第 3章 力系的平衡3.1 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.2 静定和超静定问题3.3 空间任意力系的平衡方程3.4 平面力偶系的平衡条件3.5 空间力偶系的平衡条件3.6 平面桁架的内力计算3.7 考虑摩擦时的平衡问题

平面任意力系平衡的充要条件是：

力系的主矢和对任意点的主矩都等于零

0 0R OF M

3.1 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

)()()( 22

iOOyxRFMMFFF因为

3.1.1 平衡条件、平衡方程

平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零 .

0

0

0

x

y

O

F

F

M

平面任意力系的平衡方程

二投一矩式

例 3-1已知： , , , ;P q a M qa

求：支座 A 、 B 处的约束力 .

解：取 AB 梁，画受力图 .

0x

F

0AM

0y

F

0AxF 解得 0AxF

4 2 2 0BF a M P a q a a

3 1

4 2BF P qa

2 0Ay BF q a P F 3

4 2Ay

PF qa

例 3-2 已知： 20 ,M kN m100 ,P kN

400 ,F kN20kN m,q 1 ;l m

求：固定端 A 处约束力 .解：取 T 型刚架，画受力图 .

其中 1

13 30

2F q l kN

0xF

0AM 0

yF

01 sin 60 0AxF F F

316.4AxF kN

060cos FPFAy

0360sin60cos1 lFlFlFMMA

kN300AyF mkN1188 AM

平面任意力系的平衡方程另两种形式

二矩式

0

0

0

B

A

x

M

M

F

两个取矩点连线，不得与投影轴垂直

三矩式

0

0

0

C

B

A

M

M

M

三个取矩点，不得共线

3.1.2 平面平行力系

0x

F 0000

0x

F 0coscoscos321

FFF

0y

F 0sinsinsin321

FFF

两点连线不得与各力平行

0

0

B

A

M

M

各力不得与投影轴垂直

0

0

A

y

M

F

平面平行力系的方程为两个，有两种形式

已知： ,200,700 21 kNkN PP AB=4m ；求：（ 1 ）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重 P3 ；

（ 2 ） P3=180kN ，轨道 AB 给起重机轮子的约束力。解：取起重机，画受力图 .

满载时， ,0AF

为不安全状况

0BM

01028 21min3 PPP

解得 P3min=75kN

例 3-33.1.3 平衡方程的应用

375kN 350kNP

P3=180kN 时

0AM 041424 213 BFPPP

FB=870kN

0iyF 0321 PPPFF BA

FA=210kN

空载时， ,0BF

为不安全状况

0AM 4P3max-2P1=0

解得 F3max=350kN

例 3-4 已知：OA=R ，AB= l, ,F

不计物体自重与摩擦 ,系统在图示位置平衡 ;

求 : 力偶矩 M 的大小，轴承 O处的约束力，连杆 AB 受力，冲头给导轨的侧压力 .

解 : 取冲头 B, 画受力图 .

0yF 0cos BFF

22cos Rl

FlFFB

0xF 0sin BN FF

22tan

Rl

FRFFN

取轮 , 画受力图 .

0ixF sin 0Ox AF F

2 2Ox

FRF

l R

0iyF cos 0Oy AF F

OyF F

0OM 0cos MRFA

FRM

例 3-5 已知 : F=20kN, q=10kN/m, 20kN m,M l=1m;

求 : A,B 处的约束力 .

解 : 取 CD 梁 , 画受力图 .

0CM

sin 60 cos30 2 02B

lF l ql F l

FB=45.77kN

32.89kNAxF

0yF sin 60 2 cos30 0Ay BF F ql F

2.32kNAyF

0AM

2 2 sin 60 3 cos30 4 0A BM M ql l F l F l

10.37kN mAM

取整体 , 画受力图 .

0xF cos60 sin 30 0Ax BF F F

例 3-6已知 : P2=2P1 ， P=20P1 ， r, R=2r, 20 ;

求 : 物 C 匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩 M ； 轴承 A ， B 处的约束力 .

