康軒國中數學 3下課本ppt 1-1 二次函數的圖形

搭配課本第 6 頁

在第二冊時，我們曾經學過函數的概念：在 x、y兩個變量的關係式中，如果對

於每一個 x值，恰好都有一個 y值與它對

應，就說 y是 x的函數。

我們也學過形如 y＝ax＋b(a≠ 0)的函

數，其中變數 x的最高次數為一次，稱為一

次函數。例如：y＝4x－1、y＝－3

4 x＋5、

y＝－22x等。


除了一次函數外，還有很多其他的函數，例如：若正方形的邊長為 x公分，面積

為 y平方公分，則正方形面積和邊長的關係

可以用 y＝x2表示。此時 x與 y之間的某些對

應關係，如下表：

邊長 x( 公分 ) 1 2 3 4 5 …

面積 y( 平方公分 )

1 4 9 16 25 …搭配課本第 6 頁

像 y＝x2這樣的關係式中，x和 y都是

變數。當 x的值確定時，y的值也隨著唯一

確定，所以 x、y的關係式 y＝x2中，y是 x

的函數。


判斷下列 x、y的關係式中，y是否為 x的函

數？

(1)y＝2x2＋1

是



數？

(2)y＝－x2＋3x－ 12

是



數？

(3)y＝(x－10)2

是


像隨堂練習中，y＝2x2＋1、y＝－x2＋3x

－ 12、y＝(x－10)2都是函數，且這類函數中，

變數 x的最高次數都是二次，我們稱為二次函

數。一般來說，經過化簡後形如

y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的關係式都是二次函數。


以下哪些是常數函數？哪些是一次函數？哪

些是二次函數？

(A)y＝3x＋2 (B)y＝5

(C)y＝4x2＋1 (D)y＝－ 13 (x－2)2＋3

(E)y＝0 (F)y＝x

(G)y＝ 3x2 (H)y＝2(x－1)2－2x2


常數函數：。

一次函數：。

二次函數：。


(B)、(E)

(A)、(F)、(H)

(C)、(D)、(G)

(A)y＝3x＋2 (B)y＝5

(C)y＝4x2＋1 (D)y＝－ 13 (x－2)2＋3

(E)y＝0 (F)y＝x (G)y＝ 3x2 (H)y＝2(x－1)2－2x2

在第二冊時，我們也曾學過如何畫一次函數 y＝ax＋b的圖形：將一次函數中變數 x

的值當作橫坐標，變數 y的值當作縱坐標，

再將數對(x , y)所對應的點，描在坐標平面

上。發現一次函數的圖形是一條直線，如圖

1：搭配課本第 8 頁

O

1 1 x

y

圖 1


二次函數在坐標平面上所描出的圖形會

是什麼呢？

讓我們從探討二次函數 y＝x2的圖形開

始。


首先選擇變數 x的值，再求出所對應的

y值。通常我們會先選擇較容易計算的數為

x值，例如：－3、－2、－1、0、1、2、3等

來代入關係式，並求出所對應的 y值。


x … － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 …

y … 9 4 1 0 1 4 9 …

這個找 x值和求 y值的步驟，常以列表的方

式呈現如下：


再將這些數對(x , y)所對應的點，描在坐

標平面上，如圖 2：


(0,0) O

1

1

(1,1)

(2,4)

(3,9) (－3,9)

(－2,4)

(－1,1)

圖 2

x

y

為使圖形更準確，我們在本節中將所有

圖形都畫在方格紙上。


為了能更清楚的觀察這個圖形，我們可以再多取一些 x的值，並求出所對應 y的值，

如下表：

x … － 52 － 32 － 12 12 32 52 …

y … 254 94 14 14 94 25

4 …


再將各數對(x , y)所對應的點，描在同一

坐標平面上，如圖 3：

搭配課本第 10頁

(0,0) O

1

1

( 12 , 14 ) (1,1)

( 32 , 94 )

(2,4)

( 52 , 254 )

(3,9) (－3,9)

(－ 52 , 254 )

(－2,4)

(－ 32 , 94 )

(－1,1) (－ 12 , 14 )

圖 3

x

y


同樣的，我們可以取更多 x的值，並求

出對應的 y值，再將這些數對(x , y)所對應的

點逐一描在同一坐標平面上，可以看到所描

的點幾乎連成一條平滑的曲線，如圖 4：



O

( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )

( 0 , 0 )

( 2 , 4 ) ( 2 , 4 )

( 3 , 9 ) ( 3 , 9 )

1

1

( , ) 5 2

2 5 4 ( , ) 5

2 2 5 4

( , ) 3 2

9 4

( , ) 1 2

1 4

( , ) 3 2

9 4

( , ) 1 2

1 4

y

x

圖 4

事實上，y＝x2的圖形是一條平滑的

曲線，如圖 5：


1

1

圖 5

x

y

(0,0) O


觀察圖 4，我們發現在 y軸右側的點，

例如(1 , 1)、(2 , 4)、(3 , 9)等，它們以 y軸為

對稱軸的對稱點(－1 , 1)、(－2 , 4)、(－3 , 9)

