第九章單一母體之假設檢定

9 - 9 - 11

銘傳應用統計系銘傳應用統計系

第九章第九章單一母體之假設檢定單一母體之假設檢定

Inferences Based on a Single Sample: Inferences Based on a Single Sample: Tests of HypothesisTests of Hypothesis

Chapter 9Chapter 9

9 - 9 - 22


學習目標學習目標

1. 1. 區別各種的假設區別各種的假設 2. 2. 假設與檢定的過程假設與檢定的過程 *3.*3. Ｐ值Ｐ值 pp-value-value 的觀念與應用的觀念與應用 *4.*4. 單母體假設與檢定問題的解決單母體假設與檢定問題的解決 5.5. 假設的檢定力與應用假設的檢定力與應用

9 - 9 - 33


單母體假設檢定單母體假設檢定

OnePopulation

Z Test(1 & 2tail)

t Test(1 & 2tail)

Mean ProportionLargeLargeLargeLarge

SampleSampleSampleSampleSmallSmallSmallSmall

SampleSampleSampleSampleσknown σunknown

9 - 9 - 44


得到虛無及對立假設的步驟得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses StepsIdentifying Hypotheses Steps

步驟步驟 StepsSteps

1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設為需要充分證據證明的設為對立假設對立假設3.3. 將對立假設以不等式表達將對立假設以不等式表達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學式確定虛無假設並以數學式表達表達

9 - 9 - 55



範例範例台灣民眾平均每星期看台灣民眾平均每星期看1212 小時的電視小時的電視 ? ?

1.1.

2.2.

3.3.

4.4.


1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設為對需要充分證據證明的設為對立假設立假設3.3. 將對立假設以不等式表達將對立假設以不等式表達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學式表確定虛無假設並以數學式表達達

9 - 9 - 66



範例範例台灣民眾平均每星期看台灣民眾平均每星期看1212 小時的電視小時的電視 ??

1.1. = 12 = 12

2.2.

3.3.

4.4.

步驟步驟 StepsSteps1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設需要充分證據證明的設為對立假設為對立假設3.3. 將對立假設以不等式表將對立假設以不等式表達達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學確定虛無假設並以數學式表達式表達

9 - 9 - 77


得到虛無及對立假設的步驟得到虛無及對立假設的步驟 IIdentifying Hypotheses Stepsdentifying Hypotheses Steps


1.1. = 12 = 12

2.2. 12 12

3.3.

4.4.

步驟步驟 StepsSteps1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設需要充分證據證明的設為對立假設為對立假設3.3. 將對立假設以不等式表將對立假設以不等式表達達

, , <<, or , or > >


9 - 9 - 88




1.1. = 12 = 12

2.2. 12 12

3.3. H Haa: : 12 12

4.4.


1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設需要充分證據證明的設為對立假設為對立假設3.3. 將對立假設以不等式表將對立假設以不等式表達達

, , <<, or , or > >


9 - 9 - 99




1.1. = 12 = 12

2.2. 12 12

3.3. H Haa: : 12 12

4.4. H H00: : = 12 = 12


1.1. 將問題以統計方式敘述將問題以統計方式敘述2.2. 需要充分證據證明的設為需要充分證據證明的設為對立假設對立假設3.3. 將對立假設以不等式表達將對立假設以不等式表達

, , <<, or , or > >

4.4. 確定虛無假設並以數學式確定虛無假設並以數學式表達表達

9 - 9 - 1010


檢定依對立假設的形式可分成三類檢定依對立假設的形式可分成三類以母體平均數以母體平均數 μμ 之檢定為例之檢定為例

1.1. HH00: : ≦≦ 00 ，， HHaa: : ＞＞ 00

右尾檢定（右尾檢定（ right-tailed testright-tailed test ））2.2. HH00: : ≧≧ 00 ，， HHaa: : ＞＞ 00

左尾檢定（左尾檢定（ left-tailed test left-tailed test ））*3. H*3. H00: : ＞＞ 00 ，， HHaa: : ≠≠ 00

雙尾檢定（雙尾檢定（ two-tailed test two-tailed test ））

00 為一事先決定之常數為一事先決定之常數其中其中 1. 2.1. 2. 又稱為單尾檢定又稱為單尾檢定

9 - 9 - 1111


檢定時可靠度之評估檢定時可靠度之評估

決策風險機率決策風險機率

Decision Making RisksDecision Making Risks

9 - 9 - 1212


決策錯誤機率決策錯誤機率Errors in Making DecisionErrors in Making Decision

1.1. 型Ｉ錯誤型Ｉ錯誤 Type I errorType I error 拒絕了正確的虛無假設拒絕了正確的虛無假設 reject a true null hypothesisreject a true null hypothesis

