zigulic_mehatronika_p_1_2012_2013

Mehatronika – P1

red. prof. dr. sc. Roberto Žigulić

Katedra za dinamiku strojeva

Zavod za tehničku mehaniku

TFR, 7.11.2012., P3, 8.00 – 10.00

R. Žigulić: Mehatronika – predavanje 1

za Stručni studij elektrotehnike

2

Predavanje 1. Formiranje simulacijskih modela

Translacijski i rotacijski dinamički sustavi

Električki sustavi

Modeli u obliku ulazno-izlaz. jedn. i u prostoru stanja

Analitička i numerička rješenja

R. Žigulić: Mehatronika– predavanje 1

3

Unutar jednostavnog translacijskog dinamičkog sustava nalazimo tri najbitnija dijela i to

Opruga + prigušivač

Sastav jednostavnog translacijskog dinamičkog sustava

Prigušenje (prigušivač) c [Nsm-1], kojeeleminira gibanje kao povrativi proces, absorbirajući pritom energiju

Masu (inerciju) m [kg], koja održava gibanje i ogleda se kroz kinetičku energiju vibracijskog sustava

Krutost (oprugu) k [Nm-1], koja se odupire gibanju te samim time i osigurava povrativost gibanja i koja se ogleda potencijalnu energiju vibracijskog sustava

U realnim sustavima masa, krutost i prigušenje pojavljuju se kao distribuirani parametri koji se pretvaraju u koncentrirane parametri pri čeku se koristi mekv, kekv i cekv.

masa


4

II Newtonov zakon

Masa

Kinetička energija

Potencijalna energija


5

Razmatra se idealna opruga.

Krutost

Jednadžba pomaka i sila

d0=duljina neistegnute opruge

x(t)=elongacija opruge uzrokovana silom f

neistegnuta opruga

ravnotežni položaj


6

R. Žigulić: Laboratorijske vježbe B

Linearna aproksimacija opruge

Opruga pod djelovanjem više sila

Linearna

Nelinearna


k

7


Prigušenje

Viskozno prigušenje c

f=cΔv

Koeficijent viskoznog prigušenja c -proporcionalan kontaktnoj površini i viskozitetu ulja, obrnuto proporcionalan debljini uljnog filma

Prigušenje kotrljanja - c se zanemaruje


c

8


Shema idealiziranog apsorbera vibracija

Viskozno prigušenje

Tipovi prigušenog gibanja

f=cΔv

Suho trenje Aerodinamički otpori


c

c

9

Povezivanje elemenata modelaza povezivanje elemenata modela koriste se drugi i treći Newtonov zakon.

- ma je inercijalna sila koja se može razmatrati u sumi sa svim ostalim silama

ili Drugi Newtonov zakon

Treći Newtonov zakon


Govori da se sve sile pojavljuju u jednakim i suprotno usmjerenim parovima (svakoj aktivnoj sili pridružena je reaktivna sila)

10

Primjer formiranja modela sustava

Jednadžba gibanja sustava prema Drugom Newtonovom zakonu glasi

Sustav masa – prigušivač - opruga Free body diagram FBD dijagram

i

c

c

c

c


c

c

11

Primjer formiranja modela sustava s 2 stupnja slobode

FBD

Jednadžbe

ili

c c

c

c

c

c


c

12

Primjer upravljačkog sustava automobila

Ulaz

Izlaz

Zupčanik

Zupčasta letva


Sastav jednostavnog rotacijskog dinamičkog sustava

rotacijska krutost

rotacijska inercija

rotacijsko prigušenje

13

Moment tromosti

definira se kao

Newtonov drugi zakon za rotaciju glasi

Kinetička energija

Snaga rotacijskog gibanja Ukupno dobavljena energija unutar vremenskog intervala iznosi

dm – diferencijal mase

Potencijalna energija


14

Računanje momenta tromosti za težište

Tanki štap

Disk


15


Torzijsko prigušenje

Kvačilo Torzijski sustav

Uljni film prigušenja B

Torzijski sustav

Relativna kutna brzinaMoment prigušenja


16

Torzijska krutost

Vrijedi potpuna analogija sa aksijalnom krutošću

konstanta krutosti


17

Primjer formiranja rotacijskog modela

Korištenjem II. Newtonovog zakona se dobiva

iliili


18

R. Žigulić: Laboratorijske vježbe BR. Žigulić: Mehatronika– predavanje 1

Električni otpornici

Ohmov zakon

pretstavlja električni otpor

Električni otpor disipira energiju

Disipirana energija se pretvara u toplinu.

