考前 30 天点击考点，激活数学思维的十个策略扬大附中 何继刚

一、 2010 年江苏卷给我们的启示 2010 年江苏卷出现了如下几个特点：

今年的江苏卷不再单纯地考查基础知识，而是以基础知识为载体考能力、考数学思想方法 . “ 填空题”是以基础考能力的主要题型，并且由于考生能力素质相差悬殊 , 造成繁解与巧解、快与慢的巨大差异，使 “填空”的区分度越来越大， “填空

”成为考生夺取“高分”的关键 .

（ 1 ）在基础中考能力

今年的江苏卷填空题也体现出了综合性 , 如填空题 13 题、 14 题，在解答题中，第 20 题考查函数的概念、性质、图象及导

数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问 题的综合能力 .

（ 2 ）在综合中考能力

今年高考题 17 题注意考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题 , 立意考查大众数学 . 在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力 .

（ 3 ）在应用中考能力

高考命题逐年加大考新型题的力度，稳中求新 , 稳中求改 , 江苏卷 18 题以解析几何为素材考查了探究能力 . 所以我们要加强探究方法的学习 .

（ 4 ）在研究性课题中考能力

《考试说明》是高考的纲领性文件 , 它对高考考什么、考多难、怎么考这三个问题进行了明确的界定和解说 . 因此，复习过程中要注意以下几点：

（ 2 ）高考《考试说明》中明确了“三基五能两意识”七个字 , 即基础知识、基本技能、基本思想方法；空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算能力、数据处理能力；应用意识、创新意识 .

在复习过程中 , 要认真加以落实 . 　

（ 1 ） 要把握好教学内容的广度，减少无用功 . 务必做到到位不越位。　　

（ 3 ）高考答卷中反映出的最大问题就是考生对基础知识的理解不深刻、掌握不牢固、运用不灵活，尤其是当一个概念以变式出现或与其他内容综合在一起时，就会出现各种各样的错误，实践证明，在复习中，谁只钻难题，谁就在整垮自己！扎实的基础是指：基础知识要熟悉；基本技能要熟练；基本思想要领会；基本方法要掌握．

（ 4 ） 复习要紧扣考试说明 , 新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查 , 难度不大 . 对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新 . 高考淡化了特殊的技巧 , 全面考查通性通法 , 体现了以知识为载体 , 以方法为依托 , 以能力考查为目的的命题要求 .

（ 5 ）最后要回归课本，对教材出现的例题或习题进行适当的改造、重组形成考题是高考命题的一个特点 . 我们应该从题海中解脱出来 , 要在平时复习过程中多翻阅课本 , 不能死抱高考题 , 尤其是高考综合题 , 要注意对课本重要例习题的加工、改造 , 重视学会举一反三 , 真正做到求真务实、抓纲务本 . 　

（ 6 ）夯实基础，构建知识网络 . 复习中首先要扎扎实实打好基础 , 并在此基础上 , 注意各部分知识在各自发展过程中的纵向联系 , 以及各部分知识之间的横向联系 , 理清脉络 , 抓住主干知识 , 构建知识网络 . 做到纵向成一线 ( 以知识为主线 ) , 横向成一片 ( 各数学分支知识形成网络 ), 纵横成一体 ( 相互渗透形成有机的整体 ). 而每章之内要整理出知识的难点、重点、疑点 , 做到心中有数 , 有的放矢 , 充分利用图像、表格 , 构建知识网络 , 使之变成清楚的几条线 , 而不是模糊的一大片。

策略一 回归课标与课本，激活数学思维的源头

例 5 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊（图 1 ），试回答下列问题：（ 1 ）证明铁棒长 ：

（ 2 ）当 时，作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；（ 3 ）由（ 2

）中图象求 的最小值（用计算器或计算机）；（ 4 ）解释（ 3 ）中所求

得的 L 是能够通过这个直角走 廊的铁棒的长度的最大值 .

9 6( ) ,5sin 5cos

L

0,

2

( )L

改编题 1 如图 2 所示，一条直角走廊宽为（ 1 ）若位于水平地面上的一根铁棒卡在此直角走

廊内，且 ，试求铁棒的长 l ；（ 2 ）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此

铁棒的最大长度 .

( 0)a m a

PEF

解 （ 1 ）过点 E， F 分别作对边的垂线，可得 其中

设 ，则其中 ，故有

(sin cos )( ) ,sin cos sin cos

a a al OE OF

0, .2

sin cos 2 sin 04

t

2 1sin cos ,2

t

1, 2t 2

2 , 1, 2 .1

atl t

t

（ 2 ）问题即要求上述函数的最小值 .

方法 1 下面利用函数单调性定义证明

在 上是单调递减函数 .

设 ，则 且有

即 因此函数

2

2( ) ,1

atl t

t

1, 2

1 21 2t t 2 1 1 20,1 2,t t t t

2 21 2 1 2 1 2 2

1 2 2 2 2 21 2 1 2

2 2 2 ( )( ) ( )

1 1 ( 1)( 1)at at a t t t t t

l t l tt t t t

2 1 1 22 2

1 2

2 ( )( 1)0,

( 1)( 1)a t t t t

t t

1 2( ) ( ),l t l t

在 上是单调递减函数 .

故当 时，函数 有最小值 ，即铁棒能被直角走廊卡住的最小值为若铁棒长不大于 则铁棒能在直角走廊拐弯；若铁棒长大于 铁棒不能在这个直角走廊拐弯 .

故 l 的最小值是铁棒能在这个直角走廊拐弯的铁棒中的最长者，即铁棒能在直角走廊拐弯的最大值为

2

2( ) ,1

atl t

t

1, 2

2 2a

2t 2

2( ) ,1

atl t

t

2 2 m.a

2 2 m,a

2 2 m,a

2 2 m.a

方法 2 利用复合函数的单调性 .

