אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

אלגבריים מבנים

I חלק

המספרים בתורת נושאים

שארית עם חילוק 1

:N של בסיסיות תכונות שתי

,Nל־ חלקית ריקה לא A קבוצה בכל ־ הטוב הסדר עיקרון .1ביותר. הקטן שהוא איבר יש

מספריים קבוצת היא A ⊆ N אם ־ האינדוקציה עיקרון .2דברים: שני שמקיימת

.1 ∈ A (א)

.n+ 1 ∈ A אזי n ∈ A אם (ב)

A = N אזי

קבוצת היא A ⊆ N אם ־ השלמה האינדוקציה עיקרון .3שמקיימת: טבעיים מספרים

.1 ∈ A (א)

.n ∈ A אזי k ∈ A מתקיים k < n לכל אם (ב)

A = N אזי

שקולות. הטענות ששלושת להוכיח ניתן

:Z של בסיסית תכונה

קיימים ,n > 0 a, n שלמים מספרים שני לכל 1.1 משפטכאשר a = q · n + r ש־ כך q, r יחידים שלמים מספרים

1.0 ≤ r < n

.(q = 4, r = 3) .a = 4 · 5 + 3 ⇐ a = 23, n = 5 דוגמה:

:Z של נוספת תכונה

.nב־ a של החילוק שארית נקרא rו־ ב־, a של החילוק מנת נקרא q1

ביחס שלמים מספרים של ריקה לא Aקבוצה ⊆ Z תהי 1.2 למה.A = d · Zש־ כך d ∈ Z קיים אז לחיסור2

,d · Z ={d · Z

∣∣m ∈ Z} = כאשר:.d של השלמות הכפולות כל קבוצת.4 · Z = {−12,−4, 8, 32,−40, ...} למשל:

מקסימלי משותף מחלק 2

התחלקות יחס 2.1

bש־ (או b את מחלק aש־ אומרים a, b ∈ Z עבור 2.1 הגדרה.a·k = bש־ כך k ∈ Z קיים אם a | b ורושמים (a של כפולה הוא

....6 - 3 אבל ,3 | 6 למשל:

ההתחלקות יחס של בסיסיות תכונות 2.1.1

וטרנזיטיבי. רפלקסיבי .1

.a = ±b אזי b | aו־ a | b אם .2

.a | xb+ yc ∀x, y ∈ Z אזי: a | cו־ a | b אם .3

מספר זהו bו־ a של משותף מחלק .a, b ∈ Z יהיו 2.2 הגדרה. c | d וגם c | a שמקיים c ∈ Z שלם

זהו bו־ a של (gcd או (ממ"מ מקסימלי משותף מחלק 2.3 הגדרההבאות: התכונות שתי את שמקיים d שלם מספר

.d | b וגם d | a .1

(במילים: .c | d גם אזי c | b וגם c | a מקיים c ∈ Z אם .2.(d ־ ה־ממ"מ את גם לחלק חייב bו־ a של מחלק כל

ו־18. 12 של ממ"מ הם −6 וגם 6 גם דוגמא:

משותף מחלק הוא שלם מספר כל אז a = b = 0 אם 2.4 הערה.bו־ aל־ ממ"מ אין ולכן bו־ a של

ואין bו־ a של ממ"מ הם ±a אז b = ו־0 a 6= 0 אם 2.5 הערהאחרים.

d ממ"מ קיים ,a, b 6= 0 שלמים מספרים שני לכל 2.6 משפט.d = xa + yb x, y ∈ Z בצורה להצגה ניתן והוא

.6 = 3 · 18 + (−4) · 12 או ,6 = 1 · 18 + (−1) · 12 למשל:

אזי bו־ a של ממ"מ הם d1, d2 כי ונניח a, b ∈ Z 2.7 הערה.(d1 | d2, d2 | d1 להתקיים צריך ההגדרות ע"פ (כי .d1 = ±d2

כדי (עד יחיד הוא שלמים מספרים שני של הממ"מ 2.8 מסקנהסימן).

ואחד חיובי אחד ממ"מ שני להם יש אזי מאפס שונים a.b אםהחיובי. מינוס שהוא

.a, b של (והיחיד) החיובי של הממ"מ הוא gcd (a, b) סימון:.gcd (a, b) = gcd (−a, b) = gcd (a,−b) = gcd (−a,−b)

.gcd (a, b) = 1 אם זרים הם a, b ∈ Z מספרים שני 2.9 הגדרההם x, y .xa + yb = 1 שמתקיים: כך x, y ∈ Z קיימים לכן,

.Be'zout מקדמי

.a, b ∈ A⇒ a− b ∈ A 2כלומר:

1

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

אוקלידס של האלגוריתם 2.2

מספרים שני של ממ"מ למצוא היא האלגוריתם של (המטרהטבעיים).

.a, b טבעיים מספרים זוג קלט:.gcd (a, b) פלט:

q, r ∈ Z למצוא צריך כלומר, שארית, עם bב־ a את חלק .1.0 ≤ r < bו־ a = qb + rש־ כך

:r > 0 אם .2

.(aל־ b של ערכו את (הכנס .a← b (א)

.b← r (ב)

ל־1. חזור (ג)

.b את כפלט החזר .3

ש־ כך x, y ∈ Z למצוא אלגוריתם אותו בעזרת ניתן כעתהצבה. באמעות איך .(Be'zout (מקדמי gcd (a, b) = xa+ yb

הבאה: בדוגמא הסבר:gcd (76, 14) את אוקלידס ע"פ נמצא

76 = 5 · 14 + 6 (1)

14 = 2 · 6 + 2 (2)

6 = 2 · 3 + 0 (3)

gcd (74, 14) = 2

השורה אחרונה, לפני האחת (השורה (2) משורה נתחיל כעתכשארית): הממ"מ לנו מופיע שבה

השארית את נבודד למעלה, שורה נסתכל כעת ,2 = 1 ·14−2 ·6ואז ,6 = 1 ·76−5 ·14 נקבל: ,6 את נבודד שלנו, (במקרה ונציבממשיכים היינו שורות יותר היו אם שקיבלנו, במה זה את נציב

האחרונה): השורה עד ככה2 = 1 · 14− 2 · (1 · 76− 5 · 14) = 1 · 14− 2 · 76 + 10 · 14 =

−2 · 76 + 11 · 14⇒ 2 = −2 · 76 + 11 · 14שרצינו! מה את וקיבלנו

Znב־ הופכי חישוב 3

.Zn = {0, 1, 2, . . . , n− 1} תזכורת:

עבור הבא: באופן מוגדרת Zn על (·n) n מודולו כפל 3.1 הגדרה

.a · bn

מ־ השארית היא a ·n b ,a, b ∈ Zn

לכפל ביחס aל־ הופכי קיים אז ,0 6= a ∈ Zn יהי 3.2 טענה3.gcd (a, n) = 1 ⇔ n מודולו

.a · a−1 = ש־1 כך a−1 ∈ Zn קיים 3כלומר,

Znב־ a איבר של הופכי לחישוב הדרך 3.1

אוקלידס). (לפי gcd (a, n) את מחשבים .1!Znב־ aל־ הופכי אין ־ gcd (a, n) 6= 1 אם

־ ואז 1 = xa + ynש־ כך שלמים x, y מוצאים אחרת .2.a−1 = x (mod n)

שלמים מספרים שני לכל לזכור: חשובש־ כך x, y ∈ Z קיימים a, b ∈ Z

. gcd (a, b) = xa + yb

.1 = xa+ yb אזי: זרים, bו־ a ואם

החד־ הפריקות ומשפט ראשוניים מספרים 4ערכית

gcd (a, b) = ו־1 a | b · c אם .0 6= a, b, c ∈ Z יהיו 4.1 למה.a | c אז

רק שמתחלק p > 1 טבעי מספר זהו ־ ראשוני מספר 4.2 הגדרה.±pוב־ ב־±1

הערות: כמה

p | a ⇔ p | a · b :a, b ∈ Z עבור: אזי ראשוני מספר p אם .1.p | b או

.1 ≤ i ≤ k עבור p | ai ⇐ p | a1 · a2 · · · ak .2

אז ראשוניים, q1, . . . , qn כאשר p | q1 · q2 · · · qn אם .3.1 ≤ i ≤ n עבור p = qi

ומתקיים: ראשוניים q1, q2, . . . , qm, p1, p2, . . . , pn אם .4ראשוני מספר וכל n = m אזי p1 · · · pn = q1 · · · qmמספר אותו השני, באגף גם מופיע האגפים באחד שמופיע

פעמים.

מספרים של כפולה הוא n > 1 טבעי מספר כל 4.3 טענהראשוניים.

הפריקות [משפט האריתמטיקה של היסודי (המשפט 4.4 משפטשל למכפלה לפירוק ניתן n > 1 טבעי מספר כל ערכית]): החדהגורמים סדר כדי עד יחיד הוא הזה והפירוק ראשוניים, מספרים

הראשוניים.המשפט: של אחר ניסוח

מהצורה: יחידה להצגה ניתן n > 1 טבעי מספר כל.n = pk11 , p

k22 , . . . , p

kmm

ראשוניים p1 < p2 < p3 < · · · < pm ,N 3 m ≥ 1 כאשרההצגה ־ יקרא זה טבעיים. מספרים k1, . . . , km ≥ 1 שונים.

.n של (הנורמלית) הקנונית.n של המחלקים מספר ־ ν (n) מסמנים: n טבעי מספר לכל

אז: נורמלי) (פירוק .n = pk11 , pk22 , . . . , p

kmm אם

ν (n) =

m∏i=1

(ki + 1)

2

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

(חפיפה) קונגרואנציה 5

a, b שלמים מספרים עבור טבעי. מספר n ∈ N יהי 5.1 הגדרהורושמים n | (a− b) אם n מודולו bל־ קונגרואנטי aש־ נאמר

.a ≡ b (mod n)

המשמעות: את לזכור כדאי.a ≡ b (mod n)⇔ a = n · k + b

.k ∈ Z

ז"א: ,a (mod n) = b (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n) הערה:⇔ .nב־ אותם מחלקים כאשר שארית אותה משאירים a, b

.k ∈ Z, a = k · n+ b

.Z על שקילות יחס הוא (n מודולו (קונ' זה יחס .1

שניים אף ־ 0, 1, ..., n − 1 השלמים במספרים נסתכל .2מספר וכל n מודולו קונגרואנטים יאנם אלה ממספריםמהמספרים לאחד n מודולו קונגרואנטי הוא a מודול שלם

בלבד. הללו

אז: ,c = d (mod n)ו־ a ≡ b (mod n) אם .3

a± c ≡ b± d (mod n) (א)

.ac ≡ bd (mod n) (ב)

נובע: מ־3 .4

.a±c ≡ b±c (mod n) אז a ≡ b (mod n) אם (א)

ak ≡ bk ־ k ∈ N לכל אז a ≡ b (mod n) אם (ב).(mod n)

gcd (c, n) = ו־1 ac ≡ bc (mod n) אם .5.a ≡ b (mod n) אז

.a ≡ b (mod n) 6⇐ ac ≡ bd (mod n) בד"כ אבל

ad ≡

bd (mod n

d )⇔ :a, b, n של משותף מחלק dש־ נניח .6.a ≡ b (mod n)

.a ≡ b (mod m) אז m | n ואם a ≡ b (mod n) אם .7

⇔ a ≡ b (mod m) וגם a ≡ b (mod n) אם .8.l = lcm (a, b) כאשר a ≡ b (mod l)

a ≡ b (mod n) אז: זרים m,n אם מ־8: מסקנה .9.a ≡ b (mod n ·m)⇔ a ≡ b (mod m) ו־

אזי: שונים ראשוניים p, q אם בפרט: .10a ≡ b וגם a ≡ b (mod p) ⇔ a ≡ b (mod p · q)

.(mod q)

n מודולו הפיכות 5.1

קיים אם n מודולו הפיך הוא a שלם שמספר אומרים 5.2 הגדרה.a · b = 1 (mod n) ש־ כך b שלם מספר

.3 · 7 = 1 (mod 10), 3 · 17 = 1 (mod 10) למשל:

.gcd (a, n) = 1⇔ n מודולו הפיך הוא a שלם מספר 5.3 משפט

מודולו a של ההופכי את מוצאים איך gcd (a, n) = 1 אם 5.1.1?n

1 ש־= כך x, y ∈ Z מוצאים אוקלידס של האלגוריתם ע"י.n מודולו a של ההופכי הוא x ואז xa+ yn

ראשונה ממעלה קונגרואנציות פתרון 5.2

.2x ≡ 3 (mod 5) הבאה: הקונגרואנציה את לפתור רוציםאותה). שמקיימים xה־ כל את למצוא (כלומר,

ב־3: שנכפול הוא הזה במקרה שנעשה מה.6x ≡ 9 (mod 5)⇒ x ≡ 4 (mod 5)

יש ax ≡ b mod n לקונ' a, b ∈ Zו־ n ∈ N יהי 5.4 משפטמהצורה: הוא הפתרון זה ובמקרה gcd (a, n) | b ⇔ פתרון

אחרות [במילים d = gcd (a, n) כאשר x ≡ c (mod bd )

.[n מודולו יחיד הוא הפתרון

פתרון מוצאים איך �אז?ax ≡ b (mod n) לקונגרואנציה

פתרון!). אין (אחרת .gcd (a, n) | bש־ מוודאים א.וזרים). שלמים a

d ,nd )

adx ≡

bd (mod n

d ) את: פותרים ב.אוקלידס של האלגוריתם באמצעות a

d של ההופכי את מוצאים ג.של ההופכי הוא x ־ ואז (x, y ∈ Z (כאשר 1 = a

dx+ nd yש־ כך

.a.xב־ כולה הקונגרואנציה את כופלים ד.

