第 23 课　平行四边形

基础知识 自主学习

1 ． n 边形以及四边形的性质

(1)n 边形的内角和为 ，外角和为 ，对角线

条数为 .

(2) 四边形的内角和为 ，外角和为 ，对角线条

数为 .

(3) 正多边形的定义：各条边都 ，且各内角都 的

多边形叫正多边形．

要点梳理

nn－32

(n － 2)·180° 360°

360° 360°

2

相等 相等

2 ．平行四边形的性质以及判定 (1) 性质： ① 平行四边形两组对边分别平行且相等； ② 平行四边形对角相等，邻角互补； ③ 平行四边形对角线互相平分； ④ 平行四边形是中心对称图形． (2) 判定方法： ① 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形．

3 ．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

[ 难点正本　疑点清源 ] 1 ．理解平行四边形相关概念 四边形的对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同．在三角形中，对边指一角的对边，对角指一边的对角；而在四边形中，对边指不相邻的边，也就是没有公共顶点的边，对角指不相邻的角，邻边是指四边形中有公共端点的边，邻角是指四边形中有一条公共边的两个角． 平行四边形的表示方法，一般按照一定的方向 ( 顺时针或逆时针 )

依次表示各个顶点． 2 ．正确运用平行四边形的性质、判定来解题 平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据，利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相等、线段相等、线段平分线等问题．其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件． 包括定义在内，平行四边形共有五种判定方法，对于不同的题目，应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性质和判定的联系和区别．

3 ．三角形的中位线性质 三角形中位线性质为我们证明两直线的位置和数量关系提供了一个重要的依据，当题目中遇到中点问题时，常作出三角形的中位线．当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步可以利用其证明线段平行或倍分问题，可简单的概括为“已知中点找中位线”．

基础自测

1 ． (2011· 绵阳 ) 王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条？ ( 　　 )

A ． 0 根 　　　　 B ． 1 根 C ． 2 根 　　　　 D ． 3 根

答案　 B

解析　画一条对角线，将四边形分成两个三角形，依据三角形的稳定性，这个木架不变形．

2 ． (2011· 邵阳 ) 如图所示，在▱ ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，且 AB≠AD ，则下列式子不正确的是 ( 　　 )

A ． AC⊥BD B ． AB ＝ CD

C ． BO ＝ OD D ．∠ BAD ＝∠ BCD

答案　 A

解析　由平行四边形的性质，一定有 AB ＝ CD ， BO ＝ OD ，∠ BAD ＝∠ BCD ，不正确的是 AC⊥BD.

3 ． (2011· 广州 ) 已知▱ ABCD 的周长为 32 ， AB ＝ 4 ，则BC ＝

( 　　 )

A. 4 B ． 12 C ． 24 D ． 28

答案　 B

解析　因为 2(AB ＋ BC) ＝ 32 ，所以 AB ＋ BC ＝16 ， BC ＝ 12.

4 ． (2011· 义乌 ) 如图， DE 是△ ABC 的中位线，若 BC 的长是

3 cm ，则 DE 的长是 ( 　　 )

A ． 2 cm B ． 1.5 cm

C ． 1.2 cm D ． 1 cm

答案　 B

解析 因为 DE是△ ABC的中位数，

所以 DE＝12BC＝

12× 3＝1.5 cm.

5 ． (2011· 潼南 ) 如图，在平行四边形 ABCD 中 (AB≠BC) ，直线 EF 经过其对角线的交点 O ，且分别交 AD 、 BC 于点M 、 N ，交 BA 、 DC 的延长线于点 E 、 F ，下列结论：

①AO ＝ BO ； ②OE ＝ OF;

③△EAM∽△EBN ； ④△EAO≌△CNO ， 其中正确的是 ( 　　 )

A. B①② ．②③ C ．②④ D ．③④

答案　 B

解析　∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝ CO ， AD∥BC ，∴△ EAM∽△EBN ； 易证△ EAO△ FCO ，∴ OE ＝ OF ； 综上，结论②、③正确 .

题型分类 深度剖析

【例 1 】 (2012· 恩施 ) 如图，已知，在▱ ABCD 中， AE ＝ CF ， M 、 N 分别是 BE 、 DF 的中点． 求证：四边形 MFNE 是平行四边形 .

题型一　平行四边形的判定

解　证明：由平行四边形可知， AB ＝ CD ，∠ BAE ＝∠ DFC.

