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大学物理:力学

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 1

第四章振动和波动

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 2

基础理论质点

运动学

动力学

位置矢量、速度、加速度、坐标系

牛顿三定律

功和能

动量、角动量

质点系守恒定律

典型问题刚体流体

振动波动

特殊质点系

普遍运动形式

课本第1-2章

课本第3-4章


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 3

振动：系统在平衡位置附近作来回往复的运动

例：机械振动：琴弦、锣鼓、机械钟表的摆轮。

波动：振动在空间中的传播

电流电压振动：如交流电的电流和电压围绕着一定的数值（0）往复变化。

机械波(或弹性波)：机械振动在弹性介质内的传播过程

依靠弹性介质内部的弹性力的作用，振动从从振源逐渐向外的传播.

弹性介质：撤消外力后，物体的形变能够完全消失

例：水面波、声波、…


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 4

电磁波: 电磁场振动在真空中或介质内部的传播过程

变化的磁场周围会激发变化的电场, 变化的电场又在周围激发变化的磁场一处的电磁扰动可向四周传播

物质波: 微观粒子“波粒二相性”

机械波、电磁波和物质波在传播性质上有许多的差异，但在传播规律上又有许多相似之处.

本章内容：

机械振动和机械波的运动规律

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 5


§4-1 简谐振动§4-2 简谐振动的合成§4-3 阻尼振动、受迫振动和共振§4-4 波动的基本概念§4-5 简谐波§4-6 波的干涉§4-7 多普勒效应*

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 6


§4-1.1 简谐振动的基本特点§4-1.2 描述简谐振动的特征量§4-1.3 简谐振动的矢量图解法§4-1.4 简谐振动的能量*

§4-1 简谐振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 7

振动系统的基本构成:

k

x

m

F = -kxa

具有质量的物体: 惯性,阻止系统停留在平衡位置

回复力: 使物体返回到平衡位置

例: 弹簧-物体系统

§4-1.1 简谐振动的基本特点

振动：系统在平衡位置附近作来回往复的运动


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 8

质点所受的力(或沿运动方向所受的力)为零

质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动

平衡位置：

简谐振动(simple harmonic oscillation)：

方向: 指向平衡位置;

大小: 与质点相对平衡位置的位移成正比： f = -x

:常数，x: 位移（线位移，角位移）

线性回复力：

最简单、最基本的振动，任何复杂的

振动都可分解成许多的简谐振动


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 9

2 2

2 20

d x d xm x x

dt dt m

22

20

d xx

dt

质量为m的质点受到线性回复力的作用

x：质点离开平衡位置的线位移或角位移

简谐振动的动力学方程的一般形式：

微分方程

：常数，决定于振动系统（质点+施力物体）本身的性质

m

定义：


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 10

劲度系数为k的弹簧，一端固定，一端与质量为m的质点相连。

振动系统：

线性回复力：Fs = -kx

平衡位置：弹簧自然伸长处(坐标原点)

2 2

2 20

d x d x km kx x

dt dt m

x：质点m离开平衡位置的位移

2 k

m 只依赖于k和m 振

动系统本身的性质。

例：弹簧振子


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 11

简谐振动的动力学方程：

d xx

dt

22

2

猜想：

一个时间函数的二阶导数正比于该函数的负值

其中A和是待定常数，由运动条件决定

正弦函数，余弦函数或两者的线性组合

cos( )x A t

物体的加速度： a x 2


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 12

1、动力学特征：受线性回复力作用 f kx－

2、运动学特征：加速度2a x

3、运动学特征：位移 cos( )x A t

进行受力分析，如果物体所受的合外力满足线性

回复力的关系，则物体作简谐振动。

简谐运动的特点总结：

如何证明一个物体是否作简谐振动？

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 13


§4-1.1 简谐振动的基本特点§4-1.2 描述简谐振动的特征量§4-1.3 简谐振动的矢量图解法§4-1.4 简谐振动的能量*

§4-1 简谐振动

§4-1.2 描述简谐振动的特征量

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 14

相位

物体的位移

振幅圆频率初相位

由振动初始条件决定

由系统的性质决定

x = A cos ( t + )