.p | b וגם p | aש־ כך p ראשוני מספר אין ⇔ gcd (a, b) = 1.nל־ זרים a · b ⇔ nל־ זר bו־ nל־ זר a חשובה: עובדה

ערכית החד־חד הפריקות משפט 6

הפריקות (משפט האריתמטיקה של היסודי המשפט 6.1 משפטערכית): החד־חד

מספרים של מכפלה של לפירוק ניתן n > 1 טבעי מספר כלהגורמים סדר כדי עד יחיד הוא הזה והפירוק ראושניים,

הראושניים.

המשפט: להצגת נוספת דרךמהצורה: יחידה להצגה ניתן n טבעי מספר כל

p1 < p2 < · · · ו־> 1 ≤ m ∈ N כאשר n = pk11 · pk22 · · · pkmm

זאת טבעיים. מספרים k1, . . . , km ≥ 1 (שונים). ראשוניים pm.n של (נורמלית) הקנונית ההצגה נקראת

?4nל־ יש מחלקים כמה שאלה:המחלקים אזי נורמלי), (פירוק n = pk11 ·p

k22 · · · pkmm אם תשובה:

בדיוק: הם n של הטבעים.0 ≤ αi ≤ ki כאשר pα1

1 · pα22 · · · pαm

m

.(α1 + 1) (α2 + 1) · · · (αm + 1) הוא: המחלקים מספר לכן.n של המחלקים מספר = ν (n) סימון:

אזי: ,n = pα11 · p

α22 · · · pαm

m אם

ν (n) =

m∏i=1

(αi + 1)

אפשרויות שתי ,2 עבור אפרויות שתי לנו יש אזי ,150 = 2 · 3 · 52 4למשל:

של המחלקים מספר לכן בריבוע), שהוא (בגלל 5 עבור אפשרויות ו־3 ,3 עבור.2 · 2 · 3 = 12 הינו 150

3

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

אוילר פונקצית 7

ע"י: שמוגדרת ϕ : N→ N פונקציה זוהישווים או קטנים אשר (k) הטבעיים המספרים =מספר ϕ (n)

.nל־ וזרים (n ≥) nל־. ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (10) = 4 למשל:

.ϕ (p) = p− 1 אזי ראשוני מספר הוא p אם 7.1 הערה

n מודולו שאריות של שלמה מערכת 7.1

שאף b1, . . . , bn טבעיים מספרים n של קבוצה זוהי 7.2 הגדרה.n מודולו קונגרואנטים מהם שנים

.n = 5 : 10, 21, 32, 54 ,n = 3 : 3, 7, 8 למשל:

n מודולו שאריות של מצומצמת מערכת 7.2

:nל־ זרים טבעיים מספרים ϕ (n) של קבוצה זוהי 7.3 הגדרה.n מודולו קונגרואנטים אינם מהם שניים שאף ,b1, . . . bϕ(n)

.n = 10 : 1, 3, 7, 9, n = 8 : 1, 3, 5, 7 למשל:

הערות: מספר

.1

מודולו שאריות של שלמה מערכת היא b1, . . . , bn אם (א)מה־ לאחד קונגרואנטי יהיה a שלם מספר כל אז ,n

בלבד. bi־ים

שאריות של מצומצמת מערכת היא b1, . . . , bϕ(n) אם (ב)יהיה nל־ הזר a שלם מספר כל אז ,n מודולו

בלבד. מה־bi־ים לאחד קונגרואנטי

.2

מודולו שאריות של שלמה מערכת היא b1, . . . , bn אם (א)ab1 + אז: gcd (a, n) = ש־1 כך a, k ∈ Z ואם ,nמודולו שאריות של שלמה מערכת היא k, . . . , abn+k

.n

שאריות של מצומצמת מערכת היא b1, . . . , bϕ(n) אם (ב)גם אז ,nל־ זר שלם מספר הוא a ואם n מודולושאריות של מצומצמת מערכת היא ab1, . . . , abϕ(n)

.n מודולו

של שלמות מערכות הן c1, . . . , cnו־ b1, . . . , bn אם .3לאחד n מודולו רונגרואנטי ci כל אז ,n מודולו שאריותגם מצומצמת מערכת עבור דומה (טענה בלבד. מה־bi־ים

נכונה).

בדיוק מכילה b1, . . . , bn :n מודולו שלמה מערכת כל .4.nל־ הזרים מספרים ϕ (n)

הם m,n אם הבא: במובן כפלית פונקציה היא ϕ 7.4 משפט.ϕ (m · n) = ϕ (m) · ϕ (n) אז: זרים, טבעיים מספרים

אז: בזוגות, זרים n1, ..., nk אם 7.5 מסקנה.ϕ (n1 · n2 · · · nk) = ϕ (n1) · ϕ (n2) · · · ϕ (nk)

אזי: , טבעי מספר nו־ ראשוני מספר p יהי 7.6 טענה.ϕ (pn) = pn − pn−1

כך: אוילר פונקצית את להציג ניתן

ϕ (n) = n ·m∏i=1

(1− 1

pi

)מקובל: יותר אחר ניסוח

ϕ (n) = n ·∏p|n

(1−

1

p

)

..(n את המחלק p ראשוני מספר פירושו ־ p | n)

אוילר משפט 8

אזי: ,nל־ זר שלם מספר a ויהי טבעי מספר n יהי

aϕ(n) ≡ 1 (mod n)

פרמה של הקטן המשפט 9

מתקיים: pל־ שזר a לכל אז , ראשוני מספר p אם

ap−1 ≡ 1 (mod p)

אוילר). משפט של פרטי (מקרה

4

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

פרמה של הקטן המשפט של אחר ניסוח 9.1

.ap−1 ≡ 1 (mod p) :1 ≤ a < p לכל אז ראשוני, p אםנכון: הוא זה למשפט ההפוך המשפט

an−1 ≡ 1 (mod n) ⇔ ראשוני n .1 < n ∈ N יהי 9.1 משפט.1 ≤ a < n לכל

שמקיימים: ראשוניים לא טבעיים מספרים קיימים 9.2 הערה.nל־ שזר a לכל an−1 ≡ 1 (mod n)

.561 = 3 · 11 · 17 הוא זאת שמקיים ביותר הקטן המספרקריימקל. מספרי נקראים אלו מספרים

:a שלם מספר לכל אז ראשוני, מספר הוא p אם 9.3 משפט.ap ≡ a (mod p)

וילסון משפט 10

טבעי. מספר n > 1 יהי 10.1 משפט.(n− 1)! ≡ −1 (mod n) ⇔ ראשוני n

II חלק

חבורות

הגדרה 11

פעולה מוגדרת שעליה G קבוצה היא חבורה 11.1 הגדרהאת מקיימת אשר ((G, ב־(∗ זה את לסמן (ונהוג ∗ בינארית

הבאות: הדרישות ארבע

חד־ערכי באופן מוגדר a ∗ b ,a, b ∈ G הפעולה: קשירות .1.a ∗ b ∈ Gו־

:a, b, c ∈ G לכל ז"א :G על אסוציאטיבית פעולה היא ∗ .2.(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

יש אומרת: זאת ,∗ לפעולה ביחס יחידה איבר Gב־ יש .3.a ∈ G לכל a ∗ e = e ∗ a = aש־ כך e ∈ G

קיים כלומר, ל־∗, ביחס הופכי איבר קיים a ∈ G איבר לכל .4.a ∗ a′ = a′ ∗ a = eש־ כך a′ ∈ G

הערות: כמה

,Gב־ יחיד יחידה איבר שיש להוכיח בקלות ניתן 11.2 הערההיחידה איבר על מדברים לכן יחיד. הופכי יש a ∈ G ולכל

.a של וההופכי

בנקודה. החבורה פעולת את מסמנים בדרך־כלל 11.3 הערהאיבר את מסמנים זה במקרה .a · b במקום ab רושמים אפילוחבורה על כאן (מדברים .a−1ב־ a של ההופכי ואת eב־ היחידה

כפלית).

במקרה ב־"+", החבורה פעולת את נסמן לפעמים 11.4 הערהכאן (מדברים .−a יסומן a של וההפכי 0 הוא היחידה איבר זה,

חיבורית). חבורה על

לחבורות דוגמאות 12

כלשהו שדה ־ F 12.1

כלשהו. שדה F יהיחבורה אינה F ) .F של החיבור לפעולת ביחס חבורה הוא אז

הופכי). איבר אין ל־0 כי השדה של הכפל לפעולת ביחס.F ∗ =

{a ∈ F

∣∣a 6= 0}

סימון:.F של הכפל לפעולת ביחס חבורה היא F ∗

לכפל. ביחס חבורות ־ C∗,Q∗,R∗לחיבור. ביחס חבורות ־ C,Q,R

קומוטטבית5 פעולה היא שלה שהפעולה חבורה 12.1 הגדרהאבלית. חבורה נקראת

אבליות. חבורות הן F, F ∗ החבורות

(השלמים) Z 12.2

אבלית. חבורה זו השלמים. חיבור לפעולת ביחס חבורה היא

Zn 12.3

ביחס חבורה זו .Zn = {0, 1, 2, ..., n− 1} ,1 < n ∈ N עבוראבלית. חבורה זו .n מודולו החיבור לפעולת

.0 היחידה: איבר:a של ההופכי

a−1 =

{n− a a 6= 0

0 a = 0

Z∗n 12.4

נסמן: .1 < n ∈ N יהי

.Z∗n =

{a

∣∣∣∣∣1 ≤ a < n, gcd (a, n) = 1

}.Z∗10 = {1, 3, 7, 9} ,Z∗8 = {1, 3, 5, 7} למשל:

.|Z∗n| = ϕ (n) :♥ לשים כדאיאבלית. חבורה זו .n מודולו הכפל לפעולת חבורה היא Z∗n

SX 12.5

ועל: חח"ע פונקציה זוהי X של תמורה ריקה. לא קבוצה X תהי.f : X → X

.X של התמורות כל קבוצת את SXב־ מסמנים.Xל־ Xמ־ פונקציות של ההרכבה לפעולת ביחס חבורה היא SX.ε : X → X .ε הזהות: העתקת הוא היחידה איבר זאת בחבורה

.x ∈ X לכל ε (x) = xההפוכה f−1=הפונקציה הוא f ∈ SX איבר של ההופכי

.f לפונקציהאבלית. חבורה אינה זו

a, b ∈ G לכל ,a ∗ b = b ∗ a5

5

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

Sn 12.6

סופית קבוצה היא X הקודמת: הדוגמא של חשוב פרטי מקרהומסמנים 1, 2, ..., nב־ X אברי את מסמנים איברים. n בעלת

