REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA

ELECTROTECNIA III-1

UNIDAD 7.REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA Y CANTIDADES POR UNIDAD.

1. INTRODUCCIN.

El diagrama completo para un sistema trifsico rara vez es necesario para llevar la informacin ms detallada y uniforme de un sistema elctrico. De hecho, el diagrama completo frecuentemente oculta, en vez de aclarar, la informacin que buscamos desde el punto de vista del sistema. En esta parte veremos lo que significa un diagrama unifilar y cmo ste describe el sistema.

De gran importancia es la introduccin de cantidades por unidad, que se usan en muchos clculos en lugar de volt, ampere y otras unidades semejantes. Aunque el concepto de por unidad es muy simple su aplicacin a circuitos trifsicos requiere de algunas aclaraciones.

2. DIAGRAMA UNIFILAR.

Un sistema trifsico simtrico y balanceado se resuelve siempre como un circuito monofsico, formado por una de las tres lneas y un conductor del neutro; por esta razn, muy rara vez, es necesario representar en el diagrama elctrico del circuito, ms de una fase y el neutro. Con frecuencia se hace todava otra simplificacin mayor, suprimiendo el cierre del circuito por el neutro e indicando sus partes componentes por medio de smbolos normalizados, mejor que por sus circuitos equivalentes. Los parmetros del circuito no se indican, y la lnea de transmisin se representa por una sola lnea entre los dos extremos. Al diagrama resultante de esta simplificacin de un sistema elctrico se le llama el diagrama unifilar. Representa por medio de una lnea simple y de smbolos normalizados, a las lneas de transmisin y aparatos asociados con un sistema elctrico.

El objeto de un diagrama unifilar es de suministrar de manera concisa los datos ms significativos e importantes de un sistema. La importancia de las diferentes caractersticas de un sistema vara segn el problema que se considere y la cantidad de informacin que se incluya en el diagrama depende del fin para el que se desea. Por ejemplo, la colocacin de los interruptores y los relevadores no tiene importancia en un estudio de cargas; por lo tanto, stos no se pondrn si el fin primario del diagrama es realizar tal estudio. Por otra parte, la determinacin de la estabilidad de un sistema en condiciones de rgimen transitorio, resultante de fallas, depende de la velocidad con que los relevadores e interruptores del circuito aislen la parte del sistema con falla. Por tanto, la informacin sobre los interruptores puede ser de importancia trascendental. Algunas veces, los diagramas unifilares incluyen informacin sobre los transformadores de corriente y potencial que unen los relevadores de proteccin al sistema o que estn instalados para medicin. La informacin contenida, pues, en un diagrama unifilar, vara segn el problema que se estudia y segn la prctica de la compaa en particular que lo prepare.

La American National Institute (ANSI) y el Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE) han publicado un conjunto de smbolos normalizados para los diagramas elctricos. La figura nmero 1 muestra algunos de los smbolos comnmente usados. El smbolo bsico para una mquina o inducido giratorio es un circulo, pero hay relacionadas tantas adaptaciones al smbolo bsico, que pueden ser representadas todas las partes de la mquina elctrica giratoria de uso comn. Para el que no trabaje constantemente con los diagramas unifilares es ms claro indicar una mquina determinada por medio de smbolo bsico seguido de la informacin sobre su tipo y rgimen.

Es importante conocer la situacin de los puntos en los que un sistema est unido a tierra, con objeto de calcular la corriente que circula cuando se produce una falla asimtrica que incluye la tierra. El smbolo normalizado para designar una estrella trifsica con el neutro a tierra, se ha representado en la figura nmero 1. Si se intercala un resistor o un reactor entre el neutro de la estrella y tierra para limitar la corriente durante la falla, se pueden aadir los smbolos adecuados al smbolo normalizado de la estrella a tierra.

La figura nmero 2 es el diagrama unifilar de un sistema de potencia sencillo. Dos generadores, uno puesto a tierra a travs de una reactancia y el otro a travs de una resistencia, estn conectados a una barra colectora y, a travs de un transformador elevador, a una lnea de transmisin. Un tercer generador, puesto a tierra por una reactancia, est conectado a una barra colectora y, por un transformador, al otro extremo de la lnea de transmisin. A cada barra est unida una carga. En el diagrama se incluyen datos sobre las cargas, el rgimen de los generadores y transformadores y las reactancias de las diversas partes del circuito. Las resistencias se desprecian muchas veces al efectuar los clculos de fallas y se omite la informacin que acompaa a la figura nmero 2. Para los estudios de cargas hay que incluir las resistencias.

Las reactancias especificadas para los generadores en la figura nmero 2 se conocen como reactancias subtransitorias. El estudio de las mquinas de corriente alterna, demuestra que la corriente que circula inmediatamente despus de producirse una falla, depende de un valor de la reactancia en el generador o el motor, que es diferente del valor que la que se determina en rgimen permanente.

En la figura nmero 3, se muestra el diagrama unifilar de una industria pequea.

Diagramas de impedancias y reactancias.