也都落在圖形上。事實上，y＝x2的圖形是以

y軸為對稱軸的線對稱圖形，而這個圖形有

一個最低點(0 , 0)。


當所選取的 x絕對值愈大時，所對應的 y值

也愈大，即整個圖形從最低點處的兩邊開始

向上無限延伸，此時我們說這個圖形的開口

向上。



美國聖路易大拱門聖路易大拱門(Gateway Arch)

於西元 1965年完成，座落在美國

密蘇里州，這座雄偉壯觀的不銹鋼

拋物線結構的建築物，拱門寬和高

各約為 190公尺，是美國最具傳奇

的城市建築之一。


在美國還是英國殖民地時期，移民們便

紛紛向西尋找謀生之路，而聖路易是這些拓

荒者西進的必經之路，走過它便意味著進入

美國西部大地，故聖路易大拱門也被人們譽

為是通往美國西部的大門。

接著我們來探討形如 y＝ax2(a≠ 0)的

二次函數圖形，觀察當 a改變時，y＝ax2的

圖形會產生什麼變化？


描繪 y＝2x2的圖形。

例 1 描繪二次函數 y＝ ax2(a＞ 0) 的圖形

(1)首先找一些點列表如下：

x …－3－2－1

0 1 2 3 …

y … 18 8 2 0 2 8 18 …


… …

… …

－ 83 － 12 12 32 73 83 － 73 － 32

1289 128

9 989 98

9 92 92 12 12

例 1 描繪二次函數 y＝ ax2(a＞ 0) 的圖形(2)在坐標平面上描出表格中的點，再用平滑曲線依序把各點連接起來，就得到 y＝2x2的圖形，如下圖：


(－3,18)

(－1,2)

(0,0)

(－2,8)

O x

y

(3,18)

(2,8)

(1,2) ( 12 , 12 ) (－ 12 , 12 )

(－ 32 , 92 ) ( 32 , 92 )

(－ 73 , 989 )

(－ 83 , 1289 )

( 73 , 989 )

( 83 , 1289 )

例 1 描繪二次函數 y＝ ax2(a＞ 0) 的圖形


描繪 y＝ 12 x2的圖形。

(1)先取一些 x的值，並求出對應的 y值，完

成下表。

x－4－3－2－1

0 1 2 3 4

y 8 92 2 12 0 12 2 92 8


描繪 y＝ 12 x2的圖形。

(2)在坐標平面上描出表格中的點，再用平滑

曲線依序把各點連接起來。



O x

y

( 4 , 8) ( 4 , 8)

( 0 , 0) 2 1 —

( 2 , 2) ( 1 , )

2 9 — ( 3 , )

( 2 , 2) ( 1 , ) 2

1 —

( 3 , ) 2 9 —

, ( 4 , 8)

1 ( 1 , )

,

( 2 , 2) , )

( 3 , ) 9

觀察例 1及隨堂練習，我們發現 y＝2x2和

y＝ 12 x2的圖形都是

(1)平滑曲線，且以 y軸為對稱軸的線對稱圖

形，

(2)開口向上，

(3)以原點(0 , 0)為最低點。


接著我們來看二次函數 y＝－x2的圖形。

描繪 y ＝－ x2 的圖形。例 2 描繪二次函數 y＝ ax2 (a＜ 0) 的圖形


(1) 仿照例 1的步驟，先找一些點列表如下：

x … － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 …

y … － 9 － 4 － 1 0 － 1 － 4 － 9 …

(2) 在坐標平面上描出表格中的點，

例 2 描繪二次函數 y＝ ax2 (a＜ 0) 的圖形再用平滑曲線依序把各點連接起來，就得到 y＝－x2的圖形，如下圖：


(－1,－1) (0,0)

x

y

O (1,－1)

(－2,－4) (2,－4)

(－3,－9) (3,－9)

例 2 描繪二次函數 y＝ ax2 (a＜ 0) 的圖形


在同一坐標平面上，描繪二次函數 y＝－2x2

和 y＝－ 12 x2的圖形。

(1)先取一些 x的值，並求出對應的 y值，完

成下表。


y＝－ 12 x2

x － 6 － 4 － 2 0 2 4 6

y － 18 － 8 － 2 0 － 2 － 8 － 18

x － 3 － 2 － 1 0 1 2 3

y － 18 － 8 － 2 0 － 2 － 8 － 18

y＝－2x2


在同一坐標平面上，描繪二次函數 y＝－2x2

和 y＝－ 12 x2的圖形。

(2)在坐標平面上描出表格中的點，再用平滑

曲線依序把各點連接起來。



O x

y

(0 , 0)

(2 , －2)

y＝－2x2

(1 , －2) (－1 , －2) (－2 , －2)

(4 , －8) (2 , －8) (－2 , －8)

(－4 , －8)

y＝－ 12 x2

(6 , －18) (3 , －18) (－3 , －18)

(－6 , －18)

