ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ...

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра теории и методики обучения математике

Выпускная квалификационная работа

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ

УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

УЧАЩИХСЯ 5-6-Х КЛАССОВ

Работу выполнила

студентка 151 группы

направления подготовки

44.03.05 Педагогическое

образование, профили

«Математика и

Информатика»

Чиркова Злата Сергеевна

________________ подпись

«Допущена к защите»

Зав. кафедрой теории и

методики обучения

математике

____________ ___________ дата подпись

Руководитель:

канд. пед. наук, доцент

кафедры теории и методики

обучения математике

Васильева Галина Николаевна

________________ подпись

ПЕРМЬ

2016

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3

ГЛАВА 1. СИСТЕМНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД КАК ОСНОВА

ФОРМИРОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ ................ 6

1.1. Сущность системно-деятельностного подхода в обучении ................... 6

1.2. Процесс решения текстовой задачи как вид деятельности учащихся 10

1.2.1. Текстовые задачи в обучении математике ...................................... 10

1.2.2. Процесс решения задачи как вид деятельности в обучении

математике ....................................................................................................... 17

ГЛАВА 2. ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ

ДЕЙСТВИЯ В СТРУКТУРЕ ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ................... 30

2.1. Общий прием решения задач как сложное составное универсальное

учебное действие ................................................................................................ 30

2.2. Метод моделирования в обучении математике ..................................... 35

2.3. Формирование метода моделирования при обучении учащихся 5-6-х

классов решению задач ..................................................................................... 41

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 52

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................................... 54

Приложение «Познавательные универсальные учебные действия и их

востребованность на этапах процесса решения задачи как деятельности» .... 57

3

ВВЕДЕНИЕ

Программа развития универсальных учебных действий в системе

общего образования отвечает новым социальным запросам, так как сейчас

мы переходим из индустриального в информационное общество, которое

основано на знаниях. Процессы информатизации, быстро обновляющиеся

знания и профессии требуют непрерывного образования. Новые социальные

запросы определяют цели образования как общекультурное, личностное и

познавательное развитие учащихся, обеспечивающие такую ключевую

компетенцию образования как «научить учиться».

В связи с внедрением ФГОС в 2011 году была предложена разработка

модели программы развития универсальных учебных действий [20], в одном

из разделов которой представлены основные виды познавательных

универсальных учебных действий (УУД). Согласно структуре

познавательных УУД различают общеучебные и логические универсальные

учебные действия.

В разработке модели программы развития универсальных учебных

действий в качестве сложного составного логического действия

рассматривается общий прием решения задач [Там же]. Его формирование

очень важно при обучении математике. Но, вопреки этому, проведенное

исследование позволяет сделать вывод о том, что обычно существенное

внимание уделяется не процессу решения задачи, а решению задач по

образцу. В связи с этим учащиеся затрудняются самостоятельно

анализировать и решать задачи различных типов. Поэтому проблема

овладения общим приемом решения задач актуальна, и нужно формировать

его при обучении математике, начиная с начальной школы.

В контексте данного исследования большое значение имеют текстовые

(сюжетные) задачи. В обучении решению такого вида задач одним из важных

умений, которое должно быть сформировано у учащихся, является

4

моделирование. При изучении структуры задачи учащиеся должны уметь

строить модель текста (преобразовывать словесную модель в схему или

таблицу). При поиске плана решения восходящим анализом можно построить

мысленную или материализованную модель решения задачи в виде графа.

При осуществлении плана решения учащийся должен уметь преобразовывать

модель текста задачи в математическую модель и совершать дальнейшую

работу с этой моделью. Для обучения учащихся умению работать над

задачей, учитель должен знать, умеют ли дети изучать задачу (строить

модель текста, отыскивать план решения…), и затруднения в решении задач,

которые испытывают учащиеся. Целесообразно на ранних этапах

диагностировать их умение моделировать и продолжать его формирование, в

том числе, и во внеклассной работе, уделяя этому должное внимание.

Цель данной выпускной квалификационной работы – выявить

возможности формирования познавательных универсальных учебных

действий (УУД) в процессе решения текстовых задач.

Задачи:

выполнить анализ литературы, раскрыть сущность системно-

деятельностного подхода в обучении;

на основе анализа психолого-педагогической литературы раскрыть

сущность моделирования как метода научного познания;

выявить роль текстовых задач в обучении математике;

разработать примеры решения задачи как деятельности;

установить место формирования познавательных УУД в структуре

процесса решения задачи;

выделить виды моделей, имеющих место в процессе решения

задачи как деятельности и проиллюстрировать их;

разработать диагностические материалы для оценки

сформированности метода моделирования у младших школьников.

5

Объектом данного исследования является процесс обучения

математике в 5-6-х классах, предметом – формирование познавательных

универсальных учебных действий в процессе решения текстовых задач в

5-6-х классах.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка

литературы, который содержит 36 источников. В работе представлено 7

таблиц и 17 рисунков.

В первой главе представлено описание сущности системно-

деятельностного подхода в обучении, а также структура процесса решения

задачи как деятельности.

Во второй главе показана востребованность познавательных УУД в

процессе решения задачи как деятельности, представлено описание понятий

«модель» и «моделирование», рассмотрены этапы моделирования и

необходимые требования к нему, представлена классификация

математических моделей и приведены их примеры. Показано место

моделирования в процессе решения арифметических задач, описаны

результаты апробации, целью которой была диагностика сформированности

метода моделирования у учащихся 5-х классов, а так же разработаны

диагностические задания на определение сформированности метода

моделирования у учащихся 5-6-х классов.

Промежуточные результаты исследования ежегодно представлялись в

виде докладов на осенних и весенних научных конференциях студентов.

Опубликованы тезисы докладов: «Обучение решению арифметических

задач» (2013 год), «Формирование познавательных универсальных учебных

действий у учащихся 5-6-х классов в процессе решения задач» (2016 год),

состоялось выступление с одноименным докладом на семинаре учителей.

Также получена грамота за второе место в конкурсе научно-

исследовательских работ студентов математического факультета ПГГПУ

(2014–2015 учебный год) за работу «Метод моделирования в обучении

решению сюжетных арифметических задач в 5-6-х классах».

6

ГЛАВА 1. СИСТЕМНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД

КАК ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ

УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ

1.1. Сущность системно-деятельностного подхода в обучении

Для того чтобы раскрыть суть системно-деятельностного подхода,

рассмотрим сущность категорий «деятельность» и «система». Деятельность,

в том числе социально-ведущая, – это целеустремленная система, нацеленная

на результат [3]. Подход к процессу учения как к деятельности

подразумевает, что знания усваиваются в процессе деятельности учащегося.

Это главное отличие от традиционного обучения, цель которого – усвоение

знаний, умений и навыков. «В деятельности изменяется не только сам

объект, но и отношение субъекта к объекту. Это означает, что сама

деятельность носит динамический характер: жизненные позиции субъекта

(отношения, мотивации и т.д.) к объекту меняются в соответствии с ходом

деятельности. В этом смысле деятельность является открытой системой для

формирования личности» [7, С. 39].

Деятельность в процессе обучения подразумевает активную позицию

обучающегося в познании, начиная с осознания и постановки цели урока,

целей отдельных этапов урока, активности ученика в реализации каждого из

фрагментов урока, а также в оценке итогов урока и осознании значимости

рефлексии. Это касается не только уроков, но и всегоучебно-воспитательного

процесса, включая внеурочную работу в школе и выполнение домашних

заданий [7].

«Целостность деятельности выступает как единство целей, на которые

она направлена, и мотивов, из которых она исходит. При этом мотивы и цели

деятельности, в отличие от мотивов и целей отдельных действий, носят

обобщенный характер, выражая общую направленность личности. В самом

7

начале школьной жизни у ребенка еще нет потребности в теоретических

знаниях как психологической основе учебной деятельности. Эта потребность

возникает в процессе усвоения им элементарных теоретических знаний при

совместном с учителем выполнении простейших учебных действий,

направленных на решение соответствующих учебных задач» [7, С. 44].

«Если рассматривать применение деятельностного подхода в учебном

процессе как составляющую методологии методики изучения математики, то

это предполагает конструирование процедуры обучения математике

(деятельности), адекватной изучаемому объекту или явлению. Это означает,

что методика изучения, ознакомление с его свойствами (аксиомами,

постулатами, теоремами) и применение всей совокупности изученных

существенных свойств нового понятия в решении задач, должна

разрабатываться согласно структуре деятельности» [6, С. 7].

Деятельностный подход в обучении математике можно реализовать

через формирование основных видов математической деятельности

учащихся: «введение понятия; изучение утверждений (обнаружение,

формулировка аксиомы или теоремы, доказательство теорем); процесс

решения задачи [6, С. 70].

Понятие «система» определяется как совокупность элементов,

находящихся в определенных связях и отношениях друг с другом, которые

образуют определенную целостность. Целостность – основное

характеристическое свойство системы – предполагает принципиальную

несводимость системы к сумме образующих ее частей и невыводимость из

какой-либо ее части свойств как целого всей системы. Целостное, системное

изучение всех компонентов, включающее и связи между ними, определяет

новое качество системы.

Итак, системный подход в исследовании предполагает: выделение

состава элементов, входящих в систему; установление структуры (связей

между элементами системы); описание функций каждого из элементов, его

роли и значения в системе. В то же время системный подход к анализу

8

явлений и процессов предполагает выделение принципов функционирования

системы. Последние определяются в основном внешней средой.

Системный подход к анализу любого педагогического процесса

позволил выделить компоненты системы, которые его характеризуют: цели и

задачи, содержание, методы, формы организации, достигаемые результаты.

Таким образом, «в любом педагогическом процессе выделяются следующие

образующие педагогическую систему компоненты: целевой,

содержательный, деятельностный и результативный» [28, С. 15].