Para estudiar el comportamiento de un sistema en condiciones de carga o al presentarse un cortocircuito, el diagrama unifilar tiene que transformarse en un diagrama de impedancias que muestre el circuito equivalente de cada componente del sistema, referido al mismo lado de uno de los lados de los transformadores. La figura nmero 4 representa el diagrama detallado de impedancias correspondiente a la figura nmero 2. El circuito equivalente de la lnea de transmisin se representa, con la exactitud suficiente, por medio de una ( nominal que tenga la resistencia total y la reactancia inductiva de la lnea en su brazo serie y la capacitancia total al neutro, dividida entre sus brazos en paralelo. En cada transformador se muestra la resistencia, la reactancia de dispersin y el paso para la corriente de magnetizacin. Cada generador est representado por la tensin generada en serie con valores adecuados de resistencia y reactancia. Si hay que hacer un estudio de cargas, las cargas atrasadas A y B estn representadas por una resistencia y una reactancia inductiva en serie. El diagrama de impedancias no incluye las impedancias limitadoras de corriente, representadas en el diagrama unifilar entre los neutros de los generadores y tierra. Porque en condiciones de simetra y balanceo, no circulan corrientes por la tierra y los neutros de los generadores estn al mismo potencial que el neutro del sistema. Puesto que la corriente de magnetizacin de un transformador es, generalmente, insignificante comparada con la corriente de plena carga, la admitancia en paralelo se suprime normalmente en el circuito equivalente del transformador.

Como se ha mencionado antes, la resistencia se omite algunas veces an en programas de computadora digital. Por supuesto, esta eliminacin de la resistencia introduce errores, pero los resultados pueden ser satisfactorios ya que la reactancia inductiva de un sistema es mucho mayor que su resistencia. La resistencia y la reactancia inductiva no se suman directamente y la impedancia no es muy diferente a la reactancia inductiva si es pequea la resistencia. Las cargas que no incluyen maquinas rotatorias, tienen poco efecto sobre la corriente total de la lnea durante una falla, por lo que, frecuentemente se omiten. Por el contrario, las cargas con motores sncronos se incluyen siempre al hacer clculos de fallas, por que sus fuerzas electromotrices generadas contribuyen a la corriente de cortocircuito. Si el diagrama se ha de utilizar para determinar la corriente, inmediatamente despus de que se produce una falla, se deben tener en cuenta los motores de induccin, con una fuerza electromotriz generada en serie con una reactancia inductiva. Los motores de induccin se ignoran en el clculo de la corriente, unos pocos ciclos despus de que se produce una falla, por que la corriente con que un motor de induccin contribuye, desaparece muy rpidamente al quedar el motor en cortocircuito.

Si queremos simplificar nuestros clculos de la corriente de falla, suprimiendo todas las resistencias, la corriente de magnetizacin de cada transformador y la capacitancia de las lneas de transmisin, el diagrama de impedancias se reduce al diagrama de reactancias de la figura nmero 5. Estas simplificaciones se aplican nicamente al clculo de fallas y no al estudio de flujos de carga.

Los diagramas de impedancias y reactancias que aqu se presentan, se llaman algunas veces diagramas de secuencia positiva, puesto que representan las impedancias para las corrientes equilibradas de un sistema trifsico simtrico y balanceado.

Cuando se representa un transformador por un circuito equivalente, no hay transformacin correspondiente a la transformacin de tensin entre los lados de alta y baja tensin del transformador real. La corriente en ambos extremos del circuito equivalente es idntica si se deprecia la corriente de magnetizacin. En un transformador real, la corriente en los devanados de alta y baja tensin sera idntica nicamente para igual nmero de vueltas en el primario que en el secundario, despreciando la corriente de magnetizacin. En un circuito en el que los transformadores estn representados por sus circuitos equivalentes, las impedancias adecuadas son las del circuito real, referidas al lado del transformador para el que se construye el circuito equivalente.

Las reactancias del diagrama de la figura nmero 5 estn en ohm, respecto al circuito de alta tensin. Como la lnea de transmisin que se considera es la parte de alta tensin del circuito, no es necesario hacer modificaciones en el valor de la reactancia colocada en el circuito equivalente para representar la lnea de transmisin. La informacin contenida en el diagrama unifilar, especifica la reactancia de dispersin de los transformadores del lado de alta tensin, no siendo necesario hacer modificacioness en los valores de la reactancia de prdidas en el circuito equivalente.

La teora de los transformadores demuestra que la impedancia del devanado secundario de un transformador se puede referir a la del primario, multiplicando dicha impedancia por el cuadrado de la relacin de espiras del devanado primario a las del devanado secundario. Los generadores de la figura nmero 2 estn en los lados de baja tensin de los transformadores, y sus reactancias se deben referir al circuito de alta tensin para el que se ha dibujado la figura nmero 5.

Los generadores 1 y 2 estn conectados al circuito de alta tensin a travs de transformadores; comnmente podramos esperar un transformador simple trifsico conectado internamente en estrella/estrella (Y/Y). Aqu se describen tres transformadores monofsicos para resaltar el hecho de que cada fase se considera separadamente como parte de un sistema trifsico. La teora es la misma para un transformador trifsico que para un banco de transformadores monofsicos conectados para formar un circuito trifsico. La figura nmero 6 se aplica en cualquier caso para una conexin Y/Y. Los devanados del transformador estn representados esquemticamente, y las fases de los devanados primario y secundario estn dibujados en direcciones paralelas sobre el mismo transformador monofsico o para la unidad trifsica sobre la misma seccin del ncleo magntico y enlazados por flujos idnticos excepto por las prdidas.

