1

第 4 章 振动§4.1 简谐振动及其描述§4.2 简谐振动的动力学方程§4.3 简谐振动的能量§4.4 简谐振动的合成§4.5 阻尼振动 受迫振动 共振

作业：练习册选择题： 1-10填空题： 1-10计算题： 1-6

2

因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流、交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描述却与机械振动类似。因此，机械振动的研究也为光学、电学、交流电工学、无线电技术等打下了一定的基础。 任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直线振动的叠加。

学习机械振动的意义

3

阅读材料 :频谱分析利用付里叶分解可将任意振动分解成若干简谐振动 (S.H.V.) simple harmonic vibration 的叠加 ( 合成的逆运算）。

对周期性振动： T — 周期

)] cos([2

)(1

0kk

k

tkAa

tx

T

π2=

k = 1 基频（）

k = 2 二次谐频（ 2 ）

k = 3 三次谐频（ 3 ）

决定音调

决定音色

高次谐频

4

物理上：一般振动是多个简谐振动的合成数学上： 付氏级数 付氏积分也可以说简谐振动（ S.H.V. ）是振动的基本模型或说 振动的理论建立在简谐振动（ S.H.V. ）的基础上。

)] cos([2

)(1

0kk

k

tkAa

tx

§4.1 简谐振动及其描述 简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移 (或角位移 )按余弦 (或正弦 )规律随时间变化。

)cos( 0 tAx

速度 )sin(d

d0 tA

t

xv

加速度 )cos(d

d0

22

2

tAt

xa

5

2. 简谐振动的特征量（振幅、周期、频率和相位）振幅 A

周期 T 和频率

相位 (1) ( t +0 ) 是 t 时刻的相位，

(2) 0 是 t =0 时刻的相位 — 初相。

相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异 ,设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：

相位差 10201020 )()( tt

)cos( 1011 tAx )cos( 2022 tAx

）（T

1

6

x = A cos( t + 0)

优点：⑴初位相直观明确。⑵比较两个简谐振动的位相差直观明确。

3. 简谐振动的矢量图示法

1212 )()( tt

t = 00

o x

A

x· t+0

t = tA

2A

2

1A

1x0

o x

2A

1A

3A

)12( k(A1 、 A3) 两个振动为反相 .

(A1 、 A2) 两个振动为同相； k2

7

例 : 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A=0.12m ，周期 T=2s 。当 t=0 时 ,物体的位移 x=0.06m, 且向 x 轴正向运动。求 :(1) 简谐振动表达式 ;(2) t =T/4 时物体的位置、速度和加速度 ;(3) 物体从 x = -0.06m 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解 : (1) 取平衡位置为坐标原点 ,谐振动表达式写为：

)cos( 0 tAx其中 A=0.12m, T=2s, T 2初始条件： t = 0, x0=0.06m, 可得

,0sin 00 Av

06.0cos12.0 0 30

30 )3cos(12.0 tx

(2) 由 (1) 求得的简谐振动表达式得 :

)3sin(12.0d

d tt

xv )3cos(12.0

d

d 2 tt

av

在 t =T/4=0.5s 时，代入所列的表达式可求 !

8

例 : 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A=0.12m ，周期 T=2s 。当 t=0 时 ,物体的位移 x=0.06m, 且向 x 轴正向运动。求 :(1) 简谐振动表达式 ;(2) t =T/4 时物体的位置、速度和加速度 ;(3) 物体从 x = -0.06m 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解 :(3) 当 x = -0.06m 且向 x 轴负方向运动时，该时刻设为 t1,

x1

3

2

0 x

设物体在 t2 时刻第一次回到平衡位置 (x=0) ，相位是 3/2

2

3

从 t1 时刻到 t2 时刻所对应的相差为：653223

振幅矢量的角速度， t =

另外， T =2

s83.06

5

2

T

t

9

§4.2 简谐振动的动力学方程

受力特点 : 线性恢复力 F = - kx

以水平弹簧振子为例

2

2

d

d

t

xmF 由 ）＝（

m

kx

t

x ,0d

d 22

2

固有频率决定于系统内在性质

位移 x 之通解可写为： )cos( 0 tAx

固有 (圆 )频率

常量 A 和 0 由初始条件确定

根据初始条件： t = 0 时， x = x0 , v = v0

) (cos 0 tAx

) (sin 0 tAv00 cosAx

0t00 sin Av

2

202

0 v

xA

0

00

tanx

v

10

(1)单摆

m

mg

几种常见的简谐振动 sinmgM 重力的切向分力：

...!5!3

sin53

sin

tmamg sin )( ta

2

2

d

dsin

tmmg

很小 ,小于 50 时，

0d

d2

2

g

t g

2　令

gT

2

所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动（角谐振动）。重力的分力（准弹性力）。

0d

d 22

2

t

通解为：)cos( 0 tm

11

(2) 复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为 C, 对过 O 点的转轴的转动惯量为 I, O 、 C 两点间的距离为 h 。