Električni sustavi

19


Kapacitativni otpor


permitivnost dielektrićkog materijala

je kapacitet u Faradima

Kapacitet pohranjuje energiju električn. polja

20


Induktivitet


Gdje je L induktivitet u Henrijima

Induktivitet pohranjuje energiju magnet. polja

21

Kirchoffov naponski zakon (KVL)


oko cijelog strujnog kruga

22

Napomena: električne struje koje ulaze u čvor su negativne, a električne struje koje izlaze iz čvora su pozitivne.


Kirchoffov strujni zakon (KCL)

oko bilo kog čvora u strujnom krugu

23


Primjer električnog sustava

Budući da je

Iz KVL slijedi

i

24

Dobivena jednadžba nije napisana u obliku ulazno – izlazne jednadžbe niti u obliku jednadžbe u prostoru stanja


međutim njezinim deriviranjem moguće je dobiti ulazno – izlazni oblik

U/I oblik

C

Usporedba matematičkog opisa električnog i mehaničkog sustava

25


Pretvaranje modela u jednadžbe u prostoru stanja

Od ranije je poznata jednadžba

te korištenjem zakona kapacitativnog otpora

slijedi iz obje jednadžbe

ili

26

Princip rada istosmjernih motora


Za generiranje momenta potrebna su 3 elementa: - Magnetsko polje

-Vodič

-električna struja

i

Ld

B

d f i

( )adf i dL B= ⋅ ×

Sila, koja djeluje na vodičkroz koji protječe električna struja i koji se nalazi u magnetskom polje, iznosi

te se integracijom dobiva

( )okomito

a af i L B i LB= × =i

Kombinirani sustavi

27


Ukupni generirani moment u zavojnici iznosi

Za određeni motor vrijednosti N, B, L i R su konstante te je KT zapravo momentna konstanta motora


Coil 2 2 aFR i LBRτ = =što za N zavojnica daje

(2 )

(2 )

T

m a

F

a

K

N i B L R

N B L R i

τ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

[ ]Nm/A 2 RLBNKT ⋅⋅⋅⋅=Moment generiran od strane istosmjernog motora proporcionalan je jakosti električne struje

τm T aK i= ⋅

28


Za dobivanje većeg mometna istosmjernog motora, potrebno je je povećati N, L i R, što je limitirano veličinom i težinom motora, ili povećati jačinu magnetskog polja B, što je potrebno dobro razumijevanje metoda generioranja magnetskog fluksa.

Elektromotivna sila (EMF) generira se u vodiču za vrijeme njegovog gibanja u magnetskom polju

Generiranje natražne elektromotivne sile

Bv ×B

v

( )emfde v B dL= × ⋅

što integriranjem po cjelokupnoj duljini vodiča daje

( )emfe v B L= × ⋅

Budući da je N armaturnih zavojnica spojeno u seriju, ukupna elektromotivna sila će biti

29

Natražna elektromotivna sila (EMF), generirana zbog rotacije armature istosmjernog motora, suprotstavlja se narinutom naponu, i proporcionalna je kutnoj brzini ω motora.


što rezultira sa konstantom natražne elektromotivne sile

2 ( ) 2b

emfKv

E N R BL NRBLω ω= =

[ ]2 V/(rad/sec)bK N R B L= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

E Kem f b= ⋅ ω

30


Zakoni elemenata

Matematičko modeliranje istosmjernih motora

iA

+ eLa −

LA

+ eRa −

RA+

ei(t)_

+Eemf

_JA

B

τm

τL

θ, ω

JA

τL

θ, ω

τfτm

Shema

FBD

Električni podsistem

( )41

0Ra

La

AA A A emf i

e ee

diR i L E e

dt+ + + − =

12 23 34 41 0e e e e+ + + =

Mehanički podsistem

f

A m LJ Bτ

ω τ τ ω= − −

Zakoni za povezivanje elemenata

em f bE K ω= m T AK iτ =i

31


slijedi

Određivanje U/I modela

( )41

0R emfa

La

AA A A b i

e E ee

diR i L K e

dtω+ + + − =

( )1A A L

T

i J BK

ω ω τ= + +

fm

A T A LJ K i Bττ

ω τ ω= − −

Eliminacijom

( ) ( )1 1

A A

A A L A A L b iT T

i i

dR J B L J B K e

K dt Kω ω τ ω ω τ ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ + + + + + =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