כך: f ∈ Sn איבר

f =

(1 2 3 · · · n

f (1) f (2) f (3) · · · f (n)

)

.ε =

(1 2 3 · · · n1 2 3 · · · n

)למשל:

n× n מסדר הפיכות מטריצות ־ GLn (F ) 12.7

המטריצות כל אוסף את GLn (F ב־( נסמן שדה. F יהי.F מעל n× n מסדר ההפיכות

מטריצות של הכפל לפעולת ביחס חבורה היא GLn (F )הפיכה). מטריצה יוצרת הפיכות מטריצות של כפל (תזכורת:

היחידה). (מטריצת I הוא היחידה איברו.A−1 המטריצה היא A ∈ GLn (F ) של וההופכי

אבלית. חבורה אינה זו

X של החזקה קבוצת 12.8

.X של החזקה קבוצת את PXב־ נסמן כלשהי. קבוצה X תהי.PX =

{A∣∣A ⊆ X}

.|PX | = 2|X| תזכורת::PX על 6∆ הסימטרי להפרש ביחס חבורה היא PX.A∆B = (A ∪B)− (A ∩B) :A,B ∈ PX עבור

.∅ הריקה הקבוצה ב־PXהינה היחידה איברחבורה (זו עצמה). (הקבוצה A הוא PXב־ איבר כל של וההופכי

עצמו). של ההופכי הוא בה איבר שכלאבלית. חבורה כמובן זו

U המעגל חבורת 12.9

C למרוכבים קצרה תזכורת 12.9.1

קצרה תזכורת לעשות כדאי הבאות החבורות לשתי שניגשים לפניהמרוכבים: המספרים על

.i2 = ו־1− a, b ∈ R כאשר ,7z = a+ bi אזי: ,z ∈ Cש־ נניח.r = |z| =

√a2 + b2

U ={z ∈ C

∣∣ |z| = 1}

.|z1| = 1, |z2| = 1⇒ |z1 · z2| = |z1| · |z2| = 1המישור של הסיבובים (חבורת המעגל חבורת נקראת זאת חבורה

הראשית). סביב

היחידה שורשי חבורת 12.10

היחידה שורשי כל קבוצת את Unב־ נסמן טבעי. מספר n יהיzn = שמקיימים: z המרוכבים המספרים כל (כלומר, n מסדר

.(1של בסיכום היחידה ושורשי המרוכבים על נוסף חומר למצוא [ניתן(שנה ברתל לור ד"ר מאת המחשב" למדעי מתמטיים "כלים הקורס

4־3]. עמודים א') סמסטר א',

חבורה. איננה היא והחיתוך האיחוד לפעולות 6ביחס

.z של המדומה החלק נקרא bו־ ,z של הממשי החלק נקרא a7

נתונות מחבורות חדשה חבורה יצור 13

פעולת ואת ב־∗ G פעולת את נסמן .G,H חבורות שתי נתונות.G×H הקרטזית: במכפלה נסתכל ב־◦. H

G×H על כפל פעולת נגדיר ,G×H ={

(a, b)∣∣a ∈ G, b ∈ H}

הבא: באופן:(a, b) , (c, d) ∈ G×H עבור

(a, b) · (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d)

הזו. הכפל לפעולת ביחס חבורה היא G×Hש־ לבדוק קלאיבר ־ eH .(eG, eH) הוא G × H בחבורה היחידה איבר

.G של היחידה איבר ־ eG ,H של היחידה:G×H בחבורה איבר של וההופכי

.(a, b)−1 =(a−1, b−1

).Hו־ G של הישירה המכפלה ־ נקראת G×H

חבורות חשבון 14

אזי: a1, ..., an ∈ Gו־ חבורה G תהי .1אינו המכפלה ערך ־ a1 ·a2 · · · an = (((a1) · a2) · · · ) ·anהאיברים. בין סוגריים משמיטים או מכניסים אם משתנה

:a, b, c ∈ Gו־ חבורה G תהי .2

מימין). (צמצום a = b אז ac = ab אם (א)משמאל). (צמצום a = b אז ca = cb אם

.a = e אזי a · a = a אם (ב)

.(a−1

)−1= a (ג)

.(a · b)−1 = b−1 · a−1 (ד)

ש־ כך יחיד x קיים a, b ∈ G לכל (ה).( x = a−1 · b) a · x = b

(a1 · · · ak)−1

= a−1k · · · a−11 (ו)

an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n times

(ז)

(חזקות): בנוסף מגדירים .3

.a0 = e (א)

.a−n =(a−1

)n= (an)

−1 (ב)

מתקיים: n,m ∈ Z ולכל a ∈ G לכל (ג)

.an · am = an+m .i

.(an)m

= anm .ii

מתקיים אינו (ab)n

= anbn החוק לזכור: חשוב .iiiאבלית. בחבורה מדובר אם אלא בחבורות, בד"כ

החיבור לפעולת ביחס בחבורה (כלומר, חיבורי בכתיב (ד)כללי שני ולכן ,na רושמים an החזקה את אז ("+"

החזקה:

nל־ mה־ שבין (הפלוס (n+m) a = na+ma .iשבין הפלוס ואילו מספרים, של רגיל חיבור זה

החבורה. פעולת זאת naו־ ma

.m (na) = (mn) a .ii

6

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

a של הסדר 15

.a ∈ G ויהי חבורה G תהי 15.1 הגדרההקטן הטבעי המספר להיות ומוגדר ord (a) מסומן a של הסדראזי כזה, n ואין במידה כזה. n יש אם ,an = e שמקיים ביותר

אינסופי. מסדר איבר הוא aש־ אומרים

דוגמאות: 15.1

:Z∗10ב־.(34 = 1 (כי ,ord (3) = 4

.(74 = 1 (כי ,ord (7) = 4

:a, b ∈ Gו־ G חבורה עבור

כך m 6= 0 שלם מספר קיים ⇔ סופי מסדר הוא a 15.2 משפט.am = eש־

.a = e⇔ ord (a) = 1 15.3 משפט

סופי. מסדר הוא איבר כל סופית בחבורה 15.4 משפט

כל אז G בחבורה אינסופי מסדר איבר הוא a אם 15.5 למה:i, j ∈ Z לכל כלומר, מזו, זו שונות a חזקות

.ai 6= aj ⇐ i 6= j

כאשר am = ar :m ∈ Z לכל אז ord (a) = n אם 15.6 משפט.r ≡ m (mod n)

הן: a של השונות החזקות אז ord (a) = n נניח 15.7 משפט.e = a0, a1, ..., an−1

משפטים: שני נובעים האחרון מהמשפט

.ai 6= aj :0 ≤ i < j ≤ n− 1 לכל 15.8 משפט

.am = arש־ כך 0 ≤ r ≤ n− 1 יש m ∈ Z לכל 15.9 משפט

:m ∈ Z עבור אז .ord (a) = n נניח 15.10 למה.n | m⇔ am = e

טבעי: k לכל אז ,ord (a) = n אם 15.11 טענה

ord(ak)

=n

gcd (n, k)

:k ∈ Zn לכל :Zn בחבורה 15.12 משפט

ord (k) =n

gcd (k, n)

תת־חבורות 16

כי נניח ,G של תת־קבוצה H ותהי חבורה G תהי 16.1 הגדרהמתקיים a, b ∈ H לכל (ז"א: G של לפעולה ביחס סגורה H

..(a · b ∈ Hעל שמושרית פעולה לאותה ביחס חבורה מהווה עצמה H אם

.G של חבורה תת היא Hש־ אומרים אז G של מהפעולה H.H < G זאת: ומסמנים

.Z < R למשל:

חבורות לתת תנאים 16.1

ישנם .8G של ריקה לא H תת־קבוצה ונתונה G חבורה נתונההיא Hש־ בטוחים להיות כדי לבדוק שצריכים דברים שלושה

:(H < G) G של תת־חבורה:1 טענה

הבאות: הדרישות שתי את מקיימת H אם

מתקיים: a, b ∈ H לכל ז"א, ,G של לפעולה ביחס סגורה H .1.a · b ∈ H

.a−1 ∈ H מתקיים: a ∈ H לכל ז"א: להופכי, סגורה H .2

.H < G אזי:2 טענה

תת־חבורה. היא H אז a · b−1 ∈ H מתקיים a, b ∈ H לכל אם:3 טענה

אם .G של ריקה ולא סופית תת־קבוצה H ותהי חבורה G תהא.H < G אז ,G של לפעולה ביחס סגורה H

לתת־חבורות דוגמאות 16.2

,SLn (F ) ={A ∈Mn (F )

∣∣det (A) = 1}

.SLn (F ) < GLn (F )

ציקליות חבורות 17

.a ∈ G ויהי חבורה G תהי 17.1 הגדרהמסמנים:

〈a〉 =

{an∣∣∣∣n ∈ Z}

.(〈a〉 ={n · a

∣∣n ∈ Z} חיבורי: (בכתיב.a ∈ 〈a〉 כי 〈a〉 6= ∅ כמובן:

.G של תת־חבורה היא 〈a〉 טענה:.〈a〉 ע"י שנוצרת ,G של הציקלית התת־חבורה נקראת 〈a〉

〈a〉 של המבנה 17.1

אזי: אינסופי מסדר איבר הוא a אם.〈a〉 =

{. . . , a−1, a−1, a0 = e, a1, a2, . . .

}: תהיה Hב־ והפעולה מזו זו שונות כאן החזקות כל

.ai · aj = ai+j ,∀i, j ∈ Zמדויק העתק היא 〈a〉 אינסופי, מסדר הוא a אם זה, (במקרה

.(Z של

ב־∅. יחידה איבר אין כי תת־חבורה, אינה ∅8

7

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

אזי: ord (a) = n אם־ 〈a〉 =

{a0 = e, a1, a2, . . . , an−1

}היא: 〈a〉ב־ והפעולה מזה זה שונים כאן האיברים כלהעתק היא 〈a〉 זה במקרה כלומר, ,ai · aj = ai+j (mod n)

.(Zn של מדויק

חיבורית. בחבורה כמובן מדובר ,Z8 את ניקח למשל:〈2〉 = {0 · 2, 1 · 2, 2 · 2, 3 · 2} = ־ לכן ,ord (2) = 4 א.

{0, 2, 4, 6}.〈6〉 = 〈2〉 כי לב נשים

כי לב נשים .〈3〉 = Z8ש־ ישירות מכך נובע לכן ,ord (3) = 8.〈1〉 = 〈3〉 = 〈5〉 = 〈7〉

הזוגיים). המספרים (כל 〈2〉 ={n · 2

∣∣n ∈ Z} :Zב־.〈1〉 = 〈−1〉 = Z

כך a ∈ G קיים אם ציקלית חבורה נראת G חבורה 17.2 הגדרה.G של יוצר נראה כזה a .〈a〉 = Gש־

מספר להיות ומוגדר |G| מסומן G סופית חבורה של של הסדר.G של האיברים

.ord (a) = |〈a〉| 17.3 משפט

G = נגיד: ,Gל־ אינסופית, ציקלית חבורה G תהי 17.4 משפט.a, a−1 יוצרים: שני בדיוק יש Gל־ .〈a〉

.G = |n| .n מסדר סופית חבורה G תהי 17.5 משפט.ord (a) = n ⇐⇒ G של יוצר הוא a ∈ G איבר

.n מסדר איבר Gב־ יש ⇐⇒ ציקלית G 17.6 משפט

־ G של היוצרים ,n מסדר ציקלית חבורה G תהי 17.7 משפט.nל־ זר kו־ 0 ≤ k < n כאשר ak הינם

.ϕ (n) הינו הללו היוצרים מספר

שמקיימים k ∈ Zn האיברים הם Zn של היוצרים דוגמא:.gcd (k, n) = 1

:Z∗n לגבי

ציקלית חבורה היא Z∗n טבעי. מספר n > 1 יהי 17.8 משפטהבאות: הצורות מאחת הוא n ⇐⇒

ראשוני מספר הוא p כאשר ־ n = 2, n = 4, n = pk, n = 2pk

טבעי. מספר kו־ אי־זוגיציקלית. אינה ־ Z∗12 ציקלית, ־ Z∗50 למשל:

.ϕ (ϕ (n)) הוא: שלה היוצרים מספר ציקלית היא Z∗nש־ בהנחה

.n של פרימיטבי שורש נקרא Z∗n החבורה של יוצר 17.9 הגדרה

ציקלית. חבורה היא Z∗n ⇐⇒ פרימטיבי שורש יש nל־הינו: n של הפרימיטיבים השורשים מספר זה (ובמקרה

.(ϕ (ϕ (n))

.G × H בחבורה נסתכל חבורות. Hו־ G תהינה 17.10 טענהG של יוצר a אזי ,G ×H של יוצר היוא (a, b) ∈ G ×H אם

.H של יוצר bו־G,H גם אזי ציקלית חבורה היא G × H שאם נובע מכך

ציקליות.

