要点梳理 1. 一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：

§7.2 一元二次不等式及其解法

基础知识 自主学习

判别式Δ=b2-4ac

Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数y=ax2+b

x+c(a>0) 的

图象

2. 用程序框图来描述一元二次不等式 ax2+bx+c>0

(a>0) 的求解的算法过程为

一元二次方程ax2+bx+c=

0(a>0) 的根

有两相异实根x1,x2

(x1<x2)

有两相等实根 x1=x2 没有实数根

ax2+bx+c>0

(a>0) 的解集

_______________ _________ __________

ax2+bx+c<0

(a>0) 的解集

______________ ______ ______

a

b

2

{x|x≠x1}

{x|x∈R}{x|x<x1

或 x>x2}{x|x1

<x<x2}

3. 上述不等式 ax2+bx+c>0 (<0) 中的 a 均大于 0, 若 a<0,

则可先进行转化，使 x2 的系数为正 , 但一定注意在转 化过程中，不等号的变化 .

基础自测

1. 不等式 的解集为 （ ）

A.

B.

C.

D.

0)3

1)(

2

1( xx

)2

1,3

1(

),2

1()

3

1,(

)3

1,2

1(

),3

1()

2

1,(

解析 不等式

同解于

又∵相应方程 的两根为

故原不等式的解集为

答案 A

,))(( 03

1

2

1 xx

,))(( 03

1

2

1 xx

03

1

2

1 ))(( xx

.2

1

3

10)

3

1)(2

1(

,2

1,3

121

xxx

xx

的解为

}.2

1

3

1|{ xx

2. 设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为 {x|-1<x< },

则 ab 的值为 （ ） A.-6 B.-5 C.6 D.5

解析 因 x=-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根 ,

∴a=-3,b=-2,∴ab=6.

3

1

3

1

,1

3

11,

3

2,3

11

aa

b

a

b 又

C

3.(2009· 四川理， 1) 设集合 S={x||x|<5},T={x|x2+

4x-21<0}, 则 S∩T= （ ）

A.{x|-7<x<-5} B.{x|3<x<5}

C.{x|-5<x<3} D.{x|-7<x<5}

解析 S={x|-5<x<5},T={x|-7<x<3},

∴S∩T={x|-5<x<3}.

C

4. 不等式 的解集是 （ ）

A.(-∞,-1)∪(-1,2] B.[-1,2]

C.(-∞,-1)∪[2,+∞) D.(-1,2]

解析 (x-2)(x+1)≤0 且 x≠-1

-1<x≤2.

01

2

x

x

01

2

x

x

D

5. 若集合 A={x|ax2-ax+1<0}= , 则实数 a 的取值范围 是 （ ）

A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}

C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

解析 若 a=0 时符合题意， a>0 时，相应二次方程中

的 Δ=a2-4a≤0, 解得 0<a≤4,

综上得 {a|0≤a≤4}.

D

a

题型一 一元二次不等式的解法【例 1 】解下列不等式： (1)2x2+4x+3<0;

(2)-3x2-2x+8≤0;

(3)8x-1≥16x2.

首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能 ,则可得方程的两根 ,

大于号取两边 ,小于号取中间 ,若不能 ,则再看“ Δ”,

利用求根公式求解方程的根 ,而后写出解集 .

题型分类 深度剖析

思维启迪

解 （ 1 ）∵ Δ=42-4×2×3=16-24=-8<0.

∴ 方程 2x2+4x+3=0 没有实根 .

∴2x2+4x+3<0 的解集为 .

（ 2 ）原不等式等价于 3x2+2x-8≥0

(x+2)(3x-4)≥0 x≤-2 或 x≥

∴ 不等式的解集为 (-∞,-2]∪[ ,+∞).

（ 3 ）原不等式等价于 16x2-8x+1≤0 (4 x-1)2≤0.

∴ 只有当 4x-1=0, 即 时不等式成立，

故不等式解集为

.3

4

3

4

4

1x

}.4

1{

探究提高 解一元二次不等式的一般步骤是 :(1)化

为标准形式 ;(2)确定判别式 Δ的符号 ;(3)若 Δ≥0,则

求出该不等式对应的二次方程的根 ,若 Δ<0，则对应

的二次方程无根 ;(4)结合二次函数的图象得出不等式

的解集 .特别地 ,若一元二次不等式的左边的二次三项

式能分解因式 ,则可立即写出不等式的解集 .