又∵ AE ＝ CF ，∴△ BAE≌△DCF ， ∴BE ＝ DF ，∠ AEB ＝∠ CFD.

又∵ M 、 N 分别是 BE 、 DF 的中点，∴ ME ＝ NF.

又由 AD∥BC ，得∠ ADF ＝∠ DFC ， ∴∠ADF ＝∠ BEA ，∴ ME∥NF.

∴ 四边形 MFNE 为平行四边形．

探究提高　探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：

① 若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；

② 若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；

③ 若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．

知能迁移 1 (1) 如图，在▱ ABCD 中， BD 是对角线， AE⊥BD 于点 E ， CF⊥BD 于点 F ，证明：四边形AECF 是平行四边形．

解　证明：∵ AE⊥BD ， CF⊥BD ，∴ AE∥CF.

在平行四边形 ABCD 中， AB∥CD ，且 AB⊥CD

∴∠ABE ＝∠ CDF.

又∵∠ AEB ＝∠ CFD ＝ 90° ，

∴Rt△ ABE Rt≌ △CDF.

∴AE ＝ CF ，

∴ 四边形 AECF 是平行四边形．

(2)(2012· 郴州 ) 已知：如图，把△ ABC 绕边 BC 的中点 O 旋转 180° 得到△ DCB.

求证：四边形 ABDC 是平行四边形．

解　证明： ∵△DCB 是由△ ABC 旋转 180° 而得， ∴ 点 A 、 D ，点 B 、 C 关于点 O 中心对称， ∴OB ＝ OC ， OA ＝ OD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． ( 注：还可以利用旋转变换得到 AB ＝ CD ， AC ＝ BD 相

等； 或证明△ ABC≌△DCB 来证 ABCD 是平行四边形 )

题型二　平行四边形相关边、角、周长与面积问题

【例 2 】　已知：如图，在□ ABCD 中， BE 、 CE 分别平分∠ ABC 、∠ BCD ， E 在 AD 上， BE ＝ 12 cm ， CE

＝ 5 cm.

求□ ABCD 的周长和面积．

解 在□ABCD中，

AD∥ BC，且 AD⊥BC；

AB∥ CD，且 AB⊥CD.

∵ BE平分∠ ABC，

∴ ∠ ABE＝∠ CBE，又∠ AEB＝∠ CBE，

∴ ∠ ABE＝∠ AEB，

∴ AB＝AE.

同理，CD＝DE.

∴ AB＝CD＝12AD.

∵ ∠ CBE＋∠ ECB＝12∠ ABC＋

12∠ DCB

＝12(∠ ABC＋∠ DCB)＝

12× 180°＝90°，

∴ ∠ BEC＝90°.

在 Rt△ BCE中，BE＝12，CE＝5，

∴ BC＝ 125＋52＝13，

∴ □ABCD的周长＝2×

13＋132 ＝39.

S▱ABCD＝2S△ EBC＝2×

1

2× 12× 5 ＝60.

答：平行四边形 ABCD的周长是 39 cm，面积是 60 cm2.

探究提高　平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．

知能迁移 2 (1) 在□ ABCD 中，对角线 AC ＝ 12 ， BD ＝10 ，边 AB ＝ m ，则 m 的取值范围是 ( 　　 )

A ． 10<m<12 B ． 2<m<22

C ． 1<m<11 D ． 5<m<6

答案　 C

解析 设 AC、BD交于点 O，

在△ ABO中，AO＝12AC＝6，BO＝

12BD＝5，

∴ 6－5<m<6＋5，即 1<m<11.

(2) 在□ ABCD 中， DB ＝ DC ，∠ A ＝ 65° ， CE⊥BD 于E ，则∠ BCE ＝ ________.

答案　 25°

解析　在□ ABCD 中，∠ DCB ＝∠ A ＝ 65°.

∵DB ＝ DC ， ∴∠DCB ＝∠ DBC ＝ 65°.

在 Rt△ BCE 中，∠ BCE ＝ 90° － 65° ＝ 25°.

题型三　运用平行四边形的性质进行推理论证

【例 3 】　已知：如图， E 、 F 分别是□ ABCD 的边 AD 、BC 的中点，求证： AF ＝ CE.

