科学设计 合理呈现打造高效课堂

人民教育出版社中学数学室 李龙才

• 教学是科学也是艺术• 教学有法，教无定法，贵在得法• “ 科学性”要求遵循规律• “ 艺术性”注重发挥个性特长—— 加强数学教学的科学性

• 当前数学教学中存在的问题• 重视概念和思想方法的教学• 理解数学、做好内容解析• 重视教学目标的制定• 做好教学问题诊断，准确把握教学难点• 加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性• 提好的问题，设计自然的教学过程

一、当前数学教学中存在的问题1 、国际数学课程改革的大背景• 新数运动（ 20 世纪 50 、 60 年代）• 回到基础（ 20 世纪 70 年代）• 问题解决（ 20 世纪 80 年代）• 标准运动（ 20 世纪 90 年代至今）

• 美国数学课改的几个标志性文件• 1980 《行动议程—— 80 年代数学教育的建议》• 1989 《学校数学课程和评估标准》• 2000 《中小学数学的原则和标准》• 2006 《学前班到八年级数学课程焦点：寻求课

程的一致性》• 2008 《高中数学的焦点：推理和数学意识》• 2010 《核心课程标准》

改革——创新——反思——批判——回归

2 、新世纪我国基础教育课程改革• 2001 义教数学课程标准实验稿颁布 2005 全部使用• 2004 普通高中数学课程标准实验稿颁布 2012 全部使用• 义教数学课程标准修订 2005 开始 2007 征求意见稿 2010 修改稿 2011 年颁布 2012 使用新教材借鉴、改革、创新、实践、调整如何形成“继承—创新—发展”的良性循环？

• 我们老师经历了怎样的过程 学习理念 冷静思考 探索创新 实践提高• 教师反映的问题 新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等等。

“ 新课改后中学数学教材特点的比较研究”课题的调查结论

• 认可教材的主要变化，但实际教学效果不明显。• 教材的主要变化 1. 更重视数学知识的学习过程，加强教材的启发性、探

究性、发展性； 2. 更重视数学知识与实际问题的联系，加强教材对实际

背景与实际应用的反映。• 教师对教材呈现方式的处理比较认可的。但是，学生的

学习兴趣和学习的自主性并没有明显的提高，这应当引起我们的注意。

• 能力方面传统优势降低，改革倡导的能力没有显著提高。 对于学生对基础知识和基本技能的掌握，教师的态度比较

中性。对于传统的“三大能力”中的运算能力和逻辑思维能力，教师的评价是负面的。对于同是“三大能力”的空间想象能力，教师的评价是正面的。另外，本次课程改革，从课程标准到各个版本的教材，都注意加强了对学生解决实际问题能力、探究能力、数学表达与交流能力的培养。但从调查结果来看，教师的选择出现了分化，三个问题的回答，选择“提高”“差不多”“降低”的比例大致相同，并没有得到我们预期“提高”的结果。

• 客观原因 影响教材实验及其效果的因素是复杂的。比如，由于班额普遍偏大（初中班额在 50 人以上的占77% 强，在 60 人以上占 41.82％；高中班额在 50人以上的占 76.44% ，在 60 人以上的占 38.12％ ），以及受升学、考试等的影响，尽管教师认可教材重视数学知识的学习过程、加强启发性及探究性等处理方式，但这些措施在实际教学中往往难以到落实。

• 反思我们自己的问题

国家中长期教育改革和发展规划纲要第三部分 体制改革 第十一章 人才培养体制改革 ( 三十二 ) 创新人才培养模式。遵循教育规律和人才成长规律，深化教育教学改革，创新教育教学方法，探索多种培养方式，形成各类人才辈出、拔尖创新人才不断涌现的局面。• 注重学思结合。倡导启发式、探究式、讨论式、参与式教学，帮助学生学会学习。激发学生的好奇心，培养学生的兴趣爱好，营造独立思考、自由探索的良好环境。 • 注重知行统一。 • 注重因材施教。

