“ 发现法教学”在数学教学中的体现及做法

高邮市中学　 秦 晓

　　发现法是人类知识形成的重要方法，是人类获得进步的重要手段，是一种人类在实践过程中通过反复的实践，形成的一种获取新知、获取经验的方法。人类在通过演示的过程中不断找到世界发展、人类进步的规律及事物的本质，也是人类在无数次的重复之中从特殊的、连续的现象中“寻找”到一般规律的一种方法。

“ 发现法教学”在数学教学中的体现及做法

　　“数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。数学探究对象主要是面向课内的学习内容。数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于发展学生的创新意识和实践能力；有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于学生主体意识的建立；有助于学生更牢固的掌握知识。” —— 《数学课程标准解读》

“ 发现法”体会点滴

现行课本中关于“发现法教学” 的体现 课堂教学中如何体现“发现法教学” 关于“发现法教学”教学案例

“ 发现法教学”在数学教学中的体现及做法

教材中“发现法教学”的体现1. 通过例题、习题发现数学性质

例 1 、第八章第二节 P100~P101 例 42

( , ) ( ,0) :

( 0),

aM x y F c l x

cc

a c Ma

点 与定点 的距离和它到定直线

的距离之比是常数 求点 的轨迹方程

发现一 : 点 M 的轨迹是一个椭圆发现二 : 椭圆上的点到焦点的距离和到对应准线距 离之比为椭圆的离心率 e发现三 : 椭圆的第二定义发现四 : 椭圆有二条特征线——准线

教材中“发现法教学”的体现1. 通过例题、习题发现数学性质

2 ( ) xy f x a 例 、指数函数 的性质

3 sin , cos , tany x y x y x 例 、三角函数 的性质

教材中“发现法教学”的体现2. 通过数学问题，发现图形作法例 1 、第八章第二节 P101~P102 例 5

, , (a>b>0), B OA , A

AN O , N, B, BM AN, MOA O M

如图以原点为圆心分别以a、b 为半径作二个同心圆点 是大圆半径 与小圆的交点过点作 ⊥ x垂足为 过点 作 ⊥ 垂足为 ，求当半径 绕点 旋转时，点 的轨迹的参数方程

x

y

O

AB

MN

教材中“发现法教学”的体现2. 通过数学问题，发现图形作法例 1 、第八章第二节 P101~P102 例 5

上述问题实际上是椭圆的一种几何作法，而椭圆的另一定义及双曲线的定义本身就是演示出椭圆、双曲线示意图的依据。

教材中“发现法教学”的体现2. 通过数学问题，发现图形作法例 2 、抛物线的定义，依其实质可得另一作法　

2

( ,0) ,2

: -2

,, 2 .

pF FQ y N

pl x Q

Q y QP N NP

QP P P y px

自 作直线 交 轴于

交直线 于

过 作 轴的垂线 过 作

于 则 为 上的点

x

y

O

Q

F

P

教材中“发现法教学”的体现3. 通过数学问题，发现新的形式的方程例 1 、第八章第二节 P101~P102 例 5

, , (a>b>0), B OA , A

AN O , N, B, BM AN, MOA O M

如图以原点为圆心分别以a、b 为半径作二个同心圆点 是大圆半径 与小点的交点过点作 ⊥ x垂足为 过点 作 ⊥ 垂足为 ，求当半径 绕点 旋转时，点 的轨迹的参数方程

x

y

O

AB

Mcossin

M

M

x ay b

教材中“发现法教学”的体现3. 通过数学问题，发现新的形式的方程

2 2

2 2

P100 9

1( 0) A' A

M A'MA 120.

x ya b

a b

应用：课课练 第 题

椭圆 的长轴二端点为 、

若椭圆上存在一点 ，使∠ ＝ ，试求椭圆离心率的取值范围

教材中“发现法教学”的体现3. 通过数学问题，发现新的形式的方程

2 2

2 2 1( 0)

A(a,0) OM, OMA 90

.