La reactancia de 0,655 ( en fase del generador 1 est (en serie con la tensin interna) a travs del devanado de 3,81 kV del transformador sin importar si hay o no conexin entre el neutro del generador y la carga, puesto que el sistema es simtrico y balanceado, La reactancia del generador 1 referida al lado de alta tensin del transformador es,

En la misma forma, la reactancia del generador 2 referida al lado de alta tensin del transformador es,

El procedimiento en el caso del generador 3, que est conectado a la lnea a travs de un transformador conectado en delta/estrella ((/Y), no es tan obvia. La conexin del transformador se muestra en la figura nmero 7a. El generador, conectado en estrella (Y), est sobre el lado de la delta (() del transformador. La tensin de la lnea es de 66 kV sobre el lado de la estrella(Y) y se reduce a 3,81 en el lado de baja tensin. En cuanto se refiere a la tensin en el lado de baja tensin, el transformador estrella/delta (Y/() se puede reemplazar por un banco de transformadores estrella/estrella (Y/Y) que tiene una relacin de espiras para cada transformador individual (o para cada par de devanados por fase del transformador trifsico) de 38,1/2,2 kV, como se muestra en la figura nmero 7b.

La reactancia del generador 3 referida al lado de alta tensin del transformador es,

La figura nmero 7b nos muestra que, vista desde el lado de alta tensin del transformador 2, la reactancia del generador 3 es (38,1/2,2)2 X 0,1452 = 43,6 (. Este factor de multiplicacin es , que equivale al cuadrado de la relacin de espiras de los devanados individuales del transformador estrella/delta (Y/().

Este estudio nos lleva a la conclusin de que para referir el valor hmico de la impedancia desde el nivel de tensin sobre un lado del transformador trifsico hasta el nivel en el otro lado, el factor de multiplicacin es el cuadrado de la relacin de las tensiones de lnea sin que importe si la conexin es estrella/estrella (Y/Y) o delta/estrella ((/Y).

Esto es,

En general varias ramas de un sistema elctrico de potencia o de distribucin funcionan a diferentes tensiones. Al representar el sistema mediante un sistema de impedancias, es conveniente utilizar un esquema que permita la combinacin de las diferentes impedancias de manera que la red pueda ser representada por una sola impedancia entre la fuente y el punto bajo estudio. Esto plantea la exigencia de que se determine una impedancia Z2, que se puede usar con una tensin , arbitrariamente seleccionada, denominada como tensin base, de tal manera que tome los mismos kVA que cuando se usa la impedancia real Z1, en conjunto con la tensin real . Expresando el enunciado anterior algebraicamente tenemos,

Como,

Entonces,

Sustituyendo en la ecuacin nmero (4),

Despejando a Z2 tenemos,

La ecuacin nmero 5 muestra que la impedancia original se debe multiplicar por el cuadrado de la relacin de la tensin base a la tensin nominal de funcionamiento de la impedancia.

La corriente en funcin de la tensin nominal se determina multiplicando el resultado en funcin de la tensin base, por la relacin de las tensiones, esto es,

3. CANTIDADES POR UNIDAD.

Para estudiar el comportamiento de los sistemas elctricos, con frecuencia, las tensiones, corrientes, impedancias, as como de las potencias, se expresan sus valores en por unidad o por ciento de un valor base o de referencia. Por ejemplo, si se elige una tensin base de 120 kV, las tensiones, cuyos valores sean 108, 120 y 126 kV, se transforman en 0,90, 1,00 y 1,05 por unidad, o 90, 100 y 105 %, respectivamente. El valor por unidad de una magnitud cualquiera se define como la relacin de su valor al valor base, expresado como un decimal. El valor en por ciento es igual a 100 veces el valor por unidad. Los mtodos de clculo que utilizan los valores por unidad o por ciento son mucho ms sencillos que usando los valores nominales en volt, ampere y ohm. El mtodo por unidad tiene una ventaja sobre el mtodo en por ciento y es que el producto de dos magnitudes expresadas en por unidad, viene a su vez, expresado en por unidad, en tanto que el producto de dos magnitudes en por ciento, tiene que dividirse por 100 para obtener el resultado en por ciento.

Las tensiones, corrientes, impedancias y potencias, estn relacionadas entre s, de tal forma que la eleccin de valores base para dos cualesquiera determinan los valores base de las otras dos. Si se especifican los valores base de la tensin y la corriente, se pueden determinar la impedancia base y la potencia base. La impedancia base es aquella que da lugar a una cada de tensin igual a la tensin base, cuando la corriente que circula por dicha impedancia sea igual al valor base de la corriente. Las potencias base, en sistemas monofsicos, son el producto de la tensin base en kV por la corriente base en ampere. Normalmente, las magnitudes elegidas para seleccionar las bases son la potencia en kVA y la tensin en kV. En sistemas monofsicos o trifsicos en los que el trmino corriente se refiere a la corriente de lnea, el trmino tensin se refiere a la tensin al neutro y la potencia son kVA por fase, relacionndose las diversas magnitudes por medio de las frmulas siguientes:

Sistemas monofsicos.

Si designamos la cantidad base con el subndice B tendremos,

Potencia base =

Tensin base =

La corriente base y la impedancia base se calculan como,

En las ecuaciones anteriores los subndices 1( y N indican por fase y al neutro respectivamente, donde las ecuaciones se apliquen a circuitos trifsicos. Si las ecuaciones se emplean para circuitos monofsicos, kVN significa la tensin a travs de la lnea monofsica o de lnea a tierra, si un lado de la lnea est a tierra.

Teniendo definidas las cantidades base, podemos normalizar cualquier cantidad del sistema dividindola por la cantidad de base de la misma magnitud. As, la impedancia por unidad Zp.u., queda definida como,

En esta ecuacin las dimensiones se cancelan y el resultado es una cantidad adimensional cuyas unidades se especifican en por unidad, o p.u.

Si escribimos Z( = R + j X en (, podemos dividir ambos lados de esta ecuacin por ZB y obtenemos,

De la misma manera podemos escribir S = P + j Q en VA y dividiendola por la potencia base S1(B , obtenemos

De donde,

y

Circuitos trifsicos.

