ก

โครงงานคณตศาสตร

เรอง การอธบายการหาพนทปดลอมดวยกราฟในชวง [a.b] บนแกน X

โดยใชโปรแกรม GSP

โดย

1. นายสรชย ศรโชค

2. นายสหรฐ โคตรชาร

3. นางสาวสายธาร พนธะวงศ

โรงเรยน กลยาณวตร อาเภอเมอง จงหวดขอนแกน

สานกเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต 25 ปการศกษา 2557

รายงานฉบบนเปนสวนประกอบของโครงงานคณตศาสตร

ประเภท อธบายทฤษฎ ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

ข

โครงงานคณตศาสตร

เรอง การอธบายการหาพนทปดลอมดวยกราฟในชวง [a.b] บนแกน X

โดยใชโปรแกรม GSP

โดย

1. นายสรชย ศรโชค

2. นายสหรฐ โคตรชาร

3. นางสาวสายธาร พนธะวงศ

โรงเรยน กลยาณวตร อาเภอเมอง จงหวดขอนแกน

สานกเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต 25 ปการศกษา 2557

รายงานฉบบนเปนสวนประกอบของโครงงานคณตศาสตร

ประเภท อธบายทฤษฎ ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

ก

ชอเรอง : การอธบายการหาพนทปดลอมดวยกราฟในชวง [a.b] บนแกน X โดยใชโปรแกรม GSP

ผจดทา : 1. นายสรชย ศรโชค

2. นายสหรฐ โคตรชาร

3. นางสาวสายธาร พนธวงค

ครทปรกษา นางสธรา แกวบญเรอง

ครทปรกษารวม นายคณต ไวทยางกร

ปทจดทา : พทธศกราช 2557

บทคดยอ

การศกษาเรองการหาพนท ใตกราฟตอเนองในชวง [a,b] บนแกน X โดยเฉพาะกราฟเสนโคงซงม

ความยงยากและซบซอน จงตองอาศยเรองแคลคลสประกอบการคานวณ โดยผจดทาไดใชโปรแกรม GSP

ประกอบกบการศกษาและอธบาย โดยจะศกษาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรง บนแกน X ในชวง [a,b]

จากการเขยนกราฟจะไดกราฟ 2 ลกษณะคอลกษณะรปสามเหลยมและรปสเหลยมคางหม ซงจะใช

โปรแกรม GSP คานวณหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงประกอบกบการคานวณจากสตรการหาพนทรป

สามเหลยมและรปสเหลยมคางหม เมอเปรยบเทยบกนจะไดวาคาทคานวณไดมค าเทากน และจะศกษาพนท

ทปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน X ในชวง [a,b] เนองจากยงไมมสตรโดยตรงเพอใชในการคานวณ จง

ใชวธการหาพนทโดยจะใชโปรแกรม GSP สรางรปสเหลยมผนผาหลายๆรปใตพนททปดลอมดวยกราฟเสน

โคง การคานวณหาพนทของรปสเหลยมผนผาแตละรปแลวนามา บวกกน จะไดพนททปดลอมดวยกราฟ

เสนโคง ประกอบกบการคานวณโดยอาศยเรองแคลคลส การหาคาของปรพนธจากดเขต เมอจานวนรป

สเหลยมผนผามจานวนมากขน จะไดคาของพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงทมความใกลเคยงกบการ

คานวณการหาคาของปรพนธจากดเขต

ข

กตตกรรมประกาศ

ในการจดทาโครงงานคณตศาสตร เรอง การอธบายการหาพนทปดลอมดวยกราฟบนชวง [a,b] บน

แกน X โดยใชโปรแกรม GSP ครงน สาเรจลลวงไปดวยดเพราะคณะผจดทาโครงงานไดรบความเมตตา

กรณา การใหคาปรกษา ขอเสนอแนะ แกไข ตดตาม ดแล และคอยชวยเหลอในดานตางๆ มาตลอด โดย

คณครสธรา แกวบญเรอง และคณครคณต ไวทยางกร คณครทปรกษาและทปรกษารวมในการทาโครงงาน

ครงนตามลาดบ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนกลยาณวตร อาเภอเมอง จงหวดขอนแกน คณะ

ผทาโครงงานขอขอบพระคณเปนอยางยง

ขอขอบพระคณทานผอานวยการ นายลขต เพชรผล ผอานวยการโรงเรยนกลยาณวตร อาเภอเมอง

จงหวดขอนแกน ทใหการสนบสนนวสดอปกรณและงบประมาณจดทางานโครงงานในครงนขน

ตลอดระยะเวลาในการจดทางานโครงงานครงน ขอขอบพระคณบดา มารดา ผซงใหความรก ความ

เมตตา ความหวงใย และเปนกาลงใจใหกบคณะผจดทาโครงงานในครงนจนสาเรจลลวงไปดวยด ขอกราบ

ขอบพระคณเปนอยางสง

คณะผจดทาโครงงาน

ค

สารบญ

บทท หนา

1. บทนา

ทมาและความสาคญ.............................. ......................................................................................... ...........1

วตถประสงค.......................................................................... .................................................... ................1

ประโยชนทคาดวาจะไดรบ................................................................................ ........................................1

ขอบเขตของการศกษา.............................................................. .................................................................1

นยามศพทเฉพาะ................................................................................................. ......................................2

