第一节 假设检验的基本思想和概念
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第四章 假设检验. 第一节 假设检验的基本思想和概念. 第二节 一个正态总体的假设检验. 第三节 两个正态总体的假设检验. 第四节 0-1 分布参数的假设检验. 第五节 总体分布的 检验. 第六节 独立性检验. 对所研究的总体的分布函数类型或分布函数中的某个（些）未知参数做出某种可能的假设，然后根据实验所得到的样本数据，对所作出的假设的正确性做出判断，这类问题就是所谓的 假设检验问题。. 假设检验的两类问题： 1. 总体的分布函数的类型是已知的，对总体的分布函数中的一个（些）参数或数字特征进行的检验，称为参数假设检验。 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
第一节 假设检验的基本思想和概念第二节 一个正态总体的假设检验
第四章 假设检验
第三节 两个正态总体的假设检验
第五节 总体分布的 检验第四节 0-1 分布参数的假设检验
2
第六节 独立性检验
2
对所研究的总体的分布函数类型或分布对所研究的总体的分布函数类型或分布函数中的某个（些）未知参数做出某种可能的假设，函数中的某个（些）未知参数做出某种可能的假设，然后根据实验所得到的样本数据，对所作出的假设然后根据实验所得到的样本数据，对所作出的假设的正确性做出判断，这类问题就是所谓的的正确性做出判断，这类问题就是所谓的假设检验假设检验问题。问题。
假设检验的两类问题：假设检验的两类问题：1.1. 总体的分布函数的类型是已知的，对总体的分布总体的分布函数的类型是已知的，对总体的分布函数中的一个（些）参数或数字特征进行的检验，函数中的一个（些）参数或数字特征进行的检验，称为参数假设检验。称为参数假设检验。2.2. 对总体分布函数类型的假设检验，称为非参数假对总体分布函数类型的假设检验，称为非参数假设检验。设检验。
本章主要讨论正态总体的参数假设检验。同时，简单介绍非参数假设检验。
第一节 假设检验的基本思想和概念第一节 假设检验的基本思想和概念
问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出例例 11 某车间用一台包装机包装食盐，设包装的袋装食盐某车间用一台包装机包装食盐，设包装的袋装食盐重量服从正态分布。长期实践证明，其标准差为重量服从正态分布。长期实践证明，其标准差为 1010 克，当克，当机器正常工作时，其均值为机器正常工作时，其均值为 500500 克。为检验某天包装机是克。为检验某天包装机是否工作正常，从该天所包装的食盐中任取否工作正常，从该天所包装的食盐中任取 1616 袋，称得其样袋，称得其样本平均值为本平均值为 510510 克，试问：该天包装机是否工作正常？ 克，试问：该天包装机是否工作正常？
),(~ 2NX
10
分析分析 如果包装的食盐重量 ， 如果包装的食盐重量 ，由于 由于 未知，因此，包装机器工作是否正常这一问未知，因此，包装机器工作是否正常这一问题便是检验总体均值 是否等于题便是检验总体均值 是否等于 500.500.
4
分析分析 设 、 分别表示 设 、 分别表示 AA 、、 BB 两厂铸件的重两厂铸件的重量，则量，则 、 。题、 。题中问题便是检验中问题便是检验是否正确。是否正确。
例 2 A 、 B两厂生产同一铸件，假设两厂铸件的重量都服从正态分布，测的重量（单位：千克）如下：
问 A、 B两厂铸件重量的方差是否相等？
X Y
A 厂 55.7 56.3 55.1 54.8 55.9
B 厂 50.6 53.4 54.7 51.3 55.8 54.8
22
21 ),(~ 2
11 NX ),(~ 222 NY
5
分析分析 设 表示铸件的沙眼数，则 是随 设 表示铸件的沙眼数，则 是随机变量。现在的问题是检验： 是否机变量。现在的问题是检验： 是否成立。成立。
例 3 假设随机抽查了 100 个铸件，测得其表面的沙眼数如下：
试问：铸件的沙眼数是否服从泊松分布？
X
砂眼数 0 1 2 3 4 5 6
频数 14 27 26 20 7 3 3
X
)(~ PX
i
in
6
对总体未知参数或数字特征所作的假设对总体未知参数或数字特征所作的假设用字母 来表示，如果关于总体有两个对立的用字母 来表示，如果关于总体有两个对立的假设 和假设 和 ，即要么 成立，而 不成立，要么 ，即要么 成立，而 不成立，要么 成立，而 不成立。习惯上，把其中的一个 成立，而 不成立。习惯上，把其中的一个称作称作原假设原假设（（基本假设基本假设或或零假设零假设），而另外一个假），而另外一个假设称为设称为对立假设对立假设或或备选假设备选假设。一般以 表示。一般以 表示原原假设假设， 表示， 表示备选假设备选假设定义定义 8.18.1 利用样本提供的信息，在对参数或数字利用样本提供的信息，在对参数或数字特征的原假设 和备选假设 之间做出接特征的原假设 和备选假设 之间做出接受哪一个假设，拒绝哪一个假设判断的过程称为受哪一个假设，拒绝哪一个假设判断的过程称为参参数假设检验数假设检验。简称 。简称 对 的检验对 的检验。。
