tutorijal7

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehniki fakultet

Odsjek za telekomunikacije

ETF TKO NPPS 4870

Tutorijal 7

Uticaj konane duine digitalne rijei na karakteristike sistema

Zadatak 1

Data je prenosna funkcija IIR ltera prvog reda:

H(z) =1, 2341 + 0, 2126z1

1 0, 5126z1

i pretpostavljeno je da se za kodiranje koecijenata koristi 7 bita (1 bit za predznak, 6 bita za ostatak). Odrediti

kvantiziranu (zaokruivanjem) prenosnu funkciju i poloaj polova i nula.

Rjeenje

Prvo je potrebno odrediti polove i nule za lter sa beskonanom preciznou. Rjeavanjem 1, 2341z+0, 2126 = 0dobije se nula na poziciji z1 = 0, 17227. Rjeavanjem z 0, 5126 = 0 dobije se pol na poziciji p1 = 0, 5126.Sada je potrebno izvriti kvantizaciju koecijenata ltera:

1, 2341 25 = 39, 4912 39

Kako se maksimalna amplituda koecijenata ltera 1,2341 nalazi izmeu 1 i 2, koecijenti ltera se skaliraju

faktorom 25 i zaokruuju na cjelobrojnu vrijednost koja se kodira sa 6 bita (6 bita je potrebno za kodiranje broja39). Kada se cjelobrojni koecijent skalira nazad koritenjem istog faktora, dobije se odgovarajui kvantizirani

koecijent sa konanom preciznou (7 bita ukljuujui i bit za predznak):

b0 = 39/25 = 1, 21875.

Pratei istu proceduru, dobiju se ostali kvantizirani koecijenti:

b1 = 0, 1875,

a1 = 0, 5.

Konano, kvantizirana prenosna funkcija ltera je:

H(z) =1, 21875 + 0, 1875z1

1 0, 5z1 ,

a njeni polovi i nule su:

p1 = 0, 5,

z1 = 0, 1538.

Jasno se vidi da su se pozicije nula i polova promijenile nakon kvantizacije koecijenata ltera.

Zadatak 2

Data je prenosna funkcija nekog DSP sistema:

H(z) =1 z2

1 + 0, 64z2

Odrediti minimalan broj bita za kvantizaciju koecijenata kojom se nee naruiti stabilnost sistema. Pret-

postaviti da se koristi kvantizator sa odsijecanjem, a da su kodne rijei zapisane u formi komplementa dvojke.

Odrediti nule i polove nakon kvantizacije.

1




ETF TKO NPPS 4870

Tutorijal 7

Rjeenje

Prenosna funkcija se moe zapisati u sljedeem obliku:

H(z) =z2 1

z2 + 0, 64.

Nazivnik prenosne funkcije se moe zapisati u obliku kvadratnog polinoma az2 + bz + c, odakle slijedi da su

polovi p1,2 =bb24ac

2a . Budui da je b = 0, polovi su p1,2 = caDa bi sistem ostao stabilan, polovi ne smiju izai iz jedinine krunice, odnosno:(

c+ maxa+ max

)2< 1

gdje je max maksimalna greka kvantizacije data sa:

max = = xmax xminL

= xmax xmin2n

= 1 (1)2n

= 2n+1

gdje je n duina kodne rijei (u bitima) na izlazu iz kvantizatora. Stoga uslov za stabilnost sistema je:

c+ maxa+ max

< 1

c+ max < a+ max

Ako pretpostavimo najnepovoljniji sluaj kvantizacije, dobije se:

c < a < a c

2n+1 < 0, 36

n > 1 ld0, 36n > 2, 4739

Da bi sistem ostao stabilan, minimalan broj bita za kvantizaciju koecijenata je 3. Tada vrijednost kvan-

tizacionog nivoa iznosi = 2/8 = 0, 25. Ukoliko se koristi kvantizator sa odsijecanjem sa vrijednostima ukomplementu dvojke, skup kvantiziranih vrijednosti je sljedei:

Q = {1;0, 75;0, 5;0, 25; 0; ; 0, 25; 0, 5; 0, 75}.