型Ｉ錯誤機率以型Ｉ錯誤機率以 (alpha)(alpha) 表示表示也就是檢定的顯著水準也就是檢定的顯著水準 Called level of significanceCalled level of significance

2.2. 型型 IIII 錯誤錯誤 Type II errorType II error 接受了錯誤的虛無假設接受了錯誤的虛無假設 Do not reject false null hypothesiDo not reject false null hypothesi

ss

型型 IIII 錯誤機率以錯誤機率以 (beta)(beta) 表示表示

9 - 9 - 1313


與與＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞

你無法同時減低型Ｉ與型 II 誤差

9 - 9 - 1414


顯著水準顯著水準

可以容忍的最大型可以容忍的最大型 II 錯誤機率錯誤機率亦亦 αα 表示表示

9 - 9 - 1515


解決檢定問題的步驟流程解決檢定問題的步驟流程

9 - 9 - 1616



1.1. 根據問題決定根據問題決定 HH00


3.3. 根據問題決定根據問題決定

4.4. 決定樣本數決定樣本數 nn

5.5. 決定合適的檢定統計決定合適的檢定統計

9 - 9 - 1717



6.6. 確定拒絕域確定拒絕域 rejection regrejection regionion 及臨界值及臨界值 critical valcritical valuesues

7.7. 計算出檢定統計值計算出檢定統計值

8.8. 根據檢定統計值做出決策根據檢定統計值做出決策

9.9. 將決策以口語或文字表達將決策以口語或文字表達出來出來



3.3. 根據問題決定根據問題決定

4.4. 決定樣本數決定樣本數 nn

5.5. 決定合適的檢定統計決定合適的檢定統計

9 - 9 - 1818


雙尾拒絕區雙尾拒絕區Rejection Region (Two-Tailed TestRejection Region (Two-Tailed Test

))

9 - 9 - 1919


HoHoValueValue

Sample StatisticSample Statistic

樣本的抽樣分配樣本的抽樣分配

雙尾拒絕區雙尾拒絕區Rejection Region (Two-Tailed TesRejection Region (Two-Tailed Tes

t)t)

9 - 9 - 2020


HoHoValueValue


RejectionRejectionRegionRegion




))

9 - 9 - 2121


HoHoValueValue




NonrejectionNonrejectionRegionRegion



))

9 - 9 - 2222


HoHoValueValue CriticalCritical

ValueValueCriticalCriticalValueValue







))

9 - 9 - 2323


HoHoValueValue CriticalCritical

ValueValueCriticalCriticalValueValue

1/2 1/2 1/2 1/2







))

9 - 9 - 2424


HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

Sampling DistributionSampling Distribution

1 - 1 -

Level of ConfidenceLevel of Confidence


))

9 - 9 - 2525


HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -



))

9 - 9 - 2626


HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -



))

9 - 9 - 2727


HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion

HoValue Critical

ValueCriticalValue

1/2 1/2

Sample Statistic

RejectionRegion

RejectionRegion

NonrejectionRegion


1 - 1 -



))

9 - 9 - 2828


σσ 已知時平均數的雙尾已知時平均數的雙尾 ΖΖ 檢定檢定

Two-Tailed Z Test Two-Tailed Z Test of Mean (σ known)of Mean (σ known)

9 - 9 - 2929


σσ 已知時平均數的雙尾已知時平均數的雙尾 ΖΖ 檢定檢定

1.1. 對立假設為不等式（對立假設為不等式（＞＞2.2. Z-Z- 檢定統計檢定統計 (test statistic)(test statistic)

ZX X

n

x

x

Z

X X

n

x

x

9 - 9 - 3030


雙尾雙尾 ZZ 檢定範例檢定範例

生產線上品管時欲了解盒裝的麥生產線上品管時欲了解盒裝的麥片平均重量是否真如標籤上所載片平均重量是否真如標籤上所載為為 368368 公克呢公克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得到了盒的麥片得到了：樣本平均數為：樣本平均數為 X = 372.5X = 372.5 公公克克。根據盒上記載裝填所產生。根據盒上記載裝填所產生的標準差為的標準差為 1122 公克。請以顯著公克。請以顯著水準水準 = 0= 0.05.05 檢定之。檢定之。

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 3131


雙尾雙尾 ZZ 檢定範例解答檢定範例解答

HH00: :