H
1H 1H0H
0H
0H
1H
0H 1H
0H 1H
0H 1H
7
假设检验的基本思想假设检验的基本思想假设检验的基本思想假设检验的基本思想
基本思想基本思想： ： 小概率事件在一次试验中实际不会小概率事件在一次试验中实际不会发生发生。。
实际操作实际操作： 先设定一个小概率 （ 比较： 先设定一个小概率 （ 比较接近于接近于 00 ）， 称为）， 称为显著性水平显著性水平，在假定原假设，在假定原假设成立的条件下，构造出一个基于原假设成立的小概成立的条件下，构造出一个基于原假设成立的小概率事件，得出拒绝原假设的区域（称为原假设的率事件，得出拒绝原假设的区域（称为原假设的否否定域定域或或拒绝域拒绝域），然后，利用样本提供的信息，得），然后，利用样本提供的信息，得出小概率事件是否发生，若发生，则与小概率事件出小概率事件是否发生，若发生，则与小概率事件在一次试验中不会发生相矛盾。从而，拒绝原假设，在一次试验中不会发生相矛盾。从而，拒绝原假设，否则，接受原假设。否则，接受原假设。 (( 使用反证法）使用反证法）
8
假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤小概率事件小概率事件：：对于小概率事件中的“小概率”并没有统一对于小概率事件中的“小概率”并没有统一的规定，常根据实际问题的要求，规定一个界限 的规定，常根据实际问题的要求，规定一个界限 ，当一个事件发生的概率不大于 时，即认为 ，当一个事件发生的概率不大于 时，即认为它是小概率事件，通常情况下，界限或者说它是小概率事件，通常情况下，界限或者说显著性水平显著性水平 取取 0.100.10，， 0.050.05，， 0.010.01，， 0.0250.025，， 0.0050.005，， 0.0010.001等比较小的等比较小的数。数。总体分布函数中未知参数的假设有三种形式：总体分布函数中未知参数的假设有三种形式：（（ 11 ））（（ 22 ））（（ 33 ））
)10(
0100 :;: HH
0100 :;: HH
0100 :;: HH
形如（形如（ 11 ）的假设检验称为）的假设检验称为双侧（或双边）假设检双侧（或双边）假设检验，验，形如（形如（ 22 ）、（）、（ 33 ）的假设检验称为）的假设检验称为单侧（或单侧（或单边）假设检验。单边）假设检验。
9
假设检验的一般步骤
(1)根据问题的要求提出原假设 ；
（ 2）选择检验的统计量或随机变量，并找出在
成立的条件下，该统计量或随机变量所服从的概率分布；
（ 3 ）根据所给的显著性水平 ，查分位数表，并确定否定域；
（ 4 ）利用样本值计算统计量的值，考察计算的统计量的值是否落在否定域，据此作出对 接受或拒绝的结论。
0H
0H
0H
10
假设检验的两类错误假设检验的两类错误假设检验的两类错误假设检验的两类错误
由于小概率事件原理不一定正确，因此假设检验有由于小概率事件原理不一定正确，因此假设检验有可能出现以下两类错误。可能出现以下两类错误。
第一类错误：原假设 是正确的，但检验结果第一类错误：原假设 是正确的，但检验结果却把它否定了。这叫却把它否定了。这叫弃真错误弃真错误，或叫，或叫以真为假以真为假错误，错误，也称为也称为第一类错误第一类错误。。常用 表示犯这类错误的概常用 表示犯这类错误的概率。可知 率。可知
0H
第二类错误：原假设 是不正确的，但检验结第二类错误：原假设 是不正确的，但检验结果却把它肯定了。这叫果却把它肯定了。这叫取伪错误取伪错误，或叫，或叫以假为真以假为真错错误，也称为误，也称为第二类错误第二类错误。。常用 表示犯这类错误常用 表示犯这类错误的概率。 可知的概率。 可知
}|{ 00 为真拒绝 HHP
0H
}|{ 00 为假接受 HHP
11
第二节 一个正态总体的假设检验第二节 一个正态总体的假设检验
),(~ 2NX假设：总体 ， 是总体 的样本，
和 分别是样本均值和样本（修正）方差。
X),,,( 21 nXXX
X 2S
0100 :;: HH对均值的检验有三种形式（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）0100 :;: HH
0100 :;: HH
20
21
20
20 :;: HH
对方差的检验有三种形式（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
20
21
20
20 :;: HH
20
21
20
20 :;: HH
12