יוצר 1 למשל: נכונה, אינה הנ"ל לטענה ההפוכה הטענה הערה:ord (1, 1) = 4 כי Z∗4×Z∗2 של יוצר אינו (1, 1) אבל ,Z∗4,Z∗2 של

.|Z∗4 × Z∗2| = ש־8 בעוד Z∗4 × Z∗2ב־.gcd (|G| , |H|) = 1 ⇐⇒ G×H של יוצר יהיה (a, b)

נסמן: סופיות. ציקליות חבורות Hו־ G תהיינה 17.11 משפט.|G| = n, |H| = m

.gcd (n,m) = 1 ⇐⇒ ציקלית חבורה היא G×H אז,a)כאשר b) הזוגות בדיוק יהיו G×H של היוצרים זה ובמקרה

.H של יוצר bו־ G של יוצר a

המשפט: של פרטי מקרה.gcd (n,m) = 1 ⇐⇒ ציקלית חבורה היא Zn × Zm

תמורות 18

(a1a2 · · · ar) תמורה של ההצגה אופן 18.1

הבאה: התמורה על נסתכל

f =

(1 2 3 4 5 63 4 2 1 6 5

)הבא: באופן התמורה את לרשום ניתן אזי

ל־4). ו־1 ל־1 אותנו מעביר 4) f =(1 3 2 4

) (5 6

)ב־ מסמנים (שונים) 9a1, . . . , ar ∈ [n] עבור 18.1 הגדרהוכך ,a2ל־ a1 את ששולחת Snב־ התמורה את (a1a2 · · · an)

.a1ל־ שולחת היא ar את הלאה...(a1a2 · · · ar) ־ לעצמו! שולחת היא מופיע שאינו אחר איבר וכל

.r מאורך (מעגל) ציקלוס נקרא ־

ורואים התמורה של המעגלים על מסתכלים אנחנו הרעיון? מהלמשל: לכן, אותנו, מעביר איבר כל לאן

1)(1 3 2 4

)=(4 1 3 2

)=(1 3 2 4

)הלאה...). וכך ל־2 אותנו מעביר 3 ל־3, אותנו מעבירציקלוס. באותו פעמיים להופיע יכול אינו איבר כמובן

כך: גם להציג ניתן שלמעלה התמורה שאת כמובןf =

(5 6

) (1 3 2 4

)הבאה: התמורה את למשל ניקח אם

f =

(1 2 3 43 2 1 4

)הסיבה: ,f =

(1 3

)כך: אותה נרשום אזי

שלנו.... במקרה ε = (2) = (4) רושמים לא הזהות תמורת ,ε את

נקראים (b1 · · · bs) ו־ (a1 · · · ar) ציקלוסים שני 18.2 הגדרה.i, j לכל ai 6= bj לכל אם זרים ציקלוסים

הזה. באופן רק התמורה את נרשום והלאה מעתה לכן,

תמורות של (הרכבה) הכפלה 18.2

f = (135) (27) , g = :S8ב־ תמורות שתי לנו ויש נניח,(1254) (68)

.f ◦ g = f · g = (172) (354) (68) היא בניהם המכפלה אזילתוצאה? מגיעים איך

הינה: התמורות שתי של הכללית המכפלהf · g = (135) (27) (1254) (68)

מעגל לסגור לנסות הוא צריכים שאנחנו מה כל ־ כזה הוא הרעיוןהאיברים. כל על ולעבור (ציקלוס)

[n] = {1, . . . , n}9

8

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

(אפשר g מה רואים קודם אזי f ◦g בהרכבה ומדובר היות איך?f מה ואז לאיבר עושה בנפרד) fוב־ gב־ איבר כל על להסתכל

מעגל. שנסגר עד הלאה וכך gמ־ שקיבלנו לאיבר עושהבקצרה: האלגוריתם

מ־101: מתחילים .1

.1→ a אותנו: שולח 1 לאן gב־ מתסכלים (א)

.a→ b אותנו: שולח a לאן :fב־ מסתכלים (ב)

מעגל? נסגר האם (ג)

לנו ויש ,1 במקום b עם רק ל־(א) חוזרים לא: .i.(1b... כבר:

סוגרים התחלנו): שממנו מספר לאותו (חזרנו כן .iiיש ♣ (במקום (1b....♣) (ציקלוס): המעגל אתל־ וחוזרים ל־1). אותנו שמחזיר המספר אתנמצא שאינו ממנו שגדול הבא המספר עם .1

(בציקלוס). במעגל

שלמעלה: לדוגמא מפורט יותר קצת הסבר הנהמ־1: מתחילים

שיש מה כבר לכן ,2→ 7 :fב־ 2 על נסתכל ולכן 1→ 2 :gב־היה רק הוא כי הזה בחלק מתעלמים (מה־2 (17.... הוא לנומה לכן, ,7 → 2 :fוב־ 7 → 7 :gל־ ה־7 עם נחזור "מעבר"),:fוב־ 2 → 5 :gב־ ־ 2 עם נמשיך (172... הוא: כרגע לנו שישהוא הראשון המעגל לכן מעגל! כאן סגרנו לב נשים אם .5→ 1

.(172)ל־3: נמשיך לכן שייך, הוא מעגל לאיזה יודעים כבר אנחנו 2 לגביהוא: עכשיו עד לנו שיש מה לכן ,3 → 5 :fוב־ 3 → 3 :gב־שיש מה לכן 4 → 4 :fוב־ 5 → 4 :gב־ ,5 עם נמשיך .(35...4 → 1 :gב־ :4 עם נמשיך כעת .(354... הוא עכשיו עד לנוהמעגל לכן מעגל! כאו נסגר ־ לב נשים ואם .1 → 3 :fוב־

.(354) הוא: השניבמעגלים. לנו נמצאים כבר הם כי לדלג ניתן 4, 5, 7 על

:6 עם נמשיךלכן .6 → 6 שהוא: כמו אותו משאיר fו־ 8 → 6 את שולח g

.(68... הוא בינתיים לנו שיש מהלב נשים אם .6 → 6 :fוב־ 8 → 6 :gב־ :8 עם נמשיך כעת

מעגל. סגרנו

.(172) (354) (68) הוא: שקיבלנו מה סה"כ,

מספר לכל אז ציקלוס, αהוא (a1, . . . , an) אם 18.3 משפטע"י: שמוגדרת התמורה היא αk , k טבעי

αk (ai) = ai+k (mod r)

.0 ולא r הוא r (mod r) אחד: הבדל עם

נוחות. מטעמי 1 בחרתי .nל־ 1 בין מספר מכל להתחיל 10אפשר

חבורות של הומומורפיזם 19

H פעולת ואת ב־∗ G פעולת את נסמן חבורות. G,H תהיינהב־·.

שמקיימת: ϕ : G→ H פונקציה זוהי Hל־ Gמ־ הומומורפיזםשומרת ϕ (כלומר, .ϕ (a ∗ b) = ϕ (a) · ϕ (b) ∀a, b ∈ G

החבורה). פעולת על

שהוא ϕ : G → H הומומורפיזם זהו ,Hל־ Gמ־ איזומורפיזםועל. חח"ע

קיים אם G ∼= H ורושמים Hל־ איזומורפית Gש־ אומרים.Hל־ Gמ־ איזומורפיזם

.ϕ (x) = 2x ,ϕ : R→ R∗ למשל::x, y ∈ R לכל

ϕ לכן ,ϕ (x+ y) = 2x+y = 2x · 2y = ϕ (x) · ϕ (y)אינה היא לכן על, ואינה חח"ע אינה אך הומומורפיזם, היא

איזומורפיזם.

אזי: חבורות של הומומופריזם ϕ : G→ H יהי 19.1 משפט

.ϕ (eG) = eH .1

.a ∈ G לכל ϕ(a−1

)= ϕ (a)

−1 .2

:a1, ..., an ∈ G לכל .3.ϕ (a1 · a2 · · · an) = ϕ (a1) · ϕ (a2) · · ·ϕ (an)

.ϕ (an) = ϕ (a)n :n ∈ Z ולכל a ∈ G לכל .4

חיבורי: בכתיב .5

.ϕ (0G) = 0H (א)

.ϕ (−a) = −ϕ (a) (ב)

.ϕ (a1 + · · ·+ an) = ϕ (a1) + · · ·+ ϕ (an) (ג)

.ϕ (n · a) = n · ϕ (a) (ד)

וטווח גרעין 19.1

מגדירים: חבורות. של הומומורפיזם ϕ : G→ H יהי

.kerϕ ={a ∈ G

∣∣ϕ (a) = eH}

:ϕ של הגרעין

Imϕ ={ϕ (a)

∣∣a ∈ G} ={b ∈ H

∣∣∃a ∈ G⇒ ϕ (a) = b} :ϕ של התמונה

.ker (ϕ) ∈ G, Im (ϕ) ∈ H כמובן:

.G של תת־חבורה הוא ker (ϕ) 19.2 טענה

.H של חבורה תת היא Im (ϕ) 19.3 טענה

אזי: חבורות. של הומומורפיזם ϕ : G→ H יהי 19.4 טענהטריוויאלי). (גרעין ker (ϕ) = {eG} ⇔ חח"ע הוא ϕ

אז ועל חח"ע הומומורפיזם הוא ϕ : G → H אם 19.5 טענההומומורפיזם. הוא ϕ−1 : H → G

היא iG : G → G הזהות העתקת ,G חבורה לכל 19.6 הערהאיזומורפיזם.