解 : 取塔轮及重物 C, 画受力图 .

0BM 0Pr F R 110Pr

F PR

0tan 20rF

F由

01tan 20 3.64rF F P

0xF 0 rBx FF

13.64BxF P

0yF 2 0ByF P P F

132PFBy

取小轮，画受力图 .

0xF 0yF

0AM ' 0M F r

rPM 110

0Ax rF F

164.3 PFAx

1 0AyF F P

19PFAy

3.2 静定和超静定问题

3.3.1 平衡方程

0)( iOO FmM00' FR

0)()()('' 222 ZYXRR

0))(())(())(( 222 FmFmFmMM zyxOO

3.3 空间任意力系的平衡方程 3.3 空间任意力系的平衡方程

空间一般力系平衡

0

0

OM

R必要

充分

力系的主矢 和主矩 都等于零，即：

R

OM

⒈ 平衡的充要条件

还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。

0)(,0

0)(,0

0)(,0

FmZ

FmY

FmX

z

y

x

⒉ 解析法平衡充要条件

六个独立的方程，只能求解六个未知量

亦称为空间一般力系的平衡方程

1 ） 空间汇交力系的平衡方程

因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。

0

0

0

Z

Y

X

三个独立的方程，只能求解三个未知量

0)(

0)(

0

Fm

Fm

Z

y

x

0

0

0)(

Y

X

Fmz

2 ） 空间平行力系的平衡方程

设各力线都 // z 轴

因此 均成为了恒等式，而自然满足。

即有： 三个独立的方程，只能求解三个未知量

3.3.2 空间约束类型举例 观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三轴转动） ，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 [ 例 ]

1 、球形铰链 2 、向心轴承，蝶铰链 3 、止推轴承

4 、带有销子的夹板 5 、空间固定端

球形铰链

RRzzRRzz

RRyyRRyy

RRxxRRxx

滚珠（柱）轴承

RzRz

RxRx

活页铰

滑动轴承

止推轴承

带有销子的夹板

空间固定端

例 3-10已知： ,2000NF ,2 12 FF ,60,30 各尺寸如图求：

21, FF 及 A 、 B 处约束力解：研究对象，曲轴

列平衡方程0xF 060sin30sin 21 BxAx FFFF

0yF 00

0zF 060cos30cos 21 BzAz FFFFF

0 FM x

040020020060cos20030cos 21 BxFFFF

0 FM y 02 12 FFD

RF

0 FM z 1 2( sin 30 sin 60 ) 200 400 0BxF F F

,6000,3000 21 NN FF

,9397,1004 NN AzAx FF

,1799,3348 NN BzBx FF

例 3-11已知：P=8kN, ,101 kNP 各尺寸如图求：A 、 B 、 C 处约束力

解：研究对象：小车

列平衡方程

0 zF 01 DBA FFFPP

0 FM x 10.2 1.2 2 0DP P F

0 FM y 06.02.16.08.0 1 DB FFPP

5.8kN, 7.777kN, 4.423kND B AF F F

平面力偶系平衡的充要条件是 : 所有各分力偶矩的代数和

等于零。 0

1

n

iim即：

0m简记为：

3.4 平面力偶系的的平衡条件 3.4 平面力偶系的的平衡条件

mN60)15(4 4321

mmmmM

各力偶的合力偶距为

解 : 由 imM

[ 例 3-13] 在一钻床水平放置工件 , 在工件上同时钻四个等直径 的孔 , 每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和 A 、 B 端水平反力 ?

mN154321 mmmm

02.0 4321 mmmmNB

N3002.0

60 BN

N 300 BA NN

根据平面力偶系平衡方程有 :

0m

由力偶只能与力偶平衡的性质，力 NA 与力 NB 组成一力偶。

解：（一）研究 AB 杆 ; 受力如图 ;

列平面力偶系平衡方程求解：

[ 例 3-14] ?2 m已知： l 、且 C 处光滑，求：系统平衡时

0m

0cos

5.01

l

Nm c

解得：

l

mNN Ac

cos2 1

（二）研究系统整体；受力如图；列平面力偶系平衡方程求解：

0m

0cos21 lNmm A

解得：2cos12 mm

3.5 空间力偶系的平衡条件

1 1 1 2 2 2, ,......, n n nM r F M r F M r F

= =

iM M

M

为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和 .