• 教学层面的问题 数学教学“不自然”，强加于人； 缺乏问题意识； 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”； 重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高； “ 重逻辑而轻思想”。强调细枝末节多关注基本概念、核心数学思想少，对学生数学素养的提高不利。 学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不利于创新精神的培养。

例 “有理数的乘方”的课堂练习题1.如果 m2+n2=0,那么有理数m ， n 应满足的条件（ ） A 都是零 B 不都是零 C 至少有一个是零 D 互为相反数2.如果 m3+n3=0,那么有理数m ， n 应满足的条件是（ ） A 都是零 B 不都是零 C 至少有一个是零 D 互为相反数3.下列各组数中相等的有几组（ ）（ 1 ） -52 与 (-5)2 （ 2 ） (-3)3 与 -33 （ 3 ） 0100 与 0200

（ 4 ） -(-0.3)5 与 0.35 （ 5 ） (-1)3 与 -(-1)2

A 5组 B 4组 C 3组 D 2组4. m为任意有理数时，下列说法正确的是（ ） A (m+1)2 的值总是正的 B m2+1 的值总是正的 C -(m+1)2 的值总是负的 D 1-m2 的值比 1 小

• 教师层面的问题 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高； 只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性； 采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。

• 同位角、内错角、同旁内角（一）知识与技能目标：1 ．理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2 ．能在基本的图形中识别同位角、内错角、同旁内角；（二）过程与方法目标：1 ．经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；2 ．从现实生活中抽象出数学问题并进行探索归纳过程；3 ．体会分类分步、化归等数学思维方法；（三）情感与发展目标：1 ．从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴趣；2 ．从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系；3 ．培养学生独立思考、合作学习等能力。

• “函数”的教学目标• 知识技能：（ 1 ）经过回顾思考认识变量中的自变量与函数；（ 2 ）进一步理解掌握确定函数关系式；（ 3 ）会确定自变量取值范围．• 数学思想：对应思想。• 情感态度：通过学习函数概念，提高学生的分析、综合能力，渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法，向学生渗透数形结合的思想，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约．

共性• 好的方面：已经注意了反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。• 需要改进的：贴标签；不具体；对教学的定向作用不充分；表述混乱；……• 特别是：混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。

• “ ”三维目标 是课程目标，不是课堂教学目标！• “ ”三维目标 有内在统一性，都指向人的发展。• “ ”交融互进： 知识和技能 只有在学生积极反思、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建

“ ”构； 情感、态度和价值观 只有伴随着学生对学科知识技能的反思、批判与运用，才能得到提升；“ ”过程和方法 ，只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。

• 正确理解内容基础上制定目标“ ”三线八角 的内容理解• “ ” “ ”两条直线 被 第三条直线所截 ，得到八个角

——图形的结构。• 对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系；• 核心：根据图形结构特征进行分类——正确识别的前提。

“ 三线八角”的教学目标• “ ”能以 结构特征 为依据对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想。• “能正确地分析图形的结构特征，从中找到 两条直

” “ ”线 和 第三条直线 ，并识别出同位角、内错角、同旁内角。• “ ”在 三线八角 概念的引入过程中，体验研究几何

→图形的基本思路，如：两条直线 三条直线，共→顶点的角 不共顶点的角，等。

• 概念课概念是反映对象本质属性的思维形式，也是简单命题的基本

要素，具有抽象性、概括性的特征习惯做法（走过场）• 快速给出定义• 提出 “准确理解”定义的注意点• 例题示范（巩固、应用）• 练习巩固——课堂、课后• 纠正错误 “纠错教学法”

概念教学是数学教学育人功能的很好载体概念教学的核心——概括（同类事物的共同本质特征） 概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。“ ” “ ”举三反一 与 举一反三 举三反一——分化——用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性； 举一反三——类化——把共同本质属性推广到同类事物中； 对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。