知能迁移 1 解下列不等式：

解 （ 1 ）两边都乘以 -3 ，得 3x2-6x+2<0,

因为 3>0, 且方程 3x2-6x+2=0 的解是

所以原不等式的解集是

.)(;)( 22 1618203

221 xxxx

,3

31,

3

31 21 xx

}.3

31

3

31|{ xx

(2) 方法一 ∵原不等式即为 16x2-8x+1≥0,

其相应方程为 16x2-8x+1=0,

Δ=(-8)2-4×16=0,

∴ 上述方程有两相等实根

结合二次函数 y=16x2-8x+1 的图象知 ,

原不等式的解集为 R.

方法二 8x-1≤16x2 16 x2-8x+1≥0 (4 x-1)2≥0,

∴x∈R,∴ 不等式的解集为 R.

,4

1x

题型二 含参数的一元二次不等式的解法

【例 2 】已知不等式 (a∈R).

(1) 解这个关于 x 的不等式 ; (2) 若 x=-a 时不等式成立 , 求 a 的取值范围 . 讨论 a的取值 ,首先看是否可化为一元二 次不等式，其次看根的大小 .

01

1

x

ax

思维启迪

解 (1) 原不等式等价于 (ax-1)(x+1)>0.

① 当 a=0 时 , 由 -(x+1)>0, 得 x<-1;

② 当 a>0 时 , 不等式化为

解得 x<-1 或 x>

③ 当 a<0 时 , 不等式化为

若 即 -1<a<0, 则

若 即 a=-1, 则不等式解集为空集 ;

若 即 a<-1, 则

,0)1)(1

( xa

x

;1

a

;0)1)(1

( xa

x

,11

a

,11

a

,11

a

;11

xa

.1

1a

x

综上所述 ,a<-1 时 , 解集为

a=-1 时 , 原不等式无解 ;

-1<a<0 时 , 解集为

a=0 时 , 解集为 {x|x<-1};

a>0 时 , 解集为 (2)∵x=-a 时不等式成立 ,

∴ 即 -a+1<0,

∴a>1, 即 a 的取值范围为（ 1 ， +∞ ） .

}.11|{ xa

x

};1

1|{a

xx

}.1

1|{a

xxx 或

,01

12

a

a

探究提高 (1)含参数的一元二次不等式可分为两种情形 :一是二次项系数为常数 ,参数在一次项或常数项的位置 ,此时可考虑分解因式 ,再对参数进行讨论，若不易分解因式 ,则要对判别式 Δ分类讨论 ,分类应不重不漏 ;二是二次项系数为参数 ,则应考虑二次项系数是否为 0,然后再讨论二次项系数不为 0的情形 ,以便确定解集的形式 .注意必须判断出相应方程的两根的大小 ,

以便写出解集 .

(2)含参数不等式的解法问题 ,是高考的重点内容，主要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想 .

知能迁移 2 解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0.

解 原不等式可变形为 (x-a)(x-a2)>0,

则方程 (x-a)(x-a2)=0 的两个根为 x1=a,x2=a2.

当 a<0 时 , 有 a<a2,∴x<a 或 x>a2,

此时原不等式的解集为 {x|x<a 或 x>a2};

当 0<a<1 时 , 有 a>a2,∴x<a2 或 x>a,

此时原不等式的解集为 {x|x<a2 或 x>a};

当 a>1 时 , 有 a2>a,∴x<a 或 x>a2,

此时原不等式的解集为 {x|x<a 或 x>a2};

当 a=0 时 , 有 x≠0,

∴ 原不等式的解集为 {x|x∈R 且 x≠0};

当 a=1 时 , 有 x≠1,

此时原不等式的解集为 {x|x∈R 且 x≠1}.

综上可知 : 当 a<0 或 a>1 时 ,

原不等式的解集为 {x|x<a 或 x>a2};

当 0<a<1 时 , 原不等式的解集为 {x|x<a2 或 x>a};

当 a=0 时 , 原不等式的解集为 {x|x≠0};

当 a=1 时 , 原不等式的解集为 {x|x≠1}.

