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제 7 장 Z 변환

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7.1 서론• 푸리에 변환 및 라플라스 변환 : 연속시간 신호의 경우에 시간 영역에서의 계산을 다른 영역에서

해석하고 주어진 문제를 풀기 위한 도구• 푸리에 변환은 라플라스 변환의 부분집합으로서 라플라스 변환을 허수 축에서만 생각한 것이

푸리에 변환• 공통점 : 두 방법 모두 시간영역에서의 중첩적분이 변환된 영역에서는 곱으로 나타나는 특징을

이용하여 입력 신호와 시스템의 임펄스 신호의 중첩적분을 계산하지 않고 각각의 변환을 곱하고 이를 다시 역변환하여 출력을 얻을 수 있었다 .

• 차이점 : 푸리에 변환이 시스템과 신호가 모두 안정한 경우에만 존재하는데 비하여 라플라스 변환으로는 불안정한 신호와 시스템까지도 표현할 수 있다는 것이다 .

• 라플라스 변환 : 주어진 입력에 대한 출력을 구하는 경우에는 보통 많이 사용• 푸리에 변환 : 시스템의 주파수 응답을 알아내거나 입력을 어떻게 필터링할 것인가를 알아볼 때• z 변환과 이산시간 푸리에 변환의 관계 : 라플라스 변환과 연속시간 푸리에 변환의 관계와 같다 .

: 즉 , 이산시간 푸리에 변환은 z 변환의 일부 영역에서의 결과이고 이산시간 푸리에 변환은 안정한 신호와 시스템의 표현에만 사용될 수 있는 반면에 z 변환은 불안정한 신호와 시스템도 표현 가능 .그리고 필터링 , 시스템의 주파수 응답 등의 응용 시에는 푸리에 변환을 많이 사용하고 , 시스템의 입력에 대한 출력을 구할 때에는 z 변환을 많이 사용한다 . 그러나 입력과 시스템이 안정한 대부분의 실제 응용 분야에서는 푸리에 변환과 z 변환은 변수를 달리 표현했을 뿐 똑같은 것 .

• 7 장에서는 우선 z 변환이 어떻게 정의된 것인가를 생각해 보고 이산시간 신호와 시스템을 z변환으로 표현해 본다 . 그리고 입력과 시스템의 임펄스 응답이 주어졌을 때 이들 각각의 z변환을 구하고 이들을 곱한 후 그 결과를 역변환 하여 출력을 얻는 과정을 살펴본다 . 유용한 몇 가지 z 변환의 특성 및 z 변환 결과도 마지막으로 알아보도록 한다 .

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7.2 z 변환• 라플라스 변환의 가장 주요한 특성 중의 하나가 시간 영역에서의 중첩적분을 변환 영역에서는 곱으로

나타낼 수 있어서 계산 면에서 시간 영역에서 수행하는 것보다 유리할 뿐만 아니라 직관적으로도 주파수 분포 , 시스템의 특성 등에 대한 정보를 쉽게 얻을 수 있다는 것이다 .

• 중첩합이 변환영역에서 곱으로 표현되는가 ? ( 예 ) 그림 7.1 에서와 같이 계수가 인 3 탭 필터에 가 입력되고 있다고 하자 . 그러면 앞에서

배운 바와 같이 입출력의 관계는 다음과 같은 중첩합이 된다 (7.1)

그림과 같은 탭이 3 개 입력이 3 개 뿐인 시스템 (7.2)

위 식으로부터 또는 그림 7.1 에서와 같이 입력을 그려가면서 출력을 구할 수 있다 .

(7.3)

그림 7.1 3 탭 FIR 필터

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• 이와 같은 중첩합을 곱으로 나타내는 변환은 어떤 것일까 ? : 결국 을 변환한 것과 의 변환을 곱하였을 때 그 결과의 역변환이 이 되도록 하는 변환을 정의하여야 한다 .

[ 해 ] 신호와 시스템이 각각 3 개씩으로 각각의 z 변환은 다음과 같다 . (7.5)(7.6)(7.7)

: (7.7) 의 역변환을 통하여 출력을 구해 보면 식 (7.3) 의 출력과 일치함을 알 수 있다 .( 역변환은 단순히 의 계수가 n 번째 출력 )

• 식 (7.4) ～ (7.6) 은 신호가 시간 0 이상에서만 존재하는 경우와 같은 특별한 경우에 대한 식이고 , 일반적인 표현은 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

(7.8)

• 이산시간 신호의 푸리에 변환 (5.18): z 변환의 z 대신에 를 대입한 것• 연속시간 신호와 시스템에서 푸리에 변환 : 라플라스 변환의 s 대신에 를 대입한 것

[ 해석 ] 1) 연속시간 시스템 : s 라는 복소 평면에서 허수 축을 따라 라플라스 변환을 살펴 본 것이 푸리에 변환이라는 것2) 이산시간 시스템 : z 라는 복소평면에서 라는 단위원에서 z 변환을 계산한 것이 푸리에 변환이 되는 것이다 . 즉 , 푸리에 변환은 z 변환의 일부인 단위원 상에서의 값이며 는 0 부터 까지 그 의미를 갖는다 .

