第 30 讲平面向量的应用

2

掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用 . 平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力 .

3

1.( )

解析 2 2

2

2

14 0

41

| |14cos

1| | | | 2| |2

[ ]3

a a b a b a

aa b

a ba b a

a b

依题意得，，

所以〈，〉，

所以〈，〉，．

B

4

2. 设 a 、 b 是非零向量 , 若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb) 的图象是一条直线，则必有 ( )

A

A.a b B.a b C.|a|=|b| D.|a|≠|b|⊥ ∥

因为 f(x)=(xa+b)(a-xb)

=xa2-x2a·b+a·b-xb2

=-x2a·b+(a2-b2)x+a·b ，且 f(x) 的图象是一条直线 , 所以 a·b=0 a⊥b.⊥

解析

5

3. 设向量 a 、 b 、 c 满足 a+b+c=0,且 a b,|a|=|b|=2⊥ ，则 |c|2=( )C

A.1 B.2 C.8 D.5

因为 a b a·b=0,⊥

则由 a+b+c=0 c=-(a+b),

所以 |c|2=c·c=|a|2+2a·b+|b|2=8.

解析

6

(2cos 2sin ) ( )2

(0 1)

4 .

a

b a b

已知向量，，，，

，，则向量与的夹角为_________.

解析

3

2

易错点没有注意到与的取值范围，不能合理使用诱导公式．

2 cos sin

| || | 2

3( ) .

3

22 2

sin

a b

a b，

又，，所以，故填

7

5.————.

__________ .

解析

易错点的重心，造成计算量增大，甚至失去解题方向．

6

8

1. 向量中“数与形”转化化归思想向量既有大小，又有方向，兼备“数”

“形”双重特点 . 向量运算均有相应的几何性质，因此有关几何性质的问题可通过向量或其运算转化化归为代数问题分析、探究 .

2. 向量的工具性作用线段的长 , 直线的夹角 , 有向线段的分点

位置，图形的平移变换均可用向量形式表示 ,从而向量具有工具性作用 . 可以用向量来研究几何问题 , 利用其运算可以研究代数问题 .

9

3. 向量载体的意义函数、三角函数、数列、解析几何

问题常常由向量形式给出，即以向量为载体，通过向量的坐标运算转化化归为相应的函数、三角函数、数列、解析几何问题，这就是向量载体的意义 . 这类问题情境新颖，处在知识的交汇点，需要综合应用向量、函数、三角函数、数列、解析几何知识分析、解决问题 .

10

在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n) ，其中 n 是正整数 . 对平面上任一点 A0 ，记A1 为 A0 关于点 P1 的对称点， A2 为 A1关于点 P2 的对称点，…， An 为 An-1 关于点 Pn 的对称点 .

题型一平面向量与函数、数列整合

例 1

11

(1) 求向量的坐标；(2) 当点 A0 在曲线 C 上移动时，点 A2 的轨迹是函数 y=f(x) 的图象，其中 f(x) 是以 3 为周期的周期函数，且当 x (0,3∈ ］时， f(x)=lgx ，求以曲线 C 为图象的函数在 (1,4 ］上的解析式；

(3) 对任意正偶数 n, 用 n 表示向量的坐标 .

0 2A A��

0 nA A��

12

(1) 设点 A0(x,y) ， A0 关于点 P1(1 ， 2) 的对称点 A1 的坐标为 A1(2-x,4-y),A1 关于点P2(2 ， 22) 的对称点 A2 的坐标为 A2(2+x,4+y).

所以 =(2,4).0 2A A

��

解析

13

(2)( 方法一 )

因为 =(2,4) ，所以 f(x) 的图象由曲线C 向右平移 2 个单位长度，再向上平移4 个单位长度得到 .

因此 , 曲线 C 是函数 y=g(x) 的图象 , 其中g(x) 是以 3 为周期的周期函数 , 且当x (-2,1∈ ］时， g(x)=lg(x+2)-4.

于是，当 x (1,4∈ ］时， g(x)=lg(x-1)-4.

0 2A A��

14

( 方法二 )

设点 A0(x,y),A2(x2,y2), 于是 x2-x=2

y2-y=4.

若 3<x2≤6 ，则 0<x2-3≤3,

于是 f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3),

当 1<x≤4 时，则 3<x2≤6,y+4=lg(x-1),

所以当 x (1,4∈ ］时， g(x)=lg(x-1)-4.

15

(3) = + +…+ .

因为 =2 , 得 =2( + +…+ )

=2 ［ (1,2)+(1,23)+…+(1,2n-1) ］=2( , )=(n, ).

