바른답 알찬풀이 · 2014-01-07 · 4 바른답•알찬풀이 01. 집합 5...

수학Ⅱ450제

바른답·

알찬풀이

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01. 집합 32 바른답•알찬풀이

바른답•알찬풀이

001 ‘작은’, ‘유명한’의기준이명확하지않아그대상을분명히 알수없으므로⑵,⑶은집합이아니다.

002 ⑴A={2,3,5,7},B={2,3,5,7,9}이므로

A/<B

⑵A={1,2,4,8,16},B={1,2,4,8,16}이므로

A=B

003A={1,2,5,10}이므로집합A의원소의개수는4이다.

따라서집합A의부분집합의개수는2^4=16

집합A의진부분집합의개수는2^4-1=15

004 ㄱ.A={1,2,3,6},B={1,2,3,4,6,12}이므로

AcupB={1,2,3,6}not=Ø

ㄴ.AcupB={x|x는정사각형}not=Ø

ㄷ.A={2,4,6,8,.c3},B={1,3,5,7,.c3}이므로

AcupB=Ø

이상에서두집합A,B가서로소인것은ㄷ뿐이다.

005 ⑴드모르간의법칙에의하여A^CcupB^C=(AhapB)^C이고

AhapB={1,2,3,5}이므로

A^CcupB^C=(AhapB)^C={4}

⑵드모르간의법칙에의하여A^ChapB^C=(AcupB)^C이고

AcupB={3,5}이므로

A^ChapB^C=(AcupB)^C={1,2,4}

다른풀이 A^C={2,4},B^C={1,4}이므로

⑴A^CcupB^C={4}

⑵A^ChapB^C={1,2,4}

006 ⑴n(AhapB)=n(A)+n(B)-n(AcupB)

=12+20-10=22

⑵n(AhapB)=n(A)+n(B)-n(AcupB)에서

18=8+n(B)-4

.t3n(B)=14

007 ‘가까운’, ‘아름다운’, ‘인기있는’의기준이명확하지않아그 대상을분명히알수없으므로ㄱ,ㄹ,ㅁ은집합이아니다.

따라서집합인것은ㄴ,ㄷ,ㅂ이다.

008 ②{x|x는한자리홀수}={1,3,5,7,9}

③{x|x는9이하의홀수}={1,3,5,7,9}

④{x|x는9보다작은홀수}={1,3,5,7}

⑤{x|x는10이하의홀수}={1,3,5,7,9}

따라서나머지네집합과다른하나는④이다.

009 ①n({0,1,2})-n({0,1})=3-2=1

②n(Ø)=0

④n({x,y,z})-n({x,y})=3-2=1

⑤n({0})=1

출제확실Why?집합의 원소의 개수를 묻는 문제는 자주 출제되므로 반드시 알아 두

어야 한다. 특히, 객관식 문제에서 Ø의 원소의 개수를 묻는 보기가

자주 출제되므로 꼭 기억해 둔다.

010A={x|x는100이하의홀수}이므로

n(A)=50 .c3.c3

B={x|x는16의약수}={1,2,4,8,16}이므로

n(B)=5 .c3.c3

.t3n(A)+n(B)=50+5=55 .c3.c3

단계 채점 기준 배점 비율

n(A)의 값 구하기 40%

n(B)의 값 구하기 40%

n(A)+n(B)의 값 구하기 20%

기본 문제

001 ⑴, ⑷ 002 ⑴ A/<B ⑵ A=B

003 부분집합의 개수：16, 진부분집합의 개수：15 004 ㄷ

005 ⑴ {4} ⑵ {1, 2, 4} 006 ⑴ 22 ⑵ 14

집합01

pp. 8 ~ 10

우리학교 시험문제 pp. 11 ~ 20

007 ④ 008 ④ 009 ③ 010 55 011 ③

012 ④ 013 ③ 014 ② 015 ⑤ 016 2

017 ④ 018 ③ 019 ④ 020 3 021 ⑤

022 8 023 ② 024 ①

025 ⑴ 7 ⑵ {1, 3, 5, 7, 9} 026 ④ 027 ①

028 ④ 029 ⑤ 030 ④ 031 ① 032 8

033 31 034 32 035 ⑤ 036 ② 037 ②

038 4 039 -2rt5 -<a-<2rt5 040 ④ 041 10

042 ⑤ 043 ⑤ 044 ③ 045 ④ 046 5

047 36 048 ⑤ 049 33 050 ③ 051 7

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바른답•알찬풀이011 ③4는집합A의원소가아니므로{4}/</A

012 ①,②,③0,1,{1}은집합A의원소이므로

0\<A,{1}\<A,{0,1}/<A

④2는집합A의원소가아니므로{1,2}/</A

⑤집합A의원소는0,1,{1},{1,2}의4개이므로

n(A)=4

따라서옳지않은것은④이다.

출제확실Why?집합의 원소가 무엇인지 정확히 알고 있는가를 묻기 위하여 자주 출

제되는 문제이다. 기호 \<와 /<의 좌우에 오는 것이 원소인지 집합

인지 잘 파악할 수 있도록 한다.

013A={1,3,5},B={1,2,3,4,5}이므로

①1\<B

②1\<A

④{1,3,5}/<B

⑤n(A)=3,n(B)=5이므로

n(B)-n(A)=5-3=2

014 ②{x|x는3의배수}={3,6,9,.c3},

{x|x는6의배수}={6,12,18,.c3}이므로

{x|x는6의배수}/<{x|x는3의배수}

015A={4,8,12,.c3},B={6,12,18,.c3},

C={12,24,36,.c3}이므로

C/<A,C/<B

016A/<B이고B/<A이므로A=B .c3.c3

A=B이므로2\<A

a^2-a=2,a^2-a-2=0

(a+1)(a-2)=0

.t3a=-1또는a=2

r1para=-1일때

A={2,6,10},B={-5,2,9}이므로

Anot=B

r2para=2일때

A={2,6,10},B={2,6,10}이므로

A=B

r1par,r2par에의하여

a=2 .c3.c3


두 집합 A, B 사이의 포함 관계 파악하기 20%

a의 값 구하기 80%

참고 두집합A,B에대하여A=B이면집합A의원소와

집합B의원소가서로같다.

017A=B이므로두집합A,B의원소가서로같다.

r1parx-1=x-y,y+5=x+3y일때

y=1,x+2y=5

.t3x=3,y=1

r2parx-1=x+3y,y+5=x-y일때

3y=-1,x-2y=5

.t3x=13/3,y=-1/3

이값은x,y가양수라는조건을만족시키지않는다.

r1par,r2par에의하여x=3,y=1이므로

x-y=2

018 x^2-ax=0,x(x-a)=0

.t3x=0또는x=a

B/<A이려면a=0또는a=1또는a=2이어야한다.

따라서구하는실수a의개수는3이다.

019 C={5,9,13}이므로집합C의모든원소의합은

5+9+13=27

020 집합S는자연수를원소로갖는집합이므로x와5-x가모

두자연수이다.

즉,x->1,5-x->1

.t31-<x-<4

따라서집합S의원소가될수있는것은1,2,3,4이다.

.c3.c3

r1parn(S)=2인경우

{1,4},{2,3}의2개

r2parn(S)=4인경우

{1,2,3,4}의1개 .c3.c3

r1par,r2par에의하여집합S의개수는3이다. .c3.c3


집합 S의 원소가 될 수 있는 것 구하기 30%

집합 S의 원소의 개수가 2, 4인 경우 집합 S의

개수 구하기50%

집합 S의 개수 구하기 20%

성취도 만들기 비법A1\<S이면 4\<S이고, 2\<S이면 3\<S이므로 집합 S의 원소는

항상 짝을 이룬다. 따라서 n(S)=1, n(S)=3인 경우는 없음에

유의한다.