2 2 2( ) ( ) ( )x y zM M M M

合力偶矩矢的大小和方向余弦

, ,x x y y z zM M M M M M

称为空间力偶系的平衡方程.

0 0 0x y zM M M 0M

空间力偶系平衡的充分必要条件是 : 合力偶矩矢等于零，即

cos xM

M

cos yM

M

cos zM

M

求 : 轴承 A,B 处的约束力 .

例 3-15已知：两圆盘半径均为 200mm ， AB =800mm ，圆盘面 O1

垂直于 z 轴，圆盘面 O2 垂直于 x 轴，两盘面上作用有力偶， F1=3N ， F2=5N ，构件自重不计 .

解：取整体，受力图如图所示 .0 xM 2 400 800 0AzF F

0zM 1 400 800 0AxF F

N5.1 BxAx FF N5.2 BzAz FF

3.6 平面桁架的内力计算桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。节点：桁架中杆件的铰链接头。

1 、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；

2 、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；

3 、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；

4 、各杆件自重不计或平均分布在节点上。

桁架中每根杆件均为二力杆

关于平面桁架的几点假设：

理想桁架

总杆数 m n总节点数

32 nm

3 2( 3)m n

32 nm 平面复杂（超静定）桁架

32 nm 平面简单（静定）桁架

32 nm 非桁架（机构）

节点法与截面法

1 、节点法

2 、截面法

例 3-16

已知 : P=10kN,尺寸如图；

求 : 桁架各杆件受力 .

解 : 取整体，画受力图 .

0xF

0yF

0BM

0BxF

042 AyFP 5kNAyF

0 PFF ByAy 5kNByF

kN66.82 F ( 拉 )

030cos 012 FF0xF

kN101 F (压)

030sin 01 FFAy

0yF 取节点 A ，画受力图 .

取节点 C ，画受力图 .0xF 030cos30cos 0'

10

4 FF

0yF 030sin 04

'13 FFF

kN104 F (压 ) kN103 F ( 拉 )

取节点 D, 画受力图 .

0xF 0'25 FF

kN66.85 F ( 拉 )

例 3-17已知 : 10kN,EP 7kN,GP 各杆长度均为 1m;求 : 1,2,3 杆受力 .

解 : 取整体 , 求支座约束力 .

0xF 0AxF

0BM 2 3 0E G AyP P F

9kNAyF

0yF 0Ay By E GF F P P

8kNByF

用截面法 , 取桁架左边部分 .

0EM 0130cos1 01 AyFF

0yF 02 sin 60 0Ay EF F P

kN4.101 F (压 )

kN15.12 F ( 拉 )

0xF 060cos 0231 FFF

kN81.93 F ( 拉 )