简谐振动的运动方程:

t

x

简谐振动曲线：


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 15

T = 2 /

一、周期、频率和圆频率

1. 周期T：

物体在平衡位置附近完成一次来回往复的振动所需的时间（或：两相同振动状态之间最短的时间）

cos函数的周期2, tt+T

cos函数的变量增加一个周期

(t + T) + = t + + 2

单位:秒

t

xT


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 16

2. 频率:

单位时间内振动的次数，单位“赫兹”( Hz)

3. 圆频率:

：固有频率，由振动系统本身的性质决定:

1) 系统的惯性: 质量，转动惯量使质点到达平衡位置后继续运动

2) 线性回复力的特征：劲度系数使质点回到平衡位置

T

1

2

一、周期、频率和圆频率


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 17

二、振幅A(Amplitude)

振幅A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值

x

A

A t

三、相位和初相位

相位: (Phase) = t +

当振幅一定时，相位决定了在任意时刻间谐振动的运动状态

初相位：

t = 0时的相位，即0 =

| cos( t + ) | ≤ 1 |x| ≤ A


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 18

四、振幅和初相位的确定

振幅A和初相位振动系统的初始运动状态确定

利用初始条件：t = 0时，x = x0 , vx= v0x

s sinco xx A A 0 00 v

cos( ) sin( )x xx A t A t v

2

xA x 2

2 00

v

cos sin xx

A A

0 0v

xtgx

0

0

v


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 19

四、振幅和初相位的确定

2

xA x 2

2 00

v xtgx

0

0

v

(1) 一般来说的取值在-π和π(或0和2π)之间；(2) 在应用上面的式子求时，一般来说有两个值，

还要由初始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：先求出A, 然后根据x0=Acos和

v0=-Aωsin取值情况求

说明：

§4-1.3 简谐振动的矢量图解法

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 20

解设物体沿x 轴作简谐振动

A = 10.0 cm = 0.100 m

1 -132.0rad s 8.00 rad s

0.500

k

m

当t = 0 时，x = A ，cos = 1 ，即 = 0

x = 0.100 cos[ 8.00(rad·s-1) t ] m

k= 32.0 Nm-1

x

m=500g

10cm

例4-1 弹簧振子：求振动的位移、速度和加速度与时间的关系

cos( )x A t


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 21

vm = A = 8.00×0.100 m s1 = 0.800 ms1

am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m s2 = 6.40 ms2

v = 0.800sin [ 8.00(rad·s-1) t ] ms1

a = 6.40 cos [ 8.00(rad·s-1) t ] ms2

2

cos( )

sin( )

cos( )

x A t

dxA t

dt

da A t

dt

v

v

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 22


§4-1.1 简谐振动的动力学方程§4-1.2 描述简谐振动的特征量§4-1.3 简谐振动的矢量图解法§4-1.4 简谐振动的能量*

§4-1 简谐振动


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 23

A的矢端以角速度绕O点作匀速圆周运动

简谐振动可用长度为A的旋转矢量在x轴上的投影来描述

A的大小==简谐振动的振幅 A

(保持不变)

A的起点位于x轴的原点，并以角速度逆时针转动

t=0时，A与x轴的夹角为

t时刻，A与x轴的夹角为 t+

矢量A在x轴上的投影: cos( )x A t

O

x

ω t +

A

动画演示

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 24


§4-2 简谐振动的合成


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 25

合成振动一般是很复杂的，本节只讨论几种特殊的情况。

在实际问题中，常常遇到一个质点同时参与几个振动的情况:

例：两个声波同时传到某一点时，该点处的空气质点就将同时参与两个振动，质点的运动实际上就是两个振动的合成。

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 26


§4-2.1 同方向、同频率的简谐振动的合成§4-2.2 同方向、不同频率简谐振动的合成*§4-2.3 相互垂直、相同频率简谐振动的合成*§4-2.4 相互垂直、不同频率简谐振动的合成*


