tobilevichgraphs 2013 (updated)

Складні МережіСкладні МережіComplex Networks

!!!!

Складні мережі. Складні мережі. основні поняттяосновні поняття

У У складнихскладних системах системах обоб’’єкти мають бінарні єкти мають бінарні звзв’’язки, які можна язки, які можна представити у вигляді представити у вигляді мережі (графу) мережі (графу) G G ((X,VX,V), що однозначно ), що однозначно задається множинами задається множинами X (X (дуг, ребердуг, ребер) та V) та V ((вершинвершин))

Граф називається Граф називається скінченимскінченим, якщо , якщо XX и и V –V – скінчені множини скінчені множини

Складні мережіСкладні мережі (СМ)(СМ) ––графи з графи з нетривіальними нетривіальними топологічними топологічними властивостями.властивостями.


Топологічні властивості Топологічні властивості СМСМ, які визначають , які визначають функціонування систем, але не залежать функціонування систем, але не залежать від їх фізичної природи є від їх фізичної природи є предметом предметом дослідженнядослідження Складних мереж. Складних мереж.

Під Під топологієютопологією будемо розуміти вчення будемо розуміти вчення про модальні співвідношення про модальні співвідношення просторових образів та законах просторових образів та законах зв’язності, взаємного розташування та зв’язності, взаємного розташування та слідування точок, ліній та їх сукупностей слідування точок, ліній та їх сукупностей незалежно від мір їх величин.незалежно від мір їх величин.


Кожна вершина мережі (Кожна вершина мережі (nodenode) може бути ) може бути зв’язана з іншими вершинами деякою зв’язана з іншими вершинами деякою кількістю зв’язків (кількістю зв’язків (linkslinks). Зв’язки між ). Зв’язки між вершинами можуть мати напрямок.вершинами можуть мати напрямок.

Якщо дуги графу мають напрямок Якщо дуги графу мають напрямок (орієнтацію), то графи називаються (орієнтацію), то графи називаються орієнтованими або орієнтованими або орграфами орграфами ((directeddirected networknetwork).). Якщо Якщо зв’язок зв’язок симетричний, то граф називається симетричний, то граф називається неорієнтованим (неорієнтованим (undirected networkundirected network). ).


Дві вершини графу називаються Дві вершини графу називаються суміжнимисуміжними, якщо вони з’єднані дугою., якщо вони з’єднані дугою. Дуги, що з’єднують дві однакові Дуги, що з’єднують дві однакові вершини не орієнтованого графу вершини не орієнтованого графу називаються називаються кратнимикратними. Дуга, що . Дуга, що виходить із вершини та входить в неї виходить із вершини та входить в неї називається називається петлеюпетлею..

Граф з кратними дугами та петлями Граф з кратними дугами та петлями називається називається псевдографомпсевдографом..

Граф з кратними дугами без петель Граф з кратними дугами без петель називається називається мультиграфоммультиграфом


Будь-який граф (орграф) можна задати Будь-який граф (орграф) можна задати матрицею суміжностіматрицею суміжності..

Матрицею суміжностіМатрицею суміжності графа, що графа, що складається з складається з nn вершин, називається вершин, називається квадратна матриця квадратна матриця A A порядкупорядку n, n, у якої у якої

, якщо вершини , якщо вершини vvіі та та vvjj суміжні суміжні кратності кратності kk і , якщо вони і , якщо вони несуміжні.несуміжні.

0ijakaij

Складні мережі. Складні мережі. основні напрямкиосновні напрямки

В теорії складних мереж виділяють три В теорії складних мереж виділяють три основні напрямки:основні напрямки:

дослідження властивостей (мір дослідження властивостей (мір складності), що характеризують складності), що характеризують поведінку мережі (графу);поведінку мережі (графу);

створення моделі мережі;створення моделі мережі;передбачення поведінки мережі при передбачення поведінки мережі при

зміні її структурних властивостей.зміні її структурних властивостей.

Складні мережі. Складні мережі. основні характеристикиосновні характеристики

В прикладних дослідженнях як правило В прикладних дослідженнях як правило застосовують такі типові для застосовують такі типові для мережевого аналізу характеристики, як мережевого аналізу характеристики, як розмір мережі, мережева щільність, розмір мережі, мережева щільність, ступінь центральності та ін. ступінь центральності та ін.

При аналізі складних мереж як і в теорії При аналізі складних мереж як і в теорії графів досліджують параметри графів досліджують параметри окремих вершин (окремих вершин (локальнілокальні); параметри ); параметри мережі в цілому (мережі в цілому (глобальніглобальні); ); параметри мережевих підструктур. параметри мережевих підструктур.

Складні мережі. Складні мережі. локальні характеристикилокальні характеристики

Ступінь зв’язності вершинСтупінь зв’язності вершин

НеографиНеографи число число d(v)d(v) ребер графа, ребер графа,

яким інцидентна ця яким інцидентна ця вершина.вершина.

