1

第三章 转动群

转动群作为连续群的典型例子，其本身在物理学中也很重要。

一、 转动群 SO(3)

1． 刚体的转动群是 SO(3)

假想在刚体上粘附零质量的质点，将刚体扩充到整个三维空间。

𝑡 = 0时，刚体上任意一点 P 的坐标记为

𝑟𝑃(0) = (𝑥𝑦𝑧

)

基点 C 的坐标记为为

𝑟𝐶(0) = 𝑐

𝑡 ≠ 0时，P 点的坐标为

𝑟𝑃(𝑡) = 𝑓𝑡(𝑟) = (

𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝑓3(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡))

其中映射𝑓𝑡: 𝐑𝟑 → 𝐑𝟑对参数𝑡连续（因为质点的位移是时间的连续函数），并且是保距映射（刚

体的定义），

∀��, �� ∈ 𝐑𝟑, (𝑓𝑡(��) − 𝑓𝑡(��))2

= (�� − ��)2

相对于基点 C 的位移可以写成

𝑟𝐶𝑃(𝑡) = 𝑟𝑃(𝑡) − 𝑟𝐶(𝑡) = 𝑓𝑡(𝑟) − 𝑓𝑡(𝑐)

定义映射

��𝑡(��) ≝ 𝑓𝑡(�� + 𝑐) − 𝑓𝑡(𝑐)

则

𝑟𝐶𝑃(𝑡) = ��𝑡(𝑟 − 𝑐)

并且

(��𝑡(��) − ��𝑡(��))2

= {(𝑓𝑡(�� + 𝑐) − 𝑓𝑡(𝑐)) − (𝑓𝑡(�� + 𝑐) − 𝑓𝑡(𝑐))}2

= {𝑓𝑡(�� + 𝑐) − 𝑓𝑡(�� + 𝑐)}2

= {(�� + 𝑐) − (�� + 𝑐)}2

= (�� − ��)2

即��𝑡: 𝐑𝟑 → 𝐑𝟑也是保距映射，且满足

��𝑡(0) = 𝑓𝑡(𝑐) − 𝑓𝑡(𝑐) = 0

定理：在保距映射��𝑡下，矢量的模长不变、内积不变。

2

证明：显然

(��𝑡(��))2

= (��𝑡(��) − ��𝑡(0))2＝(�� − 0)

2= ��2

模长不变。

由三个等式

��𝑡(��)2 + ��𝑡(��)2

− 2��𝑡(��) ⋅ ��𝑡(��) = (��𝑡(��) − ��𝑡(��))2

= (�� − ��)2

= ��2 + ��2 − 2�� ⋅ ��

(��𝑡(��))2

= ��2, (��𝑡(��))2

= ��2

得

��𝑡(��) ⋅ ��𝑡(��) = �� ⋅ ��

内积不变。

定理：保内积变换��𝑡是齐次线性变换，并且是正交变换。

证明：取三个互相正交的标准基

𝑒1 ≝ (100

) , 𝑒2 ≝ (010

) , 𝑒3 ≝ (001

)

定义矩阵

𝑅(𝑡) ≝ (��𝑡(𝑒1), ��𝑡(𝑒2), ��𝑡(𝑒3))

映射��𝑡保内积，

��𝑡(𝑒𝑖) ⋅ ��𝑡(𝑒𝑗) = 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 𝛿𝑖𝑗

写成矩阵形式就是

��(𝑡)𝑅(𝑡) = 𝟏3×3

𝑅(𝑡)是正交矩阵。

再考虑到

��𝑡(𝑒𝑖) ⋅ ��𝑡(��) = 𝑒𝑖 ⋅ �� = 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3.

三个等式合写成矩阵形式，

(

��𝑡(𝑒1)T

��𝑡(𝑒2)T

��𝑡(𝑒3)T

) ��𝑡(��) = (

𝑎1

𝑎2

𝑎3

)

��(𝑡) ��𝑡(��) = ��

可得

��𝑡(��) = ��(𝑡)−1�� = 𝑅(𝑡)��

现在相对位移可以写成

𝑟𝐶𝑃(𝑡) = ��𝑡(𝑟 − 𝑐) = 𝑅(𝑡)(𝑟 − 𝑐)

上式中令𝑡 = 0得

𝑅(0)(𝑟 − 𝑐) = 𝑟𝐶𝑃(0) = 𝑟 − 𝑐

𝑅(0) = 𝟏

总之，

𝑟𝑃(𝑡) = 𝑅(𝑡)𝑟𝐶𝑃(0) + 𝑟𝐶(𝑡)

其中实正交矩阵𝑅(𝑡)是时间的连续函数，满足��(𝑡)𝑅(𝑡) = 𝟏, 𝑅(0) = 𝟏。上面的等式即刚体

3

转动的夏莱（Chasles）定理。

夏莱定理：刚体最一般位移可以分解为绕基点的转动和随基点的平移。

2． 角位移参数

三维欧氏空间 矢量内积 保内积不变的线性变换

三维实正交群O(3) ≝ {𝐴|��𝐴 = 𝟏3×3, 𝐴𝑖𝑗 ∈ 𝐑}

三维实特殊正交群SO(3) ≝ {𝐴 ∈ O(3)| det 𝐴 = 1}，O(3) ≡ SO(3) ⊗ {1, −1}

自由度为 3。

绕坐标轴的转动

由几何关系，绕坐标轴的逆时针转动（或者说坐标轴顺时针转动）为

cossin0

sincos0

001

)(xR ，

cos0sin

010

sin0cos

)(yR ，

100

0cossin

0sincos

)(

zR ,

求矩阵的对数，看成是 2 维转动利用前面的公式，

cossin

sincosK ，

1det K ， KK ；

cos2/tr K ， is )(coscosh 1， sinsinh s ，

01

10sin/cos 1KK ；

)2(01

102

cossin

sincosln nimi

1 。

于是可以令

4

jklkljX ， XiJ

（厄米），

010

100

000

1X ，

001

000

100

2X ,

000

001

010

3X ，

}exp{)( 1XRx ， }exp{)( 2XRy ， }exp{)( 3XRz 。

转动矩阵的指数形式

设 }exp{TR ，那么

*RR ， RT ln *TT ，

即必然可以约定T 为实矩阵。

1det R Z lliT ,2tr ， Tli

T 13

2， 0tr T ，

约定 0l ，从而 0tr T ，T 无迹。

)3(}exp{ SOTR ，引进 R },exp{ TR ，

RTR }exp{ **，

1}trexp{det TR 。

又 R 是幺正矩阵，可以用幺正相似变换对角化，

1},,1{diag QeeQR ii ，

其中Q 是幺正矩阵；R 的本征值模 1，又由于R 是实矩阵，其本征值有一对互相复共轭，

另一个为 1。现在

1},,1{diag QeeQR ii ，

1 RR ，

1~ RR 。

总之 )3(SOR 。将上式展开为展开为 的 Taylor 级数，比较系数得

TT ~

。

无迹、反对称的实 33 矩阵可以用 321 ,, XXX 展开，

XT

，

5

其中 T),,( 321

， Rj 。

转动矩阵的显式

}exp{)( XR

。

记

0

0

0

12

13

23

nn

nn

nn

XnX n

，

1

1

1

2

33231

32

2

221

3121

2

1

2

nnnnn

nnnnn

nnnnn

X n 。

三维矩阵的恒等式

01MMMMMMM dettrtr2

1tr 2223 ，

0tr nX ， 2tr 2 nX ， 0det nX ，给出

nn XX 3，

于是

,sin)cos1(

!5

1

!3

1

!4

1

!2

1}exp{

2

53

2422

nn

nnn

nn

XX

XXX

XXX

1

1

.

cos)cos1(sin)cos1(sin)cos1(

sin)cos1(cos)cos1(sin)cos1(

sin)cos1(sin)cos1(cos)cos1(

}exp{}exp{

2

3132231

132

2

2321

231321

2

1

nnnnnnn

nnnnnnn

nnnnnnn

JiXR

参数是角位移

考虑任意一个实矢量的转动，

k

k

//k

k

k

)(1 ne

3e

2e

6

),cos1)((sin)(

}sin)cos1({

)(!2

1}exp{

2

knnknk

kXX

kkkkX

nn

1

当

//k 时，

0

k ，

kkX

}exp{ ，

所以 ||/

n 是转动轴。

当 k与不平行时，如图，记

1en

， 2ekkn

， 3)( ekknn

，

其中

cos||// kk

， sin|| kk

。

三个标准基 321 ,, eee

构成右手系，

,

)()()(

31//

332211

ekek

eekeekeekk

, cos sin

)cos1)((sin)(

}exp{

321// ekekek

knnknk

kXk

可见确实是矢量 k绕n轴逆时针旋转 角。

参数范围 ],0[ ：

考虑到

1}2exp{ n

，

绕 n转 ，等价于绕（ n

）转 2 ， )2)((~))(( nnn

，知参数空间应

该是半径为 的球体，并且对跖点等价。原点对应单位元。

7

3． Euler 角参数

另一种参数化方式是用 Euler 角。

),,( bRR 在随体坐标系中定义

（1） 绕 z -轴转 角， ''' zyOxOxyz

（2） 绕 'y -轴转 角， """''' zyOxzyOx （力学中取绕 x -轴旋转）

（3） 绕 "z -轴转 角。

)()()(),,( '" zyz RRRR

参数范围

)2,0[],,0[),2,0[

其实不是好的定义(not well-defined)，因为 ,0 时，一个转动可以有无穷多种描述，群

参数和群元之间不是一一对应。

可在实验室坐标系中表示

)()()()()()(),,( '" zyzzyz RRRRRRR

证明：

全反称张量是迷向张量满足

jkllkjkklljj RRR ，

jkljmjklmjlkmkkll RRRR

1，

所以

,}){(

)(1

jkijkinn

kmnlmnjljk

XRR

RRRXR

)()( 1 nRn RRRR

，

于是 Euler 转动就是

8

).()()(

)()()()()()()(

)()()(

)()()()()(

)()()(

11

''