«Системный анализ деятельности, сознания и личности, выполненный

в рамках педагогической психологии, привел к практически значимым

выводам, и потому на современном этапе развития российского образования

системно-деятельностный подход является методологической базой ФГОС

основного общего образования» [7, С. 40].

Состав системно-деятельностного подхода к результатам образования

определяется знаниями, умениями и навыками, которыми должен овладеть

обучающийся, а также, дополняется «деятельностной» составляющей,

отражающей представления о структуре учебной деятельности на разных

этапах обучения и при разных формах (индивидуальной или совместной) ее

организации.

Системно-деятельностный подход на каждой ступени общего

образования позволяет:

– представить цели образования в виде системы ключевых задач,

отражающих направления формирования качеств личности;

– на основании построенных целей обосновать не только способы

действий, которые должны быть сформированы в учебном процессе, но и

содержание обучения в их взаимосвязи;

– выделить основные результаты обучения и воспитания как

достижения личностного, социального, коммуникативного и познавательного

развития учащихся [1, С. 141].

9

В системно-деятельностном подходе выделяется результат

деятельности как целенаправленной системы. Задача школы – не дать объем

знаний, а научить учиться. Системно-деятельностный подход приводит к

пониманию того, чем являются в широком смысле слова стандарты

образования. Он нацелен на развитие личности, на формирование

гражданской идентичности, указывает и помогает отследить ценностные

ориентиры, которые встраиваются в новое поколение стандартов

российского образования [3]. «Системно-деятельностный подход

основывается на теоретических положениях концепции Л.С. Выготского,

А.Н. Леонтьева, Д.Б. Эльконина, П.Я. Гальперина, раскрывающих основные

психологические закономерности процесса развивающего образования и

структуру учебной деятельности учащихся с учетом общих закономерностей

возрастного развития детей и подростков» [2, С. 15-16].

Следование этому подходу при формировании содержания общего

образования предполагает, в частности, анализ видов ведущей деятельности

(к которым относятся игровая, учебная, общение), выделение универсальных

учебных действий, порождающих компетенции, знания, умения и навыки.

Задача педагога при введении нового материала заключается не в том,

чтобы все наглядно и доступно объяснить, показать и рассказать. Педагог

должен организовать деятельность детей так, чтобы они сами пришли к

решению проблемы и сами объяснили, как надо действовать в новых

условиях. Основной задачей педагога при таком подходе является

организация учебной деятельности таким образом, чтобы у учащихся

сформировались потребности в осуществлении творческого преобразования

учебного материала и способности к этому с целью овладения новыми

знаниями в результате собственного поиска. Соответственно ключевым

технологическим элементам технологии системно-деятельностного подхода

выступает ситуация актуального активизирующего затруднения, целью

которой является личный образовательный результат, полученный в ходе

специально организованной деятельности: идеи, гипотезы, версии, способы,

10

выраженные в продуктах деятельности (схемах, моделях, опытах, текстах,

проектах и пр.) [29].

На первый план выдвигаются технологии организации коллективной

мыслительной деятельности и конструирование эвристической ситуации, а

преобладающими являются методы, которые обеспечивают саморазвитие,

самоактуализацию человека, позволяют ему самому искать и осознавать

подходящие именно для него способы решения жизненных ситуаций.

Исходя из этого, функция педагога заключается не в обучении, а в

сопровождении учебного процесса: подготовке дидактического материала

для работы, организации различных форм сотрудничества с учащимися,

активном участии в обсуждении результатов их деятельности через

наводящие вопросы, создании условий для самоконтроля и самооценки. При

этом результаты занятий допускают неокончательное решение главной

проблемы, что побуждает обучающегося к поиску возможностей других

решений, к развитию ситуации на новом уровне [29].

Таким образом, необходимо сформировать такие виды деятельности,

которые включают в себя конкретные знания и обеспечивают их

применение в определенных границах.

1.2. Процесс решения текстовой задачи как вид деятельности учащихся

1.2.1. Текстовые задачи в обучении математике

При обучении математике важную роль играют текстовые задачи. Это

обусловлено тем, что в методической схеме изучения числовых множеств

(числовая содержательная линия) [11] последним пунктом рассматриваются

задачи, отражающие практическое применение чисел рассматриваемого

множества в жизни. Если мы рассматриваем множество рациональных чисел,

то это задачи «на проценты», «на дроби», задачи «на движение» в различных

ситуациях, «на работу». При расширении числовых множеств также

рассматриваются практические задачи, которые показывают потребность в

11

новом виде числа из-за невыполнимости какой-либо операции на

предыдущем множестве. При изучении содержательной линии уравнений и

неравенств, решая текстовые (сюжетные) задачи, учащийся понимает, что с

помощью уравнений, неравенств и их систем можно описать многие

процессы и ситуации.

В методико-математической и психолого-педагогической литературе

выделяют различные трактовки понятия «текстовая задача».

• «Под текстовыми задачами подразумевают задачи, имеющие

житейское, физическое содержание» [22, С. 5].

• «Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который

можно получить арифметическим...», алгебраическим или графическим

способом [21, С. 111].

• «Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на

естественном языке с требованием дать количественную характеристику

какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие

некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого

отношения» [26, С. 43].

• Любая задача «представляет собой требование или вопрос, на

который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны

в ней» [31, С. 6].

Из данных трактовок видно, что в задаче обязательно должен быть

заключен какой-то вопрос, а само условие текстовой (сюжетной) задачи

является примером какой-либо практической ситуации, встречающейся в

жизни. Если нет вопроса, то нет и задачи. Так как ответ на вопрос задачи

может быть получен путем совершения некоторых арифметических действий

или с помощью уравнений и неравенств, то в ней должно заключаться

требование найти то или иное число (или числа). Кроме того, в условии

задачи должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми

будет найдено искомое. Выбор действия будет зависеть от связей между

данными, которые также в явном или неявном виде даны в условии задачи.

12

Будем пользоваться следующей трактовкой понятия «текстовая

задача»: Задача, ответ на вопрос которой находится в результате выполнения

арифметических действий над числами или в результате решения уравнений,

неравенств и их систем, называется текстовой (сюжетной) задачей. Понятия

«текстовая» и «сюжетная» задача в данном случае используются в одном и

том же смысле, как и в работах многих ученых.

Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности

учащихся. Решая задачи, учащиеся приобретают опыт математической

деятельности. Задачи являются одним из средств развития у детей

логического мышления, смекалки, сообразительности. В работе с задачами

совершенствуются умения проводить анализ и синтез, обобщать и

конкретизировать, раскрывать основное, выделять главное в тексте задачи и

отбрасывать несущественное, второстепенное. Поэтому важно, чтобы

учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре,

умел решать такие задачи различными способами. Основными способами

решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в

результате составления и решения уравнения, неравенства или их систем.

В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода

рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же

задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях

этой задачи.

«Содержание раздела «Арифметика» служит базой для дальнейшего

изучения учащимися математики, способствует развитию их логического

мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также

приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни»

[24, С. 4]. Согласно Фундаментальному ядру содержания общего

образования в содержание раздела «Арифметика» входит: «Решение

текстовых задач арифметическим способом» [33, С. 37].

13

Каждая текстовая задача включает числа данные и искомые. В

структуру задачи входят условие и вопрос (требование). В условии задачи

указываются связи между данными числами, а также между данными и

искомыми. Эти связи и определяют выбор арифметического действия или

выбор неизвестного. В задаче может быть и несколько условий, которые

могут называться элементарными. Требования могут быть сформулированы

как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может

быть несколько. Величину, которую требуется найти, называют искомой

величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми, или

неизвестными. Ответ на вопрос задачи получается в результате ее

решения [35]. Установив эти связи, ребенок довольно легко приходит к

пониманию смысла арифметических действий и значения понятий «при-

бавить», «вычесть», «получится», «останется». Решая задачи, дети

овладевают умением находить зависимость величин и смысловым чтением.

Рассмотрим пример задачи.

Задача 1. Волк заметил зайчонка в двадцати метрах, когда тому до

спасительного леса оставалось 250 м. Зайчиха-мать, желая отвлечь

преследователя от детеныша, перебегает дорогу волку перед самым носом.

Волк остановился в нерешительности, не зная чему отдать предпочтение –

количеству или качеству мяса. Лишь одна секунда понадобилась волку,

чтобы принять правильное решение. Какое решение должен был принять

волк, и какой вывод сделать, если скорость зайчонка 540 мин

м, волка

600 мин

м, а скорость зайчихи не меньше скорости волка?

Данные числа: 20 м – расстояние между волком и зайчонком, 250 м –

осталось зайчонку до спасительного леса, 1 сек – время, которое волк

оставался на месте и думал, 540 мин

м – скорость зайчонка, 600

мин

м –

скорость волка.

14

Связь между данными: зайчиха пробежала перед носом волка, скорость

зайчихи не меньше скорости волка.

Решение нестандартных задач с занимательным сюжетом, условие

которых завуалировано и является сложным (содержит в себе несколько

условий) требует сформированности общеучебного УУД «смысловое

чтение». Для решения таких задач «учащийся должен сам изобрести способ

решения» [8, С. 35]. Именно в таких задачах смысловое чтение востребовано

больше, чем в задачах школьного курса 5-6-х классов, но и в последних оно,

естественно, тоже востребовано.

Все текстовые задачи, решаемые арифметическим способом, делятся на

простые и составные. Это зависит от количества действий, выполняемых для

их решения. Задача, для решения которой арифметическое действие нужно

выполнить только один раз, называется простой. Задача, для решения

которой надо выполнить несколько действий, называется составной.

В математике все методы решения задач можно разделить на

эвристические и алгоритмические. Эвристический метод подразумевает

отыскание основной идеи решения, одного из общих методов решения,

называемого эвристикой. «Эвристики помогают квалифицированно делать

попытки поиска решения» [8, С. 36]. Примеры эвристик: восходящий анализ,

переформулирование, рассмотрение крайних случаев, выделение подзадач,

«моделирование (составление схем, алгоритмов, графов разного уровня,

уравнений, систем уравнений и др.)» [16, С. 73].