正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验（一）方差已知，均值的假设检验
取随机变量 ，则 n
XU
0 )1,0(~ NU
}|{|UP
故假设 的拒绝域为
得
),(),( 22 uuU
2 u
1. 00 : H
0H
13
取随机变量 ，当 成立时， 不服从标准
正态分布，于是，引入随机变量
n
XU
0 U
}{ 1UP
故假设 的拒绝域为
由
),( uU
u
2. 00 : H
0H
0H
)1,0(~1 N
n
XU
得又 }{}{ uUuU 1
于是 }{}{ 1 uUPuUP
14
取随机变量 ，当 成立时， 不服从标准
正态分布，于是，引入随机变量
n
XU
0 U
}{ 1UP
故假设 的拒绝域为
由
),( uU
u
3. 00 : H
0H
0H
)1,0(~1 N
n
XU
得又 }{}{ uUuU 1
于是 }{}{ uUPuUP 1
15
例 2 用传统工艺加工的红果罐头，每听平均维生素 C 的含量服从正态分布 。现改进加工工艺后，抽查 9听罐头，测得维生素含量为： 23 ， 21 ， 19 ， 20.5 ， 18.8 ， 23 ，18 ， 19.2 ， 19.5 （单位：克）。假设新工艺的方差 为已知。问新工艺下维生素 C的含量是否比旧工艺高（取显著性水平 ）？
例 1 某种橡胶的伸长率 ，现改进橡胶配方，对改进配方后橡胶取样分析，测得其伸长率如下：
0.56 ， 0.53 ， 0.55 ， 0.55 ， 0.58 ， 0.56 ， 0.57 ， 0.57 ， 0.54
已知改进配方后橡胶的伸长率方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率又无显著变化（取显著性水平 ）？
)015.0,53.0(~ 2NX
05.0
),19( 2N
42
05.0
例 3 在例 2 的条件下，问新工艺下维生素 C的含量是否比旧工艺低（取显著性水平 ）？05.0
16
（二）方差未知，均值的假设检验
取统计量 ，则 n
SX
T 0 )1(~ ntT
}|{|TP
故假设 的拒绝域为
得
)),(())(,( 1122ntntT
)( 12
nt
1. 00 : H
0H
17
取统计量 ，当 成立时， 不服从
分布，于是，引入随机变量
n
SX
T 0 T
}{ 1TP
故假设 的拒绝域为
由
)),(( 1ntT
)( 1 nt
2. 00 : H
0H
0H
)1(~1
nt
n
SX
T
得又 )}({)}({ 11 1 ntTntT
于是 )}({)}({ 11 1 ntTPntTP
)1( nt
18
取统计量 ，当 成立时， 不服从
分布，于是，引入随机变量
n
SX
T 0T
}{ 1TP
故假设 的拒绝域为
由
))(,( 1 ntT
)( 1 nt
3. 00 : H
0H
0H
)1(~1
nt
n
SX
T
得又 )}({)}({ 11 1 ntTntT
于是 )}({)}({ 11 1 ntTPntTP
)1( nt
19
例 5 某装置的平均工作温度（据制造厂家称）不高于 190度。今从一个 16 台装置构成的随机样本中测得工作温度的平均值和标准差分别为 195度和 8度。根据这些数据能否说明平均温度比制造商所说的要高？取显著性水平 ，并设工作温度服从正态分布。
例 4 设某次考试的考生成绩 服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生，测得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考生的平均成绩为70 分？
05.0
例 6 某厂生产的缆绳，其抗拉强度 服从正态分布，均值为 10600公斤。今改变工艺，从工艺改进后生产的缆绳中任抽 10 根，测得抗拉强度为： 10533 ， 10641 ， 10688 ， 10572 ， 10793 ， 10729 ， 10600 ， 10633 ， 10721 ， 10570 。试在显著性水平 下检验新工艺生产的缆绳抗拉强度是否比原来工艺生产的缆绳抗拉强度低？
05.0
X
X
20
正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验（一）均值已知，方差的假设检验
取统计量 ，则 。
2
120
)(1
n
iiXW
)(~ 2 nW
2}{,
2}{ 21
WPWP
故假设 的拒绝域为
得
)),(())(,0( 2
2
2
21
nnW
)(),( 22
211
22nn
1. 20
20 : H
0H
21
取统计量 ，则 不服从 ,
2
120
)(1
n
iiXW
W
}{}{ 1 WPWP
故假设 的拒绝域为
)),(( 2 nW
}{ 1WP
2.20
20 : H
0H
引入随机变量 ，则 .