2. เอกสารทเกยวของ

อนกรมอนนต........................................................................................................................................... 3

ลมตและความตอเนอง.................................................................................................. ......................... ...3

อนพนธของฟงกชน................................................................................................. .................................4

ปรพนธของฟงกชน................................................................................................... ...............................7

3. อปกรณและวธการดาเนนงาน

ขนตอนการดาเนนงาน.................................................................................................. .........................11

วสดอปกรณ................................................................................................................. ....................... ....12

4. ผลการดาเนนงาน

อธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงบนแกน x ในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรม GSP....13

อธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน x ในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรม GSP....18

5. สรปผลและขอเสนอแนะ

สรปผลการดาเนนงาน............................................................................................... .............................19

ขอเสนอแนะ.......................................................................................................... ....................... ..........19

บรรณานกรม............................................................................................................................................ .......................... ...20

1

บทท 1

บทนา

ทมาและความสาคญ

คณตศาสตรเปนศาสตรทเนนทกษะและกระบวนการทางความคด การคานวณ และการแกปญหา

ทาใหเกดทฤษฎ บทนยาม และสตรทางคณตศาสตรอยางมากมาย สตรตางๆในคณตศาสตรลวนมความ

ถกตองและแมนยาในการคานวณเพอหาคาตอบของสงตางๆ แมแตการหาพนทของรปตางๆ ไมวาจะเปน

รป 2 มตหรอรปทรง 3 มต ลวนมสตรในการคานวณทงสน

สาหรบสมการทางคณตศาสตรบางสมการ มการคานวณเพอหาคาตอบและนาไปใชในการสราง

กราฟ ซงคาตอบของสมการแตละสมการกแตกตางกนออกไป ทาใหไดกราฟทมลกษณะตางกน มทงกราฟท

เปนเสนตรงและกราฟทเปนเสนโคง โดยการหาพนทใตกราฟทเปนเสนโคงนน มความซบซอน ยงไมมสตร

โดยตรงเพอใชในการคานวณ จงตองอาศยความรเรองแคลคลส(Calculus) มาประกอบการคานวณ

โครงงานคณตศาสตร เรอง การอธบายการหาพนทปดลอมดวยกราฟในชวง [a, b]บนแกน Xเปน

โครงงานทไดมผสนใจศกษามาบางแลวผจดทาไดเลงเหนความไมสมบรณในบางสวนของเนอหาจงนามา

ศกษาตอ และตอยอดโครงงานใหมความสมบรณยงขนเนองจาก ผจดทาไดใหความสนใจทจะศกษาเกยวกบ

การคานวณหาพนทใตกราฟโดยการใชโปรแกรม GSP ประกอบกบการศกษาและการอธบาย

วตถประสงค

1. เพออธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงในชวง [a, b]บนแกน xโดยการใชโปรแกรม GSP

2. เพออธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงในชวง [a, b]บนแกน xโดยการใชโปรแกรม GSP

ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

1. เพอความสะดวกและรวดเรวในการหาพนทใตกราฟโดยการใชโปรแกรม GSP

2. เพอความสะดวกตอการอธบายเพอสรางความเขาใจในการหาพนทใตกราฟโดยการใชโปรแกรม GSP

3. เพอฝกฝนทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร

ขอบเขตของการศกษา

1. การหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงทอยในชวง [a, b]บนแกน x

2. การหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงทอยในชวง [a, b]บนแกน x

2

3. ใชโปรแกรม GSP ในการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงในชวง [a, b]บนแกน xและในการหา

พนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงในชวง [a, b]บนแกน x

นยามศพทเฉพาะ

- โปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP) เปนโปรแกรมทมประสทธภาพโปรแกรมหนง สามารถ

นาไปใชในวชาคณตศาสตรไดหลายสาขา เชน เรขาคณต พชคณต ตรโกณมต และแคลคลส

- การแบงพนทยอยๆ คอ การแบงพนททปดลอมดวยเสนโคงออกเปนชองเลกๆ ทมขนาดความกวางเทากน

- แบงพนทแบบขาด คอ การแบงพนททปดลอมดวยเสนโคงออกเปนชองเลกๆ ทมขนาดเทากน โดยเลอกจด

ดานซายของ กราฟเปนความสงของรปสเหลยมมมฉาก

-แบงพนทแบบเกน คอ การแบงพนททปดลอมดวยเสนโคงออกเปนชองเลกๆ ทมขนาดความกวางเทากน

โดยเลอกจดดานขวาของกราฟเปนความสงของรปสเหลยมมมฉาก

3

บทท 2

เอกสารทเกยวของ

ในการทาโครงงานครงน คณะผจดทาไดศกษาเอกสารและคณตศาสตรทเกยวของดงตอไปน

1. อนกรมอนนต

2. ลมตและความตอเนอง

3. อนพนธของฟงกชน

4. ปรพนธของฟงกชน

1. อนกรมอนนต

ให sn =𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3+. . . +𝑎𝑎𝑛𝑛 โดย sn คอ " ผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม "

และ𝑠𝑠1, 𝑠𝑠2, 𝑠𝑠3, … , 𝑠𝑠𝑛𝑛 , … คอ " ลาดบของผลบวกยอยของอนกรม "

