIsC Lccc
−− +++= (2.19) Como es conocido, la inversa de una matriz posee el determinante de la matriz en el denominador de cada elemento. Por tanto, el denominador de todas las funciones de transferencia en la ecuación (2.19), es la ecuación
45
característica del sistema multivariable a lazo cerrado con controladores retroalimentados.
[ ] 0)()( =+ sGsGIDet c (2.20) La ecuación (20) es aplicable a cualquier tipo de controlador, ya sea: Ø Controlador Diagonal (multilazos SISO) Ø Controlador completamente multivariable Se debe observar que la ecuación característica del lazo cerrado depende del valor de los parámetros de todos los controladores. 2.6.- Representación en el dominio del tiempo del proceso a lazo cerrado. La representación de la dinámica del proceso multivariable en el dominio del tiempo (espacio de estado) es indispensable en el diseño de reguladores. Ø Con asignación de polos Ø Óptimos con criterio integral cuadrático. El regulador óptimo con criterio integral cuadrático es diseñado para hacer mínimo o máximo un índice de comportamiento sujeto a las restricciones físicas impuestas por el proceso.
( )dtRmmQYYJ
tXCY
DLtBmtAXdtdx
TT∫ +=
=
++=
21
)(.
)()(
donde: J: índice de comportamiento Q, R: Matrices positivas definidas 2.7.- Estrategia en el diseño de sistemas de control multivariables. Los procesos multivariables son difíciles de controlar, debido a la presencia de interacciones. Esta situación se complica, debido a la existencia de grandes tiempos muertos, alinealidades, respuesta inversa y restricciones de carácter operativo.
46
El siguiente procedimiento se puede emplear para diseñar los sistemas de control multivariables. 1. Determinar el alcance de la interacción presente. El objetivo de este
paso es seleccionar los mejores conjuntos variable controlada –variable manipulada, en medio del conjunto total de estas. Esto se realiza mediante el Análisis de la Interacción.
2. Si la interacción es modesta, es suficiente emplear controladores diagonales SISO (configuración multilazos) con estructura PID o IMC.
3. Si la interacción es significativa, puede ser posible emplear desacopladores para reducir la interacción, y controladores diagonales tipo PID.
4. Una alternativa a los pasos 2 y 3 es el empleo de algún controlador multivariable, con los cuales, inherentemente, se compensan las interacciones.
5. Si existen interacciones, restricciones operativas y complejidades en la dinámica del proceso, se recomienda preferentemente el empleo de algún controlador predictivo multivariable.
Es decir, frente a procesos multivariables, debemos dar respuesta a tres interrogantes: a) ¿Cuál es la mejor pareja variable controlada-variable manipulada? b) ¿Qué nivel de interacción existe entre los diferentes lazos de control y
como ésta afecta la estabilidad de los lazos? c) ¿Se puede hacer algo para reducir la interacción entre los lazos? 2.8.- Análisis de la Interacción (Medida de la Interacción). El objetivo del análisis de la interacción es determinar el alcance de la interacción presente en el proceso multivariable, lo cual es empleado para seleccionar los mejores conjuntos variable controlada-variable manipulada en medio del conjunto total de estas.
Existe un variado número de métodos de análisis, tales como: ü Matriz (arreglo) de las Ganancias Relativas (MGR) Emplean ü Descomposición en valores singulares. modelos ü Arreglos directo/inverso de Nyquist. en el dominio frecuencial ü Diseño lineal cuadrático Emplean modelos en ü Asignación de Polos el espacio de
47
ü Mínima Varianza estado ü Modelos de algoritmos de control (MAC) Emplean modelos ü Matriz Dinámica de Control (DMC) de ü Modelo Interno de Control (IMC) convolución
2.8.1.- Método de la Matriz de las Ganancias Relativas (Arreglo de Bristol). Este método fue desarrollado en la década de los años 60 por E.H.Bristol. Por medio de este método se obtiene una medida de la magnitud de la interacción en sistemas de control multivariable. La metodología se basa en los análisis y consideraciones que a continuación se detallan: Sea un proceso multivariable 2x2 con interacción como el que se muestra a continuación:
Fig. 2.8.-Proceso 2x2 con interacción. Donde: M1(s), M2(s): Variables manipuladas. C1(s), C2(s): Variables controladas.
ijK : Ganancia del proceso a lazo abierto que relaciona Ci con Mj. Como se observa en la figura 6, cada variable controlada es afectada por ambas variables manipuladas como puede observarse en las ecuaciones (2.21).
48
Las ecuaciones (2.21) que relacionan los cambios, a estado estacionario de cada variable controlada, alrededor del punto de operación, al cambiar ambas variables manipuladas son:
2222112
21211112
12221
122
2211
111
MKMKMMCM
MCC
MKMKMMCM
MCC
cteMcteM
cteMcteM
∆+∆=∆∂∂+∆
∂∂=∆
∆+∆=∆∂∂+∆
∂∂=∆
(2.21)
Las ganancias se pueden determinar a partir de un modelo matemático ya evaluado, o de datos experimentales con los cuales evaluar el modelo. Así por ejemplo, K11 relaciona el cambio en la variable controlada 1C∆ debido al cambio en la variable manipulada 1M∆ , es decir, que 2M∆ =0. Suponiendo ahora que en lugar de mantener M 2 constante, cuando se produce un pequeño cambio en M1, simultáneamente M 2 es ajustado para regresar el valor de C 2 al valor inicial que tenía antes de producirse el cambio en M1 . Esta nueva situación implica la definición de otra ganancia entre C1 y M1 (K 1
11 ). Las ganancias entre C1 1y M1 , vienen expresadas en la ecuación (2.22), de la siguiente forma:
cteMMMC
K202
11 11
⇒=∆∆∆
= cteCCM
CK
202
111 1
1
⇒=∆∆∆
= (2.22)
La relación entre K11 y K11
1 es llamado la ganancia relativa ( 11λ ):
cteCC
cteMM
MC
MC
KK
202
2021
11
1111
1111
⇒=∆
⇒=∆
∆∆
∆∆
==λ (2.23)
El arreglo o matriz de Bristol de las ganancias relativas (MGR) es un indicador del grado de interacción a régimen constante del proceso multivariable. M1 M2......Mn
49
=)(MGRλ
Cn
CC
.
.
21
1.
.2111
nλ
λλ
2..
2212
nλ
λλ
.......
nn
nn
λ
λλ
.
.21
1..11
(2.24)
1 1...........1 donde: Ganancia a lazo abierto
Ccte
Mcteij
MjCi
MjCi
∆∆
∆∆
=λ i,j =1,2,...n
Ganancia a lazo cerrado La ganancia a lazo cerrado se interpreta como la ganancia que indica el efecto de Mj sobre Ci, cuando todos los otros lazos de control están cerrados. Para un proceso multivariable 2x2, las ganancias relativas son:
cteC
cteM
MCMC
2
211
1111
∆∆
∆∆
=λ
cteC
cteM
MC
MC
2
112
2121
∆∆
∆∆
=λ
cteC
cteM
MCMC
1
221
1212
∆∆∆∆
=λ
cteC
cteM
MCMC
1
122
2222
∆∆
∆∆
=λ (2.25)
Cada elemento de la MGR se determina multiplicando cada elemento de la matriz de las ganancias a estado estacionario [ ]K por su correspondiente en la matriz [ ]TK 1− .
=ijλ (elemento ij de K).(elemento ij de [ ]TK 1− (2.26) donde: K: Matriz de las ganancias a estado estacionario (MGEE), la cual viene dada por:
50
K =
1.
.2111
kn
kk
2..
2212
kn
kk
.......
knn
nknk
.
.21
(2.27) K ( )DetK
cofactorKDetKAdjK T
==−1
La matriz de las ganancias relativas ( ijλ ) como guía para seleccionar las parejas variable controlada-variable manipulada.
ijλ 1≅ : No hay interacción.
ijλ = 0: Hay interacción, porque Ci responde más al efecto de las demás M que al del camino directo, o al efecto de M sobre Ci por el camino directo, K ii , es igual a cero.
ijλ <0: Refleja que la ganancia Kij’ tiene signo contrario a Kij, lo cual indica un efecto sobre Ci inverso al deseado para su control. Esto es igual a una retroalimentación positiva que introduce inestabilidad en el lazo de control. Por tanto, para elegir una combinación correcta entre variables manipuladas y variables controladas, se debe escoger aquella cuya ijλ sea positiva y tan cercana a 1 como sea posible (preferiblemente 1). Es decir, 0< ijλ <1. No se deben escoger nunca: ijλ 0≅ ijλ <0: Denota la peor interacción ijλ >>1: El grado de interacción es más severo según ijλ se incrementa. Se obtiene un pobre sistema de control. Para la selección de las parejas variable controlada-variable manipulada, en un proceso 2x2, se deben tener en cuenta los siguientes aspectos:
11λ =1: Esto denota que las ganancias a lazo abierto y lazo cerrado entre C1-M1 son idénticas. Es decir, que abriendo o cerrando el lazo 2 no hay afectación en el lazo 1. Entonces C1-M1 son parejas.
