wes-kaap on web viewsukses word bepaal deur die mate waartoe jy self betrokke raak- bo en behalwe...

Wes-Kaap Onderwysdepartement

TELEMATIESE ONDERRIGPROJEK 2011

WISKUNDE LEER MATERIAAL: GRAAD 11

Wiskunde Graad 11 Telematiese Leermateriaal 2011

Liewe Graad 11 leerder

Die telematiese onderrigprojek is ‘n gesamentlike inisiatief van die Weskaapse Onderwys department en die Universiteit van Stellenbosch.

Dit vervang nie die normale klasonderrig van die onderwyser nie. Dit is bedoel om addisionele ondersteuning en vaslegging te verskaf van dit wat jou onderwyser in klastyd onderrig.

Jy kry derhalwe ekstra onderrig en hersiening, aangebied deur bekwame en ervare onderwysers wat spesiaal hiervoor gewerf is.

Wiskunde is nie ‘n toeskouer “sport” nie. Sukses word bepaal deur die mate waartoe jy self betrokke raak- bo en behalwe die onderrig wat jy ontvang. Dit beteken dan ook die ontwikkeling van die nodige dissipline en selfwerksaamheid.

Die lesse dek ook nie die volle Graad 11 kurrikulum nie. Daar word slegs op sekere aspekte van die werk gekonsentreer aan die hand van die hersieningsvraestelle in hierdie brondokument. Die doel is om jou te help om deeglik vir die eindeksamen in Wiskunde voor te berei.

Dit is ook nodig dat jy ander vraestelle met jou onderwyser deurwerk.

2


Jy word derhalwe aangemoedig om gereeld jou tuiswerk te doen en dit op te volg met ‘n gereelde hersieningsprogram. Die onderstaande konsep-kontrolelys is bedoel om jou hiermee te help. Dit sal jou instaat stel om, aan die hand van die ingeslote vraestelle, sistematies deur die inhoud te werk. Die vraestelle sal jou ook ‘n idee gee van die tipe vrae wat in die eksamen mag voorkom.

VRAESTEL 1 VRAESTEL 2

1. Algebra (40 punte)1.1 Algebraiese breuke1.2 Eksponente en wortelvorme1.3 Kwadratiese vergelykings (Faktore/formule)1.4 Kwadratiese ongelykhede1.2 Gelyktydige vergelykings

2. Getalpatrone (20 punte)2.1 Algemene patrone (lineêr en kwadraties)

3. Funksies en grafieke (50 punte)3.1 Lyn, Parabool; hiperbool; eksponensiaal; :

en hul transvirmasies

4. Finansiële Wiskunde (25 punte)4.1 Enkelvoudige en saamgestelde rente4.2 Nominale en effektiewe rentekoerse4.3 Waardevermindering (verminderende

balans en reglynige metodes)

5. Lineêre programmering (15)5.1 Opstel van beperkinge (ongelykhede)5.2 Skets van die toelaatbare gebied5.3 Opstel van die doelfunksie5.4 Ondersoek hoekpunte van gangbare

gebied om te optimeer

1. Datahantering (35 punte)1.1 Gemiddelde, mediaan, modus, kwartiele1.2 variansie en standaardafwyking1.3 Vyfsyfer opsomming en “mond-en-snor”

grafieke1.4 Kumulatiewe frekwensies en ogiewe1.5 Spreigrafieke en beste paslyne

2. Analitiese Meetkunde (35 punte)2.1 afstandsformule, middelpunt van ‘n

lynstuk2.2 gradient, inklinasie en vergelyking van ‘n

reguitlyn

3. Transformasie Meetkunde (20 punte)3.1 Basiese transformasies (translasies,

refleksies en rotasies deur 90° en 180°)3.2 Vergrotings

4. Trigonometrie (50 punte)4.1 Basiese definisies in ‘n reghoekige

driehoek en die Cartesiese vlak4.2 Reduksieformules4.3 Spesiale hoeke4.4 Saamgestelde en dubbelhoek-formules4.5 Identiteite4.6 Vergelykings (veral algemene oplossing)4.7 Oplos van driehoeke en probleme in 2D