§4-2.1 同方向、同频率的简谐振动的合成

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 27

cos( )A A A A A 2 2

1 2 1 2 2 12

sin sin

cos cos

A Atg

A A

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1

2 2 2

cos

cos

x A t

x A t

合振动

1 2

cos( )

x x x

A t

质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动

合成振动仍为简谐振动，频率与分振动频率相同

y

xcosA 1 1 cosA 2 2

sinA 1 1

sinA 2 2

1

2 1A

2A

A

动画演示

..\flash\ͬһֱ��ͬƵ�ʼ�A


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 28

相位差对合振动振幅的影响: (A与2- 1的关系)

相位差: = 2- 1

(1) = 2n n = 0,1,2,….两分振动的相位相同

1 2A A A

2AA

1A

cos( )A A A A A 2 2

1 2 1 2 2 12

x1

x2

x x x 1 2

t

x


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 29

(2) =(2n+1) n=0,1,2,…两分振动的相位相反

1 2A A A

t

x

x1

x

x2

相位差对合振动振幅的影响: (A与2- 1的关系)

相位差: = 2- 1cos( )A A A A A 2 2

1 2 1 2 2 12

2A

A

1A

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 30


§4-3.1 阻尼振动§4-3.1 受迫振动§4-3.1 共振

§4-3 阻尼振动、受迫振动和共振

§4-3.1 阻尼振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 31

•振动系统受力：线性回复力 + 阻力的作用;

•振动系统的振幅随时间逐渐减小，最终停止。

振动系统能量减少的途径：

•转化为其它形式的能量：如单摆受空气阻力，振动能转化为热能。

•以波的形式向周围的弹性介质辐射：例：簧片，空气阻力+声波。

阻尼振动：

§4-3.1 阻尼振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 32

d x dx d x k dxm kx x

dt dt dt m m dt

2 2

2 2

dxdt

f kx f v 阻

k

m m

2

0 2 d x dxx

dt dt

22

022 0

固有圆频率

阻尼系数(单位：1/秒)

阻尼振动的微分方程

取ox坐标系，原点位于平衡位置，质点受力

动力学方程:

令：

如果=0简谐振动，圆频率为0.

§4-3.1 阻尼振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 33

根据的取值，可得到阻尼振动的三种可能的运动状态:

当阻力很小时，以致 < 0

准周期性运动

cos( )tx Ae t

2 2

0

t

欠阻尼

)(tx

A和为待定常数。

1、欠阻尼状态：

动画演示

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§4-3.1 阻尼振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 34

如果阻力很大，以致 >0

t

过阻尼

)(tx位移x是时间的单调函数，

质点的运动无周期性，无往复

将质点移开平衡位置后，质点将慢慢回到平衡位置停下来。


2、过阻尼状态：

动画演示

..\flash\��

§4-3.1 阻尼振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 35

介于欠阻尼和过阻尼之间，且 =0

t

临界阻尼

)(tx

由于阻力小于过阻尼状态，

故将质点移开平衡位置后释放，质点将很快回到平衡位置停止。

位移x是时间的单调函数，

质点的运动无周期性，无往复


3、临界阻尼状态：

动画演示

..\flash\�ٽ��

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 36


§4-3.1 阻尼振动§4-3.1 受迫振动§4-3.1 共振


§4-3.1 受迫振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 37

受迫振动：

外力：(驱动力）

m

k

0l x

F(t)

振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动.

( ) cosF t F t 0

x

ω

§4-3.1 受迫振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 38

, ,k F

hm m m

2 0

0 2

cosd x dx

m kx F tdt dt

2

02

cosd x dx

x h tdt dt

2

2

022

, , cosdxdt

kx v F t 0

弹性力阻尼力外力

令：

设质点受力:

§4-3.1 受迫振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 39

动力学方程的通解为：

阻尼振动周期振动, 频率与外力相同

A0、是待定常数，A和不是由初始条件确定.