0 nA A��

0 2A A��

2 4A A��

2n nA A

��

2 2 2k kA A

��2 1 2k kA A

��

0 nA A��

1 2PP��

3 4PP��

1n nP P

��

2

n 2(2 1)

3

n 4(2 1)

3

n

16

评析本题是向量与函数、数列的交汇，涉及的知识点较多，比如：对称、周期函数、图象平移、首尾相接的向量之和、等比数列求和以及中位线，等等，这是一道融函数意识和数列意识于一起的好题．

17

素材 1 (sin sin )

(cos cos ) sin2

A B

B A C A B

C ABC a b c

m

n m n

已知向量，，，，，且、、

分别为的三边、、所对的角．

sin sin

1

n2 si

C

A C B 数

求角的大小；

若，，成等差列，且

18

解析

sin cos sin cos sin

,0

sin sin sin .

sin2 sin2 sin

1cos

1

.32

A B B A A B

ABC A B C C

A B C

C

C

C

C C

C

对

为

，

于，，

所以，所以

又因，所以，

所以，故

m n

m n

m n

sin sin sin

2sin sin si

2

n 2 .

A C B

C A B c a b

数由，，成等差列，

得，所以

19

2 2 2

2

2 2 2

cos 18 36.

2 cos

3

4 3 3 36 66 .

ab C ab

c a b ab C

a b b

c c c c

a

即，即

由余弦定理

，

所以，则，所以

20

设 a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),

c=(1,0) ，其中 α (0,π),β (π,2π),a∈ ∈ 与 c 的夹角为 θ1,b 与 c 的夹角为 θ2, 且 θ1-θ2= , 求 sin 的值 .

6

4

题型二平面向量与三角函数知识整合

例 2

21

a=(2cos2 ,2sin cos )

=2cos ·(cos ,sin ),

b=(2sin2 ,2sin cos )

=2sin (sin ,cos ),

因为 α (0,π),β (π,2π),∈ ∈

所以 ∈ (0, ), ( ,π),∈

故 |a|=2cos ,|b|=2sin ,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

解析

22

cosθ1= = =cos , 所以 θ1= ；cosθ2= = =sin =cos( - ),

因为 0< - < , 所以 θ2= - , 又 θ1-θ2= ,

所以 - + = ，故 =- ,

所以 sin =sin(- )=- .

| || |

a ca c

22cos2

2cos2

2

2

2

2

b c

| b | | c |

22cos2

2cos2

2

2

2

2

2

2

6

2

2

2

6

2

3

4

6

1

2

23

评析本题是向量与三角函数结合的综合题，关键是利用数量积，将、转换成、，求得结果．

1 2

24

素材 2

(sin cos )

(6sin cos 7sin 2cos )

( ) .

1

2

( )

6

3 2 3 2

f

f

ABC A B C

a b c f A ABC

b c a

a

b

a b

已知向量，，，，设函数

求函数的最大值；

在锐角三角形中，角、、

的对边分别为、、，，且

的面积为，，求的值．

25

解析

m

2

ax

2

( )

sin (6sin cos ) cos (7sin 2cos )

6sin 2cos 8sin cos

4(1 cos2 ) 4sin2 2

4 2sin(

[ ( )] 4 2 2

2 ) 24

.

1

f

f

，

所以

a b

1 4 2sin(2 ) 2 64

2 sin(2 )

4 2

02

2 f A A

A

A

由可得，

因为，

26

2 2 2

2

2

32 2 .

4 4 4 4 4 4

1 2sin 3 6 2.

2 4

2 3 2

2 cos

2 2 2

2

2 (2 3 2) 12 2 2 6 2 10

2

0.1

ABC

A A A

S bc A bc bc

b c

a b c bc A

b c bc

a

bc

所以，，

因为，所以

又，

所以

，

所以

27

(1) 如图， OM AB∥ ，点 P 在射线OM 、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内 ( 不含边界 ), 且 =x +y , 则实数对 (x,y) 可以是 ( )

OP��

OA��

OB��

A.( , ) B.(- , )

C.(- , ) D.(- , )

1

4

3

4

2

3

2

31

4

3

4

1

5

1

5

C

题型三平面向量与解析几何、平面几何整合

例 3

29

(1)( 方法一 )

特别地，设△ ABO 是正三角形 . 因为满足选项 A

的点 P 在线段 AB 上，故排除 A ；由于 OM 是∠ BOC 的平分线 , 所以满足选项 B 的点 P 恰好在射线 OM 上 , 也不合要求 ; 对于选项 D 来说 , 作 =- , = ，并以 OC 与 OD 为邻边作平行四边形 OCPD( 如图所示 ) ，则点 P 满足 =- + .