x ya b

a b

：椭圆 的长轴右端点

　 　 　 ，原点为 ，若此椭

变

圆第一象限

　 　 　 部分上存在一点 使∠ ＝ ，试　 　 　 求椭圆离心率的取值范围

式

教材中“发现法教学”的体现3. 通过数学问题，发现新的形式的方程例 2 、第八章 P128~P129 例 1

一动圆与圆 x2 ＋ y2 ＋ 6x ＋ 5 ＝ 0 外切，与圆x2 ＋ y2 － 6x － 91 ＝ 0 内切，求动圆圆心的轨迹方程2 2

+ 136 27x y

从圆与圆的关系发现了一种新的形式的曲线方程

，那么这一方程表示是什么圆锥曲线？

即有了一个提前量。

教材中“发现法教学”的体现3. 通过数学问题，发现新的形式的方程例 2 、第八章 P128~P129 例 1

2 2

2 2

10 24 0-10 0

1 x y x

x y x

一动圆与圆 内切，

　 　 　 同时与圆 外切，试求动　 　 　 圆的圆心轨

变式　：

迹方程？2 2M(-4,0), (x-4) +y =9

.2 一动圆过定点 与圆相切，求动圆圆心的轨

式　：迹方程

变

2 2(x+3) +y =100 (-3,0) 3

.与定圆 内切，且过点

　 　 　 的动圆圆心的变 　：

轨迹方程式

教材中“发现法教学”的体现4. 通过教材内容，发现求解问题的方法

　　数列内容中关于等差数列 {an} 前 n 项和Sn 及等比数列通项公式 an ，前 n 项和 Sn 的探求内容，揭示着一类数列问题求解方法 .

教材中“发现法教学”的体现特殊数列一 :a1=a, an+1=an+d

1. 等差数列 {an} 通项公式探求2 1

3 2

n n-1

n 1

a -a =d a -a =d +)a -a =d

a -a =(n-1)d

n

1 1 1A = + + +1 2 2 3 2003 2004

1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+ +( - )2 2 3 2003 20041 2003 =1- =

2004 2004

计算形如：

教材中“发现法教学”的体现特殊数列一 :a1=a, an+1=an+d

2. 等差数列 {an} 前 n 项和 Sn 探求n 1 2 1

n 1 2 1

1

S =+)S =

2 ( )

n n

n n

n n

a a a aa a a a

S n a a

1

{ }26, 110,

187 .

na

n a

等差数列 中前四项和为末四项和为 且所有

项和为 ，求项数 及

教材中“发现法教学”的体现2

1

3

2

-1

-1

1

)

n

n

nn

aq

aa

qa

aq

a

aq

a

特殊数列二 :a1=a, an+1=qan(q≠0)3. 等比数列 {an} 通项公式探求

n 1

21 2 n n n

1{a } a = , 22

,a +a + +a =n a , a .

n

已知数列 中 且

时 试求

1 1

1) 3) : { }

( 0, 0 1), .

n

n n

n

aa a a qa d

d q q a

与 合成处置若数列满足 ，

且 试求

教材中“发现法教学”的体现

1 2 1

2 3

1

-)

(1- ) -

n n n

n n n

n n

S a a a aqS a a a qa

q S a qa

特殊数列二 :a1=a, an+1=qan(q≠0)4.q≠1 时 , 等比数列 {an} 前 n 项和探求

100

3 5 7 201 =2 4 8 2

S

教材中“发现法教学”的体现5. 通过教材，发现知识之间的相互关系及知识的研究规律　　应该注意到所学教材的相关章节之间相互有着共同的规律。如指数函数与对数函数部分内容、椭圆与双曲线部分内容在形式与知识内容上的相似，给我们揭示了这些知识在学习过程中的相似之处以及如何掌握这些知识的相类似的学习方法。

教材中“发现法教学”的体现 6. 教材让教师和学生发现每一章节知识中的重点内容及核心问题　　每一章节、每一部分知识都有一个明确的重点 ( 核心 )，而教材总是围绕这一核心加以展开的，如若我们在教学中能通过我们的教学让学生发现这一点，便能使学生有效的掌握相关知识。