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解 证法一：在□ABCD中， AB＝CD，AD＝BC，∠ B＝∠ D. ∵ E、F分别是 AD、BC的中点，

∴ BF＝12BC，DE＝

12AD，

∴ BF＝DE.[2分] 在△ ABF与△ CDE中，

AB＝CD，∠ B＝∠ D，BF＝DE，

∴ △ ABF≌ △ CDE(SAS)．[5分] ∴ AF＝CE.[6分]

证法二：在□ ABCD 中， AD∥ BC ， 且 AD⊥BC.[2 分 ]

∵E 、 F 分别是 AD 、 BC 的中点， ∴AE ＝ AD ， CF ＝ CB ， ∴AE ＝ CF.[4 分 ]

又∵ AE CF∥ ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形． ∴AF ＝ CE.[6 分 ]

探究提高　利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件，也可以证明相关联的四边形是平行四边形．

知能迁移 3 (1)(2011· 宜宾 ) 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O ， E 、 F 在 AC 上， G 、 H 在BD 上， AF ＝ CE ， BH ＝ DG.

求证： GF∥HE.

解　证明：在平行四边形 ABCD 中， OA ＝ OC.

∵AF ＝ CE ， ∴AF － OA ＝ CE － OC ，∴ OF ＝ OE.

同理得， OG ＝ OH.

∴ 四边形 EGFH 是平行四边形， ∴GF∥HE.

(2)(2011· 常德 ) 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形． ① 求证：△ MEF ∽△MBA ； ② 若 AF 、 BE 分别为∠ DAB 、∠ CBA 的平分线，求证 DF

＝ EC.

解　证明：①在▱ ABCD 中， CD AB∥ ， ∴∠MEF ＝∠ MBA ，∠ MFE ＝

∠ MAB ， ∴△MEF MBA.∽△

②∵ 在▱ ABCD 中， CD AB∥ ， ∴∠DFA ＝∠ FAB.

又∵ AF 是∠ DAB 的平分线， ∴∠DAF ＝∠ FAB ， ∴∠DAF ＝∠ DFA ， ∴AD ＝ DF.

同理可得， EC ＝ BC.

∵ 在▱ ABCD 中， AD ＝ BC ， ∴DF ＝ EC.

题型四　三角形中位线定理

【例 4 】　如图，在 △ ABC 中， D 是 BC 上一点， E 、 F 、G 、 H 分别是 BD 、 BC 、 AC 、 AD 的中点，求证：EG 、 HF 互相平分．

解 证明：连接 EH、FG.

∵ E、H分别是 BD、AD的中点，

∴ EH∥12AB，且 EH⊥

12AB.

同理 FG∥12AB，且 FG⊥

12AB.

∴ EH∥ FG ，且 EH⊥FG，

∴ 四边形 EFGH是平行四边形，

∴ EG、HF互相平分．

探究提高　当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．

知能迁移 4 (1)(2011·铜仁 ) 已知：如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， DE 、 DF 是的中位线，连接 EF 、 AD.

求证： EF ＝ AD.

解　证明：∵ DE 、 DF 是△ ABC 的中位线， ∴DE∥AB ， DF∥AC.

∴ 四边形 AEDF 是平行四边形． 又∵∠ BAC ＝ 90° ， ∴ 平行四边形 AEDF 是矩形． ∴EF ＝ AD.

(2) 如图，在△ ABC 中， BD 、 CE 是角平分线， AM⊥CE ，AN⊥BD ， M 、 N 分别是垂足，求证： MN∥BC.

解　证明：分别延长 AM 、 AN 交 BC 于 P 、 Q.

∵CE 平分∠ ACB ， AM CE⊥ ， ∴∠ACM ＝∠ PCM ，∠ AMC ＝∠ PMC ＝ 90°.

又∵ CM ＝ CM ， ∴△ACM≌△PCM ， ∴AM ＝ PM.

同理 AN ＝ QN.

∴MN 是△ APQ 的中位线， ∴MN∥PQ ， 即 MN∥BC.

易错警示

试题　如图，已知六边形 ABCDEF 的六个内角均为 120° ，CD ＝ 10 cm ， BC ＝ 8 cm ， AB ＝ 8 cm ， AF ＝ 5 cm ，求此六边形周长．

14 ．不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据

学生答案展示　如图，连接 EB 、 DA 、 FC ，分别交于点 M 、 N 、P.

∵∠FED ＝∠ EDC ＝ 120° ， ∴∠DEM ＝∠ EDM ＝ 60°.

△DEM 是等边三角形． 同理，△ MAB 、△ NFA 也是等边三角形． ∴FN ＝ AF ＝ 5 ， MA ＝ AB ＝ 8.

∵∠EFA ＝ 120° ， ∴∠EFC ＝ 60° ， ∴ED∥FC ，同理， EF∥DN.