9

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

ϕ : G → H ההעתקה H,G חבורות שתי לכל 19.7 הערההוא זה הומומורפיזם, היא ϕ (a) = eH ,a ∈ G שלכל כך

.Im (ϕ) = {eH} ,ker (ϕ) = G הטריוויאלי. ההומומורפיזם

שקילות. יחס הוא חבורות בין האיזומורפיזם יחס 19.8 משפט

איזומורפיות חבורות הן G,H אם 19.9 הערהשנכונה החבורות תורת של טענה כל אזי ,(G ∼= H (כלומר:

בשניה. נכונה להיות חייבת מהן באחת

חשוב: משפט

.Zל־ איזומורפית אינסופית ציקלית חבורה כל .1

.Znל־ אזיומורפית n מסדר ציקלית חבורה כל .2

.Zn × Zm בחבורה: נסתכל ,n,m ∈ N יהיו 19.10 משפטZn × Zmש־ בעבר הוכחנו

.gcd (n,m) = 1 ⇔ ציקלית חבורה היאמקבלים: הקודם ומהמשפט ומזה

.gcd (n,m) = 1⇔ Zn × Zm ∼= Zn·m

.Z8 × Z10 � Z80, Z9 × Z10∼= Z90 למשל:

.Z∗n ∼= Zϕ(n)ו־ ראשוני), p (עבור Z∗p ∼= Zp−1 כמו־כן:

ומשפט ימניות/שמאלית מחלקות 20לגרנאז'

וסימונים הגדרות 20.1

.G של תת־חבורה H ותהי חבורה G תהינסמן: a ∈ G עבור

.H · a ={h · a

∣∣h ∈ H}.a ·H =

{a · h

∣∣h ∈ H}.Gב־ H של ימנית מחלקה נקראת Ha

.Gב־ H של שמלאית מחלקה נקראת aHחיבורי: בכתיב

.H + a ={h+ a

∣∣h ∈ H}. a+H =

{a+ h

∣∣h ∈ H}הן Gב־ H של שמאלית) (או ימניות מחלקות שתי כל 20.1 למה

שוות. או זרות אואיבר כל לוקחים אזי ,G של H תת־חבורה לנו יש כלומר:מחלקה מקבלים ככה .G אברי בכל אותו וכופלים H בחבורהקבוצה אותה את נקבל שלפעמים לב לשים חשוב ימנית/שמאלית.זה כמובן), אחר באחד פעם (כל שונים איברים בשני נכפול אם

מחלקה. באותה נמצאים הללו שהאיברים אומר

:a, b ∈ G עבור 20.2 למה

.b · a−1 ∈ H ⇔ a · b−1 ∈ H ⇔ Ha = Hb .1.b− a ∈ H ⇔ a− b ∈ H ⇔ Ha = Hb חיבורי: בכתיב

.a−1b ∈ H ⇔ b−1a ∈ H ⇔ aH = bH .2

|aH| = |Ha| = H :a ∈ G לכל 20.3 למה

סימון:.Gב־ H של השונות השמאליות המחלקות כל קבוצת ־ L.Gב־ H של השונות הימניות המחלקות כל קבוצת ־ R

.|L| = |R| 20.4 למה

הגדרה:,Gב־ H של האינדקס נקראת (R של (או L של העוצמה

.[G : H] ומסומנת:השמאליות) (או הימניות המחלקות מספר = [G : H] כלומר,

.Gב־ H של השונותמאינדקס תת־חבורה היא Hש־ אומרים אינסופי, זה מספר אם

.Gב־ אינסופי

לגרנז' משפט 20.2

אזי: .G של תת־חבורה H ותהי סופית חבורה G תהי

|G| = |H| · [G : H]

לגראנז' ממשפט מסקנות 20.2.1

אזי: ,G של תת־חבורה Hו־ סופית חבורה G אם .1.|H| | |G|

מתקיים: a ∈ G לכל אזי סופית, חבורה G תהי .2.ord (a) | |G|

איבר וכל ציקלית חבורה היא ראשוני מסדר G חבורה כל .3.G של יוצר הוא G בחבורה eמ־ שונה

:a ∈ G לכל אזי (|G| = n) n מסדר חבורה G תהי .4.an = e

:a ∈ Z∗n לכל ,G = Z∗n ניקח .(4 של פרטי (מקרה .5.aϕ(n) = 1

לכל אז ראשוני, מספר הוא p אם .(5 של פרטי (מקרה .6.ap−1 = 1 :a ∈ Z∗p

עד (כלומר, G ∼= Zp אז ראשוני) p) |G| = p אם 20.5 מסקנהראושני pש־ (בתנאי Zp וזוהי p מסדר אחת חבורה רק יש איזומופריזם כדי

כמובן).

.n של מחלק d ויהי n מסדר ציקלית חבורה G תהי 20.6 משפטנסמן:

אזי: .Cd ={x ∈ G

∣∣xd = e}

.G של תת־חבורה היא Cd .1

.〈a〉 = Cd מתקיים: ord (a) = dש־ כך a ∈ G איבר לכל .2

מהמשפט: מסקנותאזי: .n של מחלק d ויהי n מסדר ציקלית חבורה G תהי

.d מסדר יחידה תת־חבורה Gב־ קיימת .1.d מסדר ϕ (d) בדיוק Gב־ יש .2

10

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

מנה חבורות 21

.G של תת־חבורה H ותהי חבורה G תהי 21.1 הגדרהH / G ורושמים G של נורמלית תת־חבורה היא Hש־ אומרים

.Ha = aH מתקיים: a ∈ G לכל אם

אזי: H < G ותהי חבורה G תהי 21.2 טענה.a−1 · h · a ∈ H :h ∈ H ולכל a ∈ G לכל ⇐⇒ H / G

קבוע). (נתון H / G ותהי חבורה G תהי 21.3 הגדרהנסמן:

G/H ={Ha∣∣a ∈ G}

של השמאליות11) (או הימניות המחלקות כל קבוצת היא G/H.Gב־H

G/Hב־ שיווויון 21.1

:Ha,Hb ∈ G/H

a · b−1 ∈ H ⇐⇒ Ha = Hb

G/H של הפעולה 21.2

:Ha,Hb ∈ G/H עבור

(Ha) · (Hb) = Ha · b

כאשר G/Hב־ מחלקות שתי של כפל זה כאן יש שבצעם מהסוג באיזה (תלוי a · b ל־ בהתאם אחרת מחלקה היא התוצאה

מדובר). חבורהימנית מחלקה הוא xש־ אומר זה אזי x ∈ G/H שאם לזכור כדאי

שמאלית). (או

תלויה אינה היא כלומר, היטב, מוגדרת הנ"ל הפעולה 21.4 טענהאם כלומר, בנציגים.

ומתקיים: a, a1, b, b1 ∈ G.Hab = Ha1b1 אזי: Hb = Hb1ו־ Ha = Ha1

שהגדרנו. לפעולה ביחס חבורה היא G/H 21.5 טענה

תת־ לכל מוגדרת היא .Hב־ G של המנה חבורת נקראת G/H.G של H נורמלית חבורה

הבדל. אין אזי H / Gש־ 11בגלל

הקנוני ההומומורפיזם 22

העתקה: נגדיר , H / G תהי

π : G→ G/H

π (a) = Ha

אזי:

:a, b ∈ G לכל כי הומומורפיזם הוא π .1.π (a.b) = Hab = (Ha) · (Hb) = π (a) · π (b)

חח"ע). אינו אך הגדרתו. (מעצם על הוא πש־ לראות קל .2

הוכחה: ,ker (π) = H .3π (a) = e

G/H⇔ a ∈ ker (π)⇔ Ha = H ⇔ a ∈ H

.G/Hל־ Gמ־ הקנוני ההומומופריזם נקרא πנורמלית, תת־חבורה הוא הומומורפיזם של גרעין תמיד הערה:

אזי: חבורות, של מורפיזם הומו הוא ϕ : G→ H אם כלומר,.(ker (ϕ)) / G

האיזומורפיזם של היסודי המשפט 23

G/ker (ϕ)∼= Im (ϕ)

זה? במשפט להשתמש ניתן כיצדH,K < G כאשר H,K,G חבורות: שתי לנו נתונות

G/K ∼= Hש־ להראות רוצים ואנחנוϕ : G→ H העתקה למצוא צריכים אנחנו אזי,

.G/K ∼= Hש־ נקבל ואז ker (ϕ) = Kו־ Im (ϕ) = Hש־ כךדוגמא:

Z/4 · Z ∼= Z4ש־ להראות רוצים אנחנוϕ (a) = a .ϕ : Z → Z הבאה: ההעתקה את נגדיר אזי

.a ∈ Z עבור (mod 4),(4 | kש־ כך k ∈ Z מספר כל (כלומר, ker (ϕ) = 4 · Z אזי

.Im (ϕ) = Z4ו־המשפט: ע"פ לכן,

Z/4 · Z ∼= Z4

11

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

III חלק

ושדות חוגים

הגדרה 24

(+) חיבור פעולות: שתי מוגדרות שעליה R קבוצה זוהי חוגהבאות: הדרישות שמתקיימות כך 12(·) וכפל

אבלית חבורה הוא R מהכפל), (מתעלמים לחיבור ביחס .1,0 בחוג, אפס יש אלה: דרישות בין דרישות, חמש כולל (זה

.(−a נגדי איבר יש a איבר לכל ולכן

מתקיים: ל־1, בנוסף .2

חד־ערכית מוגדר a · b ,a, b ∈ R לכל הכפל: קשירות (א).a · b ∈ Rו־

מתקיים: a, b, c ∈ R לכל הכפל: אסוציאטיביות (ב).a (bc) = (ab) c

a, b, c ∈ לכל החיבור: מעל הכפל דיסטריבוטיביות (ג):R

a (b+ c) = ab+ ac .i

.(a+ b) c = ac+ bc .ii

דברים: לשני לב לשים כדאיםבכפל. יחידה לאיבר דרישה אין א.לקומוטטיביות. דרישה אין בכפל ב.

חוגים של סוגים 25

(ז"א, קומוטטיבית היא הכל פעולת שבו חוג זהו ־ קומוטטיבי חוג.(ab = ba ,a, b ∈ R לכל

אם לכפל. ביחס יחידה איבר בו שיש חוג זהו ־ יחידה עם חוג."1" יסומן והוא יחיד הוא כזה קיים

שני של (שילוב יחידה איבר עם קומוטטיבי חוג זהו ־ שדההופכי איבר יש מאפס שונה איבר לכל שבו יחד) הקודמים

לכפל.

ההופכי אז לכפל, ביחס הוכפי יש 0 6= a ∈ R לאיבר אם הערה:.a−1ב־ יסומן והוא יחיד הוא

יכול זה בחבורות כמו אבל פעולות, אותן את מכנים אנחנו שככה 12כמובן,

אחר. משהו

לחוגים דוגמאות 26

Z 26.1

קומוטטיבי חוג הוא שלמים של הרגילות והכפל החיבור פעולת עםרק שדה, יאנו הוא ולכן הופכי יש איבר לכל לא (אבל יחידה עם

הופכי). יש ל־1−,1

...C,R,Q 26.2

יחידה. עם קומוטטיבים חוגים הם שדה) כל (או

Zn 26.3

עם קומוטטיבי חוג הוא n מודולו והכפל החיבור פעולת עם יחדיחידה.

ראשוני. הוא n ⇐⇒ שדה הוא Zn

Mn (F ) 26.4

מסדר המטריצות על קבוצה Mn (F ) ותהי כלשהו שדה F יהיוהכפל החיבור לפעולות ביחס חוג הוא Mn (F ) .F מעל n× nעם חוג הוא אבל קומוטטיבי, לא חוג זה מטריצות. של הרגילים

יחידה.

R = 2 · Z 26.5

והכפל החיבור פעולות עם יחד הזוגיים השלמים המספרים קבוצתיחידה.. ללא קומוטטיבי, חוג היא שלמים מספרים של הרגילות

PX 26.6

.X של החזקה קבוצת PX ותהי כלשהי, קבוצה X תהיהבא: באופן PX על וכפל חיבור נגדיר .PX =

{A∣∣A ⊆ X}

קסור). סימטרי, (הפרש A+B = (A ∪B)− (A ∩B). A ·B = A ∩B

יחידה איבר עם קומוטטיבי חוג הוא אלו, פעולות עם יחד ,PX.(1 = X) X

.0 = ∅ החוג: של האפס.A = −A עצמה: A היא :A קבוצה של הנגדי האיבר

.A+Ac = 1, A ·Ac = 0 זה: בחוג

R× S 26.7

בקבוצה: נסתכל חוגים, R,S יהיו,R× S =

{(a, b)

∣∣a ∈ R, b ∈ S}הבא: באופן R× S על וכפל חיבור נגדיר

.(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)חוג. הוא R× Sש־ לבדוק קל

אבלית חבורה הוא R בפרט אז חוג, הוא R אם הערה:לכפל). קשר (בלי החיבור לפעולת ביחס

גם נכון חיבוריות, אבליות חבורות לגבי שנכון מה כל לכן,בחוגים.