021A={1,2,3,4,6,12}이므로집합A의진부분집합의개

수는2^6-1=63

022 집합X는집합B의부분집합중원소1,2를포함하는부분집합이다. .c3.c3

따라서집합X의개수는2^5^-^2=2^3=8 .c3.c3

01집합

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집합 X의 조건 구하기 40%

집합 X의 개수 구하기 60%

023A={1,2,3,.c3,n}이므로1,2를포함하고n을포함하지

않는부분집합의개수는

2^n^-^2^-^1=32=2^5,2^n^-^3=2^5

.t3n=8

출제확실Why?특정한 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하

는 문제는 자주 출제되므로 다음과 같이 부분집합의 개수를 구하는

공식을 잘 기억해 두도록 한다.

집합 A={a_1, a_2, a_3, .c3, a_n}일 때

① 집합 A의 부분집합의 개수：2^n

② 집합 A의 부분집합 중 특정한 k개의 원소를 포함하는 부분집합

의 개수：2^n^-^k (단, k-<n)

③ 집합 A의 부분집합 중 특정한 k개의 원소를 포함하지 않는 부분

집합의 개수：2^n^-^k (단, k-<n)

④ 집합 A의 부분집합 중 특정한 k개의 원소를 포함하고 l개의 원

소를 포함하지 않는 부분집합의 개수：2^n^-^k^-^l (단, k+l-<n)

024r1par1을포함하는부분집합중원소가2개이상인집합의개수는 2^5^-^1-1=15

r2par2를포함하고1을포함하지않는부분집합중원소가2개

이상인집합의개수는

2^5^-^1^-^1-1=7

r3par3을포함하고1,2를포함하지않는부분집합중원소가

2개이상인집합의개수는

2^5^-^1^-^2-1=3

r4par4를포함하고1,2,3을포함하지않는부분집합중원소

가2개이상인집합의개수는

2^5^-^1^-^3-1=1

r5par5를포함하고1,2,3,4를포함하지않는부분집합중

원소가2개이상인집합은없다.

이상에서각집합의가장작은원소를모두더한값은

1\15+2\7+3\3+4\1=42

025 ⑴AcupB={5,7}에서7\<A이므로

a=7 .c3.c3

⑵A={1,3,5,7},B={5,7,9}이므로

AhapB={1,3,5,7,9} .c3.c3



집합 AhapB 구하기 50%

026 주어진벤다이어그램의색칠한부분은전체집합U를나타 내는부분에서집합AhapB를나타내는부분을제외한부분

이므로(AhapB)^C이다.

027BcupA^C=Ø이므로B-A=Ø

.t3B/<A

028A={x|x-<-1또는x->3}

AcupB={x|3-<x<5}이므로B={x|2<x<5}이어야한다.

.t3a=5

029A={a,b,c,d}이므로B={a^2,b^2,c^2,d^2}

그런데집합AcupB의모든원소의합이21이므로

21=1^2+2^2+4^2

.t3AcupB={1,4,16} .c3.c3㉠

㉠에서4\<B이므로2\<A

㉠에서16\<A이므로256\<B

.t3A={1,2,4,16},B={1,4,16,256}

따라서집합B의원소중가장큰수와가장작은수의차는

256-1=255

030 {2}cupXnot=Ø이므로2\<X

따라서원소2를포함하는집합X의개수는

2^4^-^1=8

031AhapB=U이므로집합B는A^C의원소-2,-1,0을포함

해야한다.따라서집합B의개수는

2^5^-^3=4

032AcupX=X이므로X/<A .c3.c3㉠

(A-B)hapX=X이므로(A-B)/<X .c3.c3㉡

㉠,㉡에의하여(A-B)/<X/<A .c3.c3

.t3{2,4,6}/<X/<A

따라서원소2,4,6을포함하는집합X의개수는

2^6^-^3=8 .c3.c3


(A-B)/<X/<A임을 설명하기 40%

집합 X의 개수 구하기 60%

033 ㈏에의하여B/<A이고㈐에의하여집합B는원소1,3을

포함하지않아야한다.

따라서집합B의개수는

2^7^-^2-1=31(.T3Bnot=Ø)

034AhapC=BhapC이려면오른쪽벤다이

어그램에서색칠한부분에속하는원

소가없어야한다.

.t3(A-B)/<C,(B-A)/<C

집합C는U의부분집합이므로

{(A-B)hap(B-A)}/<C/<U

A-B={2,4,8},B-A={3,9}이므로

UA

B C

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{2,3,4,8,9}/<C/<U

따라서집합C의개수는2^1^0^-^5=32

035 ⑤{1,7}cupA=Ø이므로서로소이다.

036 ②AcupB^C,A-(AcupB)를벤다이어그램으로나타내면각

각다음과같다.

UA B

A A-{A `}BÇ

UA B

≤

B

≤

따라서두집합은서로소가아니다.

⑤(AcupB)-B=Ø이므로

{(AcupB)-B}cup(B-A)=Ø

037 두집합A,B가서로소이므로

AcupB=Ø

.t3Acup(A-B)=AcupA=A

038AcupB=Ø이므로집합B는집합A의원소를포함하지않아

야한다.

따라서집합B의개수는

2^5^-^3=4

출제확실Why?서로소인 두 집합에서 부분집합의 개수를 구하는 문제는 출제될 확

률이 높으므로 서로소의 뜻과 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집

합의 개수를 구하는 방법을 잘 알아 두도록 한다.

039AcupB=Ø이므로모든실수x에대하여x^2-ax+5->0이

성립해야한다. .c3.c3

따라서이차방정식x^2-ax+5=0의판별식을D라하면

D=a^2-4.c11.c15-<0,a^2-20-<0

(a+2rt5& )(a-2rt5& )-<0

.t3-2rt5&-<a-<2rt5& .c3.c3


모든 실수 x에 대하여 x^2-ax+5->0임을 알기 50%

a의 값의 범위 구하기 50%

040Ahap(BcupC)=(AhapB)cup(AhapC)

={1,3,5}cup{1,2,3,4}

={1,3}

따라서구하는모든원소의합은1+3=4

041A^CcupB^C=(AhapB)^C .c3.c3

={2,3,5} .c3.c3

따라서구하는모든원소의합은2+3+5=10 .c3.c3


드모르간의 법칙을 이용하여 식 변형하기 30%

집합 A^CcupB^C의 원소 구하기 40%

모든 원소의 합 구하기 30%

042Ahap(AcupB)^C=Ahap(A^ChapB^C)

=(AhapA^C)hapB^C

=UhapB^C

=U

043 (A-B)-C

=( AcupB^C )cupC^C 여집합과 차집합의 성질

=A cup (B^CcupC^C) 결합법칙

=Acup(BhapC)^C 드모르간의 법칙

=A-( BhapC )

따라서옳은것은⑤이다.

044 주어진식의좌변을간단히하면 {(AcupB)hap(A-B)}cupB

={(AcupB)hap(AcupB^C)}cupB

={Acup(BhapB^C)}cupB

=(AcupU)cupB

=AcupB

따라서AcupB=A이므로A/<B

③A-B=Ø

④AcupB=A

⑤AhapB=B

따라서항상옳은것은③이다.

출제확실Why?집합의 연산법칙을 이용하여 주어진 집합을 간단히 하는 문제는 매

우 자주 출제되므로 많은 연습을 통해 익혀 두어야 한다.

045

046A◎B=Ø이므로(AhapB)-(AcupB)=Ø

따라서(AhapB)/<(AcupB)이므로A=B

그러므로집합B의원소의개수는5이다.

B C

A

B C

A

B C

A

=

A {B `} B C

{B C}

C≤

≤

A {B `}{ }C≤

≤

01집

합

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047A_2={2,4,6,.c3,20}

A_3={3,6,9,12,15,18}

A_4={4,8,12,16,20}

이므로

A_3cup(A_2hapA_4)=A_3cupA_2=A_6

={6,12,18} .c3.c3

따라서구하는모든원소의합은

6+12+18=36 .c3.c3


A_3cup(A_2hapA_4)의 원소 구하기 60%


성취도 만들기 비법A자연수 k에 대하여 k의 배수의 집합을 A_k라 할 때, 자연수 m이

자연수 n의 배수이면 A_mcupA_n=A_m, A_mhapA_n=A_n임을 이용

한다.