Como los circuitos trifsicos se resuelven como una lnea simple con retorno al neutro, las bases para las magnitudes del diagrama de impedancias son kVA por fase y kV de lnea a neutro. Los datos se dan normalmente como kVA totales trifsicos o MVA y kV de lnea. A causa de esta costumbre de especificar las tensiones de lnea y los kVA o MVA totales, se puede originar una confusin sobre la relacin existente entre el valor por unidad de la tensin de lnea y el valor de la tensin de fase. Aunque se puede especificar como base una tensin de lnea, la tensin en el circuito monofsico, necesaria para la solucin, es la tensin al neutro. La tensin base, respecto al neutro, es la tensin bse de lnea dividida por .

Dado que ste es tambin el valor de la relacin entre las tensiones de lnea y la tensin al neutro en un sistema trifsico simtrico, el valor por unidad de una tensin de lnea el mismo punto, con tensin base de lnea, si el sistema es simtrico. De igual forma, los kVA trifsicos son tres veces los kVA por fase y los kVA en base trifsica son tres veces los kVA base por fase.

Por lo tanto, el valor por unidad de los kVA trifsicos base, es idntico al valor por unidad de los kVA por fase con kVA por fase de base.

Un ejemplo numrico puede servir para entender las relaciones discutidas. Por ejemplo si

y

donde los subndices 3( y L significan trifsico y de lnea respectivamente,

y

Para una red con una tensin de lnea de 108 kV, la tensin al neutro es de , y

Para la potencia trifsica total de 18 000 kW, la potencia por fase es 6 000 kW, y

Desde luego, en todo lo antedicho, se pueden sustituir kW y kVA por MW y MVA. A menos que se especifique de otra manera, el valor dado para la tensin base de un sistema trifsico es la tensin de lnea y el valor dado para los kVA base o MVA base es la potencia total trifsica.

La corriente base y la impedancia base se pueden calcular directamente a partir de los valores trifsicos base en kV y kVA. Si interpretamos que los kVA base, son los totales de las tres fases y la tensin base en kV es la tensin base de lnea, tenemos,

Y de la ecuacin de la impedancia,

As tenemos que,

Escribiendo la ecuacin de la impedancia por unidad Zp.u con la tensin en kV y la potencia en MVA tenemos,

Si queremos convertir los valores en ( de las reactancias del diagrama de la figura nmero 5 a valores por unidad, podemos elegir como base 30 MVA (S3(B) y 66 kV (VLB), con lo que determinamos la impedancia base, en la forma siguiente:

Dividiendo cada uno de los valores de la reactancia hmica del diagrama por la impedancia base de 145,2 (, se obtendrn los valores por unidad de tales reactancias.

Cada una de las reactancias , por unidad, se han puesto en la figura nmero 5 dentro de un parntesis debajo del valor hmico correspondiente.

En el estudio de los sistemas, la pregunta que a veces se hace es Dada una impedancia en por unidad referida a una base, cul ser su valor por unidad referido a una nueva base?

Cambio de base para los valores por unidad.

Algunas veces la impedancia por unidad de un componente de un sistema se expresa sobre una base distinta que la seleccionada como base para la parte del sistema en la cual est situado dicho componente. Dado que todas las impedancias de cualquier parte del sistema tienen que ser expresadas respecto a la misma impedancia base, al hacer los clculos, es preciso tener un medio para pasar las impedancias por unidad de una a otra base. Sustituyendo en la expresin de la impedancia base tenemos,

impedancia base por unidad de un elemento de circuito,

Las ecuaciones anteriores demuestran que la impedancia por unidad es directamente proporcional a los kVA base e inversamente proporcional al cuadrado de la tensin base.

Dos impedancias en por unidad referidas a sus respectivas cantidades base se pueden escribir ahora usando los subndices d para el valor dado y n para el valor nuevo.

Puesto que Z( es igual para cualquier base, entonces

De donde,

Por lo tanto, para cambiar la impedancia por unidad respecto a una base nueva, se aplicar la ecuacin siguiente:

Esta ecuacin no tiene ninguna relacin con la transferencia del valor hmico de la impedancia de un lado del transformador a otro. El gran valor de la ecuacin est en el cambio de la impedancia por unidad que se da de una base particular a otra base, sin tener conocimiento del valor hmico de Z(.

Conversin de valores en por unidad a valores reales.

Una vez que los clculos en por unidad en algn sistema se han terminado y se requiere convertir alguna o todas estas cantidades a valores reales, el procedimiento se realiza en forma inversa, esto es

En general no es necesario convertir una impedancia en por unidad en una impedancia en ohm, pero el procedimiento es exactamente el mismo.

Ejemplo 7-1. La reactancia subtransitoria X de un generador es de 0,20 por unidad basada en la placa del generador de 13,2 kV, 30,0 MVA. La base para los clculos es de 13,8 kV y 50,0 MVA. Encuentre la reactancia subtransitoria en esta nueva base.

SOLUCIN.

Seleccin de la base para los valores por unidad.

La seleccin de los valores base en kV y kVA se hace con el objeto de reducir al mnimo, en la medida de lo posible, el trabajo exigido por el clculo. Primero se selecciona una base para una parte del circuito. Despus debe determinarse, de acuerdo con los principios que se desarrollarn en esta seccin, la base en otras partes del circuito, separadas de la primera parte por los transformadores. La base elegida debe ser tal que lleve a valores por unidad de la tensin y la corriente del sistema, aproximadamente iguales a la unidad, de forma que se simplifique el clculo. Se ahorrar mucho tiempo si la base se selecciona de forma que pocas magnitudes, por unidad, ya conocidas, tengan que convertirse a una nueva base.