Алгоритмический метод подразумевает использование или составление

алгоритмов при решении задач. Существуют алгоритмы распознавания

(признаки делимости) и алгоритмы предобразования (алгоритмы по

применению формул). «Алгоритм может быть представлен в виде таблицы,

правила, формулы, определения, описания. Алгоритм может

регламентировать действие с различной степенью подробности –

свернутости, в зависимости от того, кому он предназначен» [8, С. 49].

15

В ходе исследования можно условно выделить три способа решения

текстовых задач, решаемых арифметическим способом:

1. Синтетический – последовательность выводов из условия задачи, в

том числе, арифметических действий, приводящих к результату (см. решение

задачи 5, с. 23‒24). Компонентами данного приема являются данные или

найденные в предыдущем действии числа.

Решение задачи 1 (см. с. 13):

1) Если волк побежит за зайчихой-матерью, то не сможет её догнать,

так как скорость её движения большая или равная скорости волка.

2) Если волк побежит за зайчонком: Так как волк отвлекся на 1

секунду, зайчонок успел пробежать 9 м (540мин

м =

с 60

м 540= 9

с

м).

Следовательно, ему осталось бежать до спасительного леса 250 – 9 = 241 (м).

Сравним время, за которое волк и зайчонок доберутся до леса. 540

241 (мин) –

время зайчонка. 540

243

960

927

600

270

(мин). Очевидно, что волку понадобится

больше времени, чтобы добраться до леса, следовательно, он не сможет

догнать зайчонка [12].

Ответ: Ни одного не поймает.

2. Индуктивное рассуждение – рассуждение с использованием

рассмотрения конкретных (частных) ситуаций.

Задача 2. Мой дед старше моего отца на 32 года, а мой отец на столько

же старше меня. Сколько сейчас лет каждому из нас, если три года тому

назад нам всем вместе не было и ста лет? [13]

Решение:

Когда сын только родился, его отцу было 32 года, а деду 64 года.

Когда сыну исполнился 1 год, его отцу было 1 + 32 = 33 (года), а деду

1 + 64 = 65 (лет).

1 + 33 + 65 = 99 < 100

Когда сыну исполнилось 2 года:

16

2 + 34 + 66 = 102 > 100 – не подходит по условию.

Тогда сейчас сыну 1 + 3 = 4 (года), отцу 32 + 4 = 36 (лет),

деду 64 + 4 = 68 (лет).

Ответ: Сейчас 4 года сыну, 36 лет отцу и 68 лет деду.

3. С помощью диаграмм – условие задачи отображаем в виде схемы.

Задача 3. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших

корзинах?» «В моей корзине половина числа рыб, находящихся в корзине у

него, да еще 10», — ответил первый. «А у меня в корзине столько рыб,

сколько у него, да еще 20», — сказал второй. Сколько же рыб у обоих? [14]

Решение:

После того, как найден способ решения, он переводится в знаково-

символическую форму.

Половина рыб второго – это 10+20= 30(рыб). Тогда всего у второго

30 + 30 = 60 (рыб), а у первого 30 + 10= 40 (рыб). Следовательно, всего

60 + 40 = 100 (рыб).

Ответ: 100 рыб всего.

В дальнейшем для решения текстовых задач будем использовать

последний способ – с помощью диаграмм. Этот выбор обусловлен тем, что

изображение условия задачи позволяет лучше понять ее, увидеть связи

между данными в задаче, которые не всегда видны сразу (из прочтения

текста). Наглядный пример этого – задача 3. При ее решении важную роль

сыграло построение модели текста задачи, которая позволила увидеть план

решения задачи.

20

30 30

II

10 I

Рис.1. Модель текста задачи 3.

17

По тому, насколько у учащегося развито умение решать текстовые

задачи, можно судить об уровне его математического развития. Математику

любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно,

научив детей решать задачи, мы окажем влияние на их интерес к математике

и на развитие их мышления и речи. Развивать эти умения у учащихся учитель

может применяя системно-деятельностный подход в обучении математике.

1.2.2. Процесс решения задачи как вид деятельности

в обучении математике

Любая деятельность состоит из действий. Мотив порождает

деятельность, а цели задают действия. Целостность деятельности состоит в

единстве целей и мотивов. «При этом мотивы и цели деятельности, в отличие

от мотивов и целей отдельных действий, носят обобщенный характер» [7].

Достижение цели осуществляется конкретными действиями. Действие – это

процесс, подчиненный сознательной цели. Если мотив деятельности

трансформируется в цель, то деятельность – в действие.

Существуют различные виды деятельности, используемые в обучении

математике: деятельность по изучению теоремы или правила, деятельность

при изучении определения и процесс решения задачи как деятельность.

Процесс решения задачи деятельность осуществляется для усвоения нового

математического факта (понятия или его свойства, алгоритма, метода).

Причем часто учащиеся не осознают данную потребность [7]. Цели данного

процесса задают определенные действия, представляющие собой структуру

этой деятельности.

Процесс решения задачи – это деятельность, которая состоит из

отдельных действий и составляющих их операций [10]. Данные действия

(умения) и операции необходимо формировать у учащихся последовательно

и целенаправленно [10]. В учебном пособии «Теория и технология обучения

18

математике в средней школе» выделяются следующие умения, которые

формируются в процессе решения задачи как деятельности:

1) Анализ условия задачи (выделение данных, требований,

соотнесение данных с требованием);

2) Установление теоретических знаний, которые ассоциируются у

школьников с каждым элементом условия и требования;

3) Выведение следствий и подведение под понятие, преобразование

аксиом, определений понятий, формулировок теорем в способы

деятельности;

4) Владение способами решения ключевых задач, к которым сводится

решение более сложных;

5) Составление новых задач (изменение условия задачи, составление

обратной и т.п.);

6) Владение методами математической деятельности (общими и

специфическими, анализом и синтезом);

7) Решение задачи разными методами.

Каждый этап процесса решения складывается из элементарных

действий (основных умений) или операций. Умение выполнять эти действия

в текстовых задачах, в частности, необходимо формировать у учащихся. При

работе с текстовой сюжетной задачей в пособии «Теория и технология

обучения математике в средней школе» выделяются следующие этапы:

1. Ознакомление с текстом задачи и анализ ее содержания.

Сначала ученики читают задачу (вслух, про себя или по схеме). После

чего они начинают анализировать текст. В анализ входят следующие умения:

1.1. Установка количества элементов, имеющихся в задаче;

1.2. Выделение величин в тексте;

1.3. Выделение зависимостей между величинами и фиксация этих

связей;

1.4. Выделение и фиксирование искомых величин.

19

После выполнения данных действий составляется модель текста задачи

(схематическая запись).

2. Схематическая запись задачи.

Модель текста задачи можно представить следующими способами:

2.1. Схема;

Понедельник – 148 м

Вторник

Среда

2.2. Рисунок;

2.3. Таблица.

Было Стало

x 3x + 15

Иногда, после составления модели, можно сразу прийти к решению

задачи, но чаще всего это лишь начало его поиска.

3. Поиск плана решения задачи.

На данном этапе учеником применяются следующие умения:

переводить отношения и зависимости между величинами на математический

язык, и, в итоге, получить математическую модель задачи. После чего и

осуществляется решение.

Существуют другие структуры процесса решения задачи как

деятельности, например, структура деятельности, состоящая из пяти

действий [6]. В процессе решения задачи как деятельности можно прийти к

решению любой текстовой задачи. Мотивом процесса решения задачи (ПРЗ)

?

20

является нахождение способа решения задачи, который задает деятельность,

состоящую из следующих действий:

1) изучение структуры задачи (чтение, построение наглядной модели);

2) поиск плана решения задачи (восходящий анализ);

3) осуществление плана решения (синтез);

4) проверка решения задачи;

5) изучение полученных результатов [6].

Данные действия задают следующие цели соответственно: понять

задачу, найти способ ее решения, получить ответ, установить правильность

полученного ответа и последнее – рефлексия действий, выполненных

учащимся [6]. Естественно, что таким образом следует решать задачи,

которые не встречались ранее и еще не открыт способ их решения.

Постепенно приведенные действия будут обращаться в операции

(свернутость рассуждения), а процесс решения задачи будет обращаться в

действие. Таким образом, процесс решения задачи как деятельность

позволяет успешно решать не встречавшиеся ранее задачи, так как эта

деятельность направлена на поиск решения, в отличие от традиционного

решения задач по образцу.

Рассмотрим примеры процесса решения задачи как деятельности:

Задача 4. Сережа стал на велосипеде догонять Наташу, идущую

пешком, когда между ними было 600 метров, и догнал ее через 4 минуты.

Найдите скорость, с которой шла Наташа, если ее скорость в 4 раза меньше

скорости Сережи [17, с. 326].

Действие изучения структуры задачи: Учащиеся устанавливают связи

между объектами в задаче.

– О чем идет речь в задаче? О сближении двух движущихся объектов.

– Какие величины используются в задаче? Расстояние, время, скорость.

600 м

Через 4 мин

VНаташи (1 часть) VСережи (4 части)


21

Поиск плана решения задачи: Каков главный вопрос задачи?

Решение:

1) 600 : 3 = 200 (м) – расстояние, пройденное Наташей;

2) 600 + 200 = 800 (м) – расстояние, пройденное Сережей;

3) 800 : 4 = 200 (м/мин) – скорость Сережи;

4) 200 : 4 = 50 (м/мин) – скорость Наташи

Проверка: Сережа стал на велосипеде догонять Наташу, идущую

пешком со скоростью 50 м/мин, и догнал ее через 4 минуты. Найдите

расстояние, которое было между ними первоначально, если скорость, с

которой шла Наташа в 4 раза меньше скорости Сережи.