Kvantizirana prenosna funkcija je:

H(z) =0, 75 z2

0, 75 + 0, 5z2=

(z 0, 8660)(z + 0, 8660)(z j0, 8165)(z + j0, 8165) .

Zadatak 3

Data je prenosna funkcija FIR ltera:

H(z) = 0, 2126 + 0, 5126z1 + 0, 5126z2 + 0, 2126z3.

Odrediti kvantiziranu prenosu funkciju ako se za kodiranje koecijenata koristi 6 bita (1 bit za predznak, 5 bita

za ostatak) i kvantizacija sa zaokruivanjem. Procijeniti maksimalnu vrijednost greke dobijenog amplitudskog

frekvencijskog odziva.

2




ETF TKO NPPS 4870

Tutorijal 7

Rjeenje

Kvantizirani koecijenti se mogu odrediti kao:

b0 = b3 =

[0, 2126 25]

25=

[6, 8032]

32=

7

32= 0, 21875

b1 = b2 =

[0, 5126 25]

25=

[16, 4032]

32=

16

32= 0, 5

Kvantizirana prenosna funkcija je:

H(z) = 0, 21875 + 0, 5z1 + 0, 5z2 + 0, 21875z3.

Maksimalna vrijednost greke dobijenog frekvencijskog odziva je odreena sljedeom nejednakou (izvoenje

je dato u pripremi za laboratorijsku vjebu 5):

|H(ej)| 2(B+1)M = 464

= 0, 0625.

Na sljedeoj slici je prikazan uticaj kvantizacije koecijenata ltera na amplitudski i fazni frekvencijski odziv.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Normalized Frequency (pi rad/sample)

Mag

nitu

de (dB

)

Magnitude (dB) and Phase Responses

-3.3672

-2.8311

-2.295

-1.7589

-1.2228

-0.6867

-0.1506

Phas

e (ra

dians)

Zadatak 4

Dat je FIR lter:

y(n) = 0, 9x(n) + 3x(n 1) 0, 9x(n 2),sa pojaanjem 4 u propusnom opsegu i pretpostavljeno je da ulazni opseg zauzima 1/4 punog opsega vrijednosti.

Realizirati DSP implementacijske jednaine ako se koristi Q-15 sistem sa ksnom takom.

Rjeenje

U sumatoru se moe desiti prekoraenje opsega ako uzorci na ulazu uzimaju Imax =14 punog dinamikog opsega.

Kako bi se sprijeilo prekoraenje opsega kod sabiranja, vri se skaliranje uzoraka na ulazu u lter faktorom Skoji se rauna kao:

S = Imax k=0

|h(k)| = 14

(|h(0)|+ |h(1)|+ |h(2)|) = 14

(0, 9 + 3 + 0, 9) = 1, 2.

3




ETF TKO NPPS 4870

Tutorijal 7

S obzirom da je faktor S vei od 1, prekoraenje opsega kod sabiranja je mogue. Faktor skaliranja se bira dabude potencija broja 2 radi jednostavne implementacije u DSP sistemima (dijeljenje sa 2 se moe implementirati

kao pomijeranje bita kodne rijei udesno), pa je S = 2.

Budui da su koecijenti ltera vei od 1, a za zapis koecijenata se koristi sistem Q15 (1 bit za predznak, 15

bita za frakciju), potrebno je izvriti i skaliranje koecijenata. Kao faktor skaliranja koecijenata bira se broj

koji je potencija broja 2, a vei je od vrijednosti maksimalnog koecijenata, pa je B = 4.

Konano, DSP implementacijske jednaine su:

xs(n) =x(n)

S= 0, 5x(n),

ys(n) =a0Bxs(n) +

a1Bxs(n 1) + a2

Bxs(n 2) = 0, 225xs(n) + 0, 75xs(n 1) + 0, 225xs(n 2),

y(n) = B S ys(n) = 8ys(n).

