平面向量教学建议 ( 二)

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平面向量教学建议 ( 二). 福建省厦门双十中学 张瑞炳. 建议六 : 把握向量在平面几何中的应用. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。. 与 共线. 且方向相同 。. (一)向量有关知识. 则. ( 1 ) 向量共线 : 若. ( 2 )向量垂直:. ( 3 )两向量相等:. ( 4 )平面向量基本定理. ( 5 )两个非零向量夹角公式:. D. D. B. A. A. B. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 平面向量教学建议 ( 二)
Page 2: 平面向量教学建议 ( 二)

平面向量教学建议 (二)

福建省厦门双十中学 张瑞炳

Page 3: 平面向量教学建议 ( 二)

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。

建议六 : 把握向量在平面几何中的应用

Page 4: 平面向量教学建议 ( 二)

(一)向量有关知识( 1 )向量共线 : 若 a b 与 共线 a b R

( 2 )向量垂直: 0,00 bababa

( 3 )两向量相等: ,baba 且方向相同。

1 1 2 2 1 2 2 1( , ) ( , ) // 0a x y b x y a b x y x y

, ,

1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0a x y b x y a b x x y y

, ,

1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ,a x y b x y a b x x y y

, ,

( 4 )平面向量基本定理

1 2 1 2a e e e e

,其中 ,不共线, , 为唯一确定的常数

0b 则

Page 5: 平面向量教学建议 ( 二)

( 5 )两个非零向量夹角公式:

)1800(||

cos 00

ba

ba

Page 6: 平面向量教学建议 ( 二)

( 1 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中

① 若 ADAB , 则 0)()( ADABADAB ,即 。

② 若 ADAB , 则 ADABADAB ,

即 。

A B

D C

A B

D C

四边形 ABCD 是菱形

四边形 ABCD 是矩形

Page 7: 平面向量教学建议 ( 二)

(2)在 ABC 中

①222

OCOBOA ,O是 ABC 的 ;

② ACAB 一定过边BC的中点;通过 ABC 的 ;

③ 0 OCOBOA ,O是 ABC 的 ;

A B

C

O

A B

C D

M

A B

C

O

M

外心

重心

重心

Page 8: 平面向量教学建议 ( 二)

OA OB OB OC OC OA ������������������������������������������������������������������������������������

O 是三角形 ABC 的 ______ 。垂心

( )( )| | | |

AB ACR

AB AC

����������������������������

���������������������������� 通过三角形 ABC的 _________内心

Page 9: 平面向量教学建议 ( 二)

已知非零向量 AB与 AC满足(AB

AB

��������������

�������������� +AC

AC

��������������

�������������� ) · BC =0且AB

AB

��������������

�������������� ·AC

AC

��������������

�������������� =2

1,

则△ ABC为 ( )

A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形

C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形

分析:由(AB

AB

��������������

�������������� +AC

AC

��������������

�������������� ) · BC =0可知,AB、AC的角

平分线 AD垂直 BC于 D. ①

由AB

AB

��������������

�������������� ·AC

AC

��������������

�������������� =2

1,知 cos∠BAC=

2

1,所以∠BAC=60°. ②

由①②及平面几何知识可知△ ABC为等边三角形. 故选 D.

案例 11 :

Page 10: 平面向量教学建议 ( 二)

( 1 )建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

( 2 )通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

( 3 )把运算结果“翻译”成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:

简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形

Page 11: 平面向量教学建议 ( 二)

A B

C

O

如图所示,已知⊙如图所示,已知⊙ OO ,, ABAB 为直径,为直径, CC

为⊙为⊙ OO 上任意一点。求证上任意一点。求证 ∠∠ ACB=90ACB=90°°分析:要证∠ ACB=90° ,只须证向量 ,即 .AC CB

����������������������������0AC CB

����������������������������

解:解:设 则 ,由此可得:

,AO a OC b ��������������������������������������������������������

,AC a b CB a b ������������������������������������������������������������������������������������

AC CB a b a b ������������������������������������������������������������������������������������

2 22 2| | | |a b a b

0

即 ,∠ ACB=90°0CBAC

(一)应用向量知识证明平面几何结论

案例 12 :用向量方法证明:直径所对的圆周角为直角。

Page 12: 平面向量教学建议 ( 二)

案例 13 、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和

A B

D C已知:平行四边形 ABCD 。求证: 222222 BDACDACDBCAB

bADaAB ,解:设 ,则

baDBbaACaDAbBC ;,,

分析:因为平行四边形对边平行且相等,故设 其它线段对应向量用它们表示。

bADaAB ,

)(222

2222 baDACDBCAB

2222 babaBDAC

2 22 2 2 2 2 22 2 2 2a a b b a a b b a b a b

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������

∴ 222222 BDACDACDBCAB

Page 13: 平面向量教学建议 ( 二)

设 l是过点 A、B的一条直线,O为 l 外一点,则点P在 l上(或 A, B, P共线)的充要条件是:存在实数 t,使OP

��������������=(1- t)OA

��������������+ tOB

��������������.