Решение обратной задачи:

1) 50 ∙ 4 = 200 (м/мин) – скорость Сережи;

2) 50 ∙ 4 = 200 (м) – расстояние, пройденное Наташей;

3) 200 ∙ 4 = 800 (м) – расстояние, пройденное Сережей;

4) 800 – 200 = 600 (м) – первоначальное расстояние.

Рис.3. Поиск плана решения задачи 4.

Расстояние между

Сережей и Наташей

600 м Во сколько раз расстояние Сережи

больше расстояния Наташи

В ?

раз

Расстояние Сережи ? м Время Сережи 4 мин

Во сколько раз скорость Сережи

больше скорости Наташи

В 4

раза



В 4

раза

При равномерном

прямолинейном движении

отношение скоростей равно

отношению расстояний

Скорость Сережи ? м/мин

Скорость Наташи ? м/мин

22

Изучение полученных результатов:

Первоначальное расстояние в обратной задаче совпало с расстоянием в

исходной, поэтому задача решена верно.

Ответ к исходной задаче:50 м/мин – скорость Наташи

Поиск решения данной задачи можно осуществить и таким образом:

Заметим, что в ходе поиска плана решения задачи мы пришли к тому,

что чтобы найти скорость Сережи, нужно знать скорость Наташи – а это

главный вопрос задачи. В таких случаях задача решается алгебраическим

способом – то есть составлением уравнения. Обозначим скорость Наташи за

x, тогда скорость Сережи – 4x, (4x· 4) – расстояние Сережи.

Математическая модель к данной задаче будет выглядеть следующим

образом: xx

4

60044. Отсюда x= 50. Ответ верный, так как получился таким

же, как и при решении арифметическим способом.

В данном конкретном случае, алгебраический способ решения более

очевиден и прост для понимания, чем алгебраический.


Расстояние между

Сережей и Наташей

600 м Расстояние Сережи ?

мV

Ната

ши -

(1

час

ть)

Время Сережи 4 мин

Расстояние Наташи ? м



В 4

раза

Время Наташи 4 мин




23

Задача 5. Квартира состоит из трех комнат: спальни, столовой и

кабинета. Столовая в два раза больше, чем кабинет, а спальня на 8 м2

меньше, чем столовая. Какова общая площадь трех комнат, если столовая

имеет площадь 22 м2? [17]

Действие изучения структуры задачи:

– О чем идет речь в задаче? Об отношении величин.

– Какие величины используются в задаче? Площадь.

Общая площадь – ?


Решение:

1) 22 : 2 = 11 (м2) – площадь кабинета;


22 м2

Спальня

Кабинет

Столовая

8 м2


Общая площадь квартиры ? м2

Площадь столовой 22 м2 Площадь кабинета ? м

2

Площадь спальни ? м2

Площадь столовой 22 м2

На сколько м2 площадь

столовой больше площади

спальни

На

8 м2

Во сколько площадь

столовой больше

площади кабинета

В 2

раза


24

2) 22 – 8 = 14 (м2) – площадь спальни;

3) 22 + 11 + 14 = 47 (м2) – вся площадь.

Проверка:

Квартира, площадью 47 м2,состоит из трех комнат: спальни, столовой и

кабинета. Столовая в два раза больше, чем кабинет. На сколько площадь

спальни меньше площади столовой, если столовая имеет площадь 22 м2?


1) 22 + 11 = 33 (м2) – площадь столовой и кабинета;

2) 47 – 33 = 14 (м2) – площадь спальни;

3) 22 – 14 = 8 (м2) – на столько площадь спальни меньше площади

столовой.


Первоначальная разница совпадает с разницей, полученной в обратной

задаче, следовательно, задача решена верно.

Ответ к исходной задаче: 47 м2 – общая площадь квартиры.

Задача 6. Веревку разрезали на 3 куска. В первом было 8 дм, а во

втором – на 5 дм больше, чем в третьем. В первых двух кусках вместе 1 м 7

дм. Чему равна длина третьего куска? Чему равна длина всей веревки? [18]


– О чем идет речь в задаче? Об отношении величин.

– Какие величины используются в задаче? Длина.


? дм

17 дм

8 дм


25

Поиск плана решения задачи:

Каков главный вопрос задачи?

Решение:

1) 17 – 8 = 9 (дм) – дина второго куска;

2) 9 – 5 = 4 (дм) – длина третьего куска;

3) 8 + 9 + 4 = 21 (дм) – длина веревки.

Проверка:

Веревку длиной 21 дм разрезали на 3 куска. В первом было 8 дм, а во

втором – на 5 дм больше, чем в третьем. Сколько в первых двух кусках

вместе?


1) 21 – 8 = 13 (дм) – во втором и третьем кусках вместе;

2) (13 – 5) : 2 = 4 (дм) – длина третьего куска;

3) 4 + 5 = 9 (дм) – длина второго куска;

4) 8 + 9 = 17 (дм) – в первых двух кусках вместе.


Длина веревки ? дм

Длина первого

куска

8 дм Длина

второго куска

? дм Длина третьего

куска

? дм

Длина первого

куска

8 дм Сумма длин

первого и

второго кусков

17 дм Длина

второго куска

?

дм

На сколько

второй кусок

больше третьего

5 дм


26


Первоначальная длина первых двух кусков совпадает с длиной,

полученной в обратной задаче, следовательно, задача решена верно.

Ответ к исходной задаче: 21 дм – длина веревки.

Задача 7. Длина прямоугольника 18,4 см, а площадь – 276 см2. На

сколько надо увеличить длину, чтобы при той же ширине площадь

увеличилась до 300 см2? [18]


Поиск плана решения задачи:

Каков главный вопрос задачи?

Решение:

1) 276 : 18,4 = 15 (см) – ширина прямоугольника;

Рис 9. Модель текста задачи 7.


S1 – 276 см2

? см 18,4 см

S2 – 300 см2

Рис 9. Модель текста задачи 7.

На сколько увеличить длину ? см

Площадь нового

прямоугольника

300 см2 Ширина


? см

Площадь старого


276 см2

Длина старого


18,4 см Длина нового


? см

Длина старого


18,4 см


27

2) 300 : 15 = 20 (см) – длина нового прямоугольника;

3) 20 – 18,4 = 1,6 (см) – на столько надо увеличить длину

прямоугольника, чтобы получить прямоугольник с площадью 300 см2.

Проверка:

Длина прямоугольника 18,4 см, а площадь – 276 см2. Если увеличить

длину на 1,6 см, то какой станет площадь прямоугольника при той же

ширине?


1) 276 : 18,4 = 15 (см) – ширина прямоугольника;

2) 18,4 + 1,6 = 20 (см) – длина нового прямоугольника;

3) 15 · 20 = 300 (см2) – площадь нового прямоугольника.


Первоначальная площадь нового прямоугольника совпадает с

площадью, полученной в обратной задаче, следовательно, задача решена

верно.

Ответ к исходной задаче: на 1,6 см надо увеличить длину, чтобы при

той же ширине площадь увеличилась до 300 см2.

Задача 8. Магазин продал в понедельник 148 м ткани, во вторник на 77

м больше, а в среду на 96 м меньше, чем в понедельник и вторник вместе.

Сколько метров ткани продали за три дня? [17]


Понедельник – 148 м

Вторник

Среда

Сколько продали за три дня – ?


На 77 м

больше На 96 м

меньше


28


Решение:

1) 148 + 77 = 225 (м) – продали во вторник;

2) 148 + 225 = 373 (м) – продали в понедельник и вторник вместе;

3) 373 – 96 = 277 (м) – продали в среду;

4) 148 + 225 + 277 = 650 (м) – продали за три дня.

Проверка:

Магазин продал в понедельник 148 м ткани, во вторник на 77 м

больше. На сколько метров меньше, чем в понедельник и вторник вместе

продали в среду, если за три дня продали 650 м?


1) 650 – 148 = 502 (м) – продали во вторник и среду;

2) 148 + 77 = 225 (м) – продали во вторник;

3) 502 – 225 = 277 (м) – продали в среду;

4) 148 + 225 = 373 (м) – продали в понедельник и вторник;


На сколько

во 2-ой день

продали

больше, чем

в 1-ый

Сколько продали за три дня ? м

Продали за

1-ый день

148 м Продали за

2-ой день

? м Продали

за 3-йй

день

? м

Продали за

1-ый день

148 м 77 м На сколько в

3-ий день

продали

меньше, чем

в 1-ый и

2-ой

96 м

Продали за 1-ый и 2-

ой день

? м

Продали за 1-ый день 148 м Продали за 2-ой день ? м


29

5) 373 – 277 = 96 (м) – На столько метров меньше, чем в понедельник

и вторник вместе продали в среду


Первоначальная разница с разницей, полученной в обратной задаче,

следовательно, задача решена верно.

Ответ к исходной задаче: 650 метров ткани продали за три дня.

Итак, на основе проанализированной литературы, представлено

описание понятий «деятельность» и «система», суть деятельностного и

системного подходов. На основании этого была раскрыта сущность

системно-деятельностного подхода в обучении, являющегося

методологической основой ФГОС. Показана роль текстовых задач в

обучении математике, рассмотрены и проанализированы различные

трактовки понятия «текстовая задача» и выбрана трактовка, используемая в

рамках данного исследования. Представлена структура текстовой задачи,

способы решения (арифметический и алгебраический), описаны основные

методы решения задач (эвристический и алгоритмический), выделены

собственные способы решения текстовых задач, решаемых арифметическим

способом (синтетический, индуктивное рассуждение, с помощью диаграмм).

Замечено, что при решении текстовых задач важно владеть смысловым

чтением (познавательное общеучебное УУД). Кроме того, представлено, что

такое процесс решения задачи, его структура. Приведены примеры процесса

решения задачи как деятельности. Выделены умения, формирующиеся в ходе

этого процесса, являющиеся познавательными УУД.