'

1

'''

'"

zyz

zzzzzyz

zzy

zyyzy

zyz

RRR

RRRRRRR

RRR

RRRRR

RRR

转动矩阵的显式

100

0cossin

0sincos

)(

zR ，

cos0sin

010

sin0cos

)(yR ，

100

0cossin

0sincos

)(

zR ，

cossinsincossin

sinsincoscossincossinsincoscoscossin

sincoscossinsincoscossinsincoscoscos

),,(R

其中参数范围为 )2,0[],,0[),2,0[ 。

4． 乘法公式

)()()( 321

RRR ，

}exp{}exp{}exp{ 321 XXX

，

利用 Baker-Hausdorff 公式可以求出 3，

9

).,,;,,(

),,,;,,(

),,,;,,(

22211133

22211133

22211133

zyxzyxyy

zyxzyxyy

zyxzyxxx

但是这里的无穷级数求和不容易简化。

另一个办法是利用

sin)cos1(}exp{ 2

nn XXX

1 ，

22

2

11

2

33

2

sin)cos1(sin)cos1(

sin)cos1(

2211

33

nnnn

nn

XXXX

XX

11

1

两边取迹，利用

,cos21

)cos1(23sin)cos1(tr

3

333

2

33

nn XX 1

212)(tr21

nnXX nn

，

……

求出 3 ；再利用

333

2

33

2 sin2sin)cos1(sin)cos1(33333

n

T

nnnn XXXXX 11 ，

jnj nXX 32)(tr3

，

对式子右边作相应的运算，求出 3n。计算步骤和结果略。（利用 Pauli 矩阵，计算会容易些：

SU(2)和 SO(3)同态，因而 SO(3)的乘法公式可以用 SU(2)的乘法公式给出。）

使用 Euler 角参数时同样可求乘法公式（结合函数）

),,(),,(),,( 333222111 RRR ，

).,,;,,(

),,,;,,(

),,,;,,(

22211133

22211133

22211133

结合函数的具体表达式是可以计算的，但最终结果冗长，且这里用处不大，不再列出。

5． 共轭类

考虑群元 )}(exp{)( XnRn

的相似变换。取任意的转动Q ，

10

})(exp{)( 11 QXQQQRn

，

)(})exp{()( 1 nQn RXQQQR

，

即共轭有相同的转角。

特别地，存在转动Q ，将n轴转动到 z-轴，

Tn )cos,sinsin,cos(sin

，

cossinsinsincos

0cossin

sincossincoscos

),,0(RQ ,

TnQ )1,0,0(

，

)(~)( zn RR 。

二、 SU(2)群

)2(SU 是 )3(SO 的一般覆盖群(general covering group)。放在一起讨论。

1． 定义

保证两维复空间中矢量模长不变的变换

.1det,

,,,,,

uuuuu

dcbadc

bau

1

C

C

babbaa

ab

bau ,,1,

**

**

满足群的 4 个条件：结合律、封闭、含幺、可逆

是 3 参数李群。

11

2． 群的参数化

用角位移参数化

设

}exp{Yu ， 33221100 YYYYY 。

则

1det u N nnitrY ,2 ，

可约定对数函数中 00 Y 。u 幺正，

1 uu ，

}exp{}exp{ 3322113

*

32

*

21

*

1 YYYYYY ，

由前面给出的 2 维矩阵的对数公式，

liYYYYYY n 3322113

*

32

*

21

*

1 ，

其中 Nl ，

2

3

2

2

2

1/ YYYYn

（复数开方取第一个分支），

22

2

1n ；

于是我们可以约定 0l ， 321 ,, YYY 是虚数，即 YY 。

一般我们将群参数写成

,

cos2

sin2

cossin2

sin

sin2

sincos2

sin2

cos

2sin

2cos)(

2sin

)(2

sin2

sin2

cos

2sin)(

2cos)

2exp()(

321

213

22

iei

eii

niinni

innini

nii

u

i

i

1

这里

Tn cos,sinsin,cossin||/

。

参数范围：因为

1}2/4exp{ ni ，

12

所以 n取任意单位矢量， ]2,0[ ；球心对应单位元 221 ，球面上所有的点等价，

1 }2/exp{ ni 。

Euler 角参数

由

2/)(2/)(

2/)(2/)(

2cos

2sin

2sin

2cos

),,(

ii

ii

ee

eeu

只要看第二行的两个元素，

（1） 模长取值范围是 02

cos,02

sin

，即 ]2,0[2 ， ],0[ 。

（2） 从相因子看出 )2,0[2/)( & )2,0[2/)( 。如图所示，这

个取值区域等价于 )2,0[ ， )4,0[ ：

绿色区域的平移相当于

2 ， 2 ；

2/)( 不变， )2mod(2/)( 不变。

0

4

0

4

4

2 2

4

2 2

13

蓝色区域的平移相当于

， ，

)2mod(2/)( 不变， 2/)( 不变。

3． 乘法公式

)()()( 321

uuu ，

.2

sin2

sin))((2

cos2

sin)(2

cos2

sin)(2

cos2

cos

2sin)(

2cos

2sin)(

2cos

2sin)(

2cos

2121

122

211

21

22

211

1

33

3

nnnini

nini

ni

1

11

1

利用 ljkljkkj i 1 ， )()())(( 212121 nninnnn 1 ，

.2

sin2

sin)(2

cos2

sin2

cos2

sin

2sin

2sin)(

2cos

2cos

2sin)(

2cos

2121

122

211

2121

21

33

3

nnnni

nn

ni

1

1

由上式不难得出 3

。SO(3)群遵循同样的公式。

Euler 角参数下的乘法公式略。

4． 共轭类

幺正矩阵可以通过酉相似变换对角化，对角元为模 1 的复数，

12/2/ },{diag)( veevu ii

， )2(SUv 。

又

2cos2)(tr

u ，

在相似变换时，矩阵的迹保持不变，得 ；

},{diag~)( 2/2/ ii eeu ，

14

即 )(~)( 3 uu

.

两个元素共轭 相同。

5． 与 SO(3)同态

作映射

)3()2(: SOSUf ，

)())((

Ruf 。*

设

}2

exp{}2

exp{}2

exp{ 213

iii

由 Baker-Hausdorff 公式，

)]

2(),

2[(

2

1)

2()

2()

2( 21213

iiiii

再设

}exp{}exp{}exp{ 213

JiJiJi －－－ ，

)](),[(2

1)()()( 21213 JiJiJiJiJi －－－－－

由于两组生成元遵从同样的对易关系，

ljklkj JiJJ ],[ ，

2]

2,

2[ l

jklkj

i

，

所以 Baker-Hausdorff 公式定出的 33

，即

)()()( 213

RRR ，

f 是同态。

f 显然是满同态，因为在 )2(SU 群中，参数范围是半径为 2 的球，涵盖了 )3(SO

的参数空间。

同态核

* 即 )(2

1 uuR kjjk tr ，2/1)1(2

1

R

Ru

kjjk

tr

。

15

]2,0[,}exp{)(|)(ker 22 1XRuf

，

22}exp{ 1X

0

，或 ，

所以是 2 对 1 的同态

2222 ,ker 11f ，

)3(},/{)2( SOSU 11 。

三、 不变积分和紧致群的表示理论

为了求出不可约表示，需要利用前面群表示理论中的正交、完备定理。在证明这些定理

时，我们用到了对所有群元的求和。对连续群，求和推广为积分。

1． 不变积分

ddgG

GgGg

)()(||

1

不变积分的性质

有限群上的求和满足

GgGgGgGg

gfG

hgfG

ghfG

gfG

)(||

1)(

||

1)(

||

1)(

||

1 1，

而前面在正交完备定理的证明中，多次用到了

GgGg

gfhgf )()( ，

所以对连续群至少要满足

,)()(

)()(

1

Gg

GgGg

ghdgf

gdgfdghgf

由函数 )(gf 的任意性， )( 1ghdgd 。

如果有可能，还进一步要求积分测度满足

（1）1)()( dghgdghddg

16

（2） )( 单值、恒正、不为 0，不发散。

（3）归一化 1)(

ddgGg

（4）积分运算满足线性性质。

已经证明，对紧致†群能定义同时满足上述所有条件的不变积分。

定义

矩阵群的乘法：

),(

),(),(),(

结合函数ghf

ffhhgg

右不变测度

gdghddg R )( ， gdfd RR ;

右密度函数 dgd RR )( ，即

dd RR )()( 。

而

dJdd ),(det

，

)(),()( RR J 。

一般来说，参数化时我们会选择 eg )0( （单位元）；令 0 ，则 hf ，

)0(),0()( RR J 。

总之，右不变积分测度定义为（没有归一化）

0

),(det),0(,

),0()(

J

J

dgdR

GgGg

R dJ

ggdg)(

),0(

1))(()(

.