教材中“发现法教学”的体现6. 教材让教师和学生发现每一章节知识中的重点内容及核心问题如：第七、八章的核心内容是“曲线与方程”这一小节，这一小节主要解决的议题是：　　 1)曲线与方程的统一性； 2)求曲线的方程； 3)在已知曲线方程的情况下，探讨曲线的性质； 而从直线开始，圆、椭圆、双曲线、抛物线这五个曲线均是先根据它们各自的定义，按照求曲线方程的 5 个步骤，先求出其相应的方程。

教材中“发现法教学”的体现6. 教材让教师和学生发现每一章节知识中的重点内容及核心问题　　求曲线方程的 5 个步骤，第 2 步是最重要的，因为它是揭示曲线本质的一个根本步骤，可以根据题意列出的数学式子，无非是通过距离公式列出的距离相关式，或者通过角的关系列出的与斜率相关的式子，再者是通过定比分点关系列出的比例关系式。

课堂教学体现“发现法教学”点滴1. 要尽可能多的把结论的发现过程，设计成具体、生动的学生易于“操作的发现”过程，通过教师对课的精心设计，达到让学生自己去发现本节课应该抓住的知识本质与内涵。

课堂教学体现“发现法教学”点滴关于从用计算器教对数运算性质谈起M 23 87 26 18N 15 7 19 123

lgMlgN

lgM+lgNlgM-lgN

lgM·lgNlgM/lgN

课堂教学体现“发现法教学”点滴关于从用计算器教对数运算性质谈起

M 23 87 26 18N 15 7 19 123

lg(M·N)lg(M/N)lg(M+N)lg(M-N)lgMNN·lgM

课堂教学体现“发现法教学”点滴2. 要善于应用“对照比较”的教学方法，积极引导学生发现知识之间的相互联系和区别；促使学生更好的掌握课本知识。

课堂教学体现“发现法教学”点滴0 0 0

0

: :( , ) (

( , )) ,

.

lP P x y

a a b

P P tv

如第五章与第七八章 从向量的角度 直线可以看成是某一个动点 从定点 出发沿一个方向可以

确定一个方向向量 进行运动而产生从而有

00 0

0

-( - , - ) ( , ) ( )

-.

x x tax x y y ta tb t

y y tb

l

即 为参数

这就是直线的参数方程0 0- -

" "x x y y

la b

而消去参数就产生直线的 点向式方程

课堂教学体现“发现法教学”点滴0

0

-, ,

-

( , ) .

y y b bl

x x a a

l AB a b

改换写法成 而 正是直线的斜率 也是

直线方向向量 的斜率

课堂教学体现“发现法教学”点滴

1 2

1 2

2

1 2 2

2

2 1 2

2 2 2

1 | | | | 2

2) | | | |cos

3) tan

4)

MF F

MF MF a

bMF MF

S b

F F MFMT P

x y a

）

在 的

椭圆焦点三

角平分线 上的射影 的轨

迹方程

外

角形性质

1 2

1 2

2

1 2 2

2

MF F

2 1 2

2 2 2

1 |MF |-|MF |=2a

b2)|MF | |MF |=sin

b3)S =tan

4)

F F MFMT P

x y a

内

）

在

双曲线焦点三

的 角平分线 上的射影 的轨

迹方程

角形性质

课堂教学体现“发现法教学”点滴3. 对于教材中重要例、习题的教学功能（ 即例、习题体现的重要数学思想和数学方法），教师要善于进行启发揭示，要把自己的教学过程设计成学生发现数学问题本质的发现过程。例 1 、第八章 P99~P100 例 3如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨迹以地心 (地球的中心 )F2 为一个焦点的椭圆 .已知它的近地点 A距地面 439 公里，远地点 B距地面 2384公里，且F2 、 A、 B在同一直线上，地求半径为 6371 公里，求卫星的轨迹 .

O x

y

AB F1F2

课堂教学体现“发现法教学”点滴4. 教学中要注意引导学生充分利用课本材料 , 从数学材料的特殊情况、特殊性质去发现一般规律及一般情况下的结论 .