(二)应用向量解决三线共点、三点共线问题

Page 14: 平面向量教学建议 ( 二)

(二)应用向量解决三线共点、三点共线问题案例 14 、如图已知△ ABC 两边 AB 、 AC 的中点分别为 M 、 N ,在 BN 延长线上取点 P ,使 NP=BN ,在 CM 延长线上取点 Q ,使 MQ=CM. 求证: P 、 A 、 Q 三点共线

A B

C

N

M

Q

P解:设 bACaAB ,

则 aAMbAN2

1,

2

1

由此可得 abNPBN 2

1

baMQCM 2

1

baabPANPANPA )(,

baabAQMQAMAQ )(,

AQPA 即 故有 ,且它们有公共点 A ,所以 P 、 A 、 Q 三点共线

AQPA //

Page 15: 平面向量教学建议 ( 二)

案例 15:在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若

AD =2 DB , CD =3

1CA +λ CB , 则

A.2

3 B.

1

3 C.

1

3 D.

2

3

分 析 1 : 因 为 AD =2 DB , 所 以

CD - CA =2( CB - CD ).整理得 3 CD = CA +2 CB .

即CD =3

1CA +

3

2CB .所以 λ=

3

2. 故选 A.

AD B

C

Page 16: 平面向量教学建议 ( 二)

分析 2:因为 D是 AB边上一点,即 A、D、B共线,

所以不妨设 AD =k AB .

所以CD = CA + AD = CA + k AB

= CA + k( CB - CA )=(1- k) CA + k CB .

根据向量基本定理知(1- k),k是使上式成立唯一存在的实数,

所以若 1- k=3

1,则 k=3

2.即 λ=

3

2.故选 A.

AD B

C

Page 17: 平面向量教学建议 ( 二)

案例 16: △如图,在 ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O

的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若

AB =m AM��������������

, AC = n AN��������������,则 m+n的值为 .

A

B C O

N

M

分析:因为点 O是 BC的中点,

所以��������������AO=

1

2( AB + AC ).

因为 AB =m AM��������������

, AC = n AN��������������,

Page 18: 平面向量教学建议 ( 二)

所以��������������AO=

1

2( m AM

��������������+ n AN

��������������)=

2

mAM��������������

+2

nAN��������������

.

因为M、O、N三点共线,

所以2

m+

2

n=1. 即 m+n =2.

Page 19: 平面向量教学建议 ( 二)

建议七 : 提升综合应用向量解决问题的能力

  向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标, 体现了数形结合的思想。

Page 20: 平面向量教学建议 ( 二)

1, ,

, ( )

, , , ( ),

, ( ), , ( ) ( ),

t R

a te a e

A a e B a a e

C e a e D a e a e

案例17:已知向量a e, e 对任意

恒有 则

2 2

2 2

2

2

2

2

: , ,

( ) ( ) , 1,

2 2 1 0 ,

( 2 ) 4(2 1) 0

( 1) 0, 1,

( ) 0. .

a te a e a te a e

a te a e

t a et a e t R

a e a e

a e a e

e a e a e e C

解一

e

对 恒成立

故选

Page 21: 平面向量教学建议 ( 二)

1, ,

, ( )

, , , ( ),

, ( ), , ( ) ( ),

t R

a te a e

A a e B a a e

C e a e D a e a e

案例17:已知向量a e, e 对任意

恒有 则

a - ea

et e

解二:

解三:当然本题也可用建立坐标系求解

Page 22: 平面向量教学建议 ( 二)

1, ,

, ( )

, , , ( ),

, ( ), , ( ) ( ),

t R

a te a e

A a e B a a e

C e a e D a e a e

案例17:已知向量a e, e 对任意

恒有 则

2 2 2 2 2 2

2

2

2

= = , )

, ) ( 1)

2 2 1 0 ,

(2 ) 4(2 1) 0,

( 1) 0, 1,

.