题型三 一元二次不等式的应用 【例 3 】某种商品 , 现在定价 p 元 , 每月卖出 n 件 , 设定价 上涨 x 成 , 每月卖出数量减少 y 成 , 每月售货总金额变 成现在的 z 倍 . (1) 用 x 和 y 表示 z; (2) 设 y=kx(0<k<1), 利用 k 表示当每月售货总金额最 大时 x 的值 ;

(3) 若 求使每月售货总金额有所增加的 x 值的

范围 . 通过代数化简 ,将问题转化成解一元二次 不等式问题 .

,3

2xy

思维启迪

解 (1) 按现在的定价上涨 x 成时 , 上涨后的定价为

元 , 每月卖出数量为 件 ,

每月售货总金额是 npz 元 ,

因而

所以

(2) 在 y=kx 的条件下，

整理可得

由于 0<k<1, 所以

所以使 z 值最大的 x 的值是

)10

1(x

p )10

1(y

n

),10

1()10

1(y

nx

pnpz

.100

)10)(10( yxz

},])(

[)(

{ 22 15125

100100

1

k

kxk

k

kz

,0)1(5

k

k

.)1(5

k

k

,))((

100

1010 kxxz

(3)

要使每月售货总金额有所增加，即 z>1 ，

应有 即 x(x-5)<0 ，

解得 0<x<5, 所以所求 x 的范围是（ 0 ， 5 ） .

不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题 ,在解题中涉及到不等式的解及有关问题，解不等式的应用题，要审清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键 .

,100

)32

10)(10(,

3

2 xxzxy

时当

,100)3

210)(10( xx

探究提高

知能迁移 3 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控 ,

实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶 70 元，不征

收附加税时，每年大约产销 100 万瓶 , 若政府征收

附加税，每销售 100 元要征税 R 元 ( 叫做税率 R%), 则

每年的销售收入将减少 10R 万瓶 , 要使每年在此项经

营中所收附加税金不少于 112 万元 , 问 R 应怎样确定 ?

解 设每年销售量为 x 万瓶，则销售收入为每年 70x

万元，从中征收的税金为 70x·R% 万元，其中 x=100-10R.

由题意，得 70 （ 100-10R ） R%≥112,

整理，得 R2-10R+16≤0.

∵Δ=36>0 ，方程 R2-10R+16=0 的两个实数根为x1=2,x2=8.

然后画出二次函数 y=R2-10R+16 的图象，由图象得不等式的解为 2≤R≤8.

题型四 一元二次不等式的恒成立问题 【例 4 】（ 12 分）已知不等式 mx2-2x-m+1<0.（ 1 ）若对所有的实数 x 不等式恒成立，求 m 的取值范 围；（ 2 ）设不等式对于满足 |m|≤2 的一切 m 的值都成立 , 求 x 的取值范围 . （ 1）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论 m=0 的情况，而后结合二次函数图象求解 . （ 2）转换思想将其看成关于 m的一元一次不等式， 利用其解集为［ -2， 2］，求参数 x的范围 .

思维启迪

解 （ 1 ）不等式 mx2-2x-m+1<0 恒成立，即函数 f(x)=

mx2-2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方 .

当 m=0 时， 1-2x<0,

即当 x> 时，不等式恒成立 , 不满足题意； 3 分

当 m≠0 时，函数 f(x)=mx2-2x-m+1 为二次函数，需满足开口向下且方程 mx2-2x-m+1=0 无解，即

综上可知不存在这样的 m. 6 分

2

1

.,0)1(44

0无解则m

mm

m

(2) 从形式上看，这是一个关于 x 的一元二次不等式 ,

可以换个角度，把它看成关于 m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为 [-2,2], 求参数 x 的范围 . 7 分设 f(m)=(x2-1)m+(1-2x),

则其为一个以 m 为自变量的一次函数 , 其图象是直线 ,

由题意知该直线当 -2≤m≤2 时线段在 x 轴下方，

分即 9②0122

①0322,

0)2(

0)2(2

2

xx

xx

f

f

分的取值范围为

分得由

得解

或得解

122

31

2

71-

112

31

2

71-①②

2

31

2

31②

2

71

2

71①

}.|{

.