HHaa: :

nn

Critical Value(s):Critical Value(s):

Test Statistic: Test Statistic:

Decision:Decision:

Conclusion:Conclusion:

9 - 9 - 3232



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

nn



Decision:Decision:


9 - 9 - 3333



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636



Decision:Decision:


9 - 9 - 3434



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025

Reject H 0 Reject H 0

.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

9 - 9 - 3535



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

25.2

36

123685.372

n

XZ

25.2

36

123685.372

n

XZ

9 - 9 - 3636



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

在在 = .05= .05 下拒絕下拒絕 HoHo

25.2

36

123685.372

n

XZ

25.2

36

123685.372

n

XZ

9 - 9 - 3737



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025


有充分證據顯示重量有充分證據顯示重量平均不為平均不為 368368 公克公克

25.2

36

123685.372

n

XZ

25.2

36

123685.372

n

XZ

9 - 9 - 3838


動動腦想一想動動腦想一想

你是銘傳電器公司的你是銘傳電器公司的 Q/CQ/C 品管檢驗師品管檢驗師。你需要知道公司新機器所生產的電。你需要知道公司新機器所生產的電線強度是否合乎所訂定線強度是否合乎所訂定 : : 平均平均斷裂斷裂強度為強度為 7070 磅，標準差為磅，標準差為 = 3.5= 3.5 磅磅。。

於是你隨機抽取了於是你隨機抽取了 3636 條電線最測驗條電線最測驗，並得到了樣本平均強度為，並得到了樣本平均強度為 69.769.7 磅磅。試以顯著水準。試以顯著水準 .05.05 決定新機器所生決定新機器所生產的電線強度是否合乎規格。產的電線強度是否合乎規格。

AloneAlone GroupGroup Class Class

9 - 9 - 3939



HH00: :

HHaa: :

= =

nn = =



Decision:Decision:


9 - 9 - 4040



HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= =

nn = =



Decision:Decision:


9 - 9 - 4141



HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636



Decision:Decision:


9 - 9 - 4242



HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

9 - 9 - 4343



HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

ZX

n

69 7 70

3 536

51.

..Z

X

n

69 7 70

3 536

51.

..

9 - 9 - 4444



HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

ZX

n

69 7 70

3 536

51.

..Z

X

n

69 7 70

3 536

51.

..

在在 = .05= .05 下不拒絕下不拒絕

9 - 9 - 4545



HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

ZX

n

69 7 70

3 536

51.

..Z

X

n

69 7 70

3 536

51.

..


沒有充分證據證明沒有充分證據證明平均強度不為平均強度不為 7070

9 - 9 - 4646


雙尾檢定與信賴區間的關聯雙尾檢定與信賴區間的關聯

μμ 的信賴水準為的信賴水準為 100(1100(1 －－ α)%α)% 的信賴區間的信賴區間

雙尾檢定雙尾檢定 HoHo ：： μ=μμ=μ0 0 HaHa ：： μ≠μμ≠μ0 0

若若 μμ0 0 包含於信賴區間內，則接受包含於信賴區間內，則接受 HoHo

若若 μμ0 0 不包含於信賴區間內，則拒絕不包含於信賴區間內，則拒絕 HoHo

),(22 n

ZXn

ZX

),(22 n

ZXn

ZX

9 - 9 - 4747


雙尾檢定與信賴區間的關聯雙尾檢定與信賴區間的關聯範例一範例一

生產線上品管時與了解盒裝的麥生產線上品管時與了解盒裝的麥片重量是否真如標籤上所載為片重量是否真如標籤上所載為 363688 公克呢公克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得到了盒的麥片得到了：樣本平均數為：樣本平均數為 X = 372.5X = 372.5 公公克克。根據盒上記載裝填所產生。根據盒上記載裝填所產生的標準差為的標準差為 1122 公克。請以顯著公克。請以顯著水準水準 = 0= 0.05.05 檢定之。檢定之。

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 4848



μμ 的信賴水準為的信賴水準為 95%95% 的信賴區間的信賴區間

（（ 368.58, 376.42368.58, 376.42 ））雙尾檢定雙尾檢定 HoHo ：： μ=368μ=368 HaHa ：： μ≠368μ≠368



由於由於 368368 不在（不在（ 368.58, 376.42368.58, 376.42 ）的區間內，故拒絕）的區間內，故拒絕 HoHo

)36

1296.15.372,

36

1296.15.372( )