∴ 四边形 EDNF 是平行四边形． 同理，四边形 EMAF 也是平行四边形． ∴ED ＝ FN ＝ 5 ， EF ＝ MA ＝ 8.

∴六边形 ABCDEF 的周长＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋FA ＝ 8 ＋ 8 ＋ 10 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 5 ＝ 44(cm) ．

剖析　上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠ FED ＝∠ EDC ＝ 120° 得到∠ DEM ＝∠ EDM ＝ 60° 的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线 AD 、 BE 平分∠ CDE 、∠ DEF ，切记，视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理．

正解　如图，分别延长 ED 、 BC 交于点 M ，延长EF 、 BA 交于点 N.

∵∠EDC ＝∠ DCB ＝ 120° ， ∴∠MDC ＝∠ MCD ＝ 60°.

∴∠M ＝ 60° ， △MDC 是等边三角形． ∵CD ＝ 10 ， ∴MC ＝ DM ＝ 10.

同理，△ ANF 也是等边三角形， AF ＝ AN ＝ NF ＝ 5.

∵AB ＝ BC ＝ 8 ，∴ NB ＝ 8 ＋ 5 ＝ 13 ， BM ＝ 8 ＋ 10 ＝

18.

∵∠E ＝ 120° ，∠ E＋∠ M ＝ 180° ，∴ EN∥MB.

同理， EM∥NB.

∴四边形 EMBN 是平行四边形，∴ EN ＝ BM ＝ 18 ， EM ＝ NB ＝ 13 ，∴ EF ＝ EN － NF ＝ 18 － 5 ＝ 13 ，ED ＝ EM － DM ＝ 13 － 10 ＝ 3 ，∴六边形 ABCDEF 的周长＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋ FA

＝ 8 ＋ 8 ＋ 10 ＋ 3 ＋ 13 ＋ 5 ＝ 47(cm) ．

批阅笔记　利用六个内角相等，构造平行四边形是解决本题的关键．在计算证明的过程中，不可将某一条件未加证明作为已知条件或推理、计算的依据．

思想方法 感悟提高

方法与技巧

1. 平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形

性质

边：对边平行且相等角：对角相等，邻角互补对角线：互相平分对称性：中心对称图形

判定

1两组对边分别平行的四边形2两组对边分别相等的四边形3一组对边平行且相等的四边形

边

4两组对角相等的四边形——角5对角线互相平分的四边形——对角线

2. 常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的

问题． 3. 有平行线时，常作平行线构造平行四边形． 4. 有中线时，常作加倍中线构造平行四边形． 5. 图形具有等邻边特征时 ( 如：等腰三角形、等边三

角形、菱形、正方形等 ) ，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．

失误与防范 图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理，就会造成解题失误．一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直观判断代替严密的推理． 例如：在四边形 ABCD中， AC与 BD相交于点 O ，如果给出条件“AB∥CD” ，那么给出以下 6 种说法： ①如果再加上条件“ AD∥BC” ，那么四边形 ABCD为平行四边形； ②如果再加上条件“ AB＝ CD” ，那么四边形 ABCD为平行四边形； ③如果再加上条件“∠ A ＝∠ C” ，那么四边形 ABCD为平行四边形； ④如果再加上条件“ BC＝ AD” ，那么四边形 ABCD为平行四边形； ⑤如果再加上条件“ AO＝ CO” ，那么四边形 ABCD为平行四边形； ⑥如果再加上条件“∠ DBA＝∠ CAB” ，那么四边形 ABCD为平行四

边形． 其中，正确的说法有 ( 　　 ) ． A. 3个　　 B ． 4 个　　 C ． 5 个　　 D. 6个 错解： C 或 D

错因剖析：语句①为两组对边分别平行的情形，是平行四边形的定义；语句②是一组对边平行且相等，是平行四边形的判定方法之一；语句③中由 AB∥CD，可以推出∠ A 与∠ D 互补，由∠ A ＝∠ C ，可得∠ C 与∠ D 也互补，从而 AD∥BC，符合平行四边形的定义；语句④中实际是一组对边平行而另一组对边相等，不能构成平行四边形，反例图形是等腰梯形；语句⑤由条件可推出△ ABO和△ CDO全等，从而 BO＝ DO，故对角线相互平分，所以是正确的；语句⑥的反例图形也是等腰梯形．综上，正确的语句有①②③⑤ . 应该选 B.

完成考点跟踪训练 23