1. ถาlim𝑠𝑠𝑛𝑛n → ∞หาคาได เรยกคาลมตดงกลาววาเปนผลบวกของอนกรม และเรยกอนกรมดงกลาววา

อนกรมคอนเวอรเจนต (Convergent)

2. ถา lim𝑠𝑠𝑛𝑛n → ∞หาคาไมไดแสดงวาอนกรมดงกลาวไมสามารถหาผลบวกได และเรยกอนกรม

ดงกลาววาอนกรมไดเวอรเจนต (Divergent)

2. ลมตและความตอเนอง(Limits and Continuity)

ใน หวขอนจะกลาวถงเนอหาทเปนพนฐานทสาคญของแคลคลส(Calculus) คอเรองลมตและความ

ตอเนอง (Limits and Continuity) ซงเนอหาประกอบดวยการใหนยามและความหมาย ตลอดจนทฤษฎตางๆ

ทเกยวของ รวมถงการแสดงวธการหาคาของลมตของฟงกชนและการทดสอบความตอเนองของฟงกชนท

จดตางๆ

2.1 ลมต(limits)

ในสวนของฟงกชนโดยทวไปนยมการหาคาของฟงกชนทจดใดจดหนง ซงในบางครงไมสามารถหาคาของ

ฟงกชนในบางจดได แตอยางไรกตามอาจใหความสนใจคาของฟงกชนทพารามเตอรของฟงกชนขณะมคา

เขาใกลคาใดคาหนง

นยาม 2.1กาหนด fเปนฟงกชนโดยทf(x)นยามบนชวงเปดรอบจดaจะกลาววาf(x)มคาเขาใกลk

เมอ xมคาเขาใกล a ถาสาหรบทก ε > 0 แลวม δ > 0 ททาให ถา 0 < |x − a| < δ

แลว|f(x) − k| < εทงนจะเขยนแทนดวยlimx→a f(x) = k

4

หมายเหต ในการแสดงวา limx→𝑎𝑎 f(x) = kโดยใชนยามนนเปนการพสจนทาง

คณตศาสตร ซงโดยทวไปมกใชในกรณทเปนทางการ (Formal) เทานน

สมบตของลมต

ทฤษฎบท 2.1 ถา K, L, aและ cเปนจานวนจรง และ limx→a f(x) = K และ

limx→𝑎𝑎 g(x) = L

จะไดวา

1. กฎการบวก limx→𝑎𝑎(f(x) + g(x)) = K + L

2. กฎการลบ limx→𝑎𝑎(f(x) − g(x)) = K − L

3. กฎการคณ limx→𝑎𝑎(f(x) g(x)) = KL

4. กฎการหาร limx→af(x)g(x)

= KL

เมอ L≠0

ในการหาลมตของ f(x)โดยทวไปนน หากไมตองการความเปนทางการสามารถทาไดโดยใชกฎ

ตางๆของลมต รวมถงการนาเอาคาของลมตของบางฟงกชนทเหนไดชดเจนมาใช (สามารถแสดงใหเหนได

โดยใชนยามของลมต) เชน limx→𝑎𝑎 c = c เมอ c เปนจานวนจรงใดๆ หรอ limx→𝑎𝑎 x = a

2.1.1 ลมตซายและลมตขวา ( Left-Hand and Right-Hand Limits )

นยาม 2.2 กาหนดf(x) นยามบนชวงเปด (a, b) โดยท b < 𝑎𝑎และถา f(x)มคาเขาใกล K เมอx

เขาใกล aในชวง(b, a) แลวกลาวไดวา fมลมตซายทa เทากบ K และจะเขยนแทนดวย

limx→a−

f(x) = K

นยาม 2.3กาหนด f(x)นยามบนชวงเปด (a, c) และถา f(x)มคาเขาใกล L เมอ xเขาใกล a ในชวง

(a, c) แลวกลาว ไดวา fมลมตขวาทaเทากบ Lและจะเขยนแทนดวย limx→a+ f(x) = L

ทฤษฎบท 2.4lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 f(x) = Kกตอเมอ lim𝑥𝑥→𝑎𝑎− f(x) = K และ lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+ f(x) =K ลมตของ f(x)เมอ x มคาเขาใกลบวกหรอลบอนนต

ในการพจารณาขอบเขตของ f(x)จาเปนตองศกษาคาของ f(x) เมอ x มคาเพมมากขนจนถง

บวกอนนต หรอลดลงจนถงลบอนนต การศกษาดงกลาวสามารถทาไดโดยใช

นยาม 2.4lim𝑥𝑥→∞ f(x) = Kหมายถง f(x) มคาเขาใกล K(หรอมคาลมต= K) เมอ xมคาเขาใกล

อนนต

5

นยาม 2.5lim𝑥𝑥→−∞ f(x) = Lหมายถง f(x) มคาเขาใกล L(หรอมคาลมต= L) เมอxมคาเขาใกล

ลบอนนต

ทฤษฎบท 2.3 ถา limx→±∞ f(x) = K และ limx→±∞ g(x) = L โดยท K และ L เปนจานวนจรง แลว

1. กฎการบวก limx→±∞ f(x) + g(x) = K + L

2. กฎการลบ limx→±∞ f(x) − g(x) = K − L

3. กฎการคณ limx→±∞ f(x) g(x) = KL

4. กฎการหาร limx→±∞f(x)g(x)