课堂教学体现“发现法教学”点滴

M

F

NN’

M’

Q x

y

O

例 1 、高中数学第二册 ( 上 )P1212 2 ( 0) , ,

2

( , ),( , - ), , " ".2 2

py px p x y p

xp p

p p

在抛物线 中，令 解得

即过焦点且垂直于 轴的直线与抛物线的两交点的

坐标分别为 连结这两点 就是 通径

课堂教学体现“发现法教学”点滴

2

2

1. ;2. ' , ', ' , ', ' '=90 ;3.M,O,N ;

24. | | 2 ;sin 90

5. -M N

MNl

MM l MNN l N

M FN

pMN p

y y p

以 为直径的圆与准线 相切

垂足为垂足为 则

三点共线

2

2

1'. ;2'. ' , ', ' , ', ' '=90 ;3'.M,O,N ;

24'. | | ;sin 90

5'. -M N

MNl

MM l MNN l N

M FN

pMN

y y p

以 为直径的圆与准线 相切

垂足为垂足为 则

三点共线

M

F

NN’

M’

Q x

y

Oθ

M

F

NN’

M’

Q x

y

O

课堂教学体现“发现法教学”点滴2

2 2

3' ,2 ,

- 2 , , 22

, , ,: // .

M y px O Fp

l x y px M F y px

N M O l WWN x

将 改变形式 那么在一般情况下，有如下例题：

设 是 上任意一点， 是原心， 是焦点

直线： 是 的准线连 交

于另一点 连 延长线交准线 于求证 轴

课堂教学体现“发现法教学”点滴5. 对于求解、论证的数学问题，在问题的求解过程中，应尽可能让学生去发现问题中条件与结论之间的相互关系，特别是要让学生发现如何从结论出发向条件“要”及从条件出发向结论“靠”的方法和道路，从而掌握求解数学问题的基本方法和基本思路 .

课堂教学体现“发现法教学”点滴2

2

( ) , (-1) 0,1 ( ) , ( )

2

1 : f x ax bx c f x

xx f x f x

已知 若 且对一切实数

　 恒有不 成立 试求

例

等式

, , 2, .2 : x R y R x y xy xy 设 求 的最大值例

“ 发现法教学”教学案例——椭圆的参数方程课题：椭圆的参数方程　　 2 2

2 2

2 2

2 2

1,

1( 0), ,

, , . ? , ?

: ( ) P100~P101 5 ( 5 )

x ya b

x ya b

b a

师：前面已经学过椭圆的标准方程

　 　 　 与圆一样圆有标准

　 　 方程一般方程还有参数方程那么椭圆是否与圆一样也有它的参数方程呢 如果有又该是什么

生 在教师要求下 阅读高二上册 例教师给学生阅读时间 分钟

课题：椭圆的参数方程 ( )

1 ,

2

3 A AN x N B BM AN AN M

: OBA ,M ,

b aOBA

B A

师： 学生阅读时 在黑板上准备如下内容：　 　 　）用圆规、直尺画出直角坐标系及以　 　 　 原点为圆心分别以 、 为半径的圆

　 ）从原点画出一条射线 交小圆于　 　 　 ，交大圆于

）过点 作 轴，垂足为 ，过　 　 　 作 ，交 于师 当射线 变动时 点的位置也发生变化请大家在阅读后从这一轨迹问 ,

? (5 ) , 题你们能发现一些什么样的相关问

题 要求四人一组进行讨论 分钟 各组由一人发表意见

x

y

O

AB

M

课题：椭圆的参数方程,

.

, ,.

　 　 学生四人一组展开讨论 商讨如何回答教师提出的问题，并准备发言材料　 　 教师应注意在学生间听取各组讨论的进度情况掌握讨论时间并及时组织学生汇报

课题：椭圆的参数方程2 2

2 2

2 2

2 2

cos: ( ) 1

sin

(1) 1( 0)

cos1 , ( )

sin .

. .