51
11λ =0: La ganancia a lazo abierto C1-M1 es cero, y por tanto M1 no tiene efecto directo sobre C1. Consecuentemente, M1 tiene que hacer pareja con C2. 0< 11λ <1: La ganancia a lazo cerrado entre C1-M1 es mayor que la del lazo abierto. Entonces los lazos de control interaccionan y las interacciones son más severas cuando λ =0.5
11λ >1: La ganancia C1-M1 al cerrar el lazo 2 se reduce, entonces, los lazos de control interaccionan. El grado de interacción es más severo según λ se incremente.
11λ <0: Las ganancias entre C1-M1 a lazo abierto y a lazo cerrado tienen diferentes signos, lo cual puede conducir a un sistema incontrolable e inestable. Es importante subrayar en el método de la matriz de las ganancias relativas, lo siguiente: 1. Las recomendaciones antes indicadas, están basadas sólo en la información
a régimen estacionario, sin embargo, la dinámica del proceso tiene que ser también considerada en la búsqueda de las parejas.
2. Si λ =0 ó λ =1, los dos lazos de control para un proceso 2x2 o no interaccionan del todo o muestran solamente interacción en una sola dirección.
2.9.- Teorema de Niederlinski. Regla de acoplamiento: Siempre que se tengan elementos de la matriz de las ganancias relativas, cercanos a 1, se debe comprobar la estabilidad del lazo mediante el teorema de Niederlinski. Teorema de Niederlinski: Establece que un sistema de control multilazos a lazo cerrado (conteniendo las parejas M1-C1, M2-C2,.....Mn-Cn) será inestable si el Indice de Niederlinski es negativo (I.N.<0). En dicho sistema de control, n controladores poseen acción integral y además, cada lazo individual es estable cuando cualquiera de los (n-1) lazos se abran. El teorema es aplicable cuando la acción integral es empleada en todos los lazos.
52
El Indice de Niederlinski (I.N.) se calcula de la siguiente forma:
I.N.=∏
=
n
iiiK
K
1
(2.28)
Donde: Det K= K , es el determinante de la MGEE. 2.10.- Análisis del Sistema de Control Multivariable. En un sistema de control 2x2, existen dos posibles configuraciones de control: a) Configuración 1-1/2-2. b) Configuración 1-2/2-1.
Fig.2.9.-Configuración 1-1/2-2
53
Fig.2.10.-Configuración 1-2/2-1. Las configuraciones de control mostradas anteriormente son configuraciones multilazos con controladores de estructura PID. (También podrían emplearse controlador es de estructura IMC). Esto es si las interacciones son modestas. Ø Controladores con estructura PID (Configuraciones 1-1/2-2 y 1-2/2-1)
Fig.2.11.-Configuraciones con estructura PID 1-1/2-2 y 1-2/2-1. Ø Controladores con estructura IMC (Control por Modelo Interno)
54
Fig.2.12. Control por Modelo Interno. En las configuraciones de control multilazos, como las mostradas anteriormente, un controlador es empleado en cada lazo para controlar una variable (variable controlada) mediante el ajuste de una variable manipulada. En este caso, la matriz de los controladores Gc(s) sólo posee elementos en la diagonal (controladores con estructura diagonal o controladores SISO). Si se analiza la configuración multilazos 1-1/2-2, se observa que las interacciones del proceso pueden inducir indeseables interacciones entre los dos lazos cerrados. Un cambio inicial, ya sea en M1(s) o en M2(s), tiene dos efectos: ♦ Efecto directo ♦ Efecto Indirecto, vía la interacción entre los lazos de control. Shinskey [Process Control Systems] ha señalado que las interacciones entre los lazos de control, en procesos 2x2, son debidas a un tercer lazo retroalimentado que contiene 2 controladores y 2 de las 4 funciones de transferencia del proceso.
55
Por ejemplo, en la configuración 1-1/2-2 el tercer lazo retroalimentado contiene a Gc1(s), Gc2(s), G12(s), G21(s). El tercer lazo retroalimentado origina dos problemas potenciales: 1) Desestabiliza el sistema de control. 2) Hace difícil el ajuste de los controladores. 2.11.- Efectos de la Interacción en el Control. Considerando el diagrama de bloques correspondiente a la configuración 1-1/2-2, las funciones de transferencia que relacionan las variables controladas con los valores prescritos, son:
)(2)(22)(1)(21)(2)(2)(12)(1)(11)(1sRsTsRsTsC
sRsTsRsTsC+=
+= (2.29)
donde:
( ))(
)(21)(12)(22)(11)(2)(1)(11)(1)(11
)(22)(21)(2)(12)(21
)(11)(11
)(2)(221)(2)(21)(12
)(11)(1
)(1)(1
.)(1)(1
)(1)(1
)(11
ssGsGsGsGsGcsGcsGsGc
sT
sGsGcsGcsGsG
sGsGc
sGcsGsGcsGsG
sGsGc
sRsM
sMsC
sRsC
sT
∆−+
=
+
−+
+
−===
(2.30)
donde:
( )( ) )(21)(12)(2)(1)(22)(21)(11)(11)( sGsGsGcsGcsGsGcsGsGcs −++=∆
)()(12).(2
)(12s
sGsGcsT
∆= (2.31)
)()(21).(1
)(21s
sGsGcsT
∆= (2.32)
( ))(
)(21)(12)(22)(11)(2)(1)(22)(2)(22
ssGsGsGsGsGcsGcsGsGc
sT∆
−+= (2.33)
56
Conclusiones derivadas de la ecuación (2.29). Ø El cambio en la referencia en un lazo causa que ambas variables
controladas varíen, debido a que: 0)(12 ≠sT , 0)(21 ≠sT Ø Estabilidad del sistema de control. ( )( ) )(21)(12)(2)(1)(22)(21)(11)(11)( sGsGsGcsGcsGsGcsGsGcs −++=∆ =0 (2.34) Ecuación característica del sistema de control. La estabilidad del sistema de control depende de ambos controladores Gc1(s) y Gc2(s), y de las 4 funciones de transferencia del proceso. Si G12(s)=0 ó G21(s)=0, no hay interacción, y entonces: ( )( ) 0)(22)(21)(11)(11 =++ sGsGcsGsGc 2.12.- Control no Interactivo con Desacopladores. En caso de que las interacciones entre los lazos de control sean significativas, el sistema se puede hacer inestable. Lo anterior exige la necesidad del desacoplamiento entre los lazos de control mediante la incorporación de nuevos dispositivos llamados desacopladores. Los desacopladores son controladores adicionales a los del tipo PID que tienen como objetivo reducir o eliminar la influencia de las interacciones entre los lazos. Estos dispositivos se implementan mediante componentes analógicos convencionales o mediante microprocesadores. La función del desacoplador es generar una señal de compensación anticipatoria que anule los efectos de la interacción por los canales diagonales del proceso. Las ecuaciones en el dominio s del proceso multivariable 2x2 son las siguientes:
)(2)(22)(1)(21)(2
)(2)(12)(1)(11)(1sMsGsMsGsC
sMsGsMsGsC+=
+= (2.35)
es decir:
57
C(s)= G(s).M(s) (2.36) A continuación se muestra el diagrama del sistema de desacoplamiento que está asociado al proceso multivariable 2x2, en el cual se considera que D11(s) = D22(s) = 1
Fig.2.13.- Combinación proceso-desacoplador. Ecuaciones de desacoplamiento:
)(2)(1)(21)(2
)(2)(12)(1)(1**
**
sMsMsDsM
sMsDsMsM
+=
+= (2.37)
es decir:
)()()( * sMsDsM = (2.38) donde: :)(1* sM Variable manipulada ficticia 1 :)(2* sM Variable manipulada ficticia 2 D(s): Matriz de desacoplamiento
=
)(21)(11
)(sDsD
sD
)(22)(12
sDsD Si D11(s)=D22(s)=1,
=
)(211
)(sD
sD
1
)(12 sD (2.39)
Ecuaciones del proceso-desacopladores del sistema 2x2:
[ ] [ ] )(2)(12)(12)(11)(1)(21)(12)(11)(1 ** sMsGsDsGsMsDsGsGsC +++= (2.40)
58
[ ] [ ] )(2)(22)(12)(21)(1)(21)(22)(21)(2 ** sMsGsDsGsMsDsGsGsC +++= (2.41) En forma vectorial-matricial, el anterior sistema de ecuaciones se expresa como:
=
)(21)(11
)(2)(1
sGsG
sCsC
)(22)(12
sGsG
)(21
1sD
1
)(12 sD
)(2
)(1*
*
sM
sM
)(2)(1
sCsC =
++
)(21)(22)(21)(21)(12)(11sDsGsG
sDsGsG
++
)(22)(12)(21)(12)(12)(11sGsDsG
sGsDsG
)(2
)(1*
*
sM
sM (2.42)
Para un sistema nxn:
)().()().()()( ** sMsHsMsDsGsC == (2.43) donde: H(s): Matriz de desacoplamiento Para un completo desacoplamiento, se requiere que H(s) sea diagonal:
=
0.
