一、題型及試題內容分佈：冊別 單元內容 題目 配分 總分單選題 多選題 選填題

第一冊

數與坐標系 1 B 1025數列與級數 2 A 10

多項式 8 5第二冊

指數與對數 3,5 1025三角函數的基本概念 E 5

三角函數的性質與應用 10, 12 10第三冊

向量 C,D＊ 515空間中的直線與平面 11 G＊ 5

圓與球面的方程式 7 13＊ 5第四冊

圓錐曲線 13 D,F 1535排列、組合 9 5

機率與統計(I) 4,6 G 15附註：表中加＊之題號表示涵蓋到該章節之觀念，題分分配則歸屬於該題內容最後所學之章節。

二、試題特色：1. 今年的試題命題教授已盡可能將內容涵蓋一到四冊的重要概念，試題分佈平均，跨章節題 目不多，即便是跨章節的試題，使用到的也只是前面單元非常基本的觀念，對於學生作答 並不會有太大的負擔。單選題 1,2 甚至平易近人到只需國中程度即可解出答案，有助於安 撫學生緊張的心情。2. 相較去年試題，難易度差異不大，題意大多平鋪直述，敘述明確，沒有過多的文字包裝增 加考生的讀題負擔，與生活經驗相關的情境題或時事題不多，考生可以專注思考數學概 念。套用公式或特殊解法的考題越來越少，取而代之的是用思考推理的觀念題，學生必須 能明確掌握課程中的基本定義與性質、定理，加以應用解題便能得高分。尤其是排列組合、 機率統計的試題最為明顯，題 9、題 G 結合幾何觀念，一定要冷靜判斷 ，才能找出所有 情形，正確作答。3. 今年是 95 暫綱的最後一次學測，有部分課程內容在 99 課綱被移至選修或刪除，雖然在此

份試題中出現，但明年學測則不是考試範圍，值得數學老師注意，如：題 7,10,A。4. 整體而言，今年學測的數學試題，具有鼓勵學生不要輕言放棄學習數學的功用，考生只要 具備高中數學的基本知識，就能順利作答，即便是程度中等的學生只要觀念清晰，臨場不 緊張，也可以有機會拿高分。同時也導正在第一線的數學老師的教學理念，平日教學時應 多引導學生理解正確的數學概念，比不斷練習難題來增加實力重要；平常處理幾何題目

1

時，養成畫圖的習慣，將數學式與圖形多做連結，更有助於提升數學程度。

三、試題分析內容第壹部分：選擇題（佔 65分）一、 單選題（占 35分）

1. 等於下列哪一個選項？(1) 1.01 (2) 1.05 (3) 1.1 (4) 1.15 (5) 1.21

【答案】： (2) 【出處】： 第一冊 數與坐標系【測驗目標】：了解如何做分數與根號的化簡。【試題解析】：

【說明】：此題選項中的值若能有 1.45，將更有誘答性，因為可篩選出有多少高中生仍 會誤以為

2. 將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如下圖所示，其中第1層（最下層）有 10 塊，第 2 層有 9 塊，…，依此類推。當堆疊完 10 層時，該階梯形立體的表面積（即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為多少？(1) 75 平方公分 (2) 90 平方公分(3) 110 平方公分(4) 130 平方公分(5) 150 平方公分

【答案】： (5) 2

說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

【出處】： 第一冊 數列與級數【測驗目標】：了解如何求等差數列總和。【試題解析】：前面面積＝後面面積＝ 左側面積＝下面面積＝ ，斜邊面積＝ 全部表面積3. 下表為常用對數表 的一部分：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011

20

30

0000 0043 0086 0128 01700414 0453 0492 0531 0569

3010 3032 3054 3075 3096

4771 4786 4800 4814 4829

0212 0253 0294 0334 03740607 0645 0682 0719 0755

3118 3139 3160 3181 3201

4843 4857 4871 4886 4900

請問 最接近下列哪一個選項？(1) 101 (2) 201 (3) 1007 (4) 1076 (5) 2012

【答案】： (4) 【出處】： 第二冊指數與對數【測驗目標】：了解如何利用對數表求 的近似值。【試題解析】： 利用對數表 ，

故選(4) 1076

4. 甲、乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗，兩校學生測驗成績的分布都很接近常態分布，其中甲校學生的平均分數為 60 分，標準差為 10 分；乙校學生的平均分數為 65分，標準差為 5 分。若用粗線表示甲校學生成績分布曲線；細線表示乙校學生成績分布曲線，則下列哪一個分布圖較為正確？(1) (2)

3

(3) (4)

(5)

【答案】： (1) 【出處】：第四冊 機率與統計(I)【測驗目標】：評量學生是否認識常態分布的圖形，同時理解平均數與標準差的意義。【試題解析】： ∵ 甲校學生的平均分數 60 分小於乙校學生的平均分數 65 分 ∴ 粗線的最高點應位於細線的最高點的左邊 ⇒ 刪除選項(2) ∵ 甲校學生的標準差 10 分為乙校學生的標準差 5 分的兩倍 ∴ 粗線分布曲線的分散程度應大於細線分布曲線的分散程度，粗線應比細

