数学 · 2020-05-09 ·...

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2019-2020学年怀柔区第二学期适应性练习

数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷 1至 2页、第Ⅱ卷 3至 4页，共 150分．考试时长 120分钟．考

生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分(选择题共 40分)

一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1．已知集合 {1, 2}A ， { 0 2}B x x ，则 A B

A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{ 0 2}x x

2．若复数 z满足 i 1 iz ，则 z

A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i

3．函数22cos 1y x 的最小正周期为

A．2

B． C． 2 D． 4

4．函数 2logy x 的图象是

A． B． C． D．

5．在等差数列{ }na 中，若 4 5 6 15a a a ，则 2 8a a

A．6 B．10 C．7 D．5

6．已知圆 C与圆(x－1)2＋y2＝1关于原点对称，则圆 C的方程为

A．x2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1

7．已知 1a

，则“ ( )a a b rr r ”是“ 1a b

”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

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8．如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．23

B．43

C．3 D．32

9．已知 0a b ，则下列不等式成立的是

A． 1ba B． 2 2a b C．

1 1a b D． 2a ab

10．“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法．在公元 263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其

原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求．当时刘微就是利用这种方法，把

的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据．这种方法

的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把

它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其

重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正

二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（精确到0.01）

（参考数据 sin15 0.2588o ）

A．3.05 B．3.10

C．3.11 D．3.14


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第二部分 (非选择题共 110分)

二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25分．）

11．已知抛物线 2 2y px 的焦点与双曲线2

2 14x y 的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为；

准线方程为．

12． 7( 1)x 的展开式中 3x 的系数是．

13．在 ABC 中， 60ABC ， 2 2BC AB ， E为 AC的中点，则 AB BE

．

14．某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过 600元，则不享受任何折扣优

惠；如果顾客选购商品的总金额超过 600元，则超过 600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下

表累计计算．

如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为 30元，则他实际所付金额为元．

15．若函数 ( ) (cos )xf x e x a 在区间 ( , )2 2

上单调递减，则实数 a的取值范围是．

三、解答题（共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

16．（本题满分 14分）

已知在 ABC 中， 2a ， 2b ，同时还可能满足以下某些条件：

1π4

A ；② B A ；③ sin sinB A ；④ 4c ．

（Ⅰ）直接写出所有可能满足的条件序号；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求 B及 c的值．

17．（本题满分 14分）

如图，四棱锥P ABCD 的底面 ABCD是正方形，PA底面 ABCD， ,E F分别是 ,BC PC的中点，

2AB AP ．

（Ⅰ）求证：BD平面 PAC；

（Ⅱ）求二面角 E AF C 的大小．

18．（本题满分 14分）

某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在

[85,100]之间为“体质优秀”，在[75,85)之间为“体质良好”，在[60,75)之间为“体质合格”，在[0, 60)之间

为“体质不合格”．现从这两个年级中各随机抽取 7名学生，测试成绩如下：

可以享受折扣优惠金额折扣优惠率

不超过 500元的部分 5%超过 500元的部分 10%


4

学生编号 1 2 3 4 5 6 7高一年级 60 85 80 65 90 91 75高二年级 79 85 91 75 60 m n

其中 ,m n是正整数．

（Ⅰ）若该校高一年级有 280学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；

（Ⅱ）若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人，记 X 为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求 X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，

写出 ,m n的值．（只需写出结论）

19．（本小题 15分）

已知函数 ( ) ln , ( ) xf x x g x e ．

（Ⅰ）求 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）当 0x 时，证明： ( ) ( )f x x g x ；

（Ⅲ）判断曲线 ( )f x 与 ( )g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．

20．（本小题满分 14分）

已知椭圆 :C2 2

2 2 1( 0)x y a ba b

的短半轴长为 2 ，离心率为22

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设 ,A B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 A在第一象限，AE x 轴，垂足为 E，连接 BE并

延长交椭圆于点D，证明： ABD 为直角三角形．


已知数列 , ,n n na b c ，且 1 1, ( )n n n n n nb a a c b b n N ．若 nb 是一个非零常数列，则

称 na 是一阶等差数列，若 nc 是一个非零常数列，则称 na 是二阶等差数列．

（Ⅰ）已知 1 11, 1, 1na b c ，试写出二阶等差数列 na 的前五项；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：2 22n

n na ；

（Ⅲ）若 na 的首项 21 a ，且满足 )(23 11

Nnabc n

nnn ，判断 na 是否为二阶等差数列．


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参考答案及评分标准一、选择题(共 10小题，每小题 4分，共 40分)．