.0
)(11
)(
sH
sH
0.0
)(220
sH
...............
)(0
.00
sHnn
Para un sistema 2x2, se tiene que:
0
)(11 sH
)(22
0sH
=
++
)(21)(22)(21)(21)(12)(11sDsGsG
sDsGsG
++
)(22)(12)(21)(12)(12)(11sGsDsG
sGsDsG
0)(21)(22)(210)(12)(12)(11
=+=+
sDsGsGsGsDsG
⇒⇒
)(22)(21
)(21
)(11)(12)(12
sGsG
sD
sGsGsD
−=
−=
(2.44)
59
donde: D12(s): Función de transferencia del compensador que cancela o elimina cualquier efecto que el lazo 2 pueda producir en el lazo 1. D21(s): Función de transferencia del compensador que cancela o elimina cualquier efecto que el lazo 1 pueda producir en el lazo 2. El diagrama de bloques del sistema de control del proceso 2x2, empleando desacopladores es el siguiente:
Fig.2.14.-Diagrama de bloques del proceso 2x2 empleando desacopladores. En el diagrama anterior, Gc1(s) y Gc2(s) son controladores con estructura PID. En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques simplificado del sistema de control multivariable con desacopladores:
60
Fig.2.15.-Sistema de control multivariable con desacopladores. La ecuación vectorial-matricial del sistema de control, que relaciona los cambios de las variables controladas con los cambios en la referencia y en la perturbación es:
[ ] )()()()()()()()( sLsGLsCsRsGcsDsGsC +−= (2.45) )()()(()()()()()()()( sLsGLssRGcsDsGsCsGcsDsGsC +=+
[ ] ( ))()()()()()()()()()( 1 sLsGLsRsGcsDsGsGcsDSGIsC ++= − (2.46) La ecuación característica de este sistema de control multivariable, con desacopladores es la siguiente:
[ ] 0)()()( =+ sGcsDsGIDet (2.47) Para el sistema 2x2, la ecuación característica del sistema se obtendrá luego de desarrollar la ecuación (2.47), de la siguiente forma:
01
Det 10 +
)(21)(22)(21)(21)(12)(11sDsGsG
sDsGsG++
)(22)(12)(21)(12)(12)(11sGsDsG
sGsDsG++
0)(1 sGc
)(2
0sGc
= 0
01
Det 10
+ ( )( ) )(1)(21)(22)(21
)(1)(21)(12)(11sGcsDsGsGsGcsDsGsG
++
( )( )
++
)(2)(22)(12)(21)(2)(12)(12)(11sGcsGsDsG
sGcsGsDsG = 0
61
Det ( )( ) )(1)(21)(22)(21
)(1)(21)(12)(111sGcsDsGsG
sGcsDsGsG+
++ ( )( ) )(2)(22)(12)(211
)(2)(12)(12)(11sGcsGsDsG
sGcsGsDsG++
+ =0
(2.48) Sustituyendo las funciones de transferencia de los desacopladores D12(s) y D21(s) en (2.48), obtendremos:
)(11)(12
)(12sGsG
sD −= ; )(22)(21
)(21sGsG
sD =
Det 0
)(1)(22
)(21)(12)(22)(111 sGcsG
sGsGsGsG
−+ )(2
)(11)(21)(12)(22)(11
1
0
sGcsG
sGsGsGsG
−+
= 0
Se obtiene entonces:
( ) ( )0
)(11)(2)(21)(12)(22)(11
1)(22
)(1)(21)(12)(22)(111 =
−+
−+
sGsGcsGsGsGsG
sGsGcsGsGsGsG (2.49)
Comparando la ecuación (49) con la ecuación característica del sistema de control 2x2 sin desacopladores: ( )( ) )(21)(12)(2)(1)(22)(21)(11)(11 sGsGsGcsGcsGsGcsGsGc −++ Se evidencia la completa independencia de los lazos de control, al no estar incluido el término Gc1(s)Gc2(s)G12(s)G21(s) por lo cual, la variable controlada de cada lazo depende solamente de sus propios valores de referencia y de sus respectivos controladores como se puede observar en las ecuaciones siguientes:
−+
−
=
)(22)(21)(12)(22)(11
)(11
)(22)(21)(12)(22)(11
)(1)(1
sGsGsGsGsG
sGc
sGsGsGsGsG
sGcsC R1(s)
62
−+
−
=
)(11)(21)(12)(22)(11
)(21
)(11)(21)(12)(22)(11
)(2)(2
sGsGsGsGsG
sGc
sGsGsGsGsG
sGcsC R2(s)
Limitaciones en el uso del desacoplador: El desacoplador degrada la capacidad del sistema de control de anular o reducir el efecto de la perturbación (load rejection), por eso su uso no es recomendado con excepción de los casos en donde cambios en la referencia sean frecuentes. 2.13.- Diseño de controladores diagonales, empleando el método Biggest Log Modulus Tunning (BLT). Este método, desarrollado por Luyben en 1986, está basado en el criterio de estabilidad de Nyquist. El objetivo del método es determinar las ganancias y los tiempos de integración de los controladores PI, de forma tal que el sistema tenga integralidad, lo cual significa que el sistema tiene que permanecer estable, en caso de que uno o más controladores pasen de manual a automático y viceversa. El método asume que el proceso multivariable sea estable a lazo abierto. Como ya se ha planteado anteriormente, la ecuación característica del sistema de control multivariable viene dada por: Det[I+G(s)Gc(s)]= 0, la que es un valor escalar de un polinomio de n-ésimo Orden en s. Si el lado izquierdo de dicha ecuación característica se grafica contra frecuencia, el rodeo del origen indica que el sistema es inestable. Si se define una nueva función W(s), con la forma: W(s)=-1+Det [I+G(s)Gc(s)] Y se grafica como una función de la frecuencia, el rodeo del punto (-1,j0) indica inestabilidad.
63
Similar al procedimiento empleando en el ajuste de los parámetros del controlador en los sistemas SISO, se emplea el criterio del máximo logaritmo del módulo, a lazo cerrado, ahora de la siguiente forma:
Lcm = 20 log )(1
)(sW
sW+
Lcm: Logaritmo base 10 del módulo a lazo cerrado. Luyben sugiere que ( ) nLcm max 2= ; siendo n la dimensión del sistema Multivariable. Procedimiento del método de ajuste para n controladores SISO. Ø Calcular por Ziegler Nichols (ZN) el ajuste de los n controladores PI. Para hacer esto se requiere encontrar la frecuencia critωω = , para la cual el ángulo de fase es exactamente 180 o . El recíproco de la ganancia correspondiente a esa frecuencia es Kcrit. Entonces el ajuste de los parámetros del regulador por ZN es: ( )
2.2Kcrit
Kci ZN = ( )crit
Ti ZN ωπ
2.12
=
Ø Asumir un factor F (factor de ajuste) cuyos valores típicos varían entre 1.5-
5. Ø Calcular nuevos valores de los parámetros de cada controlador, mediante
las ecuaciones siguientes:
( )F
KciKci ZN= ; Ti = F. (Ti) ZN i = 1,2,.....n
Según el factor de ajuste F aumenta, el margen de estabilidad se incrementa, pero la respuesta del sistema se hace más lenta y viceversa. El procedimiento correcto es encontrar un razonable compromiso entre estabilidad y comportamiento. Ø Calcular W(s) = -1+ Det [I+G(s)Gc(s)] y hallar W(s) vs ω .
64
Ø Determinar:
Lcm = 20 log )(1
)(sW
sW+
Ø Si (Lcm) max > 2n, seleccionar un nuevo procedimiento anterior a sistemas multivariables de 2x2 hasta 4x4.
El procedimiento garantiza estabilidad con todos los controladores en automático, además, con cada controlador individual en automático y el resto en manual.
65
Tema III. Control de Procesos Industriales
3.1. Control de generadores de vapor.
3.1.1. Introducción al Control de Generadores de Vapor
El generador de vapor se prepara para trabajar a régimen estacionario (a presión,
temperatura y flujo constantes).
Al cambiar las condiciones de diseño como resultado de acciones perturbadoras
externas e internas, se violan los balances de materiales y surge el régimen transitorio.
Los principales parámetros a observar en el generador de vapor son:
- Temperatura y presión del vapor sobrecalentado.
- Presión de vapor en el domo.
- Presión y temperatura del agua de alimentación.
- Vacío en el horno.
- Temperatura y presión del aire.
- Nivel de agua en el domo.
- Flujos de agua, vapor, aire, combustible y gases.