048 n(A^CcupB^C)=n((AhapB)^C)

=n(U)-n(AhapB)

=n(U)-{n(A)+n(B)-n(AcupB)}

=30-(10+15-7)

=12

049 n(A)=25,n(B)=16이고집합AcupB는6의배수의집합

이므로n(AcupB)=8

.t3n(AhapB)=n(A)+n(B)-n(AcupB)

=25+16-8=33

050 전체학생의집합을U,영어를신청한학생의집합을A,수

학을신청한학생의집합을B라하면

n(U)=40,n(A)=23,n(B)=25,n((AhapB)^C)=7

이때n(AhapB)=n(U)-n((AhapB)^C)

=40-7=33

.t3n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AhapB)

=23+25-33=15

수학만신청한학생의집합은B-A이므로

n(B-A)=n(B)-n(AcupB)

=25-15=10

따라서수학만신청한학생은10명이다.

출제확실Why?집합의 원소의 개수를 묻는 실생활 문제는 반드시 출제되므로 원소

의 개수를 구하는 방법을 반드시 알아 둔다. 이와 같은 유형의 문제

는 주어진 조건을 집합을 사용하여 나타낸 후, 문제를 해결하도록

한다.

051 전체학생의집합을U,부스A,B,C에서수학체험을한

학생의집합을각각A,B,C라하면

052부분집합

전략 세 집합을 수직선을 이용하여 나타낸 후, a, b의 값의 범위를

구한다.

풀이 A/<B/<C가성립하도록세집합A,B,C를수직선

을이용하여나타내면다음그림과같다.

-3 10

BC

A

-1a b x

.t3-3-<a-<-1,0-<b<1

따라서a의최댓값은-1,b의최솟값은0이므로

-1+0=-1

053 부분집합 + 집합의 연산

전략 ~f(AhapB)=f(A)+f(B)-f(AcupB)임을 이용한다.

풀이 ㈏에의하여~f(AcupB)=7 .c3.c3

㈎에의하여

n(U)=37,n(A)=20,n(B)=18,n(C)=24 .c3.c3

두부스에서만수학체험을한학생이11명이므로

n(AcupB)+n(BcupC)+n(CcupA)-3\n(AcupBcupC)=11

.t3n(AcupB)+n(BcupC)+n(CcupA)

=3\n(AcupBcupC)+11 .c3.c3

부스A,B,C에서모두수학체험을한학생수는

n(AcupBcupC)이므로

n(U)=n(AhapBhapC)

=n(A)+n(B)+n(C)

-{n(AcupB)+n(BcupC)+n(CcupA)}

+n(AcupBcupC)

=n(A)+n(B)+n(C)-2\n(AcupBcupC)-11

에서

37=20+18+24-2\n(AcupBcupC)-11

.t3n(AcupBcupC)=7 .c3.c3


주어진 조건을 집합으로 나타내고, 각 집합의

원소의 개수 구하기20%

두 부스에서만 수학 체험을 한 학생 수를 이용하

여 식 세우기30%

세 부스에서 모두 수학 체험을 한 학생 수 구하기 50%

우리학교 성취도 A 문제 pp. 21 ~ 23

052 ② 053 28 054 ② 055 ④ 056 128

057 ③ 058 ⑴ 3 ⑵ 9 059 ② 060 15

061 48 062 ② 063 ①

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f(U)=f(AhapB)

=f(A)+f(B)-f(AcupB) .c3.c3

이므로1+2+3+4+5+6=f(A)+f(B)-7

.t3f(A)+f(B)=28 .c3.c3


f(AcupB)의 값 구하기 30%

f(U)=f(A)+f(B)-f(AcupB)임을 알기 30%

f(A)+f(B)의 값 구하기 40%

054집합의 연산

전략 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

풀이 B={x|2x^2-6x+c=0}에서집합B의모든원소의

합은이차방정식의근과계수의관계에의하여3이다.

이때AcupB={2},AhapB={-3,1,2}이므로

B={1,2}

즉,2x^2-6x+c=0의두근이1,2이므로

c/2=1.c12 .t3c=4

또한,A={-3,2}이므로x^2+ax+b=0의두근은-3,

2이다.

-a=-3+2 .t3a=1

b=(-3).c12=-6

.t3a+b+c=1+(-6)+4=-1

다른풀이 AcupB={2}이므로2\<B

x=2를2x^2-6x+c=0에대입하면

8-12+c=0 .t3c=4

2x^2-6x+4=0에서2(x-1)(x-2)=0

.t3x=1또는x=2

.t3B={1,2}

AcupB={2},AhapB={-3,1,2},B={1,2}이므로

A={-3,2}

(x+3)(x-2)=0,x^2+x-6=0

.t3a=1,b=-6

.t3a+b+c=1+(-6)+4=-1

055연산을 만족시키는 부분집합의 개수

전략 AcupB=A이면 A/<B이고, AhapB=A이면 B/<A임을 이용

한다.

풀이 B={1,2,3,6}이므로

AhapB={1,2,3,5,6,7},A-B={5,7}

(AhapB)cupX=X,(A-B)hapX=X이므로

X/<(AhapB),(A-B)/<X

즉,(A-B)/<X/<(AhapB)이므로

{5,7}/<X/<{1,2,3,5,6,7}

따라서원소5,7을포함하고모든원소의합이짝수인집합

X는

{5,7},{2,5,7},{5,6,7},{1,3,5,7},{2,5,6,7},

{1,2,3,5,7},{1,3,5,6,7},{1,2,3,5,6,7}의8개

056연산을 만족시키는 부분집합의 개수

전략 AhapB=A이면 B/<A이고 AcupB=A이면 A/<B임을 이용

한다.

풀이 ㈎에서AhapX=X이므로

A/<X

따라서집합X는원소1,2를포함해야한다. .c3.c3 ㉠

B-A={3,5,7}이고

㈏에서(B-A)cupX={5,7}이므로

{3,5,7}cupX={5,7}

.t35\<X,7\<X,3\</X .c3.c3 ㉡

㉠,㉡에의하여집합X는원소1,2,5,7을포함하고3을

포함하지않아야한다.

이때전체집합U={x|1-<x-<12,x는자연수}이므로주어

진조건을만족시키는집합X의개수는

2^1^2^-^4^-^1=128

057집합의 연산법칙

전략 드모르간의 법칙을 이용한다.

풀이 ㈎에서A-B=A이므로

AcupB=Ø .c3.c3㉠

㈏에서

(A-B)^C-B=(AcupB^C)^CcupB^C

=(A^ChapB)cupB^C

=(A^CcupB^C)hap(BcupB^C)

=(A^CcupB^C)hapØ

=(AhapB)^C

={1,3}

U={1,2,3,4,6,12}이므로

AhapB=U-(AhapB)^C

={2,4,6,12} .c3.c3㉡

㉠,㉡에의하여순서쌍(A,B)의개수는

r1parn(A)=0,n(B)=4인경우

(Ø,{2,4,6,12})의1개


({2},{4,6,12}),({4},{2,6,12}),

({6},{2,4,12}),({12},{2,4,6})의4개


({2,4},{6,12}),({2,6},{4,12}),

({2,12},{4,6}),({4,6},{2,12}),

({4,12},{2,6}),({6,12},{2,4})의6개


({4,6,12},{2}),({2,6,12},{4}),

({2,4,12},{6}),({2,4,6},{12})의4개


({2,4,6,12},Ø)의1개

이상에서순서쌍(A,B)의개수는

1+4+6+4+1=16

01집

합

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02. 명제 98 바른답•알찬풀이


058집합의 연산법칙

전략 드모르간의 법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.

풀이 ⑴AcupB={3}이므로3\<B

a^2-2a=3,a^2-2a-3=0

(a+1)(a-3)=0

.t3a=-1또는a=3

r1para=-1일때

A={-3,3,5},B={2,3}

그런데집합A의원소중자연수가아닌것이있다.

r2para=3일때

A={1,3,5},B={2,3}

r1par,r2par에의하여a=3 .c3.c3

⑵A={1,3,5},B={2,3}이므로

(AcupB^C)hap(A^ChapB^C)^C=(AcupB^C)hap(AcupB)

=Acup(B^ChapB)

=AcupU=A

={1,3,5} .c3.c3

따라서구하는모든원소의합은1+3+5=9 .c3.c3



주어진 집합 구하기 40%


059새롭게 정의된 집합의 연산

전략 집합 A_1, A_2, A_3, .c3 을 차례로 구하여 교집합을 구한다.