概念教学的基本环节• 概念的引入——通过典型丰富实例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；• 概念的形成——对典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；• 概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；• 概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；• 概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；• 概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。

例 反比例函数概念的教学

• 两个维度：函数关系、反比例关系

• 让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；• 下定义——给出反比例函数的文字和符号描述；• 辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数 y=1/x2是不是反比例函数；（下页）• 例题—— “ ” “用概念作判断的 操作步骤 ，强调 自变量 x 与相应的函数值 y ”是否成反比例关系 ，可以用反例让学生分析，

“ ”使学生进一步明确 求反比例函数 的含义；• 通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确

“ ”反比例函数反映了 一类事物 的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。

概念辨析• 成反比例的量和关系： xy=k（定值），这里 x

和 y都是可以变化的；• 反比例函数：体现的“变化规律”是“变量 y随变量 x 的变化而变化，且它们的积 xy保持不变”。• 关键词：反比例；函数。• y=1/x2 ， y 是 x2 的反比例函数，对吗？• 注意：自变量是 x而不是 x2 ；“反比例函数”是“自变量与对应的函数值成反比例关系”。

锐角三角函数的定义过程• 以“比萨斜塔纠偏问题”引入，以“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？”提出问题，然后研究锐角的正弦，再给出锐角的余弦、正切。

锐角的正弦的定义• 先利用“直角三角形中， 30°角所对的边是斜边的一半”，得到 30°角所对的边与斜边的比值；再讨论 45° 、 60°角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把 Rt△ ABC 中锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦。

锐角三角函数概念的展开• 课题的引入 从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。• 概念属性的归纳 例证 1 从最熟悉的开始， 30°角所对的边与斜边的比值是 1/2 。• 思考：由这个结论能解决什么问题？——当

∠ A=30°时，已知斜边就可求出∠ A 的对边，反之也然。

• 例证 2 等腰直角三角形中，锐角 A 的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？• 归纳：任意给定锐角 A ，∠ A 的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？• 概念的明确与表示 下定义，用符号表示。

• 定义的辨析 （ 1 ）∠ A 为 Rt△ABC 的锐角， △ ABC 的大小可以变化，但∠ A 的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角 A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠ A 的正弦；（ 2 ）符号 sinA 的理解——一个由 A唯一确定的数，例如 sin30°=1/2 ；等。

• 概念的巩固应用 已知直角三角形的边求正弦值等。• 概念的精致 解直角三角形。

案例：锐角三角函数的概念 (必要、合理、思想性 )

数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要．为了体现学习锐角三角函数是“必要的” 和“合理的”，注意从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入．•实际问题 + 数学内部需要，引出进一步研究直角三角形中边角之间的关系问题；•从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节．为此，教科书设置了修建扬水站时需要准备多长水管的实际问题，在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论“在直角三角形中， 角所对的边是斜边的一半”，其等价形式为“在直角三角形中， 角所对的边与斜边的比总是常数 ”，后者反映了直角三角形中 锐角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系；由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式．

• 主要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，经历实际问题引入——研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——给出锐角正弦概念的定义过程，探究直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性．这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值．• 通过从实际问题或数学问题出发，并运用数学的思维方式进行思考，引入锐角三角函数，使学生从中感悟研究数学、学习数学的重要方法，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，也积累了数学活动经验．

• 什么是数学思想方法？ 数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概

念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。二者有很强的联系性。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时称数学方法。

• 数学思想方法的层次性 （ 1 ）解题术——与某些特殊问题联系在一起的方法，在特定环境中发挥作用，具有较固定的操作程序。 求差法 （ 2 ）解题通法——解决一类问题时可以采用的共同方法，操作程序不是很具体，但适用范围比较广泛。换元法 配方法 数学归纳法 （ 3 ）数学思想——对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，程序性弱，功能性强。分类思想 化归思想 函数思想 数形结合 极限思想 统计思想 （ 4 ）数学观念——数学思想方法的最高境界，认识客观世界的哲学思想。 例：二元一次方程组解法中的数学思想方法 化归→ → →消元 代入（加减） 恒等变换（整体代换）