Таким образом, процесс решения задач как вид деятельности

способствует осуществлению главного требования ФГОС – формированию

умения школьников учиться. Откуда следует вывод о том, что необходимо

обучать учащихся процессу решения задач.

30

ГЛАВА 2. ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ

ДЕЙСТВИЯ В СТРУКТУРЕ ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

2.1. Общий прием решения задач как сложное составное

универсальное учебное действие

Как уже было сказано ранее, в основе Федерального Государственного

Образовательного Стандарта второго поколения лежит системно-

деятельностный подход, который предполагает развитие личности

посредствам формирования универсальных учебных действий. То есть

ученик должен не просто знать, но и уметь действовать. Если в

традиционном образовании главным было сформировать знания, умения и

навыки (ЗУНы), то в настоящее время к этому прибавилось и получение

результатов освоения обучения [1]. Таким образом, ФГОС устанавливает

следующие требования к результатам освоения учащимися основной

образовательной программы основного общего образования: личностным,

предметным, метапредметным. Метапредметные результаты подразумевают,

что ученик владеет межпредметными понятиями и универсальными

учебными действиями (регулятивные, познавательные, коммуникативные),

может использовать их в учебной, познавательной и социальной практике,

способен планировать и осуществлять учебную деятельность, сотрудничать с

педагогами и сверстниками, и т.д.

Цель программы развития универсальных учебных действий – научить

школьников учиться и в дальнейшем развивать способности к

самосовершенствованию и саморазвитию. Это очень пригодится учащимся в

дальнейшей жизни, поскольку в настоящее время одни инновации очень

быстро сменяют другие и для того, чтобы быть успешным, необходимо

быстро приспосабливаться к нововведениям, чему и способствуют УУД.

31

В широком значении, формирование универсальных учебных действий

формирует у учащихся «умение учиться», т. е. способность к саморазвитию и

самосовершенствованию путем осознанного и активного усвоения нового

социального опыта. В узком смысле этот термин определяется как

совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними

навыков учебной работы), обеспечивающих его способность к

самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию

этого процесса [33]. Основные виды УУД: личностные, регулятивные,

познавательные, коммуникативные, знаково-символические.

Модель программы развития универсальных учебных действий в

одном из пунктов описывает основные виды познавательных УУД. Согласно

этому различают общеучебные и логические УУД.

Общеучебные УУД включают:

• самостоятельное выделение и формулирование познавательной

цели;

• поиск и выделение необходимой информации;

• знаково-символические действия, включая моделирование;

• умение структурировать знания;

• выбор наиболее эффективных способов решения задач в

зависимости от конкретных условий;

• рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка

процесса и результатов деятельности.

Логические УУД включают:

• сравнение данных (для выделения сходств или различий, а так же

для установления общих признаков и составления классификации);

• опознание объектов (для включения их в какой-либо класс);

• анализ – выделение элементов из целого; расчленение целого на

части; синтез – составление целого из частей, в том числе самостоятельно

достраивая, восполняя недостающие компоненты;

• сериация – упорядочение объектов по выделенному основанию;

32

• классификация – отнесение предмета к определенной группе по

заданному признаку;

• обобщение – выведение общности для множества единичных

объектов на основе выделения сущностной связи;

• доказательство – установление причинно-следственных связей,

построение логической цепи рассуждений;

• подведение под понятие – распознавание объектов, выделение

основных признаков и их синтез;

• выведение следствий;

• установление аналогий.

В качестве сложного составного универсального учебного логического

действия можно рассматривать общий прием решения задач (например,

задача 4 из пункта 1.2). Его формирование очень важно при обучении

математике. Практика показывает, что существенное внимание уделяется

знакомству со специальными способами решения отдельных типов задач. В

связи с этим учащиеся не могут сами анализировать и решать различные

типы задач. Поэтому проблема овладения общим приемом решения задач

актуальна и необходимо обращать на нее внимание при обучении

математике.

Общий прием решения задач содержит: знание этапов решения задачи,

методов решения, типов задач, оснований выбора способа решения в

зависимости от умения анализировать текст задачи, а также владение

предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами,

формулами, логическими приемами и операциями.

Как было сказано ранее, процесс решения задачи как деятельность

позволяет решать не встречавшиеся ранее задачи. Следовательно, такая

деятельность формирует сложное составное логическое действие – общий

прием решения задач. Процесс решения задачи имеет 5 этапов, согласно

структуре, приведенной Васильевой Г.Н., которые осваивает учащийся.

Заметим, что на каждом из этих этапов есть возможность формировать

33

определенные познавательные универсальные учебные действия

(общеучебные и логические).

Таблица 1

Познавательные УУД в структуре ПРЗ

Действия Познавательные УУД

Общеучебные Логические

1. Изучение структуры

задачи

Смысловое чтение;

Самостоятельное выделение

и формулирование

познавательной цели;

Поиск и выделение

необходимой информации;

Знаково-символические

действия;

Моделирование.

Выявление данных в задаче,

выявление причинно-

следственных связей;

2. Поиск плана решения

задачи

Моделирование;

Умение структурировать

знания;

Выбор наиболее

эффективных способов

решения задач в

зависимости от конкретных

условий.

Восходящий анализ

3. Осуществление плана

решения

Моделирование;

Знаково-символические

действия.

Синтез

4. Проверка решения

задачи

Умение составлять

обратные и др. задачи;

Контроль и оценка

процесса и результатов

деятельности.

Обоснование правильности

полученного ответа

5. Изучение

полученных

результатов

Рефлексия способов и

условий действия;

Моделирование.

Обобщение;

Выведение следствий.

Так, при изучении структуры разобранной ранее задачи, модель текста

помогает заметить детали, которые были неявно заданы в условии

(расстояние, пройденное Сережей в 4 раза больше расстояния, пройденного

Наташей). Таким образом, модель текста приближает к решению данной

задачи.

34

После построения модели текста производится поиск плана решения

задачи. Целенаправленный поиск плана решения осуществляется на основе

сформированного умения задавать вопросы, начиная с главного вопроса

задачи (т.е. по схеме восходящего анализа). «Каков главный вопрос задачи?»

(Какова скорость Наташи?) Ответив на этот вопрос, учащийся задает другие

вопросы: что достаточно для ответа на новый возникший вопрос

И так далее, пока рассуждения не приведут к условиям, данным в

задаче:

После того, как проведен восходящий анализ и найден план решения,

учащийся синтезирует решение, переводит текст в знаково-символическую

форму. 1) 600 : 3 = 200 (м) – расстояние, пройденное Наташей; и т.д.

Рис.15. Часть схемы восходящего анализа задачи 4.




В 4

раза



… …

Во сколько раз расстояние Сережи больше

расстояния Наташи

В ?

раз

Во сколько раз скорость

Сережи больше скорости

Наташи

В 4

раза

При равномерном

прямолинейном движении

отношение скоростей равно

отношению расстояний

…


600 м

4 мин

VНаташи – ? VСережи – ?


35

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо его проверить.

При проверке полученного ответа учащиеся сначала оценивают, возможен ли

данный результат в реальной жизни. Например, расстояние не может быть

отрицательным, а скорость автомобиля не может составлять 500 км/ч. После

этого составляются обратные задачи. Одна задача имеет несколько обратных

задач, поэтому целесообразно организовать работу так, чтобы учащиеся

составляли разные задачи (например, по рядам). В итоге, если во всех

задачах получились исходные данные, то можно делать вывод о том, что

предложенная задача решена верно. Это и есть действие изучения

полученных результатов – учащиеся сравнивают полученные результаты и

делают выводы о правильности ответа, после чего записывают его. В

рассматриваемой задаче первоначальное расстояние совпало с расстоянием в

обратной, поэтому задача решена верно. Скорость Наташи – 50 м/мин.

Таким образом, у учащихся необходимо формировать познавательные

УУД, чему и способствует решение сюжетных арифметических задач.

Анализ процесса решения задачи как деятельности показал, что у учащихся

должны быть востребованы познавательные универсальные учебные

действия. Следовательно, есть возможность их формировать. Для этого

нужно правильно организовывать работу с учащимися (задавать более общие

вопросы, учить строить наглядные модели, подавать правильный пример

поведения и т.д.).

2.2. Метод моделирования в обучении математике

При решении арифметических задач одним из важных умений является

моделирование. Одним из продуктивных методов познания является метод

моделирования. Отечественный философ В.А. Штофф дал следующее

определение модели: модель (в переводе с французского «образец») – это

«либо представленная мысленно, либо материально реализованная система,

которая отражает и воспроизводит объект, замещая его так, что при

36

определенных условиях ее изучение дает новую информацию о данном

объекте» [34, С. 19].

Под моделированием будем понимать процесс создания моделей и их

использование в целях формирования знаний о свойствах, структуре,

отношениях и связях объектов [25]. Моделирование применяется в тех

случаях, когда затруднительно или невозможно изучить объект в

естественных условиях, или чтобы облегчить процесс его исследования.

Выделяют два типа моделей: вещественные и мысленные.

Вещественные модели допускают предметное преобразование, а мысленные

– мысленное преобразование. Вещественные модели делятся на: 1) модели,

отображающие пространственные особенности объектов (например,

макеты); 2) модели, имеющие физическое подобие с оригиналом (например,

модель плотины); 3) математические и кибернетические модели,

отображающие структурные свойства объектов (например, модель строения

атома или солнечной системы). Мысленные модели делятся на: 1) образно-

иконические (чертежи, рисунки, шары и т.п.); 2) знаковые модели (например,

формула) [9].

Важной характеристикой моделирования является наглядность.

Наглядность вещественной модели связана с пониманием ее строения.

«Наглядность восприятия вещественной модели предполагает вместе с тем

значительное участие мышления, применение накопленных теоретических

знаний, аккумулированного опыта. Воспринимая модель, экспериментатор…

понимает, что в ней происходит» [10, С. 283-284].