בחבבורה a של ה־n־ית החזקה זוהי na ,n ∈ Zו־ a ∈ R עבור.R החיבורית

חיבורית. בחבורה כמו מתייקמים החזקה כללי.a · 0 = 0 · a = 0 a ∈ R לכל אז חוג. R יהיה טענה:

12

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

אפס מחלקי 27

אם אפס מחלק נקרא a ∈ R איבר חוג. R יהיה 27.1 הגדרה.ba = 0 או ab = ש־0 כך 0 6= b ∈ R aוקיים 6= 0

אפס. מחלקי הם 4, 3 לכן 4 · 3 = 0 :Z6ב־ למשל:

צימצום עם וחוג שלמות תחום 28

שאין יחידה עם קומוטטיבי חוג זהו שלמות תחום 28.1 הגדרהאפס. מחלקי בו

נכון, אינו ההפך אבל שלמות, תחום הוא F שדה כל הערה:שדה. אינו אך שלמות תחום הוא Z למשל:

:a, b, c ∈ R לכל שמקיים R חוג זהו צימצום עם חוג 28.2 הגדרה.a = b אז c 6= ו־0 ca = cb או ac = bc אם

דוגמאות:4 6= 0, 2 6= 0 אבל 4 · 2 = 0 למשל: כי שלמות חוג אינו Z8

.2 6= 6 אבל 4 · 6 = 4 · 2 כי צמצום עם חוג אינו הוא כן וכמו

ואידאל תת־חוג 29

לא חלקית תת־קובצה S ⊆ R ותהי חוג R יהי 29.1 הגדרהאוטומטית מוגדרות R של והכפל החיבור פועלות אז R של ריקהאז אלו לפעולות ביחס חוג מהווה עצמה S אם .S אברי על

.R של תת־חוג הוא Sש־ אומריםהבאה: התכונה את שמקיים R של I תת־חוג זה R בחוג אידאלI (ז"א, ir ∈ I, ri ∈ I מתקיים: i ∈ I ולכל r ∈ R לכל

אצלו). נשארות המכפלות כל כלומר, מכפלות, סופג

(m ∈ Z (כאשר m · Z הינם החוגים תתי ,Z בחוג למשל, ⊕אידאל. הוא m · Zש־ לבדוק קל בלבד.

הינם Zב־ השונים והאדיאלים אידאל הוא Z של תת־חוג כל.m ≥ 0,m · Z

.[n = ±m ⇐⇒ n · Z = m · Z]

אלה ,Rב־ אידאלים הם Rו־ {0} , R חוג בכל 29.2 הגדרההטריוויאלים. האידאלים נראים

היא R של תת־קבוצה אם לבדוק ניתן כיצד 29.1אידאל? או תת־חוג

חוג. R יהי

תת־חוג היא האם בדיקה 29.1.1

מספיק R של תת־חוג Sש־ לבדוק כדי .∅ 6= S ⊆ R תהילבדוק:

.a− b ∈ S מתקיים: a, b ∈ S לכל לחיסור: סגורה S .1

.a · b ∈ S מתקיים: a, b ∈ S לכל לכפל: סגורה S .2

אידאל היא האם בדיקה 29.1.2

מספיק R בחוג אידאל הוא Iש־ לבדוק כדי .∅ 6= I ⊆ R תהילבדוק:

לחיסור. סגורה I .1

מתקיים: b ∈ R ולכל a ∈ I לכל ז"א, מכפלות, סופגת I .2.b · a ∈ I וגם a · b ∈ I

.I = R אזי 131 ∈ I ואם Rב־ אידאל הוא I אם 29.3 הערה.a = a · 1 ∈ I :a ∈ R לכל כי

איבר נקרא a ∈ R איבר יחידה. עם חוג R יהי 29.4 הגדרההוא כזה יש אם .a · b = b · a = ש־1 כך b ∈ R יש אם הפיך

.a−1 ומסומן a של הוהפכי נקרא הוא יחיד.(עם בחוג ההפיכים האיברים כל קבוצת את R∗ב־ מסמניםונקראת R של הכפל לפעולת ביחס חבורה היא R∗ .R יחידה)

.Rב־ ההפיכים האיברים חבורתמספרים כפל לפעולת ביחס חבורה ,Z∗ = {−1, 1} למשל:

שלמים.דוגמאות: כמה עוד

.(Zn)∗

= Z∗n .1

.F ∗ = F − {0} שדה: F אם .2

.Mn (F )∗

= GLn (F ) .3

טריביאלית). (חבורה P ∗X = {X} = {e} קבוצה: X .4

R אם .Rב־ אידאל I ויהי יחידה, עם חוג R יהי 29.5 משפט⇐ 1 ∈ I ⇐ b · a ∈ I כי .I = R אזי 14a הפיך איבר מכיל

.I = R

שדה הוא R אז יחידה. עם קומוטטיבי חוג R יהי 29.6 משפטRב־ אין (ז"א, .Rו־ {0} הם Rב־ היחידים האידאלים ⇐⇒

טריביאלים). לא אידאלים

סימון:מסמנים: a ∈ R לכל . יחידה עם קומוטטיבי חוג R יהי

.〈a〉 = a ·R ={a · r

∣∣r ∈ R}.Rב־ אידאל הוא 〈a〉 29.7 טענה

.〈a〉 ⊆ J מקיים a ∈ J המקיים Rב־ J אידאל כל 29.8 טענה.(a את המכיל R של ביותר הקטן האידאל הוא 〈a〉 (כלומר,

הראשי האידאל נקרא למעלה בטענה 〈a〉 האידאל 29.9 הגדרה.a ע"י הנוצר

ע"י הנוצר אידאל הוא יחידה עם קומוטטיבי בחוג ראשי אידאל.〈3〉 = 3 · Z למשל: הנ"ל, בגרך R של אחד איבר

ראשי. אידאל הוא אידאל כל שבו חוג זו ראשי חוג 29.10 הגדרההשמאלית). בעמודה ⊕ (ראו .Z למשל:

יחידה. עם חוג הוא Rש־ מניחים 13אנחנו

כמובן. Rב־ 14הפיך

13

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

חוגים של הומומורפיזם 30

:a, b ∈ R לכל מקיים, Sל־ Rמ־ הומומורפיזם חוגים. S,R יהיו

.ϕ (a+ b) = ϕ (a) + ϕ (b) .1

.ϕ (a · b) = ϕ (a) · ϕ (b) .2

איזומורפיזם. נקרא ועל חח"ע שהוא הומומורפיזםאיזומורפיזם קיים אם איזומורפים חוגים הם S,R חוגים שני

זאת: ורושמים ,ϕ : R→ S

R ∼= S

חוגים. בין שקילות יחס זהוהערה:

ϕ בפרט אז חוגים, של הומומורפיזם הוא ϕ : R → S אם.S החיבורית לחבורה R החיבורית מהחבורה הומומורפיזם הואחבורות, של הומומורפיזם על שלנו הידע כל את ליישם ניתן לכן

למשל:,ϕ (0R) = 0S

,a ∈ R לכל ϕ (−a) = −ϕ (a)וכו'.... , a ∈ R לכל ϕ (na) = nϕ (a)

חוגים של הומומורפיזם של ותמונה גרעין 30.1

חוגים. של הומומורפיזם ϕ : R→ S יהי:ϕ של הגרעין

ker (ϕ) ={a ∈ R

∣∣ϕ (a) = 0S}

ϕ : R→ החיבוריות החבורות של ההומומורפיזם של גרעין (זהו.S

:ϕ של התמונה

Im (ϕ) ={ϕ (a)

∣∣a ∈ R} ={b ∈ S

∣∣∃a ∈ R,ϕ (a) = b}

(�) .Rב־ אידאל הוא ker (ϕ) 30.1 טענה

.S של תת־חוג הוא Im (ϕ) 30.2 טענה

a · b ∈ ker (ϕ) מתקיים b ∈ Rו־ a ∈ ker (ϕ) לכל :(�) הוכחהכי: b · a ∈ ker (ϕ)ו־

מראים דומה ובאופן ϕ (ab) = ϕ (a) · ϕ (b) = 0 · ϕ (b) = 0.ba ∈ ker (ϕ)ש־

ker (ϕ) ש־=6 מחבורות לנו וידוע מכפולת סופג ker (ϕ)ש־ הראנואידאל). הוא (ולכן לחיסור סגור גם ושהוא ∅

מנה חוג 30.2

של תת־חבורה הוא I בוודאי .Rב־ אידאל I ויהי חוג R יהיתת־ היא I בוודאי לכן אבלית) (שהיא R החיבורית החבורה

.R/Iכ־ המנה חבורת מוגדרת לכן ,R של נורמלית חבורה

R/I המנה חברות מבנה 30.2.1

כלומר, :a ∈ R כאשר I + a הינם האיברים.R/I =

{I + a

∣∣a ∈ R}:R/Iב־ איברים שיוויון

מחלקות). (שוייון a− b ∈ I ⇐⇒ I + a = I + b:R/Iב־ הפעולה

.(I + a) · (I + b) = I + (a+ b).I + 0 = I (אפס): היחידה איבר

− (I + a) = I + (−a) (הופכי): נגדיאבלית. חבורה היא R/I

הבא: באופן כפל פעולת R/I על נגדיר כעת,.(I + a) · (I + b) = I + a · b

תלויה אינה היא (כלומר, היטב מוגדרת הנ"ל הפעולה טענה:בנציגים).

ופעולת שציינו החיבור לפעולת ביחס חוג הוא R/I 30.3 טענההוא הכפל ש־א) לבדוק רק צריך זה (בשביל שהגדרנו. הכפלמימין דיסטריביוטיבי הכפל ג) אסוציאטיבי. הכפל ב) קשיר.

הוכח). כבר השאר כל ומשמאל.

.Rב־ I של המנה חוג נקרא R/I 30.4 הגדרה

.R/I גם כך אז קומוטטיבי חוג הוא R אם 30.5 הערה

איבר .R/I גם כך אז יחידה, עם חוג הוא R אם 30.6 הערה.I + 1 הוא: זה במקרה R/I של היחידה

.0, 1, 2, 3, 4 הינן: המחלקות .Z/5 · Z דוגמה:. Z/〈5〉 :Z/5 · Z במקום לרשום ניתן כמו־כן,

מקסימלי אידאל 30.3

I 6= R אם מקסימלי אידאל נקרא R בחוג I אידאל 30.7 הגדרה.I $ J $ Rש־ כך R של J אידאל קיים ולא

אחרות: במיליםאם :Rב־ J אידאל ולכל I 6= R ⇐⇒ מקסימלי אידאל הוא I

. J = Rש־ או J = Iש־ או אז I ⊆ R

הינם: בו השונים האידאלים אזי ,Z6 ניקח למשל:,〈0〉 = {0},〈1〉 = Z6

,〈3〉 = {0, 3} ,〈2〉 = {0, 2, 4},〈4〉 = {0, 4, 2} = 〈2〉

.〈5〉 = {0, 5, 4, 3, 2, 1} = Z6

אידאל שום קיים לא כי מקסימליים אידאלים הם ־ 〈2〉 , 〈3〉:〈3〉 את ניקח למשל, "בניהם", לשים שנוכל

.{0, 3} $ J $ Z6ש־ כך ,J 6= Z6 אחר אידאל שום אין.〈2〉 לגבי הדבר אותו מקסימלי, אידאל הוא 〈3〉 ולכן

אבל אידאל, הוא ש־〈4〉 לומר יכולים גם היינו :〈2〉 לגבי הערהאידאל הוא ש־〈2〉 פשוט לומר ניתן אזי 〈2〉 = ש־〈4〉 בגלל

ה־〈4〉. על גם ישליך וזה מקסימלי.(J = Iש־ נקבל ההגדרה ע"פ כזה במקרה (כי

כאשר 〈m〉 = m·Z הם: השונים האידאלים Z בחוג דוגמא:.m ∈ N

.〈1〉 = Z ,〈0〉 = {0} כמובן:

:n,m > 1 שעבור לב נשיםראשוני. מספר הוא m⇐⇒ (n | m ⇐⇒ m · Z ⊂ n · Z)

14

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

I ויהי ,(1 6= 0) יחידה עם קומוטטיבי חוג R יהי 30.8 משפטאז: Rב־ אידאל

.Rב־ מקסימלי אידאל הוא I ⇐⇒ שדה הוא R/I

פולינומים חוגי 31

הגדרות 31.1

R מעל פולינום יחידה. עם קומוטטיבי חוג R יהי 31.1 הגדרהמהצורה: פורמלי" "ביטוי זהו

ו־ n ∈ N כאשר p (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx

n

. a1, . . . , an ∈ R

p (x) פולינום יחידה. עם קומוטטיבי חוג R יהי 31.2 הגדרהמהצורה: Rב־ איברים של אינסופית סדרה הוא R מעל

.i ≥ n0 לכל ai = ש־0 n0 ∈ N שקיים כך p (x) = (a0, a1, . . .)