- Composición y temperatura de los gases de salida.
- Contenido de sales e impurezas en el vapor.
Para la medición y registro de estos parámetros que permitan el gobierno automático
del generador de vapor se utilizan instrumentos cuya precisión depende de la
capacidad del generador de vapor. Generalmente son de clase de precisión no menor
de 0.5.
66
Principales perturbaciones que afectan el comportamiento del proceso del generador
de vapor:
- Cambios en la carga.
- Variaciones de la calidad y cantidad del combustible.
- Cambio en el régimen de tiro.
- Variaciones en la presión, temperatura y caudal de los diferentes flujos.
La acción de las perturbaciones cambio todos o algunos de los indicadores de trabajo
del generador de vapor. La acción de regulación debe restablecer en el menor tiempo
posible el balance de materiales y energía.
La regulación automática debe garantizar el trabajo normal del generador de vapor en
cualquier régimen tanto estacionario como transitorio y con variaciones de la carga
entre 40 – 50 hasta 100 % del valor nominal.
Para cargas más pequeñas y en régimen de arrancada los sistemas más comunes que se
utilizan para estabilizar los parámetros, son incapaces de garantizar la calidad deseada
de la regulación, por lo que para el régimen de arrancada se utilizan sistemas
especiales de regulación automática.
En los generadores de vapor con domo, se necesita mantener en el valor dado, como
mínimo, cinco parámetros:
1- Presión de vapor en el domo.
2- Nivel de agua en el domo.
3- Temperatura del vapor sobrecalentado.
4- Tiro en la cámara de combustión.
5- Eficiencia (economía del proceso)
67
El mantenimiento del nivel en el domo, indica el cumplimiento del balance de
materiales del circuito agua – vapor; el mantenimiento de la presión de vapor
garantiza el cumplimiento del balance de energía; un tiro constante en la cámara de
combustión caracteriza el balance de materiales en el hogar. La eficiencia o economía
del proceso, debe medirse por medios indirectos como son el contenido de oxígeno o
CO en los gases de salida, la relación combustible – aire, la relación de flujo de vapor
y aire, etc.
Existe una estrecha relación entre la presión de vapor y el vacío (tiro) y su regulación
se ejecuta mediante la variación de la alimentación de combustible y aire y la
evacuación de los productos de la combustión.
3.1.2. Regulación automática de la alimentación de agua.
La regulación de la alimentación de agua trata de mantener el balance de materiales
entre el vapor que se extrae y el agua que se alimenta. El parámetro que caracteriza tal
equilibrio es el nivel en el domo.
La disminución del nivel por debajo de lo admitido, provoca la violación de la
circulación de agua en los tubos del circuito de agua, con la elevación de la
temperatura de sus paredes y el recalentamiento. El aumento del nivel en el domo
puede provocar el arrastre de agua y sales con el vapor. Ahora bien, la calidad de la
regulación se determina no solo por el nivel de agua en el domo sino por la
alimentación en forma estable.
Las principales perturbaciones que actúan sobre el nivel son:
- Variaciones en la extracción de vapor por variaciones en la carga.
- Variaciones del flujo de agua de alimentar.
- Variaciones de la productividad del vapor, por variaciones en la carga térmica del
hogar.
68
- Variaciones de la temperatura del agua de alimentación.
3.1.3.Característica transitoria del nivel. Perturbación en el flujo de agua de
alimentación.
La forma del proceso transitorio para el nivel (H) por una variación tipo escalón en el
flujo de agua de alimentación (Ga) en un generador de vapor economizador donde no
se alcanza la ebullición, se muestra en la siguiente figura.
Al analizar el transcurso del nivel (H) en el tiempo se observa que inicialmente el
mismo cambia en un sentido que no corresponde con el signo de la perturbación, lo
cual se debe a que, el aumento del flujo de agua fría lleva a la disminución de la
temperatura de toda la mezcla agua – vapor y la disminución del volumen de vapor en
el domo y en el sistema de circulación. Al aumentar la diferencia de temperatura entre
Fig. 3.1. Característica transitoria del nivel en el domo del generador de vapor por variación del flujo de agua de alimentación.
69
el agua que entra y la temperatura de saturación, esta desviación aparece en mayor
grado.
La característica transitoria (curva 1) puede ser sustituida por otras dos (curvas 2 y 3),
por lo cual, la función de transferencia puede ser determinada por las correspondientes
a las curvas 2 y 3: la correspondiente a un bloque integral (1/T1S) y a un elemento de
primer orden (-K1 /(T2S + 1)), cuyas magnitudes se suman con signo contrario; es
decir, de no existir la mezcla vapor – agua (existencia de burbujas), la respuesta del
nivel de agua al cambio súbito (en escalón) del flujo de agua de alimentación,
corresponde a la del sistema integral (1/T1S) y la disminución de las burbujas,
corresponde con la respuesta de primer orden (-K1 /(T2S + 1)).
Resulta evidente que el nivel de agua en el domo del generador de vapor es un sistema
de respuesta inversa.
( ) ( )1
1)( 2
1
1 +−==
STK
STSGSH
SFa
aa (3.1)
Donde:
11 tan α
aGT
∆=
T2 : Constante de tiempo de la curva 3.
aGH
K∆∆
= 11 : Ganancia del elemento de primer orden.
A continuación se muestra el diagrama de bloques equivalente donde:
STsF
11
1)( = y 1
)(2
12 +
−=
STK
sF
70
La ecuación (3.1) puede tomar la forma:
)1(1)(
)1()1(
)(21
112
21
112
++−
=+
−+=
STSTSTKT
STSTSTKST
SFa (3.2)
Las series de la función de transferencia se encuentran en el semiplano izquierdo del
plano S, pero el cero se encuentra en el semiplano derecho si K1T1>T2
112
1TKT
S−−
= , por tanto el sistema es de fase mínima.
3.1.4Característica transitoria del nivel. Perturbación en la carga de vapor.
Para un flujo estable de combustible, una variación en la carga provoca cambio en la
presión de vapor. A continuación se muestra el transcurso del nivel (Hv) ante una
variación tipo escalón en el flujo de vapor (Gv).
F1(s)
F2(s)
Ga(s) H(s
Fig. 3.2. Diagrama de bloques de la característica transitoria del nivel ante perturbación tipo escalón en el flujo de agua de alimentación.
71
Inicialmente el nivel se eleva lo cual se debe a que, al aumentar el gasto de vapor,
disminuye la presión en el domo, con el correspondiente aumento del volumen
específico del vapor en la mezcla líquido- vapor y la disminución de la temperatura de
ebullición del agua en el circuito de circulación. Con la disminución de la temperatura
y debido al calor acumulado en el sistema, se produce una generación de vapor
complementaria con aumento del contenido de vapor. El aumento del volumen del
vapor en el circuito de circulación, debido al aumento del contenido de vapor y del
volumen específico de vapor, produce el aumento del nivel en el domo.
Al aumentar la presión en la caldera, aumenta la temperatura de ebullición y parte del
calor del sistema, se utiliza en el calentamiento adicional del agua hasta la ebullición,
por tanto, disminuyen la formación de vapor, el contenido de vapor en el circuito y el
volumen específico del vapor, todo lo cual conduce a la disminución del volumen.
En la figura anterior, la curva 4 representa la respuesta transitoria, puede ser situada
por las curvas 5 y 6, y su función de transferencia:
Fig. 3.3. Característica transitoria del nivel en el domo del generador de vapor por variación del flujo de vapor.
72
)()()()(
)( 65 sFsFsGvsHv
sFv +==
Siendo:
F5(s): Función de transferencia del bloque integral.
F6(s): Función de transferencia del elemento de primer orden.
11
)(6
2
5 ++−=
STK
STsFv (3.3)
Donde:
25 tan α
GvT
∆= T6 : Constante de tiempo del elemento de primer orden.
GvH
K∆∆
= 22 )1(
1)()(
65
652
+−−
=STST
STTKsFv
En la siguiente figura, se muestra el diagrama de bloques correspondiente.
73
Siendo:
STsF
55
1)( −= , 1
)(6
26 +
=STKsF
3.1.5. Esquema de control del nivel.
La figura que se ilustra a continuación, muestra el esquema de regulación del nivel en
un generador de vapor de acuerdo con tres señales:
-Nivel en el domo (Punto1)
-Flujo de vapor sobrecalentado (Punto2)
-Flujo de agua de alimentación (Punto3)
La regulación del nivel en el domo, en un generador de vapor, puede plantearse sobre
la base de:
1) Una señal (nivel en el domo)
F5(s)
F6(s)
Gv(s) H(s)
Fig. 3.4. Diagrama de bloques de la característica transitoria del nivel ante perturbación tipo escalón en el flujo de vapor.
74
2) Dos señales (nivel en el domo y flujo de vapor)
3) Tres señales (nivel en el domo, flujo de vapor y flujo de agua de alimentación).