2
121 )(
1
n
iiXW
)(~ 21 nW
)(2 n
当 成立时，有
}{}{ 1 WW
又由有 )(2 n
0H
22
取统计量 ，则 不服从 ,
2
120
)(1
n
iiXW
W
}{}{ 1 WPWP
故假设 的拒绝域为
))(,0( 21 nW
}{ 1WP
3.20
20 : H
0H
引入随机变量 ，则 .
2
121 )(
1
n
iiXW
)(~ 2
1 nW
)(2 n
当 成立时，有
}{}{ 1 WW
又由有 )(2
1 n
0H
23
例 8 在例 7 条件下，试问：是否可以认为该厂生产的铜丝的折断力的方差小于 64 ？（显著性水平 )
例 7 某厂生产的铜丝折断力 ，今从其生产的产品中任取 10 根，测得折断力数据如下（单位：公斤）：
570 ， 578 ， 570 ， 572 ， 568 ， 572 ， 570 ， 572 ， 596 ， 584.
试问：是否可以认为生产的铜丝的折断力的方差为 64 （取显著性水平 ）？
),2.557(~ 2NX
05.0
05.0
24
正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验（二）均值未知，方差的假设检验
取统计量 ，则 20
2)1(
Sn
W
)1(~ 2 nW
2}{,
2}{ 21
WPWP
故假设 的拒绝域为
得
)),1(())1(,0( 2
2
2
21
nnW
)1(),1( 22
211
22 nn
1. 20
20 : H
0H
25
取统计量 ，则 不服从
20
2)1(
Sn
W
W
}{}{ 1 WPWP
故假设 的拒绝域为
)),1(( 2 nW
}{ 1WP
2.20
20 : H
0H
引入随机变量 ，则 .
2
2
1)1(
Sn
W
)1(~ 21 nW
)1(2 n
当 成立时，有
}{}{ 1 WW
又由有 )1(2 n
0H
26
取统计量 ，则 不服从
20
2)1(
Sn
W
W
}{}{ 1 WPWP
故假设 的拒绝域为
))1(,0( 21 nW
}{ 1WP
3.20
20 : H
0H
引入随机变量 ，则 .
2
2
1)1(
Sn
W
)1(~ 21 nW
)1(2 n
当 成立时，有
}{}{ 1 WW
又由有 )1(2
1 n
0H
27
例 10 电工器材厂生产一批保险丝，抽取 10 根试验其熔断时间，结果为 42 ， 65 ， 75 ， 78 ， 71 ， 59 ， 57 ， 68 ，54 ， 55. 问是否可以认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于 80 （家设熔断时间服从正态分布，取显著性水平 ） ？
例 9 用自动包装机包装食盐，每袋质量 。在正常情况下，每袋质量 500 克，标准差 15 克。每隔一段时间需要检验机器的工作情况，现从刚生产出来的袋装食盐中抽取 9袋，测得其质量（单位：克 ) 分别为 524 ， 506 ， 518 ， 511 ， 497 ， 510 ， 488 ， 512 ， 515. 试在显著性水平 下检验自动包装机的工作是否正常？
),(~ 2NX
05.0
05.0
28
第三节 两个正态总体的假设检验第三节 两个正态总体的假设检验
211210 :;: HH
对均值的检验有三种形式（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）211210 :;: HH
211210 :;: HH
22
211
22
210 :;: HH
对方差的检验有三种形式（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
22
211
22
210 :;: HH
22
211
22
210 :;: HH
Y
),(~),,(~ 222
211 NYNX假设：两个总体 相互独立，且
和 分别是 和 的样本，
分别是 的样本均值， 分别是 的样本（修正）方差。
YX ,
X),,,(121 nXXX ),,,(
221 nYYY YX ,
YX , 22
21 , SS YX ,
29
一 .关于 的假设检验一 .关于 的假设检验
（一） 均已知， 的假设检验22
21 , 21 ,
引入随机变量 ，则
2
22
1
21
nn
YXU
)1,0(~ NU
}|{|UP
故 的拒绝域为： 得
),(, 22 uuU ）（
2 u
0H
21 ,
1. 211210 :;: HH
30
选取统计量
2
22
1
21
nn
YXU
}{ 1UP
故 的拒绝域为：
在 成立的条件下，