Zadaci za samostalan rad

Zadatak 1


H(z) =z2 + 2

z2 0, 64Odrediti nule i polove date prenosne funkcije i predstaviti ih u kompleksnoj ravni {z}. Odrediti minimalan

broj bita za kvantizaciju koecijenata kojom se nee naruiti stabilnost sistema. Pretpostaviti da se koristi

kvantizator sa odsijecanjem, a da su kodne rijei zapisane u formi komplementa dvojke. Graki predstaviti

nule i polove nakon kvantizacije.

Zadatak 2


H(z) =z2 1

z2 0, 81Odrediti nule i polove date prenosne funkcije i predstaviti ih u kompleksnoj ravni {z}. Odrediti minimalan

broj bita za kvantizaciju koecijenata kojom se nee naruiti stabilnost sistema. Pretpostaviti da se koristi

kvantizator sa odsijecanjem, a da su kodne rijei zapisane u formi komplementa dvojke. Graki predstaviti

nule i polove nakon kvantizacije.

Zadatak 3

Na slici je dat digitalni lter. Da li e sistem biti stabilan ako se za predstavljanje koecijenata ltera ko-

riste kodne rijei duine 3 bita i kvantizacija sa odsijecanjem? Hint: Opseg ulaznih vrijednosti uniformnog

kvantizatora je (-1.3, 1].

4




ETF TKO NPPS 4870

Tutorijal 7

Zadatak 4

Realizirati kosinusni oscilator na frekvenciji 1500 Hz pomou IIR ltera, ako je frekvencija uzorkovanja 4 kHz.

Odrediti minimalan broj bita za kvantizaciju (odsijecanjem) koecijenata oscilatora tako da maksimalno odstu-

panje od zadane frekvencije iznosi 100 Hz.

Zadatak 5

Dat je impulsni odziv FIR ltera h[n] = {0.3, 0.9, 0.3}. Pri kvantizaciji koecijenata prenosne funkcije datogltera vai sljedee:

1. pol z0 je najosjetljiviji na kvantizaciju koecijenta ___________________

2. pol z1 je najosjetljiviji na kvantizaciju koecijenta ___________________

Za rjeenje ovog zadatka preporuuje se proitati pripremu za laboratorijsku vjebu 5.

Zadatak 6

Data je prenosna funkcija FIR ltera H(z) = 1, 063 + 2, 563z1 + 2, 563z2 1, 063z3. Izvriti kvantizacijuprenosne funkcije ako se za kodiranje koecijenata koristi ukupno 6 bita i kvantizacija sa zaokruivanjem.

Zadatak 7

Data je prenosna funkcija IIR ltera H(z) = 0,50,90,8z1 . Odrediti minimalan broj bita za kvantizaciju koeci-jenata prenosne funkcije sa kojim se nee naruiti stabilnost ltera. Pretpostaviti da se koristi kvantizator sa

zaokruivanjem, a da su kodne rijei zapisane u formi komplementa dvojke.

Zadatak 8

Dat je impulsni odziv FIR ltera h[n] = {0.0188,0.2523, 1.4670,0.2523, 0.0188}. Realizirati DSP imple-mentacijske jednaine i nacrtati implementacijsku strukturu ltera ako ulazni signal uzima puni opseg vrijed-

nosti.

Zadatak 9

Data je prenosna funkcija FIR ltera:

H(z) = 0, 2126 + 0, 5126z1 + 0, 5126z2 + 0, 2126z3.

Odrediti kvantiziranu prenosu funkciju ako se za kodiranje koecijenata koristi 6 bita (1 bit za predznak, 5 bita

za ostatak) i kvantizacija sa odsijecanjem. Procijeniti maksimalnu vrijednost greke dobijenog amplitudskog

frekvencijskog odziva.

5

tutorijal7

Documents