(area; sinus en cosinusformules)4.8 Trigonometriese grafieke

5. Meting (10 punte)Buite-oppervlak en volume van regte piramiedes, keeëls, en sfere.

Sterkte en voorspoed met jou voorbereiding vir die eksamen

Raymond SmithSenior Kurrikulum Beplanner: WiskundeJulie 2011

3


VRAESTEL 1Tyd: 3 uur Punte: 150

Vraag 1

1.1 Los op vir x in elk van die volgende;1.1.1 7−5 x=x2

(5)

1.1.21+ x+1

x+2+ 2

x−1=0

(6)1.1.3 x2−6<−5 x (5)

1.2 Vereenvoudig elk van die volgende

1.2.1

(3 x )−2

3 x−3(3)

1.2.2

x−1+ y−1

x−1 y− y−1 x (5)

1.2.3 √108 x12+√243 x12(3)

1.3 Los op vir x : 23 x−6=√8 (3)

1.4 Los op vir beide x en y in die stelsel van vergelykings hieronder.

xy+6=0 en x+3 y+3=0 (7)

[37]Vraag 2

2.1 Gegee die funksies y= f ( x )=−1

2( x+1 )2+2

en y=g ( x )=−2 x−6 :2.1.1 Skryf neer die koördinate van die draaipunte van f (2)

2.1.2 Bereken die wortels van die vergelyking f ( x )=0 (4)2.1.3 Skryf neer die vergelyking van die simmetrie-as van f . (1)

2.1.4 Skets die grafiek van y=f ( x ) en y=g ( x ) op dieselde assestelsel (4)

2.1.5 Bepaal die waardes van x waarvoor f ( x )≥g ( x ) (4)

2.1.6 Beskryf in woorde die verskil tussen die vorm van y= f ( x ) en y=2 f (x ) (2)

2.2 Gegee h( x )=( 1

4 )x−1

−2

2.2.1 Skryf neer die vergelyking van die asimtoot van h (1)4.2 Bepaal die koördinate van die afsnitte van h met die x en y asse. (6)

4.3 Skryf neer die vergelyking van die refleksie van h( x )=( 1

4 )x−1

−2 in die y as (2)

4


[30]

5

D

C

B

A

O >x

^y


Vraag 3

3.1 Hieronder word die grafieke van p ( x )= 3

x−1−2

en q ( x )=x−1getoon.

3.1.1 Bereken die koördinate van A en B. (4)

3.1.2 Skryf neer die vergelyking van die horisontale

asimtoot van p ( x ) (2)

3.1.3 Skryf neer die definisieversameling van p ( x ) (2)

3.1.4 Toon dat p (−2 )=q (−2 ) en vermeld die betekenis van hierdie feit m.b.t die skets. (3)

3.1.5 Bepaal die koördinate van D Indien CD=4where CD is perpendicular to die x -axis. (5)

3.2 Hieronder is die grafieke van die funksies p( x )=a .bx−c en s( x )=bx−c

x

y

-2 -1 0 1 2

-2

-1

1

2

s

p

3.2.1 bepaal die waarde van c (2)

3.2.2 Indien die kromme van s( x )deur die punt (1 ;1 ) gaan, bepaal die waarde van b. (3)

3.2.3 Indien p( x ) die y−as by y=−2

3 , sny, bepaal die waarde van a. (3)3.2.4 Bepaal die vergelyking van r as p( x ) 2 eenhede na regs verskuIndien word om r ( x )

te gee. (2)[26]

6


7


Vraag 4

4.1 Die diagram toon ‘n ry patrone. Elke opeenvolgende rangskikking word verkry deur die vorige een (swart gekleur) met blokkies te omring (grys geskakeer).