左不变积分类似，

0

),(det)0,(,

)0,()(

J

J

dgdL 。

† 群的拓扑性质后面的章节再讨论。矩阵群李群拓扑群。紧致的矩阵群即群的参数空间是闭集。

17

对紧致群，左不变积分同时也是右不变积分，不变积分唯一。

2． 例

时间平移

ttg )( ， tthgtf )()()( ， ，

ddgg )()(,1)(

膨胀平移

21)( xexg , )()()( ggg ，

222 )()()()( 111 xeexexagxgg

aa，

2221111, e ，

1

01

),(

),(1

221

21

e， 1

1

01det),0(

2

J ， 1

|),0(|

1)(

JR ；

10

01

),(

),(

21

21

e， 1

10

01det)0,(

e

eJ

， 1

|)0,(|

1)(

eJ

L 。

3． 紧致群的表示理论

正则表示

GhGhGh

hdhhgfdhghhfhdhhfgL )())(()()( 1 ，

是幺正表示。

有了不变积分，群函数内积定义为

Gg

dggg )()(, * ，

得到 Hilbert 空间 L2(G)。定义 L2(G)上的算符

)()(ˆ 1hgfhfg ，

,ˆ)()()()(ˆ, 1*1*

ghdhhgdhhghgGhGh

，

,ˆ,ˆ gg ，

18

}|ˆ{ Ggg 是可数无穷维线性幺正表示，作用空间是 L2(G)。

利用正则表示，有限群表示理论的定理可以推广到紧致群，

Peter-Weyl 定理：

设 G 是紧致群，

表示函数‡在 L2(G)空间稠密。

L2(G)可以约化为一些不可约表示的作用空间的直和，并且每个不可约子空间都是有限维。

G 的任何不可约表示都是有限维。

G 的一个不可约表示在 L2(G)空间上的重复度＝这个不可约表示的维数。

群 G 在任何 Hilbert 空间上的表示，必然可以约化为有限维不可约表示的直和。

群表示论的正交定理、完备定理；线性表示等价于幺正表示；可约表示必完全可约；两

个表示等价的它们的特征标对应相同；不可约表示的特征标内积为 1；等等一系列性质，

都适用于紧致群。

四、 计算 SU(2)群和 SO(3)群的不变积分

先计算 SU(2)群的不变积分。

1. 把群元写成 Pauli 矩阵展开式

3021

2130

0

ii

iiiu

1 ，

1det u 122

0

。

kji 3210 构成四元数。

2. 乘法

)()()( uuu ，

iii 111 000

‡ }|ˆ{ Ggfg 为有限维线性空间的的群函数 f 。

19

3. 偏导数

式子两边同时求偏导数k

，

ii

iii

k

k

k

j

k

j

k

k11

111

0

0

000

1

.

2

1

1

2

1

012

103

230

0

0

0

0

00

jk

ljkljk

kj

kkj

k

j

i

iii

1tr

11tr

4. 行列式

0

012

103

230

det),0(

J

5. 不变积分

321

2/12

21

0

21321 )1(||

1

|),0(|

1),,(

ddddddddd

JudR

，

取值区间为半径为1的球体，

2

0 1

。从上面的计算步骤可以很容易看出群的左

不变积分和右不变积分相等。

由于

2

1||)1(

321

2/12

20

)1(

ddd ，

再考虑到取定时，

2

0 1

有两种取值，所以参数空间的体积应该是 22 ，归一化

的不变积分为

20

321

0

2 ||

1

2

1

ddddu 。

6. 用 Euler 角表示

3012

1230

321

2/)(2/)(

2/)(2/)(

),,(

2cos

2sin

2sin

2cos

),,(

ii

iiu

ee

eeu

ii

ii

2sin

2cos

2cos

2sin

2sin

2sin

2cos

2cos

3

2

1

0

.sin8

1sin

2cos

2cos

8

1

2cos

2cos

2

1

2sin

2sin

2

1

2cos

2cos

2

12

sin2

sin2

1

2cos

2cos

2

1

2sin

2sin

2

12

cos2

sin2

1

2sin

2cos

2

1

2cos

2sin

2

1

det,,

,,

0

321

sin

8),,(

,,

,,),,( 321

321

JJ ,

ddddu sin16

12

,

4

000

2

)2(

sin16

1ddddu

SUu

。

7. 以为群参数

2cos0

， jj n

2sin

，

21

dddddd

2

222 1|

2cos|

2sin

2

1|

2cos|

2

1

2sin|||| ，

不变积分为

.4

2sin

|2

cos|

1

2

1

||1

1

2

1

32122

2

222

ddd

dddu

类函数的积分为

2

0

2

0

22

22

2

)cos1(2

1

2sin

1

4

2sin

dddd 。

8. SO(3)群的不变积分

SO(3)和 SU(2)的结合函数相同，所以不变积分只相差一个归一化因子，

2

000

2

)3(

sin8

1ddddR

SOR

或

32122

2

2

2sin

ddddR 。

类函数空间上的积分为

0

)cos1(1

d 。

五、 SU(2)群和 SO(3)群的不可约特征标

和有限群一样，我们先试着写出类算符。

对 SU(2)群，

22

).(||

~2

cos22

1

2cos

}2

sin)(2

{cos4

1

)2

exp(4

1

)(4

1)(

22

Ks

K

ndni

ndi

nduK

p

11

1

对 SO(3)群，

,}sin)cos1({4

1

)exp(4

1

)(4

1)(

2

ndXX

ndJi

ndRK

nn

1

0

0

0

12

13

23

nn

nn

nn

XnX n

， 33 0ndX n

；

1

1

1

2

33231

32

2

221

3121

2

1

2

nnnnn

nnnnn

nnnnn

X n ， 33

2

3

2

4

1 1ndX n

；

111 )cos21(3

1)cos1(

3

2)( K 。

由于这两个群都是矩阵群，自身就是一个线性表示，下面求不可约表示的过程中必需用

抽象的记号代替具体的矩阵， )()(

gu ，

ndgK

)(4

1)(

。

利用类的乘法求不可约特征标，由于表达式复杂，并不是一个好的方法。下面采用另外

的途径§。

)( 是类函数。 ))(( nn

，转角为 和 )( 的转动属于同一个共轭类，所以

特征标是 的偶函数， )()( 。

SU(2)群的共轭类代表元可选为绕 z 轴的转动

2/

2/

0

0

i

i

e

e， ]2,0[ 。

§ S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge university press, 1994.

23

共轭类代表元互相对易，因此代表元的n 维不可约表示矩阵

2/

2/

0

0

i

i

e

eT ， ]2,0[

全部满足互相对易，可以同时对角化。对角化后的对角元为本征值

)( j ， .,,2,1 nj

由

2/)(

2/)(

2/

2/

2/

2/

21

21

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

i

i

i

i

i

i

e

eT

e

eT

e

eT ，

知

)()()( 2121 jjj ，

所以特征值是 的指数函数。而幺正矩阵的特征值模 1，

}exp{)( jj ic ， Rjc 。

再考虑到 1)4( u ， 1}4exp{ jic ， ,1,2/1,0 jc

特征标为

n

j

jic1

}exp{)( 。

特征标是偶函数，上式中的系数比成对出现：有 jc 项，就必然存在 kc 项， jk cc 。

不可约表示的特征标内积为 1，

,}exp{}exp{}exp{4

1}exp{

4

1

2

11

}exp{}exp{2

sin1

))(),((1

1 1

2

0

2

0 11

2

n

j

n

k

kj

n

k

k

n

j

j

iciciid

icicd

利用

0,

2

0

2}exp{ kikd

，

得

.)2

1

2

1

22

11

1 1

1,1,,

1 1

1,1,,

n

j

n

k

cccccc

n

j

n

k

cccccc

jkjkjk

jkjkjk

把 },,,{ 21 nccc 按大小排序，上式右边的 2 重求和给出：

24

第 1 项 kj 时，得n ;

第 1 项 kj 时，设 },,,{ 21 nccc 中有 a2 （ 1)2()1(0 nna ）种

两个系数相等的情形，贡献为 a2 ；

kj 时，设 },,,{ 21 nccc 中有 2 b （ 1 nb ）种两个系数差 1 的情形，第 2，3 项

之一非 0，贡献为 b 。

总之，右边＝ aban 212 ，不可约表示 0a ， 1 nb ，即 },,,{ 21 nccc 排

序后为等差级数，依次差 1， )1(1 jcc j ；再计及系数必需正负成对出现，从而 1ccn ，

2/)1( ncn ，

}2/)1(,,12/)1(,2/)1({},,,{ 21 nnnccc n 。

SU(2)群n 维不可约表示的特征标为

2/)1(

2/)1(

}exp{)(n

nk

ik .