= KL

เมอ L≠0

2.2 ความตอเนอง

นยาม 2.6 ฟงกชน f มความตอเนองทจด c ( cอยในโดเมนของ f ) ถา limx→c f(x) = f(c)

นยาม 2.7สาหรบฟงกชน fทมโดเมนคอ [a, b]จะกลาววา f มความตอเนองทจดปลายซาย a ถา

limx→a+ f(x) = f(a) และ fมความตอเนองทจดปลายขวา b

ถา limx→b− f(x) = f(b)

2.2.1 การทดสอบความตอเนอง

จากนยามของ fทมความตอเนองทจด c(cอยในโดเมนของ f) สามารถสรปเปนเงอนไข

3 ขอดงนf(c)หาคาได

limx→c f(x) หาคาได

limx→c

f(x) = f(c)

สาหรบจดทเปนจดปลายของโดเมนของ f นน ใหแทนในขอ 2 และขอ 3 ดวยลมตซายหรอลมต

ขวาของจดปลายแลวแตกรณ

3. อนพนธของฟงกชน

ในหวขอนจะกลาวถงนยามหรอความหมายของอนพนธของฟงกชน การหาอนพนธของฟงกชน

ตางๆทฤษฎของอนพนธ ตลอดจนการนาเอาอนพนธไปประยกตใช ซงรวมถงอตราการเปลยนแปลงการหา

คาสงสดและตาสดเปนตน

3.1 อนพนธ

นยาม 3.1 อนพนธของฟงกชน f เทยบกบตวแปรx คอฟงกชน f′ โดยทf′(x)นยามดงน

6

f ′(x) = limh→0f(x+h)−f(x)

h โดเมนของ f′ คอจดทกจดในโดเมน f ททาใหลมต

ดงกลาวหาคาได

นยาม 3.2f เปนฟงกชนทหาอนพนธได (Differentiable) ทจดx ถาf′(x) หาคาได

นยาม 3.3f เปนฟงกชนทหาอนพนธได ถา f′(x) หาคาไดททกๆจดบนโดเมน f

หมายเหต สาหรบอนพนธของฟงกชน y = f(x)นอกจากจะใชสญลกษณ f ′(x)แลวยงมสญลกษณ

อนทนยมใชอกเชนy′ , dydx

, dfdx

หรอdf (x)

dx

3.1.1 กฎตางๆสาหรบการหาอนพนธ

ทฤษฎบท 3.2 ถา uและ vเปนฟงกชนทหาอนพนธได จะได

d(u+v)dx

= dudx

+ dvdx

กฎการบวก

d(u−v)dx

= dudx− dv

dx กฎการลบ

d(u∙v)dx

= u dvdx

+ v dudx

กฎการคณ

duv

dx=

vdudx − udv

dxv2 กฎการหาร

d(cu )dx

= cdudx

,cเปนจานวนจรง กฎการคณดวยคาคงท

นยาม3.4 ฟงกชน fเปนฟงกชนทหาอนพนธได สาหรบชวงเปดใดๆ ถา f มอนพนธททกๆจดบนชวง

เปดนนๆ

นยาม 3.5 ฟงกชน fเปนฟงกชนทหาอนพนธได สาหรบชวงปด[a, b]ถา f มอนพนธททกๆจดบนชวง

เปด (a, b)และ limh→0+f(a+h)−f(a)

h (อนพนธทจด a) และ

limh→0−f(b+h)−f(b)

h

( อนพนธดานซายทจด b ) หาคาได

3.1.2 ฟงกชนโดยนย(Implicit Functions)

จากทกลาวมาขางตน สาหรบy = f(x)การหา dydx

นนทาไดโดยไมยากนก อยางไรกตาม

มความสมพนธระหวาง y กบ xทไมสามารถเขยนในรปดงกลาวได หรอเขยนไดแตไมงายนก อยางเชน

7

x2 + y2 = sin(y) หรอ 𝑥𝑥3 − y3 = 2𝑥𝑥2𝑦𝑦2 เปนตน จะเรยกy ดงกลาววาเปนฟงกชน

โดยนย การหา dydx

ของฟงกชนโดยนยนน สามารถทาโดยใหถอวา y เปนฟงกชนทหาอนพนธไดของx

3.1.3 ความชนของเสนสมผสเสนโคง

เมอพจารณานยามของการหาอนพนธทจดท x = x0และจากรปท 2.1 จะเหนไดวา ความชนของเสนตรง

ทสมผสเสนโคง y = f(x)ทจด x0 จะเทากบ limh→0f(x0+h)−f(x)

h= f ′(x0)

ภาพท 1 แสดงเสนตรงทสมผสเสนโคง ณ จด

𝑥𝑥0

3.1.4 อนพนธอนดบสองและมากกวาอนดบสอง

อนพนธ y′ = dydx

เรยกวาเปนอนพนธอนดบหนง (first-order derivative) ของ y เทยบกบ x ถา

อนพนธอนดบหนงทเปนฟงกชนทหาอนพนธได จะไดวา y′′ = ddx�dy

dx� = d2y

dx2

จะเรยก y′′วาเปนอนพนธอนดบสอง (second-order derivative) ของ yเทยบกบ x และถา y′′เปนฟงกชน

ทหาอนพนธได จะไดวา y′′ = ddx�d2y

dx2� = d3ydx3 เรยกวาเปนอนพนธอบดบสาม(third-order

derivative)