풀이 A_1={x|2-<x-<14},

A_2={x|5-<x-<25},

A_3={x|8-<x-<36},

A_4={x|11-<x-<47},

A_5={x|14-<x-<58},

A_6={x|17-<x-<69},

.^3

이므로

A_1cupA_2={x|5-<x-<14}

A_1cupA_2cupA_3={x|8-<x-<14}

A_1cupA_2cupA_3cupA_4={x|11-<x-<14}

A_1cupA_2cup.c3cupA_5={14}

A_1cupA_2cup.c3cupA_6=Ø

따라서k의최댓값은5이다.

060조건을 만족시키는 집합

1단계 a의 값은 64의 약수임을 이용한다.

a\<A이면64/a\<A이고A의모든원소가자연수이므로a의

값은64의약수이다.

따라서a의값은1,2,4,8,16,32,64가될수있다.

2단계 n(A)의 값이 1, 2, 3, .c3, 7인 경우의 집합 A의 개수를 각각

구한다.

r1parn(A)=1인경우

{8}의1개


{1,64},{2,32},{4,16}의3개


{1,8,64},{2,8,32},{4,8,16}의3개


{1,2,32,64},{1,4,16,64},{2,4,16,32}의3개


{1,2,8,32,64},{1,4,8,16,64},

{2,4,8,16,32}의3개


{1,2,4,16,32,64}의1개


{1,2,4,8,16,32,64}의1개

3단계 집합 A의 개수를 구한다.

이상에서집합A의개수는

1+3+3+3+3+1+1=15

성취도 만들기 비법A8 이외의 1과 64, 2와 32, 4와 16은 둘 중 하나만 원소가 되어서

는 안 되고 반드시 짝을 이루어야 함에 유의한다.

061부분집합의 개수

1단계 집합 A의 공집합이 아닌 부분집합의 개수를 구한다.

A={1,2,4,8}이므로집합A의공집합이아닌부분집합

의개수는

2^4-1=15

2단계 집합 A_1, A_2, .c3, A_1_5에서 원소 1, 2, 4, 8이 포함된 횟수를

구한다.

집합A={1,2,4,8}의부분집합중원소1을포함하는부

분집합의개수는2^4^-^1=8이므로

f(A_1)\f(A_2)\f(A_3)\.c3\f(A_1_5)에는1이8번곱해져

있다.

마찬가지로f(A_1)\f(A_2)\f(A_3)\.c3\f(A_1_5)에는2,

4,8이각각8번씩곱해져있다.

.t3f(A_1)\f(A_2)\f(A_3)\.c3\f(A_1_5)

=1^8\2^8\4^8\8^8

=2^8\2^1^6\2^2^4

=2^4^8

.t3k=48

062집합의 연산

1단계 집합 A, B를 좌표평면 위에 나타낸다.

A={(x,y)|x^2-2x-y+1-<0}

={(x,y)|y->x^2-2x+1}

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B={(x,y)|x^2+y-1-<0}

={(x,y)|y-<-x^2+1}

이므로집합AcupB를좌표평면

위에나타내면오른쪽그림의

색칠한부분~(경계선포함)과같

다.

2단계 x+y=k (k는 상수)로 놓고 k의 값이 최대가 되게 하는 점의

좌표를 구한다.

x+y=k(k는상수)로놓으면y=-x+k이므로이차함수

y=-x^2+1의그래프와직선y=-x+k가접할때k의값

이최대가된다.

-x^2+1=-x+k에서

x^2-x+k-1=0 .c3.c3㉠

위의이차방정식의판별식을D라하면

D=1-4(k-1)=0,-4k=-5

.t3k=5/4

k=5/4를㉠에대입하면

x^2-x+5/4-1=0,x^2-x+1/4=0

Ñx-1/2)^^2=0

.t3x=1/2

x=1/2을y=-x^2+1에대입하면y=3/4

따라서a=1/2,b=3/4이므로

ab=1/2\3/4=3/8

063원소가 유한개인 집합의 원소의 개수

1단계 n(A), n(B)의 값을 구한다.

A산에오른경험이있는회원의집합을A,B산에오른경

험이있는회원의집합을B라하면

n(A)=24,n(B)=22

2단계 n(AcupB)의 값을 구한다.

n(AhapB)=n(A)+n(B)-n(AcupB)

=24+22-n(AcupB)

.t3n(AcupB)=46-n(AhapB)

3단계 n(AhapB)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하여 n(AcupB)의 최

댓값과 최솟값을 구한다.

24-<n(AhapB)-<38이므로

46-38-<46-n(AhapB)-<46-24

.t38-<n(AcupB)-<22

따라서n(AcupB)의최댓값은22,최솟값은8이므로

22+8=30

x

y

O 1-1

1

y=x@-2x+1

y=-x@+1

02명

제

064 ⑴사람에따라‘큰수’의기준이다를수있으므로참,거짓

을판별할수없다.따라서주어진문장은명제가아니다.

⑵명제이다.

부정：8은10의약수가아니다.

⑶참,거짓을판별할수없으므로명제가아니다.

⑷명제이다.

부정：어떤실수x에대하여x^2not=2이다.

065 ⑴역：a=0이고b=0이면ab=0이다.(참)

` `대우：anot=0또는bnot=0이면abnot=0이다.(거짓)

[반례]a=2,b=0이면ab=0이다.

⑵역：a+b가자연수이면a,b도모두자연수이다.(거짓)

[반례]a=2,b=0이면a+b=2이지만b는자연수가

아니다.

` `대우：a+b가자연수가아니면a또는b는자연수가아

니다.(참)

066 두조건p,q의진리집합을각각P,Q라하자.

⑴P={1,2},Q={1,2,4,8}이므로

P/<Q

따라서p는q이기위한충분조건이다.

⑵P={-2,2},Q={2}이므로

Q/<P

따라서p는q이기위한필요조건이다.

⑶임의의실수x,y에대하여x^2->0,y^2->0이므로

P={(x,y)|x=0,y=0},

Q={(x,y)|x=0,y=0}

.t3P=Q

따라서p는q이기위한필요충분조건이다.

다른풀이 ⑵x=-2일때,x^2=4이지만xnot=2이므로명제

p>?Cq는거짓이다.

x=2일때,x^2=4이므로명제q>?Cp는참이다.


기본 문제

064 명제인 것：⑵, ⑷

⑵ 8은 10의 약수가 아니다.

⑷ 어떤 실수 x에 대하여 x^2not=2이다.

065 풀이 참조

066 ⑴ 충분조건 ⑵ 필요조건 ⑶ 필요충분조건

명제02

pp. 24 ~ 26

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067 ①,②,③참인명제이다.

④사람에따라‘재미있다.’의기준이다를수있으므로참,

거짓을판별할수없다.따라서주어진문장은명제가아

니다.

⑤거짓인명제이다.

따라서명제가아닌것은④이다.

068 ①,②참,거짓을판별할수없으므로명제가아니다.

③1은소수도합성수도아니므로거짓인명제이다.

④3의배수인9는6의배수가아니므로거짓인명제이다.

출제확실Why?명제의 참, 거짓을 판별하는 문제는 출제될 확률이 매우 높은 문제

이다. 명제가 거짓인 경우에는 반례를 들도록 한다.

069 ①x^2-6x+8=0에서(x-2)(x-4)=0

.t3x=2또는x=4

.t3P={2,4}

②U={0,1,2,3,4,5}의원소중소수는2,3,5이므로

P={2,3,5}

③U={0,1,2,3,4,5}의원소중홀수는1,3,5이므로

P={1,3,5}

④0-<x<4에서x는0,1,2,3이고xnot=2이므로

P={0,1,3}

⑤U={0,1,2,3,4,5}의원소중6의약수는1,2,3이

므로P={1,2,3}

따라서옳게짝지어진것은④이다.