当 时，

为增函数且 故上为减函数，所以当 时， l 取最小值以下同方法 1.

2

2 2( ) , 1, 2 , 0,11at a

l t t at t

t

1, 2t

1u t

t 0,u 2

2( ) 1, 21

atl t t

t

在

2t 2 2 .a

方法 3 利用方程有解条件来进行求解 .

由 这一关于 t 方程必定在 内有解 .

令 从而必有 ，即 且当 故 l 的最小值是

22

2( ) , 1, 2 , 2 0,1

atl t t lt at l

t 可得

2( ) 2 , (1) 2 0,f t lt at l f a 注意到

1, 2

( 2) 0f 2 2 ,l a 2 2 2 .t l a 时,

2 2 .a

方法 4 利用际导数来研究函数的单调性 .

由上面的解法得

上是单调减函数，当 故 l 的最小值是

2

2 2

3 2( ) 0, ( ) 1, 2( 1)

at al t l tt

故 在

2 2 .a

2 , 2 2 ,t l a 时

改编题 2 如图 3 所示，一条直角走廊宽为一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽

为（ 1 ）若平板车卡在直角走廊内，且 试求平板车的长 l.

（ 2 ）平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少 m.

m,a 现有

m(0 < < ).b b a

,PAB

解 （ 1 ）延长 CD 与直角走廊的边相交于点E， F ，

如图 3. 则有 其中又

故 其是

(sin cos ) ,sin cos sin cos

a a aEF OE OF

0, .

2

cos sintantan sin cos

,sin cos

bEF DE CF l b l b l

bl

(sin cos ) ,sin cos sin cos

a bl

0, .

2

（ 2 ）设 其中 则 其中 故有

以下求解同改编题 1 ，得平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过

sin cos 2 sin ,

4t

2 1sin cos ,2

t 2

2( ) ,1

at bl

t

0, ,

2

1, 2 ,t

1, 2 .t

(2 2 2 )m.a b

策略二 回归“四基”，激活数学思维的基础

数学依托教材紧扣标准，重视基础知识、基本技能、基本数学活动经验、基本数学思想的考查 .

当前教学存在的问题：忽视教材、轻视基础 . 而课本知识是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性 .突出课本中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本例习题潜在功能的挖掘与利用。对课本典型问题进行引伸、推广，发挥其应有作用，这是我们在今后的教学中需要特别重视的。从近年来高考试题分析可以看出 , 有相当一部分试题取

材于课本 , 考查对课本中基本概念、公式、定理的多角度、多层次地理解与灵活地应用 .例 辽宁例如理第 8 题、第 13 题、第 14 题和文科第 15 题

；安徽理科的 9、 17、 18、 19 题；江苏 17 题；辽宁 8 题、 13 题、 14 题等，都可以在教材中找到影子．

(2009 年宁夏海南卷 16) 等差数列 {an}前 n项和为 Sn.已知 则m=__.本题考查的核心是对等差数列的理解，等差数列的定义是：am+1=am+d (n 为大于 0 的自然数， d 是公差 ) ，学生应理解， am比前一项多 d(n 大于 1) ，比后一项少 d ，因此， am是 am1和 am+1 的等差中项，即 am1+am+1可以用 2am 代替，这是个“对称”性质，可以延续，即am 也是 a1和 a2m1 的等差中项，让学生把这种理解变成他们的“直观” , 不是当作需要记住的“方法”或“技巧” ,遇到类似的问题，就可以正确解答．

21 1 2 10, 38,m m m ma a a S

现在数学教学中，不重视概念的教学，这一点需要引起关注．如何搞好概念教学？重要概念是否能一步到位？需要我们思考．(2010 年山东卷理 9)设 {an}(n∈ N*) 是等比数列，则“ a1＜ a2＜ a3”

是数列 {an} 是递增数列的(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件、(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

解：设等比数列的公比为 q ，若 a1＜ a2＜ a3 ， 则 a1<a1q<a1q2 ，

答案：选 C．数列基本属性的认识，什么情况下数列递增，不用死记

，只会分析．

1 11 2 1

2 3 1

1 1

0 00 (1 ) 0

1 0 1 00 (1 ) 0

1 1 1 1

0 00 1 1

a aa a a q

q or qa a a q q

q q q q

a aor

q q

(2010 年安徽卷理 9)动点 A(x， y) 在圆 x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 12秒旋转一周．已知时间 t=0 时，点 A 的坐标是 ， 则当 0t12 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t( 单位：秒 ) 的函数的单调递增区间是

A、 [0， 1] B、 [1， 7] C、 [7， 12] D、 [0， 1]和 [7， 12]

解法 1 2sin ,12

y t

1 32 2

（ ， ）

函数的单调递增区间满足：

30, , ,2 3

t y

sin ,6 3

y t

70 12 ,3 6 3 3

t t

3 73 6 3 2 2 6 3 3

0 1 7 12,

t or t

t or t

单调递增区间是 [0， 1]和 [7， 12]．

(2010 年上海卷理 13) 直线 x=2 与双曲线

的渐近线交于 E1、 E2 两点，记

任取双曲线 C 上的点 P ，若

则 a、 b 满足的一个等式是 _______________ ．

22: 1

4x

C y

1 1 2 2, ,OE e OE e

1 2 , ,OP ae be a b R

分析：渐近线方程 P(x， y)即 A(2a， a) ， 同理 A(2b， b).BP//OA， AP//OB ，得

P 在双曲线上，得 (a+b)2(ab)2=1 4⟺ ab=1.