從例 2及隨堂練習中，我們發現

y＝－x2、y＝－2x2及 y＝－ 12 x2等 x2項係數

皆為負數，其函數圖形都是

(1)平滑曲線，且以 y軸為對稱軸的線對稱圖

形，

(2)開口向下，

(3)以原點(0 , 0)為最高點。搭配課本第 15頁

二次函數 y＝ ax2 的圖形a＞ 0 a＜ 0

以 y 軸為對稱軸以 y 軸為對稱軸開口向上開口向下

有最低點 (0 , 0) 有最高點 (0 , 0)


1.將 y＝x2和 y＝－x2

的圖形描在同一坐

標平面上，如下圖，

若將 y＝x2的圖形沿

著 x軸往下對摺，是

否會和 y＝－x2的圖

形重合呢？搭配課本第 16頁

x

y

O

y＝x2

y＝－x2

是

2.如果換成是 y＝3x2和 y＝－3x2，仿照前面

的步驟對摺，此時兩圖形是否重合？說說

你的看法。是，因為二次函數 y＝ ax2 與 y ＝－ ax2

的圖形對稱於 x 軸


1. 圖 6是將三個二次函數

甲：y＝ 12 x2、

乙：y＝x2、

丙：y＝2x2

的圖形畫在同一坐標平面上，試比較：

(1) 三個二次函數 x2項係數的大小關係。

(2) 三個二次函數圖形開口的大小關係。

問題探索 1 二次函數圖形的開口大小


O x

y

y＝2x2

y＝x2

y＝ 12 x2

圖 6

丙乙甲



(1) 三個二次函數 x2項

係數的大小關係。

(2) 三個二次函數圖形

開口的大小關係。

丙＞乙＞甲

甲＞乙＞丙

圖 7是將三個二次函數

甲：y＝－ 12 x2、

乙：y＝－x2、

丙：y＝－2x2

的圖形畫在同一坐標平面上，試比較：

(1) 三個二次函數 x2項係數的大小關係。

(2) 三個二次函數圖形開口的大小關係。



y

O x y＝－2x2

y＝－x2

y＝－ 12 x2

圖 7 丙乙甲



(1) 三個二次函數 x2項

係數的大小關係。

(2) 三個二次函數圖形

開口的大小關係。

甲＞乙＞丙

甲＞乙＞丙

從問題探索 1我們發現：

二次函數 y＝ax2圖形的開口大小

1. │當 a│ 愈大，圖形的開口愈小。

2. │當 a│ 愈小，圖形的開口愈大。


試寫出下列二次函數圖形的開口方向，

並比較其開口大小。

(A)y＝－5x2 (B)y＝2x2 (C)y＝5x2

(D)y＝－x2 (E)y＝ 32 x2 (F)y＝－2x2

(1)圖形開口向上的有，

這些開口向上的圖形，其開口由大到小排列

為。

(B)、 (C)、 (E)

(E)＞ (B)＞ (C) 搭配課本第 18頁

試寫出下列二次函數圖形的開口方向，

並比較其開口大小。

(A)y＝－5x2 (B)y＝2x2 (C)y＝5x2

(D)y＝－x2 (E)y＝ 32 x2 (F)y＝－2x2

(2)圖形開口向下的有，

這些開口向下的圖形，其開口由大到小排列

為。

(A)、 (D)、 (F)

(D)＞ (F)＞ (A) 搭配課本第 18頁

前面看到的二次函數 y＝ax2的圖形，其

最高點或最低點都是(0 , 0)，其他的二次函

數圖形是否也是如此呢？我們來看下面的

例題。


描繪 y＝x2＋1的圖形。

例 3 描繪二次函數 y＝ ax2＋ k(a＞ 0、 k≠0) 的圖形


x … － 2 － 1 0 1 2 …

y … 5 2 1 2 5 …


例 3 描繪二次函數 y＝ ax2＋ k(a＞ 0、 k≠0) 的圖形(2)描點後以平滑曲線依序把各點連接起

來，如下圖所示：

(－2,5)

(0,1) x

y

O

(－1,2) (1,2)

(2,5)


觀察二次函數 y＝x2＋1的圖形，發現

圖形右側的點，如(1 , 2)、(2 , 5)，它們以 y

軸為對稱軸的對稱點(－1 , 2)、(－2 , 5)也都

落在圖形上。

也就是說，y＝x2＋1的圖形是

(1)以 y軸為對稱軸的線對稱圖形，

(2)開口向上，

(3)以(0 , 1)為最低點。搭配課本第 19頁

描繪二次函數 y＝2x2－2的圖形，並寫出此圖

形的對稱軸方程式、開口方向與最低點坐標。

x － 2 － 1 0 1 2

y 6 0 － 2 0 6


x

y

O

(2,6)

(－1,0)

(－2,6)

(0,－2)

(1,0)


對稱軸方程式：，

開口方向：，

最低點坐標：。

x＝ 0

向上 (0 , － 2)


