집합

19세기 칸토어(G. Cantor: 1845-1918)에 의

해 처음으로 도입된 집합 개념은 그 이후 수학의

전 분야의 기본 개념이 되어왔다.

명확히 구별되는 어떤 대상(object)들의 모임

(collection)을 집합(set)이라 하고,

집합을 이루는 대상 하나하나를 주어진 집합의

원소(element), 또는 元이라 한다.

집합은 일반적으로

대문자 A,B,C, ⋅ ⋅ ⋅ ,X, Y,Z 등으로 나타내고,

집합의 원소는

소문자 a, b, c, ⋅ ⋅ ⋅ , x, y, z 등으로 표시한다.

x ∈ A는 x가 집합 A의 원소임을 뜻하고,

x ∉ A는 x가 집합 A의 원소가 아님을 의미한다.

집합을 나타내는 방법으로는 집합을 구성하고

있는 원소들을 모두 나열하는 원소나열법과

집합을 구성하는 원소의 성질을 기술하여 나타내

는 조건 제시법 두 가지가 사용된다.

예를 들어 자연수 전체의 집합 ℕ은

다음과 같이 나타낼 수 있다.

ℕ = {1, 2, 3, 4, ⋅ ⋅ ⋅} (원소 나열법)

ℕ = {x ∣ x는 자연수} (조건 제시법)

두 집합 A,B에서 A의 모든 원소가 또한 B의 원소일 때,

A는 B의 부분집합(subset)이라 하고,

A ⊂ B로 나타낸다. 명제 “x ∈ A ⇒ x ∈ B”

가 항상 참일 때 집합 A는 B의 부분집합이다.

집합A, B가 A ⊂ B, B ⊂ A 를 동시에 만족할 때

A와 B는 상등(identical) 또는 같다(equal)고 하고,

A = B로 나타낸다. A 와 B가 같은 집합일 때

명제 “x ∈ A ⇔ x ∈ B”는 항상 참이다.

집합 A,B에서 A ⊂ B이나 A ∕= B일 때

A는 B의 진 부분집합(proper subset)이라 한다.

(참고: 집합 A가 집합 B의 부분집합일 때

집합 A가 집합 B와 같을 수도 있음을

강조하는 의미에서 A ⊆ B로 나타내기도 한다.)

집합 X의 원소로서 어떤 성질 P를 만족하는 부분집

합을 생각할 때 이 주어진 집합 X를 전체집합

(universal set)이라 한다.

전체집합 X의 부분집합 A, B 사이의 연산(operation)

합집합(union), 교집합(intersection), 차집합

(difference), 대칭차집합(symmetric difference)

를 다음과 같이 정의한다.

합집합(union), A ∪ B = {x ∈ X ∣ x ∈ A 또는 x ∈ B}, 교집합(intersection), A ∩ B = {x ∈ X ∣ x ∈ A 그리고 x ∈ B}, 차집합(difference), A − B = {x ∈ X ∣ x ∈ A 그리고 x /∈ B}, 대칭차집합(symmetric difference) A▽B = (A − B) ∪ (B − A).

원소를 하나도 갖지 않는 집합을

공집합(empty set, null set)이라 하고, ∅ 또는 { }

로 나타낸다.

집합 A, B가 있어서 A ∩ B = ∅이면 이 두 집합은

서로 소(disjoint)라 한다

주어진 집합 X의 부분집합 A에 대하여 다음과

같이 정의된 부분집합을

전체집합 X에 관한 A의 여집합(complement)

즉, 𝑨𝑪 = X − A = {x ∈ X ∣ x /∈ A}.

주어진 집합 A의 부분집합 전체의 집합을

A의 멱집합(power set)라 하고, P(A) 또는 𝟐𝑨로

나타낸다.

정 리 1.1.

전체집합 U , 공집합 ∅ , 부분집합 A, B, C와 이들

의 여집합에 대하여 다음과 같은 연산 법칙이 성립

한다.