评述：把向量概念、向量加法、相似性、坐标方法、双曲线的基本性质融合，没有任何复杂的知识和特殊的技巧，深层次考查基础知识和基本方法．

2 ,2 2 2 ,1 1,

.2 2 2 2 2 2 2x a by a x ay a y by a bx a x b y b x b

(2010 年浙江理 16) 已知平面向量 α， β (α≠0

， β≠0,α≠β) 满足 |β|=1,且 α与 β－ α 的夹角为120°,则 |α| 的取值范围是 _____.

2 303

， .

(2010 年辽宁理 10) 已知点 P 在曲线 上， α

为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是

(A) (B) (C) (D)

41xy

e

0,4

,4 2

3,2 4

3 ,4

2

4 4 tan 1,0 ,( 1) 2

x

x x x

ey

e e e

30 .4

策略三 回归数学本质，激活数学思维的切换的路径

例 1 (上海市 2004 年高考题 ) 教材中“坐标平面 上的直线 ” 与 “圆锥曲线”两章内容体现出解析几 何的本质是 . （答案：用代数 的方法研究图形的几何性质）

优化数学思维方式，强化揭示数学本质的意识

说明 本题让学生谈学习体验的试题 , 它考察学生 对解析几何本质的理解 .

（答案 : 0或 1 ）

例 2 函数 的图像与直线 的 交点个数是 个 .

( )y f x 2010x

说明 本题主要考察学生对函数本质的理解

例 3 （ 2001全国文 20,理 19 ）设抛物线 的焦点为 , 过 点的直线交抛物线于 两点 ,又点 在抛物线的准线上，且 轴 .

求证： 直线过原点

,A B

//BC xC

AC .O

F

2 2 ( 0)y px p

F

分析：抓住斜率相等这个本质特征迅速产生解 题思路 . 设 则 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 2( , ) .

2p

C y

1 2 2

1

0 0 2, ,

0 02

OA OCy y y

k k Px p

2 11 1 2

1 1

22 , .

2

又 OAy p

y px ky yp

2

1 1

2 1 2 .OC OAP p

k ky p y

又因为 是经过抛物线的焦点的弦，所以结论 成立 .21 2y y pAB

所以 三点共线 . 又经验证，当 轴时，命题也成立 . 因此直线 过原点 .OAC

AB x, ,A O C

注意： 轴时的情况。 AB x

拓广一：设抛物线 的焦点为 过点 的直线交抛物线于 两点，又抛物线的准线与 轴交于点 点 在抛物线的准线上 , 且

轴 . 求证：直线 经过线段 的中点 .

2 2 ( 0)y px p

,A B

,F

F

x C,E

AC//BC x EF

拓广二：（ 2001 广东、河南高考 21 ） 已知椭圆 的右准线 与 轴相交于点 过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于 两点，点 在右准线 上 , 且 轴 .

F

22 1

2x

y xl

,A B

,E

c

l //BC x

求证：直线 经过 线段的中点 .AC EF

拓广三 ：设点 是圆锥曲线的一个焦点 , 直线 是对应的一条准线 , 且 与圆锥曲线的对称轴交于 是过 的弦，点 是准线 上一点 ,

平行于圆锥曲线的对称轴， 与 交于点 则 是线段 的中点。

F l

,E AB

l

EF

F C l

BC AC EF ,M

M

求证： 平分线段 .EFAC

若再把条件 准线进一步弱化，我们可以得到该高考题的几何背景：如下图 , 四边形EF

, // // ,中ABCD AD EF BC| | | | .| | | |

且 AF ADBF BC

上述从特殊到一般的探索拓广过程，从一个独特的视角，揭示了圆锥曲线的本质：椭圆、双曲线、抛物线都是满足某些几何条件的点的轨迹！

策略四 回归数学观念系统，激活数学思维的调控意识

构建数学思想体系，强化用数学思想指导 解题的意识

一要强化八大数学思想：通过回顾做过的练习，用实例反思以下数学思想 .

①集合与对应思想 ②归纳和演绎思想 ③符号化与变换思想 ④函数与方程思想 ⑤数形结合思想 ⑥分类讨论思想 ⑦化归与转化思想 ⑧特殊化与一般化思想

二要强化十大数学基本方法：通过回顾做过的练习，用实例反思以下数学方法 .

①分析法和综合法 ②反证法 ③完全归纳法 ④配方法 ⑤换元法 ⑥割补法 ⑦比较法 ⑧放缩法 ⑨构造法 ⑩定义法 （ 1 ）强化应用函数与方程思想的意识

分析 设 的边长为

例 4 如图 是同一平面内的三条平行直线 , 间的距离是 1 ， 间的距离是 2, 正

三角形的 三 顶点分别在 上，则 的边长是 .

1 2 3, ,l l l

1 2与l l 2 3与l l

1 2 3, ,l l l ABC

,xABC

则 .3x

AD

由余弦定理有 2 2 2 2 cos ,3

BD AB AD AB AD

2 2 2( ) 2 ( )cos ,3 3 3

即 x xBD x x

由 有ABC ABD BCDS S S

23 1 7 1 71 2,4 2 3 2 3

x x x

2 21 .3

解之得 x

（ 2 ）强化应用化归转化思想的意识

2 2

| 1 sin |( ) .(1 sin ) (1 cos )

xf x

x x

sin 1( ) (0 2 )

3 2co 2sinx

f x xx x

( )f x

例 5 函数 的值域是 .

分析：将 的表达式变形为

此结构与解析几何中点到直线的距离公式颇为相似，因此可将函数的值域问题转化为解析几何问题 .