a x y

a te a e x t y x y

t xt x t R

x x

x x

C

解三:设e (1,0), (

则由 可得(

即 对 恒成立

故选

Page 23: 平面向量教学建议 ( 二)

案例 18 : PQ 过△ OAB 的重心 G ,且 OP=mOA,OQ=nOB

求证: 311

nm

O A

B

G·P

Q证:如图建立坐标系, 设 ),(),0,(),()0,( 221 cbBaAyxQxP

所以重心 G 的坐标为 )3

,3

(cba

由 PO=mOA, QO=nOB 可知:OBnQOOAmPO , 求得 ),()0,( ncnbQmaP

由向量 可得:GQPG //

)3

,3

(c

maba

PG

)3

,3

(c

ncba

nbGQ

0)3

(3

)3

)(3

(

ba

nbcc

ncmaba

化简得: 311

nm

Page 24: 平面向量教学建议 ( 二)

B

A

C

O

案例 19:给定两个长度为 1的平面向量OA��������������和OB

��������������,它们的夹角为120 ,如图所示,

点C在以O为圆心的圆弧 AB上变动,若OC xOA yOB ������������������������������������������

,其中 ,x y R ,则 x y

的最大值是

Page 25: 平面向量教学建议 ( 二)

B

A

C

O

y

x

解法 1:建立如图所示的直角坐标系,则 (1,0)A , 1 3( , )

2 2B .

设 )1200( 00 AOC ,则 (cos ,sin )C .

又OC xOA yOB ������������������������������������������

1 3

( , )2 2

C x y y ,

所以

1cos

2

3sin

2

x y

y

,从而

sincos

32sin

3

x

y

.

因此 2)30sin(2cossin3 0 yx

即 x y 的最大值是 2(当且仅当 60 时取得等号)

Page 26: 平面向量教学建议 ( 二)

B

A

C

O

y

x

解法 2:建立如图所示的直角坐标系,则 (1,0)A , 1 3( , )

2 2B ,且 1 3

( , )2 2

C x y y ,

又 | | 1OC ��������������

,所以 2 2 1x y xy .而2

22

2

)( yxyx

, 2)

2(

yxxy

,

所以4

)()

2(

2

)(1

22

222 yxyxyx

xyyx

,即 2 yx

(当且仅当 1x y 时取等号) , 所以 x y 的最大值是 2

解法 3:根据题意,显然 0x , 0y ,由OC xOA yOB ������������������������������������������

两边取模的平方得 2 2 1x y xy ,以下与方法二同.

Page 27: 平面向量教学建议 ( 二)

B

A

C

O

解法 4:设 AOC ,则

,

,

OC OA xOA OA yOB OA

OC OB xOA OB yOB OB

���������������������������������������������������������������������� ��������������

���������������������������������������������������������������������� �������������� ,即0

1cos

21

cos(120 )2

x y

x y

∴ 02[cos cos(120 )] cos 3 sin 2sin( ) 26

x y

当且仅当 α= π3 ∴时取等号, x y 的最大值是 2

Page 28: 平面向量教学建议 ( 二)

(案例 20:浙江高考题)

若非零向量 ,a b满足 a b b ,则 ( C )

A. 2 a a b B. 2 2 a a b

C. 2 b a b D. 2 2 b a b

Page 29: 平面向量教学建议 ( 二)

分析 1:因为|a+b|=|b|,所以(a+b)2= b2.

所以 a2+2a·b= 0.

所以 a·(a+2b) = 0.

所以 a⊥ (a+2b).

因为 2b+a =(a+2b),

所以 2b是由 a、2b、a+2b构成的直角三角形的斜边.

所以|2b|>|a+2b|.

a b

2b

a

分析 2:同分析 1得 a2+2a·b= 0. 所以 a2=-2a·b.

因为|2b|>|a+2b| 4b2 >a2+4a·b+4b2 - a2<0.

故选 C.

故选 C.

Page 30: 平面向量教学建议 ( 二)

(案例 21:上海高考题)

直角坐标系 xOy中,i,j分别是与 x,y轴正方向同向的单位向量.

在直角三角形 ABC中,若 AB =2i+j, AC =3i+kj,则 k的可能值

个数是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

分析:因为 AB =2i+j, AC =3i+kj,

所以BC = AC - AB = i+(k- 1) j.

当 AB ⊥ BC时, 有(2i+j)·( i+(k-1) j) =0.