36

1296.15.372,

36

1296.15.372(

),(22 n

ZXn

ZX

),(22 n

ZXn

ZX

9 - 9 - 4949



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

.05.05

nn 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025


有充分證據顯示重量有充分證據顯示重量平均不為平均不為 368368 公克公克

25.2

36

123685.372

n

XZ

25.2

36

123685.372

n

XZ

9 - 9 - 5050


雙尾檢定與信賴區間的關聯雙尾檢定與信賴區間的關聯範例二範例二

你是銘傳電器公司的你是銘傳電器公司的 Q/CQ/C 品管檢驗師品管檢驗師。你需要知道公司新機器所生產的電。你需要知道公司新機器所生產的電線強度是否合乎所訂定線強度是否合乎所訂定 : : 平均平均斷裂斷裂強度為強度為 7070 磅，標準差為磅，標準差為 = 3.5= 3.5 磅磅。。

於是你隨機抽取了於是你隨機抽取了 3636 條電線最測驗條電線最測驗，並得到了樣本平均強度為，並得到了樣本平均強度為 69.769.7 磅磅。試以顯著水準。試以顯著水準 .05.05 決定新機器所生決定新機器所生產的電線強度是否合乎規格。產的電線強度是否合乎規格。


9 - 9 - 5151



μμ 的信賴水準為的信賴水準為 95%95% 的信賴區間的信賴區間

（（ 68.56, 70.8468.56, 70.84 ））雙尾檢定雙尾檢定 HoHo ：： μ=70μ=70 HaHa ：： μ≠70μ≠70



由於由於 7070 在（在（ 68.56,70.8468.56,70.84 ）的區間內，故不拒絕）的區間內，故不拒絕 HoHo

)36

5.396.17.69,

36

5.396.17.69( )

36

5.396.17.69,

36

5.396.17.69(

),(22 n

ZXn

ZX

),(22 n

ZXn

ZX

9 - 9 - 5252



HH00: : = 70 = 70

HHaa: : 70 70

= = .05.05

nn = = 3636



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025


.025

Z0 1.96-1.96

.025


.025

ZX

n

69 7 70

3 536

51.

..Z

X

n

69 7 70

3 536

51.

..


沒有充分證據證明沒有充分證據證明平均強度不為平均強度不為 7070

9 - 9 - 5353


觀測到的顯著水準觀測到的顯著水準 : : pp-Values -Values

Observed Significance LeveObserved Significance Levels: ls: pp-Values-Values

9 - 9 - 5454


pp-Value-Value

9 - 9 - 5555


pp-Value-Value

1.1. 在虛無假設為真的情況下，得到目前的樣本在虛無假設為真的情況下，得到目前的樣本檢定統計值或較此檢定統計值更為極端的機檢定統計值或較此檢定統計值更為極端的機率率 Probability of obtaining a test statistic more extreme (Probability of obtaining a test statistic more extreme (or or

than the actual sample value given Hthan the actual sample value given H00 is true is true

2.2. 亦可解釋為：若以目前的樣本結果即拒絕亦可解釋為：若以目前的樣本結果即拒絕 HoHo，可能犯型，可能犯型 II 錯誤機率。錯誤機率。 P-valueP-value 也稱為觀察也稱為觀察到的顯著水準到的顯著水準

3. 3. 一般的統計套裝軟體均以一般的統計套裝軟體均以 P-P- 值顯示檢定結果值顯示檢定結果

9 - 9 - 5656


pp-Value-Value

目前最常使用來判別是否拒絕虛無假設目前最常使用來判別是否拒絕虛無假設若若 pp-value -value , , 不拒絕不拒絕 HH00

若若 pp-value < -value < , , 則拒絕則拒絕 HH00

9 - 9 - 5757


雙尾雙尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之範例之範例

盒裝的麥片重量是否真如標盒裝的麥片重量是否真如標籤上所載為籤上所載為 368368 公克呢公克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得盒的麥片得到了：樣本平均數為到了：樣本平均數為 X = X = 372.5372.5 公克公克。根據盒上記載。根據盒上記載裝填所產生的標準差為裝填所產生的標準差為 1212公克。請求出公克。請求出 pp-value.-value.

