פרק 2ג אינטגרל - פונקציה קדומה

לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג

וערך: יוסי דהן. פולינום כתב -חשבון אינטגרלי -2חלק

0

0

פונקציה קדומה

xxxf היא xf)(הנגזרת של הפונקציה .: 103)(' 2 , נתון כי הפונקציה עוברת דרך

)6,2(הנקודה מצא את הפונקציה)(xf

)(65: תשובה סופית 23 xxxf

')(23אם נתון : xf)(הפונקציה . מצא את 2 xxf 5,1( וגרף הפונקציה עובר דרך הנקודה(

)(4: תשובה סופית 3 xxf

)13,1( אשר עוברת בנקודה xf)(פונקציה ה. מצא את 3 643 נגזרת.ו)(' 2 xxxf

)(462: תשובה סופית 23 xxxxf

xxxfהמקיימת : xf)(פונקציה ה. מצא את 4 612)(' 2 1(2 -ו( f


')(2103המקיימת : xf)(פונקציה ה. מצא את 5 2 xxxf 2(24 . -ו( f

)(825: תשובה סופית 23 xxxxf

')(6103: שנגזרת xf)(פונקציה ה. מצא את 6 2 xxxf

2x בנקודה בה x -והיא חותכת את ציר ה

xxxxf: תשובה סופית 65)( 23

')(63: שנגזרת xf)(פונקציה ה. מצא את 7 2 xxf

2xבנקודה בה x -והיא חותכת את ציר ה


')(52: שנגזרת xf)( פונקציהה. מצא את 8 xxf

9yבנקודה בה y -והיא חותכת את ציר ה


xxxf: שנגזרת xf)(פונקציה ה. מצא את 9 44)(' 3

25yבנקודה בה y -תכת את ציר הוהיא חו


')(1026: שנגזרתxf)(פונקציה ה. מצא את 00 2 xxxf

שית הציריםוהיא עוברת ברא

xxxxf: תשובה סופית 102)( 23



0

0

')(122 . ונגזרת)60,2(ת בנקודה אשר עובר xf)(פונקציה נתונה . 00 xxf

.xf)( מצא את הפונקציה .א

f)3( חשב את .ב

)(3212 : תשובה סופית 2 xxxf .3(5ב( f

')(23 שנגזרת xf)(. נתונה פונקציה02 xxf 8,2( והיא עוברת בנקודה(.

.xf)( מצא את הפונקציה .א

f)3( חשב את .ב

)(3 )א( ובה סופיתתש xxf )3(27 )ב( f

')(12 ( שנגזרת 0, 2וברת בנקודה ) הע xf)(. א. מצא פונקציה03 xxf .

f)1( ב. חשב את

xxxf )א( : תשובה סופית )1(0 )ב( )(2 f .

')(42היא f( x. נגזרת הפונקציה ) 04 xxf ושיעור ה– y 06בנקודת המקסימום הוא.

מצא את נקודת המקסימום. .א

. xf)(מצא את .ב

)(124. (ב). )16,2(max: )א( תשובה סופית 2 xxxf

')(42היא xf)(. נגזרת הפונקציה 05 xxf ושיעור ה– y 2 בנקודת המינימום הוא.

מצא את נקודת המינימום. .א

. xf)(מצא את הפונקציה .ב

4x – x+ 6 )ב( )2,2(min: )א( תשובה סופית2

( =x )f .

')(164היא xf)(. נגזרת הפונקציה 06 xxf 36ובנקודת המינימום – y .

מצא את נקודת המינימום של הפונקציה. .א

.xf)( מצא את הפונקציה .ב

)36,4(min: )א( תשובה סופית )16 - 4 )בx +2x2

( =x )f .

')(126היא xf)( גזרת הפונקציה . נ07 xxf 03וערכה המינימלי הוא - .

