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東亞大學校海洋資源硏究所硏究論文集第 20 卷 pp.1~7, 2008

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CWT를 이용한 SBP 탄성파탐사 자료의

에너지 envelope 추출에 관한 연구

김진후*ㆍ김성보**

A Study on Extraction of Energy Envelope from SBP Seismic Data by using a CWT

Jin-hoo Kim*ㆍSung-bo Kim**

Abstract

In order to investigate characteristics of SBP (Subbottom Profiler) seismic data energy envelopes are obtained by using a CWT (Continuous Wavelet Transform) of raw data and Hilbert transform. In addition, energy envelopes which are obtained using a conventional band-pass filtering and low-pass filtering method are compared with those obtained by a CWT method. Energy envelope obtained by using a CWT method is pretty much similar to cubic spline curve which is constructed by connecting positive peaks of the raw data. Energy envelopes obtained by CWT method reflect energy distribution contained in the signals better than those obtained by conventional filtering method do.

1. 서 론

해저면은 퇴적물 또는 암반 등 다양한 형

태로 구성되어 있으며 각각 다른 물성을 나

타내고 음향반응 또한 다양하다.

해저면 퇴적물에 대해 얻는 음향자료로부

터 해저면에 대한 음파의 반사, 굴절, 산란,

그리고 감쇠특성을 구명할 수 있을 뿐만 아

니라 이들 자료로부터 퇴적물의 지질학적,

지질공학적 특성의 분석과 함께 지진파에 관

련된 연구에도 기여할 수 있다.1), 2), 3)

해양 탄성파탐사는 주로 해저면에서의 음

향 반사특성을 이용해 해저 퇴적물을 구분하

고 지층구조를 연구하는 데 사용되고 있다.

트랜스듀서 또는 스트리머에 의해 수신된 음

향자료는 해저면에서의 1차 반사 신호 및

다중 반사 신호를 포함하는 시계열(time

series)로서 표현된다. 음향 반사계수는 1차

반사 신호 및 첫 번째 다중 반사 신호의 진

폭을 측정하여 두 진폭의 비를 이용하여 구

할 수 있으나 특정의 중심 주파수를 갖는 파

형요소가 중첩된 반사 신호는 진동하는 특성

때문에 진폭의 측정이 힘들게 된다.

음향 반사 신호를 에너지의 envelope로

나타내면 파형의 극성뿐만 아니라 위상 특성

에 구애받지 않고서 진폭을 쉽게 측정할 수

* 김진후, 동아대학교 지구환경공학부 교수

** 김성보, 동아대학교 해양공학과 석사과정

김진후ㆍ김성보

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있다. 일반적으로 에너지 envelope는 원시

자료를 저주파 통과 필터를 이용해 고주파

잡음을 제거한 후 힐버트 변환을 이용해 구

한다.

본 연구에서는 최근 디지털 신호 분석에

자주 사용되고 있는 연속 웨이브릿 변환을

이용하여 SBP 탄성파탐사 자료의 에너지

envelope를 구했으며 이를 기존의 방법으로

구한 에너지 envelope와 비교하였다.

2. 자료 분석 방법

2.1. 연속 웨이브릿 변환

웨이브릿 해석은 연속 신호와 이산 신호의

경우에 모두 적용될 수 있으며 다양한 분야

에서 그 응용 가능성을 인정받고 있다. 웨이

브릿 변환은 특별히 비정형(nonstationary)

신호의 분석에 유리한 특징을 가져서 고전적인

단구간 퓨리에 변환(STFT : short time fourier

transform)이나 가버 변환(gabor transform)

을 대체할 새로운 대안으로 대두되고 있다.

웨이브릿 변환이 고전적인 단구간 퓨리에 변

환과 구별되는 근본적인 차이점은 단구간 퓨

리에 변환의 경우 모든 주파수 대역에 대하

여 동일한 크기의 필터 윈도우를 사용하는

반면 웨이브릿 변환은 고주파 대역에서는 폭

이 좁은 윈도우를, 저주파 대역에서는 폭이

넓은 윈도우를 사용한다는 것이다. 따라서

웨이브릿 해석은 상대 대역폭 불변 해석

(constant relative bandwidth analysis)이라

고도 일컬어지며, 주파수 대역의 변화 폭은

항상 주파수 값에 비례한다.