令

据转动定律 M=I，得

若 角度较小时

sin

d

d2

2

mght

I

mgh

tI 2

2

d

d

I

mgh2

0d

d 22

2

t mgh

IT

22

gm

C

Oh

12

简谐振动的能量 (以水平弹簧振子为例 )

(1) 动能

§4.3 简谐振动的能量

)(sin2

1

2

10

2222 tAmmEk v

0,2

1min

2max kk EkAE 2

4

1d

1kAtE

TE

Tt

tkk

)(sin2

10

22 tkA

)(cos2

1

2

10

222 tkAkxEP(2) 势能

情况同动能。ppp EEE ,, minmax

系系系系系系系系 2

2

1kAEEE pk

简谐振动系统机械能守恒

) (sin 0 tAv

m

k

13

谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线 :

2

2

1kAE

PE

kE

E

0 t

tAx cos

0 t

x

2

4

1kAEE pk

14

简谐振动的动力学解法1. 由分析受力出发 ( 由牛顿定律列方程 )

2. 由分析能量出发 ( 将能量守恒式对 t 求导 )

例：弹簧竖直放置时物体的振动。

m

0l

0x

x

x

o

弹簧原长

挂 m 后伸长

某时刻 m 位置

f

伸 长

受弹力

平衡位置

k解：求平衡位置

mgkx 0

k

mgx

0

以平衡位置 O 为原点

kx

kxkxmg

xxkmgF

0

0 )(

因此 , 此振动为简谐振动。

2

2

1kx

15

m

0l

0x

x

x

o

以平衡位置 O 为原点弹簧原长

挂 m 后伸长

某时刻 m 位置

f

伸 长

受弹力

平衡位置

kx

kxkxmg

xxkmgF

0

0 )(

k

重力和弹性力都是保守力，合力 F 作功将转化为势能。

2

2

1)( kxkx 功

包括重力势能和弹性势能

系统的势能

16

如果振动系统除去本身恢复力之外还有其它恒力作用。振动系统仍作简谐振动。以振动系统在恒力作用下的平衡位置为原点，则可按常规立刻写出简谐振动的微分方程或振动表达式。

在本例中

0d

d2

2

xm

k

t

x

)cos( tAx

m

0l

0x

x

x

o

弹簧原长

挂 m 后伸长

某时刻 m 位置

f

伸 长

受弹力

平衡位置

k

17

例 : 一质量为 m 的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静止滑下，滑行 远后与质量为 M 的物体发生完全非弹性碰撞。 M 与倔强系数为 k 的弹簧相连，碰前M 静止于斜面。求：运动方程。

m M

k

解 1 ：取 m 与 M 碰撞连在一起后的平衡位置为坐标原点。

设此时弹簧在 m 与 M 的压缩下退了 x0

。x0

原长

M m

x0

坐标系如图

0

x

0sin)( xkgMm

)(sin)(

/dd)(

0

22

xxkgMm

txMm

kxt

xMm 2

2

d

d)(

以振动系统在恒力作用下的平衡位置为原点，则可按常规立刻写出简谐振动的微分方程或振动表达式。

18

例：一质量为 m 的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静止滑下，滑行 后远后与质量为 M 的物体发生完全非弹性碰撞。 M与倔强系数为 k 的弹簧相连，碰前M静止于斜面。求：运动方程。

kxt

xMm 2

2

d

d)(

Mm

k

以碰撞时作为记时起点

动量守恒 sin20 gMm

m

v

初位置 sin0 gk

mx

00

20

20

/

/

xtg

xA

v

v

)cos( tAx

A 和 0 由初始条件确定

19

CkxMm 22

2

1)(

2

1v

0d

d)( kx

tMm

v

0d

d)( 2

2

kxt

xMm

解 2 : 取平衡位置（ x = 0 ）为系统势能的零点。系系系系系系系系系

简谐振动的动力学解法

2. 由分析能量出发

( 将能量守恒式对 t 求导 )