(1) A ∪ ∅ = A, A ∩ X = A [항등원]

(2) A ∪ A = A, A ∩ A = A [멱등법칙]

(3) A ∩ U = A, A ∪ U = U

(4) A ∪ 𝑨𝑪 = U, A ∩ 𝑨𝑪 = ∅

(5) { 𝑨𝑪 }𝑪 = A, 𝑼𝑪 = ∅, ∅𝑪 = U

(6) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A [교환법칙]

(7) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [결합법칙]

(8) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) [배분법칙]

(9) ( A ∪ B )𝑪 = 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪, ( A ∩ B )𝑪 = 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪

[ 드 모르간의 법칙]

[증명] (6), (8) 이외의 증명은 각자에게 맡긴다.

(6) A ∪ B = {x ∣ x ∈ A 또는 x ∈ B}

= {x ∣ x ∈ B 또는 x ∈ A} = B ∪ A.

(8) A ∪ (B ∩ C) = {x ∣ x ∈ A ∪ (B ∩ C)}

= {x ∣ x ∈ A 또는 x ∈ (B ∩ C)}

= {x ∣ x ∈ A 또는 [ x ∈ B 그리고 x ∈ C]}

= {x ∣ [x ∈ A 또는 x ∈ B ] 그리고 [x ∈ A 또는 x ∈ C]}

= {x ∣ x ∈ A ∪ B 그리고 x ∈ A ∪ C}

= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

집합을 이루는 원소의 개수가 유한인 집합을 유한집합

(finite set)이라 한다. 그리고 유한이 아닌 집합을 무한집합

(infinite set)이라 한다.

유한집합 A의 원소의 개수를 n(A)로 나타내면 다음 등식

이 성립한다.

(1) n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)

(2) n(𝑨𝑪) = n(U)−n(A)

(3) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B)

−n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

원소가 단 하나뿐인 집합 {x ∣ x = a}를

단집합(singleton set)이라 하고, {a}로 나타

낸다.

x = a 또는 x = b인 원소 x 들로만 이루어진

집합을 {a, b}로 나타낸다.

집합{a, b}는 a, b의 순서에 무관한 모임으로

순서가 없는 쌍(unordered pair)이라 한다.

원소 a, b에 대하여 집합

(a, b) ={{a}, {a, b}}, (b, a) = {{b}, {a, b}}을

a와 b의 순서쌍(ordered pair)이라 한다.

순서쌍 (a, b)와 (b, a)는

a = b인 경우를 제외하고는 같지 않다.

만약 a ≠ b이면 {b} ∉ {{a}, {a, b}}이고

{{a}, {a, b}} ≠ {{b}, {a, b}}이므로

(a, b) ≠ (b, a)이다.

정 리 1.2.

원소 a, b, c, d에 대하여 (a, b) = (c, d)가 성립할 필요

충분 조건은 a = c, b = d 가 되는 것이다.

[증명] (a, b) = (c, d)일 필요충분조건은

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}이고

이것은 {a} = {c}, {a, b} = {c, d}

일 필요충분조건이다.

따라서 (a, b) =(c, d)일 필요충분조건은

a = c, b = d 이다.

집합 A, B 의 순서쌍 전체의 집합 {(a, b) ∣ a ∈ A,

b ∈ B}를

A와 B의 카테시언 곱(Cartesian product)이라 하

고, A × B 로 나타낸다.

A = ∅ 이거나 B = ∅이면 순서쌍은 존재하지 않으므

로 A × B = ∅ 이다. 또한 이의 역도 성립한다.

정 리 1.3. 집합 A, B, C에 대하여 다음 식이 성립

한다.

(1) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

(2) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

(3) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)

[증명]

(1) 모든 (x, y) ∈ A×(B ∪C)에 대하여

x ∈ A 이고 y ∈ B ∪C이다.

y ∈ B∪C 이면 y ∈ B 또는 y ∈ C이다.

이는 “ ‘x ∈ A 이고 y ∈ B이다.’ 또는

‘x ∈ A 이고 y ∈ C이다.’ “ 와 같은 명제이다.

따라서 (x, y) ∈ (A×B)∪(A×C).

즉, A×(B∪C) ⊂ (A×B)∪(A×C).

역으로 (x, y) ∈ (A×B)∪(A×C)이면

(x, y) ∈ A×B 또는 (x, y) ∈ A×C 이다.