Вершина, для якої Вершина, для якої d(v)d(v)=0 =0 називається називається ізольованоюізольованою, а при , а при d(vd(v)=1 вершина )=1 вершина висячависяча

ОрграфиОрграфи число число d d --(v)(v) ––вхідний вхідний

ступінь звступінь зв’’язності язності вершини, число вершини, число d d ++

(v)(v) ––вихідний ступінь вихідний ступінь звзв’’язності вершини.язності вершини.


Важливою характеристикою мережі є Важливою характеристикою мережі є функція розподілу ступенівфункція розподілу ступенів ((Degree Degree distribution of nodesdistribution of nodes) вершин) вершин P(k)P(k), яка , яка визначається як ймовірність того, що визначається як ймовірність того, що вершина вершина ii має ступінь має ступінь kkіі = k = k. Розподіл . Розподіл ступенів ступенів P(k)P(k) відображає частку відображає частку вершин із ступенем вершин із ступенем kk..

P(k)P(k) в деяких випадках має розподіл в деяких випадках має розподіл Пуассона Пуассона

або експоненційний розподіл або експоненційний розподіл

!/)( kekP k/)( kekP


В мережі можлива ситуація, коли вершини з В мережі можлива ситуація, коли вершини з великим ступенем (зірки, концентратори) великим ступенем (зірки, концентратори) зв’язані переважно з зірками. Такі мережі зв’язані переважно з зірками. Такі мережі називають називають асортативнимиасортативними. Можлива також і . Можлива також і зворотна ситуація: зірки зв’язані з іншими зворотна ситуація: зірки зв’язані з іншими зірками через вершини, що мають малу зірками через вершини, що мають малу кількість «сусідів». Такі мережі називають кількість «сусідів». Такі мережі називають дисасортативнимидисасортативними. Для характеристики цієї . Для характеристики цієї властивості використовують властивості використовують коефіцієнткоефіцієнт кореляціїкореляції Пірсона між ступенями сусідніх Пірсона між ступенями сусідніх вершин. За означеннямвершин. За означенням . .

11 r


Дункан Уоттс і Стів Строгатс визначили Дункан Уоттс і Стів Строгатс визначили коефіцієнт кластерностікоефіцієнт кластерності, який , який характеризує тенденцію утворення груп характеризує тенденцію утворення груп взвзааємозв’язаних вершин ємозв’язаних вершин -- клік (clіque). клік (clіque).

Нехай вершина Нехай вершина іі має ступінь має ступінь kk, тобто у неї , тобто у неї kk сусідів, максимальна кількість зв’язків між сусідів, максимальна кількість зв’язків між якими . Тодіякими . Тоді

де де n nii -- число зв’язків між сусідами вершини. число зв’язків між сусідами вершини. Очевидно, що Очевидно, що

2/1ii kk

,1

2

ii

ii kk

nC

. 10 iC


Характеристикою вершини мережі, яка Характеристикою вершини мережі, яка відображає роль вершини у встановленні відображає роль вершини у встановленні зв’язків у мережі (показує, скільки зв’язків у мережі (показує, скільки найкоротших шляхів проходить через цей найкоротших шляхів проходить через цей вузол) є вузол) є посередництвопосередництво ( (betweenbetweennnessess)). . Посередництво Посередництво σσkk вершини вершини kk визначимо як визначимо як

Величину Величину σσkk також називають також називають навантаженням (навантаженням (loadload) чи центральністю ) чи центральністю посередництва (посередництва (betweenness centralitybetweenness centrality). ).

),(/),,( jiBjkiBji

k


В теорії складних мереж відстань між В теорії складних мереж відстань між двома вершинами дорівнює числу двома вершинами дорівнює числу ребер у найкоротшому шляху між ребер у найкоротшому шляху між ними (ними (геодезична відстаньгеодезична відстань).).

ЕксцентриситетомЕксцентриситетом вершини є вершини є максимальна геодезична відстань між максимальна геодезична відстань між нею та рештою вершин графа. нею та рештою вершин графа.


Характеристикою вершини є також Характеристикою вершини є також віддаленість віддаленість ((farnessfarness ) її від інших ) її від інших вершин графу, яка визначається як сума вершин графу, яка визначається як сума всіх її геодезичних відстаней. всіх її геодезичних відстаней.

ЦентрованістьЦентрованість ( (ссlosenessloseness centralitycentrality))

визначається як обернена віддаленість. визначається як обернена віддаленість. Таким чином, чим показник Таким чином, чим показник центраваності нижчий тим більша центраваності нижчий тим більша загальна геодезична відстань вершинизагальна геодезична відстань вершини

Центрованість може інтерпретуватися Центрованість може інтерпретуватися як міра швидкості передачі інформації у як міра швидкості передачі інформації у мережі.мережі.