線扁平，因此粗線分布曲線最高點的位置會低於細線分布曲線 ⇒ 刪除選項(3)(4)(5) 故正確選項為(1)

5. 若正實數 滿足 ， ，則 最接近下列哪一個選項的值？(1) 2.8 (2) 5.6 (3) 5.9 (4) 8.4 (5) 11.2

【答案】： (3) 【出處】： 第二冊 指數與對數【測驗目標】：了解對數的基本運算性質。【試題解析】： ，

故選(3)

6. 箱中有編號分別為 0, 1, 2, …,9 的十顆球。隨機抽取一球，將球放回後，再隨機抽取一球4

請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？(1) 0(2) 1(3) 4(4) 5(5) 9

【答案】： (2) 【出處】： 第四冊 機率與統計(I)【測驗目標】：了解機率的基本定義，並能加以應用解決問題。【試題解析】：假設 為兩球編號相減的絕對值 ， ，當 時 ⇒ 時，出現的機率最大 故選(2)

7. 空間坐標中有一球面（半徑大於0）與平面 相切於原點，請問此球面與三個坐標軸一共有多少個交點？(1) 1(2) 2(3) 3(4) 4(5) 5

【答案】： (3) 【出處】： 第三冊 圓與球面【測驗目標】：利用球與平面相切的關係找出球方程式，再判斷球與三個坐標軸相交的情況。【試題解析】：根據題意畫出下圖，可得球方程式為

球心 與 軸、 軸、 軸的距離分別為 4、3、5，且半徑5

此球面與 軸、 軸、 軸的交點數分別為 2、2、1，且與三個坐標軸的交點 均包含原點，故此球面與三個坐標軸的交點總數為

二、 多選題（ 占 30 分）說明：第 8 題至第 13 題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將 正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定， 所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項 者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。8. 設 為實係數多項式，且知 （其中 ）。請問下列

哪些選項是多項式方程式 的根？ (1) (2) 0 (3)1 (4) (5)

【答案】： (1)(2)(5) 【出處】： 第一冊 多項式【測驗目標】：了解如何利用已知的根求原方程式，再將原方程式做因式分解，找出其它的 根。【試題解析】：∵ ，∴ ，利用長除法將 寫成下式 ∵ ，∴ 故 的根有9. 三角形 是一個邊長為 3 的正三角形，如下圖所示。若在每一邊的兩個三等分點中，

各選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？ (1) 依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 (2) 這些可能連成的三角形中，恰有 2 個是銳角三角形 (3) 這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是直角三角形 (4) 這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是鈍角三角形 (5) 這些可能連成的三角形中，恰有 1 個是正三角形【答案】：(1)(2) 【出處】： 第四冊 排列、組合

6

【測驗目標】：了解如何從圖形中找出符合條件的圖形，並能正確計算出個數。【試題解析】：將每一邊的兩個三等分點依序編碼 ，由每一邊的兩個三等分點各 選取一點連成三角形有 個 三邊所選取的點，若編碼相同，所連成的三角形為 正三角形(銳角三角形)，有2個 三邊所選取的點，若編碼兩同一異(如： )所連成的三角形為直角三角形 共有6個，故正確選項為(1)(2) 10. 設 為複數平面上的原點，並令點 分別代表非零複數 。若 ，則下列

哪些選項必為負實數？(1)

(2)(3)

(4)

(5) （其中 為 的共軛複數）

【答案】： (4)(5) 【出處】： 第二冊 三角函數的性質與應用【測驗目標】：利用棣美弗定理，作複數的乘除運算，並能加以判斷結果是否為負實數。【試題解析】：不失一般性，可令 假設 且 選項(1)： 選項(2)：

選項(3)：

選項(4)：

選項(5)：7

必為負實數的選項必須滿足實部為負數，虛部為0 由上列化簡的結果可知：選項(1)為純虛數；選項(2)(3)無法判斷 選項(4)(5)的輻角 ， 選項(4)(5)必為負實數

11. 若實數 使得聯立方程組 有解，且聯立方程組 無解，則下列哪些選項一定正確？(1) (2) (3) (4)

(5) 聯立方程組 無解

【答案】： (3)(4) 【出處】： 第三冊 空間中的直線與平面【測驗目標】：了解二元一次方程式解的判別。【試題解析】：聯立方程組 有解有下列兩種情形： (I) 恰有一解(兩直線交於一點)： (II) 無限多解(兩直線重合)： 聯立方程組 無解表示兩直線平行， 選項(1)(2)不一定正確 選項(5)無法判斷 故正確選項為(3)(4)

12. 在坐標平面上，廣義角 的頂點為原點 ，始邊為 軸的正向，且滿足 。若 的終邊上有一點 ，其 坐標為 ，則下列哪些選項一定正確？(1) 的 坐標是6

8

(2)

