ПРИМЕНА СЛИЧНОСТИ НА ПРИМЕНА СЛИЧНОСТИ НА КРУГКРУГ

Потребно је знати :

а) Одговарајуће странице сличних троуглова су пропорционалне

б) Ако два троугла имају једнака по два угла онда су слични

в) Сви периферијски углови над истим луком кружнице су једнаки

г) Угао између тетиве и тангенте кружнице у једном крају тетиве једнак је периферијском углу над том тетивом

Циљ:

Требамо научити појам потенције тачке у односу на кружницу и специјално злтни пресек дужи.

Посматраћемо у равни датог круга k тачку P и две сечице a и b датог круга које садрже тачку P. Обзиром да тачку P можемо изабрати у кругу, на кругу , или ван круга посматрајмо следеће три слике.

P

A

C

D

B

a

b

Тачка P је у кругу к

Уочимо PAC и PBD

APC = BPD (унакрсни углови)

ACP = DBP (периферијски над луком AD)

Зато је PAC ~ PBD. Према томе, одговарајуће странице тих троуглова су пропорционалне. Дакле :

PD : PB = PA : PC тј.

PA PB = PC PD (1)

k

Показаћемо да исти закључак важи и у остала два случаја .

P=B=D

C

A

Сада је PB = PD = 0 па је :

PA PB = PC PD = 0

a

b

k

P

A

C

D

B

a

bk

Уочимо сада сечице a и b повучене из тачке P која је ван круга k.

P C D

B

A

a

b

Посматрајмо PBC и PAD

P је заједнички

PBC = PDA као периферијски углови над луком AC.

Из истог разлога је PCB = PAD

Значи, PBC ~ PAD па је :

PB : PC = PD : PA тј :

PA PB = PC PD (2)

k

Ако сечица из тачке P има са кругом k заједничке тачке А и B казаћемо да су PА и PB одсечци које круг k одређује на овој сечици. На основу претходног разматрања изводимо значајну особину кружнице.

Доказанa је следећa :

Теорема 1 : Ако је k дати круг и P тачка у равни круга k, тада производ одсечака које круг k одређује на било којој сечици повученој из тачке P, има константну вредност :

p2 = PA PB

Обзиром на значај броја p2 уведена је :

Дефиниција : Константан производ p2 = PA PB о којем се говори у теореми 1 називамо потенција (моћ,

снага ) тачке P у односу на круг k.

Покажимо како се одређује потенција тачке P изван круга k у односу на тај круг .

На следећој слици је уместо сечице b узета тангента t .

P

B

A

a

Т

Посматрајмо: PAT и PBT

P je заједнички

PTA = PBT ( тангентни угао )

Зато је :

PAT ~ PBT

Имамо :

PA : PT = PT : PB =>

PT2 = PA PBk

t

Теорема 2 : Ако је тачка P ван датог круга k онда је потенција ове тачке у односу на круг k једнака квадрату одговарајуће тангентне дужи :

Поређењем добијене и претходне једнакости долазимо до још једног важног закључка .

p2 = PT2

У вези са потенцијом тачке у односу на круг је и златни пресек дужи .

Дефиниција : Кажемо да је тачком C дата дуж АB подељена златним пресеком ако је већи одсечак геометријска средина дужи АB и мањег одсечка .

A BC

AC2 = AB CB

, тачка C дели АB златним пресеком

Сада ћемо показати конструкцију златног пресека дате дужи. Користимо потенцију тачке у односу на круг ( теорема 2 ).

А

S

P

C B

.

2

a 2

a

P1

Опис конструкције :

1) Дата дуж АB = a 2) Нормала у тачки B на АB

3) Тачка S на нормали из B тако да

је BS =

4) кружница k (S, )

5) Тачка P и P1 су пресеци k и полуправе PS

6) АC = AP

2

a

k

Докажимо да је тачком C дуж АB подељена златним пресеком.

Уочимо потенцију тачке А према кругу k. На основу теореме 2 је :

AP AP1 = AB AB тј.

AC (AC + a) = a 2 =>

AC2 = a 2 – AC a => AC2 = a(a -AC) и коначно :

АC2 = AB CB

**) Антички архитекти су сматрали да правоугаони облици грађевина имају изузетан естетски изглед ако су им димензије одређене златним пресеком

**) Сматрало се да је златни пресек божански дар и да грађевине које поседују те особине имају посебан утицај на људе. О златном пресеку се нарочито водило рачуна при грађењу храмова.

**) Данашњи архитекти имају слично мишљење

За даље читање : Заинтересовани читаоци могу наставити у следећем смеру :

- конструкција правилног петоугла и десетоугла

- дефиниција и конструкција Аполонијевог круга

- Аполонијеви конструктивни проблеми

- радикална оса две кружнице

- радикално средиште три кружнице

- инверзија

- примене у аналитичкој геометрији

Наведене и друге интересантне чињенице можете наћи у :

1) Математика са збирком задатака за I разред средњг усмереног образовања и васпитања природно математичке струке ( стр. 307 – 313 )

2) Геометрија за I разред математичке гимназије

3) Математископ 3 ( одабрани задаци за I разред средње школе ) чији је аутор Владимир Стојановић