这些特征标不仅满足归一性，还可验证它们互相正交；并且对平方可积函数完备（回忆一下

Fourier transformation）。

对 SO(3)群， 1)2( zR ， 1}exp{ jj ic ， ,2,1,0 jc ，同样求得

2/)1(

2/)1(

}exp{)(n

nk

ik

所以n 只能是奇数，不可约表示的维数只能是 1，2，3，…。在 SO(3)的类空间积分下，这

组特征标正交、归一、完备。

六、 利用正则表示求不可约表示

我们求有限群的不可约表示时，群代数和正则表示起了重要作用。

对李群，群代数中的任意矢量的形式为

gdgg)( 。

类算符与所有的群元对易。

由于群元可以指数化，

}exp{Xg ，

考虑更大的线性空间

25

kjjkjj XXcXccy 0

其中与所有群元对易（等价于与所有生成元对易）的算符满足

ygyg 1（ 0],[ yX j ），

kkkk jjjjjjjjjjjjjj XXCXXCgg 1211212211)(Ad)(Ad

**，

kk jjjjjjjjjj CCgg 21212211

)(Ad)(Ad ，

即系数必需是伴随表示的迷向张量，算符等价于后面章节定义的 Casimir 算子。

对 SU(2)群，伴随表示的独立迷向张量为 jk ， jkl 。独立的的算子只有 1 个，

2322

zyx JJJJ

，

相互对易的完备算符组可以取为 },{ 2

zJJ

。

下面用 Euler 角参数计算（这组参数下方程容易求解）。算符组在群代数空间左乘

和右乘的共同本征矢设为

dddiJiJiJf zyz 216

sin}exp{}exp{}exp{),,( ，

其中系数 ),,( f 满足周期性条件。

,16

sin),,(),,(

16

sin),,(),,(

2

2

dddgJfm

dddgJfJ

z

zz

，

为了比较 ),,( g 前的系数，我们有

}exp{}exp{}exp{),,( zyz iJiJiJg ；

),,(),,(

giJg z

，

),,,()cossin(

),,(

0

1

0

100

0cossin

0sincos

),,(}exp{)}(exp{),,(

gJJi

gJJJi

giJiJiJg

yx

zyx

zyz

** 严格的证明必须考虑 ljklkj XfXX ],[ ，这里跳过了一些细节。

26

))(,,(),,( ziJgg

，

).,,()cossinsinsin(cos

),,(

1

0

0

cossinsincossin

sinsincoscossincossinsincoscoscossin

sincoscossinsincoscossinsincoscoscos

),,(

gJJJi

g

JJJig

zyx

zyx

解出

),,(),,(

gigJ z

，

),,()sin

cossincotcos(),,(

gigJ x

，

),,()sin

sincoscotsin(),,(

gigJ y

，

),,(cos2sin

1cot),,(

2

2

2

2

2

22

22

ggJ

，

),,(),,( 22 gJJg

；

另外

),,(),,(

giJg z

。

,),,(),,(),,(

|)(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

42

0

gfidg

gfidg

gifdgJ z

即分部积分后比较系数，可得 ),,( f 满足的偏微分方程组

),,(),,(

mffi

，

类似地有

),,(),,(

fmfi

，

27

以及

),,(),,(cos2sin

1cot

2

2

2

2

2

22

2

ff

。

分离变量，并要求函数平方可积，可得这三个方程的解，是 Euler 对称陀螺的波函数

),,(* j

mmD ††。

按正则表示相关定理，标准基 ggTg

pp )(v )()(

（ 取定）按照不可约表示 )( 1)( gT p

变换，即

dddgD j

mm

j

mm 2

*)(

16

sin),,(),,(

00

按照不可约表示矩阵

),,()()( 1* j

mm

j

mm

j

mm DgDgD

变换（这里我们用了表示矩阵的幺正性），

j

jm

j

mm

j

mm

j

mm Dg )()(

00),,(),,( ，

D-函数就是转动群不可约表示的矩阵元。

我们也可以绕过求不可约标准基)(

0

j

mm 的步骤，直接求得表示矩阵。设

00 mmmmz mJ ，

00 0 mmzmm mJ ，

00

2

mmmmJ

， R0,, mm 。

取定 0m ，记

0mmm ，

),,(|),,(| mmTmgm 。

有

mgmimgJm z

|),,(||),,(|

，

),,(),,(

mmmm TmTi

；

同样有

),,(),,(

mmmm mTTi

；

),,(),,(cos2sin

1cot

2

2

2

2

2

22

2

mmmm TT

†† 求解对称陀螺的波函数，可参考曾谨言《量子力学》卷Ⅱ，第三版，科学出版社，2001 年，322-325 页。

28

。

由这三个方程分离变量，要求函数平方可积，得 )1( jj ， ZN mmj 2,2, ，

jmmj , ，取定相因子后可得 D-函数的具体表达式。

七、 利用函数空间的表示的约化求 SU(2)群的不可约表示

下面介绍另外一个求连续群不可约表示的常用方法——作函数空间的表示。

1． SU(2)的定义矩阵是两维忠实表示

并且是不可约表示：

2cos2)()(

utr

1)cos1(2

cos42

1,

2

0

2

d 。

两维酉空间的坐标变换：

** ab

bau ， 1|||| 22 ba

2

*

1

*

21

2

1

2

1

xaxb

bxax

x

xu

x

x。

2． 在函数空间的表示

作函数空间的线性算符

)()(ˆ 1xufxfu 。

则

)()(ˆˆ 1

1

1

221 xuufxfuu ，

}ˆ{u 是 SU(2)的表示‡‡；

** ab

bau ，

ab

bauu

*

*

1， xux 1 ，

‡‡ 用 )()(ˆ xufxfu T 定义也可以，得到的是复共轭表示。

29

.ˆ

,ˆ

21

*

2

21

*

1

axxbxu

bxxaxu

将 )(xf Taylor 展开，选取一组基

,,,,,,1 2

26215

2

1423121 xexxexexexee ，

则

jjefxf )( ，

kkkkjjjj eAfeuAfeufxfu )(ˆ)(ˆ ，

,)()(

)()(ˆ)(

)(ˆˆˆ)(ˆˆ

,)()(ˆˆ

21

1212

212121

2121

lljj

llkkjjkkjj

kkjjjj

kkjj

euAuAf

euAuAfeuuAf

euAufeuufxfuu

euuAfxfuu

)()()( 2121 uAuAuuA ，

)}({ uA 是 SU(2)群的无穷维线性表示。这个表示是可约的，因为它是齐次变换， 21, xx 的n

次多项式是表示的不变子空间。

3． 在不变子空间（齐次函数空间）上的表示

21, xx 的 n 次多项式n

n

nn xcxxcxcxxf 212

1

121121 ),(

构成一个 1n 维复线性

空间。选取 nnn xxxx 22

1

11 ,,, 作为标准完备基来定义内积可以得到一个酉空间。由此可以

得到 SU(2)群的一个 1n 维表示 )()1( uA n：

n

n

n

Tn

n

n

n

x

xx

x

uA

xu

xxu

xu

2

2

1

1

1

)1(

2

2

1

1

1

)(

ˆ

ˆ

ˆ

，

,)()(ˆ)(ˆˆ)(

2

2

1

1

1

2

)1(

1

)1(

2

2

1

1

1

12

)1(

2

2

1

1

1

21

2

2

1

1

1

21

)1(

n

n

n

Tnn

n

n

n

Tn

n

n

n

n

n

n

Tn

x

xx

x

uAuA

x

xx

x

uuA

x

xx

x

uu

x

xx

x

uuA

30

)()()( 2

)1(

1

)1(

21

)1( uAuAuuA nnn ，

确实是 SU(2)群的表示。

但这不是幺正表示，因为矢量的内积

,

)()(

2

2

1

1

1

*

2

*

2

1*

1

*

1

2

2

1

1

1

*

2

*

2

1*

1

*

1

2

2

1

1

1

*

2

*

2

1*

1

*

1

n

n

n

nnn

n

n

n

Tnnn

n

n

n

nnn

x

xx

x

xxxx

x

xx

x

uAuAxxxx

x

xx

x

xxxx

在群的变换下并非保持不变。

我们知道二维酉空间的内积 2

*

21

*

1 xxxx 在 SU(2)变换下保持不变。为了得到幺正表示，

我们应该设法选择标准基，使得上面的结果 nxxxx 2

*

21

*

1 。

由牛顿二项式定理

n

k

knkn xxxxnkk

nxxxx

0

2

*

21

*

12

*

21

*

1 )()()!(!