Cuando un fabricante da la resistencia y la reactancia de un aparato en por ciento o por unidad, se sobreentiende que las bases son los kV y kVA nominales del aparato. Hay tablas disponibles que dan los valores aproximados de las impedancias por unidad de generadores, transformadores, motores sncronos y motores de induccin. Los valores obtenidos de las tablas estn basados en valores medios para aparatos de tipo y tamao similar.

Los valores de la resistencia hmica y la reactancia de prdidas de un transformador dependen de que se midan en el lado de alta o baja tensin del transformador. Si se expresan por unidad, los kVA base se sobreentiende que son los nominales del transformador. La tensin base se sobreentiende que es la tensin nominal en el devanado de baja tensin del transformador y la tensin nominal en el devanado de alta tensin, si estn referidos al lado de alta tensin del transformador. La impedancia por unidad de un transformador es la misma, no importa si se determina desde los valores hmicos referidos a los lados de alta o baja tensin de los transformadores.

Ejemplo 7-2. Un transformador monofsico se especifica como 110:440 V, 2,50 kVA. La reactancia de prdidas medida desde el lado de baja tensin es 0,0600 (. Determine la reactancia de prdidas por unidad.

SOLUCIN.

En por unidad,

Si la reactancia de prdidas se ha medido en el lado de alta tensin el valor es,

En por unidad,

Se consigue una gran ventaja en el clculo por unidad, por seleccin adecuada de bases diferentes para circuitos interconectados por un transformador. Para conseguir esta ventaja en un sistema monofsico, las tensiones base para circuitos conectados por un transformador deben estar en la misma relacin que el nmero de vueltas de los devanados del transformador. Con esta eleccin de tensiones base y los mismos kVA base, el valor por unidad de una impedancia ser el mismo si se expresa respecto a la base elegida para su propio lado del transformador que si refiere al otro lado del transformador y se expresa respecto a la base de este lado.

Ejemplo 7-3. Las tres partes de un sistema elctrico monofsico, designadas por A, B y C, estn interconectadas por medio de transformadores en la forma representada en la figura. Los transformadores tienen las caractersticas siguientes:

A-B 10 000 kVA; 13,8 : 138 kV; reactancia de dispersin, 10 %.

B-C 10 000 kVA; 69 : 138 kV; reactancia de dispersin, 8 %.

Si en el circuito B se toma como base 10 000 kVA (kVA1(B,B) y 138 kV (kV1(B,B) determinar la impedancia por unidad de una carga hmica pura de 300 ( en el circuito C, referida a los circuitos C, B y A. Dibujar el diagrama de impedancias despreciando la corriente de magnetizacin, las resistencias de los transformadores y las impedancias de las lneas. Determinar la regulacin de tensin si la tensin en la carga es de 66 kV, con la hiptesis de que la tensin de entrada del circuito A permanece constante.

SOLUCIN.

Las relaciones de los transformadores son,

La tensin base para el circuito A es,

La tensin base para el circuito C es,

La impedancia base del circuito C es,

La impedancia de la carga, por unidad, en el circuito C es,

Como la seleccin de la base en las diversas partes del circuito se determin por la relacin de espiras de los transformadores, la impedancia por unidad de la carga referida a cualquier parte del sistema, ser la misma. Esto se comprueba como sigue:

La impedancia base del circuito B es,

La impedancia de la carga referida al circuito B es,

La impedancia de la carga, por unidad, referida a B es,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

La impedancia base del circuito A es,

La impedancia de la carga referida al circuito A es,

La impedancia de la carga, por unidad, referida a A es,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

El diagrama de impedancias, por unidad es,

El clculo del factor de regulacin se lleva a cabo en la forma siguiente:

Tensin en la carga, por unidad

Corriente, por unidad

Tensin de entrada, por unidad

EMBED Equation.3

Por lo tanto la regulacin es,

La ventaja antes sealada es la causa de que el principio seguido en el ejemplo anterior (Ejemplo 7-3) de seleccin de base para las diversas partes del sistema, se siga al efectuar clculos por unidad o por ciento. La base en kVA debe ser la misma en todas las partes del sistema y la eleccin de los kV base en una parte de l determinan los kV base que se deben asignar a las otras partes del sistema. Siguiendo este principio de asignar kV base, es posible combinar en un diagrama de impedancias las impedancias por unidad determinadas en las diferentes partes del sistema. Por ejemplo, una potencia base de 30 000 kVA y una tensin base de 66 kV en la lnea de la figura nmero 2 exigira una potencia base de 30 000 kVA y una tensin base de 3,81 kV para el circuito que contiene el generador 3 y una tensin base de 6,6 kV para el circuito de los generadores 1 y 2. Las reactancias para los elementos del circuito de la figura nmero 2 son,

A fin de preparar un diagrama de impedancias con impedancias por unidad, empezamos con el diagrama unifilar y la informacin nominal impresa en generadores, transformadores y motores y sus valores hmicos o impedancias en por unidad o por ciento, ms los datos acerca de las lneas de transmisin. Los puntos siguientes se deben tener en cuenta.

1. Se selecciona una base en kVA y kV en una parte del sistema. Los valores base para un sistema trifsico se entiende que son los kVA o MVA trifsicos y los kV de lnea.