.,

,,

xxx

x

x

xx

探究提高 （ 1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数 .一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数 .

（ 2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x轴上方 ,恒小于 0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x轴下方 .

知能迁移 4 已知 f(x)=x2-2ax+2, 当 x∈[-1,+∞) 时 ,

f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围 .

解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,

此二次函数图象的对称轴为 x=a,

① 当 a∈(-∞,-1) 时，结合图象知， f(x) 在 [-1,+∞)

上单调递增， f(x)min=f(-1)=2a+3,

要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a,

即 2a+3≥a, 解得 a≥-3, 又 a<-1,

∴-3≤a<-1.

② 当 a∈［ -1 ， +∞ ）时， f(x)min=f(a)=2-a2,

由 2-a2≥a, 解得 -2≤a≤1.

又 a≥-1,∴-1≤a≤1.

综上所述，所求 a 的取值范围为 -3≤a≤1.

方法二 由已知得 x2-2ax+2-a≥0 在［ -1 ， +∞ ）上恒成立，令 g(x)=x2-2ax+2-a,

即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或

解得 -3≤a≤1.

,

0)1(

1

0

g

a

1. 解一元二次不等式时 ,首先要将一元二次不等式化 成标准型，即 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 的形式，其中 a>0.

如解不等式 6-x2>5x 时首先化为 x2+5x-6<0.

2. 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 的形式 ( 其 中 a>0) 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系 .

方法与技巧

思想方法 感悟提高

（ 1 ）知道一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根可以写出对 应不等式的解集；（ 2 ）知道一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 的 解集也可以写出对应方程的根 .

3. 数形结合：利用一元二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可 以一目了然地写出一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+

bx+c<0 的解集 .

1. 一元二次不等式的界定 . 对于貌似一元二次不等式 的形式要认真鉴别 . 如： 解不等式（ x-a)(ax-1)>0 ，如果 a=0它实际上是一个 一元一次不等式； 只有当 a≠0 时它才是一个一元二次不等式 .

2. 当判别式 Δ<0 时， ax2+bx+c>0 (a>0) 解集为 R;

ax2+bx+c<0 (a>0) 解集为 . 二者不要混为一谈 .

失误与防范

一、选择题1.(2009·陕西理 ,1) 若不等式 x2-x≤0 的解集为 M, 函 数 f(x)=ln(1-|x|) 的定义域为 N, 则 M∩N 为 ( ) A.［ 0,1) B.(0,1)

C.［ 0,1］ D.(-1,0)

解析 不等式 x2-x≤0 的解集 M={x|0≤x≤1},f(x)=

ln(1-|x|) 的定义域 N={x|-1<x<1},

则 M∩N={x|0≤x<1}.

定时检测

A

2. 已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是 则不等

式 x2-bx-a<0 的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)

C. D.

解析 由题意知 是方程 ax2-bx-1=0 的根 , 所

以由韦达定理得

解得 a=-6,b=5, 不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0, 解集 为 (2,3).

],3

1,2

1[

)2

1,3

1( ),

2

1()

3

1,(

3

1,2

1

.1

)3

1(

2

1,)

3

1(

2

1

aa

b

A

3. 已知 p: 关于 x 的不等式 x2+2ax-a>0 的解集是 R,q:-1<

a<0 ，则 p 是 q 的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 解析 不等式 x2+2ax-a>0 的解集是 R 等价于 4a2+4a<0,

即 -1<a<0.

C

4. 设命题 p:|2x-3|<1,q: 则 p 是 q 的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 不等式 |2x-3|<1 的解是 1<x<2,

不等式 的解是 1≤x<2.

,12

32

x

x

12

32

x

x

A

5. 设 f(x)= 若 f(t)>2, 则实数 t 的取值

范围是 （ ） A. （ -∞,-1 ）∪ (4,+∞)

B.(-∞,2)∪(3,+∞)

C.(-∞,-4)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(3,+∞)

解析 由题意知 t2-2t-1>2 且 t≥0, 或 -2t+6>2 且 t<0 ， 解得 t>3 或 t<0.