סימון:הוא כאן R) .R מעל הפולינומים כל קבוצת = R [X] מסמנים:

יחידה). עם קומוטטיבי חוגזאת ולעומת Rב־ איברים הם המקדמים בפולינום לזכור חשוב

.Nב־ טבעיים מספרים אלו החזקות.(Rב־ הם להציב יכולים שאנחנו ה־x־ים גם (כמו־כן,

פולינומים שיווייון 31.2

הם q (x) = (b0, b1, . . ו־(. p (x) = (a0, a1, . . .) פולינומים שני.i לכל ai = bi אם (p (x) = q (x) (בסימון שווים

R [X] על וכפל חיבור פעולות 31.3

באופן וחיבור כפל מגדירים p (x) , q (x) פולינומים שני עבור: הבא

חיבור 31.3.1

p (x) + q (x) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . )

כפל 31.3.2

p (x) · q (x) = (c0, c1, . . . )

:k ∈ N לכל כאשר

ck =

k∑i=0

ai · bk−i =∑i+j=k

aibj

לפעולות ביחס יחידה עם קומוטטיבי חוג הוא R [X] 31.3 משפטאלו.

,p (x) = (0, 0, 0, . . .) האפס פולינום הוא זה בחוג אפס איבר.p (x) = (1, 0, 0, . . .) זה: בחוג היחידה איבר

כ־ p (x) = (a0, a1, . . .) הפולינום את לסמן נהוגp (x) = a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·

p (x) ∈ R [X] פולינום של (degree) המעלה 31.4

ביותר הגדול השלם המספר להיות ומוגדרת deg p (x) מסומנתהמעלה לכן כזה, n אין האפס פולינום עבור .an 6= 0 שעבורו n

מוגדרת15. אינה האפס פולינום של

p (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · · הכתיבה: בצורת

מונום. נקרא aixi

במונום המקדם הוא ai מונומים. של כסכום נרשום פולינום.aixi

(משמיטים אפסים שלהם שהמקדמים מונומים רושמים לא בד"כאותם).

אם בפרט: .R [X] גם כך שלמות תחום הוא R אם 31.4 הערהאפס. מחלקי אין F [X]ב־ אז שדה, F

מתקיים: תמיד R [X]ב־ 31.5 הערהdeg (p (x) · deg q (x)) ≤ deg p (x) · deg q (x)

אז: שדה) (ופרט שלמות תחום הוא R ואםdeg (p (x) · q (x)) = deg p (x) + deg q (x)

ב־ ההפיכים הפולינומים אז שלמות, תחום הוא R אם 31.6 טענהp (x) = a קבועים) (פולינומים 0 ממעלה הפולינומים הם R [X]

.Rב־ הפיך איבר הוא a כאשר

F [X]ב־ ההפיכים הפולינומים אז שדה, הוא F אם 31.7 מסקנה.0 6= a ∈ F כשאר p (x) = a הם

p (x) = 1, p (x) = הפיכים: פולינומים שני יש Z [X] ב־ למשל:.−1

שדה), F ) F [X] יהי 31.8 משפטקיימים (b (x) 6= 0 (כאשר a (x) , b (x) ∈ F [X] לכל אזי,

.a (x) = q (x) b (x) + r (x)ש־ כך יחידים פולינומים.deg (r (x)) ≤ deg (q (x)) או r (x) = 0 כאשר

נקרא r (x) ,b (x)ב־ a (x) של החילוק מנת נקרא q (x)השארית.

R כאשר R [X] לחוג להכליל ניתן האחרון המשפט את הערה:שהמקדם לדרוש צריך .b (x) על תנאי עם קומוטטיבי חוג הוא

.R [X]ב־ הפיך איבר יהיה העליון

פולינומים של שורש 31.5

העתקה: נגדיר c ∈ F לכל שדה. F יהי

ϕc : F [X]→ F

∀p (x) ∈ F [X] :ϕc (p (x)) = p (c)

אזי: ,p (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · · anxn אם ?p (c) זה מה

.p (c) = a0 + a1 · c+ a2 · c2 + · · ·+ ancn

p (x) , q (x) ∈ לכל כלומר, חוגים, של הומומורפיזם הוא ϕc:F [X]

ϕc (p (x) + q (x)) = ϕc (p (x)) + ϕc (q (x))ϕc (p (x) · q (x)) = ϕc (p (x)) · ϕc (q (x))

(c (הצבת הצבה הומומורפיזם נקרא ϕc

.−∞ היא האפס פולינום שמעלת אומרים לחילופין 15או

15

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

.ker (ϕc) ={p (x) ∈ F [x]

∣∣∣p (c) = 0}

,Im (ϕc) = F

p (c) = 0 אם p (x) ∈ F [X] של שורש הוא c ∈ F ש־ אומרים.

b (x) את מחלק a (x)ש־ אומרים R [X]ב־ 31.9 הגדרהש־ כך c (x) ∈ R [X] קיים אם a (x) | b (x) ורושמים

.a (x) · c (x) = b (x)

כאן). כאלה במקרים נתעסק לא אנחנו (אבל (4xn + 1) | 1 ־ Z8 [X]ב־

הוא c ∈ F אם .p (x) ∈ F [X] יהי שדה. F יהי 31.10 משפטאז: p (x) של שורש

16(x− c) | p (x)p (2) = .p (x) = x3+x2+2x+2 את ניקח Z3 [X]ב־ דוגמה:

.(x− 2) | p (x) כלומר .p (x) של שורש הוא 2 לכן 0.p (x) = (x− 2) · a (x) ש־ כך a (x) ∈ Z3 [X] קיים כלומר,עם חילוק (ע"י a (x) את למצוא בקלות ניתן ,deg (a (x)) = 2

.(0 שארית לקבל חייבים שארית.

.p (x) של שורש c ∈ F ויהי p (x) ∈ F [X] יהי 31.11 הגדרהנקרא (x− c)m | p (x) שמקיים ביותר הגדול m הטבעי המספרשל שורש הוא c אם .p (x) של c השורש של (האלגברי) הריבוי.1 ≤ m ≤ deg (p (x))ו־ כזה m אחד שקיים בוודאי אז p (x)הוא אחרת ,m = 1 אם p (x) של פשוט שורש הוא cש־ אומרים

מרובה. שורש נקרא

של (F (מ־ שונים שורשים הם c1, ..., ck אם 31.12 מסקנהאזי: F [X]מ־ p (x) פולינום

.deg (p (x)) ≥ k ולכן (x− c1) · (x− c2) · · · (x− ck) | p (x)היותר לכל להיות יכולים p (x)ל־ אז deg (p (x)) = n אם לכן

שונים. שורשים n

ממעלה p (x) ∈ F [X] פולינום שדה. F יהי 31.13 הגדרהפולינומים קיימים לא אם F מעל אי־פריק פולינום נקרא חיוביתכאשר p (x) = a (x) · b (x)ש־ כך a (x) , b (x) ∈ F [X]

.(p (x) ממעלת (וקטנה deg (a (x)) ,deg (b (x)) > 0

(F שדה מעל בפולינומים (מדובר הערות:

.F מעל אי־פריק הוא F [X]ב־ 1 ממעלה פולינום כל .1

אזי ,F ב־ p (x)ל־ שורש יש ואם deg (p (x)) > 1 אם .2.F [X]ב־ פריק פולינום הוא p (x)

,F מעל פריק הוא p (x) אפ ז"א. נכון, אינו 2 של ההפך .3.F ב־ p (x) של שורש להיות חייב לא אז

אבל: שורש, יאן לפולינום ,p (x) = x4+1 ∈ R [X] למשל:.x4 + 1 =

(x2 − x+ 1

) (x2 + x+ 1

).3 או 2 יהיה deg (p (x)) אם נכון יהיה כן 2 של ההפך .4,F ב־ p (x)ל־ שורש ואין deg (p (x)) = 2 or 3 אם ז"א:

.F [X]ב־ פריק אי p (x) אזי:F [X]ב־ 3 או 2 ממעלה פולינום עבור כלומר,

.xב־ שורשים p (x)ל־ אין ⇐⇒ F [X]ב־ פריק אי p (x)

דוגמאות: כמה:Z2 [X]ב־ 2 ממעלה פריקים אי פעולינום

בתוך שנמצא הפולינום ־ x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x+ 1היחיד הוא ולכן Z2 [X]ב־ שורש לו שאין היחיד הוא המלבן

פריק. שאינו

.F [X]ב־ 1 ממעלה פולינום ,x− c16

Z2 [X]ב־ שורש אין p (x)ל־ p (x) = x5 + x4 + x3 + x2 + 1אי p (x)ש־ אומר לא זה לכן ,deg p (x) = 5 אבל לבדוק), (קל

פריק.פריק: p (x) האם נבדוק

שורש. לו אין כי 1 ממעלה בפולינום להתחלק יכול לא p (x)לו שאין 2 ממעלה בפולינום להתחלק חייב הוא פריק, p (x) אם

שורש.זה: שורש, לו שאין Z2 [X]ב־ 2 ממעלה אחד פולינום רק יש

בו: מתחלק p (x) אם נבדוק .x2 + x+ 1

x3 + 1

x2 + x+ 1)

x5 + x4 + x3 + x2 + 1

− x5 − x4 − x3

x2 + 1

− x2 − x− 1

− xשארית.. ישנה לא!

.Z2 [X]ב־ פריק אינו הנ"ל שהפולינום מכאן

.0 6= p (x) , q (x) ∈ F [X] יהיו 31.14 הערהקבוע). הוא c (כאשר p (x) = c (x) · q (x)

הוא המפולינומים אחד כל ⇐⇒ q (x) | p (x) ו־ p (x) | q (x)p (x)ש־ אומרים זה במקרה השני. של (6= 0) בסקלר כפולה

חברים. הם q (x)ו־

ניתן חיובית ממעלה p (x) ∈ F [X] פולינום כל 31.15 משפטהוא והפירוק אי־פריקים פולינומים של למכפלה F [X]ב־ לפירוק

חברים. כדי עד יחיד

כלומר ,F מעל הפולינומים חוג אז שדה. F יהי 31.16 משפטאידאל הוא F [X]ב־ אידאל כל ז"א, ראשי. חוג הוא F [X]

ראשי.

I = 〈a (x)〉 אז F [X]ב־ אידאל הוא I 6= {0} אם בנוסף,כל מבין מינימלית ממעלה פולינום הוא a (x) ∈ I כאשר

.Iב־ מאפס השונים הפולינומים

מתוקן. פולינום נקרא: 1 הוא בו xnה־ שמקדם n ממעלה פולינוםיחיד. מתוקן חבר יש חיובית ממעלה פולינום לכל הערה:

ממעלה פולינום ע"י נוצר I Fאז [X]ב־ אידאל הוא I אם.a (x) ,Iב־ מינמלית

יחיד יוצר יש אבל (a (x) של החברים (כל Iל־ יוצרים הרבה ישמתוקן. פולינום שהוא

נסתכל .F [X]ב־ אידאל I = 〈p (x)〉 יהי שדה. F יהי כעת,בחוג:

F [X]/I = F [X]/p(x)

זה: חוג אברי

a (x) =def〈p (x)〉+ a (x) , a (x) ∈ F [X]

איברים: שני ניקח,b (x) = 〈p (x)〉+ b (x) , a (x) = 〈p (x)〉+ a (x)

16

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

ההגדרות: לפי אזי,קיים ⇐⇒ a (x) − b (x) ∈ p (x) ⇐⇒ a (x) = b (x)⇐⇒ a (x) − b (x) = p (x) · q (x) ש־ כך q (x) ∈ F [X]

.p (x) | (a (x)− b (x))אחד נציג יש F [X]/〈p(x)〉 של a (x) = 〈p (x)〉 + a (x) לאיבר

.deg p (x) > ממעלה r (x) ויחידשמקיים: ויחיד אחד r (x) ∈ F [X] קיים כלומר,כלומר: ,a (x) = r (x)ו־ deg r (x) < deg p (x)

.a (x) + 〈p (x)〉 = r (x) + 〈p (x)〉את מחלקים כאשר שמקבלים השארית את ניקח זה r (x) בתור

.p (x)ב־ a (x)למשל: זה בחוג אז ,R[X]/〈x2+1〉 הפולינומים בחוג נסתכל למשל:

x3 =⟨x2 + 1

⟩+ x3

:r (x) את למצוא בשבילx

x2 + 1)

x3

− x3 − x− x

הסבר: ,x3 = −x ולכן,x3 − (−x) = x3 + x =

(x2 + 1

)· x ∈

⟨x2 + 1

⟩.−x =

⟨x2 + 1

⟩+ (−x) כמו־כן:

ו־ deg p (x) > ממעלה הם r2 (x)ו־ r1 (x)ש־ ייתכן לא.r1 (x) = r2 (x)

:1 דוגמא.a, b ∈ R, ax+ b השונים: האיברים R[X]/〈x2+1〉:המנה בחוג

:2 דוגמאa, b, c ∈ השונים: האיברים Z2[X]/〈x3+x+1〉 המנה: בחוג

.Z2, ax2 + bx+ c

ממעלה פולינום p (x) ∈ F [X] יהי שדה. F יהי 31.17 משפטהוא p (x) ⇐⇒ שדה הוא F [X]/〈p(x)〉 המנה חוג חיוביות.