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 5858


雙尾雙尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之解答之解答

P-value

＝ P （ X ＞ 372.5 μ=368∣ ）＊ 2

＝ P （ Z ＞ 2.25 ）＊ 2

2*)

36

123685.372

(

n

XP

2*)

36

123685.372

(

n

XP

9 - 9 - 5959



觀察到的樣本觀察到的樣本 Z Z 檢定檢定統計統計

pp-value = -value = PP(Z (Z -2.25 or Z -2.25 or Z 2.25) 2.25)

Z0 1.80-1.80 Z0 1.80-1.80 2.25-2.25

9 - 9 - 6060


Z0 1.80-1.80

1/2 p-value1/2 p-value

Z0 1.80-1.80

1/2 p-value1/2 p-value



從標準常態表查從標準常態表查出出 2.252.25 之機率之機率

.4878.4878

pp-value = -value = PP(Z (Z -2.25 or Z -2.25 or Z 2.25) 2.25)

2.25-2.25

9 - 9 - 6161


Z0 1.80-1.80

1/2 p-value.0359

1/2 p-value.0359

Z0 1.80-1.80

1/2 p-value.0359

1/2 p-value.0359


pp-value = -value = PP(Z (Z -2.25 or Z -2.25 or Z 2.25) = 2.25) = .0244.0244


從標準常態表查從標準常態表查出出 2.252.25 之機率之機率

.4878.4878

.5000.5000-- .4878.4878

.0122.0122

0.0122 0.0122

-2.25 2.25

9 - 9 - 6262



0 1.80-1.80 Z

RejectReject

0 1.80-1.80 Z

RejectReject

1/2 p-value = .01221/2 p-value = .01221/2 p-value = .01221/2 p-value = .0122

1/2 1/2 = .025 = .0251/2 1/2 = .025 = .025

pp-value = .0244 -value = .0244 ＞＞ (( = .05). = .05). 故拒絕虛無假設故拒絕虛無假設

-2.25 2.25

9 - 9 - 6363


單尾單尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之範例之範例

盒裝的麥片重量是否顯著地盒裝的麥片重量是否顯著地超過標籤上所載的超過標籤上所載的 368368 公公克呢克呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 3636 盒的麥片得盒的麥片得到了：樣本平均數為到了：樣本平均數為 X = X = 372.5372.5 公克公克。根據盒上記。根據盒上記載裝填所產生的標準差為載裝填所產生的標準差為 1155 公克。請求出公克。請求出 pp-value-value 。。 368 gm.368 gm.

9 - 9 - 6464


單尾單尾 ΖΖ 檢定檢定使用使用 pp-Value-Value 之解答之解答

HoHo ：： μ 368 Ha≦μ 368 Ha≦ ：： μ μ ＞＞ 368368

p-valuep-value

＝＝ p(x 372.5≧p(x 372.5≧ ｜｜ μμ ＝＝ 368)368)

9 - 9 - 6565



ZZ00

9 - 9 - 6666



根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向

ZZ00

p-valuep-value

9 - 9 - 6767



Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向

Z Z 檢定統計檢定統計

ZX

n

372 5 368

1536

180.

.ZX

n

372 5 368

1536

180.

.

1.801.80

9 - 9 - 6868



Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向


pp-value-value 為為 PP(Z (Z 1.80) 1.80)

9 - 9 - 6969


Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value




Z Z 檢定統計檢定統計從標準常態表查從標準常態表查出出 1.801.80 之機率之機率

.4641.4641

9 - 9 - 7070


Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value

.4641.4641





.5000.5000-- .4641.4641

.0359.0359

9 - 9 - 7171


Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value

.4641.4641



根據對立假設根據對立假設以決定方向以決定方向 .5000.5000

-- .4641.4641.0359.0359

pp-value -value 為為 PP(Z (Z 1.80) = 1.80) = .0359.0359

9 - 9 - 7272


ZZ00 1.801.80

p-valuep-value


= .0359= .0359

9 - 9 - 7373


ZZ00 1.801.80

p-valuep-value


= .0359= .0359拒絕區拒絕區

= .05= .05

9 - 9 - 7474


ZZ00 1.801.80

p-valuep-value


= .0359= .0359拒絕區拒絕區

= .05= .05

9 - 9 - 7575


((pp-value = .0359) -value = .0359) ( ( = .05). = .05). 故拒絕Ｈ故拒絕Ｈ00

Z0 1.80

p-value

Z0 1.80

p-value


= .0359= .0359拒絕區拒絕區

= .05= .05

9 - 9 - 7676


使用使用 pp-Value -Value 動動腦想一想動動腦想一想

你是福特公司的汽車性能分析師你是福特公司的汽車性能分析師，你想要了解，你想要了解 EscortsEscorts 型汽車的型汽車的耗油量是否明顯的低於標準的耗油量是否明顯的低於標準的 32 32 mpgmpg （英里每加侖）。根據製造（英里每加侖）。根據製造部門提供的訊息得知標準差為部門提供的訊息得知標準差為 3.3.88 mpgmpg 。今隨機抽取了。今隨機抽取了 6060 輛輛 EEscortsscorts 汽車得到了樣本平均耗油汽車得到了樣本平均耗油輛為輛為 30.730.7 mpgmpg 。試求出觀察到。試求出觀察到的顯著水準的顯著水準 (( 即即 pp-value-value)?)?