二、填空题(共 5小题，每小题 5分，共 25分．)

11. ( 2 , 0 ) ; 2x ； 12. 35； 13. 1 ；

14. 1120； 15. [ 2, ) ．

三、解答题(共 6小题，共 85分．)

16．（本题满分 14分）

解：（Ⅰ）①，③．-------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）由sin sina bA B 得

2 2sinsin

4B

--------------------------6 分

22 sin 2 14 2sin2 22

B

-----------------------8分

2 26

a b A B B --------------------------9分

解法一：7 6 2sin sin( ( )) sin12 4

C A B

由

6 22sin 4 3 1sin sin sin 2

2

a c a CcA C A

．----------------14 分

解法二： 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 ( 2) 2 22

a b c bc A c c 由

解得 3 1c 或 3 1c （舍）．-----------------------------------------14分

17．（本题满分 14分）

（Ⅰ）证明：连接 BD -------------------------------1分

四边形 ABCD为正方形

BDAC ，------------------------2分

PA 又底面 ,ABCD BD ABCD平面，

BDPA ，------------------------4分

PA AC C而

PACBD 平面 --------------------5分

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C B D B D C D A C


6

（Ⅱ）解： ABCDPA 平面， ADAB ---------------------------------------------------------------6分

以 A为原点、 AB 为 x轴、 AD为 y轴、 AP 为 z轴，建立空间直角坐标系---------7分

则 )0,0,0(A , )0,0,2(B , )0,1,2(E , (0, 2,0)D , )1,1,1(F , (2,1,0)AE

, (1,1,1)AF

--------9分

设 AEF平面的一个法向量为 ),,( zyxn

0

0

n AE

n AF

,即

002

zyxyx

--------------------------------10分

令 1x ，则 1,2 zy )1,2,1( n ------------------------11分

由（Ⅰ）知 )0,2,2(BD 为 ACF平面的法向量------------12分

3cos ,2| || |

n BDn BDn BD

--------------------------------13分

所以，二面角 E AF C 的大小为6

．--------------------------14分

18．（本题满分 14分）

解：（Ⅰ）高一年级随机抽取的 7名学生中，“体质优秀”的有 3人，优秀率为37，将此频率视为概率，估

计高一年级“体质优秀”的学生人数为3 280 1207 人．---------------------3 分

（Ⅱ）高一年级抽取的 7名学生中“体质良好”的有 2人，非“体质良好”的有 5人。所以 X 的可能取值

为0,1,2 ------------------------------------------------------------------------------------5 分

所以0 2 1 1 2 02 5 2 5 2 52 2 27 7 7

10 10 1( 0) , ( 1) , ( 2)21 21 21

C C C C C CP X P X P XC C C

--------8 分

所以随机变量 X 的分布列为：

10 10 1 12 4( ) 0 1 221 21 21 21 7

E X --------------------------------------------------------11分

（Ⅲ） 78m n ．--------------------------------------------------------------------------------------------14分

19．（本小题 15分）

解：（Ⅰ） ( ) lnf x x 的定义域 (0, ) -----------------------------------1 分

1( ) (1) 1f x k fx

由 -------------------------------------2分

X 0 1 2

P 1021

1021

121


7

又 (1) 0f --------------------------------------------------------------3 分

所以 y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为: 1y x ．--------------------4 分

（Ⅱ）设 ( ) ( ) ln ( 0)h x f x x x x x ，

1 1'( ) 1 0 1xh x xx x

由，

'( ), ( )h x h x x随变化如下:

x (0,1) 1 (1, )

'( )h x 0

( )h x ↑ 极大值 ↓

max( ) (1) ln1 1 1 0h x h

( )f x x -------------------------------------------------------------7 分

设 ( ) ( ) '( ) 1 0 (0, ), xx s xs x x g x xx e e 在则上恒成立，

(0,( ) )xs x 在上单调递减

( ) (0) 1 0 ( )s x s x g x -----------------------------------9 分

综上 f x x g x ----------------------------------------------------10 分

（Ⅲ）曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在公切线，且有 2条，理由如下：---------------------11分

由（Ⅱ）知曲线 ( )f x 与 ( )g x 无公共点，设 1 2,l l 分别切曲线 ( )f x 与 ( )g x 于 21 1 2( , ln ), ( , )xx x x e ，则