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7.3 이산시간 신호의 z 변환 • 일반적인 신호의 z 변환

7.3.1 : 안정한 인과 신호 (stable and causal signal) (7.9)

• 공비의 크기가 1 보다 작다면 위의 식은 다음과 같이 간단하게 된다 . (7.10)

(7.11)

• 즉 , 위의 영역에서 변환 표현이 가능하며 이를 ROC(region of convergence) 라 한다 . 이 예에서의 ROC 는 식 (7.11) 로부터 알 수 있듯이 복소 평면에서 반지름이 1/2 인 원의 바깥부분이다 .

• 식 (7.11) 의 ROC 내에 단위원이 포함되므로 이 예에서와 같이 안정한 신호는 변환뿐만 아니라 푸리에 변환도 존재한다 .

7.3.2 : 불안정한 인과 신호 • 다음과 같이 주어진 ROC 에서 변환 표현이 가능

(7.12)

• 즉 , 반지름 2 인 원의 바깥에서 z 변환이 가능하다 . 이 경우는 앞의 예와는 달리 ROC 가 단위원을 포함하지 않고 있으며 따라서 푸리에 변환이 존재하지 않는다 . 결국 이와 같은 불안정한 신호는 z변환은 가능하지만 푸리에 표현은 불가능하다 .

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• 인과 신호의 경우에 일반적인 z 변환

(7.13)

7.3.3 : 불안정한 비인과 신호

(7.14)

: 즉 , ROC 가 반지름 1/2 인 원의 내부가 된다 . 따라서 푸리에 변환은 없다 . • 위의 식에서 분자 분모를 모두 로 나누면

(7.15)

7.3.4 : 안정한 비인과 신호

(7.16)

• ROC 가 반지름 2 인 원의 내부이며 따라서 푸리에 변환이 존재한다 . 즉 , 안정한 신호의 변환의 ROC 는 단위원을 포함

(7.17)

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• 비인과 신호의 경우에 일반적인 z 변환

(7.18)

7.3.5 불안정한 양방향의 신호 :• 이 신호의 z 변환

(7.20)

• 위 식의 우변의 첫 번째 항과 두 번째 항은 각각 다음과 같이 수렴할 것이라 기대된다 . (7.21)

(7.22)

• 그러나 (7.21) 이 성립할 조건은 이고 (7.22) 가 성립할 조건은 이므로 (7.20) 의 두 항이 동시에 수렴할 수 있는 공통 조건은 없다 . 따라서 이와 같은 경우에는 변환이 존재하지 않는다 .

7.3.6 FIR 신호의 z 변환 • FIR 신호의 경우 위의 예에서와 같이 굳이 유리식으로 표현하지 않고 다항식으로 그대로 두어도

된다 . • 인과 신호의 경우 : ROC 를 따지자면 , z 변환이 의 다항식이므로 을 제외한 모든 영역 • 비인과 신호의 경우 : 를 제외한 모든 영역 , 양방향인 경우는 이 두 곳을 제외한 모든 영역 .

그러나 FIR 신호인 경우 ROC 가 별 의미를 주지는 않는다 .

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7.4 이산시간 시스템의 z 변환 표현 • FIR 시스템의 z 변환 표현 • IIR 시스템의 z 변환 표현 • FIR 필터를 사용하는 경우 : IIR 필터에 비하여 안정성 등의 몇가지 장점이 있으므로 많은

응용분야에서 원하는 모양의 주파수 응답을 갖는 FIR 필터를 설계하여 사용 • IIR 필터를 사용하는 경우 : 기존의 연속시간 시스템을 주파수 응답의 모양에 큰 의미를 두지 않고

연속시간영역 또는 주파수영역의 식을 그대로 이산시간 영역으로 옮기는 경우 , 또는 주파수 영역에서 어떤 특별한 이유가 있고 FIR 필터로 구현하기 어려운 경우에 IIR 필터를 사용

( 예 ) 연속시간 시스템을 이산시간에서 구현하고자 할 때 주파수 분석을 통한 FIR 시스템으로 구현하지 않고 시간 영역에서 바로 IIR 시스템으로 구현하는 가장 간단한 구체적인 예

• 1 차 미분 방정식으로서 2 장에서 학습한 RC 필터 등이 이와 같이 모델링 (7.25)

• 5.4절의 식 (5.78) 을 그대로 다시 쓰면(7.26)

• 위의 식을 (7.25) 에 대입 (7.27)(7.28)

: 미분방정식의 경우 초기치가 주어져야 특정해를 구할 수 있으므로 가 주어진 상태이고 입력 의 식을 안다면 임의의 샘플간격 에서의 출력값 를 구할 수 있다 .