9 - 9 - 7777



HoHo ：： μ 32 Ha≧μ 32 Ha≧ ：： μ μ ＜＜ 3232

p-valuep-value

＝＝ p(x 30.7≦p(x 30.7≦ ｜｜ μμ ＝＝ 32)32)

9 - 9 - 7878


使用使用 pp-Value -Value 解答解答

ZZ00

9 - 9 - 7979



Z0

p-value

Z0

p-value使用對立假設使用對立假設以決定方向以決定方向

9 - 9 - 8080



Z0-2.65

p-value

Z0-2.65

p-value


使用對立假設使用對立假設以決定方向以決定方向

ZX

n

30 7 32

3 860

2 65.

..Z

X

n

30 7 32

3 860

2 65.

..

9 - 9 - 8181



Z0-2.65

p-value

Z0-2.65

p-value


.4960.4960


9 - 9 - 8282



Z0-2.65

p-Value.004

Z0-2.65

p-Value.004

Z Z 檢定統計檢定統計從標準常態表查出從標準常態表查出2.652.65 之機率之機率

.4960.4960


.5000.5000-- .4960.4960

.0040.0040

9 - 9 - 8383



Z0-2.65

p-Value.004

Z0-2.65

p-Value.004


.4960.4960


.5000.5000-- .4960.4960

.0040.0040

pp-value = -value = PP(Z (Z -2.65) = .004. -2.65) = .004.pp-value < (-value < ( = .01). = .01). 故拒絕故拒絕 HH00..

9 - 9 - 8484


σσ 未知時母體平均數的雙尾未知時母體平均數的雙尾 t t 檢定檢定

Two-Tailed t Test Two-Tailed t Test of Mean (of Mean (σunknownσunknown))

9 - 9 - 8585


單母體平均數的各種檢定單母體平均數的各種檢定

OnePopulation

Z Test(1 & 2tail)

t Test(1 & 2tail)

LargeSample

Z Test(1 & 2tail)

Mean ProportionSmallSample

OnePopulation

Z Test(1 & 2tail)

t Test(1 & 2tail)

LargeSample

Z Test(1 & 2tail)

Mean ProportionSmallSampleσknown σunknown

9 - 9 - 8686


σσ 未知時平均數的未知時平均數的 t t 檢定檢定

1.1. 假設（先前滿足條件）假設（先前滿足條件）母體為常態分配母體為常態分配母體標準差未知以樣本標準差估計代入母體標準差未知以樣本標準差估計代入

9 - 9 - 8787


σσ 未知時平均數的未知時平均數的 t t 檢定檢定


2.2. T T 樣本檢定統計為樣本檢定統計為

tXSn

tXSn

9 - 9 - 8888


σσ 未知時下平均數的未知時下平均數的 t t 檢檢定定


2.2. T T 樣本檢定統計為樣本檢定統計為

3.3. TT 檢定統計量之抽樣分配為檢定統計量之抽樣分配為 t t n-1n-1 （自由度為（自由度為 n-n-

11 的的 tt 分配）分配）

tXSn

tXSn

9 - 9 - 8989


基本觀念基本觀念 t t 分配分配

對稱於對稱於 00 的鐘型分配的鐘型分配

t t 分配的型態決定於其自由度分配的型態決定於其自由度

自由度愈大的自由度愈大的 tt 分配愈接近於標準常態分配愈接近於標準常態

9 - 9 - 9090


σσ 未知時平均數的雙尾未知時平均數的雙尾 t t 檢定檢定使用臨界使用臨界 tt 值值

9 - 9 - 9191


t0 t0


Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

9 - 9 - 9292


t0 t0


/2 = .05/2 = .05

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

9 - 9 - 9393


t0 t0


/2 = .05/2 = .05

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

df = n - 1 = 2df = n - 1 = 2

9 - 9 - 9494


v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182t0 t0


從從 tt 表表 (( 部份部份 )) 上查出臨界值上查出臨界值Critical Values of t Table (Portion)Critical Values of t Table (Portion)

/2 = /2 = .05.05

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

df = n - 1 = df = n - 1 = 22

9 - 9 - 9595


v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182t0 2.920-2.920 t0 2.920-2.920