( ) [ 1,0].因此f x d

max, 1, [0,1],故时l OP d d

2 2

| 1 sin |(1 sin ) (1 cos )

x

x x

表示平面直角坐标中定点: (1 sin ) (1 cos ) 0l x X x Y P(1,0) 到动直线

的距离 ,显然 , 过点 时 , d min 0,d l P

90 6,ACB AC

1BC1 2, 是BC CC P

例 6 如图，在直三棱柱 中 , 底面为直角三角形 ,

1 1 1ABC A B C

的最小值 ______． 1CP PA上一动点 , 则

.5 2答案 :

A C

A1

B

B1

C1P

提示：连 沿 将 展开与在同一个平面内，如图所示，连 则 的长度就是所求的最小值．通过计算可得又

1 ,A B 1BC 1CBC 1 1A BC

1 ,A C

1 45 ,BC C

1 ,A C

1 1 135 ,A C C

由余弦定理可求得 1 5 2.AC

1 1 90 ,A C B

C1

CB

A1

例 7 已知向量 , 向量 向量 则向量 OA 与向量 OB夹角 的取值范围是 .

（ 3 ）强化应用数形结合思想的意识(2,2),

OC (2,0)

OB

解：如图 ,向量 的终点 在以 为圆心 , 为半径的圆上， 是圆的两条切线 , 切点分别为

( 2 cos , 2 sin ),CA

CA A

(2,2)C

1 2,OA OA 1 2, ,A A

2

| | 2 2,| | 2, OC CA 在 中 , 1RT OCA

1, .

4 4 6 12 COB A OB

1 2 1, .

6 6COA COA COA

2

5 .4 6 12

A OB

5, .12 12

因此向量 与向量 夹角的取值范围是OA

OB

分析 由 的结构 , 联想到

（ 4 ）强化应用一般与特殊思想的意识比较 与 的大小 .( )f a (0)ae f

( ) (0)与 af a e f

'( ) ( ), 0,若 且f x f x a

,x R例 9（ 2009浙江湖州高二统考）对任意

0 ( ) (0),与 ae f a e f 于是建构 ( ) ,x

f xy

e

''

2

( ( ) ( )) 0.则x

x

e f x f xy

e

说明 本题考查构造函数解决问题的意识与能力 , 本题求解过程体现了构造、推理等重要

的数学思维方式 .

解 设 则( ) ,x

f xy

e

''

2

( ( ) ( )) 0,( )

x

x

e f x f xy

e

所以 即 ( ) (0).af a e f ( ) (0),y a y

策略五 模式识别，激活数学思维的切入点

模式识别（ 1 ）模式识别的基本含义　①在学习数学的过程中，所积累的知识和经验经过加工会得出一些长久保存价值或基本重要性的典型模式与重要类型 , 我们称为解题基本模式 ,简称模式 . 典型结构与重要类型常常是问题的深层结构 .

②当我们遇到一个新问题时 , 首先辩认它属于已经掌握的哪个基本模式 , 然后检索出相应的解题方法来解决 , 这是数学解题中的基本思考 , 也是解高考题的重要策略 , 我们叫做模式识别 .

③拿到一道高考题 , 在理解题意后 , 立即思考问题属于哪一学科、哪一章节 ? 与这一章节的类型比较接近 ? 解决这个类型有哪些方法 ? 哪个方法可以首先拿来试用 ? 这样一想 , 下手的地方就有了 ,前进的方向也大体确定了 . 这就是高考解题中的模式识别 .

①化归为课堂上已经解过的题式 . ②化归为往年的高考题 ( 或其变形 ). ①直接用 .

③综合用 . ②转化用 .

一、高考填空题的特点1 、在知识交汇处，考查思想方法例 1 （ 08 江苏卷 7 ）

2 、即时定义，考查迁移能力例 2（ 08福建卷 16 ）

策略：认真阅读理解。依据题目提供的信息，联想所学的知识和方法，实现有效迁移。

策略：构造出问题的数学模型，实际问题数 学化，借助于数学知识、数学思想、数学方 法加以处理。

3 、提供实际背景，考查应用意识例 3（ 08上海卷 10 ）

4 、提供归纳类比材料，考查合情推理例 4（ 08 江苏卷 9 ）

策略：运用列举归纳、类比推理的合情推理的方法，根据数学概念、定理、公式、性质等进行推理判断。

5 、提供探研情境，考查探究创新能力例 5（ 08全国卷Ⅱ 16 ）

策略：运用列举归纳、类比推理的合情推理和三段论的演绎推理的方法，综合应用数学概念、数学思想、数学方法解决问题。

6 、设置多重选项，考查综合能力例 6（ 08陕西卷 15 ）

策略：应用数学概念、定理、公式、性质等对每一个单项进行推理判断并辅以排除的方法。

二、填空题的求解策略1 、填空题常见类型

图形图像型信息迁移型

基础知识型 多 选 型 组合搭配型

2 、填空题常用解法直接法：直接从题设出发 , 准确计算 , 得出结论 .

数形结合法：借助于图形进行直观分析，并辅之以简单计算得出结论 .

特例法：当填空题暗示结论唯一或其值为定值时，可取特例求解 .合情推理法：从题设出发，通过类比、观察、联想、归纳得出结论 .

三、填空题检验策略回顾检验：填空题解答之后再回顾，即再审题 ,

这是最起码的一个环节 , 可以避免审题带来的明显错误 .

逆代检验：若答案是有限的、具体的数据 , 可再代入进行检验 , 以避免因扩大自变量的范围而产生的错误

静态检验：当问题处在运动状态但结果是定值时 ,

可取其特殊的静止位置进行检验。

估算检验：当解题过程中是否等价变形难以把握时，可用估算的办法检验。极端检验：当端点处是否成立难以确定时 , 可直接取其端点进行检验 , 以避免考虑不周全的现象 .