1) Control de nivel basado en una señal.
El esquema de control basado en una señal puede obtenerse de la figura anterior,
utilizando solo el canal de medición correspondiente al nivel (punto 1). Este control de
nivel es poco efectivo ante las variaciones bruscas en la carga.
2) Control de nivel basado en dos señales.
A partir de dicha figura (3.5) puede obtenerse el esquema de control de nivel basado
en dos señales, eliminando el canal de medición correspondiente al flujo de agua (3).
En este caso, la medición de flujo de vapor (Gv) y su introducción en el sistema de
regulación automática, representa una acción anticipatorio con compensación o
corrección de la perturbación.
La figura que se ilustra a continuación, muestra el diagrama de bloques para el control
de nivel basado en dos señales, donde:
Fc(s): Función de transferencia del controlador y la válvula.
Fig. 3.5. Regulación del nivel basada en tres señales.
75
Fk(s): Función de transferencia del elemento que introduce la acción correctiva.
Fp(s): Función de transferencia del proceso por el canal de la acción de regulación.
Fpv(s): Función de transferencia del proceso por el canal de la perturbación.
Ftn(s): Función de transferencia del transmisor de nivel.
Hp(s): Nivel prescrito.
Fig. 3.6. Esquema del SRA de la alimentación basado en dos señales.
)()()()(1
)()()()()(
)()()(1
)()(
)()()(1
)()()( sGv
sFsFsF
sFsFsFsvFsG
sFsFsF
sFsH
sFsFsF
sFsFsH
TNpc
pckpa
TNpc
pp
TNpc
pc
•+
++
••++
••+
•=
(3.4)
Fa(s)
FC(s)
FK(s)
FT N(s)
GV(s )
FPV(s)
H(s) HP(s)
FP(s)
Ga(s)
76
Del análisis de la ecuación (3.4) se observa que la ecuación característica del sistema a
lazo cerrado
0)()()(1 =••+ sFsFsF TNpc (3.5)
no depende de la función de transferencia del dispositivo que introduce la acción
compensadora según la perturbación, por lo cual este dispositivo no influye en la
estabilidad del sistema de regulación automática.
El efecto de la perturbación será nulo si:
0)()()()( =••+ sFsFsFsvF pCkp (3.6)
Donde se puede determinar: Fp (s) = Fa(s)
)()(
)()(
sFsF
svFsF
pc
pk •
−= (3.7)
que es la función de transferencia del dispositivo compensador.
La compensación hace que los efectos de las variaciones en el flujo de vapor sobre el
nivel sean nulos tanto en estado estacionario como en régimen transitorio, si el control
por realimentación es efectivo.
3) Control de nivel basado en tres señales.
En el esquema (Fig. 3.5) se introduce en el controlador una señal adicional según el
flujo de agua de alimentación, que provoca una acción sobre el flujo de agua que
permite estabilizar el mismo y actúa contra las oscilaciones del nivel en el domo
debido a las variaciones en la caída de presión en la válvula de regulación.
77
Fig. 3.7. Diagrama de bloques del SRA del nivel basado en tres señales.
En dicho diagrama aparece un lazo interno, debido a la señal según el flujo de agua,
formado por el bloque del regulador (Fc(s)), el bloque correspondiente al segmento de
tubería entre la válvula de control y el captador de flujo (Fpt(s)) y el bloque de
transmisor de flujo (Ftf(s)).
La respuesta transitoria de este lazo, provocada por una perturbación externa, se
obtiene antes que en el lazo externo.
En dicho diagrama se ha considerado también la perturbación debido a las variaciones
en el flujo de combustible Gc y la función de transferencia debido a ese canal Fct(s).
Fc(s) Fp(s)
Fk(s)
Fpt(s) Ftf(s)
Fct(s) Fpv(s)
+
+
+ + +
+ + -
+
+
+
FT N(s)
Gv(s)
Ga(s)
Gc(s)
H(s) Hp(s)
78
3.1.6. Control de la combustión.
El control de la combustión se realiza mediante mantenimiento de la presión del vapor
en el valor prescrito, pues este parámetro caracteriza el balance térmico en el
generador de vapor.
El generador de vapor como objeto de regulación de la presión de vapor puede
suponerse formado por dos elementos en serie: el hogar y el dispositivo de
evaporación, donde la variable controlada es la presión de vapor en el domo, y las
acciones de regulación pueden ser variaciones en la alimentación de combustible o del
aire necesario para la combustión.
El calor generado en la combustión se transfiere en forma radiante o convectiva hacia
las paredes, tuberías y superficies de calentamiento del generador de vapor. En el
proceso de transferencia interviene una gran masa metálica en la cual se acumula el
calor.
El método más sencillo y directo para la optimización del proceso de combustión, es
la regulación directa de la relación flujo de combustible y aire. Si la composición del
combustible no cambia, es suficiente mantener constante esa relación ? Qc / ? QA. La
medición continua del flujo de combustible es posible hacerla con exactitud
principalmente en el caso de combustibles líquidos y gaseosos.
Sistemas de control en serie y en paralelo.
Los circuitos de control de la combustión, pueden clasificarse desde el punto de vista
del arreglo del circuito en dos tiempos: sistemas de control en serie y en paralelo,
como se muestra en la figura (3.8).
79
Fig. 3.8. Esquema de control de la combustión: a), b), en serie; c) en paralelo.
En el arreglo a), la señal inicial corresponde a la presión de vapor que controla el flujo
de combustible requerido para mantener constante la presión de vapor. Se mide el
caudal de flujo de combustible y de acuerdo con este, se genera una señal que es
transmitida al controlador de flujo de aire y afecta el mismo de acuerdo con la señal de
flujo de combustible, cualquier fallo del flujo de combustible limitará el flujo de aire.
Cuando el suministro de combustible es pequeño, este esquema elimina la posibilidad
de manejar grandes excesos de aire durante un periodo largo.
El segundo arreglo en serie b) es similar al primero excepto que se intercambian en
secuencia el flujo de agua y el flujo de combustible. En este esquema, cualquier
cambio en el flujo de aire crea una disminución automática del flujo de combustible
hasta el valor equivalente. Este esquema elimina la posibilidad de formación de una
Presión de Vapor
Flujo de Combustible
Flujo de Aire
Flujo de Combustible
Flujo de Combustible
Flujo de Aire
Flujo de Aire
Presión de Vapor
Presión de Vapor
a) b) c)
80
mezcla explosiva en el hogar cuando falla la alimentación de aire y se elimina la
necesidad de interrumpir el flujo de combustible.
En el arreglo en paralelo c), la señal inicial (la presión de vapor) es transmitida en
paralelo a los controladores del alimentado de combustible y flujo de aire, que actúan
para los ajustes correspondientes. Los controladores del alimentado de combustible y
flujo de aire, son calibrados de modo que en concordancia con la señal principal, se
alimenta la cantidad adecuada de combustible y aire para mantener la presión y la
relación combustible – aire.
3.1.7. Control de la combustión mediante la regulación del flujo de combustible.
La regulación automática de la presión en el domo, actuando sobre el flujo de
combustible al generador de vapor es la más simple para el control de la combustión.
En la siguiente figura (3.9) se implementa un esquema simple para la regulación de la
carga del generador de vapor, a través de 1,2, 3 y 4.
81
Fig. 3.9. Regulación de la carga del generador.
En dicho esquema:
1) Captador de la presión en el domo.
2) Controlador.
3) Servomotor.
4) Elemento final de control (ajusta el valor del flujo de combustible).
5) Captador de la presión de vapor.
6) Regulador de corrección.
7) Señal que se origina según el flujo de vapor.
8) Bloque derivativo.
Vapor
7
1
2
8
6
5
Hacia otros GV
Combustible
4 3
82
Para garantizar una presión de vapor constante a la entrada del consumidor de vapor, y
la máxima estabilidad de la carga en el generador de vapor, frente a las violaciones del
régimen de combustión, al esquema simple formado por 1,2,3 y 4, se le agrega un
regulador de corrección 6) que mediante el captador 5) recibe la señal de la presión de
vapor en la línea principal de vapor donde se conectan todos los generadores de vapor.
La salida del regulador 6) actúa sobre los reguladores individuales de presión de cada
generador de vapor, variando la presión prescrita de los mismos.
Además se añade un bloque derivativo 8) cuya salida representa la velocidad de
cambio de la presión en el domo y también se adiciona una señal según el flujo de
vapor (7).
La señal procedente del captador de presión (5) en la línea principal de vapor que pasa
por el controlador de corrección (6) será el valor prescrito del regulador de la carga
térmica en el controlador (2) que regula la alimentación de combustible.
La señal de entrada al controlador (error) será diferente de cero mientras la suma de
las señales de flujo de vapor a la salida del domo y velocidad de cambio de la presión,
no igualan el valor prescrito fijado por el regulador de corrección (6).