웨이브릿 변환은 입력 신호를 특정 기저

함수의 집합으로 분리하는 과정으로도 이해

될 수 있다. 웨이브릿 변환에 사용되는 기저

함수의 집합은 하나의 기본 웨이브릿 기저

함수(mother wavelet basis function)에 대

한 시간축 방향으로의 확대 및 축소 그리고

평행 이동을 통해 얻어진다. 기본 웨이브릿

기저 함수는 특별한 형태의 밴드패스(bandpass)

필터로 생각할 수 있으며, 웨이브릿 변환의

상대 대역폭 불변성은 기본 웨이브릿 기저에

대한 시간축 방향 축소 및 확대에 의해 충족

되어진다. 이에 따라 웨이브릿 변환에서는

주파수 대역이라는 용어 대신 스케일(scale)

이라는 용어를 주로 사용하며, 입력 신호에

대한 웨이브릿 변환을 다른 말로 원신호의

시간, 스케일 공간표현이라 일컫는다.4)

연속 웨이블릿 함수(CWT: Continuous Wavelet

Transform)는 식 (1)과 같이 기저함수 Ψ와

신호 f(x)와의 내적으로 정의 된다. 모 웨이

블릿(mother wavelet)이라고 불리는 함수를

주파수 대역에 대응되는 스케일 인자 a를 통

해 확대, 축소시키고, 시간 축에 대응되는

이동 인자 b를 조절하여 변이시켜 기저함수

를 얻는다. Fig.1은 모 웨이블릿 함수의 스

케일 인자 값에 따라 변하는 기저함수를 보

여주고 있다.

∞

∞

…(1)

Ψ a, b(x)=a -1/2 Ψ(x-ba

) ……………(2)

a : 스케일 파라미터, b : 이동 파라미터

(a) Mother wavelet (b) Magnification of (c) Abridgement

mother wavelet of mother

wavelet

Fig.1 Magnification and abridgment of mother wavelet

CWT를 이용한 SBP 탄성파탐사 자료의 에너지 envelope 추출에 관한 연구

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Fig.2는 퓨리에 변환과 웨이블릿 변환의

두드러진 차이점을 잘 보여주는 그림으로,

퓨리에 변환은 신호의 주파수에 상관없이 윈

도우가 동일한 반면, 웨이블릿 변환은 주어

진 신호의 특성에 따라 윈도우의 크기가 변

화하는 유연성을 갖는다. 따라서 웨이블릿

변환은 다양한 입력 신호에 대해 적응적으로

잘 대처할 수 있으며 시간과-주파수 정보를

모두 보여준다.5), 6)

(a) (b)

Fig.2 Time-frequency window of (a) fourier transform and (b) wavelet transform

연속 웨이브릿 변환은 Fig.3과 같이 기본

웨이브릿 기저 함수(mother wavelet basis

function)에 대한 시간 축 방향으로의 확대

및 축소 그리고 평행 이동을 통해 웨이브릿

기저 함수와 원시자료와의 관계를 상관도 계

수 C로 표현하는 것을 의미한다.

2.2 필터링

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

Frequency Unit

Am

plitu

de |H

(w)|

Frequency Response of Band Pass Filter

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Sample No.

Am

plitu

de h

[n]

Impulse Response of Band Pass Filter

(a)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

Frequency Unit

Am

plitu

de |H

(w)|

Frequency Response of Low Pass Filter

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Sample No.

Am

plitu

de h

[n]

Impulse Response of Low Pass Filter

(b)

Fig.4 Pass band of (a) a bandpass filter and (b) a low pass filter

필터란 Fig.4에서 보는 바와 같이 특정한

주파수 대역을 통과시키기 위해 그 주파수

대역의 신호 크기가 그대로 또는 증폭되어

출력되도록 하는 것을 말한다.

2.3 에너지 Envelope

앞 절에서 언급한 바와 같이 음향반사 신

호를 에너지의 envelope로 나타내면 파형의

극성뿐만 아니라 위상 특성에 구애받지 않고

서 진폭을 쉽게 측정할 수 있다.

시간에 따라 기록된 음향반사 신호를 x(t)

로 표시하면 x(t)의 에너지 envelope E(t)는

다음과 같이 구할 수 있다.

E(t)= x 2(t)+y 2 (t) …………………(3)

여기서 y(t)는 x(t)를 90° 만큼 위상 변화

시킨 것이며, 이는 힐버트 변환을 통해 구할

수 있다.

3. SBP 탄성파탐사 자료의 에너지 envelope

추출

SBP 탄성파탐사 자료의 에너지 envelope


- 4 -

를 추출하기 위하여 중심 주파수가 약 400

㎐인 Bubble Pulser(Benthos 사)탐사자료를

이용하였다.

취득한 자료를 연속 웨이브릿 변환과 힐버트

변환을 이용하여 에너지 envelope를 추출하

였으며, 이를 필터링을 통하여 얻은 envelope 및

cubic spline 곡선과 비교하였다. Cubic spline

곡선은 탄성파탐사 자료 중에서 양의 피크

점들을 이용하여 구했으며 에너지 envelope

곡선과 가장 유사한 것으로 생각된다.

3.1 CWT에 의한 에너지 envelope

취득한 자료를 Fig.5에서 보는 바와 같이

식(1)을 이용해 연속 웨이브릿 변환을 수행

하여 시간-스케일 도메인으로 표현하였다.