!)( ，

所以标准基应该选为§§

)!(!

21

knk

xx knk

，

这样可以得到 1n 维幺正表示 )(uD 。

为了物理文献中的习惯一致***，约定

)!()!()1( 21

mjmj

xx mjmjmjj

m

，

其中 ,2,2

3,1,

2

1,0

2

nj ， jjjm ,1, 。由

§§ 标准基的选取仍有随意性，可以相差一个酉变换；作为酉变换的特例，可以差一个相因子。 *** E.P. Wigner, Group Theory and Its Application to Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press,

New York 1959. 或者 Condon-Shortley convention，或曾谨言，《量子力学》卷 II，科学出版社，2001 年版，P.307.

31

)!()!(

)()()1(

)(ˆ)(

21

*

21

*

1

mjmj

axxbbxxa

xuuuD

mjmjmj

j

m

j

m

j

m

j

jm

j

mm

得

Zk

mmkkkmjkmj

mmk

j

mm bbaammkkkmjkmj

mjmjmjmjuD **

)!(!)!()!(

)!()!()!()!()1()(

注意上式中实际上很多项为零，因为负数的阶乘定义为。

4． D-函数

取 Euler 角为参数，

2/)(2/)(

2/)(2/)(

2cos

2sin

2sin

2cos

),,(

ii

ii

ee

eeu

即

,2

sin,2

cos 2/)(2/)( ii ebea

得到的表示矩阵称为 D-函数，

Zk

im

mmkkmmj

mi

k

j

mm

eemmkkkmjkmj

mjmjmjmj

D

222

2sin

2cos

)!(!)!()!(

)!()!()!()!()1(

),,(

这里 mmkk '&0 ， '& mjkmjk 。

标准基的变换

j

m

j

mm

j

m

j

m uAu )(ˆ )(

写成 Dirac 符号，

j

jm

j

mm mjRDjmR )(ˆ ，

),,(),,(ˆ j

mmDjmRmj 。

正交定理给出 D-函数的正交关系

212121

2

22

1

11 ,

1

*

12

1)()( mmmmjj

j

mm

j

mmj

gDgdgD

。

32

5． 以角位移为参数的表示矩阵和特征标

cos2

sin2

cossin2

sin

sin2

sincos2

sin2

cos)(

iei

eiiu

i

i

ieibia sin

2sin,cos

2sin

2cos

代入 )(uD j即可得 )(

j

mmD 。

转角 相同的 )(

u 共轭，而共轭的元素特征标相等，所以计算 )()( uj 时不妨取

0sin,1cos ，即 0,2/ bea i，此时只有 0k 一项有贡献，

mm

mmi

mm

j

mm emmmjmj

mjmjmjmjuD ,

2/)(

)!()!()!(

)!()!()!()!()1()(

，

imj

mm euD )( ，

j

jm

imj eu )()(。

6． jD 是不可约表示

,1)))12cos((1(2

1))2/1sin((

1

)2/sin(

))2/1sin(()cos1(

2

1

)cos1(2

1)()(,

2

0

2

0

2

2

0

2

2

0)2(

)(*)()()(

djdj

dj

eedduuuj

jm

mij

jm

im

SUu

jjjj

所以是不可约表示。

7． ,1,2/1,0| jD j 包括了所有的不可约表示

1)()0( ，

33

2cos2)()2/1(

，

cos21)()1( ，

2

3cos2

2cos2)()2/3(

，

…

,2

3cos,cos,

2cos,1~,, )2/1()0(

构成了 ]2,0[ 上函数的完备基，由群表示论中的正交完备性定理，

,2/1,0| jD j

穷尽了所有的不等价不可约表示。

8． D-函数的正交定理

由群表示论的正交定理，得

212121

2

22

1

11 12

1),,(),,(sin

16

1

1

2

0 0

4

0

*

2 mmmmjj

j

mm

j

mmj

DDddd

,。

特征标的正交关系为

21

2121

2

0

)(*)()()()()()cos1(

2

1, jj

jjjjd

其中 ,2

3,1,

2

1,0j 。

9． D-函数的完备性

取积分测度为

2

0 0

4

0

2sin

16

1ddd ，以 ,, 为自变量的平方可积函数构成一个

Hilbert 空间。D-函数在这个 Hilbert 空间上稠密，任何平方可积函数都可以用 D-函数展开（广

义 Fourier 变换）。

10． D-函数的幺正性

mm

m

j

mm

j

mm DD 0

00),,(),,(*

，

34

mm

m

j

mm

j

mm DD 0

00),,(),,( *

。

11． 例

0j 时， 1),,(0 D ，恒等表示。

2/1j 时，

),,(

2cos

2sin

2sin

2cos

),,(2/)(2/)(

2/)(2/)(

2/1

u

ee

eeD

ii

ii

。

1j 时，

),,(

2

cos1

2

sin

2

cos12

sincos

2

sin2

cos1

2

sin

2

cos1

),,(

)()(

)()(

1

R

eee

ee

eee

D

iii

ii

iii

†††。

基础表示：2 维表示，其它表示可以由它的直积得到。

奇表示： j 为半整数时， )()( uDuD jj

偶表示： j 为整数时， )()( uDuD jj

八、 SO(3)群的不可约表示

由同态 uRu 可得 SO(3)群的全部不可约表示。

††† 11 ),,(),,( SSRD ， S 变换矩阵由相似变换把 jkjkz iJ 3)( 对角化求得，为

020

0

101

2

1ii 。

1D 的生成元为

010

101

010

2

1xJ ，

010

101

010

2

iJ y ，

}1,0,1{diag zJ 。

35

1． SU(2)的偶表示是 SO(3)的表示

对于偶表示，令

)()()( uDuDRD jj

u

j ， ,2,1,0j

则

)()())(()()()()( vu

j

uv

jjjj

v

j

u

j RRDRDuvDvDuDRDRD ，

也是 SO(3)的表示。

奇表示按定义来说不是 SO(3)的表示，

)()()( uDuDRD jj

u

j ，

物理学中称为双值表示（可以相差一个正负号）。

2． 在量子力学中空间转动群是 SU(2)

在量子力学中，对称变换保内积，为幺正（或反幺正）变换，对称群应该取投影表示，

)()()( 21

),(

2121 ggUegUgU

ggi 。

转动群 SO(3)的投影表示允许

in eJi }ˆ2exp{

这点和 SU(2)群一样。于是有两个等价的方案：（1）认为物理系统的对称群是 SO(3)，取投

影表示；（2）认为物理系统的对称群为 SO(3)的覆盖群 SU(2)，此时相因子 ), 21 ggie

可以通过

重定义 )()( )( gUegU gi 吸收，无需取投影表示。显然后者简单。

在量子力学中，约定空间转动群为 SU(2)。

3． 偶表示 )( jD 是 SO(3)的不可约表示

特征标

)2/sin(

))2/1sin(()(

j， ,2,1,0j

内积为

36

,1)))12cos((1(1

))2/1sin((2

)2/sin(

))2/1sin(()cos1(

1

)()(,

0

0

2

0

2

)3(

)(*)()()(

dj

dj

dj

dgggSOg

jjjj

表示不可约。

4． 偶表示 )( jD 包含了 SO(3)所有不等价不可约表示

)cos(2)2cos(2cos21)()( jj ， ,2,1,0j

),cos(),2cos(,cos,1~,, )2()1( j

构成 ],0[ 区间上函数的完备基，由正交完备性定理知穷尽了所有的不等价不可约表示。

5． D-函数的正交性质

由正交定理，得

212121

2

22

1

11 12

1),,(),,(sin

8

1

1

2

0 0

2

0

*

2 mmmmjj

j

mm

j

mmj

DDddd

,。

特征标的正交关系为

21

2121

0

)(*)()()()()()cos1(

1, jj

jjjjd

其中 ,3,2,1,0j 。

6． 球谐函数

转动群在标量函数上的作用

))(()()(ˆ rRfrfR

。

n次多项式是转动群的不变子空间，维数是 221 nn 。

37

但是这个不变子空间在 2n 可约，比如二次多项式

2

65

2

432

2

1),,( zcyzcycxzcxycxczyxf ，

张开一个 6 维子空间。由于

),(4 00

22222 Yrrzyx

在转动下不变，对应恒等表示，上述 6 维空间可分解维 5 维＋1 维不变子空间。

在 5 维子空间中求 zJ 的本征矢，

)2()16/(5),( 222

0,2

2 yxzYr ，

ziyxYr )()8/(15),(1,2

2 ，

2

2,2

2 )()32/(15),( iyxYr 。

以本征矢为标准基可以得到表示矩阵为 D-函数，

mmz YmrYrJ ,2

2

,2

2ˆ ， ),(6),(ˆ

,2

2

,2

22 mm YrYrJ

。

正是由于齐次多项式空间可是进一步约化，为简单起见，求转动群表示时，我们没有从

三维函数空间 ),,( zyxf 出发，而先求 SU(2)群的表示。

球谐函数张成不变子空间，

m

ml

l

mmlmlm nYDnRYnYR

)()(ˆ 1.