Часто модели используются в экспериментах. Чтобы не рассматривать

какой-то конкретный объект, рассматривают его заместитель, обладающий

некоторыми необходимыми существенными свойствами данного объекта.

Такое исследование позволяет получить информацию о самом объекте – это

и есть главная функция заместителя как модели. «Модели и связанные с

ними представления являются продуктами сложной познавательной

деятельности, включающей, прежде всего, мысленную переработку

37

исходного чувственного материала, его «очищение» от случайных моментов

и т.д. Модели выступают как продукты и как средство осуществления этой

деятельности» [9, С. 104].

Епишева О.Б. определяет математическую модель как «приближенное

описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь

математической теории (с помощью числового выражения, уравнения,

системы алгебраических уравнений и неравенств, функций, системы

геометрических предложений и т.п.)»[10, С. 148-149].

Тогда математическое моделирование – это метод построения

математических моделей изучаемых объектов или объектов, уже описанных

в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения

всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью

математического аппарата [Там же]. Другими словами, метод

математического моделирования позволяет применять математический

аппарат в решении каких-либо практических задач.

Метод математического моделирования содержит три этапа:

1) построение математической модели объекта (явления, процесса),

2) исследование полученной модели, т.е. решение полученной

математической задачи средствами математики,

3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной

ситуации.

При этом должны соблюдаться следующие требования:

1) модель должна адекватно отражать наиболее существенные

(с точки зрения определенной постановки задачи) свойства объекта,

отвлекаясь от несущественных его свойств,

2) модель должна иметь определенную область применимости,

обусловленную принятыми при ее построении допущениями,

3) модель должна позволять получать новые знания об изучаемом

объекте [10].

38

После того, как математическая модель построена, возможны два

случая: полученная модель принадлежит к изученному в математике классу

моделей, и тогда задача решается известными методами, или же полученная

модель не принадлежит ни к одному из известных классов, и тогда

появляется проблема исследования нового класса моделей. Последняя

ситуация ведет к развитию какой-либо из математических теорий или к

появлению новой [10]. Затем с помощью новых знаний можно будет решить

не только ту проблемную задачу, но и другие задачи, принадлежащие к тому

же классу. Все это говорит о продуктивности метода и его значимости в

науке, в том числе, и в математике.

На основе проанализированной литературы нами была построена

схема, в которой представлены виды моделей по видам средств,

используемых для их построения (Рис.16.).

Рис.16. Виды моделей.

Модели делятся на схематизированные и знаковые.

Схематизированные, в свою очередь, делятся на вещественные (макет) и

графические (например, рисунок, чертеж, схема). Знаковые модели могут

быть представлены как на естественном (краткая запись текстовых задач,

таблица), так и на математическом языке (формулы, выражения, уравнения и

39

их системы). Для того чтобы модель как наглядно-практическое средство

познания выполняла свою функцию, она должна соответствовать

определенным требованиям:

– четко отражать основные свойства и отношения, которые являются

объектом познания, быть по структуре аналогичной объекту;

– быть простой для восприятия и доступной для создания и действий

с ней;

– ярко и отчетливо передавать те свойства и отношения, которые

должны быть освоены с ее помощью [36].

Примером вещественных схематических моделей на уроках

математики может быть конструирование фигур из бумаги в 5-6-х классах,

что позволяет активизировать сознательную деятельность учащихся. Но

этому способствуют не только вещественные, но и другие виды моделей.

Рассмотрим остальные виды моделей на примерах конкретных сюжетных

задач.

Рисунком называют схематизированную графическую модель текста

задачи [п. 1.3, задача 5].

Знаковая модель этой задачи на математическом языке – выражение:

22 + (22 : 2) + (22 – 8).

Следующий вид схематизированной графической модели текста задачи

– чертеж [п. 1.3, задача 7].

Еще один вид графической модели текста задачи – схема [п. 1.3.,

задача 6].

Теперь рассмотрим примеры знаковых моделей на естественном языке.

Задача 9. Длина прямоугольника равна 18,4 см, а его площадь –

276 см2. Найдите ширину этого прямоугольника.

40

Краткая запись к задаче будет выглядеть так:

Длина (а) – 18,4 см;

Площадь (S) – 276 см2;

Ширина (b) – ?


Кроме того, знаковая модель на математическом языке к этой задаче

может быть представлена в виде формулы: a

Sb , где b – ширина

прямоугольника, a – длина прямоугольника, S – площадь прямоугольника.

Задача 11. В первом вагоне трамвая ехало в 1,5 раза больше

пассажиров, чем во втором. После того, как из первого вагона вышли 5

пассажиров, а во второй вошли 3 пассажира, в обоих вагонах пассажиров

стало поровну. Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне первоначально?

[7]

Таблица к данной задаче будет выглядеть следующим образом:

Таблица 2

Модель текста задачи 11

I II

До x5,1 x

После 55,1 x 3x

А знаковая модель на математическом языке – уравнение к данной

задаче будет таким: 355,1 xx .

Мы рассмотрели примеры схематизированных и знаковых моделей,

представленных на рис.16. Нас будет интересовать построение

схематизированных графических моделей текста сюжетных задач, так как в

процессе их решения востребован этот вид моделей.

Таким образом, моделирование, как метод научного познания, является

востребованным, так как позволяет получать новую информацию об

изучаемом объекте. Но для этого необходимо, чтобы модель отвечала

41

рассмотренным выше требованиям, одним из которых является важное

требование – наглядность. Так как модели используются для решения

различных задач, то имеются и различные виды моделей, которые были

интерпретированы графически и рассмотрены на примерах.

2.3. Формирование метода моделирования при обучении учащихся

5-6-х классов решению задач

Проблема моделирования в учебной деятельности состоит в том, что

оно является не только содержанием, которое должны освоить учащиеся в

ходе учебного процесса, но и методом для получения новых знаний, которым

они должны овладеть для дальнейшего успешного обучения. Федеральные

государственные образовательные стандарты второго поколения говорят нам

о том, что нужно научить учащихся учиться, чему и способствует метод

моделирования, являющийся общим приемом решения задач (составное

универсальное логическое действие). Это подтверждается некоторыми

требованиями, предъявляемыми к разделу «математика»: развитие умений

работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать

необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с

применением математической терминологии и символики; развитие умения

моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать

построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать

полученный результат; формирование умений формализации и

структурирования информации, умения выбирать способ представления

данных в соответствии с поставленной задачей – таблицы, схемы, графики,

диаграммы.

Обычно, детей учат решать конкретные виды задач по образцу, но,

столкнувшись с новым, ранее не изученным видом задачи, учащиеся

испытывают затруднения. А в процессе решения задачи как деятельности,

задача выступает не как объект решения, а как объект анализа и изучения,

42

позволяющий формировать действия, входящие в этот процесс. В этом

случае поиск информации проводится в форме исследовательской

деятельности, при которой неизвестно не только решение, но и процесс его

нахождения [32, С. 8]. Задачи – это сложные системные объекты, поэтому

выяснение их элементарного состава и структуры является обязательной

частью исследования. Задачи можно и целесообразно рассматривать как

знаковые модели проблемных ситуаций [там же, С. 6].

Моделирование – это творческий процесс, поэтому, если не указывать

конкретный вид модели, то учащиеся выбирают разнообразные формы как

моделей текста, так и математических моделей, что обусловлено не только

целесообразностью в зависимости от характера задачи, но и

индивидуальными особенностями учащихся. В ходе опытов, проведенных

Фридманом Л.М., было установлено, что при решении текстовых

(сюжетных) задач методом моделирования, у учащихся формируется

творческий подход к решению не только этих, но и других задач: «Учащиеся

экспериментальных классов, встречаясь с новой, незнакомой задачей, уже не

говорили ставшее традиционным: «А мы такие не решали», а самостоятельно

и целенаправленно искали способ решения предложенной задачи» [30, С. 78].

Как показывают исследования, ребенок рано начинает овладевать

умением замещать объекты в игре, в речи, в изобразительной деятельности.

Этот факт направил внимание педагогов и психологов на разработку и

использование моделирования в обучении. Специфичность метода

моделирования состоит в том, что он может применяться в различных

областях детской деятельности: в игре, конструировании, рисовании и т.д.

Одно из важнейших умений, которым должен обладать учащийся – это

логическое универсальное учебное действие – общий прием решения задач –

моделирование. Оно формируется, в частности, и при решении сюжетных

задач. Решение таких задач начинается еще в начальной школе. И уже тогда

необходимо начать уделять внимание обучению решению сюжетных задач

методом моделирования. Так, в старших классах, когда уровень обобщения

43

станет довольно высоким и будет сложно сразу представить мысленную

модель того или иного объекта, у учащегося будет сформирован навык

построения модели [36]. Моделирование текстовой задачи – это

использование средств наглядности для вычисления величин, входящих в

задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между

ними. Если моделирование – это метод и средство познания, то тогда набор

текстовых задач – это один из полигонов, на котором отрабатывается

действие моделирования, а умение решать задачи выступает одним из

критериев сформированности действия моделирования [4].

Как уже было сказано ране, в процессе решения задачи выделяют три

этапа математического моделирования [п. 2.1].

Первый этап математического моделирования, связанный с

выявлением зависимостей между искомыми и данными, является наиболее

сложным и часто вызывает затруднения. Для облегчения процесса решения

задачи сначала строится модель текста задачи (рисунок, схема, таблица.), а

затем, с ее помощью, строится математическая модель задачи.

При построении модели текста задачи проводят анализ ее содержания,

и само ее построение выступает в качестве эффективного средства такого

анализа. Модель текста задачи должна нести информацию о существенных в

данной ситуации признаках объектов задачи, а так же позволять видеть связь

между величинами, о которых идет речь в задаче, и допускать практические

преобразования.

Период обучения в начальной школе является наиболее удачным

этапом для начала обучения визуально воспринимаемому моделированию.