2. Para otras partes del sistema, esto es, en otros lados de los transformadores, los kV base para cada parte se determinan de acuerdo con la relacin de las tensiones de lnea de los transformadores. Los kVA base sern los mismos en todas las partes del sistema. Ser de gran ayuda marcar los kV base de cada parte del sistema sobre el diagrama unifilar.

3. La informacin de la impedancia disponible para transformadores trifsicos, generalmente se da en trminos de unidades o por ciento y es la base determinada por las especificaciones.

4. Para tres transformadores monofsicos conectados como una unidad trifsica se extraen de las especificaciones monofsicas de cada transformador individual. La impedancia en por ciento para la unidad trifsica es la misma que para cada transformador individual.

5. La impedancia por unidad dada sobre una base diferente a la determinada para la parte del sistema en el cual est localizado el elemento se cambia a la base adecuada.

Ejemplo 7-4. Un generador trifsico de 30 000 kVA y 13,8 kV tiene una reactancia subtransitoria del 15 % y est conectado en estrella con su neutro a tierra a travs de una inductancia. El generador alimenta a dos motores a travs de una lnea de transmisin, con transformadores en ambos extremos, tal como se representa en el diagrama unifilar de la figura. Los motores tienen capacidades nominales de 20 000 y 10 000 kVA, ambos a 12,5 kV, con reactancia subtransitoria de 20 %. El transformador trifsico T1 tiene como valores nominales 35 000 kVA, 13,2 (: 115 Y kV, con reactancia de dispersin de del 10 %. El transformador T2 est compuesto de tres transformadores monofsicos, cada uno especificado como de 10 000 kVA, 12,5 : 67 kV, con reactancia de dispersin del 10 %. La reactancia en serie de la lnea de transmisin es de 80 (. Dibuje el diagrama de reactancias con todas las reactancias indicadas por unidad. Elija la especificacin del generador como base.

Si los motores tienen capacidades de 16 000 y 8 000 kW respectivamente, a 12,5 kV y ambos con un factor de potencia unitario, encuentre la tensin en las terminales del generador.

SOLUCIN.

1. Cantidades base.

13,8 kV y 30 000 kVA

2. Las tensiones base en otras partes del circuito son.

Tensin base para la lnea.

Tensin base del circuito de la barra de los motores,

3. Reactancias por unidad.

La reactancia, por unidad, del generador es,

La reactancia, por unidad, del transformador T1 es,

La reactancia por unidad de la lnea es,

La reactancia por unidad del transformador 2 es,

La reactancia del motor 1, es

La reactancia del motor 2 es,

La potencia tomada por ambos motores es de 24 000 kW, esta potencia por unidad es

La tensin, por unidad, en las terminales de los motores es,

La corriente por unidad es,

La tensin, por unidad, en las terminales del generador es,

La tensin, en kV, en las terminales del generador es,

Impedancia por unidad de transformadores de tres devanados.

Los devanados primario y secundario de un transformador de dos devanados tienen los mismos kVA nominales, pero los tres devanados de un transformador de tres devanados puede tener distintos kVA nominales. La impedancia de cada devanado de un transformador de tres devanados puede venir dada en por ciento o por unidad sobre base del valor nominal de su propio devanado, o pueden realizarse pruebas para determinar las impedancias. En cualquier caso, todas las impedancias por unidad en el diagrama de impedancias se deben expresar respecto a los mismos kVA base.

Se pueden medir tres impedancias por medio de una prueba normal de corto circuito, como sigue:

Donde,

Impedancia de dispersin, medida en el primario con el secundario en corto circuito y el terciario abierto.

Impedancia de dispersin, medida en el secundario con el terciario en corto circuito y el primario abierto.

Impedancia de dispersin, medida en el primario con el terciario en corto circuito y el secundario abierto.

Si las tres impedancias medidas en ohms, se refieren a la tensin de uno de los devanados, la teora de los transformadores demuestra que las impedancias de cada devanado por separado, referidas al mismo devanado, estn relacionadas con las medidas en la forma siguiente:

en las que , y son las impedancias de los devanados primario, secundario y terciario, referidas al circuito primario si , y son las impedancias medidas referidas al circuito primario. Resolviendo las ecuaciones anteriores, se obtiene

De donde,

Las impedancias de los tres devanados estn conectadas en estrella para representar el circuito equivalente monofsico del transformador de tres devanados, despreciando la corriente de magnetizacin, como se muestra en la figura siguiente:

El punto comn es ficticio y no tiene relacin con el neutro del sistema. Los puntos P, S y T estn conectados a las partes del sistema unidas a los devanados primario, secundario y terciario del transformador. Como los valores hmicos de las impedancias deben estar referidos a la misma tensin, se sigue que la conversin a impedancias por unidad requiere los mismos kVA base para los tres circuitos y tensiones base, en los circuitos, que estn en la misma relacin que las tensiones de lnea nominales de los tres circuitos del transformador.

Ejemplo 7-5. Los valores nominales trifsicos de un transformador de tres devanados son,

Primario: conectado en estrella, 66 kV, 15 MVA.

Secundario: conectado en estrella, 13,2 kV, 10 MVA.

Terciario: Conectado en delta, 2,3 kV, 5 MVA.

Despreciando la resistencia, las impedancias de prdidas valen:

Zps = 7 %, sobre la base de 15 MVA, 66 kV.

Zpt = 9 %, sobre la base de 15 MVA, 66 kV.

Zst = 8 %, sobre la base de 10 MVA, 13,2 kV.

Determinar las impedancias por unidad del circuito equivalente, conectado en estrella, para una base de 15 MVA y 66 kV en el circuito primario.