그림에서 보는 바와 같이 CWT 계수의 최대

값은 해저면 1차 반사파가 수신되는 시점에

나타나며, 지층 내에 반사 경계면이 존재하

거나 다중 반사파가 발생하는 경우 CWT 계

수는 극대 값을 보인다.

CWT 계수가 최대값을 보이는 스케일은

반사 음향신호의 중심 주파수에 해당하는 것

으로 생각할 수 있기 때문에 이 스케일에 해

당하는 CWT계수를 이용하여 에너지 envelope

를 구했다.

200400

600800

10001200

1 5 91317

212529333741

4549535761

0

5

10

x 104

time (or space) b

Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...

scales a

CO

EF

S

Fig.5 Extraction of a trace to be used for construction of an energy envelope (Bubble Pulser)

3.2 필터링에 의한 에너지 envelope

SBP 탄성파탐사 자료에서 고주파 성분의

잡음을 제거하기 위하여 밴드패스 필터링과

로우패스 필터링을 수행하였다. 필터링을 수

행하기에 앞서 탄성파탐사 자료의 주파수 특

성을 알아보기 위하여 Fig. 6과 같이 주파수

스펙트럼을 구했다. 그림에서 보는 바와 같

이 수신된 탄성파탐사 자료의 주파수 스펙트

럼 최대값은 약 600 Hz에서 나타나고 있다.

주파수 스펙트럼 최대값의 1/2 (-3 db)이

되는 400 ㎐ ~ 650 ㎐와 이보다 대역 폭을

조금 넓힌 400 Hz ~ 1,000 Hz를 통과 대

역으로 설정하여 제로 페이스 (zero phase)

밴드패스 필터를 한 후 에너지 envelope를

구했다.

또한, 650 ㎐ 및 1,000 Hz를 통과 대역으

로 설정하여 로우패스 필터를 한 후 에너지

envelope를 구하여 상호 비교하였으며, cubic

spline 곡선과의 유사도도 비교하였다.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Spectrum

Frequency(Hz)

Am

p

Fig. 6 Amplitude spectrum of the Bubble Pulser data

4. 결과 및 고찰

Fig.7의 (a)는 현장에서 취득한 음향반사

신호를 연속 웨이브릿 변환하여 구한 에너지

envelope와 원시 자료를, (b)는 현장에서 취

득한 음향 반사 신호를 400 Hz ~ 650 Hz


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를 통과대역으로 밴드패스 필터링하여 구한

에너지 envelope와 원시 자료를, 그리고 (c)

는 현장에서 취득한 음향 반사 신호를 650

Hz를 컷오프 주파수로 로우패스 필터링하여

구한 에너지 envelope와 원시 자료를 비교

한 것이다. Fig. 7의 (a)의 에너지 envelope

가 (b), (c)의 에너지 envelope에 비해 원시

자료의 양의 피크 점들을 매끄럽게 잘 이어

주고 있어 에너지 분포를 적절히 잘 표현해

주고 있다고 할 수 있다. 한편 (c)의 에너지

envelope는 (b)의 에너지 envelope에 비해

원시 자료의 양의 피크 점들을 잘 이어주고

는 있으나 값의 변화가 심해 에너지 분포를

적절히 잘 표현해 주고 있다고 보기 힘들다.

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Samples(sample interval = 0.1ms)

Amp

Raw data vs CWT filtered Energy Envelope

Raw dataEnergy envelpeSpline curve

(a)

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Amp

Raw data vs Band-pass(400Hz~650Hz) filtered Energy Envelope


(b)

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Amp

Raw data vs Low-pass(650Hz) filtered Energy Envelope


(c)

Fig. 7 Comparison of energy envelopes obtained by (a) a CWT method, (b) a band-pass (400 Hz ~ 650 Hz) filtering method, and (c) a low-pass (650 Hz) filtering method.

Fig.8의 (a)는 현장에서 취득한 음향반사

신호를 연속 웨이브릿 변환하여 구한 에너지

envelope와 원시 자료를, (b)는 현장에서 취

득한 음향 반사 신호를 400 Hz ~ 1,000

Hz를 통과대역으로 밴드패스 필터링하여 구

한 에너지 envelope와 원시 자료를, 그리고

(c)는 현장에서 취득한 음향 반사 신호를

1,000 Hz를 컷오프 주파수로 로우패스 필터

링하여 구한 에너지 envelope와 원시 자료

를 비교한 것이다.

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Amp

Raw data vs CWT filtered Energy Envelope


(a)

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Amp

Raw data vs Band-pass(400Hz~1000Hz) filtered Energy Envelope


(b)

0 200 400 600 800 1000 1200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Amp

Raw data vs Low-pass(1000Hz) filtered Energy Envelope


(c)

Fig.8 Comparison of energy envelopes obtained by (a) a CWT method, (b) a band-pass (400 Hz ~ 1,000 Hz) filtering method, and (c) a low-pass (1,000Hz) filtering method.