例：t0=5/秒时，振幅为原振幅的0.7%

阻尼振动部分:

在短时间内振幅衰减为0 （暂态，与周期性外力无关）

当分析t > t0的运动时，可不考虑阻尼振动部分

cos( ) cos( )tx A e t A t 0

§4-3.1 受迫振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 40

周期振动：

当t > t0时阻尼振动消失，此时

稳定振动状态(steady state)

稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动

0

-Uf

0

Uf

t

u(t)

Steady-state Transient + steady-state

cos( )x A t

2

2 2 2 2

0

2 2

0

2

4

t

A

g

h

动画演示

..\flash\09.17 forced oscillation.exe

§4-3.1 受迫振动

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 41

cos( )co ( )s s n() ix A tdx

A tdt

d xA t

dt 0

22

00 2

( )cos sin cos

( )sin cos sin

A A h t

A A t

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

2

2 0

( )cos sin

( )sin cos

A h

A

2 2

0 0

2 2

0 0

2

2 0

2

2 2 2 2

0

2 2

04

2tg

hA

A和的确定：

代入到动力学方程得到恒等式：

要求该式在任意时刻t(t>t0)都成立，必须使cost和sint的系数都为0。

cosd x dx

x h tdt dt

2

2

022

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 42


§4-3.1 阻尼振动§4-3.1 受迫振动§4-3.1 共振


§4-3.1 共振

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 43

稳定振动的振幅:

当h为常数时，A随变化

当驱动力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值

位移共振(共振)。

A

ω0O

ωr

2 2

0 2r 共振条件:

共振振幅: 2 2

02r

hA

2

2 2 2 2

0 4

hA

0

小大

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 44


§4-4 关于波动的基本概念


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 45

一、波的产生和传播

乐器振动时，在空气中形成声波

小球点击水面，会形成水波

弹性介质中一个质点的振动会引起邻近质点的振动，而邻近质点的振动又会引起较远质点的振动振动就以一定的速度

在介质中由近及远地传播出去，形成波动。

手拉绳子一端并上下抖动形成绳波


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 46

产生机械波的条件:波源：产生机械振动的振源；弹性介质：传播机械振动。

弹性介质：由弹性力组合的连续介质。

介质可以看成是大量质元的集合，每个质元具有一定的质量，各质元间存在着弹性力相互作用。质元间的弹性相互作用使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。



2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 47

波动（或称行波）是波源的振动状态或波动能量在介质中的传播;

介质中的质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近往复运动。

需要注意的问题:



2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 48

根据介质质点的振动方向与波动的传播方向的关系，可将波分为横波和纵波

1、横波

质点的振动方向与波的传播方向垂直。

波峰: 波形凸起部分波谷: 波形凹下部分

u

●

a

●b

波的传播方向向右

x

y

o

质点振动方向向上

a

横波

x

u

二、横波和纵波

动画演示

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 49

纵波的传播表现

为疏密状态沿波传播方向移动


2、纵波

质点的振动方向与波的传播方向平行。

x

u

纵波

波的传播方向向右

质点振动方向水平

动画演示

..\flash\�ݲ��Ĳ��


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 50

横波使弹性体产生剪切应变剪切弹性力


机械波在弹性体内传播时：

纵波使弹性体产生拉伸和压缩应变体变弹性力

• 固体：具有剪切应变和体应变可传播横波和纵波

• 流体(液体和气体)：只具有体应变只能传播纵波


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 51

波线（或波射线）：从波源沿各传播方向所画的带箭头的线

波面（或相面、波阵面）：波

在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面。

三、波线和波面

为形象地描述波在空间的传播，引入波面和波线

波线

波面

在各向同性介质中，波线恒与波面垂直

波前：在某一时刻，波传播到的最前面的波面。


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 52

按波面的形状，可将波分为：

平面波

三、波线和波面

球面波柱面波


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 53

四、波速、波长以及波的周期和频率

1. 波速u：

说明：由于振动状态的传播也就是相位的传播，因而这里的波速也称为相速。

单位时间内振动状态传播的距离，也就是波面向前推进的速率。

波速决定于弹性介质的弹性（用弹性模量表示）和惯性（用密度表示）。

利用牛顿运动定律和弹性体中质元所受的弹性力的特性可计算出波速


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 54


横波：G

u

G：切变模量

纵波：Y

u

Y：杨氏模量

固体介质中的波速： ρ为介质的密度

流体中纵波的波速

Bu

B：体变模量

pB

V

V


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 55


沿同一波线上相位差为2π的两个相邻质点间的距离。

纵波：

2. 波长λ：反映波动的空间周期性

x

y

λ

或者：沿波的传播方向，相邻的两个同相质点之间的距离

横波：

x

y

λ λ


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 56


周期T：一个完整的波(即一个波长的波)通过波线

上某点所需要的时间

频率ν：单位时间内通过波线上某点完整波的数目

1 T

3. 周期T和频率：反映波动的时间周期性

•波的周期等于波源振动的周期；

•波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。

波源作一次完全的振动波前进一个波长的距离


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 57


4. 周期T和、波长和波速u的关系

uT

在一个周期中，波前进一个波长


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 58

五、波动所遵从的基本原理

1. 波的叠加原理

大量的实验结果表明，波的传播满足叠加原理：

1. 多列波在传播过程中相遇，相遇后仍保持各自传播特性（波长、频率、波速、波形）不变；

2. 多列波相遇处的质点其振动状态由多列波各自提供的振动的合成。


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 59

2. 惠更斯原理


由荷兰物理学家惠更斯在1678年提出

1. 行进中的波面上任意一点都可看成是新的子波源；

2. 每个子波源各自向外发出球面子波；

3. 各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。

S1 S2

适用于所有的波动


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 60

已知t时刻的波面S1，利用惠更斯原理可求出t+t时刻的波面S2 : 设波速为u


1. 以S1上的各个点为圆心，以ut为半径画半球面；2. 画出这些半球面的包络面，即为S2

R1R2

S1

S2

O

1S2S

t t t

r u t平面波球面波

动画演示

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2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 61

例4-3 在波线上有相距2.5cm的A、B两点，已知点B的振

动相位比点A落后30，振动周期为2.0s，求波速和波长。

解在波线上相距λ两点的相位差为2π

π. m . m

π/6

222 5 10 0 30

-1 -1m s . m su

T

230 10

0 152

A B

大学物理:力学

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 62


§4-5.1 平面简谐波的表示§4-5.2 简谐波的能量*§4-5.3 波的能流和能流密度*

§4-5 简谐波

§4-5.1 平面简谐波的表示

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 63

波方程：y = f (x, t)

1. 简谐波的运动学方程（波方程）

以横波为例建立波方程：

x

y

p

u

O x

给出有波传播的媒质中任一质元的运动规律

x: 介质中各质元的平衡位置y: 各质元相对其平衡位置的位移u: 振动状态在介质中的传播速度波速（或相速）

1.各质元振动频率相同；2.假定无能量损耗振幅相同；

3.各质元的振动相位依次落后


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 64

O cosy A t

振动从O点传到 p点需用时: Δt x u

( , ) cos ( )x

y x t A t u

设简谐波沿x轴传播，t 时刻位于原点O的质点的振动：

简谐波沿 x正方向传播：t时刻p点的振动状态 ==

t-t时刻O点的振动状态

求同一时刻位于x的p点的振动.

x

y

p

u

O

x

波方程y = f (x, t)的表达式


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 65

x

y

p

u

O

x

简谐波沿 x负方向传播：t时刻p点的振动状态 ==

t+t时刻O点的振动状态

( , ) cos ( )x

y x t A t u

O cosy A t

振动从O点传到 p点需用时: Δt x u

设简谐波沿x轴传播，t 时刻位于原点O的质点的振动：

求同一时刻位于x的p点的振动.