Причем если обучение моделированию организовать до начала обучения

решению задач, то в дальнейшем можно эффективно использовать усвоенные

принципы построения моделей при формировании умения решать текстовые

задачи.

Для того чтобы решить задачу, ученик должен уметь переходить от

текста к представлению ситуации, а от него – к записи решения с помощью

44

математических символов. В данном случае речь идет о трех различных

моделях одного и того же объекта – задачи, которые различаются тем, что

выполнены на разных языках: языке слов, языке образов и языке

математических символов.

С этой позиции процесс обучения решению задач можно рассматривать

как обучение приемам перевода моделей одного вида в модели другого вида,

а моделирование выступает в качестве обобщенного способа решения задач

любого типа [36].

Кроме того, моделирование способствует развитию следующих

компетенций:

• технологической (способности понимать и четко соблюдать

инструкции и алгоритмы, умению «свернуть» информацию в схему, таблицу,

план);

• информационной (способности искать и извлекать информацию из

различных источников, делая выводы на ее основе и используя в своей

деятельности);

• проектной (способности анализировать ситуацию, выделяя

проблемы и выдвигая идеи, планируя и оценивая результаты своей

деятельности) [15].

На восьми учащихся 5-го класса ДМО «Моя любимая математика»

была проведена апробация, целью которой было выявить умение учащихся

составлять модели к текстовым арифметическим задачам. Учащимся было

предложено составить модель (схему, таблицу, рисунок и т.п.) к двум

задачам и решить их.

Задача 9. В мастерской из 1000 листов бумаги сделали 120 тетрадей

двух сортов. На тетради одного сорта тратили 8 листов на каждую, а на

тетради другого сорта – по 12 листов. Сколько тетрадей каждого сорта

сделано? [23]

45

Таблица 3


Тетради Количество

листов в тетради

Количество

изгот. тетрадей

Потрачено

на тетради


тетрадей

1 сорт 8 листов 120 шт. 1000 листов

?

2 сорт 12 листов ?

Математические модели задачи 1:

120 yx ;

1000128 yx ;

)812(:12081000 .

Задача 10. 960 книг надо было переплести в кратчайший срок. Одна

переплетная мастерская бралась выполнить эту работу за 16 дней, другая за

24 дня и третья потребовала для выполнения работы 48 дней. Работа была

распределена между тремя мастерскими. В какой срок была выполнена вся

работа и сколько книг переплела каждая мастерская? [5]

Таблица 4


Мастерские Количество

книг

Срок каждой

мастерской

Срок при

совместной работе


перепл. книг

1

960 книг

За 16 дней

?

?

2 За 24 дня ?

3 За 48 дней ?

Математические модели задачи 10:

60 ∙ (960 : (960 : 16 + 960 : 24960 : 24 + 960 : 48));

40 ∙ (960 : (960 : 16 + 960 : 24960 : 24 + 960 : 48));

20 ∙ (960 : (960 : 16 + 960 : 24960 : 24 + 960 : 48)).

Для каждого учащегося было зафиксировано время, которое он

потратил на осмысление текста задачи и время, которое он потратил на

составление модели, а так же выбранный учащимся вид модели.

46

Таблица 5

Задача 9

№ Время на изучение

текста задачи, мин

Время на

составление модели,

мин

Вид модели Правильность

1 1 7 Рисунок/ Таблица +

2 1 3 Таблица +

3 1 2 Таблица –

4 1 – Таблица –

5 1 6 Таблица +

6 0,5 4 Таблица –

7 1 – Схема –

8 1 3 Таблица –

Таблица 6

Задача 10

№ Время на изучение

текста задачи

Время на

составление модели Вид модели Правильность

1 2 2 Рисунок/ Таблица –


3 1 3 Рисунок –

4 1 – – –

5 2 2 Схема –

6 1,5 4 Таблица +

7 1 1 Схема –


В среднем, на осмысление задачи у учащихся уходило 1,5 минуты, а на

составление модели 4-5 минут. В основном, преобладали таблицы. Учащиеся

испытывали большие трудности в составлении модели текста задачи и не

понимали, для чего она нужна. Двое учащихся не были заинтересованы в

данной работе и ждали, пока готовая модель появится на доске. Для первой

задачи только один ребенок самостоятельно составил правильную модель,

другой ребенок сделал это с помощью учителя, однако не сумел ей

воспользоваться. Для второй задачи так же только один ученик составил

47

модель верно. Некоторые учащиеся, после неудачных попыток составить

модель к задаче, начинали решать задачу арифметически, по действиям.

По проведенной апробации можно сделать следующий вывод:

учащиеся не понимают, зачем составлять модель к задаче, плохо умеют их

составлять, и не всегда умеют применять их, следовательно, в начальной

школе детей должным образом не обучают моделированию задач, не

показывают его значимость и применение. Поэтому целесообразно решать

сюжетные арифметические задачи, чтобы развивать у учащихся умение

моделировать. Важно акцентировать внимание учащихся на сущности метода

при решении межпредметных задач, как в курсе математики, так и в

смежных дисциплинах. Работа в этом направлении не только совершенствует

реализацию межпредметных связей математики с другими предметами, но и

способствует обучению учащихся принципам, умениям и навыкам

прикладного математического исследования.

В ходе данного исследования появилась идея разработки тестовых

заданий для определения уровня сформированности метода моделирования у

учащихся. Они рассчитаны как на учащихся, только закончивших начальную

школу (входной контроль), так и на учащихся 5-6-х классов (текущий

контроль). Задания имеют как закрытую, так и открытую формы.

48

Диагностические задания на определение уровня

сформированности метода моделирования

(для учащихся 5-6-х классов)

1. Выберите правильную модель текста данной задачи.

Сын собрал 15 грибов. Отец собрал на 25 грибов больше, чем сын. Мать

собрала на 5 грибов меньше отца. Сколько грибов собрала вся семья?

А)

Б)

В)

2. Составьте модель текста задачи.

Веревку разрезали на 3 куска. В первом было 8 дм, а во втором – на 5 дм

больше, чем в третьем. В первых двух кусках вместе 1 м 7 дм. Чему равна

длина третьего куска? Чему равна длина всей веревки? [18]

3. Составьте математическую модель задачи.

Квартира состоит из трех комнат: спальни, столовой и кабинета. Столовая в

два раза больше, чем кабинет, а спальня на 8 м2 меньше, чем столовая.

Какова общая площадь трех комнат, если столовая имеет площадь 22 м2? [17]

49

4. Выберите верную математическую модель задачи.

Два велосипедиста движутся по шоссе со скоростью 12 км/ч. Один

велосипедист был в пути 3 часа, второй – 2 часа. На сколько километров

второй велосипедист проехал больше, чем первый?

А) 1) 3 – 2 = 1

2) 12 ∙ 1 = 12

Г) 1) 12 ∙ 2 = 24

2) 12 ∙ 3 = 36

3) 36 – 24 = 12

Б) 1) 12 ∙ 3 – 2 = 34

Д) 1) 12 : 2 – 12 : 3 = 2

В) 1) 12 ∙ (3 –2) = 12 Е) 1) 36 – 24 = 12

5. Используя данную модель, составьте условие задачи.

Первое тестовое задание – закрытого типа, оно позволит судить о

понимании испытуемым условия задачи и его связью с моделью, сможет ли

он правильно их сопоставить. Второе задание – открытого типа, за счет чего

испытуемый может составить модель текста задачи в любой, удобной для

него форме. По тому, какой вид модели изберет учащийся, можно будет

судить о рациональности его подхода к решению задачи. Третье задание так

же открытое, поэтому можно проследить, с помощью чего испытуемый будет

составлять математическую модель задачи (сначала составит модель текста

задачи, или же станет решать по действиям, после чего составит модель, а,

быть может, увидит ее сразу). Четвертое задание направлено на определение

способности испытуемого сопоставить задачу с ее математической моделью.

В пятом задании дана модель с некоторыми данными, которые позволят

догадаться об условии задачи. Это позволит проверить, способен ли

50

испытуемый, видя только модель, понять ее и сформулировать условие

задачи, моделью текста которой мог бы быть предложенный рисунок.

Сформулируем критерии оценки данных диагностических заданий:

«Отлично»: учащийся способен установить, какие из моделей являются

моделью текста и математической моделью предложенной задачи; верно

составляет модели текста задачи и математические модели, подходит к этому

рационально; имея только модель, воспроизводит правдоподобный текст

задачи.

«Хорошо»: учащийся способен установить, какие из моделей являются

моделью текста и математической моделью предложенной задачи; верно

составляет модели текста задачи и математические модели, подходит к этому

нерационально; имея только модель, воспроизводит неправдоподобный текст

задачи.

«Удовлетворительно»: учащийся способен установить, какие из

моделей являются моделью текста и математической моделью предложенной

задачи; неверно составляет модели текста задачи и математические модели;

имея только модель, не воспроизводит правдоподобный текст задачи.

«Неудовлетворительно»: учащийся не способен установить, какие из

моделей являются моделью текста и математической моделью предложенной

задачи; неверно составляет модели текста задачи и математические модели;

имея только модель, не воспроизводит правдоподобный текст задачи.

После разработки данный тест позволит наиболее полно судить о

сформированности метода моделирования у младших школьников,

установить, какие именно возникают затруднения, а так же предложить

продуктивный способ развития этого метода на уроках математики в 5-6-х

классах.

Итак, на основе анализа психолого-педагогической литературы, была

раскрыта сущность моделирования, как метода научного познания. Дано

определение математического моделирования, рассмотрены этапы

51

математического моделирования и требования к модели. Разработана

графическая интерпретация видов моделей по видам средств, используемых

для их построения. Приведены примеры моделей различных видов, имеющих

место в процессе решения задачи как деятельности. Представлены

результаты апробации (решение текстовой задачи с помощью метода

моделирования). Также, представлена разработка диагностических

материалов для оценки сформированности метода моделирования у младших

школьников и критерии оценки. Корме того, было установлено место

формирования познавательных УУД в структуре процесса решения задачи:

показано, на каких этапах и какие умения формируются (см. таблицу 1, с. 33).