(3)

(4)

(5)

【答案】： (2)(4)【出處】： 第二冊 三角函數的性質與應用【測驗目標】：認識廣義角的基本定義與和角公式的應用。【試題解析】：根據題意： 表示 點落在斜率為 且過原點的直線上，如下圖 若 點的坐標為 ，則

無法確定正負，故正確選項為(2)(4)

13. 平面上兩點 滿足 。設 為一實數，令 表示平面上滿足 的所有 點所成的圖形，又令 為平面上以 為圓心、 為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？(1) 當 時， 為直線(2) 當 時， 為雙曲線(3) 當 時， 與圓 交於兩點(4) 當 時， 與圓 交於四點(5) 當 時， 不存在

【答案】： (1)(2)(5)【出處】： 第三冊 圓與球面的方程式 與 第四冊 圓錐曲線(雙曲線)【測驗目標】：了解雙曲線的定義。【試題解析】：兩定點 滿足 ， 表示平面上滿足

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當 時， 為線段 的中垂線，故為一直線 當 時， 為以線段 的中點為中心，以 為貫軸長的雙曲線 其中當 時，∵圓 的的圓心為 ，半徑為 ，大於 的焦距4 ∴可由圖形觀察出 與圓 交於4點 當 時， 為 兩點

當 時， 不存在 正確選項為(1)(2)(5)

第貳部分：選填題(占 35 分)

A. 若首項為 ，公比為 的無窮等比級數和等於循環小數 ，則 。

【答案】： 1.21 【出處】： 第一冊 數列與級數【測驗目標】：了解如何求無窮等比級數何與如何將循環小數化為分數。【試題解析】：根據題意

B. 設 及 為坐標平面上的六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交點，則 L 的斜率之最小可能值為 。

【答案】： 【出處】： 第一冊 數與坐標系【測驗目標】：了解如何利用兩點坐標求斜率，並能理解斜率大小的意義。【試題解析】：若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交點 則直線 L 必過三角形 ABC 及三角形 DEF 上的一頂點 且不得通過兩三角形的內部。再者，要求 L 的斜率為最小 僅須考慮斜率為負的；綜合上述條件，只剩直線AF、直線BF、直線CF

其中直線CF的傾斜程度最大(最陡)，故 ，即為所求

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說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號(14–33)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

C. 小明 在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，其中天璇的坐標為(9,8) 及天樞的坐標為(7,11)。依上述資訊可以推得北極星的坐標為 ( , )。

【答案】： 【出處】： 第三冊 向量【測驗目標】：了解如何將位置坐標轉換成向量，並能理解向量大小與距離的關係。【試題解析】：假設北極星的坐標為 ，根據題意可得下列關係式：

D. 設點 A(2,2)、B(4,8)為坐標平面上兩點，且點 在二次函數 的圖形上變動。當 點的 坐標為 時，內積 有最小值 。

【答案】： 【出處】： 第三冊 向量與 第四冊 圓錐曲線(拋物線)【測驗目標】：了解如何將位置坐標轉換成向量與拋物線的參數式，並能應用二次函數求最 小值的方法求向量內積的最小值。【試題解析】：假設 點的坐標為 ，則 ，

當 時， 有最小值 故當 點的 坐標為 時，內積 有最小值 。

E. 在邊長為 13 的正三角形ABC上各邊分別取一點 ，使得APQR形成一平行四邊形，如下圖所示：

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若平行四邊形APQR的面積為 ，則線段PR的長度為 。

【答案】： 7【出處】： 第二冊 三角函數的基本概念【測驗目標】：了解如何應用三角函數的基本概念(如：三角形的面積公式、餘弦定理)解決問 題。【試題解析】：∵APQR為一平行四邊形，∴ 且 假設 的面積 平行四邊形APQR的面積

F. 設 為正實數，橢圓 的焦點分別為 與 。若此橢圓上有一點 使得 為一正三角形，則 ， 。

【答案】： ， 【出處】： 第四冊 圓錐曲線(橢圓)【測驗目標】：利用橢圓的基本定義求橢圓方程式。【試題解析】：根據題意， 與 為橢圓 的兩焦點 即橢圓的長軸落在 上且 為一正三角形表示 點落在線段 的中垂線( )上 由下圖可知 ⇒

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G. 坐標空間中，在六個平面 及 所圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同，則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為 。（化成最簡分數）

【答案】： 【出處】： 第三冊 空間中的直線與平面 與 第四冊 機率與統計(I)【測驗目標】：空間中平行平面的距離、兩點間的距離與機率的基本概念。【試題解析】：平面 的距離為 1，平面 的距離為 2

平面 的距離為 3；故此長方體的長、寬、高分別為 3、2、1 如下圖

兩個頂點的距離大於 3 有下列三組

故選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為【說明】：題目本身雖是機率試題，但若要完整作答，對於空間的基本概念要有全盤的了解， 否則仍不易得分。

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