.0,62

,0,122

xx

xxx

D

6. 在 R 上定义运算： x*y=x(1-y). 若不等式（ x-a ） *

(x+a)<1 对任意实数 x 恒成立，则 （ ） A.-1<a<1 B.0<a<2

C. D.

解析 依题设得 x-a-x2+a2<1 恒成立，2

3

2

1 a

2

1

2

3 a

.

)()(

2

3

2

1

04

30

4

3

2

1 222

a

aaaax

恒成立

恒成立即

C

二、填空题 7. 若函数 f(x) 是定义在（ 0,+∞ ）上的增函数，且对 一切 x>0,y>0 满足 f(xy)=f(x)+f(y), 则不等式 f(x+6)+

f(x)<2f(4) 的解集为 _______.

解析 由已知得 f(x+6)+f(x)=f［ (x+6)x］ ,

2f(4)=f(16). 根据单调性得 (x+6)x<16,

解得 -8<x<2. 又 x+6>0,x>0, 所以 0<x<2.

(0,2)

8. 若关于 x 的方程 x2+ax+a2-1=0 有一正根和一负根， 则 a 的取值范围是 _________.

解析 令 f(x)=x2+ax+a2-1,

∴ 二次函数开口向上，若方程有一正一负根，

则只需 f(0)<0, 即 a2-1<0,

∴-1<a<1.

-1<a<1

9. 已知函数 f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R), 若当 x∈[-1,1]

时， f(x)>0 恒成立 , 则 b 的取值范围是 ____________.

解析 依题意， f(x) 的对称轴为 x=1, 又开口向下， ∴ 当 x∈［ -1 ， 1］时， f(x) 是单调递增函数 .

若 f(x)>0 恒成立，

则 f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1>0,

即 b2-b-2>0,∴(b-2)(b+1)>0,

∴b>2 或 b<-1.

b>2 或 b<-1

三、解答题10. 解不等式：

解 原不等式等价于

解①得 x2+3x≤0, 即 -3≤x≤0.

解②得 x>1 或 x<

故原不等式的解集为

).54(log)523(log 22

2

1

2

1 xxxx

②,054

①,545232

22

xx

xxxx

.4

5

}.4

53|{ xx

11. 解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax (a∈R).

解 原不等式变形为 ax2+(a-2)x-2≥0.

(1) 当 a=0 时，原不等式变为 -2x-2≥0,

故其解集为 {x|x≤-1} ； (2) 当 a≠0 时，不等式即为 (ax-2)(x+1)≥0.

① 当 a>0 时，不等式即为

故其解集为

② 当 a<0 时，不等式即为

,0)1)(2

( xa

x

};12

|{ xa

xx 或

,2

)1(2,0)1)(

2(

a

a

ax

ax

当 -2<a<0 时， 故其解集为

当 a=-2 时，不等式即为 (x+1)2≤0,

故其解集为 {x|x=-1} ；

当 a<-2 时， 故其解集为

综上，当 a=0 时，解集为 {x|x≤-1};

当 a>0 时，解集为

当 -2<a<0 时，解集为

当 a=-2 时，解集为 {x|x=-1};

当 a<-2 时，解集为

};12|{ xa

x,12

a

}.2

1|{a

xx ,2

1a

};12

|{ xa

xx 或

};12|{ xa

x

}.2

1|{a

xx

12. 已知二次函数 f(x)=ax2+x, 若对任意 x1、 x2∈R, 恒

有 ≤ f(x1)+f(x2) 成立，不等式 f(x)<0 的解

集为 A.

(1) 求集合 A ； (2) 设集合 B={x||x+4|<a}, 若集合 B 是集合 A 的子集 ,

求 a 的取值范围 .

解 （ 1 ）对任意 x1、 x2∈R,

)2

(2 21 xxf

,)(

)()()(

成立

由

02

1

22

221

2121

xxa

xxfxfxf

要使上式恒成立，所以 a≥0.

由 f(x)=ax2+x 是二次函数知 a≠0, 故 a>0.

（ 2 ） B={x||x+4|<a}=(-a-4,a-4),

因为集合 B 是集合 A 的子集，

所以 a-4≤0, 且

又 a>0 ，

∴a 的取值范围为

).0,1

(

.0)1

()( 2

aA

axaxxaxxf

解得

所以

.1

4a

a

.5252 a解得

.520 a 返回