2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 66


( , ) cos ( )x

y x t A t u

x

y

p

u

O

xx

y

p

u

O

x

( , ) cos ( )x

y x t A t u

平面谐波一般表达式 cos[ ( ) ]x

y A t u

负号：沿 x 轴正向传播右行波正号：沿 x 轴负向传播左行波


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 67

2. 波方程物理意义的讨论

0 0cos ( / ) cos( / )y A t x u A t x u

1）x = x0 ：

t

y

T0x

u

x0处质元的振动方程波在时间上的周期性

( , ) cos ( )x

y x t A t u


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 68

0 0 0cos ( / ) cos ( ) cos ( )y A t x A t x A x t u uu u u

2) t =t0 :

x

y

λvt0

t0时刻各质元位移在空间上的分布波在空间

上的周期性

xa

b

y

对于纵波，波形图并不表示各质元的真实位置

波形图:位移分布曲线

2. 波方程物理意义的讨论( , ) cos ( )

xy x t A t

u


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 69

3) x、t 均变

具有波动意义： ① 各质点各自振动; ② 波形向前传播.

1 2( , ) ( Δ , )y t x y t t x

振动频率不变这

两点相位相同1 2( ) [ Δ ]

x xt t t （）u u

2 1

Δ

x x

t

uu ：波形向前传播的速度，也

是相位的传播速度相速.

x

y

x1

x

y1

t 时刻 t +t 时刻

Δ Δx t u

x2

2. 波方程物理意义的讨论( , ) cos ( )

xy x t A t

u


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 70

波长λ：波源完成一次全振动波传播的距离

波数k：k=2π/λ

t

y

T

x

y

λ

3）波速v把两种周期性两系起来：

3、描写波周期性的物理量

1）时间上的周期性

周期T、频率v、圆频率ω

22

T

2）空间上的周期性

2T

v

( , ) cos ( )x

y x t A t u


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 71

4、波方程的各种表示形式

( , ) cos[ ( ) ] cos[ ]x x

y x t A t A t

u u

2π2π

T

( , ) cos[2π( ) ]x

y x t A t

( , ) cos[2π( ) ]t x

y x t AT

( , ) cos[ ]y x t A t kx

2πk

u

T u u

周期和波长：

频率和波长：

圆频率和波数：


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 72

例4-4 以 y = 0.040 cos 2.5t m 的形式作简谐振动的波源，

在某种介质中以100 ms-1的速率传播。 (1) 求平面简谐波

函数；(2) 求在波源起振后1.0 s、距波源20 m处质点的位

移、速度和加速度。

解 (1) 以波源为原点、传播方向为x轴正方向

A=0.040 m，=2.5 rads1，u=100ms1

. cos . π( ) (m)xy t 1000 040 2 5

(2) 在x = 20 m 处质点振动表示为

y = 0.040 cos 2.5 (t 0.20) (m)

= 0.040 cos (2.5 t 0.50) (m)


2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 73

在波源起振后1.0 s时的位移为

y = 0.040 cos 2.0 m = 4.0102 m

-1

dsin . π( . )

d

. π . sin . π m s

yA t

t

2 5 0 20

2 5 0 040 2 0 0

v

-2 -2

dcos . π( . )

d

( . π) . cos . π m s . m s

ya A t

t

22

2

2

2 5 0 20

2 5 0 040 2 0 2 5

式中负号表示加速度的方向与位移的正方向相反。

大学物理:力学

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 74


§4-6.1 波的干涉§4-6.2 驻波*

§4-6 波的干涉

§4-6.1 波的干涉

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 75

振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定的两列波在空间相遇时，叠加的结果是使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布

相干波：能够产生干涉的两列波；相干波源：相干波的波源；相干条件：满足相干波的三个条件

振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定的两列波

波的干涉：

§4-6.1 波的干涉

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 76

S

1S

2S

最大

最大

最大

最小

最小

虚线：波谷实线：波峰

最大：波峰与波峰或波谷与波谷相交处

最小：波峰与波谷相交处

合振动振幅

§4-6.1 波的干涉

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 77

考虑两个相干波源S1和S2，其振动表达式

cos( )

cos( )

y A t

y A t

10 10 1

20 20 21r

2r

1S

2S

P

两列波传播到P点引起的振动为

πcos ( )