070 ⑴두조건p,q의진리집합을각각P,Q라하면

x^2-x-2=0에서(x+1)(x-2)=0

.t3x=-1또는x=2

.t3P={-1,2} .c3.c3

x^2=1에서(x+1)(x-1)=0

.t3x=-1또는x=1

.t3Q={-1,1} .c3.c3

⑵‘p또는q’의진리집합은PhapQ이므로

PhapQ={-1,1,2} .c3.c3


조건 p의 진리집합 구하기 30%

조건 q의 진리집합 구하기 50%

‘p 또는 q’의 진리집합 구하기 20%

071 ‘적어도하나’의부정은‘모두’이고, ‘짝수’의부정은‘홀수’이

므로주어진조건의부정은

‘자연수x,y는모두홀수이다.’

072 조건‘-2<x-<3’은‘x>-2이고x-<3’과같다.

따라서조건‘-2<x-<3’의부정은

‘x-<-2또는x>3’

참고 ‘이고’의부정은‘또는’이고, ‘>’의부정은‘-<’이고,

‘-<’의부정은‘>’이다.

073 ‘p이고q’의부정은‘~p또는~q’ ~p：x-<-1또는x->5

~q：x<2

이므로‘~p또는~q’는‘x<2또는x->5’

074 ‘~p또는q’의부정은‘p이고~q’ 조건p,q의진리집합을각각P,Q라하면

P={-1,0,1,2},Q={2}이므로‘p이고~q’의진리집

합은

PcupQ^C={-1,0,1} .c3.c3

따라서구하는진리집합의원소의개수는3이다. .c3.c3


부정의 진리집합 구하기 80%

부정의 진리집합의 원소의 개수 구하기 20%

참고 두조건p,~q의진리집합은각각P,Q^C이며,

‘p이고~q’의진리집합은PcupQ^C이다.

075 ㄱ.모든실수x에대하여x^2->0이므로x^2+1>0

따라서주어진명제는참이다.

ㄴ.x=0이면x+5=5>0이므로주어진명제는거짓이다.

ㄷ.x=3이면x+3=6>5이므로주어진명제는참이다.

ㄹ.x=0이면x^2=0이므로주어진명제는참이다.

이상에서참인명제는ㄱ,ㄷ,ㄹ이다.

출제확실Why?‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓을 판별하는 문제는 자주

출제되므로 ‘모든’과 ‘어떤’의 의미를 꼭 이해하고 있어야 한다.


067 ④ 068 ⑤ 069 ④

070 ⑴ {-1, 2}, {-1, 1} ⑵ {-1, 1, 2} 071 ③

072 ③ 073 ⑤ 074 3 075 ⑤ 076 ③

077 ② 078 ④ 079 ③ 080 ② 081 4, 12

082 6 083 ② 084 ⑤ 085 ② 086 ③

087 ⑤ 088 ④ 089 ④ 090 ③ 091 9

092 2 093 ⑤ 094 ③ 095 ③ 096 ③

097 ㈎ 홀수 ㈏ 홀수 098 풀이 참조 099 ②

100 ④ 101 -2 102 7 103 ① 104 ⑤

105 ③ 106 1-<m<4 107 ⑤ 108 15/2

109 ③ 110 ③ 111 10root13 112 ② 113 80

114 54`m^2

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바른답•알찬풀이02

명제

076 주어진명제의부정은‘어떤사람은수학적사고를하지않는 다.’,즉‘수학적사고를하지않는사람도있다.’이다.

077 주어진명제는‘모든마름모는평행사변형이다.’와같으므로 부정은‘어떤마름모는평행사변형이아니다.’,즉‘평행사변

형이아닌마름모가있다.’이다.

078 ①주어진명제의부정은 ‘어떤음수x에대하여x^2-<0’

이때x^2-<0을만족시키는음수x는존재하지않으므로

주어진명제의부정은거짓이다.

②주어진명제의부정은

‘어떤실수x에대하여x^2+1<0’

이때x^2+1<0을만족시키는실수x는존재하지않으므

로주어진명제의부정은거짓이다.

③주어진명제의부정은

‘모든실수x,y에대하여x+ynot=7’

이때x=3,y=4이면x+y=7이므로주어진명제의부

정은거짓이다.

④주어진명제의부정은

‘어떤실수x,y에대하여x^2+y^2-<0’

이때x=0,y=0이면x^2+y^2=0이므로주어진명제의

부정은참이다.

⑤주어진명제의부정은

‘모든실수x에대하여x^2+3x+2not=0’

이때x=-1이면x^2+3x+2=0이므로주어진명제의

부정은거짓이다.

따라서명제의부정이참인것은④이다.

다른풀이 ①,②주어진명제가참이므로그부정은거짓이다.

③x=0,y=7이면주어진명제가참이므로그부정은거짓

이다.

④x=0,y=0이면주어진명제가거짓이므로그부정은참

이다.

⑤x=-1이면주어진명제가참이므로그부정은거짓이다.

성취도 만들기 비법A명제 p가 거짓이면 그 부정 ∼p는 참임을 이용하여 부정이 참인

명제를 찾을 수 있다.

079 ㄴ.예각삼각형은세내각의크기가모두예각인삼각형이다. 따라서용어의정의로옳은것은ㄱ,ㄷ이다.

080 ①,③,④,⑤는정의이다.

②는정리이다.

081 주어진명제의가정은‘x는12의약수이다.’이고,

결론은‘x는6의약수이다.’이다.

가정의진리집합은

{1,2,3,4,6,12}

결론의진리집합은

{1,2,3,6}

따라서반례는4,12이다.

참고 가정과결론으로이루어진명제에서가정은만족시키

지만결론을만족시키지않는한가지의예만있어도거짓인

명제가된다.이와같은예를반례라한다.

082 a^2+b^2이짝수이지만ab가짝수가아닌순서쌍(a,b)를찾

으면된다. .c3.c3

a^2+b^2이짝수인경우는두수a^2,b^2이모두짝수인경우이

거나모두홀수인경우이다. .c3.c3㉠

또,ab가짝수가아닌,즉홀수인경우는두수a,b가모두

홀수인경우이다. .c3.c3㉡

㉠,㉡을모두만족시키는두수a,b는모두홀수인경우이

므로순서쌍은

(1,3),(1,5),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5) .c3.c3

따라서순서쌍(a,b)의개수는6이다. .c3.c3


순서쌍 (a, b)의 조건 알기 30%

순서쌍 (a, b) 구하기 50%

순서쌍 (a, b)의 개수 구하기 20%

출제확실Why?명제가 거짓임을 보이는 반례를 찾는 문제는 시험에 자주 출제되는

문제 중 하나이므로 반례를 찾는 것을 많이 연습해 두도록 한다.

083 ②[반례]x=2이면x는소수이지만짝수이다.(거짓)

084 ①[반례]n=2이면n은소수이지만n^2=4로짝수이다.

(거짓)

②[반례]x=root2,y=root2이면xy=2가유리수이지만x와y

는무리수이다.(거짓)

③[반례]x=0,y=root2이면x는유리수이고y는무리수이지

만xy=0으로유리수이다.(거짓)

④[반례]a=1,b=i이면a^2+b^2=1+(-1)=0이지만

anot=0이고bnot=0이다.(거짓)

출제확실Why?명제의 참, 거짓을 판별하는 문제는 시험에 자주 출제되는 문제이므

로 잘 알아 두도록 한다. 명제의 참, 거짓을 판단하려면 조건을 만족

시키는 집합을 생각해서 포함 관계를 생각해야 한다.

하지만 포함 관계로 명제의 거짓을 판단하기 힘들 때에는 반례를 찾

아서 주어진 명제가 거짓임을 밝히는 것이 훨씬 간편하다.