Fig.8의 (b)와 (c)는 Fig.7의 (b)와 (c)에

비해 원시 자료의 양의 피크 점들을 매끄럽


- 6 -

게 잘 이어주고 있어에 에너지 envelope가

원시 자료의 에너지 분포를 적절히 표현해

주고 있는 것으로 보인다. 그러나 (c)의 경

우 에너지 envelope의 값의 변화가 (a)나

(b)에 비해 다소 크게 나타나고 있다.

에너지 envelope가 양의 피크 점들을 어느

정도 매끄럽게 연결해 주는 가는 양의 피크

점들을 이어 만든 cubic spline 곡선과의 차

이 값 (sum of squares of error)으로 알

수 있다 (Table 1).

Table 1. Comparison of sum of squares of error between energy envelope and cubic spline curve

Methods Sum of Squares of Error

CWT 0.2630

BandpassFiltering

400 ㎐ ~650 ㎐ 5.1639

400 ㎐ ~1,000 ㎐ 0.4136

LowpassFiltering

650 ㎐ 1.4376

1,000 ㎐ 0.3020

표에서 보는 바와 같이 연속 웨이브릿 변

환으로 구한 에너지 envelope가 가장 cubic

spline 곡선과 유사함을 알 수 있으며, 400

Hz ~ 650 Hz를 통과대역으로 밴드패스 필

터링하여 구한 에너지 envelope가 cubic spline

곡선과 가장 유사하지 않음을 알 수 있다.

한편, 400 Hz ~ 650 Hz를 통과대역으로

밴드패스 필터링하여 구한 에너지 envelope

와 1,000 Hz를 컷오프 주파수로 로우패스

필터링하여 구한 에너지 envelope는 연속

웨이브릿 변환으로 구한 에너지 envelope와

마찬가지로 cubic spline 곡선과 매우 유사

함을 알 수 있다.

또한, 위 표에서 보듯이 밴드패스 필터링

으로 구한 에너지 envelope 보다는 연속 웨

이브릿 변환이나 로우패스 필터링으로 구한

에너지 envelope가 일반적으로 cubic spline

곡선과 유사함을 알 수 있으나 로우패스 필

터링을 이용할 경우 컷 오프 주파수를 구하

는 데 주관적인 요소가 들어갈 수 있고 시간

에 따른 에너지 envelope의 값의 변화가 연

속 웨이브릿 변환방법에 비해 심한 단점이

있다.

5. 결 론

SBP 탄성파탐사 자료의 음향특성을 분석

하기 위한 에너지 envelope를 효율적으로

추출하기 위해 연속 웨이브릿 변환과 힐버트

변환을 이용하였다. 이렇게 구한 에너지

envelope와 필터링을 이용하여 구한 에너지

envelope를 비교, 분석하였으며 본 연구에

서 얻은 결과를 요약하면 다음과 같다.

1. 연속 웨이브릿 변환(CWT)과 힐버트 변환

을 이용하여 양질의 에너지 envelope를

구할 수 있었다.

2. 연속 웨이브릿 변환 방법으로 구한 에너

지 envelope가 필터링 방법으로 구한 에

너지 envelope에 비해 원시자료의 에너

지 분포를 더 적절하게 반영하고 있음을

알 수 있었다.

3. 필터링 방법 중에서는 로우패스 필터링

방법이 밴드패스 필터링 방법에 비해 원

시자료의 에너지 분포를 더 적절하게 반

영하고 있음을 알 수 있었다.

4. 필터링 방법을 이용할 경우 컷 오프 주파

수나 패스 밴드를 어떻게 설정하느냐에

따라 에너지 envelope가 다양하게 작성

되는 데 반해, 연속 웨이브릿 방법의 경

우 CWT 계수가 최대값을 보이는 스케일

에 해당하는 CWT계수를 이용하여 에너

지 envelope를 구할 수 있기 때문에 보

다 객관적인 자료 분석이 가능하다.


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참고문헌

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물의 음향학적 특성연구(Ⅰ) - 후방산란 특

성", BSPG 00075-229-5, 196 p. (1989)


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특성" BSPG 00107-297-5, 116 p. (1990)


물의 음향학적 특성연구(Ⅲ) - 감쇠계수

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4) 박태근, "Wavelet", 가톨릭 대학교, VLSI

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5) 이승훈, 윤동한., "알기쉬운 웨이브렛 변

환", 진한도서, pp. 43-99 (2003)

6) Claerbout, J. F., "Fundamentals of

geophysical data processing", McGraw-

Hill Book Co. Inc. (1976)

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