Mm

k

20

势能讨论取平衡位置（ x = 0 ）为系统势能的零点。

)1(2

1)(

2

1

2

1 220

20 　kAMmkx v

机械能守恒 （初始最大位移）

另，设弹簧自然长度（未形变）时弹性势能为零，重力势能的零点取在 x = 0 处。

sin)()(2

1)(

2

10

20

200 gxMmMmxxk v

)2(sin)()(2

1 20 　 　 　 　 　 　 　gAMmAxk

(2) (1) 0sin)( xkgMm

21

势能讨论取平衡位置（ x = 0 ）为系统势能的零点。

)1(2

1)(

2

1

2

1 220

20 　kAMmkx v

机械能守恒

20

20

2 )(2

1

2

1

2

1vMmkxkA

20

20

2 vk

MmxA

Mm

k

2

202

0 v

xA

由初始条件决定 A 也是机械能守恒定律的必然结果。

22

任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？

讨论

变大 变小

参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。若振子的质量为 M ，弹簧的质量为 m ，弹簧的劲度系数为 k ，可以计算出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为

k

mMT

3/2

23

系系系系系 0 系系系系系系系系系系系系 x 系系系速度为 v .设此时弹簧的长度为 L,

,d

dv

L

l

t

x

L

l速度为：

弹簧、物体的动能分别为：2

0

2

1 6

1)d(

2

1vv m

L

ll

L

mE

Lk

22 2

1vMEk

前提 : 弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律

弹簧元 dl 的质量 lL

mm dd

位移为 xL

l

x

x

M

0

vdll

例：劲度系数为 k 、质量为 m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为 M 的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。 ( m < M )

系系系系系系为 22kxEP

系系系系系系系系系

系系 222

2

1

6

1

2

1kxmM vv

系系 22

2

1)

3(

2

1kx

mM v

系系系系系系系系系系系系系系

0d

d)

3( kx

t

mM

v

03d

d2

2

xmM

k

t

x

2

系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系系

kmMT )3(22

24

§4.4 简谐振动的合成1. 同方向同频率的两个简谐振动的合成分振动 ：

x1=A1cos(t+10)

x2=A2cos(t+20)合振动 :

x = x1+ x2=A cos(t+0 )

合振动是简谐振动 , 其频率仍为

)cos(2 10202122

21 AAAAA

202101

2021010 coscos

sinsintg

AA

AA

两个同方向同频率简谐振动的合成仍是简谐振动。合振动的频率与分振动的频率相同。

25

两种特殊情况 (1)若两分振动同相 20 10 =2k ( k = 0,1,2,… )

(2)若两分振动反相 20 10 =(2k+1) ( k = 0,1,2,… )

如 A1=A2 , 则 A=0

则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强

则 A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱

)cos(2 10202122

21 AAAAA

两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种现象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义

26

N 个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为 0, , 2, ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可写成

采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， N 个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：

tax cos1 )cos(2 tax

)2cos(3 tax

])1(cos[ NtaxN

2. 多个同方向同频率简谐振动的合成

合振动的频率与分振动的频率相同。 合振动的振幅和初相是分析的关键 !

27

NOCM

tax cos1 )cos(2 tax

)2cos(3 tax

])1(cos[ NtaxN

O x1a

2a 3a

4a

5a

C

A

M

因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 , 上图中各个矢量 的起点和终点都在以C 为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得

）、、、 ......( 4321 aaaa

.21

它们的夹角显然等于

，交于的垂直平分线，两者相和作 Caa

28

NOCM 在三角形 OCM 中 ,OM 的长度就是合振动的振幅 A, 角度 MOX就是合振动的初相，据此得

2sin2

NA OC

考虑到2

sin2

OCa

2sin

2sin

NaA

COMCOXMOX

2

1)(

2

1)(

2

1

NN

O X1a

2a 3a

4a

5a

C

A

M

2

1cos

2sin

2sin N

t

Na

x

29

3. 同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍两个简谐振动的频率 1 和 2很接近，且 12

)cos(),cos( 02220111 tAxtAx

两个简谐振动合成得：)

2cos()

2cos(2 0

121221

ttAxxx

合振动可视为角频率为

随时间变化很慢可看作合振动的振幅

随时间变化较快可看作作谐振动的部分

,2

12 )