例 4 描繪二次函數 y＝ ax2 ＋ k(a＜ 0、 k≠0) 的圖形描繪 y＝－x2＋2的圖形。


x … － 2 － 1 0 1 2 …

y … － 2 1 2 1 － 2 …


例 4 描繪二次函數 y＝ ax2 ＋ k(a＜ 0、 k≠0) 的圖形(2)描點後以平滑曲線依序把各點

連接起來，如下圖：


O ( 2 , 2 )

( 1 , 1 )

( 2 , 2 )

( 1 , 1) ( 0 , 2)

x

y

觀察例 4的圖形可以發現，y＝－x2＋2的圖

形是

(1)以 y軸為對稱軸的線對稱圖形，

(2)開口向下，

(3)以(0 , 2)為最高點。


描繪二次函數 y＝－3x2－1的圖形，並寫出

此圖形的對稱軸方程式、開口方向與最高點

坐標。

x － 2 － 1 0 1 2

y － 13 － 4 － 1 － 4 － 13


x

y

O (0,－1)

(1,－4) (－1,－4)

(－2,－13) (2,－13)



開口方向：，

最高點坐標：。

x＝ 0

向下(0 , － 1)


二次函數 y＝ ax2＋ k 的圖形a＞ 0 a＜ 0

以 y 軸為對稱軸以 y 軸為對稱軸開口向上開口向下

有最低點 (0 , k) 有最高點 (0 , k)


1.圖 8是將三個二次函

數 y＝x2＋1、y＝x2、

y＝x2－2的圖形畫在

同一坐標平面上。

問題探索 2 探討 y＝ x2＋ 1、 y＝ x2 及 y＝ x2－2三個圖形的關係


x

y

y＝x2＋1

y＝x2

y＝x2－2 O

圖 8

將附件一的圖形放在圖 8中與 y＝x2的圖形

重合，再將此圖形向上平移 1個單位，是

否會與 y＝x2＋1的圖形重合？



是

2.將附件一的圖形放在圖 8中與 y＝x2的圖

形重合，再將此圖形向下平移 2個單位，

是否會與 y＝x2－2的圖形重合？


是



將 y＝x2的圖形向上平移 1個單位，

可以得到 y＝x2＋1的圖形；

將 y＝x2的圖形向下平移 2個單位，

可以得到 y＝x2－2的圖形。


1.圖 9是將三個二次函數 y＝－2x2＋2、

y＝－2x2、y＝－2x2－3的圖形畫在同一坐標

平面上。將附件二的圖形放在圖 9中與

y＝－2x2的圖形重合，再將此圖形向上平移 2

個單位，是否會與 y＝－2x2＋2的圖形重合？

問題探索 3探討 y ＝－ 2x2＋ 2、 y ＝－ 2x2及 y ＝－ 2x2－ 3三個圖形的關係


問題探索 3探討 y ＝－ 2x2＋ 2、 y ＝－ 2x2及 y ＝－ 2x2－ 3三個圖形的關係是


y

y＝－2x2＋2 y＝－2x2

y＝－2x2－3

x O

圖 9

2.將附件二的圖形放在圖 9中與 y＝－2x2的

圖形重合，再將此圖形向下平移 3個單位，

是否會與 y＝－2x2－3的圖形重合？

問題探索 3探討 y ＝－ 2x2＋ 2、 y ＝－ 2x2及 y ＝－ 2x2－ 3三個圖形的關係

是



將 y＝－2x2的圖形向上平移 2個單位，

可以得到 y＝－2x2＋2的圖形；

將 y＝－2x2的圖形向下平移 3個單位，

可以得到 y＝－2x2－3的圖形。


由問題探索 2、3可知，形如 y＝ax2＋k

(a≠ 0、k≠ 0)的二次函數圖形：

(1)當 k＞0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向上

平移 k個單位而得。

(2)當 k＜0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向下

│平移 k│ 個單位而得。搭配課本第 24頁

1.將 y＝5x2的圖形平移，回答下列問題。

(1)向上平移 7個單位，會得到哪個二次函數

的圖形？此函數圖形的最低點坐標為何？

y＝5x2＋7，最低點為(0 , 7)



(2)向下平移 2個單位，會得到哪個二次函數


y＝5x2－2，最低點為(0 , －2)


2.將 y＝－4x2的圖形平移，回答下列問題。

(1)向下平移 4個單位，會得到哪個二次函數

的圖形？此函數圖形的最高點坐標為何？

y＝－4x2－4，最高點為(0 , －4)


2.將 y＝－4x2的圖形平移，回答下列問題。

(2)向上平移 9個單位，會得到哪個二次函數


y＝－4x2＋9，最高點為(0 , 9)


前面看到的二次函數圖形，都是以 y軸

為對稱軸的線對稱圖形，其最高點或最低點

也都在 y軸上，其他的二次函數圖形是否也

如此呢？我們來看下面的例題。



描繪 y＝ (x－ 1)2 的圖形。例 5 描繪二次函數 y＝ a(x－ h)2(a＞ 0、 h≠0) 的圖形

x … － 1 0 1 2 3 …

y … 4 1 0 1 4 …


(2)描點後以平滑曲線依序把各點連接起

來，如下圖：

例 5 描繪二次函數 y＝ a(x－ h)2(a＞ 0、 h≠0) 的圖形

O

(－1,4) (3,4)