בנקודת המינימום.( y: ) ערכה המינימלי , כלומר שיעור ה עזרה

מצא את נקודת המינימום של הפונקציה. .א

. xf)( מצא את הפונקציה .ב

)13,2(min: )א( תשובה סופית )12 - 0)בx +3x2

( =x )f .

')(84היא xf)( . נגזרת הפונקציה 08 xxf 8וערכה המקסימלי הוא .

בנקודת המקסימום.( y: ) ערכה המקסימלי , כלומר שיעור ה עזרה

מצא את נקודת המקסימום של הפונקציה. .א

. xf)( מצא את הפונקציה .ב

8x +2x )ב( )8,2(max: )א( תשובה סופית2

- ( =x )f .



2

2

')(216נתון כי .09 3 xxf ( וערכה של הפונקציה .x )f 2בנקודת המינימום שלה הוא.

ם .מינימו f( xמקבלת הפונקציה ) xעבור איזה ערך של .א

. f( xמצא את הפונקציה ) .ב

)(75.224. )ב( x= 0.5. )א(: תשובה סופית 4 xxxf

xxxfמקיימת f( x. הנגזרת של הפונקציה )20 86)(' 2 .

.5הוא x= 0בנקודה f( xערך הפונקציה )

f( xמצא את הפונקציה )א.

. x= 2בנקודה f( xערך הפונקציה )חשב את ב.

)(742)א( :תשובה סופית 23 xxxf )2(7)ב( f

')(xf 216)(הנגזרת של הפונקציה .12 3 xxf

214ומקביל לישר Aבנקודה xf)(העבירו משיק לפונקציה xy

.Aשל הנקודה x –מצא את שיעור ה .(א)

מצא את הפונקציה 5הוא Aבנקודה xf)(ערך הפונקציה .(ב)

)(324 )ב( 1x)א( :סופית תשובה 4 xxxf

')(xxx f 6הנגזרת של הפונקציה . 11 2

של הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. x –מצא את שיעורי ה א.

.0של נקודת המינימום של הפונקציה הוא y –נתון כי שיעור ה ב.

. x f)(מצא את (2)

של נקודת המקסימום של הפונקציה. y –מצא את שיעור ה (1)

06. (א) : סופית תשובה 21 xx (2ב) 133

)( 23

xx

x f (1ב) max)37,6(

')(323היא xf)(נגזרת הפונקציה . 12 2 xxxf

)1,1(נתון כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה

.xf)(מצא את .(א)

.xהראה כי הפונקציה עולה לכל .(ב)

.x= 0מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . (ג)

: ה סופיתתשוב

)(63 )א(. 23 xxxxf .)ב( )(' xf> 0 עבור כלx )54)ג xy



3

3

:12שאלה מספר

מועד א' קיץ תשס"ז 20552 מבחן בגרות

'')(246היא xf)(הנגזרת השנייה של הפונקציה xxf

x= 6לפונקציה יש נקודת מקסימום ב

')(מצא את .(א) xf.

xf)(את מצא – 32ערך הפונקציה בנקודת המינימום שלה הוא .(ב)

פתרון:

')(מצא את .(א) xf.

xf)(מצא את – 21ערך הפונקציה בנקודת המינימום שלה הוא .(ב)

:סופית תשובה

')(36243)א( 2 xxxf )ב( xxxxf 3612)( 23 02 cx

מציאת נגזרת ראשונה03 mx

36243)('

36

360

)6(242

)6(60

242

6)(

)246()('

2

2

2

xxxf

c

C

C

Cxx

xf

dxxxf

מציאת הפונקציה322 yx

xxxxf

C

C

C

Cxxx

xf

dxxxxf

3612)(

0

7248832

)2(362

)2(24

3

)2(332

362

24

3

3)(

)36243()(

23

23

23

2

מציאת נקודות הקיצון

0m

min2max6

6

1224

)3(2

)36)(3(4576)24(

362430

0

36243)('

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

m

xxxf



4

4

מציאת הפונקציה ולאחר מכן מציאת השטחים.: ב

:10שאלה מספר

20552 1552מבחן בגרות קיץ מועד א' תשס"ו

'42היא : yהנגזרת של הפונקציה xy

של נקודת המקסימום של הפונקציה. x –מצא את שיעור ה )א(.