일등급수2해설(10-17)ok.indd 11 13. 11. 29. 오후 5:48



085 ㄱ.실수a,b에대하여a^2+b^2=0이면a=b=0이므로

|a|+|b|=0이다.(참)

ㄴ.x=1이면x^2=1이다.(참)

ㄷ.이등변삼각형이항상정삼각형이될수는없다.(거짓)

이상에서참인명제는ㄱ,ㄴ이다.

086 명제p>?C~q가참이면P/<Q^C U

QP 따라서두집합P,Q를벤다이어그

램으로나타내면오른쪽그림과같다.

①,②PcupQ=Ø

③PcupQ^C=P

④,⑤P^ChapQ=P^C

따라서항상옳은것은③이다.

087 ①P/</Q이므로p>?Cq는거짓이다.

②P/</R^C이므로p>?C~r는거짓이다.

③Q/</P이므로q>?Cp는거짓이다.

④R^C/</Q^C이므로~r>?C~q는거짓이다.

⑤P^C/<R^C이므로~p>?C~r는참이다.

따라서반드시참인명제는⑤이다.

088 세집합P,Q,R에대하여

Q/<(PcupR)인관계를만족시키

도록벤다이어그램으로나타내면

오른쪽그림과같다.

①P^C/<Q^C이므로~p>?C~q는

참이다.

②Q/<R이므로q>?Cr는참이다.

③R^C/<Q^C이므로~r>?C~q는참이다.

④P/</Q^C이므로p>?C~q는거짓이다.

⑤Q/<P이므로q>?Cp는참이다.

따라서거짓인명제는④이다.

089 p>?C~q,~q>?Cr,q>?C~r가모두참이므로 P/<Q^C,Q^C/<R, Q/<R^C

ㄱ.P/<Q^C이므로PcupQ=Ø(참)

ㄴ.P/<Q^C,Q^C/<R이므로P/<R

.t3PcupR=P(거짓)

ㄷ.Q^C/<R,Q/<R^C이므로Q^C=R

.t3QhapR=U(참)

이상에서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.

090 주어진명제가참이되려면 {x|2-<x<3}/<{x|a-1-<x<a+2}

이어야하므로오른쪽그림에서

a-1-<2,a+2->3

.t31-<a-<3

U

QP R

xa-1 a+232

091 두조건p,q의진리집합을각각P,Q라하면

P={x|2<x<2a}

Q=Õx|a/2-<x<8Ö

명제p>?Cq가참이되려면

P/<Q이어야하므로오른쪽그

림에서

a/2-<2,2a-<8

.t3a-<4

이때a>1이므로1<a-<4에서모든정수a의값의합은

2+3+4=9

출제확실Why?명제의 조건이 부등식으로 주어지고 명제의 참, 거짓을 만족시키는

미지수의 값을 구하는 문제는 자주 출제되는데 주어진 명제가 참이

되도록 하는 미지수의 값을 구하기 위해서는 우선 진리집합의 포함

관계를 따지면 된다. 집합의 포함 관계를 알면 각 집합을 수직선 위

에 나타내어 미지수의 값을 구할 수 있다.

092 |x-1|-<h에서

-h-<x-1-<h

.t3-h+1-<x-<h+1

따라서두조건p,q의진리집합을각각P,Q라하면

P={x|-h+1-<x-<h+1}

Q={x|-7-<x-<3} .c3.c3

명제‘p이면q이다.’가참이되려면P/<Q이어야하므로

.c3.c3

오른쪽그림에서

-h+1->-7,h+1-<3

.t3h-<2 .c3.c3

따라서양수h의최댓값은2이다. .c3.c3


두 조건의 진리집합 구하기 40%

두 조건의 진리집합 사이의 포함 관계 구하기 10%

h의 값의 범위 구하기 40%

h의 최댓값 구하기 10%

093 주어진명제의대우는‘어떤각이직각이아닌사각형은직사 각형이아니다.’,즉‘적어도한각이직각이아닌사각형은

직사각형이아니다.’이다.

094 ①명제：|x|+|y|=0이면xy=0이다.(참)

~~~~~~~역：xy=0이면|x|+|y|=0이다.(거짓)

[반례]x=0,y=1이면xy=0이지만

|x|+|y|=1이다.

②명제：x^2=y^2이면x=y이다.(거짓)

[반례]x=2,y=-2이면x^2=y^2이지만xnot=y이다.

~~~~~~~역：x=y이면x^2=y^2이다.(참)

xa-282a2

QP

x3h+1-h+1-7

QP

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명제

③명제：xy=0이면x=0또는y=0이다.(참)

~~~~~~~역：x=0또는y=0이면xy=0이다.(참)

④명제：x+yroot2=0이면x=0,y=0이다.(거짓)

[반례]x=2,y=-root2이면x+yroot2=0이지만

xnot=0,ynot=0이다.

~~~~~~~역：x=0,y=0이면x+yroot2=0이다.(참)

⑤명제：|x-y|=y-x이면x>y이다.(거짓)

[반례]x=-2,y=1이면|(-2)-1|=1-(-2)