• 新课标中的“基本思想” 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、

基本技能、基本思想、基本活动经验。 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部； 推理：促进数学内部的发展； 模型：沟通数学与外部世界的桥梁。 例：一元二次方程中的基本思想（化归：降次）

• 数学思想方法教学的层次性 渗透。在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学

思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。

介绍。把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。

突出。在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。

• 加强数学思想方法的教学 数学思想方法具有过程性的特点，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的载体；数学思想方法还具有活动性的特点，学生头脑中的数学思想方法也是在数学学习活动中逐步形成的。这就要求我们精心设计教学过程，从问题的提出、情景的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，有意识有目的地进行数学思想方法的教学。

1 ．引入过程重视“先行组织者”的使用，加强研究方法的指导。

• 例：反比例函数的图象与性质• 通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。

• 先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？要研究那些问题？研究的方法是什么？

2 ．设计好的问题，让学生经历思想方法的形成过程。• 例：二元一次方程组的解法• 新问题是什么？学习过什么老问题？将新问题转化为老问

题就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易的化归思想。

• 怎样将新问题转化为老问题？这种“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的思想就是消元思想。

• 怎样消元？也就产生了代入与加减两种消元的方法。• 如何“代入”与“加减”？需要具体的代数的恒等变换的

方法。

3 ．发挥小结的作用，让学生学习的思想方法也纳入认知系统。• 例：代入消元法的框图

二元一次方程组

2y-x=32

y+2=2x y=22x=12

解得x

变形 解得y

代入

消y 一元一次方程2× (2x-2)-x=32

y =2x-2回代

三、理解数学，做好内容解析 理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑

意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。

• 理解教学内容，弄清“是什么” ；• 理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念；

• 理解教学内容所反映的思想方法。

例：概率教学中的一些错误理解• 必然事件与概率为 1 等价，不可能事件与概率为 0 等

价，随机事件的概率大于 0 而小于 1 。• 随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。

lim ( ) 1n

mP pn

limn

m pn

• 例：为什么说在有理数乘法法则的教材设计中，渗透了数系扩充的基本思想——原有数系的运算和运算律保持不变？

例 “函数”概念的核心• 函数概念的发展历史• 函数的产生来自研究变量的需要。• 17 世纪，伽利略、笛卡尔等已注意到一个变量对另一个

变量的依赖关系。牛顿、莱布尼兹创立微积分时虽未给函数下明确的定义，但实际上已形成对变量之间的对应关系的关注。

• 18 世纪，函数被认为是由变量 x 和常量构成的式子。约翰•贝努利：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。” 欧拉这个定义称为解析函数，并进一步把它按照含有的运算种类区分为代数函数和超越函数。

• 19 世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数也可以用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式子的限制。当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”之间的“对应”给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。• 20 世纪后，现代函数概念──“集合之间的映射”方式定义形成，即“若存在集合 M 到 N 的一个映射 f ，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x) ，其中 x 是 M 的任一元素， y 是 x 在 N 中的像。”

• 初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量”来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻画函数的概念．

• 初中阶段的函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与它对应，则称 x为自变量， y 为 x 的函数．

• 分析初中的定义中对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了是“单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求 ，但是没有从“集合”角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域．

• 初中数学中函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这包括两个方面的含义： 第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化； 第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。

• 函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型。

“ 数轴”内容和内容解析 数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，是把数和形统一起来的第一次尝试．数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系．数轴使数的概念和基本运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了直观意义．这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等）． 用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）．在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的．这时，我们有——