그러므로 x ∈ A이고 y ∈ B∪C이다.

따라서 (x, y) ∈ A × (B ∪ C),

(A × B) ∪ (A × C) ⊂ A × (B ∪ C)이다.

그러므로 (1)의 등식이 성립한다.

1.2 사상

집합 A, B 의 카테시언 곱 A × B의 부분집합 f 가

다음의 조건을 모두 만족할 때,

{A, B, f}를 함수라 한다.

(1) 모든 x ∈ A 에 대하여 (x, y) ∈ f 이 되는

y ∈ B가 존재한다.

(2) (x, 𝒚𝟏) ∈ f이고 (x, 𝒚𝟐) ∈ f이면 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐이다.

이때 f 를 집합 A 에서 집합 B 로의 함수(function)

또는 사상(mapping)이라 하고, f : A → B로 나타낸다.

위의 정의에서 (x, y) ∈ f를 y = f(x)로 나타내고,

y 를 f 에 의한 x 의 상(image)이라 한다.

조건 (1)은 집합 A의 각 원소 x의 상이 반드시 존재

함을 뜻하고,

(2)는 상은 오직 하나뿐임을 의미한다.

즉, A의 임의의 원소 x에 대하여

y = f(x)인 B의 원소 y가 존재하고

오직 하나 뿐일 때,

f 는 집합 A에서 집합 B로의 사상이다.

사상 f : A → B에서 집합 A를 사상 f 의 정의

역(domain), 집합 B를 공역(codomain)이라 한다.

사상 f : A → B의 f 에 관한 상들 전체의 집합

f(A) = {f(x) ∣ x ∈ A}를 f의 치역(range)이라 한다.

치역의 원소 y는 f(x) = y가 되는 A의 원소 x가 반

드시 존재한다는 뜻이다. 집합 B의 원소 b에 대하

여 집합 𝒇−𝟏(b) = {a ∈ A ∣ f(a) = b}를

b의 원상(inverse image)이라 한다.

두 개의 사상 f, g : A → B에서 모든 x ∈ A에 대하여 f(x) = g(x)이 성립하면 f와 g는 같다(equal)고 하고, f = g 로 나타낸다. 사상 f 와 g 가 같기 위해서는 두 사상의 정의역, 공역이 각각 같고 대응값이 같아야 한다. 모든 원소 a ∈ A에 대하여 I(a) = a인 사상 I : A → A를 집합 A 위의 항등사상(identity mapping, unity mapping)이라 한다. 이 항등사상은 두 가지의 중요한 의미를 갖는다.

치역 I(A) = {a ∣ a ∈ A} = A이고 ,

I(a) =I(b) 이면 a = b 이다.

이러한 성질을 일반화하여 보자.

사상 f : A → B에서 𝑰𝑰f (= f(A))가 B와 같을 때

f 는 위로의 사상(onto mapping)

또는 전사사상(surjective mapping)이라 한다.

사상 f : A → B가 전사 일 필요충분조건은

임의의 b ∈ B에 대하여

f(a) = b인 A의 원소 a가 존재하는 것 이다. 즉,

∀b ∈ B, ∃a ∈ A s.t. f(a) = b.

사상 f 의 정의에서 a = b이면

f(a) = f(b)는 항상 성립한다. 그러나

이의 역이 항상 성립하는 것은 아니다.

명제 “ f(a) = f(b)이면 a = b이다. ”

가 항상 참일 때,

사상f는 A에서 B로의 1대1사상(one to one mapping)

또는 단사사상(injective mapping)이라 한다.

전사이면서 동시에 단사인 사상을 1대1대응사상

(one to one correspondence mapping) 또는 전단

사사상(bijective mapping )이라 한다.

항등 사상은 전단사 사상이다.

두 집합 사이에 1대1대응사상이 존재할 때,

이 두 집합은 일대일 대응관계

또는 동형관계(isomorphic relation)에 있다 고 한다.

[예 제] 1.4.

정의역과 공역이 모두 구간 A = [−1, 1]인 다음과 같

이 정의된 사상 f, g, h 가 전사, 단사, 전단사 사상인

지를 판별하여 보아라.

(1) f(x) =𝒙𝟐, (2) g(x) = 𝒙𝟑, (3) h(x) = cos x.