逆代检验：若答案是有限的、具体的数据时 , 可再代入进行检验 , 以避免因扩大自变量的范围而产生的错误 .

四、重视数学经验的积累

1 、破解隐含条件的方法（ 1 ）从数学定义中挖掘隐含条件例 1 （ 2008宁夏、海南改编）已知点 在抛物

物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时 ,

点 的坐标为 .

P2 4y x P (2, 1)Q

P

P

评析 : 有些数学问题 ,部分已知条件隐含在数学概念、定义之中 , 而数学概念、定义又是解题的先导 , 在解题中若主动与定义接触，则能迅速、合理的解决问题 . 本题需要挖掘的隐含条件为抛物线定义中的 故对定义的挖

掘是解题顺利进行的第一步 .

,PF PS

yx

（ 2 ）从几何意义中挖掘隐含条件 例 2 （ 2008福建）若实数 满足 则 的取值范围是 .

,x y2 0

0 ,2

x yxx

y

x解析：易求得点 的坐标是（ 2， 4） , 这样 的斜率 , 所以 本题的解题关键是挖掘所给式子 的几何意义 ,

故数形结合是破解隐含条件的一种重要方法 .

A OA

2k [2, ).yx

yx

（ 3 ）从题目结构中挖掘隐含条件 例 3 (2006 江苏改编 )设 是正数 , 求证： 评析：若题设条件中隐含着与某些概念、公式具有

类似结构的数式或图形信息，则应抓住结构特征，提示隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决 . 本题隐含的信息为形如函数

的单调性的处理 .

A

aa 2

21 1 .a a aa

1( )f x x x

（ 4 ）从解题过程中挖掘隐含条件 例 4 (2008辽宁 ) 已知数列 是各项均为正数的等比数列，设

　　①数列 是否为等比数列？证明你的结论；　　②设数列 的前 项和分别为 若 求数列 的前 项和 .

分析 : 由已知条件可得出 分 别是公差为 和 的等差数列 ,

{ }, { }n na b

( ).nn

n

bc n Na

{ln },{ln }n na b

{ }nc

n ,nS

.nT 1 2, ,2 1n

n

S na T n { }nc n

{ln }, {ln }n na b

1ln q 2ln q 2 1n

n

S nT n

这个条件也可转化为 这里隐含着 是任意正整数这一条件 ,可将 分别代入即可求出 （ 5 ）从取值范围中挖掘隐含条件 例 5 （ 2006安徽改编）如果 的三个内角

的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则 和 的形状为 .

分析 : 由于三角形的内角和是 所以

1 1

1 2

2ln ( 1) ln ,2 ln ( 1) ln 2 1a n q nb n q

n 1,2,3n

1 1 2, , .b q q

1 1 1ABC

2 2 2A B C

1 1 1ABC 2 2 2A B C

180 ,

的三个内角的正弦值都大于 0, 即 的三个内角的余弦值都大于 0 ，则 是锐角 三角形 , 再利用三角形的内角和是 对 是锐角三角形的情况进行排除 .

（ 6 ）从不变因素中挖掘隐含条件 例 6 (2006 年全国改编 )已知圆 直线　

2 2 2A B C 1 1 1ABC

1 1 1ABC

180 , 2 2 2A B C

2 2: ( 1) ( 2) 25,C x y

: (2 1) ( 1) 7 4l m x m y m ( ).m R

①求证 : 不论 取什么实数 , 直线 恒与圆 相交；

②求直线 被圆 截得的线段的最短长度及此时 的值 .

分析：本题如果联立直线与圆的方程解方程组 ,

然后考虑 是否成立 , 则运算量很大 , 很难得到正确结论 . 若注意到直线

恒过定点 则问题容易得解 .

m l C

l C

m

0

(2 1) ( 1) 7 4( )m x m y m m R (3,1),N

2 、解决恒成立问题与存在性问题的解题经验。 3 、应用定义解题的经验

策略六 回归通性通法，激活数学思维的常规通道

重视数学通性通法的考查，贴近中学教学数学思想和基本数学方法蕴含于数学基础知识中

，表现为数学观念，它们与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程．对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路．今年的试卷，重视数学通性通法，尤其是待定系数法、配方法、换元法、消元法等方法的考查．

(2010 年北京理 15)( 本小题共 13分 )

已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x4cosx．( )Ⅰ 求 的值；( )Ⅱ 求 f(x) 的最大值和最小值．

f ( )

3

f x x x R22 7( ) 3 cos , .

3 3

(2010 年安徽文卷 21) ( 本小题满分 13分 )设 C1

， C2 ， … Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x轴的正半轴上，且都与直线 相切，对每一个正整数 n ，圆 Cn都与圆 Cn+1 相互外切，以 rn表示 Cn 的半径，已知 {rn } 为递增数列 .

( )Ⅰ 证明： {rn } 为等比数列；( )Ⅱ 设 r1=1 ，求数列 的前项和 .

33

y x

n

nr

an+1 a=rn + rn+1=2(rn+1rn)⟹ rn+1=3rn .

故 {rn } 为公比 q=3 的等比数列 .

13 ,n

n

nn

r

0 1 11 3 2 3 3 ,nnS n

1 2 11 3 2 3 ( 1) 3 3 ,3

n nnSn n

119 1 3 9 (2 3) 33 .