● 原点↔ 0 （原点是区分方向的“基准”， 0 是区分正负的基准）●单位长度↔ 1 （单位长度是度量线段长度的单位， 1 是实数单位，

“单位”实际上给出了一个统一的标准．）●方向符号（空间中， A ， B两点“位置差别”的定量化必须且只需“方向”和“长度”．数轴上，方向只有“左”“右”两种，可以理解为“相反方向”．负数在数轴上与正数具有“相反方向”，其实际意义就是描述现实中的“相反意义的量”．确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素，它们正好对应了定量化定义 A ， B两点“位置差别”的“方向”和“长度”．）

▼ 析出本课的教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性，感受其中的数形结合思想．

• 提高研究教材的水平 仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。 内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚理由。

例：负数的引入

例：“数轴”中的三个图 —— 三次抽象的过程

• 问题 1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东 3 ｍ和 7.5m 处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西 3m 和 4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

• “三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题．这是实际问题的第一次数学抽象．

• 问题 2 上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义．我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？• 继续以“三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础．

• 问题 3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？

• 设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用．引导学生用“三要素”表达，为定义数轴概念提供有一个直观基础．

• 问题 4 你能说说上述两个实例的共同点吗？• 设计意图：进一步明确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础．

四、重视教学目标的制定，做好目标解析• 课程目标： ——宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果；包含多方面的、更为具体的目标。 —— “课程专家制定，用 总体目标 + ”学段目标 的方式呈现。• 单元目标： ——中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。 —— “ ”课程专家制定， 内容标准 中所列的都是单元目标。• 课堂教学目标： ——微观目标，专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用。

• 目标和目标解析• 目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实

现的教学结果，是衡量教学质量的标准。 • 目标：用“了解”“理解”“掌握”以及相应的行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。

• 目标解析：对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析，一般地，核心概念的教学目标都应进行适当分解。

要强调把能力、态度等“隐性目标”融合到知识、技能等“显性目标”中，以避免空洞阐述“隐性目标”，使目标对教学具有有效的定向作用。

例 如何定位教学目标• 目标：理解正数与负数的概念 ①了解：通过实际例子，感受引入负数的必要性，会用正、负数表示一对具有相反意义的量；进而初步获得正数、负数的抽象概念。

②理解：能用正负数表示实际问题中的数量，并随着绝对值、相反数等概念的学习，逐渐熟练地进行正、负数的运算。

例 “变量与函数”的教学目标目标：• 了解常量、变量、函数的概念目标解析：• 结合具体实例，体会常量与变量的特征，能指出具体问题

中的常量、变量．• 结合具体实例，理解具有函数关系的问题中两个变量之间

的单值对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系，能举出函数的实例。

• 结合函数概念的形成过程 ,体会变化与对应的数学思想，感知现实世界中变量之间的相互联系并不断运动变化；体会从具体的生活实例中抽象概括出数学知识的方法，

五、做好教学问题诊断，析出教学难点• 教师应当根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。

• 可以从认知分析入手，即分析学生已经具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础），对照教学目标还需要具备哪些条件，通过已有基础和目标之间的差异比较，分析教学中可能出现的障碍。本栏目的内容应当做到言之有物，以具体数学内容为载体进行说明。

• 例：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的意义。那么，难点在哪里？• 难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示．这与学生的日常经验有一定的矛盾，需要一个“心理转换”：把“体重减少 1kg”转换为“体重增长－ 1kg” ，需要对“负”与“正”的相对性有较好的理解。

例 “三线八角”中的难点• 学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量

的讨论，除在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。

• 教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。

• 突破难点的关键：截线是公共边

例 “函数”中的难点分析• 函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样

性等特点，初次接触函数概念时会感到十分困难。• 函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型，涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念，这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。其中的层次主要有：（ 1 ）在一个“变化”过程中；（ 2 ）存在“两个”变量；（ 3 ）这两个变量具有一定的“联系”；（4 ）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5 ）两个变量存在“单值对应”的关系。相关的上位概念主要有变量、对应、唯一、确定等。

• 学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，了解函数的概念，需要学生的思维达到辨证思维的形态。然而，此时学生的辨证思维水平还不很成熟，这个矛盾是函数概念学习中认知障碍的根源。