.F [X]ב־ אי־פריק פולינום

מעל n ממעלה p (x) אי־פריק פולינום נבחר אם 31.18 הערההמנה חוג אז (p (x) ∈ Zp [X] ראשוני, p) Zp השדהF = אם למשל: איברים, pn בו שיש שדה הוא Zp[X]/〈p(x)〉a, b ∈ הם השדה ואברי |F | = 32 = 9 אזי Ze[X]/〈x2+1〉

.Z3, a+ bx

לההערה שמתאים p (x) פולינום קיים תמיד 31.19 הערהעבור לכן, ,(Zp [X]ב־ מעלה מכל אי־פריק פולינום (יש ממקודםF שדה לבנות נוכל תמיד ,n טבעי מספר ועבור p ראשוני מספר

.|F | = pn ש־ כך

p כאשר |F | = pn אזי סופי, שדה הוא F אם 31.20 הערהטבעי. nו־ ראשוני

שדה קיים n טבעי מספר ולכל p ראשוני מספר לכל 31.21 הערהאיזומורפיזם. כדי עד יחיד הוא זה ושדה |F | = pnש־ כך F

q כאשר רק מוגדר זה .q איבריו שמספר השדה זה Fq סימון:(אבל Fqל־ אחת מהצגה יותר יש ראשוני. מספר של חזקה הוא

איזומורפיות). ההצגות כל.F32 ⇒ 32 = 25 ⇒ F32 = Z2[X]/〈x5+1〉 למשל:

אזי: ,F [X]ב־ אי־פריק p (x) נניח

K := F [X]/〈p (x)〉

שדה. הואהפולינומים F־ ⊆ K ,F =

{a∣∣a ∈ F} נסמן: K בתוך

הקבועים.הוא F ש־ לראות קל .Kב־ איבר ,a = 〈p (x)〉+a כמובן הסבר:,a− b = a− b ∈ F ,a, b ∈ F לכל (כי Kל־ חלקי שדה למעשה

.F ∼= F וכי ,( 1 ∈ F ,0 ∈ F ,a · b = a · b ∈ Fעל־כן: איזומורפיזם). היא g (a) = a ,g : F → F ההעתקה (כי

.((F (שהוא F של מדויק העתק שמכיל שדה הוא Kאחרות, במילים .K של תת־שדה הוא F אז .F עם F את נזהה

.F של הרחבה שדה הוא K.(1 ממעלה פולינום הוא x) x ∈ K כעת:

.p (x) של שורש הוא x 31.22 טענה

הכללית: התמונה

.F ב־ שורשים לו אין אי־פריק. p (x) ∈ F [X] .1

יש שבו F ⊆ K הרחבה שדה ובנינו p (x)ב־ השתמשנו .2.p (x)ל־ שורש

מעל פולנומים של מחלקות הם K אברי למעשה אינטואיטיבית,פעולות למעשה הן Kב־ הפעולות .deg p (x)מ־ קטנה ממעלה Fמודולו נעשה החשבון כל אבל פולינום, של רגילים וכפל חיבור

.p (x)

(סיפוח F ל־ x חדש איבר סיפוח ע"י F מ־ התקבל K למעשה,.(F ל־ p (x) של שורש

K של אלטנרטיבית הצגה 31.6

.p (α) = 0 אז ,x = α נסמןלכן: ,p (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n

.c0 + c1α+ · · ·+ cn−1αn−1, c0, cn−1 ∈ F הינם: K אברי

פעם בכל פולינומיםץ חשבון (מדמה) מחכה Kב־ החשבוןp (α) = 0 התנאי לפי αnמ־ נפטרים αn+k αnאו שמקבלים

.[K של המגדיר [הכללדוגמא:

החדשה. בהצגה K = Z3[X]/〈x2+1〉 השדה: את נציגα2+1 = 0⇔ α2 = −1⇔ α2 = 2 ,p (α) = 0 המגדיר: הכלל

(Z3 3 −1 = 2 (תזכורת::K אברי

0 1 2

α 1 + α 2 + α

2α 1 + 2α 2 + 2α

לדוגמא: Kב־ חשבון פעולות כמה נבצע,(1 + α) + (2 + α) = 0

.(1 + α)−1

= 2 + α לכן: ,(1 + α) (2 + α) = 2 + α2 = 1

(1 + 2α)3

= (1 + 2α)2

(1 + 2α) =1 + α+ α2︸︷︷︸=2

︸ ︷︷ ︸

=α

(1 + 2α) = α+ 2α2 = α+ 1

17

אלגבריים שיבאןמבנים פרג' תשע"דד"ר ־ א' סמסטר

בשדה פרימטיביים איברים 31.7

(F של הכפלית (החבורה F ∗ אזי (Fq) סופי שדה הוא F אםציקלית. חבורה היא

.F השדה של פרימיטיבי איבר נקרא F ∗ החבורה של יוצר כל⇔F ∗ את יותר a ,F ∗ = 〈a〉 ⇔ פרימיטיבי איבר הוא a ∈ F

.a של (כפלית) חזקה הוא ,F בשדה מ־0 שונה איבר כליוצרים, ϕ (q − 1) יש F ∗q לחבורה לכן, ,|F ∗| = q − 1 כעת,

פרימיטיביים. איברים ϕ (q − 1) יש Fq בשדה כלומראיבר הוא a ∈ F שם מחבורות: יודעים שאנחנו מה לפיak בדיוק הם F של הפרימטיביים האיברים אזי פרימיטיבי,

.gcd (k, q − 1) = ו־1 1 ≤ k ≤ q − 1 כאשר:(K) ממקודם בדוגמא למשל:

מסדר איבר למצוא נצטרך אזי פרימיטיבי, איבר למצוא נרצה אםזו. בחבורה 8

צריך פרימיטיבי, איבר הוא מסוים איבר אם לבדוק כדי לכן,.(q − 1 הכללי (במקרה 8 הוא האיבר סדר אם לבדוק

של מחלק הכללי: (במקרה 8 של מחלק איבר כל של הסדר כעת,.(q − 1

אחת אם .1, 2, 4 בחזקות האיבר את להעלות מספיק לכן,...8 יהיה לא האיבר של הסדר ,1 תהיה כאן מהתוצאות

איבר הוא והאיבר 8 להיות חייב האיבר של הסדר אז לא, ואםהשדה. של פרימטיבי

את מכיל Fq השדה .q = pn ראשוני, p אם 31.23 הערה.n של מחלק שהיא ממעלה אי־פריק פולינום כל של השורשים

מעל (או Zp מעל p (x) = xq−x בפולינום נסתכל 31.24 הערה:(Fq

לינאריים: גורמים של למכפלה מתפרק p (x) ,Fq [X]ב־ .1.p (x) = xq − x =

∏c∈Fq

(x− c)

כל למכפלות שווה p (x) = xq − x הפולינום Zp [X]ב־ .2את מחלקת שמעלתם האי־פריקים המתוקנים הפולינומים

.q

שדה של המציין 32

שלם מספר לכל .0F אפס ויש 1F יחידה איבר יש שדה. F יהי.(F החיבורית בחבורה (חזקה מוגדר n · 1F :n ∈ Z

.n ∈ Z שלם מספר לכל ,nF = n · 1F מסמנים:.ZF =

{nF∣∣n ∈ Z} נסמן: כעת

.F של השלמים נקרא: ZF .ZF ⊆ Fn+m [כאשר (n+m)F = nF +mF מתקיים: n,m ∈ Z לכל

.[F ב־ חיבור זהו nF +mF ואילו Zב־ חיבור זה.(n ·m)F = nF ·mF

יחידה. עם קומוטטיבי חוג זהו .F של תת־חוג הוא ZF

המציין נקרא F החיבורית בחבורה 1F של הסדר17 32.1 הגדרהשל שהמציין אומרים אזי אינסופי, הסדר אם .F השדה של

אפס. הוא השדה. ch (F ) מסומן: F שדה של מציין

דוגמאות:.ch (R) = ch (Q) = ch (C) = 0 .1

.ch (Zp) = p .2.ch (Fq) = p אזי q = pn אם .3

.ch (F32) = 2, ch (F9) = 3 למשל:

שוב. 1F ל־ להגיע כדי אותו להעלות נצטרך חיבורית חזקה באיזו 17כלומר,

:n ∈ Z ועבור 1F ∈ F עבור אזי ch (F ) = p אם 32.2 הערה1F את להלחיף (ניתן .p של כפולה הוא n ⇐⇒ n · 1F = 0F

בשדה). איבר בכל

מספר הוא ch (F ) או ch (F ) = 0 :ch (F ) לכל 32.3 משפטראשוני.

שדה. אותו של השלמים חוג את יש שדה בכל כאמור, 32.4 הערה

הבא: באופן נקבע שדה כל של השלמים חוג של המבנה.ZF ∼= Z אז ch (F ) = 0 אם .1.ZF ∼= Zp אז ch (F ) = p אם .2

של הרחבה שדה הוא ch (F ) = 0 עם F שדה כל 32.5 טענה.Q

.Zp של הרחבה הוא ch (F ) = p עם F שדה כל 32.6 טענה

.ch (F ) = ש־0 ייתכן לא אז סופי. שדה F נניח 32.7 הערהכלומר ,Zp של הרחבה הוא F כך, אם ראשוני. ch (F ) = p לכן,.Zp מעל וקטורי מרחב Fהוא ש־ מכאן .F של תת־שדה הוא Zpשל (איזומורפיזם F ∼= Znp ולכן ,n נגיד , סופי ממימד ודאי זהF אם מוכיח: זה .|F | =

∣∣Znp ∣∣ = pn ⇐ וקטוריים) מרחביםטבעי. n ראשוני, p כאשר , |F | = pn סופי, שדה

: a, b ∈ F לכל אז ch (F ) = p נניח 32.8 הערה

(a+ b)p

= ap + bp

נקבל: ובאינדוקציה 32.9 הערה

(a+ b)pn

= apn

+ bpn

העתקה: נגדיר סופי. שדה F ו־ ch (F ) = p נניח 32.10 הערהאזי: ,a ∈ F לכל ϕ : F → F, ϕ (a) = ap

חוגים: של המומומורפיזם הוא ϕ .1ϕ (a+ b) = (a+ b)

p= ap + bp = ϕ (a) + ϕ (b)

.ϕ (a · b) = (a · b)p = ap · bp = ϕ (a) · ϕ (b).ϕ (0) = 0, ϕ (1) = 1

.kerϕ = {0F } כלומר: חח"ע, ϕ .2(בשדה). a = 0⇐ ap = 0 אזי a ∈ kerϕ נניח

.� סופי F ו־ חח"ע היא כי על ϕ .3

זה Fץ של אוטומורפיזם :F ל־ F מ־ של איזומורפיזם הוא ϕפרובינס. העקת נקרא

יש a איבר לכל ,ch (F ) = p עם F סופי בשדה 32.11 מסקנה.p מסדר שורש

�־סוף־�

��

מהאתר: לקוח הסיכום

http: // www. letach. net

18