ดงนนอนพนธอนดบ n (nth-order derivative) ของyเทยบกบ x สาหรบจานวนเตมบวก nใดๆนน

สามารถเขยนแทนได y(n) ทงน y(n) = ddx�dn−1y

dxn−1� = dn ydxn

3.2 การประยกตใชอนพนธ

อตราการเปลยนแปลง (Rate of Changes)

ในการศกษาอตราการเปลยนแปลงของสงตางๆ อยางเชนการเปลยนแปลงของระยะทางทวตถเคลอนทเมอ

เทยบกบเวลา อตราการเปลยนแปลงของตนทนของสนคาเมอเทยบกบจานวนทผลต อตราการเปลยนแปลง

ของราคาสนคาเมอเทยบกบราคานามน สงเหลานไดมการนาเอาอนพนธเขาไปประยกตใชกนอยางมาก

นยาม 3.6 อตราการเปลยนแปลงของf เทยบกบ 𝑥𝑥 ท a เขยนแทนดวย

f ′(a) = limh→0f(a+h)−f(a)

h

8

4. ปรพนธของฟงกชน

อนทเกรชน และการประยกต (Integrationand Applications)

ใน หวขอนจะกลาวถงการหาฟงกชนจากอนพนธทกาหนดให การหาอนทกรลแบบไมจากด และ

การหาอนทกรลแบบจากด รวมถงเทคนคตางๆทใชในการหาอนทกรล และการนาเอาอนทกรลไป

ประยกตใช

4.1 อนทกรลแบบไมจากด (Indefinite Integrals)

ในกระบวนการทจะหา f(x)จากอนพนธของ f′(x)ทกาหนด พรอมทงคาคงทอกคาหนงของ

f(x)นนอาจแบงออกไดเปน 2 ขนตอนดวยกน ขนแรกเปนการหาปฏยานพนธของf (Anti-Derivative)

ทงหมด สาหรบขนตอนทสองเปนการหาอนพนธทสอดคลองกบคาทกาหนดให

นยาม4.1 กาหนดฟงกชน f(x)และอนพนธของ f(x)หรอ f′(x)สาหรบทกคา xทอยในโดเมนของ f ปฏยานพนธของfทงหมดจะเรยกวาเปนอนทกรลไมจากดของ f เทยบกบ x

เขยนแทนดวย ∫ f(x)dx

ทฤษฎบท 4.2 กาหนด ฟงกชน f(x) และ F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x)อนทกรลไมจากดของ f

เทยบกบ x จะเทากบผลบวกของ F(x) กบคาคงท นนคอ ∫ f(x)dx = F(x) + c

คา cเรยกวาเปนคาคงทของการอนทเกรชน (Constant of Integration) หรอคาคงทไมเจาะจง

(Arbitrary Constant)

สตรการหาอนทกรลไมจากด

1. ∫ k dx = kx + C , k เปนคาคงท

2. ∫ 1x

dx = ln|x| + C

3. ∫ x𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 = x𝑛𝑛+1

𝑛𝑛+1+ C , n เปนจานวนตรรกยะและ𝑛𝑛 ≠ −1

4.1.1 กฎของอนทกรลไมจากด

กฎการคณดวยคาคงท ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx, k เปนจานวนจรง

กฎการบวกและลบ∫ f(x) ± g(x)dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

4.2 เทคนคของการอนทกรล (Integration Technique)

อยางทไดกลาวมาแลวขางตน การหาอนทกรลไมจากดสาหรบบางฟงกชน เชน lnxการทจะหา

ปฏยานพนธของ lnx หรอหาวาf(x)ใดทมอนพนธคอ lnxไมใชเปนสงทงาย ดงนน การหาอนทกรล

9

ไมจากดเขตสาหรบบางฟงกชนจาเปนตองมเทคนคหรอวธการโดยเฉพาะ วธสาคญๆ คอ

1. วธเปลยนตวแปร ( Substitution Method)

2. วธเศษสวนยอย (Partial FractionMethod)

3. วธแยกสวน (By Part Technique)

4. วธแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric Substitution)

วธสบเปลยนตวแปร

สาหรบอนทกรลไมจากดทอยในรปของ ∫ f�g(x)�g′(x)dxโดยท fและ g′ เปนฟงกชน

ตอเนองนน มวธการดงน

กาหนดให u = g(x)และ du = g′(x)ซงจะทาใหไดวา ∫ f�g(x)�g′(x)dx =∫ f(u)du หาอนทกรลไมจากดเปรยบเทยบกบตวแปร u แทนคา uดวย g(x)

4.3 อนทกรลแบบจากด (Definite Integrals)

นยาม4.2 กาหนด fเปนฟงกชนทหาปฏยานพนธไดในชวง [a, b]และ F(x)เปนปฏยานพนธของf

จะกลาวไดวาอนทกรลแบบจากดของf ในชวง [a, b]

เขยนแทนดวย ∫ f(x)dx = F(b) − F(a)ba

หมายเหต คาของ F(b) − F(a)อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ [F(x)]ab

ทฤษฎบท 4.2 กฎของอนทกรลแบบจากด

1. ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dxab

ba

2. ∫ f(x)dx = 0b𝑎𝑎

3. ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dxba

ba

4. ∫ f(x) ± g(x)dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dxba

ba

ba

5. ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dxcb = ∫ f(x)dxc

ab

a

4.4 การประยกตใชอนทกรล(Application of Integrals)