A = [−1, 1] f :A ->A

[풀이]

(1) f(x) =𝒙𝟐

(i) −1 ∈ A이지만

f(x) = −1 인 x ∈ A가 존재하지 않는다.

따라서

(ii) f(1) = f(−1) = 1이지만 1 ≠ −1이므로

f는 단사사상이 아니다. 전사사상이 아니다.

A = [−1, 1] g : A ->A

(2) g(x) = 𝒙𝟑

(i) g(A) = A이므로 g는 전사사상이다.

(ii) f(a) = f(b), 즉 𝒂𝟑= 𝒃𝟑이면 a = b이다.

따라서 g는 단사사상이다.

(iii) 전사이면서 단사인 사상이므로

전단사사상 이다.

A = [−1, 1] h: A −>A

(3) ) h(x) = cos x

(i) cos x = 0인 x (= 𝟑𝝅𝟐 )는 구간 A의 원소가 아니므로

h는 전사사상이 아니다. (𝝅 =3.14…)

(ii) 𝝅𝟒 ,- 𝝅

𝟒 ∈ A이고 cos 𝝅

𝟒 =cos( - 𝝅

𝟒) = 𝟏

𝟐이지만

𝝅𝟒 ≠ - 𝝅

𝟒 이므로 단사사상이 아니다.

사상 f : A → B 와 g : B → C의 합성(composition) f와 g는 사상이므로 명제 “임의의 a ∈ A에 대하여 f(a) ∈ B가 단 하나 존재한다”와 “b = f(a) ∈ B에 대하여 g(b) = g(f(a)) ∈ C가 단 하나 존재한다”를 얻는다. 그러므로 이들의 합성명제 “임의의 a ∈ A에 대하여 h(a) = c, c = g(f(a))인 C 의 원소 c가 오직 하나 존재한다” 를 얻는다. 따라서 대응 h : A → C는 하나의 사상이다. 이를 h = g ∘ f : A → C로 나타내고, 사상 f : A → B와 g : B → C의 합성사상(composition mapping)이라 한다.

[예 제] 1.5. 집합 A, B에 대한 항등사상 𝑰𝑨 , 𝑰𝑩와

사상 f : A → B에 대하여 f ∘ 𝑰𝑨= 𝑰𝑩∘ f 이 성립한다.

[풀이] ∀ a ∈ A,

(f ∘ 𝑰𝑨)(a) = f((𝑰𝑨)(a)) = f(a),

(𝑰𝑩 ∘ f)(a) = 𝑰𝑩(f(a)) = f(a).

[예 제] 1.6.

사상 f : A → B, g : B → C에 대하여

f 와 g가 동시에 1대1이면

합성사상 g ∘ f도 1대1이고,

이들이 동시에 전사이면 g ∘ f도 전사이다.

따라서 일대일대응사상의 합성은

또한 일대일대응 이다.

정 리 1.7.

사상 f : A → B, g : B → C에 대하여

다음이 성립한다.

(1) g ∘ f 가 단사이면 f 도 단사이다.

(2) g ∘ f가 전사이면 g 도 전사이다.

사상 f : A → B, g : B → C 에 대하여

(1) g ∘ f 가 단사이면 f 도 단사이다.

[증명] (1) f 가 일대일임을 보이기 위하여

a, b ∈ A, f(a) = f(b)라고 가정하자.

이 식의 양변에 사상 g를 시행하면

g(f(a)) = g(f(b)), (g ∘ f)(a) =(g ∘ f)(b).

그런데 g ∘ f가 단사이므로 a = b이다.

따라서 사상 f : A → B는 단사이다.

사상 f : A → B, g : B → C에 대하여

(2) g ∘ f 가 전사이면 g도 전사이다.

[ 증명](2) g ∘ f가 전사이면

임의의 c ∈ C에 대하여 (g ∘ f)(a) = c인

a ∈ A가 존재한다.

그러면 g(f(a)) = (g ∘ f)(a) = c에서

b = f(a)는 g(b) = c를 만족하는 B의 원소이다.

따라서 사상 g는 전사이다.

정 리 1.8.