El sistema que se ha analizado mejora en gran medida el comportamiento transitorio
de los sistemas en que trabajan varios generadores de vapor en paralelo (sistema
centralizado) pues estabiliza la carga evaporativa ante perturbaciones internas y da una
respuesta rápida ante desviaciones externas de la carga por variaciones en la demanda
de vapor.
A continuación se muestra la figura 3.10, la cual representa el esquema en bloques del
sistema de regulación automática de la combustión mediante la manipulación del flujo
de combustible.
83
Donde:
FTD(s): Función de transferencia del transmisor de la presión de vapor en el domo.
FTV(s): Función de transferencia del transmisor del flujo de vapor.
FTP(s): Función de transferencia del transmisor de la presión de vapor en la línea
general.
FD(s): Función de transferencia del transductor derivativo.
GV1(s), GV2(s): Flujos másicos del vapor generado y del vapor demandados
respectivamente.
GC1(s), GV3(s): Señales perturbadoras por variación en el flujo de combustible y
variación en la carga respectivamente.
PD(s): Presión de vapor en el domo.
PL(s): Presión de vapor en la línea general.
PLP(s): Valor prescrito de la presión de vapor.
FC(s): Función de transferencia del controlador de la carga térmica.
FCC(s): Función de transferencia del controlador de corrección.
84
FP1(s), FP2(s), FP3(s), FP4(s): Funciones de transferencia del proceso.
3.1.8. Regulación de la combustión por manipulación del flujo de aire.
Existen diferentes esquemas para la regulación de la combustión por manipulación del
flujo de aire. En uno de estos esquemas (figura 3.11), se miden los flujos de
combustible y aire y de acuerdo con sus valores relativos, se manipula el flujo de aire
proporcionalmente al flujo de combustible.
Como el flujo de combustible líquido o gaseoso se mide con bastante exactitud, dicho
esquema (figura 3.11) es válido para estos casos, pues junto con la sencillez de su
realización y confiabilidad, garantiza conducir el proceso de combustión con gran
economía.
A este sistema se le adiciona una acción correctiva, de acuerdo con el contenido de
oxigeno libre en los gases de salida, pues este parámetro caracteriza el exceso de aire
utilizado en la combustión. Con esta variante pueden compensarse más rápidamente
las perturbaciones, debidas a variaciones en la calidad del combustible.
85
En dicho esquema, las señales de los captadores de flujo de combustible (1) y de aire
(2), junto con la señal correctiva debido al contenido de oxigeno libre (O2) (la cual se
obtiene a la salida del dispositivo de corrección (5) que recibe una señal del
gasoanalizador (6)) se suman algebraicamente en el dispositivo de regulación (3) cuya
salida actúa sobre el servomotor (4) para variar el flujo de aire al proceso.
86
En la figura 3.12, las perturbaciones debidas a variaciones del flujo de combustible
(GC) y del valor disponible en el combustible Q, pueden ser consideradas a la entrada
del regulador, igual que el valor prescrito, por lo cual el sistema de regulación en este
caso puede investigarse solo según la acción de regulación.
El esquema del sistema de regulación de la combustión con medición del oxigeno
libre y manipulación del flujo de aire, es un esquema de control en cascada, donde la
rapidez de respuesta del lazo externo, ante variaciones en el contenido de oxígeno en
los gases de salida está determinado principalmente por la constante de tiempo
(inercia) del gasoanalizador y del dispositivo de corrección según la señal de
contenido de O2.
Cuando no es posible medir el flujo de combustible o cuando el calor de combustión
del combustible cambia significativamente, se emplea otro esquema de regulación de
la combustión (figura 3.13) con manipulación del flujo de aire: esquema calor - aire
con acción paralela en el aire.
87
En este esquema, una señal de corrección, debido a la presión de vapor en la línea
general se entrega, por el captador de presión (5) al regulador de corrección (6) a los
controladores de la carga térmica (7) y flujo de aire (8). En el régimen estacionario, la
señal del regulador de corrección es igual a la señal por calor (suma de las señales del
captador de flujo (1) y del captador de presión (3) más el diferenciador (2)) y por
tanto, se estabiliza una dependencia dada entre la carga del generador de vapor y la
cantidad necesaria de aire. Sin embargo, la manipulación del aire se realiza por un
esquema paralelo.
Este esquema es el adecuado cuando existen perturbaciones relacionadas con cambios
en la carga. Sin embargo, debido a que la presión del aire depende del trabajo del
regulador de la carga térmica, si hay fallos en este último, es necesario interrumpir el
trabajo del regulador de aire.
88
3.1.9. Regulación del tiro:
Para lograr que el proceso de combustión se desarrolle en forma económica no basta
con mantener la relación combustible - aire en el valor óptimo, sino también debe
mantenerse el tiro (vacío en la parte superior del horno) en el valor óptimo, con lo cual
se disminuye el bombeo de aire frío y la exfiltración de gases de salida hacia el
exterior del generador de vapor.
El sistema de regulación automática mantiene una extracción continua de los gases de
combustión, estabilizando la llama de los quemadores y el balance de materiales entre
el aire que se introduce y los gases que se evacuan.
El proceso en este sistema de regulación automática está formado por todos los
elementos comprendidos entre la cámara de combustión y el ventilador de tiro
inducido.
La principal perturbación externa del sistema son las variaciones en el flujo de aire de
la carga térmica del generador de vapor. Actúan como perturbaciones internas las que
alteran el régimen aire – gases del sistema.
La figura 3.14 representa el esquema de regulación del tiro, donde:
1) Controlador.
2) Captador de vacío.
3) Regulador de aire.
4) Enlace entre los reguladores de aire y vacío.
5) Elemento final de control.
6) Elemento final de control para manipular el flujo de aire.
89
El regulador de tiro actúa en función de dos señales: vacío en la cámara de combustión
y flujo de aire, y el regulador de aire actúa simultáneamente sobre el regulador de tiro
(1) y sobre el elemento final de control (6).
En la figura 3.15, se muestra el diagrama de bloques del sistema de regulación
automática del tiro, donde:
GA(s): Flujo de aire.
GC(s): Flujo de combustible.
PT(s): Presión del tiro a la salida.
PTP(s): Presión del tiro prescrita.
90
FP(s), FPC(s), FPA(s): Funciones de transferencia del proceso, por los canales de acción
de regulación y de las perturbaciones debidas al flujo de combustible y de aire
respectivamente.
FVA(s), FVG(s): Funciones de transferencia de los elementos finales de control para el
flujo de aire y flujo de gases respectivamente.
FC(s), FK(s): Funciones de transferencia para el controlador y el enlace entre los
reguladores.
FTP(s): Función de transferencia del transmisor de vacío.
91
3.2.- Control de Torres de Destilación. Dinámica de la columna de destilación. El comportamiento estacionario de la destilación es de interés en el diseño del equipo, pero no es suficiente para el análisis y diseño del sistema de control, debido a las continuas acciones de las perturbaciones y al tiempo empleado por la columna en alcanzar de nuevo el régimen estacionario. La acumulación o retención del líquido en los platos, en los vertederos que éstos poseen, en el acumulador y en el fondo de la columna son fuentes de retraso que la torre posee. 3.2.1.-Dinámica de la columna con comportamiento ideal. Las ecuaciones que se muestran en este tópico están fundamentadas en los supuestos planteados anteriormente para los modelos estáticos así como en los siguientes:
a) La retención del líquido en cada bandeja (Mj) incluyendo el vertedero, depende de la altura del líquido en el vertedero, el cual depende del valor que tenga el reflujo.
b) El líquido en el rehervidor y en el fondo de la columna está perfectamente mezclado. Posee la composición Xp y la retención total igual a Mp (moles).
c) El líquido en cada bandeja se asume perfectamente mezclado con una composición Xj.
d) La retención del vapor se asume constante en cada bandeja, esto implica que el flujo de vapor a través de toda la columna es el mismo a régimen estacionario como no estacionario.
e) Se desprecia el retraso de transporte (tiempo muerto) en la tubería de vapor desde el tope de la torre hasta el condensador, y desde el acumulador hasta la torre. Además, se desprecia la dinámica tanto del condensador como del rehervidor.
[Como se ha hecho la consideración de que los calores molares de vaporización de los componentes de la mezcla son iguales, el modelo dinámico no requiere del balance de energía].
92
Fig.3.16. Diagrama del balance de materiales y energía en la torre de destilación para comportamiento ideal. donde:
βjj
jj
MMLL
−+=
93
jM : Retención de líquido en el plato j β : Constante hidráulica del plato El equilibrio de las fases se calcula como:
( ) j
j
jX
XY
11 −+=
α
α (3.8)
3.2.2.-Dinámica de la columna con comportamiento no ideal.