ในการนาเอาอนทกรลไปประยกตใชมหลากหลายรปแบบ เชน การหาคาความยาวของเสนโคง

การหาพนทระหวางเสนโคง การหาปรมาตรของรปทรงตางๆ แตในหวขอนจะกลาวถงเฉพาะการนาไป

ประยกตใชในการหาพนทเทานน

10

4.4.1 การหาพนทใตเสนโคง

ในการหาพนททอยระหวางเสนโคง เสนโคง y = f(x)ในชวงท nมคาอยในชวง [a, b]นน

สามารถนาเอาการอนทกรลแบบจากดไปประยกตใชได ทงนพนทดงกลาวจะหาไดจาก ∫ f(x)dxba

4.4.2 การหาพนทระหวางเสนโคง

การหาพนทระหวางเสนโคง y = f(x)กบเสนโคง y = g(x) โดยท f(x) ≥ g(x)

ในชวง [a, b]นนหาไดจาก ∫ f(x) − g(x)dxb𝑎𝑎

11

บทท 3

อปกรณและวธการทดลอง

การดาเนนการทาโครงงาน ผจดทาไดดาเนนการซงประกอบดวยรายละเอยดตามขนตอนดงน

1. ขนตอนการดาเนนงาน

2. วสดอปกรณ

1. ขนตอนการดาเนนงาน

ตารางการดาเนนงานทาโครงงาน

ลาดบท ขนตอนการดาเนนงาน ระยะเวลา หมายเหต

1 วางแผนการทางานกบคณครทปรกษา 3ธนวาคม 2556 นางสธรา แกวบญเรอง

และ คณะผจดทา

2 จดทาบทท 1 : ทมาและความสาคญ 7ธนวาคม 2556

– 9 ธนวาคม 2556

คณะผจดทา

3 ตรวจสอบบทท 1 โดยคณครทปรกษา 12 ธนวาคม 2556 นางสธรา แกวบญเรอง

4 ปรบปรงบทท 1 ตามคาแนะนาของ

คณครทปรกษา

13 – 15 ธนวาคม 2556 คณะผจดทา

5

ศกษาเนอหาคณตศาสตรทเกยวของ

ดงน1. อนกรมอนนต

2. ลมตและความตอเนอง

3. อนพนธของฟงกชน

4. ปรพนธของฟงกชน

14 – 20 ธนวาคม 2556 คณะผจดทา

6 ศกษาการใชโปรแกรม GSP เบองตน 22 – 27ธนวาคม 2556 นายคณต ไวทยางกร

และคณะผจดทา

7 จดทาบทท 2 : เอกสารทเกยวของ 29 ธนวาคม 2556 –1

มกราคม 2557

คณะผจดทา

8 ตรวจสอบบทท 2 โดยคณครท 2 – 6 มกราคม 2557 นางสธรา แกวบญเรอง

12

2. วสดอปกรณ

1. คอมพวเตอร(โปรแกรม GSP)

2. กระดาษ

3. เครองเขยน

ลาดบท ขนตอนการดาเนนงาน ระยะเวลา หมายเหต

ทปรกษา

9 จดทาบทท 3 : อปกรณและวธการ

ทดลอง

9 มกราคม 2557 คณะผจดทา

10 ศกษาวธใชโปรแกรม GSP ท

เกยวของกบการหาพนททปดลอม

10 - 20มกราคม 2557 คณะผจดทา

11 นาโปรแกรม GSP มาใชประกอบกบ

การศกษาหาพนททปดลอม

23 – 31 มกราคม 2557 คณะผจดทา

12 จดทาบทท 4 : อภปรายผลการ

ทดลอง

1 – 7กมภาพนธ 2557 คณะผจดทา

13 ตรวจสอบบทท 4 โดยคณครท

ปรกษา

9 – 11กมภาพนธ 2557 นางสธรา แกวบญเรอง

14 จดทาบทท 5 : สรปผลการทดลอง 12– 20กมภาพนธ2557 คณะผจดทา

15 ตรวจสอบบทท 5 โดยคณครท

ปรกษา

21 กมภาพนธ 2557 นางสธรา แกวบญเรอง

16 จดทารปเลม 25 กมภาพนธ 2557 คณะผจดทา

17 ตรวจสอบและปรบปรงตาม

คาแนะนาของคณครทปรกษา

26-31 พฤษภาคม 2557 คณะผจดทา

13

บทท 4

ผลการดาเนนงาน

ผจดทาโครงงานขอนาเสนอผลการดาเนนงานดงกลาวตามวตถประสงค ดงน

1. อธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงบนแกน xในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรม GSP

2. อธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน xในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรมGSP

1.อธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงบนแกน 𝐱𝐱ในชวง [𝐚𝐚,𝐛𝐛]โดยการใชโปรแกรม GSP

ก. ข.