Также в приложении представлена таблица, в которой указаны все

познавательные УУД и им ставятся в соответствие этапы процесса решения

задачи (см. таблицу 7, с. 56‒57). Из последней таблицы можно сделать

выводы о том, какие умения наиболее востребованы в процессе решения

задачи (знаково-символические, включая моделирование, анализ, выведение

следствий), а какие не используются совсем (опознание объектов, сериация,

классификация).

Таким образом, на всех этапах процесса решения задачи как

деятельности формируются практически все познавательные УУД,

следовательно, если организовывать на уроках такую работу с текстовыми

задачами, то у учащихся будет формироваться сложное составное

познавательное логическое УУД ‒ общий прием решения задач.

52

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе решения задачи формируются познавательные

универсальные действия, одним из которых является моделирование. Если

рассматривать моделирование как перевод одного вида моделей в другой, то

оно будет выступать общим приемом решения задач (составным

универсальным логическим действием, формирования которого требует

ФГОС). В рамках исследования была проанализирована методическая

литература о системно-деятельностном подходе, о процессе решения задачи

как деятельности, о методе моделирования в науке и в математике. Был

рассмотрен процесс решения задачи как вид деятельности и его структура.

Было выявлено, какие познавательные универсальные учебные действия, и

на каких этапах процесса решения задачи как деятельности формируются.

Была раскрыта сущность понятий «модель» и «моделирование», создана

графическая интерпретация видов математических моделей, показано место

моделирования в науке и в обучении математике, в том числе, в процессе

решения текстовых задач. В ходе исследования была проведена апробация на

учащихся 5-го класса ДМО «Моя любимая математика», по результатам

которой было установлено, что метод моделирования у данных учащихся

недостаточно сформирован. Следовательно, в начальной школе этому

уделялось мало внимания. Но так как среди метапредметных результатов

основной образовательной программы имеется умение моделировать, то его

необходимо формировать у учащихся, чему и способствует процесс решения

текстовых задач. Причем целесообразно делать это заблаговременно, так как

ребенок рано начинает овладевать умением замещать объекты в игре, в речи,

в изобразительной деятельности. Так же полезно обращать внимание

учащихся на важность использования этого метода, на его метапредметность.

Они должны понять, что овладев этим методом, смогут применять его и в

других сферах деятельности (при наличии желания и способностей).

53

Если мы хотим действительно научить учащихся решать задачи, то

необходимо изучать с ними сами задачи, их структуру и особенности,

структуру деятельности по решению задач. При этом объектом для усвоения

будут общие схемы деятельности по решению задач, общие методы

моделирования задач как главный метод творческого поиска планов решения

задач. Таким образом, все поставленные задачи выполнены, следовательно,

достигнута цель данного исследования.

54

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аксенова Н.И. Системно-деятельностный подход как основа

формирования метапредметных результатов // Теория и практика

образования в современном мире: материалы междунар. науч. конф. (г.

Санкт-Петербург, февраль 2012 г.). – Санкт-Петербург : Реноме, 2012. – С.

140-142.

2. Асмолов А.Г. Как проектировать универсальные учебные действия

в начальной школе: от действия к мысли: пособие для учителя /

Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и др. / Под ред. А.Г. Асмолова. – Москва :

Просвещение, 2008.

3. Асмолов А.Г. Системно-деятельностный подход в разработке

стандартов нового поколения //Педагогика №4 – 2009.

4. Белошистая А.В. Обучение решению задач в начальной школе:

метод. пособие. – Москва, 2003. – 278 с.

5. Березанская Е.С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5

и 6 классов семилетней и средней школы – Москва : Учпедгиз, 1953. – 288 с.

6. Васильева Г.Н. Методические аспекты деятельностного подхода

при обучении математике в средней школе: практико-ориентированная

монография / Г.Н. Васильева; Перм. гос. пед. ун-т. – Пермь, 2009. – 136 с.

7. Васильева Г.Н., Пестерева В.Л. Современные технологии обучения

математике: учебное пособие. Часть 1 – Перм. гос. гум.-пед. ун-т. – Пермь,

2013.

8. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней

школе: учеб. пособие – Ростов н/Д. : Феникс, 2005. – 252 с.

9. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Учеб. пособие

для студ. высш. учеб. заведений. – Москва : Издательский центр «Академия»,

2004. – 288 с.

10. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней

школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.

– Тобольск: Изд. ТГПИ им. Менделеева Д.И., 1977. – 191 с.

11. Канин Е.С. Изучение рациональных чисел в школе: учеб. пособие –

Киров : КГПИ им. В.И. Ленина, 1977. – 59 с.

55

12. «Квант» для младших школьников // Квант: Научно-популярный

физико-математический журнал №3. –М.: 1973. – С. 60


физико-математический журнал №4. – М.: 1973. – С. 70


физико-математический журнал №7. –М.: 1973. – С. 56

15. Кострова Л.В. О развитии ключевых компетенций у учащихся при

решении задач // Математика в школе – 2010. – №5.

16. Лабораторные и практические работы по методике преподавания

математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов /

Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; под ред. Е.И. Лященко. –

Москва : Просвещение, 1988. – 223 с.

17. Математика. 5 класс. Часть 1. – Изд. 2-е перераб. / Г.В. Дорофеев,

Л.Г. Петерсон. – Москва : Издательство «Ювента», 2011. – 176 с.

18. Математика. 6 класс. Часть 2. – Изд. 2-е перераб. / Г.В.Дорофеев,

Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2010. – 128 с.

19. Методика обучения математике в IV–V классах. / Е.И. Лященко,

А.А. Мазаник – Минск : «Нар. асвета», 1976. – 222 с.

20. Модель программы развития универсальных учебных действий.

21. Моро М.И. Методика обучения математике в 1-3 классах /

А.М. Пышкало – Москва : Просвещение, 1975. – 336 с.

22. Овчинникова М.В. Методика работы над текстовыми задачами в

начальных классах (общие вопросы): Учебно-методическое пособие для

студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание» –

К.: Пед. пресса, 2001 – 128 с.

23. Пономарев С.А. и др. Сборник задач по математике для 4-5 классов,

1979. – 272 с.

24. Примерная основная образовательная программа образовательного

учреждения. Основная школа / [сост. Е. С. Савинов]. – Москва :

Просвещение, 2011. – 342 с. – (Стандарты второго поколения).

25. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. –

Москва, 1985. – 352 с.

26. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса

математики. – Москва : Просвещение, 1988. – 320 с.

56

27. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: Учеб. пособие для студ.

сред. пед. учеб. заведений – Москва : Издательский центр «Академия», 1998.

– 288 с.

28. Теория и технология обучения математике в средней школе: учеб.

пособие для студентов математических специальностей педагогических

вузов / Т.А. Иванова, Е.Н. Перевощикова, Л.И. Кузнецова, Т.П. Григорьева /

Под ред. Т.А. Ивановой. 2-е изд., испр. и доп. – Н. Новгород : НГПУ, 2009. –

355 с.

29. Тоистева О.С. Системно-деятельностный подход: сущностная

характеристика и принципы реализации // Педагогическое образование в

России №2 – 2012 – С. 200-201.

30. Формирование учебной деятельности школьников / под ред.

В.В. Давыдова, И. Ломпшера, А.К. Марковой; Науч.-исслед. ин-т общей и

педагогической психологии Акад. Пед. Наук ГДР. – Москва : Педагогика,

1982. – 216 с.

31. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн.

Для учащихся ст. классов сред. шк. – 3-е изд., дораб. – Москва :

Просвещение, 1989. – 192 с.

32. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных

задач. Москва : «Педагогика», 1977. – 208 с.

33. Фундаментальное ядро содержания общего образования / Рос. акад.

наук, Рос. акад. образования; под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. – 4-е

изд., дораб. – Москва : Просвещение, 2011. – 79 с. – (Стандарты второго

поколения).

34. Штофф В.А. Моделирование и философия – Москва ; Л.: «Наука»,

1966. – 304 с.

35. Электронный источник: http://sireo.narod.ru/Philo/Ques58.htm(Дата

обращения 8.05.2015г.)

36. Электронный источник: http://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-

priemov-modelirovaniya-tekstovyh-zadach-v-nachalnom-kurse-matematiki(Дата

обращения 20.03.2015 г.)

57

Приложение

Познавательные универсальные учебные действия и их востребованность на

этапах процесса решения задачи как деятельности

Таблица 7

По

зн

ав

ат

ел

ьн

ые

ун

ив

ер

са

ль

ны

е у

че

бн

ые

де

йс

тв

ия

Общеучебные УУД Этапы процесса решения

задачи

1. Выделение и формулирование

познавательной цели

Изучение структуры задачи

2. Поиск и выделение необходимой

информации

Изучение структуры задачи;

Поиск плана решения задачи.

3. Знаково-символические действия,

включая моделирование

Изучение структуры задачи;

Поиск плана решения задачи;

Осуществление плана

решения;

Изучение полученных

результатов.

4. Умение структурировать знания Изучение структуры задачи;

Поиск плана решения задачи.

5. Выбор наиболее эффективных способов

решения задач в зависимости от конкретных

условий




6. Рефлексия способов и условий действия,

контроль и оценка процесса и результатов

деятельности

Проверка решения задачи;



Логические УУД

1. Сравнение Изучение структуры задачи

2. Опознание объектов –

3. Анализ Изучение структуры задачи;




4. Сериация –

5. Классификация –

58

6. Обобщение Изучение полученных

результатов

7. Доказательство Проверка решения задачи

8. Подведение под понятие Изучение структуры задачи

9. Выведение следствий Проверка решения задачи;



Осуществление плана

решения.

10. Установление аналогий Изучение структуры задачи

ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ...

Documents