4 2 2 4

nn

nn

S n

(2010年北京卷 8) 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 ，动点 E 、 F 在棱 A1B1 上，动点 P ， Q 分别在棱 AD ， CD 上，若 EF=1 ， A1E=x ， DQ=y ， DP ＝ｚ ( ｘ，ｙ，ｚ大于零 ) ，则四面体 PEFQ 的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

( Ａ ) 与ｘ，ｙ，ｚ都有关( Ｂ ) 与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关( Ｃ ) 与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关( Ｄ ) 与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

F

C1D1

B1A1

CD

A BP

Q

E

体积与 DP ＝ｚ有关，与ｘ，ｙ无关．选 D ．

(2010年北京卷理 19)( 本小题共 14 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(-1 ， 1) 关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 .

( )Ⅰ 求动点 P 的轨迹方程；( )Ⅱ 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M ， N ，

问：是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

13

策略七 回归主干知识，激活数学思维的深化点

1 、要重视主干内容的复习根据新课程的教学要求和江苏省高考卷的命制的特色，解答题的复习应注意八大块主干知识：函数；不等式；数列；复数；曲线与方程（解几）；空间图形（立几）；向量；概率与统计 . 八块主干知识在高考命题中的主要综合（交汇点）是：“函数、方程与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“解析几何与几何、代数、三角的综合”、 “向量的应用” .

（ 1 ）三角函数要抓好基础，复习中要把重点放在三角函数的图象和性质、两角和的正弦、余弦和正切及三角形中的三角函数问题等方面。对图象和性质、求值和化简问题要达到熟练、准确的程度 .

（ 2 ）平面向量，复习中要注意与代数、三角和解析几何的融合，平面向量的数量积的应用应作为重中之重 .

（ 3 ）立体几何要偏重“平行、垂直关系的证明与探究” . 复习时要重视证明、运算、推理的规范训练 . （ 4 ）解析几何复习中要以直线和圆、圆锥曲线的标准方程为重点，要重视体现解析几何基本思想的问题的学习，重视以椭圆为背景的圆的问题的学习 . （ 5 ）数列与不等式综合是历年高考把关题，在复习中要特别重视以等差、等比数列为载体的相关恒等式证明的代数推理题的学习与训练 .

（ 6 ）要重视以函数与导数、不等式综合为载体的代数推理题 .

2 、要加强填空题的专项训练 在一轮复习中，要加强解填空题的专题复习 , 掌握解填空题的技能与技巧 .

3 、关注应用，注重探究性问题 数学知识的应用，是新课标强调的重点之一 . 这就要求我们在复习中，除了要关注课本应用题 的变形之外，还要留意与我们生活密切相关的实 际问题，提高建模、解模和验模能力 .

应用函数的观点联系综合

例 (辽宁卷，理 ) 已知函数　

（ 1 ）证明：当 时， 在 上是增函数； （ 2 ）对于给定的闭区间 ，试说明 存在实数 当 时， 在闭区间 上是减函数；

2 2 22 ( ) 2 1,x xe t e x x t 1( ) '( ).2

g x f x

2 2t R( )g x

[ , ]a b

,k t k ( )g x [ , ]a b

( )f x

（ 3 （（（（3( ) .2

f x

（ 1 ）证明：当 时， 在 上是增 函数 .

2 2t R( )g x

（ 2 ）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 当 时，在闭区间 上 是减函数；

[ , ]a b ,kt k ( )g x[ , ]a b

（ 2 ）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 ，当 时， 在闭区间 上是减函数；

[ , ]a b kt k ( )g x [ , ]a b

（ 3 （（（（3( ) .2

f x

（ 3 （（（（3( ) .2

f x

（ 3 （（（（3( ) .2

f x

（ 3 （（（（3( ) .2

f x

说明：本例是以二次函数为主线的函数问题 二次函数是高中生所学的最正规、最完备的函数之一，它最能体现学生对函数思想的把握，是联系高中与大学知识的主要纽带 .

二次函数的基本性质，二次函数与方程根的讨论，二次函数与二次不等式、二次方程的综合问题都是考查的重点 .

策略八 反思易错误区，激活误入数学思维误区的防范意识

查找出错根源，强化杜错意识 解题和考试中的错误概括起来一般有下列几种类型：

（ 2 ）知识性错误：主要是由于基础知识掌握的不牢靠、记忆不清，用错概念、公式、法则、性质、定理等导致的错误 .

（ 1 ）审题性错误：主要是由于审题不仔细、不理解题目的意思，无法找到解题思路等导致的错误 .

（ 3 ）方法性错误：主要是由于选择的解题方法不当或运算量太大或无法求解等导致的错误 .

（ 5 ）习惯性错误：主要是指由于不良习惯造成看错、抄错（草稿纸上正确，抄到答卷上出错）、填错、书写潦草、格式不规范、理由不完整等导致的错误 .

（ 4 ）运算性错误：主要是由于粗心大意或算理不清造成运算上的错误，这是同学们出现频率较高的一种错误 .

产生错误的根源还有：立体几何论证中的“跳步”、代数论证中“以图代证” 、 解题过程中某一步缺少逻辑依据、遗漏某一极端情况造成求解不够完备、讨论中以偏概全等 . 杜绝错误可以从三个方面入手：第一，对每个知识系统分类挖掘自已在这一部分解题中的一些易忘点、易错点和易混点；第二，配备错题本，将自己在解题和考试中的错误记录下来，通过定期回顾、反思，防止再错 . 第三 , 克服自身的不良审题习惯和解题习惯，提高运算推理的正确率 .

例 在 中， ，则 的大小为 .