4.1.1 Teken die volgende diagram in hierdie patroon (2)

4.1.2 Twee rye word gevorm. Die eerste, is die aantal grys blokkies wat elke keer bygesit word en die tweede reeks is die totale aantal blokkies waaruit die rangskikking bestaan. Skryf die eerste ses terme van elke ry neer. (6)

4.1.3 Bepaal ‘n formule vir die nde term in elke ry. (4)

4.2 Beskou die volgende patrone bestaande uit diamantvormige plakkertjies.

4.2.1 Hoeveel plakkertjies() is in die volgende rangskikking? (2)4.2..2 Hoeveel plakkertjies is in die nde rangskikking? (4)4.2.3 Watter rangskikking bestaan uit 960 plakkertjies? (4)

[22]

Vraag 5

5.1 Nthabi is die eienaar van ‘n klein onderneming. Sy het onlangs toerusting vir R 500 000 aangekoop.

5.1.1 Sy besluit om waardevermindering op hierdie toerusting te bereken teen 20% p.j. op die reglynige waardeverminderingsmetode. Oor watter termyn sal die toerusting afgeskryf word? (2)

5.1.2 Nthabi verander haar besluit en bereken waardevermindering op die toerusting teen 25% p.a. op die afnemende saldo metode. Bereken die waarde van die toerusting na 5 jaar. Gee jou antwoord tot die naaste Rand. (4)

5.2 Na verloop van 2 jaar is die waarde van ‘n skootrekenaar een-derde van sy oorspronklike waarde. Aanvaar waardevermindering op die afnemende saldo basis en bereken die jaarlikse koers waarteen die waardevermindering bereken word. (5)

8


5.3 Byron deponeer R2500 in ‘n bankrekening en maak geen ontrekkings vir 8 jaar. Aan die einde van die vyfde jaar deponeer hy ‘n addisionele R1200. Die rentekoers vir die eerste 4 jaar is 8% p.j, kwartaalliks saamgestel en 9,5% p.j. halfjaarliks saamgestel vir die oorblywende vier jaar. Bereken die totale bedrag gespaar aan die einde van 8 jaar. (7)

5.4 Watter een van die volgende is die beter opsie: 10,28% p.j. daagliks saamgestel ( 365 dae in die jaar) of 10,3% p.j. maandeliks saamgestel? (6)

[24Vraag 6

Die skets hieronder verteenwoordig die gangbare gebied ABCDEF van ‘n lineêre programmeringsprobleem.

8

6

4

2

5 10>x

F

E

DC

B

A

6.1 Twee van die beperkings is 1≤x≤6 en 6 y+5 x≤60 . Skryf die ongelykhede wat die ander beperkings verteenwoordig, neer. (5)

6.2 Die punt P(5 ; p ) lê in die gangbare gebied en die en Q (q ;3 ) lê nie in die gangbare Gebied nie. Skryf een moontlike waarde van p en een moontlike waarde van q neer

(2)

6.3 Bepaal die waardes van x en y waarvoor die doelfunksie O1=8 x+4 y ‘n minimum waarde sak hê. (2)

6.4 Skryf neer die minimum waarde van O1 (1)

6.5 Bepaal die waardes van x en y waarvoor O2=3 y+4 x gemaksimeer word. (2)

6.6 Skryf die maksimum waarde van O2 neer (1)[13]

9

y

x

L( -5 ; -2 )

M( -1 ; -6 )

K( 5 ; 4 )

A( 4 ; 3 )

y

x

C( -2 ; 5 )

D( 0 ; 1 )

B( 2 ; 7 )


VRAESTEL 2

VRAESTEL 2Tyd: 3 uur Punte: 150

Vraag 1

1.1 In die diagram hieronder, L(-5; -2), M(-1; -6) en K(5; 4) are die hoekpunte van KLM in a Kartesiese vlak.

Bepaal:

1.1.1 Q, die middelpunt van MK(3)

1.1.2 die gradient van LM (3)

1.1.3 die inklinasie van LM (3)

1.1.4 Die lengte van LM (3)

1.1.5 Die vergelyking van die lyn ewewydig aan LM, wat deur die punt N gaan. (3)

1.1.6 Toon dat die line in Vraag 1.5 passes through die point QP die midpoint van KL (4) 1.1.7 Toon aan dat LM = 2PQ (4)

1.2 In die diagram hieronder, is A(4 ; 3), B (2 ; 7), C (-2 ; 5) en D (0 ; 1) vier punte in ‘n Kartesiese vlak.

1.2.1 Toon aan dat AC BD (5)

1.2.2 Toon aan dat AC halveer BD (4)

1.3.3 Vermeld, met opgaaf van redes, watter tipe vierhoek ABCD is.

(2)