En las ecuaciones dinámicas de la torre de destilación con comportamiento no ideal, se considera que la composición del vapor que abandona el plato no se encuentra en equilibrio con la composición del líquido en la bandeja, y además, se considera que los calores molares de vaporización de los componentes de la mezcla no son iguales, por lo que el flujo de vapor no se mantiene constante a lo largo de la torre. Esto plantea la necesidad de tomar en consideración en el modelo dinámico de la torre los cambios energéticos que ocurran.
Balances de masa y de energía en la columna con comportamiento no ideal. Condensador y acumulador. -Balance de masa total:
DLVd
dMR
D −−= 1τ
-Balance de masa del componente ligero: ( )
DDRDD DXXLiV
dIMd
−−= 11τ
-Balance de energía: ( )
cDDRDD qDIILiV
dIMd
−−−= 11τ
94
donde: q c :Calor extraído en el condensador I D : entalpía molar del líquido en el condensador y en el acumulador i 1: entalpía molar del vapor que entra al condensador (J/mol) Plato del alimentado -Balance total de masa:
FLLVVd
dMffff
f +−+−= −+ 11τ
-Balance de masa del componente ligero: ( )
fffffffffff FXXLXlYVYV
d
XMd+−+−= −−++ 1111τ
-Balance de energía:
fffffffffP FIILILiViV
ddM
+−+−= −−++ 1111τ
Rehervidor y fondo de la columna. -Balance total de masa:
PPNP VL
ddM
−−=τ
-Balance de masa del componente ligero:
( )pPPNN
PP PXYVXLd
XMd−−=
τ
-Balance de energía: ( )
RPPPNNPP qPIiVIL
dIMd
+−−=τ
donde. q R : calor añadido en el rehervidor Dinámica de la temperatura de ebullición de la mezcla binaria en cada plato.
95
Una vía mediante la cual se puede determinar la temperatura de ebullición de la mezcla binaria ideal en cada plato, suponiendo presión constante a lo largo de la torre de destilación se fundamenta en el siguiente algoritmo:
)1( HoHHoH XPXPppP −+=+= (3.8)
HP y OP se calculan con la ecuación de Antonine:
T
BAPl j
jjn −= (3.9)
−=
T
BAP j
jj exp (3.9 a )
Sustituyendo la ecuación (3.9 a ) en la ecuación (3.8) se tiene:
( )Ho
oHH
H XTBAX
TBAP −
−+
−= 1expexp (3.10)
El algoritmo consiste en buscar el valor de T que haga la función Φ , ecuación 4 igual a cero.
( ) PXTB
AXTB
A Ho
oHH
H −−
−+
−=Φ 1expexp (3.11)
El proceso de búsqueda del valor de T está basado en el método de Newton- Raphson que establece lo siguiente:
dTd
TTΦ
Φ−= (3.12)
dTdΦ , viene dado por:
( )Ho
HH X
dTdP
XdTdP
dTd
−+=Φ
1. (3.13)
96
en donde:
( )2
111 /expT
TBABdTdPH −
=
( )
2222 /exp
TTBAB
dTdPo −
=
3.2.3.- Generalidades del Control Automático en la Torre de Destilación. Las variables que determinan el comportamiento del sistema son las siguientes: Ø Composición de la corriente líquida en el tope y fondo de la columna. Ø Presión dentro de la columna. Ø Temperatura del alimentado. Ø Concentración del alimentado. Ø Flujo del destilado. Ø Flujo del residuo. Ø Flujo del vapor dentro de la torre. Ø Flujo del líquido dentro de la torre. El objetivo fundamental de los diferentes lazos de control en una torre de destilación es mantener constante el valor de la composición en una de las corrientes líquidas que salen de la torre o en ambas. El control de la composición está estrechamente vinculado con la relación de equilibrio (ecuación de equilibrio de la mezcla) entre las fases (L-V), y con las líneas de operación. El equilibrio entre las fases es f (presión dentro de la torre). Las pendientes e interceptos de las líneas de operación dependen de: Flujos: L, D, V, P Concentraciones: X D, XP Temperatura del alimentado: q, X F , F Es frecuente en procesos industriales, donde existen torres de destilación, no controlarse la composición ni el flujo del alimentado, por depender ambas
97
variables de las condiciones de operación de los equipos que las preceden, por lo que se convierten en perturbaciones que afectan su comportamiento. El valor de la composición de un componente de la mezcla se puede medir fundamentalmente mediante técnicas analíticas, empleando refractómetros, cromatógrafos, etc, o midiendo la temperatura de la mezcla a presión constante. 3.2.4.- Control de Presión. Es conocido que la composición de equilibrio de un componente en la mezcla binaria depende solamente de la temperatura y la presión del sistema, por lo tanto, si el sistema de control de la composición se fundamenta en la medición de la temperatura de la mezcla en un punto de la torre, es necesario el control riguroso de la presión. De no ser así, idéntico valor de la temperatura correspondería a diferente valor de la composición. Esquemas de control de presión más comunes: a.- Existencia despreciable de gases incondensables en la fase vapor. En un sistema líquido-vapor, la presión aumenta si la cantidad de vapor que asciende por la torre es mayor que la cantidad que se condensa.
Fig 3.17. Esquema de control de la presión en la torre mediante el ajuste del flujo del refrigerante.
98
Este esquema se basa en el ajuste del flujo de refrigerante según la magnitud y signo del error entre la presión deseada y la presión existente en el punto de medición. La presión en la columna se controla en este esquema mediante ajuste de la cantidad de refrigerante que circula por el condensador, de forma tal que al aumentar la presión, se debe aumentar el flujo del refrigerante con el objetivo de incrementar la velocidad de condensación del vapor en la torre. b.- Existencia apreciable de gases incondensables en la fase vapor.
Fig 3.18. Esquema de control presión cuando existen gases inconfensables en la fase vapor. En este esquema, ambas válvulas (A y B) deben estar completamente abiertas, a máximo valor de la señal de salida del controlador, pero la válvula en la línea de extracción de los gases debe cerrar antes que la válvula en la línea del refrigerante al disminuir la señal de salida del controlador. 3.2.6.- Control de la Temperatura del Alimentado. Al variar la temperatura del flujo de alimentación con respecto al valor que tiene la mezcla en el plato de alimentación, ocurre un desbalance térmico en la torre que afecta su comportamiento. Si la corriente líquida alimentada a la torre está fría, q>1 como se sabe, esto provoca disminución de la temperatura en el plato de alimentación, lo cual proporciona que parte del vapor ascendente se condense en el plato de alimentación, por lo que V<Vd y Ld>L.
99
Fig. 3.19. Plato de alimentación y las corrientes que llegan y salen, teniendo en cuenta el estado térmico del alimentador.
fF θθ < , q>1 Por tanto: V= Vd-F(q-1) V<Vd ∴ Ld = L+q F Es decir: Ld>L+F Siendo: Fθ : temperatura del alimentado fθ : temperatura de la mezcla en el plato de alimentación Por lo tanto hay afectación en las líneas de operación, porque varían las pendientes y los interceptos, lo que trae por consecuencia variación de X p y X D. El esquema de control más empleado es aquel que emplea un calentador con vapor de agua como agente de calefacción, tal como se muestra en el esquema, y un controlador con acción PI o PID.
100
Fig 3.20. Esquema de control de la temperatura del alimentado. Mediante este esquema se regula la entalpía en la corriente de alimentación ala columna. En este esquema de control, el flujo de vapor de agua al calentador del alimentado, es ajustado para mantener la temperatura de ebullición de la mezcla en el plato de alimentación. NOTA: El parámetro q que se define como el calor total requerido para convertir 1 mol de alimentado en vapor saturado dividido por el calor molar de vaporización. Valores de q para diferentes formas del estado térmico del alimentado. ü Líquido en el punto de ebullición: q=1 ü Vapor en el punto de ebullición: q=0 ü Mezcla de líquido y vapor 1>q>0 ü Líquido frío q>1 3.2.7.- Control de las Composiciones. Generalidades. La medición de la composición se puede realizar de dos formas: ♦ Medición directa empleando refractómetros, cromatrógafos, etc. Esta
forma es precisa pero costosa. Crea problemas en la calidad del control si el tiempo de muestreo es grande (requiere de medidores discretos muy costosos).
101
♦ Medición indirecta de la composición basada en al medición de la temperatura de la mezcla binaria, a presión constante. Esta forma no es muy precisa, aunque más barata que la anterior. El sistema de medición es más sencillo pero requiere localizar un lugar en la torre en donde la sensibilidad de la temperatura a los cambios de la composición de la mezcla sea apreciable. En algunas columnas de fraccionamiento, dicho lugar se escoge más bien cercano al plato de alimentación.
Las principales perturbaciones que afectan los valores de la composición en el tope (X D ) y en el fondo (X P ), suponiendo que no cambian ni la temperatura del alimentado ( Fθ ) ni la presión en la torre (P), son: el flujo y la composición del alimentado. 3.2.8.-Control de la composición en el tope o en el fondo con flujo de alimentación constante y composición variable. Si la concentración del alimentado varía, y se desea mantener constantes en
sus valores nominales las concentraciones en el tope ( DX−
) y en el fondo
( PX−
), se debe variar el flujo del destilado (D) y el flujo del residuo (P).