),( uU
u
0H
2. 210 : H
引入随机变量 ，则
2
22
1
21
211
)()(
nn
YXU
)1,0(~1 NU
0H 1UU }{}{ 1 UPUP
31
选取统计量
2
22
1
21
nn
YXU
}{UP
故 的拒绝域为：
在 成立的条件下，
),( uU
u0H
3. 210 : H
引入随机变量 ，则
2
22
1
21
211
)()(
nn
YXU
)1,0(~1 NU
0H 1UU }{}{ 1 UPUP
32
例 1 卷烟厂向化验室送去 A 、 B 两种烟草欲化验尼古丁的含量是否相同，从 A 、 B 中随机的抽取质量相同的 5例进行化验，测得尼古丁的含量（单位： mg ）为：
根据经验，尼古丁的含量服从正态分布，且 A 的方差为 5， B的 方差为 8。取 ，问这两种烟草的尼古丁含量是否有差异？
A 24 27 26 21 24
B 27 28 31 23 26
05.0
例 2 在某大学中，从经常参加体育运动的男生中随意抽取 50人，测得平均身高是 174.34cm ，在不经常参加体育运动的男生中随意选出 50人测得平均身高是 172.42cm ，假设两种类型的男生的身高都服从正态分布，其标准差相应地为 5.35cm 和 6.11cm ，问该校中经常参加体育运动的男生是否比不参加运动的男生身高要高些（取 ）？05.0
33
（一） 均未知， 的假设检验22
21 21 ,
引入随机变量 ，则 ，其中
21
11nn
S
YXT
W
2
)1()1(
21
222
2112
nn
SnSnSW
}|{|TP
故 的拒绝域为： 得
)),(()(, 22 212122
nntnntU ）（
)( 2212
nnt
0H
1. 211210 :;: HH
)(~ 221 nntT
34
选取统计量
21
11nn
S
YXT
W
}{ 1TP
故 的拒绝域为：
在 成立的条件下，
)),(( 221 nntT
)( 221 nnt
0H
2. 210 : H
引入随机变量 ，则
21
211
21
)()(
nnS
YXT
W
)2(~ 211 nntT
0H 1TT }{}{ 1 TPTP
35
选取统计量
21
11nn
S
YXT
W
}{ 1TP
故 的拒绝域为：
在 成立的条件下，
))(,( 221 nntT
)( 221 nnt
0H
3. 210 : H
引入随机变量 ，则 21
211
11
nnS
YXT
W
)()( )2(~ 211 nntT
0H 1TT }{}{ 1 TPTP
36
例 3 对用两种不同的热处理方法加工的某金属材料作抗拉强度试验，得到试验的数据如下（单位：千克 /米）
设用两种热处理方式加工的金属的抗拉强度军服从正态分布，且方差相等。在给定的显著性水平 下，问两种热处理方法加工的金属材料的抗拉强度有无显著差异？
第一种方法 32 34 31 29 32 26 34 38 35 29 30 31
第二种方法 29 24 26 30 28 32 29 31 26 28 32 29
05.0
37
二 .关于 的假设检验二 .关于 的假设检验
（一） 均未知， 的假设检验22
21 ,21 ,
引入随机变量 22
21
S
SF
2}{,
2}{ 21
FPFP
故 的拒绝域为：
得
)),1,1(()1,1(1,0 212
122
nnFnnFF
)1,1(,)1,1(1 21212122
nnFnnF
0H
22
21 ,
1. ;: 22
210 H
当 为真时，0H )1,1(~ 2122
21
22
22
21
21 nnF
S
S
S
SF
由
38
引入统计量
22
22
21
21
1
S
SF
}{ 1FP
故 的拒绝域为：
得
)),1,1(( 21 nnFF
)1,1( 21 nnF
0H
2. 22
210 : H
当 为真时， ，0H
由
)1,1( 21 nnF及随机变量 ，它服从22
21
S
SF
1FF }{}{ 1 FF
}{}{ 1 FPFP
39
引入统计量
22
22
21
21
1
S
SF
}{ 1FP
故 的拒绝域为：
得
))1,1(1,0( 12 nnFF
)1,1(1 12 nnF
0H
3. 22
210 : H
当 为真时， ，0H
由
)1,1( 21 nnF及随机变量 ，它服从22
21
S
SF
1FF }{}{ 1 FF
}{}{ 1 FPFP
40
例 4 甲、乙两厂生产同一电阻，现从两厂生产的电阻中分别随机抽取 12 件和 10 件样本，测得他们的电阻后，计算出样本方差分别为 。假设电阻值服从正态分布，在显著性水平 下，我们是否可以认为两厂生产的电阻值的方差：（ 1 ） ；（ 2 ）