C3cos 4sin 1A B

ABC 3sin 4cos 6，A B

3sin 4cos 63cos 4sin 1

A BA B

错解 由 平方相加得 1sin( )2

A B

1 5sin2 6 6

或C C

正解 由 平方相加得

错解分析 审题不充分 , 条件 比较隐蔽 ,

未能发现 . 这里提示我们要注意对题目条件的挖掘 .

1cos3

A

3sin 4cos 63cos 4sin 1

A BA B

（审视条件、结论、结构、数值特点选择平方相 加的策略）

1sin( )2

A B

又 ， （验证结论）

5 .3 6 6

A C C 1 13 2

11 3cos 4sin 0 cos3

A B A

（发现隐含条件）

若 ，则 （求解），56

C 6

A B

1 5sin2 6 6

或C C

说明 范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件 .审视范围要适时利用相关量的约束范围 ,从整体上把握问题的解决方向 . 如：上例中，需要对 的范围，进行“ 2次估计” .A

例 11 ( 2009 年辽宁理 ) 若 满足 满足 则 .

令 则有 　　　 ① ②

1 ,x t 322

tt

22 2log ( 1) 5,x x

23log2

t t

1x

1 2x x

分析　 审视条件、结构特点，考虑代换：　　　　　　　　　　　

2 2 5,xx

2x

② 即为 2log2

3log 2 .2

tt

则　　

1 2 23( ) (log ) .2

f t f t

令 （联想—转化）　　　　　　　　　　　 ( ) 2 ,tf t t

1 2 2log ,t t 在 单调递增 , ( , ) ( ) f t

1 2 1 271 1 .2

x x t t

审视数值发现： 是方程①和③的根 , 1 2,t t

因此 11 2 1

32 ,2

tt t t

本题考查了函数与方程的思想、集合与对应的思想 . 　　　　　　　　　　

结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系 . 审视结构要对结构进行分析、加工和转化 , 以实现解题突破 . 如例 10审视结构特征：联想到平方的策略。又如：例 12 中的结构引发换元思想 . 又如：例 11 中 暗示了解题方向 .

32

策略九 正难则反，激活数学的逆向思维

“正难则反”是一个重要的解题策略，顺向推有困难时就逆向推，直接证有困难时就间接证，从左边推右边有困难时就从右边推左边。主要办法有两个：

其一，用分析法，执果索因。其二，用反证法，从否定结论入手，找矛盾。

（ 1 ）已知 a， b 为实数，并且 e < a < b ，其中 e 是自然对数的底，证明（ 2 ）如果正实数 a， b 满足 且 a < 1 ，证明：a = b.

证明：（ 1 ）考虑函数 因为 所以函数 内是减函数，对 e < a < b ，有 所以

;b aa b

ln (0 ),xy x

x

,b aa b

x e 时,

2

1 ln 0,xy

x

ln ( , )xy e

x 在

ln ln ,a ba b

.b aa b

（ 2 ）假设 a=b 不成立，由 0 < a < 1 知指数函数 为减函数，有 ① 又有幂函数 ② ①+ ②并代入 得这一矛盾说明，只有 a=b.

( ) xf x a

( ) ( 0) (0, )ag x x a 在 内为增函数,有

0.b aa aa b

0.

b aa aa b

b aa b 0 0,

b a a a b aa a a b a ba b a b a b

策略十 关注新情境、新题型，激活数学思维的创新意识

注重应用意识和创新意识的考查对应用意识的考查体现了数学的价值，就其在

一些省拥有命题自主权，创造出了一些好的应用问题，它们贴近现实生活实际，强调运用数学思想分析和解决问题的过程，强调数学阅读理解，逐步改变应用问题以“生硬”概率试题为主的倾向，前一段，高考的应用题都变成了概率题．而且有的概率题过于生编硬造，不是考查随机现象．依托概率是可以设计一些很好的应用问题，也有一些很好的概率高考题．例如，

(2010 年浙江卷理 19) ( 本题满分 14分 ) 如图．一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落 A或B或C 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的． 某商家按上述投球方式

进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C ．则分别设为 l ，2， 3 等奖．

ON

P

Q

(I)已知获得 1， 2， 3 等奖的折扣率分别为 50％． 70％． 90％．记随机变量 ξ 为获得 (k=1， 2， 3) 等奖的折扣率．求随变量 ξ 的分布列及期望 Eξ

；( )Ⅱ 若有 3人次 (投入 1球为 1人次 )

参加促销活动．记随机变量 η 为获得 1

等奖或 2 等奖的人次．求 P(η=2)．

ON

P

Q

(2010 年江西卷理 18) ( 本小题满分 12分 )

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机 ( 即等可能 ) 为你打开一个通道．若是 1号通道，则需要 1小时走出迷宫；若是 2号、 3号通道，则分别需要2小时、 3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．

(1)求的分布列； (2)求的数学期望．

2010 年继续出现的一批非概率背景的应用题，都是精心设计的应用问题．应用题的背景十分丰富，如航海问题、解析几何的应用、简单的线性规划、三角测量、函数和导数等……

(2010 年高考福建卷理科 19)( 本小题满分 13分 )

某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西 30 且与该港口相距 20海里的A 处，并以 30海里 /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以 v海里 /小时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30海里 /小时，试设计航行方案 ( 即确定航行方向与航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

故当 时， 此时

即 小艇以 海里 /小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

2900 400 2 30 20 cos(90 30 )S t t

2900 600 400t t

21900( ) 3003

t

13

t min 10 3,S

10 3 30 3,13

v 30 3

(2010 年高考湖南卷理科 19)( 本小题满 分 13分 )

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km的

A， B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过 A， B

两点的直线为 x轴，线段 AB 的垂直 平分线为 y轴建立平面直角坐标系 (图 6)．在直线 x=2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过 km 的区域；