Si una fuente de tensin constante (barra infinita) alimenta a una carga hmica pura de 5 MVA y 2,3 kV y a un motor sncrono de 7,5 MVA y 13,2 kV, con una reactancia subtransitoria de X = 20 %. La fuente se conecta al primario del transformador, descrito anteriormente. El motor y la carga hmica estn conectados al secundario y el terciario del transformador. Dibujar el diagrama de impedancias por unidad, para una base de 66 kV y 15 MVA en el primario.

SOLUCIN.

Con una base en el circuito primario de 15 MVA y 66 kV, las bases adecuadas para las impedancias por unidad del circuito equivalente son 15 MVA, 66 kV para las magnitudes del circuito primario, 15 MVA y 13,2 kV para las del circuito secundario y 15 MVA, 2,3 kV para las del terciario.

El diagrama unifilar del circuito se muestra en la figura siguiente:

Zps y Zpt se han medido en el circuito primario y estn ya, por consiguiente, expresadas en la base adecuada para el circuito equivalente. No es necesario cambio de tensin para Zst. El cambio de kVA base se hace en la forma siguiente:

Las impedancias del circuito equivalente, en por unidad, respecto a la base especificada, son,

La fuente de tensin constante se puede representar por un generador sin impedancia interna.

La resistencia de la carga es de 1,0 por unidad, sobre las bases de 2,3 kV y 5 MVA, valores que son sus datos nominales en el terciario. Expresada sobre la base de 2,3 kV y 15 MVA, la resistencia de carga es,

Cambiando la reactancia del motor a una base de 13,2 kV y 15 MVA, se obtiene

El diagrama de impedancias, por unidad, para una base de 66 kV y 15 MVA se muestra en la figura siguiente:

Ventajas de los clculos por unidad.

Efectuar los clculos de sistemas elctricos en funcin de los valores por unidad representa una enorme simplificacin del trabajo. La verdadera apreciacin del valor del mtodo por unidad la da la experiencia; sin embargo resumiremos brevemente algunas de sus ventajas.

1. Los fabricantes indican normalmente la impedancia de un elemento de un aparato en por ciento o por unidad de los valores nominales que figuran en la placa de caractersticas.

2. Las impedancias por unidad de mquinas del mismo tipo, con valores nominales dentro de un amplio margen, tienen valores dentro de un margen muy estrecho, aunque los valores hmicos difieran materialmente para mquinas de distintos valores nominales. Por esta razn, si no se conoce la impedancia, generalmente es posible seleccionarla a partir de datos medios tabulados, que proporcionan un valor razonablemente correcto. La experiencia en el trabajo por unidad familiariza con los valores adecuados de las impedancias por unidad para diferente tipo de aparatos.

3. Si se especifica la impedancia en ohms en un circuito equivalente, cada impedancia se debe referir al mismo circuito multiplicando por el cuadrado de la relacin de las tensiones nominales de los dos lados del transformador que conecta el circuito de referencia y el circuito que contiene la impedancia. La impedancia por unidad, una vez expresada en la base adecuada, es la misma referida a los dos lados del transformador.

4. La forma en que los transformadores se conectan en los sistemas trifsicos no afectan a las impedancias por unidad del circuito equivalente, aunque la conexin determina la relacin entre las tensiones base de los dos lados del transformador.

4. EJERCICIOS.

Ejercicio 7-1. Un transformador de 50 MVA, con tensiones de 34,5 : 161 kV, con una reactancia de 10 %, se conecta a un sistema de potencia donde todos los otros valores de reactancias estn en una base de 100 MVA y 34,5 kV o 161 kV.

Determine el valor de la reactancia del transformador con los valores base del sistema.

SOLUCIN.

El transformador de 50 MVA, 34,5:161 kV, con reactancia de 10 %, se conecta a un sistema de potencia donde todos los otros valores de impedancia estn en una base de 100 MVA; 34,5 kV o 161 kV. Para cambiar la base del transformador, se usa la ecuacin

En virtud de que tenemos la misma tensin base en el sistema y el transformador, podemos utilizar una ecuacin simplificada en la cual slo se relacionan las potencias base.

en una base de 100 MVA y 34,5 kV del lado de 34,5 kV, o en una base de 100 MVA y 161 kV del lado de 161 kV.

Ejercicio 7-2. Se tiene un transformador monofsico de dos devanados con una potencia nominal de 20,0 kVA, con tensiones de 480/120 V, de 60 Hz. La impedancia de dispersin equivalente del transformador referida al devanado de 120 V, designado como el devanado 2, es . Usando las caractersticas nominales del transformador como valores base, determine el valor de la impedancia de dispersin referida al devanado 2 y al devanado 1.

SOLUCIN.

Los valores de base son,

De donde,

La impedancia de dispersin, por unidad, referida al devanado 2 es,

Si se refiere al devanado 1,

La impedancia base en el lado de 480 V del transformador es,

Y la reactancia de dispersin referida al devanado 1, por unidad, es,

As, la impedancia de dispersin por unidad permanece sin cambio, cuando se refiere del devanado 2 al devanado 1.

Ejercicio 7-3. El generador y el transformador, mostrados en la figura

tienen las caractersticas siguientes: Generador de 25 MVA; 4 kV; Xd = 25 %. Transformador de 30 MVA; 4,2:115 kV; en la derivacin de 3,9 kV; donde XT = 10 %.

Se combinan en una reactancia equivalente en una base de 100 MVA, 110 kV. Con el banco de transformadores operando en su derivacin de 3,9 kV. La relacin del transformador es,

La tensin base del lado de baja tensin correspondiente a la base de 110 kV del lado de alta tensin es,

Puesto que esta base de 3,73 kV es diferente de la base especificada de la reactancia subtransitoria del generador, entonces,

en base de 100 MVA; 3,73 kV; o en base de 100 MVA; 110 kV.