38.4,40.1 22
21 SS
22
21 2
221
01.0
41
第四节 0－１分布参数的假设检验第四节 0－１分布参数的假设检验
),1(~ pBX假设：总体 ，其分布律为：
),10(1,0,)1(}{ 1 未知且ppkppkXP kk
0100 :;: ppHppH
对 的检验有三种形式
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）0100 :;: ppHppH
0100 :;: ppHppH
p
42
对 的假设检验
统计量 ，则 npp
pXU
)1( 00
0
)1,0(~ NU
}|{|UP
故假设 的拒绝域为
得
),(),( 22 uuU
2 u
00 : ppH
0H
p
在 成立时，则由中心极限定理知：当 充分大时
0H n
43
对 的假设检验
统计量 ，则 npp
pXU
)1(1
)1,0(~1 NU
}{}{ 1UPUP
故假设 的拒绝域为 得
),( uU
u
2. 00 : ppH
0H
p
由中心极限定理知：当 充分大时
}{}{, 11 UUUU
nn
pp
pXU
)1( 00
0
引入统计量
由
44
对 的假设检验
统计量 ，则 npp
pXU
)1(1
)1,0(~1 NU
}{}{ 1UPUP
故假设 的拒绝域为 得
),( uU
u
3. 00 : ppH
0H
p
由中心极限定理知：当 充分大时
}{}{, 11 UUUU
nn
pp
pXU
)1( 00
0
引入统计量
由
45
例 1 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命低于 500 小时为不合格产品。从某厂生产的产品中任意抽取 300 件样品进行检验，发现有 14 件的使用寿命低于 500 小时。问是否可以认为该厂产品的不合格率为 4% （ ）05.0
46
第五节 总体分布的 检验第五节 总体分布的 检验
X
当总体分布函数未知时，则需要根据样本观测值对总体的分布函数进行推断，这就是总体分布函数的拟合检验，下面介绍皮尔逊（ Pearson）方法：
X
设总体 的分布函数 未知， 为总体 的样本，检验假设
)()(:);()(: 0100 xFxFHxFxFH
),,,( 21 nXXX )(xF
2
47
检验的基本思想
若总体 为离散型随机变量，则检验假设
若 为连续型随机变量，则检验假设
为已知）的分布律总体 iii pipxXPXH (,2,1,}{:0
2
为已知）的概率密度为 )(()(:0 xfxfXH
将随机试验可能的结果的全体分为 个互不相容的事件 ，在 成立的条件下计算
在 次试验中，事件 出现的频率 与 常有差异，若试验次数很多，在 成立下， 的值应该比较小。选取统计量
k
kAAA ,,, 21 0H kipAP ii ,,2,1,)(
n iA n
ni
k
i i
ii
np
npn
1
22 )(
ip
0H || inin p
X
X
48
皮尔逊定理定理 8.1 若 充分大（ ），则当 成立时，不论总
体 服从何种分布，统计量 近似地服从自由度
为 的 分布。其中 是分布中的未知参数的个数。
X
n 50n
1 rk r2
0H
k
i i
ii
np
npn
1
22 )(
在 成立时，可计算 的值，对于给定的显著性水平 ，查表得 。若 ，则拒绝 ，否则，接受 。
0H2
)1(2 rk )1(22 rk 0H
0H
检验的基本思想2
49
皮尔逊定理的证明（ k=2 ）2 2
2 1 1 2 2
1 2
2 21 1 1 1
1 1
2 21 1 1 1
1 1
21 1
1 1
2
21 1
1 1
( ) ( )
( ) [ (1 )]
(1 )
( ) [ ]
(1 )
( )
(1 )
~ (1) ( )(1 )
n np n np
np np
n np n n n p
np n p
n np n np
np n p
n np
np p
n npn
np p
50
检验的一般步骤（ 1 ）提出原假设（ 2 ）将实数轴分为 个不相交的区间 其中 可取至 ， 可取至 ，一般有 ；（ 3 ）计算观测值频数 ，即 个观测值落在 的个数 ；（ 4 ）在 成立时，计算 落在各区间的概率 进而得到理论的频数 ；（ 5 ）将 代入 的表达式求出其值；（ 6 ）查 分布表得 ；（ 7 ）作结论 : 若 ，则拒绝 ，否则，可接受 。
0a
),,(,],,(],,( 12110 kk aaaaaa
ka
k
;:)()(: 000 服从某种分布）（或 XHxFxFH
165 k