ภาพท 2

ก. แสดงการหาพนทใตกราฟเสนตรงทมพนทเปนรปสามเหลยม

ข. แสดงการหาพนทใตกราฟเสนตรงทมพนทเปนรปสเหลยมคางหม

จากภาพ พนทใตกราฟสมการเสนตรง y = −2x + 8 และสมการy = 2x + 1 เมอกาหนดชวง [a, b] โดยท

a < bแลวสามารถแบงพนทไดเปนรปสามเหลยมมมฉากและรปสเหลยมคางหม ซงหาไดจากสมการทวไปคอ

พนทสเหลยมคางหม = 12

× ผลบวกของดานคขนาน × สง

= 12

× {f(a) + f(b)} × (b − a)

พนทสามเหลยม = 12

× ฐาน × สง

= 12

× (b − a) × |f(a)|

14

ตวอยางเชน

การหาพนสามเหลยมทปดลอมดวยสมการ y = −2x + 8 บนแกน xในชวง[0,4]

ภาพท 3แสดงการหาพนสามเหลยมทปดลอมดวยสมการ y = −2x + 8 บนแกน xในชวง[0,4]

f(a) = −2(0) + 8 = 8

พนทสามเหลยม = 12

× (b − a) × |f(a)|

= 12

× (4 − 0) × 8

= 12

× 4 × 8

พนทสามเหลยม = 16ตารางหนวย

ตวอยางการหาพนทโดยการปรพนธจากดเขต ให A แทนพนท

A = � f(x)4

0dx

= � (−2𝑥𝑥 + 8)dx4

1

= −2𝑥𝑥2

2+ 8𝑥𝑥 �

40�

= −𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 �40�

= (−16 + 32) − (−0 + 0) A = −16 + 32

A = 16ตารางหนวย

พนท A = 16 ตารางหนวย

15

จากตวอยางทงสองจะเหนไดวาพนททไดจากการหาโดยใชสมการทวไปและการหาโดยการใชปรพนธจากดเขต

นน ไดคาตอบของพนทเทากน คอ 16 ตารางหนวย

การหาพนสเหลยมทปดลอมดวยสมการ y = 2x + 1บนแกน x ในชวง [1,4]

ภาพท 4 แสดงการหาพนสเหลยมทปดลอมดวยสมการ 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 1บนแกน x ในชวง [1,4]

f(a) = 2(1) + 1 = 3 f(b) = 2(4) + 1 = 9

พนทสเหลยมคางหม = 12

× {f(a) + f(b)} × (b − a)

= 12

× (3 + 9) × (4 − 1)

= 12

× 12 × 3

พนทสเหลยมคางหม = 18 ตารางหนวย

ตวอยางการหาพนทโดยการปรพนธจากดเขต ให A แทนพนท

A = � f(x)4

1dx

= � (2x + 1)dx4

1

= x2 + x �41�

= (16 + 4) − (1 + 1) = 20 – 2

A = 18ตารางหนวย

พนท A เทากบ 18 ตารางหนวย

ดงนน การหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรง บนแกน xในชวง[a, b]

1. พนทปดลอมเปนรปสามเหลยม

A = 12

× (b − a) × |f(a)| = ∫ f(x)dxba ตารางหนวยเมอ Aแทนพนททปดลอม

16

2. พนทปดลอมเปนรปสเหลยมคางหม

A = 12

× {f(a) + f(b)} × (b − a) = ∫ f(x)dxba ตารางหนวยเมอ Aแทนพนททปดลอม

2.อธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน 𝐱𝐱ในชวง [𝐚𝐚,𝐛𝐛]โดยการใชโปรแกรม GSP

ตวอยางเชน

การหาพนททปดลอมดวยกราฟ f(x) = x2 + 5บนชวง [0,4]และแกน xบนชวง[0,4]แบงเปนชวงยอยทกวางเทาๆกน n

ชองยอย ซงแตละชองจะกวาง ∆xk = 4−0n

= 4n

จดปลายชวงยอยตางๆ คอ 0, 4n

, 8n

, 12n

, … , 4(n−1)n

, 4nn

= 4

2.1การแบงพนทยอยๆ

กรณท 1แบงพนทแบบขาด

ภาพท 5แสดงการหาพนทใตกราฟเสนโคงแบบขาดโดยการใชโปรแกรม GSP

กรณท 2แบงพนทแบบเกน

17

ภาพท 6แสดงการหาพนทใตกราฟเสนโคงแบบเกนโดยการใชโปรแกรม GSP

เปรยบเทยบการหาพนทใตเสนโคงระหวางการแบงพนทแบบเกนกบการแบงพนทแบบขาด จะไดวา

- การแบงพนทแบบเกนเมอเพมจานวนชองเลกๆ(𝑛𝑛)เมอ𝑛𝑛 → ∞คาของพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงจะลดลง

และเขาใกลคาของพนทจรงทไดจากการคานวณโดยใชทฤษฎ เทากบ 41.33 ตร.หนวย

- การแบงพนทแบบขาด เมอเพมจานวนชองเลกๆ(𝑛𝑛)เมอ𝑛𝑛 → ∞คาของพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงจะ

เพมขนและเขาใกลคาของพนทจรงทไดจากการคานวณโดยใชทฤษฎเทากบ 41.33 ตร.หนวย)