2 21 1 2 2

1

1: ln 1; : (1 )x xl y x x l y e x e xx

，若 1 2l l ，即曲线 ( )f x 与 ( )g x 有公切线，则

2

2

2

1 2 2

1 2

1(1 ) 1 0

ln 1 (1 )

xx

x

ex e x xx e x

令 ( ) (1 ) 1xh x e x x ，则曲线 ( )f x 与 ( )g x

有公切线，当且仅当 ( )h x 有零点，

'( ) 1xh x xe ，

0 '( ) 0, ( ) ( ,0)x h x h x 当时, 在单调递增，

0 ''( ) ( 1) 0, '( ) (0, )xx h x x e h x 当时, 在单调递减，

'(0) 1 0, '(1) 1 0h h e 又，

00 0 0(0,1) '( ) 1 0xx h x x e 存在使得，

0(0, ) '( ) 0, ( )x x h x h x 且时, 单调递增， 0( , ) '( ) 0, ( )x x h x h x 时, 单调递减，


8

0max 0 0 0 0 0

0

1( ) ( ) (1 ) 1 (1 ) 1 0xh x h x e x x x xx

，

2 2( 2) 3 1 0, (2) 3 0h e h e 又，

0 0( ) ( 2, ), ( , 2)h x x x 在内各存在有一个零点，

故曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在 2条公切线。------------------------------------------15分

另解：曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在公切线，且有 2条，理由如下：

设 l是曲线 ( )f x 与 ( )g x 的公切线，切点分别为 21 1 2 1 2( , ln ), ( , )( )xx x x e x x ，则

21 2

1

1'( ) , '( ) xx xx

f g e

2

2

11 1 1

1

1 2 1

1

( 1) ln 1( )ln 1

x

x

ex

x x xx ex x x

当 1 1 ,( )x 时不成立，

11 1 1

1 1 1

1 2 21 ,( ) ln 1 ln 11 1 1

xx x xx x x

时

分别做出2ln 1,1

y x yx

的图象，如图，图象有二个交点，

11

2ln 11

xx

有二个根，

故曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在 2条公切线。（酌情给分）

20．（本题满分 14分）

解：（Ⅰ）依题意可得22,2

cba

-----------------------------------2 分

2 2 2 2

2 2 2

2 12

c a b aa a a

，得 2a -----------------------4 分

所以椭圆的方程是2 2

14 2x y

．----------------------------------5 分

（Ⅱ）解法一：设 1 1,B x y ， 2 2,D x y ，则 1 1,A x y ， 1,0E x ------6 分

设 1

1

=2BD BEyk k kx

，则 1

1

=2AByk kx

----8 分


9

2 22 1 2 1 2 1

2 22 1 2 1 2 1

AD BDy y y y y yk kx x x x x x

------------------9 分

1 1,B x y ， 2 2,D x y 在椭圆上

2 2 2 22 1 2 12 2 2 22 1 2 1

1=24 2 4 2AD BD

y y y yk kx x y y

-----------11分

1=2ADk k

， -------------------------------------------------------12分

= 1AB ADk k ------------------------------------------------------13分

AB AD ，即 ABD 是直角三角形.--- ---------------------------14分

解法二：设 1 1,B x y ， 2 2,D x y ，则 1 1,A x y ， 1,0E x -------------6 分

设直线 BD的方程为 y kx m ----------------------------------------------7 分

与2 2

14 2x y

联立得 2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m -------------9 分

1 2 2

41 2kmx xk

------------------------------------------10分

2 12 1

2 1 2 1 1 2

2 12AD

kx m kx my y mk kx x x x x x k

------------11分

1

12BEyk kx

， 1

1

=2AByk kx

-----------------------------------------------------12分

= 1AB ADk k ---------------------------------------------------------------------------13分

AB AD ，即 ABD 是直角三角形. -----------------------------------------------14分


解：（Ⅰ） 11 a ， 22 a ， 43 a ， 74 a ， 115 a ． ---------------------3 分

（Ⅱ） 1 1, 1,2,3,n n nb b c n

1

11

1 1n

n ii

b c b n n

-------------------------------------------------5 分

又 1 , 1, 2,3,n n na a b n n

21

11

( 1) 212 2

n

n ii

n n n na b a

．-------------------------------9 分

（Ⅲ） na 不是二阶等差数列．理由如下：

数列 na 满足 )(23 11

Nnabc n

nnn


10

又 nnn aab 1 ， nnn bbc 1 （ Nn ）

由1 1 1

1 1 13 2 4 2 2 4( 2 )n n n nn n n n n n nc b a a a a a

数列 nna 2 是首项为 421 a ，公比为 4的等比数列

12 4 4 4 4 2n n n n nn na a ---------------------------------------12分

9 4 2n nnc ，显然 nc 非常数列

na 不是二阶等差数列．--------------------------------------------------------------14分


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