• 教学难点：函数概念形成中的抽象与概括，对“单值对应”的理解。

加强数学教学的思想性，是体现数学的育人价值的需要，也是教改对教学的整体要求，同时有利于学生形成对数学的整体性认识。

• “ ”不要把数学教学蜕化为 解题教学 。• 提高思想性的做法 —— “ ”加强 先行组织者 的使用 ,加强研究方法的指导。 ——加强过程性。教学内容的呈现要体现数学思维规律，

“引导学生积极探索，通过 观察、实验、比较、归纳、猜”想、推理、反思 等理性思维活动，展示数学概念、结论

的形成过程，促使学生领悟数学的本质，提高学生的数学思维能力。

六、 加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性

例：类比的研究问题——函数的研究 正比例函数→一次函数→二次函数→反比例函数• 概念——体现概念教学的一般过程• 研究内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性• 研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。• 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大 于零或小于零等。• 函数性质的讨论——三步曲 观察图象 ，描述变化规律 （上升、下降） 结合图、表，用自然语言描述变化规律（ y随 x的增大而增大或减小） 用数学符号语言描述变化规律

七、提好的问题，设计自然的教学过程• 问题引导学习 提好的问题，有意义、适度、恰时恰点• 设计自然的过程 体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数

学知识的认识过程。• 核心是引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学

学习过程中保持高水平的数学思维活动。

• 好的问题的关键是要引导学生独立思考• 思维需要合适的问题情境；（用代入法解方程组时要注意什么？）

• 独立思考需要安静的环境和充分的时间；• 让学生完成关键的概括活动；• 要面向全体学生；• 暴露学生的思维过程；（答对了怎么办？答错了怎么办？）

例 不恰当的问题设计• 不反映当前学习内容的本质（例：函数概念的引入）

• 过分强调联系实际引入概念（例：平方差公式）• 没有思维深度、低水平重复的问题 （例：多边形内角和）

• 无效的问题 “ ”“ ”（例：课堂中的 是 否 回答，要问为什么）

关键点 关节点 联结点 发散点 最近发展区 • 度 君子之教，喻也：道而弗牵；强而弗抑；开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和、易、以思，可谓善喻矣。• 优秀教师的教学，善于诱导。他对学生引导但不牵着走；严格要求但不过分施压；开导但不和盘托出。导而弗牵就使教与学的关系和谐；强而弗抑就使学生对学习感到快、易而不产生畏难情绪；开而弗达就可培养学生独立思考而自求答案。使学生做到了不畏难，感到快、易而又能独立思考，就可以说是善于诱导了。

• 如何提问题

例 不等式的性质的引入• 不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本

性质而得到启发。（先行组织者）• 你能回忆一下等式的基本性质吗？• 等式的基本性质的实质是什么？（“运算中的不

变性”）• 类似的，不等式有哪些基本性质呢？• 尝试、验证、归纳。

例 相似三角形判定

例 变量与函数的教学过程设计一、创设情景，引出课题例 1 ：汽车以 60千米 /时的速度匀速行驶，行驶里程为 s ，行使时间为 t.

1．填表，再试用 t的式子表示 s. 2．事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？3．变量与常量的定义。4．变量与常量在生活中的例子有哪些？5．写出下列两式的表达式，并指出其中的变量与常量．（ 1 ）设圆的面积为 s，半径为 r，则 s怎样用 r来表示呢？（ 2 ）已知圆柱体的底面积为 9平方米，高为 h，则体积 V怎样用底面积

与 h表示呢？【设计意图】通过探究常量和变量，为研究函数的概念做好铺垫 .

t / 时 1 2 3 4 5 6 7 8 …

S / 千米 …

二、探索研究，形成概念问题：上述几个例子中的变量有什么关系？你能从两个变量联系的角度，试着描述这种关系吗？【设计意图】通过前面几个例子的思考与分析，让学生从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第一次抽象认识．例 2 ：姚明职业生涯技术统计