2.2 การหาพนทโดยตรง

กรณท 1 โดยใชโปรแกรม GSP

ภาพท 7 แสดงการหาพนทใตกราฟเสนโคง โดยใชโปรแกรม GSP คานวณโดยตรง

กรณท 2 โดยการปรพนธจากดเขต

การหาพนททปดลอมดวยกราฟ f(x) = x2 + 5 บนชวง [0,4] และแกน x

ให A แทนพนททปดลอมของกราฟบนชวง [0,4] และแกน x

A = ∫ f(x)dx𝑏𝑏𝑎𝑎 ตารางหนวย

A = �(𝑥𝑥2 + 5)dx4

0

= 𝑥𝑥3

3+ 5𝑥𝑥 �

40�

= �643

+ 20� − (0 + 0)

= 1243

ตารางหนวย

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

2

-5 5

ba

18

พนทA เทากบ 41.33 ตารางหนวย

เปรยบเทยบการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงระหวางการแบงเปนพนทยอยๆกบการคานวณโดยตรง

โดยใชโปรแกรม GSP

ภาพท 8แสดงการเปรยบเทยบการหาพนทใตกราฟเสนโคงระหวางการแบงเปนพนทยอยๆกบการคานวณโดยตรง

โดยใชโปรแกรม GSP

จากภาพจะเหนวา การหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงโดยการแบงพนทเปนยอยๆเมอจานวนชองเลกๆนน

มากขนเรอยๆจะไดคาทใกลเคยงกบการคานวณโดยตรง โดยโปรแกรม GSPมากยงขน

19

บทท 5

สรปผลและขอเสนอแนะ

ผจดทาโครงงานขอนาเสนอผลการดาเนนงาน ดงน

1. เพออธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงบนแกน xในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรม GSP

2. เพออธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน xในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรม GSP

1.เพออธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงบนแกน xในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรม GSP

การหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนตรงบนแกน xในชวง [a, b]

1.1 ถากราฟ y = f(x) ตดแกน x ท a จะไดพนทปดลอมเปนรปสามเหลยม สามารถหาพนททปดลอมได คอ

พนทรปสามเหลยม = 12

× ฐาน × สงซงมคาเทากบ A = ∫ f(x)dx = F(b) − F(a)ba

เมอ Aแทนพนท และเมออธบายดวยการใชโปรแกรม GSP จะไดพนทเทากน

1.2 ถากราฟ y = f(x)บนแกน xในชวง [a, b]พนททปดลอมจะเปนรปสเหลยมคางหม สามารถ

หาพนทโดยการใชสตร พนทสเหลยมคางหม = 12

× ผลบวกของดานคขนาน × สง

ซงมคาเทากบ A = ∫ f(x)dx = F(b) − F(a)ba ตารางหนวย และเมออธบายโดยใช

โปรแกรม GSP จะมพนทเทากน

2.เพออธบายการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน xในชวง [a, b]โดยการใชโปรแกรม GSP

กราฟ y = f(x)ทมกราฟเปนรปเสนโคง ในการหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงคอนขางมความซบซอน แต

สามารถอธบายได โดยการแบงพนททปดลอมเปนชองเลกๆ แลวนาพนททอยในชองเลกๆ นนมาบวกกน

2.1 การแบงพนทแบบเกนเมอเพมจานวนชองเลกๆ(n)เมอn → ∞คาของพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงจะลดลงและ

เขาใกลคาของพนทจรงทไดจากการคานวณโดยใชทฤษฎ

2.2 การแบงพนทแบบขาด เมอเพมจานวนชองเลกๆ(n)เมอn → ∞คาของพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงจะเพมขน

และเขาใกลคาของพนทจรงทไดจากการคานวณโดยใชทฤษฎ

2.3 การคานวณโดยตรง โดยใชโปรแกรม GSP จะไดคาของพนทจรง ซงเทากบการคานวณโดยการปรพนธจากดเขต

แตสะดวกและรวดเรวกวาการปรพนธจากดเขต

ขอเสนอแนะ

1. การหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน xในชวง [a, b]โดยใชทฤษฎ ควรศกษาทฤษฎใหเขาใจอยาง

ชดเจน

2. การหาพนททปดลอมดวยกราฟเสนโคงบนแกน xในชวง [a, b]โดยใชโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad (GSP) ควรศกษาการใชโปรแกรมใหเขาใจอยางชดเจน

20

บรรณานกรม

กระทรวงศกษาธการ. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6. กรงเทพฯ : ลาดพราว, 2553.

ปรพนธของฟงกชน.[ออนไลน].เขาถงไดจาก: www.pnu.ac.thwebpnufile_egnfilesmath1(1).doc?.

(วนทสบคนขอมล : 16 ธนวาคม 2555).

ลมตและความตอเนอง.[ออนไลน].เขาถงไดจาก: mathstat.sci.tu.ac.th/~charinthip/.../MA111/Chapter1-

complete.pdf.(วนทสบคนขอมล : 10 ธนวาคม 2555).

สธรา แกวบญเรอง.การเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตร เรองกาหนดการเชงเสน

การแกปญหาคณตศาสตร และความพงพอใจตอวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6

ระหวางการสอนโดยใชสอโปรแกรม GSP กบการสอนปกต. มหาสารคาม : ภาควชาวจยและพฒนา

การศกษา คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม, 2555.

อนพนธของฟงกชน.[ออนไลน].เขาถงไดจาก: as.nida.ac.th/th/images/stories/download/Math.../Ch-

3%20Diff.pdf .(วนทสบคนขอมล : 14 ธนวาคม 2555).