Складні мережі. Складні мережі. глобальні характеристикиглобальні характеристики

Для характеристики мережі необхідно Для характеристики мережі необхідно перевірити її належність до наступних перевірити її належність до наступних класів:класів:

ЗвЗв’’язний графязний граф ––граф, що містить тільки граф, що містить тільки одну компоненту зводну компоненту зв’’язності, тобто між язності, тобто між будь-якою парою вершин графа існує будь-якою парою вершин графа існує хоча б один шлях.хоча б один шлях.

Простий графПростий граф –– граф, який не містить граф, який не містить кратних дуг та петель.кратних дуг та петель.


Регулярний (однорідний) графРегулярний (однорідний) граф ––граф, граф, ступені вершин якого рівні. Ступінь ступені вершин якого рівні. Ступінь регулярності є інваріантом графа регулярності є інваріантом графа rr((GG))..

Повний графПовний граф –– простий граф, в якому простий граф, в якому кожна пара вершин суміжна. Повний кожна пара вершин суміжна. Повний граф є регулярним.граф є регулярним.

Ейлерів графЕйлерів граф –– граф , що містить граф , що містить ейлерів цикл (замкнутий шлях, що ейлерів цикл (замкнутий шлях, що проходить по всім ребрам графа і тільки проходить по всім ребрам графа і тільки один раз).один раз).


Числові параметриЧислові параметри, що характеризують , що характеризують мережу в цілому є фактично мережу в цілому є фактично аналітичними узагальненнями її аналітичними узагальненнями її локальних характеристик.локальних характеристик.

Діаметр графаДіаметр графа є максимальною є максимальною геодезичною відстанню між парами геодезичною відстанню між парами його вершин, тобто це геодезична його вершин, тобто це геодезична відстань між двома вершинами графу, відстань між двома вершинами графу, максимально віддаленими одна від максимально віддаленими одна від одної.одної.


Для характеристики мережі в цілому Для характеристики мережі в цілому можна ввести поняття можна ввести поняття середнього середнього шляхушляху, як середнього значення , як середнього значення геодезичних відстаней по всім парам геодезичних відстаней по всім парам вершинвершин

jiijdnn

l1

2_


Деякі мережі можуть виявитися незвДеякі мережі можуть виявитися незв’’язними, язними, а отже значення середнього шляху а отже значення середнього шляху дорівнюватиме ∞. Для таких випадків дорівнюватиме ∞. Для таких випадків вводиться поняття вводиться поняття глобальної глобальної ефективності мережіефективності мережі

Ця характеристика відображає ефективність Ця характеристика відображає ефективність мережі при передачі інформації.мережі при передачі інформації.

. 1

1

1

ji ijdnn

E


Серед важливих числових Серед важливих числових характеристик складних мереж характеристик складних мереж такожтакож

Середній ступінь вершин мережіСередній ступінь вершин мережіКоефіцієнт кластерності мережі.Коефіцієнт кластерності мережі.

Очевидно, що ці числові Очевидно, що ці числові характеристики є усередненими характеристики є усередненими характеристиками вершин мережіхарактеристиками вершин мережі

Складні мережі. Складні мережі. спектральні характеристикиспектральні характеристики

Для введення спектральних Для введення спектральних характеристик складних мереж характеристик складних мереж введемо деякі поняття. введемо деякі поняття.

Матриця КірхгофаМатриця Кірхгофа ((Laplacian matrixLaplacian matrix) — ) — одна з форм представлень графу у одна з форм представлень графу у вигляді матриці. Матриця Кірхгофа вигляді матриці. Матриця Кірхгофа KK використовується для підрахунку використовується для підрахунку остових дерев даного графу ( матрична остових дерев даного графу ( матрична теорема про дерева), а також для теорема про дерева), а також для отримання спектральних отримання спектральних характеристик графу. характеристик графу.

Складні мережі. Складні мережі. спектральні спектральні

характеристикихарактеристики

., ,0

, ,1

,

. ,0

, :

,

Xvv

Xvv

jivd

k

ji

jivddnnD

ADK

ji

ji

i

ij

iij


характеристикихарактеристикиМатриця Кірхгофа має наступні властивості:Матриця Кірхгофа має наступні властивості:

остовів, число - графу простого Для

Кірхгофа. стала- рівні Кірхгофа матриці 4

,,1, , 3

,0det 2

,0 1

___

1 1

k

kA

njikk

K

kk

ij

jiij

n

i

n

jijij


характеристикихарактеристики

6) 6) Решта власних значень матриці Кірхгофа Решта власних значень матриці Кірхгофа додатні. Найменше із додатних власних додатні. Найменше із додатних власних значень Фідлер назвав індексом звзначень Фідлер назвав індексом зв’’язності язності графу. Його власний вектор називається графу. Його власний вектор називається вектором Фідлера.вектором Фідлера.

одиниць. з яскладаєтьс 0 відповідає

що вектор, Власний графу. компонент

язнихзв'числу дорівнює 0 Кратність

матриці. значенням власним є 0 5

tobilevichgraphs 2013 (updated)

Education