在直线 x=2 的左侧，考察范围为到 A， B 两点的距离之和不超过 km 的区域．

6 55

4 5

(2010 年高考湖南卷理科 19)

( )Ⅰ 求考察区域边界曲线的方程；( )Ⅱ 如图 6 所示，设线段 P1P2， P2P3 是冰川的部分边界

线 ( 不考虑其他边界 ) ，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的 2倍，求冰川边

界线移动到考察区域所需的最短时间．

(2010 年高考广东卷理科 19)( 本小题满分 12分 )

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C

；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养 中至少含 64

个单位的碳水化合物， 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5元和 4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

设该儿童分别预订 x， y 个单位的午餐和晚餐，共花费 z

元，则 z=2.5x+4y．可行域为12 8 64, 3 2 16,6 6 42, 7,6 10 54, 3 5 27,

0, , 0, ,0, . 0, .

x y x yx y x yx y x y

x x N x x Ny y N y y N

经试验发现，当直线过 B(4， 3) 点时， z=2.5x+4y 最小，即花费最少，为2.54+43=22元．

(2010 年高考江苏卷理科 17) (14分 )某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H( 单位 m) ，如示意图，垂直放置的标杆BC 高度 h=4m ，仰角∠ ABE= ，∠ ADE=

(1)该小组已经测得一 组、的值， tan=1.24， tan=1.20 ，请据此算出 H 的值．

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 d

( 单位 m) ，使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125m ，问 d 为多

少时， 最大 .

(2010 年高考陕西卷理科 17)． ( 本小题满分 12分 )

如图， A， B 是海面上位于东西方向相距 海 里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°， B 点北偏

西 60° 且与 B 点相距 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为

30海里 /小时，该救援船达到 D

点需要多长时间？

5 3 3

20 3

(2010 年高考数学湖北卷理科 17)( 本小题满分 12分 )

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C( 单位：万元 ) 与隔热层厚度 x( 单位： cm)满足关系： 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元．设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．

( )Ⅰ 求 k 的值及 f(x) 的表达式；( )Ⅱ 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．

0 10 .3 5

kC x x

x

(2010 年高考江西卷理科 12)．如图，一个正五角星薄片 ( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面

部分的图形面积为 S(t)S(0)=0 ，则导函数 y=S (t) 的图像大致为 (A)

灵活的进行知识组合 , 形成了具有新意的一批试题各块知识结合得非常巧妙，考生需要分

析信息，懂得组合分析，找到科学合理的切入口，所谓的套路行不通，用惯套路的会惨败．许多死读书的考生不适应．

(2010 年福建文科 20 ） ( 本小题满分 12分 )如图，在长方体 ABCD – A1B1C1D1 中， E， H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点 (点 E与 B1 不重合 ) ，且 EH//A1

D1 ．过 EH 的平面与棱 BB1， CC1 相交，交点分别为F， G ．(I) 证明： AD// 平面 EFGH ；(II)设 AB=2AA1=2a ．在长方体ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH 内的概率为 p ．当点 E， F 分别在棱 A1B1 ， B1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值．

G

H

B1A1

C1

B

D C

A

D1

E

F

(2010 年上海理 22)． ( 本题满分 18分 )

若实数 x、 y、m 满足 |xm|﹥|ym|, 则称 x比 y远离m.

(1) 若 x21比 1远离 0,求 x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数 a、 b ，证明： a3b3比

a2bab2远离(3) 已知函数 f(x) 的定义域 任取 xD， f(x) 等于 sinx和 cosx 中远离 0 的那个值．

写出函数 f(x) 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）

, .2 4

kD x x k Z x R

，

;2ab ab

3sin , ,4 4

cos , .4 4

x x k kf x

x x k k

，

，(3)

审题是解题的基础 , 是正确、迅速解题的前提 . 为避免审题不清带来的错误，我建议同学们要养成良好的审题习惯，审题时要审视“六大环节”： ① 审视条件；② 审视结论；③审视结构； ④ 审视数值；⑤审视背景； ⑥审视范围

5 、优化解题程序，强化解题实践 在平时的解题实践中，我们要遵循以下五步的解题程序：审题—思考—求解—检验—反思。（ 1 ）审题：

（ 2 ）思考思考： 可以按如下流程进行：观察 —— 联想 —— 转化 观察：可带着以下问题进行观察 .

①要求解 (证 ) 的问题是什么？它是哪种类型的问题 .②已知条件（已知数据、图形、事项、及其与结论部分的联系方式）是什么？要求的结论）（未知事项）是什么？

③所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何的、函数的或方程的）或数学表达式（对文字题）将问题表示出来？能否在图上加上适当的辅助线？④有什么隐含条件？联想：可以从以下几个角度展开联想 .

①数形结合联想； ②结构外形联想； ③类比联想； ④转化联想；⑤经验联想 .

转化：可以从以下几个方面考虑转化 .

②能否对条件进行划分，将复杂问题化为几个简单问题？③能否将问题化归为基本命题？④能否通过变换将问题的形式变得较为简明？

①能否将题中复杂的式子化简？

⑤能否形──数互化？

⑦能否逆向思维将未知转化为已知？⑥能否利用等价转换或其他方法，将 问题转化为一个较为熟悉的等价命题？

（ 3 ）求解：求解要注意以下两点 .①推理严密 , 运算准确 , 不跳步骤；②要有规范的表达 , 完整的步骤；（ 4 ）检验：在可能的情况下 , 对没有把握的解 题过程要进行适当检查和验证 . （ 5 ）反思 : 对完成的解题过程进行回顾 ,审视 其是否合理，有没有更好的方案或更好的解 法 .

预祝同学们高考成功！