이지만-2<1이다.

~~~~~~~역：x>y이면|x-y|=y-x이다.(거짓)

[반례]] x=2,y=-1이면x>y이지만

|2-(-1)|not=(-1)-2이다.

따라서명제와그명제의역이모두참인것은③이다.

095 명제p>?Cq,q>?C~r가모두참이므로명제p>?C~r 가참이다.따라서참인명제의대우도항상참이므로

r>?C~p도항상참이다.

096 명제~q>?Cp의역p>?C~q가참이므로 P/<Q^C

출제확실Why?참인 명제로 진리집합의 포함 관계를 파악하는 문제는 시험에 자주

출제되는 문제이면서 문제의 조건으로 사용되는 경우도 많으므로

잘 익혀 두도록 한다.

097 주어진명제의대우‘자연수m,n에대하여m과n이홀수

이면mn은 홀수 이다.’를증명하면된다.

m과n이홀수이면

m=2k+1,n=2l+1(k와l은0또는자연수)

로나타낼수있으므로

mn=(2k+1)(2l+1)

=4kl+2k+2l+1

=2(2kl+k+l)+1

이때2kl+k+l은0또는자연수이므로mn은 홀수 이다.

즉,m과n이홀수이면mn은 홀수 이다.

따라서자연수m,n에대하여mn이짝수이면m또는n이

짝수이다.

098 주어진명제의대우는‘자연수n에대하여n이홀수이면n^2도 홀수이다.’이다. .c3.c3

n이홀수이면

n=2k+1(k는0또는자연수)

로나타낼수있다.이때 .c3.c3

n^2=(2k+1)^2

=2(2k^2+2k)+1

이때2(2k^2+2k)는0또는짝수이므로n^2은홀수이다.

.c3.c3

따라서주어진명제의대우가참이므로주어진명제도참이

다. .c3.c3


주어진 명제의 대우 구하기 30%

n이 홀수임을 식으로 표현하기 30%

n^2이 홀수임을 보이기 30%

대우를 이용하여 주어진 명제가 참임을 보이기 10%

099 root2~`가유리수라가정하면서로소인자연수m,n에대하여

root2=;n/m:꼴로나타낼수있다.이때양변을제곱하면

2=n^2m^2 .t3n^2=2m^2 .c3.c3㉠

㉠에서n^2은2의배수이므로 n 도2의배수이다.

n =2k(k는자연수)로놓고㉠에대입하면

m ^2=2k^2

이때m^2은2의배수이므로m도2의배수가되어m,n이

서로소라는가정에모순이다.

따라서root2`는무리수이다.

참고 직접증명하기힘든명제는귀류법을이용하여증명

한다.

100 ①x>0,y>0이면xy>0이므로pLLOq

xy>0이면x>0,y>0또는x<0,y<0이므로

qLL㈂Op


②|x|<1이면-1<x<1이므로

pLLOq,qLL㈂Op


③x=1,y=-2이면x>y이지만x^2<y^2이므로

pLL㈂Oq

x=-2,y=-1이면x^2>y^2이지만x<y이므로

qLL㈂Op

따라서p는q이기위한충분조건도필요조건도아니다.

④x=2,y=0,z=3이면xy=yz이지만xnot=z이므로

pLL㈂Oq

x=z이면xy=yz이므로qLLOp


⑤x+y=0,xy=0이면x=y=0이므로pLLOq

x=y=0이면x+y=0,xy=0이므로qLLOp


따라서p가q이기위한필요조건이지만충분조건이아닌것

은④이다.

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101 x-<2는x-<a이기위한필요조건이

므로오른쪽그림에서

a-<2

따라서a의최댓값은2이다.

또,x->b는x->-4이기위한충분조

건이므로오른쪽그림에서

b->-4

따라서b의최솟값은-4이다.

.t32+(-4)=-2

102 두조건p,q의진리집합을각각P,Q라하자.q는p이기위

한필요조건이므로

P/<Q .c3.c3

두집합P,Q를수직선위에나

타내면오른쪽그림과같다.

k+2>-4이고k+5-<6이므로

-6<k-<1 .c3.c3

따라서정수k는-5,-4,-3,-2,-1,0,1의7개이다.

.c3.c3


두 집합 P, Q의 포함 관계 구하기 30%

k의 값의 범위 구하기 40%

정수 k의 개수 구하기 30%

103 ①rLLOq이면~qLLO~r이므로pLLO~qLLO~r 즉,pLLO~r이다.(참)

②~rLLOq이면~qLLOr이므로pLLO~qLLOr

즉,pLLOr이다.(거짓)

③qLLO~p이면pLLO~q이므로pLLO~qLLOr


④~rLLO~q이면qLLOr이므로pLLOqLLOr


⑤조건p,q는관계를알수없다.(거짓)

따라서옳은것은①이다.

104 진술의내용을명제라하고조건p,q,r,s를다음과같이 정한다.

p：수학을잘하는학생이다.

q：머리가좋다.

r：물리를잘하는학생이다.

s：컴퓨터를잘하는학생이다.

이때㈎,㈏를다음과같이나타낼수있다.

㈎pLLOq

㈏pLLO(r또는s)

이때명제p?Cq와p?C(r또는s)가참이면그대우인

명제~q?C~p와(~r이고~s)?C~p가참이다.

따라서반드시참인것은⑤이다.

xa 2

x-4 b

x6k+5k+2-4

QP

105 이차부등식x^2-4x+a->0이모든실수x에대하여참이되

려면이차방정식x^2-4x+a=0의판별식을D라할때,

D-<0이어야하므로

;D/4:=(-2)^2-a-<0

.t3a->4

따라서실수a의최솟값은4이다.

106 (m-1)x^2+2(m-1)x+3>0에서

r1parm=1일때

0.c1x^2+0.c1x+3>0이므로모든실수x에대하여항상성

립한다. .c3.c3

r2parmnot=1일때

모든실수x에대하여성립하려면

m-1>0 .t3m>1 .c3.c3㉠

(m-1)x^2+2(m-1)x+3=0의판별식을D라할때,

;D/4:=(m-1)^2-3(m-1)<0

m^2-5m+4<0,(m-1)(m-4)<0

.t31<m<4 .c3.c3㉡

㉠,㉡의공통부분은1<m<4 .c3.c3

따라서r1par,r2par에서1-<m<4 .c3.c3


m=1일 때, 부등식의 성립 조건 구하기 20%

mnot=1일 때, 이차부등식의 성립 조건 구하기 50%

m의 값의 범위 구하기 30%

출제확실Why?부등식이 항상 성립할 조건에 대한 문제는 자주 출제되므로 잘 알아

두어야 한다. 이때 이차항의 계수의 값이 0일 때 모든 x에 대하여

주어진 부등식이 항상 성립하는지도 따져 보아야 한다.

107 a>0,b>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여

(2a+b)(1/2a+1/b)=1+2a/b+b/2a+1

->2+252a/b.c1b/2ag=4

(단,등호는2a/b=b/2a일때성립)

따라서(2a+b)(1/2a+1/b)의최솟값은4이다.

108 3x+ 6

2x-1 에서

3/2(2x-1)+ 6

2x-1 +3/2 .c3.c3

이때x>1/2이므로

3/2(2x-1)>0,6

2x-1 >0

산술평균과기하평균의관계에의하여

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명제

3x+ 6

2x-1 =3/2(2x-1)+

62x-1

+3/2

->3/2+253/2(2x-1b).c16

2x-1b .c3.c3

=3/2+6

=15/2

(단,등호는3/2(2x-1)= 6

2x-1 일때성립)

따라서3x+ 6

2x-1 의최솟값은15/2이다. .c3.c3


주어진 식을 변형하기 40%

산술평균과 기하평균의 관계 이용하기 40%

최솟값 구하기 20%

109 x>0,y>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여

x^2+y^2->2@x^2y^2=2xy(단,등호는x=y일때성립)

그런데x^2+y^2=2이므로

2->2xy

.t3xy-<1

따라서xy의최댓값은1이다.

출제확실Why?A>0, B>0일 때, 두 식 A, B를 적당히 변형하여 산술평균과 기

하평균의 관계를 이용하는 문제 중, A+B의 값이 일정할 때 AB의

최댓값을 구하는 문제나, AB의 값이 일정할 때 A+B의 최솟값을

구하는 문제는 매우 자주 출제되므로 반드시 익혀 두어야 한다.

110 ㄱ.x,y가실수이므로 x^2-xy+y^2=(x^2-xy+1/4y^2)+3/4y^2

=(x-1/2y)^^2+3/4y^2->0

.t3x^2-xy+y^2->0(참)

ㄴ.x>0,y>0이므로산술평균과기하평균의관계에의하여

xy+4/xy->24xy.c14/xyv~=4

(단,등호는xy=4/xy일때성립)

.t3xy+4/xy->4(참)

ㄷ.코시-슈바르츠의부등식에의하여

{1^2+(-2)^2}(x^2+y^2)->(x-2y)^2

5(x^2+y^2)->(x-2y)^2(단,등호는x=-y/2일때성립)

.t3(x-2y)^2-<5(x^2+y^2)(거짓)

이상에서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.

111 코시-슈바르츠의부등식에의하여

(2^2+3^2)(a^2+b^2)->(2a+3b)^2이므로

13.c1100->(2a+3b)^2

(2a+3b)^2-<1300

.t3-10root13 -<2a+3b-<10root13

(단,등호는a/2=b/3일때성립)

따라서2a+3b의최댓값은10root13이다.

성취도 만들기 비법A코시－슈바르츠의 부등식은 일반적으로 제곱의 합이 일정할 때,