(2,1) (0,1)

(1,0) x

y


觀察例 5的圖形

可以發現，此二次函

數圖形在直線 x＝1左

右兩側的部分可以完

全疊合。


O

(3,4)

x

x＝1

y

(－1,4)

(0,1) (2,1) (1,0)

因此，二次函數 y＝(x－1)2的圖形是

(1)以直線 x＝1為對稱軸的線對稱圖形，

(2)開口向上，

(3)以(1 , 0)為最低點。


描繪二次函數 y＝(x＋2)2的圖形，並寫出此

圖形的對稱軸方程式、開口方向與最低點坐

標。

x － 4 － 3 － 2 － 1 0

y 4 1 0 1 4


O x

y

(－3,1) (－1,1)

(－4,4) (0,4)

(－2,0)



開口方向：，

最低點坐標：。

x ＝－ 2 向上 (－ 2 , 0)


描繪 y＝－(x－1)2的圖形。

例 6 描繪二次函數 y＝ a(x－ h)2(a＜ 0、 h≠0) 的圖形


x …－1

0 1 2 3 …

y …－4－ 1 0 － 1

－4

…


例 6 描繪二次函數 y＝ a(x－ h)2(a＜ 0、 h≠0) 的圖形(2)描點後以平滑曲線依序把各點連接起來，如下圖：


(2,－1)

(3,－4) (－1,－4)

(0,－1)

(1,0) O x

y

觀察例 6的圖形可以發現，此二次函數

圖形在直線 x＝1左右兩側的部分可以完全

疊合。


x

x＝1 y

(2,－1)

(3,－4) (－1,－4)

(0,－1)

(1,0) O

因此，二次函數 y＝－(x－1)2的圖形是


(2)開口向下，

(3)以(1 , 0)為最高點。


描繪二次函數 y＝－(x＋3)2的圖形，並寫出

此圖形的對稱軸方程式、開口方向及最高

點坐標。

x － 5 － 4 － 3 － 2 － 1

y － 4 － 1 0 － 1 － 4


O x

y

(－4,－1) (－2,－1)

(－1,－4) (－5,－4)

(－3,0)


對稱軸方程式：，開口方向：，

最高點坐標：。

x ＝－ 3 向下 (－ 3 , 0)


二次函數 y＝ a(x－ h)2 的圖形 a＞ 0 a＜ 0

以 x＝ h 為對稱軸

以 x＝ h 為對稱軸

開口向上開口向下有最低點 (h , 0) 有最高點 (h , 0)


1. 圖 10是將三個二次

函數 y＝(x＋2)2、

y＝x2、y＝(x－1)2

的圖形畫在同一坐

標平面上。

問題探索 4探討 y＝ (x＋ 2)2、 y＝ x2、 y＝ (x－ 1)2

三個圖形的關係


O

y＝(x＋2)2

y＝(x－1)2

y＝x2

x

y

圖 10

將附件一的圖形放在圖 10中與 y＝x2的圖形

重合，再將此圖形向右平移 1個單位，是否

會與 y＝(x－1)2的圖形重合？

問題探索 4探討 y＝ (x＋ 2)2、 y＝ x2、 y＝ (x－ 1)2



是

2. 將附件一的圖形放在圖 10 中與 y＝x2的圖

形重合，再將此圖形向左平移 2個單位，是

否會與 y＝(x＋2)2的圖形重合？

問題探索 4探討 y＝ (x＋ 2)2、 y＝ x2、 y＝ (x－ 1)2


是



將 y＝x2的圖形向右平移 1個單位，

可以得到 y＝(x－1)2的圖形；

將 y＝x2的圖形向左平移 2個單位，

可以得到 y＝(x＋2)2的圖形。


1. 圖 11是將三個二次函

數圖形 y＝－ 12 (x＋3)2、

y＝－ 12 x2、

y＝－ 12 (x－1)2畫在同

一個坐標平面上。

問題探索 5 探討 y＝－ 12 (x＋3)2、y＝－ 12 x2、

y＝－ 12 (x－1)2三個圖形的關係


O

y＝－ 12 (x＋3)2

y＝－ 12 (x－1)2

y＝－ 12 x2

x

y

圖 11

將附件三的圖形放在圖 11中與 y＝－ 12 x2

的圖形重合，再將此圖形向右平移 1個單位，

觀察是否會與 y＝－ 12 (x－1)2的圖形重合？

問題探索 5 探討 y＝－ 12 (x＋3)2、y＝－ 12 x2、



是

2. 將附件三的圖形放在圖 11中與 y＝－ 12 x2

的圖形重合，再將此圖形向左平移 3個單

位，觀察是否會與 y＝－ 12 (x＋3)2的圖形

重合？

問題探索 5 探討 y＝－ 12 (x＋3)2、y＝－ 12 x2、


是搭配課本第 30頁

由問題探索 5我們發現：

將 y＝－ 12 x2的圖形向右平移 1個單位，

可以得到 y＝－ 12 (x－1)2的圖形；

將 y＝－ 12 x2的圖形向左平移 3個單位，

可以得到 y＝－ 12 (x＋3)2的圖形。


由問題探索 4、5可知，形如 y＝a(x－h)2

(a≠ 0、h≠ 0)的二次函數圖形：

(1)當 h＞0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向右

平移 h個單位而得。

(2)當 h＜0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向左

│平移 h│ 個單位而得。



(1)向右平移 5個單位，會得到哪個二次函數


y＝3(x－5)2，最低點為(5 , 0)