.,)1(,ˆ

,,,ˆ

2

lmlm

lmlmz

YllYJ

mYYJ

D-函数与球谐函数的关系：

),(12

0,, *

0

lm

l

m Yl

D

。

九、 李代数 su(2)和 so(3)

根据李氏定理，李群和李代数之间有对应关系。

38

1． 无穷小生成元

),,,( 21 ngG 是李群， gggTGT |)()( 是它的一个表示，在这个表示

下的无穷小生成元 generator 定义为：

0

21

21

)),,,((

j

nj

j

gT， nj ,2,1 。

其中我们一般约定 eg )0,,0,0( 为单位元。

在这些无穷小生成元张成的线性空间上定义李积， BAABBA ],[ ，得到李代数。

2． so(3)

SO(3)群的无穷小生成元

求无穷小生成元时，欧拉角不是 well-defined，在单位元附近 Euler 角 ),,( 和群元

不是一一对应。所以我们应该取 )(

RR 这种参数化，其中 n

，n转轴的方向， 是

转动的角度。

AIR 1)(

又已知

cossin0

sincos0

001

)(xR ，

cos0sin

010

sin0cos

)(yR ，

100

0cossin

0sincos

)(

zR ；

无穷小生成元为

39

1

00 010

100

000

)()( XRRI x

x

x

，

2

0001

000

100

)( XRI yy

, 3

000

001

010

XI z

。

但是按物理学中的习惯，取无穷小生成元为 IiJ

，

000

00

00

,

00

000

00

,

00

00

000

i

i

J

i

i

J

i

iJ zyx 。

有

jklklj iJ 。

李代数

直接计算知

yxzxzyzyx iJJJiJJJiJJJ ],[,],[,],[

.,

],[

JiJJiJJJ

JiJJ

jjklkj

ljklkj

在李代数中，生成元的李积决定了所有的李积：

JbaiJibaJbJa ljklkj

)(],[ 。

另外有 0],[ 2

JJ .

李代数中的对易关系由李群完全确定。

指数化

JiR

exp)(

根据 Campbell-Baker-Hausdorff 公式

}]],[,[12

1],[

2

1exp{}exp{}exp{ BABABABABA ,

李群的乘法公式由李代数中的对易关系完全确定。

40

在函数空间的表示的无穷小生成元

函数空间的表示

))(()()(ˆ 1 rRfrfR

，

),,,(

)cossin,sincos,(

))0,0,((

))(()()(ˆ)(ˆ

,)(ˆˆ

0

0

0

1

0

0

zyxfz

yy

zi

zyzyxfi

rRfi

rRfirfRirfJ

RiJ

xx

x

x

x

.ˆ

yz

zyiJ x

同样可得

xy

yxiJ

zx

xziJ

yz

zyiJ

z

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

l

kjkljx

xiJ

ˆ ， ljklkj JiJJ ˆ]ˆ,ˆ[

此即量子力学中的轨道角动量算符 L。

正则表示的无穷小生成元

以角位移为参数‡‡‡，

‡‡‡ Moshe Carmeli, Group theory and general relativity, McGraw-Hill Inc., 1977.

41

,sin2

cotcoscoscsc2

1

coscos2

cotsin2

1sincos1

X

,cos2

cotsincoscos2

1

sincos2

cotcos2

1sinsin2

X

.sin2

cot2

1cos3

X

以 Euler 角为参数时，本章前面已给出。

这些同时也是 su(2)李代数的生成元。

3． su(2)

无穷小生成元

2

exp)(

iu ，

相应的无穷小生成元为 2/

J 。

李代数

ljkljkkj i 1

ljklkj i 2],[ ，22

,2

ljkl

kji

。

函数空间的无穷小生成元

))(()()(ˆ xufxfu

，

42

),(2

1

2

)2/()2/(exp

))(()()(ˆ),(ˆ

21

2

1

1

21

0101

0101

211

xxfx

xx

xfx

xifixifi

xufixfuixxfJ

1

1

2

2

112

1ˆx

xx

xJ ，

同样得，

1

2

2

122

ˆx

xx

xi

J ，

2

2

1

132

1ˆx

xx

xJ 。

检验对易关系,

3

1

1

2

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

121

ˆ22

4

4]ˆ,ˆ[

Jix

xx

xi

xx

xx

xx

xx

i

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

i

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

iJJ

…

}ˆ

exp{)(ˆ Jiu

.

4． su(2)和 so(3)局部同构

李代数 su(2)和 so(3)得对易关系完全相同，即李代数同构（局部同构）。

李代数的不同表示在指数化后，可能给出不同的李群；但这些李群具有共同的覆盖群—

—单连通李群。

5． 球张量形式的无穷小算子

矢量 r在转动下满足 ljklkj riJr ]ˆ,[ 。

可以重新线性组合，得轨道角动量算符的本征态—球谐函数：

43

.),(3

4

),(2

1),(

3

4

0,1

1,1

zrY

iyxrY

角动量算符有 ljklkj JiJJ ],[ ，可以把它组合成球张量形式§§§：

yxz iJJJJJ 2

1, 10 。

对易关系： 110 ],[ JJJ ， 011 ],[ JJJ 。

在两维函数空间的表示可求得为

2

11

1

21

2

2

1

102

1ˆ,2

1ˆ,2

1ˆx

xJx

xJx

xx

xJ

，

也满足上述对易关系。

作用到

)!()!()1( 21

mjmj

xxmjmj

mjj

m

上，

.)1)((2

1ˆ

,)1)((2

1ˆ

,ˆ

11

11

0

j

m

j

m

j

m

j

m

j

m

j

m

mjmjJ

mjmjJ

mJ

，

写成 Dirac 符号形式， jmj

m ，

.1,)1)((2

1

,1,)1)((2

1

,

1

1

0

mjmjmjjmJ

mjmjmjjmJ

jmmjmJ

如果写成 yx iJJJ ，

2

1

1

2

2

2

1

10ˆ,ˆ,

2

1ˆx

xJx

xJx

xx

xJ

，

00ˆ2]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[ JJJJJJ .

§§§ 即把 J组合为 )(ad),ad( 2

zJJ

的本征矢量。

44

.1,)1)((

,1,)1)((

mjmjmjjmJ

mjmjmjjmJ

基矢 j

m 的取法符合 Condon-Shortley convention, 指定了各个基矢间的相对相位。

6． Casimir 算子

2

0

2

01111

2222

2

1JJJJJJJJJJJJJJ zyx

，

与 o(3)的所有生成元对易，

0],[ 2

JJ ，

称为 o(3)的二阶 Casimir 算符。

它是群的不变量，

22 expexp JJiJJi

。

作用在基矢上，

j

m

j

m

j

m jjJ )1(ˆ 2

jmjjjmJ )1(2

.