πcos( )

ry A t

ry A t

11 1 1

22 2 2

2

2

在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。

§4-6.1 波的干涉

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 78

P点的合振动为

y = y1 + y2 = A cos ( t+ )

cos( )πr r

A A A A A

2 2 2 11 2 1 2 2 12 2

π πsin( ) sin( )

tan =π π

cos( ) cos( )

r rA A

r rA A

1 21 1 2 2

1 21 1 2 2

2 2

2 2

Δ πr r

2 1

2 1 2

1r

2r

1S

2S

P

§4-6.1 波的干涉

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 79

干涉加强：Δ π, , , ,k k 2 0 1 2 A = A1+A2

干涉减弱：Δ ( )π, , , ,k k 2 1 0 1 2 A =A1A2

若1 = 2，则有

, , , ,r r k k

1 2 2 0 1 22

干涉相长

( ) , , , ,r r k k

1 2 2 1 0 1 22

干涉相消

称为波程差。

大学物理:力学

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 80


§4-6.1 波的干涉§4-6.2 驻波*

§4-6 波的干涉

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 81

当两列振幅相同的相干波

沿同一直线相向传播时，

合成的波是一种波形不随

时间变化的波，称为驻波。

是一种特殊的干涉现象:沿相反方向传播的两列等幅相干波的叠加

波节——静止不动，振幅为零波腹——振动最强，振幅最大

一、驻波的形成

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 82

0tu

u

4

Tt

2

Tt

4

3Tt

y

x

u

u

u

u

u

u

y A2

x

y

x

y A2

x

一、驻波的形成

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 83

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 84

二、驻波方程

合成波：

设有两列相干波，分别沿 x 轴正、负方向传播

cos π( )x

y A t

1 2 cos π( )x

y A t

2 2

1 2

2(2 cos )cos

xy y y A t

振幅因子谐振因子

1. 没有振动状态或相位的传播;

2. 介质中各点都以原来波的频率作简谐振动，各点的振幅随位置的不同而不同。

特点：

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 85

二、驻波方程

•波腹:

2

nx

0,1,2,n

2π 2πcos 1 =x x n

•波节:

(2 1)

4

nx

0,1,2,n

2π 2πcos 0 (2 1)

2x x n

两相邻波节或波腹间距离=/2

2π(2 cos )cosy A x t

波节波腹

/2/2

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 86

§4-6.2 驻波*

三、驻波的能量

在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能之

间不断进行着互相转换和转移，却没有能量的定

向传播。

各质点位移达到最大时，动能为零，势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。

当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 87

反射点处为波节：入射波与反射波在该点反相。

反射点形成波节、波腹的情况由波阻抗的量来决定：

波阻抗 Z = u

四、反射波与入射波形成驻波

半波损失：入射波在反射时产生了的相位跃变的现象

1. 如果波被波阻抗较小的介质反射回来，反射点形成波腹；

2. 如果波被波阻抗较大的介质反射回来，反射点形成波节

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 88

例1 在同一介质中有两个等振幅、频率为=100Hz、波速为u=400ms1的相干波源分别处于点P和点Q，平面简谐波沿P到Q连线的方向传播。已知PQ=3.0m。P比Q

的相位超前/2，在P、Q延长线上Q一侧有一点S，S到Q的距离为r，试写出两波源在该点产生的分振动，并求它们的合成。

解取点P为坐标原点，建立如图所示的坐标系。

由题意知 P Q = /2， = 2 = 200 rad s1

设 Q = 0，则有 P = /2

P Q S x

r

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 89

P在点S引起的振动为

3 πcos[ ( ) ] cos[200π( ) ]

2400P P

PS ry A t A t

u

Q在点S引起的振动为

cos[ ( ) ] cos[200π( )]400

Q Q

QS ry A t A t

u

P Q S x

r

§4-6.2 驻波*

2017年3月21日 15:30-17:20 第四章波动和振动 90

两个分振动的相位差为

3Δ [200π( ) ] [200π( )]

400 2 400

3π ππ

2 2

r rt t

满足 = (2k+1)的条件，点S的振动是干涉相消；

由于与r无关，所以在 x 轴上Q点以右的区域都满足

干涉相消条件，该区域的所有质点都是静止不动的。

P Q S x

r

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