[31]

10

8

6

4

2

-5 5

y

x

C'

B'

A'

CB

A

6

4

2

5

y

x

R

M

T

P


Vraag 2

2.1 Die diagram hiernaas toon Δ ABC en sy transformasie naΔ A/ B/ C/.

2.1.1 Skryf neer die koördinatevan A en A/ (2)

2.1.2 Beskryf bogenoemde transformasie in woorde (2)

2.1.3 As Δ A//B//C// is die rotasie van Δ ABC deur 180º is , skets Δ A//B//C// (2)

2.2 Die diagram hieronder toon vierhoek PRMT met P(3 ; 5).

2.2.1 Skets die vergroting van PRMT deur ‘n faktor van 4. Benoem hierdie diagramKLMN (4)

2.2.2 Skryf neer die koördinate van K en N op die skets. (2)

2.2.3 Bepaal die oppervlakte van PRMT (4)

2.2.4 Bepaal PRTM : KLMN (2)

2.3 Indien H(3 ; 5) deur die oorsprong geroteer word in ‘n kloksgewyse rigting through ‘n hoek van 90o, skryf neer die koördinate van H/, die beeld van H.

(2)

2.4 Die punt P(x;y) word eers deur 1800 geroteer en daarna gereflekteer in die lyn y = –x, en dan getransleer deur 4 eenhede opwaarts en 3 eenhede links. Skryf die algemene formule vir die kombinasie van hierdie transformasies neer. (4)

2.5 Δ ABC se hoekpunte is A(2 ; 6), B(– 3 ; 4) en C(1 ; – 8 ) en sy transformasie

Δ A'B' C' se hoekpunte is A'(1 ; 3), B'(−3

2; 2)

en C'( 1

2; −4)

. Beskryf hierdie transformasie in woorde. . (3)

[22]

11

120

81,8

8cm

5cm3cm

D

C

B

A


Vraag 3

3.1 Indien cosθ=− 2

√13 en 180 °≤θ≤360 ° , gebruik ‘n skets en bepaal die waarde vantanθ (3)

3.2 Indien x=87 ,6 ° en y=240 ,2 ° , gebruik ‘n sakrekenaar en bereken die waarde van van die volgende uitdrukking, korrek tot twee desimale plekke:

sin ycos x

+3 tan2 x(2)

3.3 Bepaal die oplossing van die volgende vergelyking vir 1800 ≤ θ ≤ 3600. Gee antwoord(e) korrek tot twee desimale plekke

3−tan θ=2,4 (2)3.4 Vereenvoudig die volgende uitdrukking sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik en toon

ALLE berekeninge

3.4.1

cos (1800−x ) sin ( x−900)−1tan2 (5400+ x ) sin (900+x ) cos (−x ) (6)

3.4.2sin 63 ° . cos2 135° . tan 315 °sin 240 ° . tan150 ° . cos27° (7)

3.5 Bepaal die algemene oplossing van die vergelyking: 4 sin2 x−3=0 . (6)

3.6 Gegee die funksies: f ( x )=cos2x en g ( x )=sin ( x+300 )

3.6.1 Los die vergelyking op: cos2 x=sin ( x+300 ) vir x∈ [−1800 ;1800 ] (6)

3.6.2 Skets die grafieke van f ( x )=cos2x en g ( x )=sin ( x+300 ) op dieselfde assestelsel

vir x∈ [−1800 ;1800 ] . Toon die koördinate van alle afsnitte met die asse, draaipunte

en die punte waar f ( x )=g ( x ) (8)3.6.3 Vermeld die waardeversameling van f , indien die grafiek van f ‘n positiewe, vertikale

skuif van 1 eenheid ondergaan. (2)3.6.4 Skryf neer die nuwe vergelyking van g indien dit ‘n verskuiwing van 60º horisontaal

na links ondergaan. (2)

3.7 In die diagram hieronder, is ABCD ‘n vierhoek met afmetings soos in die skets aangetoon.

Bereken:

3.7.1 AC (3)

3.7.2 D̂ correct to 1 decimal place. (3)

3.7.3 Die area van ΔACD (2)

[52]

12


Vraag 4

4.1 ‘n Tydkapsule waarin aandenkings bewaar word bestaan uit ‘n silindervormige houer met ‘n hemisfeer bo op.. Die deursnee van die silinder is 30 cm en die hoogte is 150 cm. Bereken die totale volume van die Tydkapsule.