在两维表示中，

2222

2

3

2

2

2

1

2

2

11

2

1

4

3

4

1,

2

11

JJ

三维的不可约表示：

000

00

00

,

00

000

00

,

00

00

000

i

i

J

i

i

J

i

iJ zyx ，

33

2

)11(1

200

020

002

000

010

001

100

000

001

100

010

000

1

J

7． 利用李代数的表示求李群的表示

（1） 求李代数中 )(ad zJ 的本征矢（张量基），得

45

yx iJJJ ， yx iJJJ ， zJJ 0 ，

JJJ z ],[ ， 0],[ 0 JJ z 。

（2） 写出 },{ 2

zJJ

的有限维不可约标准基

zJ 的最大本征值称为最高权，设为 j ，可以用来标记不可约表示；相应的本征矢记成

jj, ， jjjjjJ z ,, 。

其它的归一化本征矢记为 mj, ， Rmj, （厄米算符 zJ 的本征值为实数），

mjmmjJ z ,, 。

由于 },{ 2

zJJ

是厄米算符，

mmjjjmmj 。

（3） 找出 zyx JJJ ,, 在不可约标准基下的表示矩阵

把 J 的本征矢作用在本征矢上，

mjJmjJJ z ,,],[ ，

mjJmmjJJ z ,)1(, ，

1,, mjmjJ ，

关键是求出前面的系数。令

1,, mjmjJ m ，

mjJmjm ,1, ，

则

1,,* mjJmjm ， 1,, *

1_ mjmjJ m 。

利用

02],[ JJJ ，

mmjJJmj 2,],[. ，

mmm 2|||| 22

1 ，

得

46

0

2 )1(|| cmmm 。

对最高权，

0, jjJ ， 0|| 2j ，

)1()1(|| 2 mmjjm 。

按 Condon-Shortley 约定，取 m 为实数，

)1()1( mmjjm 。

再由

)(2

1 JJJ x

， )(2

1 JJ

iJ y

，22

zz JJJJJ

，

得

1,1, )1()1(2

1)1()1(

2

1,,

mmmmx mmjjmmjjmjJmj ，

1,1, )1()1(2

1)1()1(

2

1,,

mmmmy mmjji

mmjji

mjJmj ，

mmz mmjJmj ,,, ，

mmjjmjJmj ,

2 )1(,,

。

（4） 确定不可约表示的维数

由最高权定义， jm ， 0j 。考虑 J 的作用，

1,21, 1_ jjjjjjJ j ，

……

ljlljljljjJ lj )12(1,_ ，

……

对有限维表示，这个序列会在某个自然数 0ll 处终止，

0)12(00 llj ，

所以 120 jl ， 12 j 为自然数，

,2,2

3,1,

2

1,0j

不可约表示的维数为 12 j ，

jjjm ,,1, 。

47

（5） 指数化，可得 SU(2)群的不可约表示

十、 直积表示和角动量耦合

1． 复合系统的转动

两个刚体的复合系统的转动群为 SO(3)×SO(3).

如果是坐标系的转动，两个刚体被绑定，则转动群为 SO(3).

2． 为什么要不可约？

场、波函数构成转动群的表示空间，所以一定可以分解为不变子空间的直和。为简单起

见，物理上把每个不变子空间看成一个独立的客体。

3． 直积表示可约

转动群不可约表示的直积 21 jjDD ，特征标为

1

11

11 )(j

jm

imje

，

2

22

22 )(j

jm

imje

，

2

22

2

1

11

121 )()()(j

jm

imj

jm

imjjee

这个表示可约，可以计算各不可约表示的重复度为 ,j。为利用特征标的正交定理，

我们上式将分解，

)()()()(||1 212121 jjjjjj

，

||1 21212121 jjjjjjjjDDDDD

两边的维数相等：

121)1(21)(2)12)(12( 21212121 jjjjjjjj

由于 21 jjDD 和

||1 212121 jjjjjjDDDM

都是幺正矩阵，所以两者酉相似：

MSSDDjj 21 ，

48

这里的 S 是幺正矩阵且与 ,, 无关。

M 是准对角矩阵，

,,),,( ,;,

j

mmjjmjmj DM

于是得 Clebsch-Gordon series:

mmj

mjmm

j

mmmmmj

j

mm

j

mm SDSDD,,

*

2121

2

22

1

11),,(),,(),,(

等价地，

mmj

mjmj

mjmjjmjmRmjmjmjmj

mjmjjmjmRmjmjmjmjmjmjRmjmj

,,

22112211

,,,

2211221122112211

,,

,,,,

矩阵元 22112211|21

mjmjjmmjmjjmS mjmm 称为 CG 系数。

4． 求 CGC

利用前面的式子和 D-函数的性质可以求得 CGC****。CGC 中相因子的不确定性由

Condon-Shortley 约定固定： 0,;,, 221121 jjjjjjj .

k

kmj

mmmmmjjkkjjjkmmjk

kmjkmjj

mjmjmjmjjjj

mmjmmjjjjjjjjjjjmjmjjm

!!!!

!!1

)!()!()!()!()!1(

)!()!()!()!()!)(12(|

21212121

2221,

2222111121

21212121212211

11

21

可见在此约定下 CGC 是实数。

另一种计算的方法是利用李代数的表示和角动量升降算符求解。

}exp{}exp{)()()( 2121 JiJiRRR

,

2121 JJJJJ

11 ,

力学量完全集取为 zJJ ,2

，本征矢设为

21

21

21

21

,

2211

,

221121 ,;,)(mm

jm

mm

mm

jm

mm mjmjCmjmjCjmjj ，

系数jm

mmC21待定。满足

**** 韩其智，孙洪洲，《群论》，北大出版社，1987 年版，P.125.

49

,)()(

,

)()(

2121

,

221121

2121

21

21

jmjjmm

mjmjCJJ

jmjjmjmjjJ

mm

jm

mmzz

z

11

21 mmm ，

mmm

jm

mm mjmjCjmjj21

21 221121 ,;)( ；

212121

2

2

2

121

2

2

2

1

2 22 JJJJJJJJJJJJJ zz

，

mmm

jm

mm

mmm

jm

mm

mmm

jm

mm

mmm

jm

mmzz

mmm

jm

mm

mjmjmmjjmmjjC

mjmjmmjjmmjjC

mjmjCmjjjj

mjmjCJJJJJJJJ

mjmjCjjjmjjjjjmjjJ

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

1,;1,)]1()1()][1()1([

1,;1,)]1()1()][1()1([

,;2)1()1(

,;2

,;,)1()()1()(

221122221111

221122221111

22112211

2211212121

2

2

2

1

22112121

2

得 CG 系数的递推关系

jm

mmm

jm

mmm

jm

mmm

Cmmmmjjmmjj

Cmmmmjjmmjj

Cmjjjjjj

1,111221111

1,111221111

,2211

11

11

11

)]1)(()1()][1()1([

)]1)(()1()][1()1([

2)1()1()1(

利用递推关系可以求出 CG 系数。在量子力学中已推导过，这里不再重复††††。

5． CGC 的性质

正交归一：

mmjj

mm

mjmjmjmjmjjm 21,

22112211 || ，即 1SS ；

2211

,

22112211 || mmmm

mj

mjmjjmmjmjjm ，即 1SS 。

††††可参看曾谨言，《量子力学》卷Ⅰ，3ed，第 476 页，科学出版社，2000.

50

6． 耦合表象的基矢

21,

2211221121 |mm

mjmjjmmjmjjmjj

总角动量

21 JJJ

.

,)1(

,)1(

,)1(

2121

2121

2

212221

2

2

211121

2

1

jmjjmjmjjJ

jmjjjjjmjjJ

jmjjjjjmjjJ

jmjjjjjmjjJ

z

7． 3j-符号

332211

3321

321,|

12

1)1( 321 mjmjmj

jmmm

jjjmjj

对列的偶置换不变，奇置换改变符号 321)1(jjj

；第二行全反号时改变符号 321)1(jjj

。

8． 多个角动量的耦合

得到的耦合表象的基矢和耦合的顺序有关。

三个角动量的耦合需要引进6j-符号或Racah系数。四个角动量的耦合需要引进9j系数。

角动量理论的细节讨论可以参考相关的专门的著作。如 M. E. Rose, Elementary theory of

angular momentum, Wiley, 1957;或 A. R. Edmonds, Angular momentum in quantum mechanics,

2ed., Princeton univ. press, 1960.