(2)向左平移 3個單位，會得到哪個二次函數


y＝3(x＋3)2，最低點為(－3 , 0)


2. 將 y＝－2x2的圖形平移，回答下列問題。

(1)向左平移 7個單位，會得到哪個二次函數


y＝－2(x＋7)2，最高點為(－7 , 0)


2. 將 y＝－2x2的圖形平移，回答下列問題。

(2)向右平移 4個單位，會得到哪個二次函數


y＝－2(x－4)2，最高點為(4 , 0)


接著來看二次函數 y＝a(x－h)2＋k

(a≠ 0、h≠ 0、k≠ 0)的圖形。


描繪 y＝2(x－3)2＋5的圖形。

例 7 描繪二次函數 y＝ a(x－ h)2＋ k(a＞ 0) 的圖形

(1)找一些點列表如下：

x … 1 2 3 4 5 …

y … 13 7 5 7 13 …


例 7 描繪二次函數 y＝ a(x－ h)2＋ k(a＞ 0) 的圖形(2)描點後以平滑曲線依序把各點連接起來，如下圖：


(1,13) (5,13)

(3,5)

x

y

O

(2,7) (4,7)

觀察例 7的圖形可以發現，y＝2(x－3)2＋5

的圖形是


(2)開口向上，

(3)以(3 , 5)為最低點。


接下來，我們把 y＝2x2、y＝2(x－3)2、

y＝2(x－3)2＋5的圖形描繪在同一坐標平面

上，如圖 12：


y

y＝2x2

y＝2(x－3)2＋5

y＝2(x－3)2 x

O

圖 12 搭配課本第 33頁

觀察圖 12可以發現，二次函數 y＝2x2、

y＝2(x－3)2、y＝2(x－3)2＋5的圖形中，只

要把 y＝2x2的圖形向右平移 3個單位，可得

到 y＝2(x－3)2的圖形，再把此圖形向上平移

5個單位，就可以得到 y＝2(x－3)2＋5的圖

形了。


二次函數 y＝－2(x＋1)2－3的圖形可由

y＝－2x2的圖形如何平移得到？

把 y＝－2x2向左平移 1個單位

可得 y＝－2(x＋1)2的圖形

再把此圖形向下平移 3個單位

就可得到 y＝－2(x＋1)2－3的圖形


像第 4頁中，投籃時籃球經過的路線，

如圖 13-1；或噴水池中，一水柱噴出後到

落下所經過的路線，如圖 13-2，我們稱之為

拋物線。


圖 13-1 圖 13-2 搭配課本第 34頁

前面的例 2、例 4、例 6所描繪開口向下

的二次函數的圖形，其實就是拋物線。如果將

例 1、例 3、例 5、例 7開口向上的二次函數

圖形上下顛倒，其圖形也是拋物線。一般來

說，我們稱二次函數 y＝a(x－h)2＋k (a≠ 0)的

圖形為拋物線。


拋物線是線對稱圖形，開口向上的拋物線有最低點，開口向下的拋物線有最高點。

不論是最高點或最低點，都是拋物線與其對

稱軸的交點，此交點稱為拋物線的頂點。


二次函數 y＝a(x－h)2＋k (a≠ 0)的圖形

二次函數 y＝a(x－h)2＋k (a≠ 0)的圖形為

拋物線，是以直線 x＝h(或 x－h＝0)

為對稱軸的線對稱圖形。

(1)當 a＞0時，圖形開口向上，

其頂點(h , k)為此拋物線的最低點。

(2)當 a＜0時，圖形開口向下，

其頂點(h , k)為此拋物線的最高點。搭配課本第 34頁

求下列各二次函數圖形的頂點坐標。

(1)y＝－3(x－5)2－9

(1)(5 , － 9)


求下列各二次函數圖形的頂點坐標。

(2)y＝7(x＋4)2＋6

(2)(－ 4 , 6)


有一個二次函數，其圖形頂點為(－2 , 5)，

且通過點(1 , －4)，求此二次函數。

例 8 y＝ a(x－ h)2＋ k 圖形的應用


Hint

已知二次函數的頂點 (h , k) ，可以假設二次函數為 y＝ a(x－ h)2＋ k 。


∴ 將(1 , －4)代入 y＝a(x＋2)2＋5，得－4＝a×9＋5，

a＝－1，故此二次函數為 y＝－(x＋2)2＋5。

∵ 二次函數圖形的頂點為(－2 , 5)， ∴ 可設此二次函數為 y＝a[x－(－2)]2＋5

＝a(x＋2)2＋5，又圖形通過點(1 , －4)，


有一頂點為(0 , －2)的二次函數圖形，通過

點(－1 , 2)，求此二次函數。

∵ 二次函數圖形的頂點為(0 , －2) ∴ 設此二次函數為 y＝a(x－0)2－2＝ax2－2 又圖形通過點(－1 , 2) ∴ 將(－1 , 2)代入 y＝ax2－2 得 2＝a×(－1)2－2，a＝4 故此二次函數為 y＝4x2－2 搭配課本第 35頁