Similarmente, la reactancia del transformador en la nueva base es,

en base de 100 MVA; 3,73 kV ; o en base de 100 MVA; 110 kV

Ahora las reactancias del generador y del transformador se pueden combinar en una reactancia equivalente, esto es

ambos en base de 100 MVA y 110 kV.

Ejercicio 7-4. Tres zonas de un circuito monofsico se identifican en la figura (a). Las zonas estn conectadas por medio de transformadores T1 y T2, cuyos valores nominales tambin se muestran. Usando los valores base de 30 kVA y 240 V de la zona 1, dibuje el circuito por unidad y determine las impedancias por unidad y la tensin de la fuente por unidad. Despus calcule la corriente de carga tanto en amperes como en por unidad. La resistencia de los devanados y las admitancias paralelo de las ramas se desprecian.

SOLUCIN.

Primero los valores base en cada zona se determinaran. La potencia base es la misma para toda la red. Tambin, la tensin base se especifica para la zona 1. Cuando se desplaza la tensin a travs de los transformadores, las tensiones base cambian en proporcin a las relaciones de tensin de los transformadores, As

y

Las impedancias base en las zonas 2 y 3 son,

y

Y la corriente base en la zona 3 es,

Enseguida, las impedancias por unidad se calculan usando el sistema de los valores base. Puesto que es la misma que el valor nominal del transformador T1, y es la misma que la tensin nominal de la zona 1 del lado del transformador T1, el valor por unidad de la reactancia de T1 es la misma que su valor de placa, . Sin embargo, la reactancia de dispersin del transformador T2 se debe convertir de sus valores nominales de placa a los valores del sistema base. Usando

y

En forma alternativa, usando ,

Lo cual da el mismo resultado. La lnea la cual est localizada en la zona 2, tiene una reactancia por unidad de,

y la carga la cual est localizada en la zona 3, tiene una impedancia por unidad de,

El circuito por unidad se muestra en la figura (b).

Donde se muestran los valores base de cada zona y la tensin de la fuente por unidad. La impedancia base de la zona y el valor de la fuente por unidad son,

Ahora la corriente por unidad se calcula fcilmente de la figura (b) en la forma siguiente:

La corriente real es,

Ejercicio 7-5. En la figura se ha representado el diagrama unifilar de un sistema elctrico de potencia sin carga. Las caractersticas de los generadores, transformadores y las lneas de transmisin son las siguientes:

Generador G1: 20 MVA; 6,9 kV; X = 15 %.

Generador G2: 10 MVA; 6,9 kV; X = 15 %.

Transformador T1: 25 MVA; 115 Y: 6,9 ( kV; X = 10 %.

Transformador T2: 12 MVA; 115 Y : 6,9 ( kV; X = 10 %.

Transformador T3: tres unidades monofsicas, cada una de 10 MVA; 75 : 7,5 kV; X = 10 %.

Lnea de transmisin L1: X = j 100 (.

Lnea de transmisin L2: X = j 80 (.

Dibujar el diagrama de reactancias, poniendo todas ellas en por unidad. Elegir una base de 30 MVA y 6,9 kV.

SOLUCIN.

Las tensiones base en las diferentes partes del sistema son,

Tensin base para el generador G1,

Tensin base para las lneas de transmisin L1 y L2, y las barras colectoras B1,

Tensin base para el generador G2,

Tensin base para el generador G3,

La reactancia subtransitoria, por unidad, del generador G1 es,

La reactancia por unidad del transformador T1 es,

La reactancia, por unidad, de la lnea L1 es,

La reactancia subtransitoria, por unidad, del generador G2 es,

La reactancia, por unidad, del transformador T2 es,

La reactancia, por unidad de la lnea L2 es,

La reactancia, por unidad, del transformador T3 es,

La reactancia subtransitoria, por unidad, del generador G3 es,

El diagrama de reactancias solicitado es,

Ejercicio 7-6. Los arrollamientos de un transformador de tres devanados tienen las caractersticas siguientes:

Primario: Conectado en estrella; 6,6 kV; 15 MVA.

Secundario: Conectado en estrella; 33 kV; 10 MVA.

Terciario: conectado en delta; 2,2 kV; 7,5 MVA.

Despreciando la resistencia, se obtienen a partir de las pruebas, las impedancia de prdidas siguientes:

Medidas desde el lado primario: Zps = j 0,232 (, Zpt = j 0,290 (.

Medidas desde el lado secundario: Zst = j 8,70 (.

Determinar las impedancias del circuito equivalente en estrella, en por unidad, con una base en el circuito primario de 15 MVA y 6,6 kV.

SOLUCIN.

Con una base de 15 MVA y 6,6 kV; que corresponden a las caractersticas del circuito primario, las bases adecuadas para las impedancias por unidad del circuito equivalente son, 10 MVA y 33 kV para el circuito secundario y 7,5 MVA y 2,2 kV para el circuito terciario.

Las impedancias por unidad son,

Zps y Zpt se han medido en el circuito primario y estn ya, por consiguiente, expresadas en la base adecuada para el circuito equivalente. No es necesario hacer cambio de tensin para Zst. El cambio para la base en KVA solicitada se hace en la forma siguiente:

Las impedancias del circuito equivalente son,

El diagrama de impedancias equivalente, por unidad, para las bases de 15 MVA y 6,6 kV; se muestran en la figura siguiente,

UNIDAD 7.REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA.

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