9． 张量的约化

张量是群的作用空间，可分解为不变子空间。

如二阶张量在转动下

kjkkjjjk RR TT

按 3 维表示的直积变换，

21011

，

维数 53133 。

51

张量指标的对称、无迹性质在转动下不变，所以可以把二阶张量分解为

jkkjjkkjjkjkjk trTTTTTtrTT3

1

2

1

2

1

3

1，

或者

)2()1()0(TTTT ，

1trTT3

1)0( ， TTT~

2

1)1( ， 1trTTTT3

1~

2

1)2( 。

作用在二阶张量上的无穷小算符为

221122112121 ,;, kjkkkkkkjkkkkkj iiJ

，

.224

2)()(2

))()(1(

122121212211

221112212121122121212211

22112211221122112121 ,;,

2

mlmlmmllmlml

mlmlmlmlmmllmlmlmmllmlml

mjkmkmkmjkkjlklklkjlmmllJ

请自行验证二阶张量满足

0T )0(2J

，)1()1(2 3TT J

，

)2()2(2 6TT J

。

可见张量的约化与指标的置换群有关。

十一、 Wigner-Eckart 定理

1． 不可约张量算符的定义

一组算符的变换

l

llll TCRTR ),,(),,( 1

我们可以把它分解成不变子空间，满足

m

mj

j

mmjm TDRTR ,,),,(),,( 1

的算符 jjjmTjm ,,1,, 称为 SO(3)群的 j -秩不可约张量。

1,1

0

)1)((2

1],[

,],[

mjjm

jmjm

TmjmjTJ

mTTJ

52

例：哈密顿量 )(2/2 rVmpH 是 0 秩不可约张量（标量算符）。矢量算符坐标 r，动量

p，是 1 秩不可约张量；电四极矩 Q(对称，无迹)是 2 秩不可约张量。

2． Wigner-Eckart 定理

是上一章有限群 WE 定理的直接推广，

132211331133 222| jTjmjmjmjmjTmj jmj

可用来简化矩阵元的计算‡‡‡‡。

证明 证明的步骤与上一章的完全相同，

321

22

1

11

2

22

3

33

2222

,,

1133

*

11

11

331133

)()()(

)(

mmm

mj

j

mm

j

mm

j

mm

mjmj

mjTmjDDD

mjRRRTRmjmjTmj

与 D-函数的恒等式

221133

,,

221133

*||)()()(

321

2

22

1

11

3

33mjmjmjmjmjmjDDD

mmm

j

mm

j

mm

j

mm

比较，猜想

2211331133 |22

mjmjmjmjTmj mj 。

为严格证明 W-E 定理，可构造态矢

mmm

mj mjTmjmjjmjmjj21

22 11221121 |)( ，

mj

mj jmjjmjmjjmmjT,

21221111 )(|22

，

.)()(|

|)()(

21

21

22

2

22

1

11

21

22

,

112211

11

1

221121

mmmmm

mj

j

mm

j

mm

mmm

mj

mjTDDmjmjjm

mjRRRTmjmjjmjmjjR

再由 D-函数的恒等式

mmj

j

mm

j

mm

j

mm DjmmjmjmjmjmjDD,,

22112211 )(||)()( 2

22

1

11

，

以及 CGC 的正交关系

2211

,

22112211 || mmmm

mj

mjmjjmjmmjmj ，

得

m

j

mm mjjjDjmjjR )()()()( 2121

。

现在

‡‡‡‡ 这里采用的是 M. E. Rose 的约定。约化矩阵元的定义在不同的文献中可以差一个常数因子。

53

mmjjjjjjmjjmj33

),,,,()( 3212133 ，

.|),,,,(

),,,,(|

)(|

221133321

,

3212211

,

213322111133

33

22

mjmjmjjjj

jjjmjmjjm

jmjjmjmjmjjmmjTmj

mj

mmjj

mj

mj

如何计算约化矩阵元：取定 kqjm , ， kjqmm ，计算好矩阵元

CjjTkjj kk ,,, ，则 kjjjjkkCjTj k ,|/ 。

十二、 同位旋(isospin)

核子 夸克 同位旋对称性 SU(2) I I3

核子 I=1/2 π介子 I=1

iSfM ， ),( US ， )}(exp{),( 1212 ttHittU

同位旋守恒： 0],[ I

H 0],[ I

H （因为 HHH 0 ，且 0],[ 0 I

H ），

}exp{}exp{ II iSiS

π-N 散射:强作用下同位旋守恒，初末态都可以耦合为总同位旋的本征态，2

3

2

1

2

11

，

由 W-E定理，3333 IIIIIMIISII ，有两个独立振幅 2/1M 和 2/3M 。

pp ,

2/3,2/32/1,2/1;1,1 p ,

2/3)( MppM ;

nn ,

2/1,2/13

22/1,2/3

3

12/1,2/1;1,1 n ，

2/12/33

2

3

1)( MMnnM ；

54

pn 0 ，

2/1,2/13

22/1,2/3

3

1n ，

2/1,2/13

12/1,2/3

3

22/1,2/1;0,10 p ，

2/12/3

0

3

2

3

2)( MMpnM ；

pp 00 ，

2/1,2/13

12/1,2/3

3

20 p ，

2/12/3

00

3

1

3

2)( MMppM ；

其余的过程类似计算：

np 0; nn 00 , pn 0

;

2/3)( MppM , np 0 ; nn .

π-π散射有三个独立振幅（习题）

十三、 场的转动

1． 经典标量场

上面已经推导过，

)()()(ˆ 1xRxxR ，

l

kjkljx

xiJ

ˆ ， }

ˆexp{)(ˆ JiR

。

2． 经典矢量场

前面给出

))(()()()()(ˆ 1 xRARxAxAR

。

55

可得生成元

),()(

00

00

000

))(()()()(ˆ)(ˆ

0

1

0

xAzyi

i

i

xRARixARixAJ

yz

xx

x

……

kl

n

mjmnjklkljx

xiiJ

)ˆ( ， }

ˆexp{)(ˆ JiR

。

3． Weyl 旋量场

)(

)()(

2

1

x

xx

，

))((}2

exp{)()(ˆ 1 xRixR

，

可求得

1l

kjkljjx

xiJ

2

1ˆ ， }ˆ

exp{)(ˆ JiR

。

4． 量子场的变换

量子场是 Hilbert 空间的算符，设

)(RU ，

m

j

mm mjDmjRU ,,)(,,))((

，

则

l

lllll xRCRUxRUx ))(()())(()()))(()( 1 §§§§，

后一个等式成立的原因是数学家证明了一个 no-go theorem:空间对称性和内部对称性的只能

以平庸的方式结合，即物理系统对称群必然是时空变换群和内部对称群的直积。

{ )(

llC }构成 SU(2)群的线性表示。把场按不可约表示分组，

§§§§与经典场相反，现在 x

是参数，不是算子作用的对象。

56

m

m

j

mmmm xRDRUxRUx ))(()())(()()))(()( 1 ，

其中 j 是场的自旋。

例如标量场 0j ，

))(())(()()))(()( 1 xRRUxRUx

，

矢量场 1j ，习惯上用

))(()())(()()))(()( 11 xRARRUxARUxA

。

四分量的 Dirac 场涉及 Lorentz 群的表示，这里略过。

5． 空间反射和宇称

混合李群 },1{)3()3( PSOO ，直积群的表示。

投影表示 12 P ，内禀宇称 i ,1 。

费米子 31 过程中可测， 3ii 。

57

附录 1 Pauli 矩阵

10

01,

0

0,

01

10321

i

i，

ljkljkkj i 1 ；

加上单位矩阵

10

010 ，构成两维矩阵的完备基。任何 22 复矩阵都可以展开为

33221100 aaaaA ，

Aa tr2

1 。

无迹的矩阵可展开为 332211 aaaA 。

定义这个 4 维酉空间的内积为 BABA tr2

1, ，则这组基已经正交归一。

ljklkj i 2],[ ， 1jkkj 2},{ ，

0)(2

1jtr ， jkkj )(

2

1tr ， jkllkj i )(

2

1tr ，

lkjmkmjllmjkmlkj )(2

1tr ，

}{)(2

1ln klmjnkjmkmnjllmnjknmlkj i tr ，

……

附录 2 四元数

2sin)(

2cos)

2exp()( 22

ni

iu

1 ，

由于

)())(( ljkljkkj iii 1 ，

引进模 1 的四元数（quaternion）

3322110 iii ， R3210 ,,, , 12

3

2

2

2

1

2

0 ；

ljkljkkj iii ，

58

3322110

* iii ，***)( ，

2/)*( *3

0

j

jj 。

和角位移之间的关系为

2cos0

，

2sin

jj n ，

3021

2130)(

ii

iiu 。

现在 SU(2)群和模 1 四元数乘法群同构，

)()()( uuu ，

。

如果只要求四元数非零，相当于同时包括了尺度变换和旋转。

用上面的定义，3 维空间的转动可以写成（Euler 参数）

.

2222

2222

2222

cos)cos1(sin)cos1(sin)cos1(

sin)cos1(cos)cos1(sin)cos1(

sin)cos1(sin)cos1(cos)cos1(

}exp{

2

3

2

2

2

1

2

010322031

1032

2

3

2

2

2

1

2

03021

20313021

2

3

2

2

2

1

2

0

2

3132231

132

2

2321

231321

2

1

nnnnnnn

nnnnnnn

nnnnnnn

XR

和 Goldstein p155 有区别是因为这里约定转动是逆时针的，Goldstein 书中的约定是顺时针的。

用四元数表示转动矩阵，由于计算方便而经常在计算机动画、飞行模拟中采用。

附录 3 D-函数的复共轭表示

j

mm

mmj

mm DD

,)1( ，

和原来的表示等价。

下面的讨论，目的是说明一些文献中（如 Wigner 的文章或韩其智、孙洪洲的《群论》）

所取的表示其实是复共轭表示。

m

j

m

j

mm

mm

m

j

m

j

mm

j

m DD ,)1( ，

59

m

j

m

mjj

mm

m

j

m

j

mm

j

m

mj DD )1()1( , ，

上式中的mj )1( 是为了不出现半整数次幂而凑出来的。

在的对偶空间中，令

!!)1( 21

mjmj

xx mjmjj

m

mjj

m

，

则

j

mm

j

m D ，

这正是 Wigner 等所取的约定。

这时取

zz JJ ˆˆ

以保持

j

m

j

mz mJ ˆ ；

同时

JJ ˆˆ

使得

.1,)1)((

,1,)1)((

mjmjmjjmJ

mjmjmjjmJ

的形式不变。

总之，

1

21

2

11

2

2

1

102

1ˆ,2

1ˆ,2

1ˆx

xJx

xJx

xx

xJ

.