0H
X ,)()( 100 iii aFaFp
2ii npn ,
0H
in
2
),,2,1( kinpi
2 )1(2 rk
)1(22 rk
0H
注意： 检验一般要求 ，否则应适当的将相邻区间合并，以满足要求。此时区间个数相应减少。
2 ),,2,1(5 kinpi
n ],( 1 ii aa
51
分析分析 设 表示铸件的砂眼数，则 是随 设 表示铸件的砂眼数，则 是随机变量。现在的问题是检验： 是否机变量。现在的问题是检验： 是否成立。成立。
例 1 假设随机抽查了 100 个铸件，测得其表面的砂眼数如下：
试问：在显著性水平 下，铸件的砂眼数是否服从泊松分布？
X
砂眼数 0 1 2 3 4 5 6
频数 14 27 26 20 7 3 3
X
)(~ PX
i
in
05.0
52
解 用随机变量 表示砂眼数。提出原假设X
未知） ()(~:0 PXH
由于泊松分布中参数 未知，所以，先用最大似然估计方法求 的估计值得
2)36271140(100
1ˆ x
下面利用 检验法检验假设2
)2(~:0 PXH
由于,,2,1,0,
!
2)(
2
ii
eiXPp
i
i
因此得到理论频数 ，列表如下inp
53
0 14 0.1353 13.53 0.0163
1 27 0.2707 27.07 0.0002
2 26 0.2707 27.07 0.0423
3 20 0.1804 18.04 0.2129
4
7 0.0902 9.02
5 3 0.0361 3.61 13.83 0.0498
6 3 0.0120 1.20
合计 100 0.3215
i in ip inp iii npnpn 2)(
由表可得 . 合并后区间个数 ，由于分布中只有一个未知参数 需要估计。所以 ，对给定的 ，查表得 ，故接受 ，即认为铸件上的砂眼数服从参数为 2 的柏松分布。
3215.02 5k 1r 05.0
3215.0815.7)3()1( 205.0
2 rk 0H
54
例 2 一自动化车床连续用刀具加工某种零件，从换新刀具到损坏为止加工的零件数为刀具的寿命，现记录 100 把刀具得寿命如下：
试问：刀具的寿命是否服从正态分布（ ）？
344
352 340 351 353 348 353 349 351 355
350
345 352 349 355 341 351 355 352 348
353
348 341 346 349 350 351 348 353 362
338
355 352 356 350 351 349 357 348 358
353
346 352 350 352 345 347 354 351 347
346
343 347 343 357 349 353 345 350 358
354
344 349 340 345 359 348 356 346 357
359
349 355 354 344 353 346 351 354 352
352
344 347 363 355 342 366 352 350 347
346
349 350 360 346 358 350 345 349 355
05.0
55
解 用随机变量 表示刀具寿命。提出原假设X
未知）220 ,(),(~: NXH
由于正态分布中参数 未知，所以，先用最大似然估计方法求它们的估计值得
2与
2 2 2
1
1ˆ ˆ350.38, ( ) 5.2
1
n
i
x x xn
下面利用 检验法检验假设2)2.5,38.350(~: 2
0 NXH
将实数轴分为 10 个区间，
10,2,1,)2.5
38.350()
2.5
38.350()( 1
1
i
aaaXaPp iiiii
因此得到理论频数 ，列表如下inp
),5.363(],5.363,5.360(,],5.342,5.339(],5.339,(
56
组号 区间1 （－∞， 339.5] 1 0.0183 1.83
2 （ 339.5 ， 342.5] 5 0.0460 4.60
3 （ 342.5 ， 345.5] 11 0.1093 10.93 0.0004
4 （ 345.5 ， 348.5] 18 0.1858 18.58 0.0181
5
（ 348.5 ， 351.5] 24 0.2277 22.77 0.0664
6 （ 351.5 ， 354.5] 20 0.1981 19.81 0.0018
7 （ 354.5 ， 357.5] 12 0.1295 12.95 0.0697
8 （ 357.5 ， 360.5] 6 0.0597 5.97
9 （ 360.5 ， 363.5] 2 0.0197 1.97