已知二次函數 y＝a(x－h)2＋k圖形的最低點

為(－1 , －3)，且｜a｜＝2，求此二次函數及

其對稱軸方程式。



例 9 y＝ a(x－ h)2＋ k 圖形的應用∵ 圖形有最低點，表示此圖形的開口向上， ∴ a＞0，又｜a｜＝2， ∴ a＝2，且頂點坐標為(－1 , －3)，故二次函數為 y＝2[x－(－1)]2＋(－3)

＝2(x＋1)2－3，

其對稱軸方程式為 x＝－1(或 x＋1＝0)。搭配課本第 36頁

已知二次函數 y＝a(x－h)2＋k圖形的最高點

為(－2 , 3)，且｜a｜＝3，求此二次函數及

其對稱軸方程式。


∵ 圖形有最高點，表示此圖形的開口向下

∴ a＜0

又｜a｜＝3 ∴， a＝－3

且頂點坐標為(－2 , 3)

故二次函數為 y＝－3[x－(－2)]2＋3

＝－3(x＋2)2＋3

其對稱軸方程式為 x＝－2(或 x＋2＝0) 搭配課本第 36頁

已知二次函數 y＝a(x－h)2＋k的圖形可由二

次函數 y＝－3x2平移後得到，其對稱軸為直

線 x－1＝0，且圖形通過點(2 , 1)，則此二次

函數圖形的頂點為何？

例 10 y＝ ax2 圖形平移的應用


例 10 y＝ ax2 圖形平移的應用∵ y＝a(x－h)2＋k的圖形可由

y＝－3x2平移後得到，

∴ a＝－3。

∵ 對稱軸為直線 x－1＝0，

∴ h＝1，

即此二次函數為 y＝－3(x－1)2＋k。


例 10 y＝ ax2 圖形平移的應用又圖形通過點(2 , 1)，

將(2 , 1)代入 y＝－3(x－1)2＋k，

得 1＝－3(2－1)2＋k，k＝4，

故此二次函數為 y＝－3(x－1)2＋4，圖形頂

點為(1 , 4)。 Hint二次函數圖形平移不會改變其開口大小。


已知二次函數 y＝a(x－h)2＋k的圖形可由

二次函數 y＝2x2平移後得到，其對稱軸為

直線 x＋2＝0，且圖形通過點(1 , 13)，則此

二次函數圖形的頂點為何？


∵ y＝a(x－h)2＋k的圖形可由 y＝2x2平移後得到

∴ a＝2

∵ 對稱軸為直線 x＋2＝0

∴ h＝－2

即此二次函數為 y＝2(x＋2)2＋k


又圖形通過點(1 , 13)

將(1 , 13)代入 y＝2(x＋2)2＋k

得 13＝2(1＋2)2＋k，k＝－5

故此二次函數為 y＝2(x＋2)2－5

圖形頂點為(－2 , －5)


二次函數1經化簡後形如 y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)

