第二章 流体静力学

2.1 作用在流体上的力

2.2 静止流体的应力特征

2.3 流体静力学的基本方程

2.4 重力场中静止流体的压力分布

2.5 重力场中压力平衡方程的能量意义（自学）

2.6 重力场中静止液体对物面的作用力（自学）

2.7 非惯性坐标系中的静止流体（自学）

2.1 作用在流体上的力

这里所说的力是静力学及动力学均适用的力。作用在流体上的力被分为质量力和表面力两类。

2.1.1 质量力 :

又称体积力，作用于流体的质量上，是一种非接触力。如重力，静电力，电磁力；研究非惯性系统问题时引入惯性力概念，它也是质量力。

　　对应于某流体微元，其体积为 ，作用于该微元上的质量力为 。在流体力学中，常关心单位质量流体所受的质量力，即 ：F f

V

2.1.2 表面力 :

由毗邻的流体质点或其它的物体所直接施加的接触力。

对应于某流体微元表面 , 其面积为 , 其外法线单位向量为 ，作用于该微元表面的表面力为 。我们常关心单位面积所对应的表面力， 即 ：

　　

A n

tzyxff

f

V

Ff

V

,,,

lim0

又称为质量力分布密度，在直角坐标系中：

流体团（体积为 V ）所受的总值量力 F :

V

VdtzyxfF ,,,

nP

A

PP n

An

0lim

nP

从普遍意义上讲，表面力 有如下特点：

(1) 和作用面不一定垂直；（可分解为正应力和切应力两部分）。

(2) 和 的方向有关。 n

nP

nP

nP

2.2 静止流体的应力特征

本节专门研究静止流体的表面力的特征：

① 静止流体中，只存在法向压应力，即　　　　　　　　

② 其法向压应力的值 仅仅是空间位置和时间的函数，与所取作用面的方向无关。　　特征①可以这样来说明：静止流体，速度处处为零，没有速度梯度，也就没有切应力。此外流体不能承受拉应力。　　特征②可引入直角坐标系中二维流体微元来说明。

nn npp

设ｙ方向宽度为１。 ds 即表示任意方向微元表面。

分析ｚ方向力平衡： dx 对应的表面力为 。 ds 对应的表面力在ｘ方向投影为 而 。即 ds 的投影面积为 dx 。微元质量力为

三力平衡有：

　　 忽略高阶小量后，化简，得： 。

同理我们可以得到 。

xdp 2

cos1 sdpxs dd cos

12 pp

31 pp

dzdydx 2

1

02

112 dydxfdxPdxP z

这里的 就是任意方向微元平面上的应力 ，它和该点坐标平面方向的应力 , 相等。三维流体的结论是相同的： = = = 　特征②表明静压力是各向同性的。　　另外，我们要告诉大家，对于运动的理想流体也具有上述①，②两条应力特征。因为理想流体中没有切应力，动力学问题中的加速度项可以演变为惯性力项，和表面力相比是高阶小量。

1p np

xp zp

zpypxpnp

以直角坐标系为例，在静止流体中任取一微元六面体，如图：

微元流体在质量力，表面力作用下平衡。以ｚ方向受力分析为例：　　表面力：下表面（对应坐标为ｚ）受力 。

2.3 流体静力学的基本方程

pdxdy

上表面（对应坐标为ｚ +dz ）受力　　　　　　　　 ( ｐ +dp)dxdy 。　　质量力： 。　　力平衡方程： 0 dxdydzfdxdydpppdxdy

dxdydzf

z

z

drfdp

pf

y

pf

x

pf

z

pf

dzz

pdp

dz

dpf

yx

z

z

1

11

1

1

同理：

这里

2.4 重力场中静止流体的压力分布

重力场是工程中常常遇到的质量力场，其间的液体压力分布关系式形式简明，特点鲜明。

质量力

液体 不变，积分上式，得 :

由上式知：一种液体静止平衡时， (1) 等压面与等高度面重合；

gfffgkf zyx ,0,即

gdzdp

constgzp

cg

pz

(2) 自由面 与等高度面重合；

若自由面压力为

积分常数 ，代入原方程

表示ｚ点的水深ｈ

表示单位截面积上的液体重量。

是液面传递过来自由面的压力，这可用帕斯卡定理解释（施加于不可压流体表面的压力，以同一数值沿各个方向传递到所有的流体质点）由压力平衡式还可知，两种液体静止平衡的分界面是等压面。

app

azza ppp 0,

0zz

ghpghp a

aa pzzgp

g

pz

g

pz 00 ;

aP

g

Pzc a

0

证明如下：设密度不同的两种液体置于同一容器内，分界面两侧满足平衡方程，

假定液体平衡分界面为某一曲面如图示，在分界面上任取临近两点 AB其向径为 dr, dr在ｚ方向投影为 dz 。

对 液体而言：对 液体而言：

1

;, 2211 gdzdpgdzdp

;11 gdzdp ;22 gdzdp

02

2

1

1

2

1

2

1

dpdp

dp

dp

2

两点压差只能是一个值，故

只有 ，即分界面只能是等压面，重力场中它是水平面。

　