사상 f : A → B에 대하여 다음이 성립한다.

(1) f 가 단사이기 위한 필요충분조건은

g ∘ f = 𝑰𝑨 인 사상 g : B → A가 존재하는 것이다.

(2) f가 전사이기 위한 필요충분조건은

f ∘ h = 𝑰𝑩 인 사상 h : B → A가 존재하는 것이다.

[증명] 항등사상 𝑰𝑨, 𝑰𝑩 는 전단사이므로

(1), (2)의 역은 정리 1.7에 의하여 성립한다.

사상 f : A → B가 단사이면

f(A)의 원소 b에 대하여 f(a) = b인 원소 a ∈ A가

단 하나 존재한다.

고정된 원소 q ∈ A에 대하여 다음과 같이 정의된 사

상 g : B → A를 생각하여 보자.

⎧ a, b ∈ f(A), g(b) = ⎨ q, b ∉ f(A) ⎩ 임의의 a ∈ A에 대하여 (g ∘ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = a. 이는 g ∘ f = 𝑰𝑨임을 뜻한다. f : A → B가 전사이면 f(A) = B이므로 임의의 b ∈ B에 대하여 f(a) = b인 a ∈ A가 존재한다. 그러므로 {a ∈ A ∣ f(a) = b} ≠ ∅. 이 집합의 특정한 원소 하나를 택하여 𝑎𝑏라 하고, h(b) = 𝑎𝑏 로 주어진 사상을 h : B → A라 하자. 그러면 (f ∘ h)(b) = f(h(b)) = f(𝑎𝑏) = b. 따라서 f ∘ h = 𝑰𝑩 가 성립한다.

정리 2.7에서

g : B → A를

f : A → B의 좌역사상(left inverse mapping),

h : B → A를

f : A → B의 우역사상(right inverse mapping)

이라 한다.

정 리 1.9. 사상 f : A → B가

일대일대응이기 위한 필요충분조건은

g ∘f = 𝑰𝑨, f ∘ g = 𝑰𝑩 를 만족하는

사상 g : B → A가 오직 하나 존재하는 것이다.

정리 2.8의 사상 g : B → A를 사상 f : A → B의 역사상

(inverse mapping)이라 하고, 𝒇−𝟏로 나타낸다.

그러면 𝒇−𝟏 ∘ f = 𝑰𝑨, f ∘ 𝒇−𝟏 = 𝑰𝑩 이다.

사상 f : A → B 와 g : B → C가 일대일대응이면

합성사상 g ∘ f도 일대일대응이다.

이 때, g ∘ f 의 역사상 ( g ∘ f )−𝟏 은 𝒇−𝟏 ∘ 𝒈−𝟏 이다.

[예 제] 1.10. 다음 함수 f, g의 역함수를 구하여라.

(1) f(x) = 2x − 3,

(2) g(x) = 𝒙𝟑 + 5, (x >5 )

(3) h(x) = 𝒙−𝟑𝒙−𝟐

(x ≠ 2)

[풀이] (1) y = f(x), x = 𝒇−𝟏(y)에서 x = 𝒚+𝟑

𝟐

즉 𝒇−𝟏(y) = 𝒚+𝟑𝟐

가 되고

여기서 x와 y를 교환하면 𝒇−𝟏(x) = 𝒙+𝟑𝟐

이다. [풀이] (2) y = g(x), x = 𝒈−𝟏(y)에서 x = 𝒚 − 𝟓𝟑 (y>5) 즉 𝒇−𝟏(y) = 𝒚 − 𝟓𝟑 가 되고 여기서 x와 y를 교환하면 𝒇−𝟏(x) = 𝒙 − 𝟓𝟑 (x>5)이다.

(3) h(x) = 𝑥−3𝑥−2

(x ≠ 2 )

[풀이]

(3) y = h(x), x = 𝒉−𝟏(y)에서 x = 𝒚−𝟑𝒚−𝟏

(y≠ 𝟏)

즉 𝒉−𝟏(y) = 𝒚−𝟑𝒚−𝟏

가 되고

여기서 x와 y를 교환하면 𝒉−𝟏(x) = 𝒙−𝟑𝒙−𝟏

(x ≠ 1)이

다.