OC��

OB��

OA��1

5OD�� 7

5

OP��

OA��1

5 OB��7

5

解析

30

由于 |BD|=2|OC|=2|PD| ，取 BD的中点 E, 连接 PE, 易知 PE AB,∥ 从而点 P在阴影区域外 , 所以选项 D 也不符合题意 ,故选 C.

( 方法二 ) 易知 x<0 ，如图所示延长 AO 至 C 使 =x ，再过点 C 作 OB 的平行线与 OM 、 AB 的延长线分别交于 P1 、 P2 ，

OC��

OA��

31

则点 P 一定在线段 P1P2 上 ( 不含两端点 ). 过点 P1 、 P 、 P2 分别作 OA的平行线交 OB 及延长线于E 、 F 、 D ，

则 y= .

由△ COP1 OAB∽△

得 = = =-x,

同理 =-x ，所以OD=(-x+1)OB,

即 =1-x ，故 y (-∈x,1-x) ，所以答案选 C.

OF

OB

OF

OB1CP

OB

OC

AOBD

OBOD

OB

33

(1) 方法一与方法二都运用了特殊化的思想，不同的是前者侧重于用排除法，而后者侧重于运算；方法二虽然在本题的处理中显得有点繁锁，但若背景换成填空题，则这种方法就显得很重要了 .

评析

34

(2) 方法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法，是处理本题的巧妙方法；方法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系 , 如 +

所在直线一定通过△ ABC 的内心； +

所在直线过 BC 边的中点，从而一定通过△ ABC 的重心； + 所在直线一定通过△ ABC 的垂心等 .

AB��

AC��| |

AB

AB

��

��| |

AC

AC

��

��

| | cos

AB

AB B

��

��| | cos

AC

AC C

��

��

1

a 2

2 8.

( )

0,32

x y

x y x y

x y

M x y C

C A B AB

R i j

i j

b i j a b

设，，，为直角坐标平面内

轴轴正方向上的单位向量，若，

，且

求动点，的轨迹的方程；

设曲线上两点、，满 ①足直线过点，

②若

35

素材 3

OAPB AB则为试矩形，求的方程.

36

解析 1 2( ) (0 2) 0,21 M x y F F令，，，，，

2 2

116

.12

y x 方所轨迹为求程

1 1 2 23 (

2

) ( )

OAB AB

AB y kx A x y B x y

由条件②可知不共线，故直线

的斜率存在．设方程为，，，，，

37

2 23 4 18 21 0k x kx ，

1 2 1 22 2

1 2 1 2

22

1 2 1 2 2

18 21,

3 4 3 43 3

36 48 3 9 .

3 4

kx x x x

k ky y kx kx

kk x x k x x

k

，

OAPB OA OB为为因矩形，所以，

1 2 1 2

5 53

40 . .

4x x y y k y x 所以，得所直线方程为求

38

备选题备选题已知双曲线 x2-y2=2 的右焦点为 F ，过点 F 的动直线与双曲线相交于 A 、 B 两点，点 C 的坐标为（ 1 ， 0），证明： · 为常数 .

CA��

CB��

由条件，知 F(2,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2).

当 AB 与 x轴垂直时，可知点 A 、 B 坐标分别为 (2, ）、 (2,- ),

此时 · =(1, ） ·(1,- )=-1.

2 2

CA��

CB��

2 2

证明

39

当 AB 不与 x轴垂直时 , 设直线 AB 的方程是y=k(x-2)(k≠±1),

代入 x2-y2=2 ，有 (1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0,

则 x1 、 x2 是上述方程的两个实根，所以 x1+x2= ， x1x2= .

于是 · =(x1-1)(x2-1)+y1y2

=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)

=(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1

= - +4k2+1

=-4k2-2+4k2+1=-1. 综上所述 , · 为常数 -1.

2

2

4

1

k

k

2

2

4 2

1

k

k

CA��

CB��

2 2

2

( 1)(4 2)

1

k k

k

2 2

2

4 (2 1)

1

k k

k

CA��

CB��

40

1. 由于向量具有“数”“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与函数、三角函数、数列、解析几何知识相结合，综合解决相关问题 .

2. 利用化归思想将共线、平行、垂直、平移变换及定比分点向向量的坐标运算方向转化，线段的长、夹角向向量数量运算转化，建立几何与代数之间互相转化的桥梁 .

41

错解 1 2 1 0 2.k k 所以，所以

错解分析此解误因是自认为∠ A是直角在解题构思中丢掉另外两种情况．

42

正解 1 90 2.

2 90

.

A k

B

若为，同上得

若为，

1 1 0 0.

3 90

k k

C

为

即得，所以

若，

2

2 0

2 1 0

2 0

90 .

k k

k k

k C

ABC

k k

即得，

而，无实数解，不存在实数使综上所述，当时，

是直角或

三角形．

第 30 讲 平面向量的应用

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