问题： 1. 表格中有变量吗？是什么？ 2. 问题中的两个变量之间有上面我们描述的关系吗？ 3. 随着赛季数值的变化，场均得分怎么样变化？ 4. 你能写出赛季 n与场均得分 p之间的表达式吗？

赛季（ n ） 02-03 03-04 04-05 05-06 06-07

场均得分（ p ） 13.5 17.5 18.3 22.3 25.0

例 3 ：某地一天内的气温变化情况．

问题： 1．图象中有变量吗？是什么？ 2．你能写出温度 T与时间 t的表达式吗？这两个变量之间有前面我们描述的关系吗？ 3．上面总结的变量之间的关系的描述是否准确，该如何描述两个变量之间的这种关系？【设计意图】通过例 2 的姚明职业生涯技术统计表格和例 3的天气变化图象，让学生从对函数的解析式理解过度到函数概念是两个变量间互相依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第二次抽象认识．

例 4 ：北京的出租车是这样计费的：在不超过三公里的情况下，收取基价 10元；超过三公里后，超过部分每公里按 2元计费．

问题： 1．在里程不超过三公里的情况下，里程改变，钱数改变吗？

2．这个例子与我们总结出的关于两个变量之间的关系的结论矛盾吗？

3．那应如何进一步完善我们刚才给出的结论呢？ 【设计意图】通过出租车计费的例子，让学生从函数概念

的变量的依赖关系过度到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第三次抽象认识 .

三、归纳抽象，明确定义1．回放前面四个例子，让学生讨论这四个例子的关键点．如例 1 ，（ 1 ）在这个变化过程中，当 t=1时， s=？当 t=7时， s=？（ 2 ）每给定 t的一个值时， s的值会怎样？2．归纳、抽象出函数的定义： 在一个变化过程中，如果有两个变量 x与 y，并且对于 x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量 ， y是 x的函数．【设计意图】通过学生自己归纳总结，让学生经历概念形成过程，最终由学生将关键点串联起来，形成现行初中函数定义，完成对函数概念内涵的第四次完整认识 .

四、运用实例，辨析概念 1．强调函数概念中的两个关键词　让学生对照着前面的四个例子认识“确定”与“唯一确

定”这两个关键词． ２．给出反例，巩固概念• 　图 19.1.1-5 是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，请问：• (1)蚂蚁离地的高度 h是离起点的水平距离 t的函数吗？为什么？• (2) 反过来， t是 h的函数吗？为什么？ • 【设计意图】通过明晰关键词，帮助学生明确概念；通过寄信的实际问题，引出“一对一”与“多对一”的问题，让学生进一步理解函数的定义． （五）举例分析，应用概念（略）

函数概念的辨析——以实例（正例、反例） 为载体分析关键词的含义；反例：下图是一只蚂蚁在矩形的墙面上爬行图，蚂蚁离地的高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？

离地高度 h/cm

2

水平距离 t/cm 1 2

6

4 5 61

345

3... . .

正例：蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地的高度 h 的函数吗？为什么？

例 数轴概念的教学设计（一）内容和内容分析• 内容：数轴的概念，用数轴上的点表示数（点与数的一一对应）。• 内容分析：数形结合思想的产物。由此，数的概念和运算与位置、方向、距离相统一，使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义，有助于数的概念的理解，还可以从中得到启发而提出新的问题或结论，如相反数、绝对值等。

• 数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴上的点一一对应（存在性、唯一性）。• 这样要求的意义：等价性，将问题转化后所得到的结论就是原问题的结果——需要学生逐渐体会。• 在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的。

数轴的“三要素”与实数集的“三要素”• 原点 0（原点和 0 的“基准”作用）• 单位长度 1（“单位”的“标准”作用）• 方向 符号（“方向”、“长度”是标记“空间位置差别”的两个要素。数轴的方向“左”“右”，具有“相反意义”，对应于负数、正数。• 教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性。