• (7.25) 를 가장 간단한 방법으로 근사화한 이산시간 시스템의 점화식 ( 그림 7.2)(7.30)

여기서 , , 임펄스 응답 :

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그림 7.2 IIR 시스템

[IIR 시스템의 z 변환 표현을 위해서 우선 한 샘플 지연된 신호의 z 변환 표현 ]• 한 인과 신호 의 z 변환

(7.31)• 한 샘플 지연시킨 의 z 변환

(7.32)

• 비인과 신호의 경우도 결과는 동일• 식 (7.30) 의 양 변을 z 변환

(7.33)• 따라서 그림 7.2 의 IIR 시스템의 전달함수는

(7.34)

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• 이 시스템 (7.34) 의 푸리에 변환 (7.35)

• 따라서 이 시스템의 주파수에 따른 크기 응답과 주파수 응답은 다음 식과 같고 인 경우 크기 응답을 구간에서 그리면 그림 7.3 과 같다 .

(7.36)

(7.37)

: IIR 시스템은 전달함수가 분모만 있는 all-pole 시스템과 분자분모 모두 있는 pole-zero 시스템으로 구분 가능한데 , 위의 예에서 본 시스템은 1 차 all-pole 시스템이다

그림 7.3 1 차 IIR 필터의 주파수 응답

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( 예 ) 3 차 all-pole 시스템의 경우 (7.38)

• 전달함수로부터 차분방정식을 구하면 (7.39)

(7.40)• 시간 영역에서의 차분방정식

(7.41)• 따라서 이의 회로는 그림 7.4 와 같이 구현할 수 있다 . 이를 좀 더 보기 좋게 구현한 것이 그림 7.5 이며

신호 흐름도는 그림 7.6 과 같다 .

그림 7.4  식 (7.41) 의 구현 그림 7.5  그림 7.4 와 같은 회로 그림 7.6  식 (7.41) 의 신호 흐름도

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( 예 ) Pole-zero IIR 필터의 3 차 시스템 (7.42)

• 시간영역에서의 차분 방정식 (7.43)

• pole-zero 필터를 구현하기 위해서는 위와 같이 차분 방정식을 생각하는 것보다는 그림 7.7 과 같이 (7.42) 를 all-pole 부분과 all-zero 부분의 직렬 연결로 생각하는 것이 더 편리

(7.44)(7.45)

• 식 (7.45) 에서 보는 바와 같이 최종 출력 은 각 의 합이므로 결국 식 (7.42) 의 시스템을 구현하기 위한 신호 흐름도는 그림 7.8 과 같다 .

그림 7.8  Pole-zero 필터의 신호 흐름도

그림 7.7  Pole-zero 시스템의 분리

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7.5 z 역변환• Z역변환 : 어떤 신호나 시스템의 변환이 있을 때 이를 시간영역에서 표현• 인과 신호의 경우

(7.46)• 비인과 신호의 경우

(7.47)( 예 ) z 역변환

(7.48)

부분합 표현(7.49)

(7.50)

(7.51)

(7.52)

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• 식 (7.52) 의 역 변환은 다음과 같이 세 가지 가능성을 모두 따져야 한다 . i)

(7.53)ii)

(7.54)

iii)(7.55)

( 예 ) 이 시스템에 스텝 입력 이 들어왔을 때 출력을 구하는 방법 • 스텝 입력의 변환

(7.56)

• 위 시스템도 인과 시스템이어서 >1/2 에서 정의된 것이라 하면 출력 의 z 변환 는 물론 >1 에서 정의되며 다음과 같이 나타난다 .

(7.57)

• 부분합 표현을 통하여 역 z 변환을 수행함으로써 출력을 구할 수 있다 .

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7.6 자주 사용되는 z 변환

(7.67)

(7.68)

(7.69)

(7.70)

(7.71)

(7.72)

(7.73)

( 예 ) 입력 이고 , 시스템의 임펄스 응답도 이면 ,