第一章 概率与统计

二 统计

1.5 正态分布1.5 正态分布

1 、回顾样本的频率分布与总体分布的关系： 由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布。一般样本容量越大 , 这种估计就越精确。2 、从上一节得出的 100 个产品尺寸的频率分布直方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线 ---- 总体密度曲线。

一、复习

O x

y

a b

总体密度曲线样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在

相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 , 这条曲线叫做总体密度曲线

它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间 (a ， b) 内取值的概率等于

总体密度曲线，直线 x=a ， x=b 及 x 轴所围图形的面积．

两头低，中间高，左右对称

3 、观察上节总体密度曲线的形状，有什么特征？

而具有这种特征的总体密度曲线，一般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或近似表示其解析式。

2

2

( )

21

2

x

e

f(x)= ， x (∈ －∞ , +∞)

①

式中的实数、 (>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布。 f(x)的图象称为正态曲线正态分布由参数、唯一确定，正态分布常记作 N(、 2)

图 1 － 4 中画出了三条正态曲线：（ 1 ） μ= － 1 ， σ=0.5 ；（ 2 ） μ=0 ， σ =1 ；（ 3 ） μ=1 ， σ =2 ．正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．

图 1-4

例 1: 给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差 σ 。

(1)

(2)

(3)

),(,2

1)( 2

2

xexfx

),(,22

1)( 8

)1( 2

xexf

x

=0 ， =1

=1 ， =2

),(,2

)(2)1(2 xexf x

=-1 ， =0.5

正态曲线的性质：(1) 曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交(2) 曲线关于直线 x= 对称(3) 当 x= 时，曲线位于最高点(4) 当 x< 时，曲线上升 ( 增函数 ) ；当 x> 时，曲线下

降 ( 减函数 ) 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近

(5) 一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中

标准正态曲线 : 当 =0 、 =l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是

)( 2

1)( 2

2

xexfx

其相应的曲线称为标准正态曲线

O

y

x

利用 P.58 页表，可求出标准正态总体在任一区间 内取值的概率。 21, xx

12 xxp

即，可用如图的蓝色阴影部分表示。

公式：

由于标准正态曲线关于 轴对称，表中仅给出了对应与非负值 的值 。

y0x 0x

如果 ，那么由下图中两个阴影部分面积相等知：

00 x

.1 00 xx

x0x1 x2x0 xO

y

正态分布表中，相应于 x0 的值 (x0) 是指总体取值小于 x0 的概率

(x0)=P(x<x0) ，用图形表示为 ( 阴影部分面积 ) 说明：(1) (x0)=1(x0)

(2) 标准正态总体在任一区间 (x1, x2) 内取值的概率P(x1<x<x2)= (x2) (x1)

(3) 对任一正态总体 N(,2) ，取值小于x 的概率 )()(

x

xF

即，若服从正态分布 N(,2) ，则 服从标准正态分布

例 2. 求标准正态总体在 (1,2) 内取值的概率．解：利用等式 P=(x2) (x1) 有P=(2) (1)= (2) {1[(1)]}

= (2)+ (1)1=0.9772+0.84131=0.8185

例 3. 若 x ～ N(0,1), 求 (l)P(2.32<x<1.2) ； (2)P(x2).

解： (1)P(2.32<x<1.2)=(1.2)(2.32)

　　 　 =(1.2)[1(2.32)]=0.8849(10.9898)=0.8747.

(2)P(x2)=1P(x<2)=1(2)=l0.9772=0.0228.

例 4. 服从正态分布 N(1,4) ，试求 :(1) F(3) (2)P(2<

<5)

解：∵服从正态分布 N(1,4) ，则 = 服从标准正态分布2

1

8413.0)1()2

13()3()1(

F

)2

15

2

12()52()2(

PP

=(2)(0.5)=0.97720.6915=0.2857

例 5 ．分别求正态总体 N(μ,σ2) 在区间 (μ － σ, μ+σ) ，(μ － 2σ, μ+2σ) ， (μ － 3σ, μ+3σ) 内取值的概率．

解： F(μ+σ)=Ф( )=Ф(1),( )

( )

F(μ － σ)=Ф( )=Ф( － 1),

所以正态总体 N(μ, σ2) 在 (μ － σ ， μ +σ) 内取值的概率是

F(μ+σ) － F(μ － σ)=Ф(1) － Ф( － 1)

= Ф(1) － [1 － Ф(1)]=2Ф(1) － 1 =2×0. 8413 － 1≈0.683 ；

同理，正态总体 N(μ ， σ 2) 在的 (μ － 2σ ，μ +2σ) 内取值的概率是F(μ+2σ) － F(μ － 2σ)=Ф(2) － Ф( － 2) ≈0.954 ；

正态总体 N(μ ， σ2) 在的 (μ － 3σ ， μ +3σ) 内取值的概率是

F(μ+3σ) － F(μ － 3σ)=Ф(3) － Ф( － 3) ≈0.997 ；

上述计算结果可用下表和图来表示：

区间 取值概率 , 2,2

3,3

oo3.68

oo4.95

oo7.99

下面以正态总体为例，说明统计中常用的假设检验方法的基本思想．

我们从上表看到，正态总体在 (μ － 2σ, μ+2σ) 以外取值的概率只有 4.6 ％，在 (μ － 3σ, μ+3σ) 以外取值的概率只有 0.3 ％，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．

查表求下列各值(0.5) 、 (2.3) 、 (1.45)

(0.5)=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085

(2.3)=0.9893

(1.45)=1-Φ(1.45)=1-0.9265=0.0735