. 4בנקודת המקסימום שלה הוא yנתון כי ערך הפונקציה )ב(.

מצא את הפונקציה.

.x -מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה )ג(.

.x –מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ובין ציר ה .(ד)

פתרון:

.של נקודת המקסימום של הפונקציה x –מצא את שיעור ה )א(.

. מצא את הפונקציה. 2בנקודת המקסימום שלה הוא yנתון כי ערך הפונקציה )ב(.

.x -מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה )ג(.

xמצא mנתון

נגזרת ראשונה

max2

42

420

?0

42)('

x

x

x

xm

xxf

פונקציהמציאת ה42 yx

xxxf

C

C

C

Cxx

xf

dxxxf

4)(

0

844

)2(42

)2(24

42

2)(

)42()(

2

2

2

xחיתוך עם ציר ה 0y

)0,4()0,0(

40

)4(0

40

4)(

21

2

2

xx

xx

xx

xxxf

x

y

A

O

B

x

y

A

O

B

)0,4()0,0(



5

5

.x –מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ובין ציר ה .(ד)


xxy)ב( 2x)א( 42 )ד( )0,0()0,4()ג(3210s

x פונקציה עליונה x

xxy גדול/ימין 42 קטן/שמאל

4x

פונקציה תחתונה

0x 0y

dxxxS

dxxxS

T

T

)4(

)0()4(

2

2

4

0

4

0

3

210

3

2100

3

210

2

)0(4

3

)0(

2

)4(4

3

)4(

2

4

3

2323

234

0

T

T

T

T

S

S

S

xxS

x

y

A

O

B

)0,4()0,0(



6

6

12שאלה מספר

"טתשסחורף 1552מיוחד מרץ מועד 52520מבחן בגרות

')(42היא xf)(. נגזרת הפונקציה 2 xxf.

.9ערך הפונקציה בנקודת המקסימום שלה היא

של נקודת המקסימום . x –מצא את שיעור ה (2) (א)

. xf)(מצא את (1)

חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , .(ב)

.y – ועל ידי ציר ה x –על ידי ציר ה

ברביע הראשון . ) השטח המקווקו בציור (.

פתרון:

של נקודת המקסימום . x –מצא את שיעור ה (2) (א)

. xf)(מצא את (1)

נגזרת ראשונהm=0

2

42

420

0)('

42)('

x

x

x

xf

xxf

פונקציה92 yx

54)(

5

49

)2(42

)2(29

42

2)(

)42()(

2

2

2

xxxf

C

C

C

Cxx

xf

dxxxf

נגזרת שנייהMax/min

max2"' f

נקודת הקיצוןmax)9,2(

xחיתוך עם ציר ה

15

2

64

)1(2

)5)(1(416)4(

540

0

54)('

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

y

xxxf

x

y

x

y )9,2(

)0,5()0,1(



7

7

.y –ל ידי ציר ה וע x –על ידי ציר ה ח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , חשב את השט .(ב)

ברביע הראשון . ) השטח המקווקו בציור (.


)(54( 1)א 2x( . 2)א 2 xxxf (ב ) 3133S


542 גדול/ימין xxy קטן/שמאל

5x


0x 0y

dxxxS

dxxxS

T

T

)54(

)0()54(

2

2

5

0

5

0

3

133

3

1330

3

133

)0(52

)0(4

3

)0()5(5

2

)5(4

3

)5(

52

4

3

2323

235

0

T

T

T

T

S

S

S

xxx

S

x

y )9,2(

)0,5()0,1(



8

8

12שאלה מספר

ע"אתש 1522 א קיץ מועד 20552מבחן בגרות

')(223היא xf)(נגזרת הפונקציה 2 xxxf

)2(8נתון f

.xf)(מצא את .(א)

.xf)(בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה .(ב)

רף הפונקציהחשב את השטח המוגבל על ידי ג

) השטח המקווקו בציור ( x –ועל ידי ציר ה

פתרון:

.xf)(מצא את )א(.