Se sabe que: PDF PXDXFX += Balance del componente ligero PDF += Balance total de masa Al variar sólo X F , se tiene entonces que:
PDF XPXDXF ∂+∂=∂ , y , 0= PD ∂+∂ es decir que: PD −∂=∂ (Cambios iguales pero de signos contrarios en D y P son necesarios).
( ) FPD
XXX
FD ∂
−=∂
El cambio del flujo del destilado DD ∂= debe ser proporcional al cambio de la composición del alimentado, si se desea que las composiciones DX y PX se mantengan constantes.
102
En la práctica, el sistema de control que solamente mediante el cambio en el flujo de destilado D, se controlan las concentraciones DX y PX , no existe. Control de la composición en el Tope con F cte y XF variable. La regulación del flujo de destilado puede ser por vía directa o indirecta. Se regula directamente el flujo D como resultado de la medición de la temperatura de la mezcla en un punto dado del tope de la torre, tal como se muestra en la figura adjunta. El flujo del reflujo se ajusta como resultado de la medición del nivel de líquido en el acumulador en un sistema de control promediante. El flujo de alimentación (F) constante se puede lograr básicamente regulando la corriente que proviene del tanque donde se almacena el producto que se alimenta a la torre.
Fig.3.21. Control de la composición en el Tope con F cte y X F variable.
103
Se regula directamente el flujo de destilado (D) al emplear para ese fin la señal que proviene del transmisor de concentración o el transmisor de temperatura de la mezcla. Se regula indirectamente el flujo del destilado (D) al emplear la señal que proviene del transmisor del nivel de líquido en el acumulador. Se implementa un control promediante del nivel en el fondo de la torre, el cual, al disminuir el nivel, como consecuencia del aumento del flujo (D), reduce proporcionalmente el flujo (P). Esto se hace para impedir problemas de operación en la torre que la disminución o aumento excesivo del nivel del líquido en el fondo de la torre trae consigo. Control de la composición en el fondo.
. Fig 3.22. Control de la composición en el fondo. El esquema de control frecuentemente empleado para controlar la composición del residuo, está constituido por los siguientes lazos: Ø Ajuste preciso del flujo del reflujo (L R ).
104
Ø Ajuste del flujo de destilado (D) mediante el control del nivel de líquido en el acumulador.
Ø Control de la composición del producto del fondo mediante la medición directa o indirecta de la composición y el ajuste del flujo de vapor de agua hacia el rehervidor.
Ajuste del flujo P mediante el control del nivel en el fondo de la torre.
Fig.3.23. Esquema de Ajuste del flujo P mediante el control del nivel en el fondo de la torre. En este esquema, posterior al aumento súbito de la concentración del alimentado, se aumenta el flujo de vapor de la mezcla como consecuencia de la disminución de la temperatura en los platos inferiores. El aumento del flujo de vapor incrementa la temperatura dentro de la torre, por lo que el lazo de control de temperatura en el fondo actúa en el sentido de disminuir el flujo de vapor de la mezcla.
105
Al estar controlado al flujo del reflujo, los aumentos y disminuciones del flujo de vapor de la mezcla se manifiestan en aumentos y disminuciones en el flujo del destilado. 3.2.9.-Control de la composición en el tope o en el fondo con flujo de alimentación variable y concentración constante.
Fig 3.24. Esquema del tope de la torre. Por ejemplo, en caso de que la alimentación a una torre de destilación, en la cual la composición de algún componente de su alimentado varíe, es conocido que para controlar la composición del tope o fondo ambos flujos tienen que variar. Teóricamente, para mantener constante X D , la pendiente de la línea de operación de la sección de enriquecimiento debe permanecer constante si el flujo de alimentado varía.
PKK XVP
XVLd
Y −=+1
se sabe que: PDF
PVL
FLL
d
Rd
+=
+=
+=
VFLP
VLP
R
d
−+=
−=
106
Fig 3.25. Esquema del fondo de la torre. Luego se puede también expresar la ecuación de la línea de operación de la sección de agotamiento en la siguiente forma:
pR
KR
K XVF
VLX
VF
VLY
−+−
+=+ 11
De todo lo anterior se induce que para mantener constante DX y PX cuando F varíe, es necesario la existencia de una relación constante e igual entre los cambios de L R , V y F con sus valores nominales RL , V , F .
1KFL
dFdL RR == Relación cte entre los flujos del reflujo y del alimentado.
2KFV
dFdV
== Relación cte entre los flujos del vapor y del alimentado.
107
Fig. 3.26. Esquema de Control de la composición en el tope o en el fondo con flujo de alimentación variable y concentración constante. 3.2.10.-Concentración y flujo de alimentación variables. El esquema de control que se muestra es empleado para mantener constante la concentración PX cuando simultáneamente pueden cambiar tanto la concentración como el flujo del alimentado.
Fig. 3.27. Esquema de Control para Concentración y flujo de alimentación variables.
108
3.2.11.- Control de la temperatura en el tope y en el fondo para FX variable. Cuando se desea controlar las temperaturas en el tope y en el fondo de la torre, se presenta una situación típica de interacción entre lazos de control. Los cambios experimentados en el flujo del reflujo para regular la temperatura en el tope afectan la temperatura en el fondo, y los cambios en el flujo de vapor para regular la temperatura ene. Fondo afectan la temperatura en el tope. Es decir, las variables manipuladas afectan a las variables controladas.
Fig 3.28. Esquema de interacción entre las variables.
tθ : Temperatura del tope
fθ : Temperatura del fondo Dinámicamente:
( ) Rt LfT (1=θ , V, T) ( ) VfTf (2=θ , RL , T)
El diagrama de bloques correspondiente al referido sistema se muestra a continuación, así como las funciones de transferencia.
109
Fig. 3.29. Diagrama de bloques del sistema multivariable. Funciones de transferencia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sLsFsVsFs
sVsFsLsFs
Rf
Rt
2122
1211
+=
+=
θ
θ ( )
( )14.313.3
Las interacciones se pueden eliminar o reducir considerablemente incorporando a cada lazo de control un compensador de interacción o desacopladores , cuya función debe ser tal que cuando cambie, por ejemplo L R , se anule el efecto que éste produce en fθ , mediante un cambio en el flujo V lo suficiente para cancelar o reducir la acción L R . Las funciones de transferencias teóricas que deben tener los desacopladotes para una acción efectiva se obtienen de las ecuaciones 3 y 4 al hacer ( )stθ y
( )sfθ iguales a cero.
( ) ( )( )
( )( )sF
sFsLsV
sDR
f22
21−== ; ( ) ( )
( )( )
( )sFsF
sVsL
sD Rt
11
12−==
110
El esquema de control es el siguiente:
Fig 3.30. Esquema de Control de la temperatura en el tope y en el fondo para
FX variable. 3.2.12.-Control del reflujo interno. Debido a pérdidas de calor en el acumulador y en las tuberías, el condensado tiene una temperatura menor que la del vapor de tope, en consecuencia, el reflujo produce el mismo efecto dentro de la torre que la corriente de alimentación fría, es decir, condensar parte del vapor que asciende. En este caso se condensa parte del vapor que sale del primer plato, e incrementando el flujo de líquido que desciende, el que entonces se denomina reflujo interno (L Ri ).
111
Fig 3.31. Esquema del reflujo interno en la torre.
Dv θθ >
vθ : Temperatura del vapor del tope
Dθ : Temperatura del reflujo El reflujo interno se determina mediante la ecuación:
( )DVRRi KLL θθ −+= 1[ ]
donde: λeRC
K =
eRC : Calor específico del reflujo λ : Calor de vaporización del reflujo El esquema de control empleado para controlar a RiL se fundamenta en la medición de la diferencia de las temperaturas Vθ y Dθ , y en la medición de RL , cuyos valores son empleados para calcular el valor del flujo del reflujo interno, en algún dispositivo de cálculo neumático o electrónico, el que es introducido al controlador como la variable medida.
112
Fig. 3.32. Esquema de Control del reflujo interno. El control del reflujo interno es importante, porque ese flujo afecta los valores que tienen las composiciones dentro de la torre, modificando como es natural, las composiciones de las corrientes de salida. Bibliografía: 1.-“ Principles and Practice of Automatic Process Control”. Smith and Corripio. 2.- “Procesos Químicos y Termoenergéticos. Dinámica y Control”. Tomo I y II. Bychkó y colaboradores. 3.- “Control Automático de Procesos”. Acosta y colaboradores. 4.-“ Process Control”. P. Harriott. 5.- “Process Control Systems”. Shinskey. 6.- “Multivariable Process Control”. P.B. Desphande 7.- “Controles de procesos térmicos en instalaciones termoenergéticas.”
González, J.