從從 tt 表表 (( 部份部份 )) 上查出臨界值上查出臨界值Critical Values of t Table (Portion)Critical Values of t Table (Portion)

/2 = .05/2 = .05

/2 = .05/2 = .05

Given: n = 3; Given: n = 3; = .10 = .10

df = n - 1 = 2df = n - 1 = 2

9 - 9 - 9696


σσ 未知時平均數的雙尾未知時平均數的雙尾 t t 檢檢定使用臨界定使用臨界 tt 值範例值範例

盒裝的麥片重量是否真如盒裝的麥片重量是否真如標籤上所載為標籤上所載為 368368 公克公克呢呢 ? ?

隨機抽選了隨機抽選了 2525 盒的麥片盒的麥片得到了：樣本平均數為得到了：樣本平均數為X = 372.5X = 372.5 公克公克而樣本標而樣本標準差為準差為 1212 公克。請以顯公克。請以顯著水準著水準 = 0= 0.05.05 檢定之。檢定之。假設母體為常態分配。假設母體為常態分配。

368 gm.368 gm.

9 - 9 - 9797


σσ 未知時平均數的雙尾未知時平均數的雙尾 t t 檢定使用臨界檢定使用臨界 tt 值解答值解答

HH00: :

HHaa: :

= =

df = df = Critical Value(s):Critical Value(s):


Decision:Decision:


9 - 9 - 9898



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= =

df = df = Critical Value(s):Critical Value(s):


Decision:Decision:


9 - 9 - 9999



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05

df = df = 25 - 1 = 2425 - 1 = 24Critical Value(s):Critical Value(s):


Decision:Decision:


9 - 9 - 100100



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05



Decision:Decision:


t0 2.064-2.064

.025


.025

t0 2.064-2.064

.025


.025

9 - 9 - 101101



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05



Decision:Decision:


875.1

25

123685.372

n

SX

t

875.1

25

123685.372

n

SX

t

t0 2.064-2.064

.025


.025

t0 2.064-2.064

.025


.025

9 - 9 - 102102



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05



Decision:Decision:


顯著水準顯著水準 = .05= .05 下下 ,, 不拒不拒絕絕

875.1

25

123685.372

n

SX

t

875.1

25

123685.372

n

SX

t

t0 2.064-2.064

.025


.025

t0 2.064-2.064

.025


.025

9 - 9 - 103103



HH00: : = 368 = 368

HHaa: : 368 368

= = .05.05



Decision:Decision:


顯著水準顯著水準 = .05= .05 下下 ,, 不拒不拒絕絕

無充分證據證明盒裝麥片無充分證據證明盒裝麥片的重量不為的重量不為 368368

875.1

25

123685.372

n

SX

t

875.1

25

123685.372

n

SX

t

t0 2.064-2.064

.025


.025

t0 2.064-2.064

.025


.025

9 - 9 - 104104


雙尾雙尾 t t 檢定檢定動動腦想一想動動腦想一想

瓶裝的洗衣精重量是否真如標瓶裝的洗衣精重量是否真如標籤上所載為籤上所載為 3.253.25 磅磅呢呢 ? ?

今隨機抽選了今隨機抽選了 1616 瓶瓶的洗衣精的洗衣精得到了：樣本平均數為得到了：樣本平均數為 X = X = 3.3.238238 磅磅而樣本標準差為而樣本標準差為 0.1170.117 磅磅。請以顯著水準。請以顯著水準 = = 00.01.01 檢檢定之定之 ?? 假設母體為常態分配。假設母體為常態分配。 3.25 lb.3.25 lb.


9 - 9 - 105105


雙尾雙尾 t t 檢定解答檢定解答

HH00: :

HHaa: :

df df



Decision:Decision:


9 - 9 - 106106



HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

df df



Decision:Decision:


9 - 9 - 107107



HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15



Decision:Decision:


9 - 9 - 108108



HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15



Decision:Decision:


t0 2.947-2.947

.005


.005

t0 2.947-2.947

.005


.005

9 - 9 - 109109



HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15



Decision:Decision:


41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

t0 2.947-2.947

.005


.005

t0 2.947-2.947

.005


.005

9 - 9 - 110110



HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15



Decision:Decision:


顯著水準顯著水準 = .01= .01 下不拒下不拒絕絕

t0 2.947-2.947

.005


.005

t0 2.947-2.947

.005


.005

41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

9 - 9 - 111111



HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15



Decision:Decision:



無充分證據證明平均重無充分證據證明平均重量不為量不為 3.253.25t0 2.947-2.947

.005


.005

t0 2.947-2.947

.005


.005

41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

9 - 9 - 112112


雙尾雙尾 t t 檢定解答檢定解答 P-valueP-value

P-valueP-value

＝＝ PP （（ XX ＜＜ 3.238 μ=3.25∣3.238 μ=3.25∣ ））×2 ×2

＝＝ PP （（ tt1515 - 0.41≦- 0.41≦ ）） ×2×2

＞＞ 0.25×2 = 0.50 0.25×2 = 0.50

t0 2.947-2.947

.005


.005

t0 2.947-2.947

.005


.0050.25 0.25

-0.691 0.691

由於 P-value＞ α= 0.1

故不拒絕 Ho

9 - 9 - 113113



HH00: : = 3.25 = 3.25

HHaa: : 3.25 3.25

.01.01

df df 16 - 1 = 1516 - 1 = 15



Decision:Decision:



無充分證據證明平均重無充分證據證明平均重量不為量不為 3.253.25t0 2.947-2.947

.005


.005

t0 2.947-2.947

.005


.005

41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

41.

16

117.25.3238.3

n

SX

t

9 - 9 - 114114


雙尾雙尾 t t 檢定解答檢定解答 P-valueP-value

P-valueP-value

＝＝ PP （（ XX ＜＜ 3.238 μ=3.25∣3.238 μ=3.25∣ ））×2 ×2

＝＝ PP （（ tt1515 - 0.41≦- 0.41≦ ）） ×2×2

＞＞ 0.25×2 = 0.50 0.25×2 = 0.50

t0 2.947-2.947

.005


.005

t0 2.947-2.947

.005


.0050.25 0.25

-0.691 0.691

由於 P-value＞ α= 0.1

故不拒絕 Ho

9 - 9 - 115115


σσ 未知時母體平均數之單尾未知時母體平均數之單尾 TT 檢定檢定

One-Tailed t Test One-Tailed t Test of Mean (σ unknown)of Mean (σ unknown)

9 - 9 - 116116


單尾單尾 t t 檢定範例檢定範例

某品牌乾電池的能量壽命是否顯某品牌乾電池的能量壽命是否顯著地少於標準的著地少於標準的 140140 安培小時安培小時呢呢? ?

今隨機抽選了今隨機抽選了 2020 個個的乾電池得的乾電池得到了：樣本平均數為到了：樣本平均數為 138.47138.47 安安培小時培小時而樣本標準差為而樣本標準差為 2.662.66 安安培小時培小時。請以顯著水準。請以顯著水準 = = 00.05.05檢定之，假設母體為常態分配檢定之，假設母體為常態分配 ??

9 - 9 - 117117


單尾單尾 t t 檢定解答檢定解答

HH00: :

HHaa: :

==

df =df =



Decision:Decision:


9 - 9 - 118118



HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= =

df = df =



Decision:Decision:


9 - 9 - 119119



HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19



Decision:Decision:


9 - 9 - 120120


t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject


HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19



Decision:Decision:


9 - 9 - 121121



HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19



Decision:Decision:


57.2

20

66.214047.138

n

SX

t

57.2

20

66.214047.138

n

SX

t

t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject

9 - 9 - 122122



HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19



Decision:Decision:


在在 = .05= .05 下，拒絕Ｈ下，拒絕Ｈ 00

t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject

57.2

20

66.214047.138

n

SX

t

57.2

20

66.214047.138

n

SX

t

9 - 9 - 123123



HH00: : = 140 = 140

HHaa: : < 140 < 140

= = .05.05

df = df = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19



Decision:Decision:


在在 = .05= .05 下，拒絕Ｈ下，拒絕Ｈ 00

有充分證據證明能量低於有充分證據證明能量低於140140 安培小時安培小時t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject

57.2

20

66.214047.138

n

SX

t

57.2

20

66.214047.138

n

SX

t

9 - 9 - 124124


單尾單尾 t t 檢定解答檢定解答 P-valueP-value

P-valueP-value＝＝ PP （（ XX ＜＜ 138.47 μ=140∣138.47 μ=140∣ ））＝＝ PP （（ tt1919 - 2.57≦- 2.57≦ ））

t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject

0.01

-2.54 t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject

0.005

-2.86

0.005＜ P-value＜ 0.01＜ α=0.05 拒絕 Ho

第九章 單一母體之假設檢定

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第九章單一母體之假設檢定