Page 31: 平面向量教学建议 ( 二)

所以 2i 2+2(k- 1)i·j+i·j+(k-1) j

2=0. 即 2+(k- 1)=0.解得 k=-1.

当 AB ⊥ AC时,有(2i+j)·(3i+kj)=0.

所以 6i 2+2ki·j+3i·j+kj

2=0. 即 6+k=0. 解得 k=-6.

当 AC ⊥ BC时,有(3i+kj)·( i+(k- 1)j)=0.

所以 3i 2+3(k- 1)i·j+ki·j+k(k- 1)j

2=0. 即 3+k(k- 1)=0. 无解.

综上,k的可能值个数是 2.

故选 B.

Page 32: 平面向量教学建议 ( 二)

将数轴 Ox,Oy的原点放在一点,且使∠xOy=45°,则得到一个

平面斜坐标系.设 P为坐标平面内的一点,其斜坐标定义如下:

OP��������������

=xe1+ye2 (e1、e2分别为与 x轴、y轴同向的单位向量),则

点 P的坐标为(x,y).设 F1(-1,0)、F2(1,0),则线段 F1F2的中

垂线在该坐标系下的方程为 .

分析:依条件得 1F P

��������������=(x+1,y), 2F P

��������������=(x-1,y).

因为 1F P��������������

=(x+1)e1+ ye2,

所以| 1F P��������������

|2=[(x+1)e1+ ye2]·[(x+1)e1+ ye2]

=(x+1)2+ y2+2(x+1)y×1×1×cos45°

案例 22 :

Page 33: 平面向量教学建议 ( 二)

即| 1F P��������������

|2=(x+1)2+ y2+ 2 (x+1)y.

同理| 2F P��������������

|2=(x-1)2+ y2+ 2 (x-1)y.

由| 1F P��������������

|=| 2F P��������������

|,

得(x+1)2+ y2+ 2 (x+1)y =(x-1)2+ y2+ 2 (x-1)y.

化简整理得 2x+ 2 y =-2x- 2 y.

即 2x+ 2 y =0.

Page 34: 平面向量教学建议 ( 二)

案例 23 :湖南高考题如图,OM∥ AB,点 P在由射线 OM、线段

OB及 AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)

运动,且OP��������������

=xOA��������������

+yOB��������������,则 x的取值范围是

;当 x=-1

2时,y的取值范围是 .

依题意易知 x <0才能满足已知条件.

当 x=-2

1时,OP

��������������=xOA

��������������+ yOB

��������������= (-

2

1+ y)OB

��������������+

2

1AB, 则 0<-

2

1+ y<1.

所以2

1<y<

3

2.

Page 35: 平面向量教学建议 ( 二)

向量知识、向量观点在数学、物理等学科向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。在高中数学体系中,有合,形成知识交汇点。在高中数学体系中,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。过程。

Page 36: 平面向量教学建议 ( 二)

搞好课堂教学设计的搞好课堂教学设计的““ 321321”” ———— 章建跃章建跃

三个基本点:三个基本点: 理解数学,理解学生,理解教学理解数学,理解学生,理解教学两个关键:提好的问题,设计自然的两个关键:提好的问题,设计自然的 过 程过 程一个核心:概括一个核心:概括

Page 37: 平面向量教学建议 ( 二)

思考:三角形四心的向量表示

1. 已知 O是△ ABC所在平面上的一点,若点 O满足(AC

AC

��������������

�������������� -AB

AB

��������������

�������������� ) ·��������������AO= 0,

(BA

BA

��������������

�������������� -BC

BC

��������������

�������������� )·��������������BO =0,(

CB

CB

��������������

�������������� -CA

CA

��������������

�������������� )·��������������CO =0 (3 个中选 2 个即可),则 O △是 ABC

的 心.

2. 已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点,若点 O 满足OA��������������

2=OB��������������

2= OC��������������

2,则 O △是ABC的 心.

3. 已知 O是△ ABC所在平面上的一点,若点 O满足OA��������������

+OB��������������

+ OC��������������

= 0,则 O △是ABC的 心.

4. 已知O是△ ABC所在平面上的一点,若点O满足OA��������������

·OB��������������

=OB��������������

·OC��������������

=OC��������������

·OA��������������,

则 O △是 ABC的 心.

5. 已知 O是△ ABC所在平面上的一点,若点 O满足|OA��������������

| 2+| BC |2=|OB��������������

|2+| CA |2=

| OC��������������

|2+| AB |2,则 O △是 ABC的 心.

Page 38: 平面向量教学建议 ( 二)

谢谢 !