2cos(2 12 tA

振幅为 的简谐振动。

由于振幅总是正值，而余弦函数的绝对值以 为周期，因而振幅变化的周期 可由 决定，

2

12

振幅变化的频率即拍频 1212

2

1

30

同一直线上，不同频率简谐振动合成 拍旋转矢量——几何法分析

) cos( 2222 tAx) cos( 1111 tAx

重合： 21 AAA 21 AAA 反向： 12

o x

1A1

2A2

A,

拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|

5

6

1

单位时间内 A2 比 A1 多转 2 - 1圈，也就是合振动时加强时减弱（频率为 2 - 1 ）的拍现象。

31

两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式

消时间参数，得

)cos( 101 tAx

)(sin)cos(2 10202

102021

22

2

21

2

A

y

A

x

A

y

A

x

)cos( 202 tAy

合运动一般是在 2A1 ( x 向 ) 、 2A2 ( y 向 )范围内的一个椭圆。 椭圆的性质 ( 方位、长短轴、左右旋 ) 在 A1 、

A2 确定之后 ,主要决定于 =20 - 10 。

4. 相互垂直的简谐振动的合成

32

几种特殊情况 1020

0 2 43

45 23 47

4

33

方向垂直的不同频率的简谐振动的合成两分振动频率相差很小

可看作两频率相等而随 t 缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化

轨迹称为李萨如图形

两振动的频率成整数比

t)( 12

0,4

2:3:

1020

yx

34

无阻尼自由振动 物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无阻尼自由振动。阻尼振动 物体在弹性力（或准弹性力）和阻力作用下产生的运动称阻尼振动。

§4.5 阻尼振动 受迫振动 共振

阻尼振动的种类： 在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种： 一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力，使振动系统的能量逐渐变为热运动的能量而造成能量损失。这称摩擦阻尼。

另一种是由于振动物体引起邻近质点振动，使振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量，而造成系统能量损失。这称辐射阻尼。

35

阻尼振动

t

xfr d

d v

弹性力和上述阻力作用下的微分方程：

在流体 (液体、气体 )中运动的物体，当物体速度较小时，阻力 速度， ：阻力系数。

t

xkx

t

xm

d

d

d

d2

2

m

2;20 m

k令：

称 0 为振动系统的固有角频率，称 为阻尼因子

0d

d2

d

d 202

2

xt

x

t

x

36

(1) 2 02 阻尼较小时，此方程的解：

220 )cos()( 0 tAetx t

这种情况称为欠阻尼

0d

d2

d

d 202

2

xt

x

t

x

由初始条件决定 A 和初相位 0, 设

00

0 d

d,)0(,0 v

tt

xxxt 即有：

000

00

cossin

cos

AA

Ax

v

,)(

2

2002

0 x

xA

v

0

000 x

xtg

v

37

欠阻尼下1.振幅特点振幅： A(t) = Ae- t

)cos()( 0 tAetx t

振幅随 t 衰减。 2. 周期特点严格讲，阻尼振动不是周期性振动 ( 更不是简谐振动 )，因为位移 x(t)不是 t 的周期函数。

但阻尼振动有某种重复性。

20

2 )2(

阻尼较大时，方程的解：

tt eetx CC)(

2)(

1

20

220

2

)(

其中 C1,C2 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。

无振动发生

38

tetCCtx )()( 21

(3) 如果 2= 02 方程的解：

无振动发生

C1,C2 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为临界阻尼。 2 = 0

2(临界阻尼 ) 情形下:阻尼振动微分方程的解将是非振动性的运动。运动物体连一次振动也不能完成，能量即已耗光，物体慢慢移向平衡位置。和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。 应用：电表阻尼、天平阻尼

39

物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动。

物体所受驱动力： tFF cos0

运动方程： tFt

xkx

t

xm cos

d

d

d

d02

2

设 mk20 m2

tm

Fx

t

x

t

x cosd

d2

d

d 0202

2

受迫振动 共振 1. 受迫振动

40

对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为 :

)cos()'cos(e 0022

00 tAtAx

t

经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。)cos( 0 tAx

222220

0

4)(

m

FA

220

0

2tg

衰减项 稳态项

稳态时振动物体速度：

)2cos(d

d0 t

t

xmvv

222220

0

4)(

m

Fmv

在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。

41

对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。

A

O 0

阻尼 =0

阻尼较小

阻尼较大0

d

d

A根据

2. 共振22222

0

0

4)(

m

FA

220 2 共振

42

受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。

0d

d

mv根据

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。

mv

O 0

阻尼 =0

阻尼较小

阻尼较大

222220

0

4)(

m

Fmv

0 共振

43

共振现象的应用：钢琴、小提琴等乐器利用共振来调音；收音机利用电磁共振进行选台；核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。

危害：(1) 1904 年，一队俄国士兵以整齐的步法通过彼得堡的一座桥时，由于产生共振而使桥倒塌；(2) 1940年，美国华盛顿州的塔科麦桥，因大风引起的振荡作用同桥的固有频率相近，产生共振而导致毁坏；(3) 汽车行驶时，若发动机的频率接近于车身的固有频率，车身也会车身强烈的振动而受到损坏。

防止共振：(1)改变系统的固有频率或外力的频率；(2)破坏外力的周期性；(3)增大系统的阻尼；对精密仪器使用减振台。

Shock absorber