01 dp

21 dpdp

21

211 0

11

由于

dp

2.5 重力场中压力平衡方程的能量意义

表明：液体平衡时，单位重量液体重力势能与压力能之和为常数，这里显示了机械能守恒的意义。

　

constg

pz

称测压管水头。是相对压力时，该项又：静水头，当

流体之压力势能；：压力水头，单位重量

流体之重力势能；：位置水头，单位重量

pg

pz

g

p

z

2.6 重力场中静止液体对物面的作用力

为清楚起见，分几个方面说明对物面之作用力：　　 1. 对竖放平壁面之作用力 : 如图，将 xoy 平面放在自由面上，使ｘ轴与竖放平面垂直，平壁面外法线单位向量为 。　

A aA

dAghpnnpdAF

2. 对平放平壁面之作用力 :

可见 含有两部分：F

（ 1 ） 为帕斯卡定理传递的自由表面压力作用

（ 2 ）液体的附加作用力，它等于形心处压力乘以面积

Apa ,

的液柱重量高为为底面积为

则如右图所示：

左图呢

平面为自由面，

HAhgA

AgHpkFkn

AgHpkdAghpkF

kn

pghp

xoy

a

A

aa

a

,

,

.

AghApihdAgiAipdAghpipdAiF ca

A A

aa

A

3. 对任意曲面之作用力

对于 ，若所有的微元面积投影正负号相同。（工程中许多曲面满足此条件），则 的求解与竖放平壁面相同。可用求投影面积 及其形心深度 的方法来解算。 亦然。

zF xA

xch yF

A

zaz

A

yay

A

xax

zyx

zyx

zyx

A

a

dAghPF

dAghPF

dAghPF

dAdAdAdA

kdAjdAidAkdAznjdAynidAsndAn

kznjynisnknjninn

dAghPnF

面积向三个坐标平面的投影为,,

,cos,cos,cos

,cos,cos,cos

zF

对于 是 dA对应的至水面的柱体体积。zz dAhF ,

A

z AhdA是 曲面对应的至水面的柱体体积，工程上称之为压力体

A zghdA 是压力体对应的液体重量。帕斯卡定理传递的压

力很容易计算；水的附加作用力，可用上述工程方法计算，压力体内可能真有液体，也可能并没有液体

4. 物体的浮力：

完全浸没或部分浸没在液体中的物体受到液体的作用力，其合力为物体所受的浮力。分析完全浸没的物体。

如图，对于 ，可用物体向 yoz 平面投影的方法求解，得到两个投影面 其形状相同，正负号相反，分别对应于左右两个曲面，故 合力为零，同理 合力亦为零。

对于 ，用物体向 xoy 平面投影的方法求解，得对应于上下两部分物面的两个压力体，两个压力体一正，一负，其代数和恰为物体体积。

zF

物体gVghdAz

2.7 非惯性坐标系中的静止流体

若坐标系本身作变速运动，则此坐标系中的物体将承受附加惯性力。两类典型的非惯性系：　　　　 (1) 直线等加速运动的坐标系。　　　　 (2) 等角速度旋转的坐标系。　　研究其间静止流体的压力分布规律。

2.7.1 直线等加速运动坐标系：

基本关系式仍为 ，注意 应包含单位质量的惯性力。　在重力场中，若动坐标系加速度为 。

　　

特性： 1 ）等压面为斜平面

等压面方程

drfdp f

a

czgaxap

aaa

czgayaxap

dzadyadxadp

kgajaiagkaf

zx

zxy

zyx

zyx

yx

;0,0,0

最常见之简化情况：

积分得：

则

ga

a

constxga

azconstzgaxa

z

x

z

xzx

斜率：

,

与惯性系中结论相比，方程的形式相同，但重力加速度项有变化。　 (3) 两种液体相对平衡的分界面是斜平面。（证明从略）

2 ）自由面为斜平面

若坐标原点在自有面上

由此可得自有面方程，即令 app

zxga

agapzgaxapp

pc

pp

z

xzazxa

a

axy

则

00

hgapp

zhzz

zzgappxga

az

za

zaz

x

点的液体深度即为5

55

2.7.2 等角速度旋转坐标系

是向心加速度， 柱坐标系中沿ｒ增加的方向的单位向量（ 不变）　　 　　相邻任意两点的向径：

　　

re2rea r

z,

zrz geergeagkaf 2

cgzr

dzerdedregere

drfdp

dzerdedredr

zxrzr

zxr

2/22

2

性质：

（ 1 ）等压面是旋转抛物面。

（ 2 ）自由面是旋转抛物面。将坐标原点放在自由面的转轴上。　　　　　 由 　　　　　 及 　　　　　 得 　　　　　

自由面上

cg

z

cgzr

2

22

22

a

arz

pc

pp

cgzrp

00

22 2/

gzrpp a 2/22app