i U/I model za ω

( )( ) A L A LA A A A A A

b iT T T T T

L RL J L B R J R BK e t

K K K K K

τ τω ω ω

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32


Iako je ranije navedeno da se radi o funkciji oblika

Prisilni odziv sustava koji se opisuje jednadžbom drugog reda

Uzbudna sila ima oblik koračne funkcije

u ovaj oblik uzbude spada i tzv. harmonijska uzbuda oblika

2 1 2 0( ) ( ) ( ) cosa y t a y t a y t F tw+ + =

20( ) 2 ( ) ( ) cosn ny t y t y t f tζω ω ω+ + =

M

ky

Pomak

c

F=F0 cosωt

ili

što rezultira s sljedećim oblikom ulazno – izlazne jednadžbe

0( ) ( ) ( ) cosmy t cy t ky t F tω+ + =

33


Karakteristična jednadžba u ovom slučaju je oblika oblika

- Slučaj slabog prigušenja 0 < ζ < 1

te se dobivaju korijeni jednadžbe

i

te je stoga homogeno rješenje jednadžbe

dok se partikularno rješenje može pisati kao

0

0

( ) cos ( )= cos ( )p

FAy t t t

a mω θ ω θ= + +

34


Homogeno rješenje sustava sa slabim prigušenjem

35


Temeljem podužeg izvoda moguće je dobiti

102 22 2 2 2

2( ) cos( tan )

( ) (2 )n

pnn n

Y

fy t t

θ

ζω ωωω ωω ω ζω ω

− ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟−− + ⎝ ⎠

0 0.5 1 1.5 2-20

-10

0

10

20

30

40

ωN / ω

Y(d

B)

ζ =0.01ζ =0.1ζ =0.3ζ =0.5ζ =1

36


Dijagram faznog kuta izgleda kao

Konačni izraz za odziv glasi

partikularno ili homogeno ili tranzijentno rješenjeravnomjerno rješenje

( ) sin( ) cos( )ntdx t Ae t X tζω ω φ ω θ−= + + −

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Faz

ni k

ut, r

ad

ζ =0.01

ζ =0.1

ζ =0.3

ζ =0.5

ζ =1

ωN / ω

37


Ova se metoda temelji na aproksimaciji

Numerička rješenja diferencijalnih jednadžbi

Φ

Vremenski korakh

stvarna vrijednost

xi+1 -dobivenavrijednostxi

x

x

ti ti+1

Eulerova metoda

Velika većina diferencijalnih jednadžbi nema analitičkog rješenja te se u tom slučaju pribjegava numeričkim aproksimacijama rješenja diferencijalnih jednadžbi. Po tom pitanju razvijene su brojne numeričke metode za rješavanje.

pogreška metode

38


dok se derivacija funkcije tj. nagib tangente u početnoj točki kombinira iz dva nagiba tangente tj. iz nagiba tangente u početnoj i nagiba tangente u krajnjoj točki

Φ

h

stvarna vrijednost

nagib tangente u xi

xi

x

x

ti ti+1

Vremenski korak se računa kao i ranije

pogreška metode

Poboljšana Eulerova (Heunova) metoda

xn+1 = xn + (h/2) (f(tn, xn) + f(tn + h, xn + h f(tn, xn)))

tn+1 = tn + h

=

nagib tangente u xi+1

Srednji nagib tangente

39

http://numericalmethods.eng.usf.edu

1 n nt t h+ = +

Runge – Kutta metoda IV. reda


yn+1 = yn + (1/6)(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Koeficijenti nagiba tangenti iznose

1 n nk = h f(t , x )

2 h k1n+ n+

2 2

k = h f(t , x )

3 h k2n+ n+

2 2

k = h f(t , x )

4 n+h n+k3k = h f(t , x )

Konačna formula za Runge – Kutta metodu IV. reda, glasi

tn tn+htn+h/2

40

Preciznost numeričkih metoda


EulerEulerSrednja toSrednja toččkakaHeunHeun ((iterativiterativnini))RK4RK4 h = 0.1π

10y tydt

dy=+−= )(;)sin(

41


h = 0.05π

EulerEulerSrednja toSrednja toččkakaHeunHeun ((iterativiterativnini))RK4RK4

10y tydt

dy=+−= )(;)sin(

42

Hvala na pažnji!


zigulic_mehatronika_p_1_2012_2013

Documents