M A

M A

x x ay y b

x ya b

a bx ax y

a b y b

学生甲 可从问题指出 为变量 （）

　 　 　 由 消去变量 ，得到 ，而

　 　 　 　 表示一个椭圆 为变量

表示的是椭圆的一种新的形式的方程由于这一方程　 　 中有了一个第三变量 这应该是椭圆的参数方程

.因而从这一问题我们发现了椭圆的新的形式方程，亦

　 　 　 即发现了用第三变量 表示的椭圆的参数方程

课题：椭圆的参数方程2 2

2 2

2 2

2 2

1 1

: 1

.

1

., ', '', ''' .

,

x ya b

x yM

a bM M

x y M M MOB A

学生乙 可从这一问题发现了椭圆 的一种新的

几何作图方法

因为由问题知 为椭圆 上一点，而由于

椭圆是轴对称、中心对称图形 从 点可得 点　 　 　 关于 轴 轴及原点的对称点 假设再　 　 　 在第一象限内自原点另引一射线 依照同样的　 　 　 方法可得椭圆上又一相应 1 1

1 1 1

,, ', '', '''

.

M Mx y M M M

点 　然后便可得到 关　 　 　 于 轴 轴及原点的对称点 ，再加上

椭圆的四个顶点，便可画出椭圆图形

课题：椭圆的参数方程

2 2

2 2

( ).

1.

cos ( )

sin ( ).

(1)

x ya b

x ay b

师：阶段小结 二位同学发言已经说清楚了从这一问题能够　 　 得到的二个相关结论 课后请各人从这一问题揭示的椭

　 　 圆几何作法，画出椭圆

另外问题指出椭圆方程 为变量 是椭圆的

　 一种新的形式的方程 参数方程 那么下面大家考虑一下，　 我们已经学过圆的参数方程，按照圆的参数方程这一知识　 　要求： 你 (2)

能发现引入椭圆参数方程的目的是什么？ 你能围绕这一目的设计出一些相关数学问题吗？

课题：椭圆的参数方程.

.( 7~10 )学生仍以刚才的小组展开特别是着力设计应用椭圆参数方程求解的实际问题 时间 分钟

, ,, .

教师在行间巡视 观察、指导小组活动了解学生动态并引导学生回答

课题：椭圆的参数方程

2 2

2 2

ABCD

: x y .

1 ABCD5 4

? : A(5cos ,4sin ) S =4 5

x y

学生丙 椭圆的参数方程作用在于可将椭圆上的点　 　 　 、 坐标用三角函数表达式表达，从而在　 　 　 求解椭圆问题时能借助于三角函数的相关　 　 　 知识去解决我们小组设计如下：

　 　 　 试求椭圆 的内接矩形 的最

　 　 　 大值　 　 　 求解如下若设 ，　 　 　 则 cos 4sin =40sin2 40

, .

　 　 　 从求解过程知应用参数方程可很简明的得到问题的结果

课题：椭圆的参数方程2 2

2 2

: , :

3 - 5 - 60 0 15 4

. : M(5cos ,4sin ),

|15cos -20sin -60| |25cos( + )-60| :d= =5 5

3 sin = ,c5

x yl x y

lM l

学生丁 我们一组同意丙同学的观点我们设计如下问题

　 　 　 已知直线： 试求 上点到直

　 　 　 　线的最短距离解设椭圆上的点 则 到直线的

　 　 　 距离为

　 　 　 　 其中 min4 | 25 1- 60 |os . 75 5

.

d

　 　 　 　 这一问题用椭圆的参数方程求解容易得多

课题：椭圆的参数方程: 100 9P学生戊 利用参数方程能很好的处理课课练 第 题

: ,

,

.( )

老师小结 刚才几位同学的问题说明及对问题的求解很好　 　 　 　 各位同学编出的例题在强调指出椭圆参数方程的　 　 　 　 实际作用和应用价值都有很好的针对性要求课后　 　 　 　 对学生指出的课课练问题进行求解作为本节课的　 　 　 　 作业之二 作业之一前面已布置