的函數稱為二次函數。


例 y＝x2－2x＋1、y＝－ 13 (x＋1)2＋6、

y＝5－2x2等均稱為二次函數。

二次函數 y＝ ax2 的圖形及其開口方向2

(1)當 a＞0，y＝ax2的圖形是以 y軸為對稱

軸的線對稱圖形，圖形的開口向上，其

最低點為原點。

y＝2x2的圖形開口向上，

其圖形有最低點(0 , 0)。

例


二次函數 y＝ ax2 的圖形及其開口方向2(2)當 a＜0，y＝ax2的圖形是以 y軸為對稱

軸的線對稱圖形，圖形的開口向下，其

最高點為原點。

y＝－2x2的圖形開口向下，

其圖形有最高點(0 , 0)。例


二次函數 y＝ ax2 圖形的開口大小3(1)當｜a｜愈大，圖形的開口愈小。

(2)當｜a｜愈小，圖形的開口愈大。

甲：y＝ 12 x2 乙：y＝x2

丙：y＝2x2 丁：y＝－ 12 x2

戊：y＝－x2 己：y＝－2x2

例


二次函數 y＝ ax2 圖形的開口大小3(1)圖形開口向上的有甲、乙、丙，

這些開口向上的圖形，

其開口由大到小排列為甲＞乙＞丙。

O x

y 甲乙丙


二次函數 y＝ ax2 圖形的開口大小3(2)圖形開口向下的有丁、戊、己，

這些開口向下的圖形，

其開口由大到小排列為丁＞戊＞己。

O x

y

丁戊己搭配課本第 38頁

二次函數 y＝ ax2＋ k 的圖形4形如 y＝ax2＋k (a≠ 0、k≠ 0)的二次函數圖

形，是以 y軸為對稱軸，以(0 , k)為頂點的線

對稱圖形：

(1)當 k＞0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向

上平移 k個單位而得。

(2)當 k＜0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向

│下平移 k│ 個單位而得。搭配課本第 39頁

二次函數 y＝ a(x－ h)2 的圖形5形如 y＝a(x－h)2 (a≠ 0、h≠ 0)的二次函數圖

形，是以直線 x＝h(或 x－h＝0)為對稱軸，

以(h , 0)為頂點的線對稱圖形：

(1)當 h＞0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向

右平移 h個單位而得。

(2)當 h＜0時，其圖形可由 y＝ax2的圖形向

│左平移 h│ 個單位而得。搭配課本第 39頁

二次函數 y＝ a(x－ h)2＋ k (a≠0) 的圖形6二次函數 y＝a(x－h)2＋k (a≠ 0)的圖形為拋

物線，是以直線 x＝h(或 x－h＝0)為對稱軸

的線對稱圖形。

(1)當 a＞0時，圖形開口向上，

其頂點(h , k)為此拋物線的最低點。

(2)當 a＜0時，圖形開口向下，

其頂點(h , k)為此拋物線的最高點。搭配課本第 39頁

二次函數 y＝ a(x－ h)2＋ k (a≠0) 的圖形6(1)二次函數 y＝2(x－3)2＋5的圖形為拋物線，

直線 x－3＝0為此拋物線的對稱軸，頂點

(3 , 5)為此拋物線的最低點。

(2)二次函數 y＝－2(x－1)2－2的圖形為拋物

線，直線 x－1＝0為此拋物線的對稱軸，

頂點(1 , －2)為此拋物線的最高點。

例


1 描繪下列各二次函數的圖形，並寫出其圖形的對稱軸方程式、開口方向與最高點或最低

點坐標。


(1)y＝－3x2

x － 2 － 1 0 1 2

y －12

－ 3 0 － 3－12

1

x

y

O

(－2 , －12) (2 , －12)

(－1 , －3) (1 , －3)

(0 , 0)

此圖形是以 x＝0為對稱軸，開口向下，

最高點為(0 , 0)的拋物線搭配課本第 40頁


點坐標。

(2)y＝x2－4

x － 2 － 1 0 1 2

y 0 － 3 － 4 － 3 0


1

x

y

O (－2 , 0) (2 , 0)

(1 , －3) (－1 , －3) (0 , －4)

此圖形是以 x＝0為對稱軸，開口向上，

最低點為(0 , －4)的拋物線搭配課本第 40頁


點坐標。

(3)y＝(x＋5)2

x － 7 － 6 － 5 － 4 － 3

y 4 1 0 1 4


1

x

y

O

(－7 ,4) (－3 ,4)

(－6 , 1) (－4 , 1)

(－5 , 0)

此圖形是以 x＝－5為對稱軸，開口向上，

最低點為(－5 , 0)的拋物線



點坐標。

(4)y＝－(x－2)2＋3

x 0 1 2 3 4

y －1

2 3 2－1


1

x

y

O

(2 , 3) (1 , 2) (3 , 2)

(4 , －1) (0 , －1)

此圖形是以 x＝2為對稱軸，開口向下，

最高點為(2 , 3)的拋物線


2 若將二次函數 y＝－ 12 x2＋5的圖形向上平移

3個單位，可得到二次函數

的圖形。

y＝－ 12 x2＋8


3 二次函數 y＝3x2＋4的圖形是由二次函數

y＝3(x＋7)2＋4的圖形向

平移個單位得到的圖形。

右7


4 已知二次函數 y＝a(x－h)2＋5圖形的對稱

軸為直線 x＋2＝0，且圖形通過點(0 , 1)，

求此二次函數及其頂點。


4 ∵ 直線 x＋2＝0為拋物線的對稱軸

∴ 此二次函數為 y＝a(x＋2)2＋5


將(0 , 1)代入 y＝a(x＋2)2＋5

得 1＝a(0＋2)2＋5，a＝－1

故此二次函數為 y＝－(x＋2)2＋5

圖形頂點為(－2 , 5)


5 已知二次函數 y＝ 15 (x－h)2＋k圖形的對稱

軸為直線 x＋1＝0，且圖形通過點(4 , 8)，

則此二次函數圖形的頂點為何？


5 ∵ 直線 x＋1＝0為拋物線的對稱軸

∴ 此二次函數為 y＝ 15 (x＋1)2＋k


將(4 , 8)代入 y＝ 15 (x＋1)2＋k

得 8＝ 15 (4＋1)2＋k，k＝3

故此二次函數為 y＝ 15 (x＋1)2＋3

圖形頂點為(－1 , 3) 搭配課本第 41頁

康軒 國中數學 3下 課本ppt 1-1 二次函數的圖形

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康軒國中數學 3下課本ppt 1-1 二次函數的圖形