(5)

4.2 ‘n Tent vervaardiger maak tente in die vorm van ‘n piramiede met ‘n vierkantige basis. Die vierkantige grondseil van die tent is aan die tent vasgeheg. Indien die skuinshoogte, h, 350 cm is en ‘n sy van die basis 200 cm is, bereken die totale buite-oppervlakte van die tent.

(5)[10]

13

30 cm

150 cm

200 cm

h


Vraag 5

5.1 Hieronder is die persentasies wat 15 leerders behaal het in ‘n Fisiese Wetenskappe-eksamen.

72 57 63 81 60 51 96 6678 54 39 69 90 30 39

5.1.1 Bepaal die mediaan vir die data? (2)5.1.2 Bepaal die onderste sowel as die boonste kwartiele. (4)5.1.3 Teken ‘n mond-en-snor grafiek vir die data. (3)5.1.4 Bepaal die inter kwartiele-omvang (1)5.1.5 Gebruik ‘n sakrekenaar en bepaal die standaardafwyking vir die data (3)5.1.6 Hoeveel leerders van binne een standaardafwyking vanaf die gemiddelde? (2)

5.2 Hieronder is mond-en-snor grafieke wat die die resultate verteenwoordig van ‘n opname betreffende besoedeling in een van die riviere in die Wes-Kaap, vanaf 2005 tot 2007. Die opname meet die besoedeling (totale opgeloste vastestowwe) in milligram per liter water.

5.2.1 Bepaal die vyf-syferopsomming vir 2006. (2)5.2.2 Watter jaar wys die grootste omvan met betrekking to resultate? Verduidelik jou

antwoord (2)5.2.3 Lewer op grond van die data kommentaar oor die besoedelingsvlakke in die rivier oor

die driejaar periode waarin die opname plaasgevind het. (3)

14

500 1000 1500 2000 25000

2007

2006

2005

TOTALE OPGELOSTE VASTESTOWWE(mg/l)


5.3 Die verkeersdepartement het navorsing gedoen om vas te stel waar die mees geskikste plek is om spoedkameras te installeer. As deel van die ondersoek is ‘n opname gedoen rakende die snelhede van motors op ‘n deel van ‘n nasionale pad.Die volgende table toon die resulttate van die opname:

SPOED(in km/h)

FREKWENSIE(van motors)

KUMULATIEWE FREKWENSIE

40 < d ¿ 60 49

60 < d ¿ 80 92

80 < d ¿ 100 134

100 < d ¿ 120 158

120 < d ¿ 140 49

140 < d ¿ 160 17

160 < d ¿ 180 1

5.3.1 Hoeveel motors was in die opname waargeneem? (1)5.3.2 Voltooi die kumulatiewe frekwensie kolom. (2)5.3.3 Teken ‘n ogief wat die data voorstel. (4)5.3.4 Gebruik die grafiek en bepaal die mediaan-snelheid. Gebruik die letter T en

toon op jou grafiek waar jy jou antwoord sal aflees. (3)

5.4 Die aantal leerders van jou skool wat oor die jare Universiteit toe gegaan het, toon ‘n styging oor die afgelope 7 jaar soos hieronder getoon.

Jaar van MatriekAantal leerders wat universiteit toe gegaan

het2001 12002 22003 22004 52005 142006 252007 42

5.4.1 Teken ‘n spreigrafiek om die data voor te stel. (3)

5.4.2 Watter funksie is die mees geskikte om die beste-paslyn vir hierdie data voor te stel?(2)[37]

15

wes-kaap on web viewsukses word bepaal deur die mate waartoe jy self betrokke raak- bo en behalwe...

Documents