10 （ 363.5 ， +∞ ） 1 0.0059 0.59
合计 100 0.2111
in ip inp iii npnpn 2)(
6.43
53.8
0288.0
0259.0
57
由表可得 . 合并后区间个数 ，由于分布中有两个未知参数 需要估计。所以 ，对给定的 ，查表得
故接受 ，即认为刀具寿命服从参数为 350.38 ， 的正态分布 。
2111.02 7k2, 2r
05.0
2111.0488.9)4()1( 205.0
2 rk
0H 22.5)2.5,38.350( 2N
58
二维正态总体相关系数的检验二维正态总体相关系数的检验二维正态总体相关系数的检验二维正态总体相关系数的检验
设 ，检验假设设 ，检验假设
⒈ 提出假设： 0:0: 10 HH
步骤
⒉ 构造检验统计量：
)(~ 212 2 ntrnrT
第六节 独立性检验第六节 独立性检验
),,,,(~),( 22
2121NYX
00 10 :,: HH
59
⒊ 根据给定的显著性水平，确定临界值 ；
2t
⒌ 计算检验统计量并做出决策。
22
ntT
⒋ ⒋ 确定原假设的拒绝规则确定原假设的拒绝规则 :: 2
2
ntT 若 ，则接受若 ，则接受 HH0 0 ,, 表示总体两变量间线表示总体两变量间线性相关性不显著性相关性不显著 ;;若 ，则拒绝若 ，则拒绝 HH0 0 ,, 表示总体两变量间线表示总体两变量间线性相关性显著性相关性显著
步骤
60
学生身高 体
重 估计值
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
158
160
162
164
166
168
170
172
174
176
47
50
48
55
62
60
52
61
70
65
24964
25600
26244
26896
27556
28224
28900
29584
30276
30976
2209
2500
2304
3025
3844
3600
2704
3721
4900
4225
7426
8000
7776
9020
10292
10080
8840
10492
12180
11440
47.29
49.45
51.61
53.76
55.92
58.08
60.24
62.39
64.55
66.71
-9.71
-7.55
-5.39
-3.24
-1.08
1.08
3.24
5.39
7.55
9.71
-10
-7
-9
-2
5
3
-5
4
13
8
1670 570 279220 33032 95546 - 0 0
2xx y2y xy y yy ˆ yy
61
8418.0r8418.054203300
3560
5703303210167027922010
57016709554610
)()(
22
2222
yynxxn
yxxynr
【例【例 11 】】 学生身高与体重的数据如 P60 , 已知学生身高与体重都服从正态分布，试在显著性水平 0.05 下检验学生身高与体重是否存在显著性线性相关关系。
解 由条件有 05.0
问题便是检验： 0:0: 10 HH
62
检验统计量落入拒绝域中，故拒绝原假设，接受备择假设。即可以认为 明显地不等于零，相关关系是显著的。
21
2
r
nrT
31284114 0250 .)(. . tT
3122102 02502
.)()( . tnt
选取统计量
在 成立的条件下，0H )(~ 2ntT
查表得
63
例 2 假设 是来自近似二维正态分布总体的简单随机样本，其观测值如下表：
试在显著性水平 下，检验 和 的相关系数是否为零？
X
200
250
171
232
121
258
182
167
258
171
351
304
225
182
198
360
250
326
29.9
25.2
27.3
24.7
25.8
24.3
23.4
24.1
21.7
23.0
20.4
22.4
26.7
22.1
26.0
21.0
25.6
19.7
Y
iX
iY
010.
)ii YX ，（
64
00 10 :: HH ，
解 由题设条件可得： ，
60902222
.)()(
yynxxn
yxxynr
18n 010.
题中问题便是检验假设
检验统计量落入拒绝域中，故拒绝原假设，接受备择假设。即可以认为 明显地不等于零，相关关系是显著的。不能认为两变量独立。
21
2
r
nrT
92082160713 0010 .)(. . tT
920822182 00502
.)()( . tnt
选取统计量 ，则
在 成立的条件下，0H )(~ 2ntT
查表得
又
65