3.7 考虑摩擦时的平衡问题

摩擦 滑动摩擦

滚动摩擦

静滑动摩擦动滑动摩擦

静滚动摩擦动滚动摩擦

摩擦 干摩擦

湿摩擦

《摩擦学》

3.7.1 滑动摩擦

0 xF 0T SF F S TF F

静滑动摩擦力的特点

方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向；大小： max0 FFs

NFfF smax （库仑摩擦定律）

大小： NFfF dd

sd ff （对多数材料，通常情况下）

动滑动摩擦的特点

方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；

1 摩擦角RAF

--- 全约束力

物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角 --- 摩擦角

摩擦角和自锁现象3.7.2

ftan sfNF

FmaxN

Ns

F

Ff

全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦因数．摩擦锥 f

0

2 自锁现象

3 斜面的自锁条件

sf f tantan

斜面自锁条件 f

螺纹自锁条件 f

仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．

几个新特点

2 严格区分物体处于临界、非临界状态；

3 因 ，问题的解有时在一个范围内．maxFFs 0

1 画受力图时，必须考虑摩擦力；

考虑摩擦时的平衡问题3.7.3

已知： .,, sfP

水平推力 的大小．求： 使物块静止， F

例 3-18

,0y

F 0cossin 11 NFPF

,0x

F 0sincos 11 sFPF 画物块受力图

推力为 使物块有上滑趋势时， 1F解：

11 NsS FfF

Pff

Fs

s

sincoscossin

1

设物块有下滑趋势时，推力为 2F

画物块受力图,0 xF 0sincos 22 sFPF

,0 yF 0cossin 22 NFPF

22 Nss FfF

Pff

Fs

s

sincoscossin

2

12 sincoscossin

sincoscossin

FPff

FPff

Fs

s

s

s

解 : 物块有向上滑动趋势时用几何法求解

1max tan( )F P

tan( ) tan( )P F P

利用三角公式与 ,tan sf

sincos

cossin

sincos

cossin

s

s

s

s

f

fPF

f

fP

1min tan( )F P

物块有向下滑动趋势时

求： 挺杆不被卡住之 值 .a,,, sfdb已知： 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；

例 3-19

0 AM

( ) 02N B BN

dF a F d F b

BNsBANsA FfFFfF

解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置 .

0 xF 0 BNAN FF

0 yF 0 FFF BA

sf

ba

2

挺杆不被卡住时sf

ba

2

解： tan)2

(tan)2

(d

ad

ab 极限极限

tan2 极限a sfa极限2

sf

ba

2极限

sf

ba

2

用几何法求解

求： 制动鼓轮所需铅直力 F.

已知：物块重 P, 鼓轮重心位于 处，闸杆重量不 计， ，各尺寸如图所示 .

1O

sf

例 3-20

解： 分别取闸杆与鼓轮设鼓轮被制动处于平衡状态

对鼓轮， 01 OM 0 sT RFrF

对闸杆， 0 OM 0 cFbFFa sN

且Nss FfF

而 ssT FFPF ,

解得 ( )s

s

rP b f cF

f Ra

（ 2 ）能保持木箱平衡的最大拉力 .

（ 1 ）当 D 处拉力 时，木箱是否平衡 ?求： Nk1F

已知：均质木箱重 ,kN5P ,4.0sf ,m22 ah ；o30例 3-21

解： （ 1 ）取木箱，设其处于平衡状态 .

0 xF 0cos FFs

0 yF 0sin FPFN

0 AM 02

cos dFa

PhF N

N866sF

N4500NF

m171.0d

而 N1800max Ns FfF

因 ,maxFFs 木箱不会滑动；

又 ,0d 木箱无翻倒趋势 .

木箱平衡

（ 2 ）设木箱将要滑动时拉力为 1F

0 xF 0cos1 FFs

0 yF 0sin1 FPFN

又 Nss FfFF max

1 1876cos sin

s

s

f PF

f

N

设木箱有翻动趋势时拉力为 2F

0 AM 02

cos2

aPhF

N1443cos22

h

PaF 最大拉力为 N1443

静滚动摩阻（擦）滚动摩阻3.7.4

0 xF 0 sFF

0 AM 0 FRM

max0 FFs

max0 MM

NFfF smax NFM max 最大滚动摩阻（擦）力偶

滚动摩阻（擦）系数，长度量纲

的物理意义

使圆轮滚动比滑动省力的原因处于临界滚动状态

10015.3

3507.0

1

2

Rf

F

F s

处于临界滑动状态NF

RF

1

RFFM 1max N

2max FFfF s N NFfF s2

一般情况下， sfR

或 sf

R

混凝土路面 mm15.3 7.0sf

例：某型号车轮半径， mm450R

21 FF 或 21 FF ．