נגזרת ראשונה223)(' 2 xxxf

פונקציה82 yx

xxxxf

C

C

C

Cxxx

xf

dxxxxf

2)(

0

88

)2(22

)2(2

3

)2(38

22

2

3

3)(

)223()(

23

23

23

2

xחיתוך עם ציר ה

)0,1()0,0()0,2(

12

2

31

)1(2

)2)(1(41)1(

0

)2(0

20

0

2)('

32

3,12

3,2

1

2

23

23

xx

x

x

x

xxx

xxx

y

xxxxf

x

y

)0,0( )0,2( )0,1(

x

y



9

9

. xf)(בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )ב(.

) השטח המקווקו בציור ( x –ר ה ועל ידי צי חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה

ה סופיתתשוב

xxxxf )א( 2)( 23 .)ב( 1213S

12

13

12

5

3

22

21

T

T

S

SSS


xxxxf גדול/ימין 2)( 23 קטן/שמאל

0x


2x 0y

dxxxxS

dxxxxS

)2(

)0()2(

23

1

23

1

0

2

0

2


קטן/שמאל 0y גדול/ימין

1x


0x xxxxf 2)( 23

dxxxxS

dxxxxS

dxxxxS

)2(

)20(

)2()0(

23

2

23

2

23

2

1

0

1

0

1

0

3

22

3

22

3

220

2

)2(2

3

)2(

4

)2(

2

)0(2

3

)0(

4

)0(

2

)(2

34

1

1

234234

1

234

1

0

2

S

S

S

xxxS

12

5

12

50

12

5

2

)0(2

3

)0(

4

)0(

2

)1(2

3

)1(

4

)1(

2

)(2

34

2

2

234234

2

234

2

1

0

S

S

S

xxxS

x )0,0( )0,2( )0,1(

y

1S

2S



00

00

12שאלה מספר

'42הפונקציה נתונה הנגזרת של . xy

של נקודת המינימום של הפונקציה. x –רי ה ( מצא את שיעו0) א.

1y( נתון כי בנקודת המינימום של הפונקציה 2)

הפונקציה מצא את

x –דרך נקודת המינימום של הפונקציה העבירו אנך לציר ה ב.

מצא את השטח המוגבל על ידי גרף ) ראה ציור(

על ידי הצירים ועל ידי האנך הפונקציה

) השטח המקווקו בציור(


342 ( 1)א 2x( 2)א xxy )ב(

2s

x

y

.

. . .

.



00

00

12שאלה מספר

')(82412הפונקציה הנגזרת של נתונה 2 xxxf

xתך את ציר ה ידוע כי גרף הפונקציה חו

)0,0()0,1()0,2(בנקודות

הפונקציהמצא את א.

. xועל ידי ציר ה f( xב. חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה )

: סופית תשובה

xxxxf)א( 8124)( 23 (ב ) 2s

y

x



02

02

25לה מספר אש

')(24183הפונקציה: נגזרת נתונה 2 xxxf .

.וקבע את סוגה הקיצון של הפונקציהשל נקודות xשיעורי ה א. מצא את

של נקודת ה מקסימום מצא את הפונקציה 6yב. נתון

המינימום שלה.. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת ג

והמשיק y -. חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, ציר הד

שמצאת בסעיף ב' ) השטח המקווקו בשרטוט (.

ה סופיתתשוב

)min)10,2. (א) ,( 4 , - 6 ) max)6,4(

.(ב) 3 2 ( x ) = - x + 9x - 24x + 10f .)ג( y = - 10 )12. )ד

פרק 2ג אינטגרל - פונקציה קדומה

Education