（二）目标和目标解析• 目标（ 1 ）能用数轴上的点表示有理数；（ 2 ）能借助具体实例，解释数轴三要素的作用。

• 目标解析：• 目标（ 1 ）属于“理解”层次，是指学生能画出数轴并找到表示给定数的点；• 目标（ 2 ）也属“理解”层次，是指学生能判断一种情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要素分别对应起来。• 从发展的角度看，学生还应体会到，“用点表示数”时，数轴“三要素”保证了点与数的“一一对应”，即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数轴上任意一个点对应于唯一一个数。这里，概念所反映的基本思想需要逐步体会，还要逐步积累借助数轴的直观研究问题的经验。

（三）教学问题诊断分析• 学生第一次遇到用形表示数的问题，领会其中蕴含的思想、体验这一方法的意义，尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生活经验。在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先讲解，学生获得体验后进行模仿式举例。• 教学难点：数轴“三要素”与数集中0 ， 1 以及数的符号的对应性。

( 四 ) 教学过程设计 1 ．问题情境下的三次概括• 问题 1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东 3 ｍ和 7.5m 处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西 3m 和 4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

• 师生活动： 学生小组讨论解决问题的方法，学生板演．

学生画图后提问： （ 1 ）马路可以用什么几何图形代表？（直线） （ 2 ）你认为站牌起什么作用？（基准点） （ 3 ）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）

• 设计意图：“三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题．这是实际问题的第一次数学抽象．

• 说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示．有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便．

• 问题 2 上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义．我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？• 学生画图表示后提问： （ 1 ） 0 代表什么？（基准点） （ 2 ）数的符号的实际意义是什么？（方向） （ 3 ）如图，在一条直线上， A ， B 的距离等于 B ， C的距离， B 点用 3表示， C 点用 7.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符） O A B C 0 1 3 7.5

（ 4 ）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系．例如，－ 4.8表示位于汽车站牌西侧 4.8 m 处的电线杆．你能自己再举个例子吗？设计意图：继续以“三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础．

• 问题 3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？

• 教师可以先解释 0 度的含义（冰水混合物的温度规定为 0 度——温度的基准点）．

• 设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用．引导学生用“三要素”表达，为定义数轴概念提供又一个直观基础．

• 问题 4 你能说说上述两个实例的共同点吗？• 设计意图：完成第三次概括，即进一步明

确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础．

2 ．定义、辨析数轴概念• 请你带着下列问题阅读教科书： （ 1 ）画数轴的步骤是什么？ （ 2 ）根据上述实例的经验，“原点”起什么作用？（“原点”是数轴的“基准”，表示 0 ，是表示正数和负数的分界点）

（ 3 ）你是怎么理解“选取适当的长度为单位长度”的？（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些等） （ 4 ）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的数 ；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数 ．（宏观看大小）• 设计意图：明晰概念，加深对数轴“三要素”的理解．

3．练习、巩固概念 （ 1 ）课本练习 1 ， 2 ； （ 2 ）数轴上表示 3 的点在原点的哪一侧？与原点的距离

是多少个单位长度？表示数－ 2 的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？设 a 是一个正数，对表示a 的点和表示－ a 的点进行同样的讨论．

• 设计意图： 练习（ 1 ）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示

的有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有的有理数都可以用数轴上的点表示．

练习（ 2 ）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位置（原点左右）点的特点．培养学生的抽象概括（由具体的数到字母表示的数）能力．

4 ．小结、布置作业• 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（ 1 ）本节课学了哪些主要内容？ （ 2 ）数轴的“三要素”各指什么？它们各起什么作用？ （ 3 ）你能举出引进数轴概念的一个好处吗？• 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌

握本节课的核心——数轴“三要素”，感受通过数轴把数与形结合起来的好处．

• 布置作业： 教科书练习第3 题，习题 1.2 第 2 题．

请批评指正！李龙才人民教育出版社中学数学室010-58758330lilc@pep.com.cn