주어진 식의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제에 이용된다.

112 코시-슈바르츠의부등식에의하여

(a^2+b^2)(c^2+d^2)->(ac+bd)^2

4.c116->(ac+bd)^2,(ac+bd)^2-<64

.t3-8-<ac+bd-<8(단,등호는c/a=d/b일때성립)

따라서ac+bd의최솟값은-8이다.

(a-b)^2->0에서a^2+b^2->2ab .c3.c3㉠

㉠에서a^2+b^2=4이므로

4->2ab .t3ab-<2 .c3.c3㉡

(c-d)^2->0에서c^2+d^2->2cd .c3.c3㉢

㉢에서c^2+d^2=16이므로

16->2cd .t3cd-<8 .c3.c3㉣

㉡,㉣에서ab+cd-<10이므로ab+cd의최댓값은10이다.

.t3-8+10=2

113 (A의부피)=3xy-1=47

.t3xy=16

(A의겉넓이)=2(xy+3x+3y)

=32+6(x+y)


32+6(x+y)->32+12rootxy=32+12root16&=80

(단,등호는x=y일때성립)

따라서A의겉넓이의최솟값은80이다.

114 색칠한두직사각형의가로,세로의

길이를각각a,b와x,y라하면

ab=6,xy=24

큰직사각형의넓이는

(a+x)(b+y)이므로산술평균과

기하평균의관계에의하여

(a+x)(b+y)=ab+ay+bx+xy

=6+ay+bx+24

->30+21abxyz

=30+216.c1a24a

=54(단,등호는ay=bx일때성립)

따라서큰직사각형의넓이의최솟값은54`m^2이다.

x

y

b

a

6`m@

24`m@

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119 명제가 참이 될 조건 + 부분집합의 개수

전략 명제가 참이 될 조건을 찾아 집합 Q의 개수를 구한다.

풀이 P={1,2,5,10}이고명제~p>?Cq가참이려면

P^C/<Q이어야한다.

.t3{3,4,6,7,8,9}/<Q/<U .c3.c3

집합Q는전체집합U의부분집합중3,4,6,7,8,9를포

함하는집합이다.

따라서집합Q의개수는2^1^0^-^6=16 .c3.c3


집합 Q의 조건 구하기 60%

집합 Q의 개수 구하기 40%

120 충분조건, 필요조건, 필요충분조건

전략 두 조건 p, q에 대하여 p LLO q이고 q LLO p인 것을 찾는다.

풀이 ㄱ.x=2이면x^2-5x+6=0이므로pLLOq

x=3이면x^2-5x+6=0이지만x-2not=0이므로qLL㈂Op


ㄴ.AcupB=A이면AhapB=B이므로pLLOq

AhapB=B이면AcupB=A이므로qLLOp


ㄷ.x=3이면|x|-<3이지만x>2이므로pLL㈂Oq

0-<x-<2이면|x|-<3이므로qLLOp


ㄹ.|a|=|b|이면a^2=b^2이므로pLLOq

a^2=b^2이면|a|=|b|이므로qLLOp


이상에서p는q이기위한필요충분조건인것은ㄴ,ㄹ이다.

121코시-슈바르츠의 부등식

전략 실수 a, b, c, x, y, z에 대하여

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)->(ax+by+cz)^2임을 이용한다.

풀이 코시-슈바르츠의부등식에의하여

{1^2+(-3)^2+2^2}(x^2+y^2+z^2)->(x-3y+2z)^2

x^2+y^2+z^2=2이므로(x-3y+2z)^2-<28

.t3-2root7-<x-3y+2z-<2root7

(단,등호는x=-y/3=z/2일때성립)

따라서x-3y+2z의최댓값은2root7이다.

122절대부등식의 활용

전략 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.

풀이 ^-BC^-=x,^-CD^-=y라하면xy=1200 .c3.c3㉠

철수가지불해야하는총비용은

(3/2x+2y)k(단,k는상수이다.)


(3/2x+2y)k->(2root3xy)k=120k

(단,등호는3/2&x=2y일때성립)

115 조건과 진리집합

전략 조건의 진리집합을 수직선 위에 나타내어 a의 값의 범위를 구한다.

풀이 P={x|-1-<x-<4},

Q={x|a-3-<x-<a+6}에서

PcupQnot=Ø이되려면오른쪽

그림과같아야하므로

a+6->-1,a-3-<4

.t3-7-<a-<7 .c3.c3

따라서정수a의개수는15이다. .c3.c3



정수 a의 개수 구하기 20%

116 조건의 부정

전략 주어진 조건과 같은 조건을 찾아낸 후, ‘또는’, ‘그리고’를 사용

하여 조건의 부정을 나타낸다.

풀이 조건 ‘(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0 ’은조건

‘x=y=z’와같으므로주어진조건의부정은

‘xnot=y또는ynot=z또는znot=x’

참고 임의의실수a에대하여a^2->0이므로

a^2+b^2=0이면a=0이고b=0

117 명제의 참, 거짓과 진리집합 사이의 관계

전략 두 진리집합 P, Q 사이의 포함 관계가 P/<Q이면 명제

p ?C q는 참임을 이용한다.

풀이 ①P/<R^C이므로p>?C~r는참이다.

②R/<Q이므로r>?Cq는참이다.

③(PcupQ)/<R^C이므로(p이고q)>?C ~r는참이다.

④(QcupR)/<P^C이므로(q이고r)>?C ~~p는참이다.

⑤P^C/</R^C이므로~p>?C~r는거짓이다.

따라서거짓인명제는⑤이다.

118 명제의 참, 거짓과 진리집합 사이의 관계

전략 ‘모든 x에 대하여 p이다.’가 참이면 조건 p의 진리집합 P와 전

체집합 U의 포함 관계는 P=U임을 이용한다.

풀이 조건‘p(x)또는~q(x)’의진리집합은PhapQ^C이므

로모든x에대하여주어진조건이참이면

PhapQ^C=U

(PhapQ^C)^C=U^C이므로드모르간의법칙에의하여

P^CcupQ=Ø

x4a-3 a+6-1

P Q

x4a-3 a+6-1

PQ


115 15 116 ⑤ 117 ⑤ 118 ② 119 16

120 ④ 121 2root7 122 ④

123 ㈎ 홀수 ㈏ 짝수 ㈐ 홀수 124 ⑤ 125 ②

126 12

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명제

3/2&x=2y일때철수가지불해야하는총비용이최소가된다.

y=3/4&x를㉠에대입하면

3/4&x^2=1200,x^2=1600 .t3x=40

.t3^-BC^-=40

123대우를 이용한 증명법

1단계 주어진 명제의 대우를 구한다.

주어진명제의대우‘a,b,c가양의정수일때,a,b,c가

모두 홀수 이면a^2+b^2not=c^2이다.’를증명하면된다.

2단계 주어진 명제의 대우가 참임을 보인다.

a,b,c가모두 홀수 이면a^2,b^2,c^2은모두 홀수 이므로

a^2+b^2은(홀수)+(홀수)로 짝수 이고,c^2은 홀수 가되어

a^2+b^2not=c^2이다.

따라서a,b,c가양의정수일때,a^2+b^2=c^2이면a,b,c

중적어도하나는짝수이다.

124명제의 추론

1단계 A가 범인이라 가정하고 범인을 모두 찾는다.

r1parA가범인이면㈏에의하여B도범인이다.

B가범인이므로㈐에의하여C도범인이다.

C가범인이고B도범인이므로㈑에의하여D도범인이다.

따라서A,B,C,D가모두범인이다.

2단계 B가 범인이라 가정하고 범인을 모두 찾는다.

r2parB가범인이면㈐에의하여C도범인이다.

C가범인이고B도범인이므로㈑에의하여D도범인이다.

D가범인이므로㈎의대우에의하여A도범인이다.


3단계 C가 범인이라 가정하고 범인을 모두 찾는다.

C가범인이면㈑에의하여D가범인이거나B는범인이아

니다.

r3parC가범인이고D가범인이면㈎의대우에의하여A도범

인이다.

A가범인이므로㈏에의하여B도범인이다.


r4parC가범인이고B가범인이아니면㈏의대우에의하여A

도범인이아니다.

A가범인이아니므로㈎에의하여D도범인이아니다.

그러면C만범인이므로㈒에의하여C가범인이고B가

범인이아닐수는없다.

4단계 D가 범인이라 가정하고 범인을 모두 찾는다.

r5parD가범인이면㈎의대우에의하여A도범인이다.

A가범인이므로㈏에의하여B도범인이다.

B가범인이므로㈐에의하여C도범인이다.


이상에서A,B,C,D가모두범인이다.

125절대부등식이 되기 위한 조건

1단계 주어진 부등식을 x에 대하여 내림차순으로 정리한다.

x^2+2(y-a)x+y^2+2y+b>0

2단계 이차부등식이 절대부등식이 되려면 이차방정식의 판별식 D가

D<0이어야 함을 이용한다.

x에대한이차방정식x^2+2(y-a)x+y^2+2y+b=0의판

별식을D라할때

;D/4:=(y-a)^2-(y^2+2y+b)<0

.t32(a+1)y-a^2+b>0 .c3.c3㉠

3단계 임의의 실수 y에 대하여 Ay+B>0이 성립하려면 A=0이고

B>0임을 이용한다.

㉠이모든실수y에대하여성립하려면

a+1=0,-a^2+b>0 .t3a=-1,b>1

4단계 모든 실수 x, y에 대하여 절대부등식이 되기 위한 필요충분조

건을 구한다.

따라서모든실수x,y에대하여

x^2+2xy+y^2-2ax+2y+b>0이절대부등식이되기위한

필요충분조건은a=-1,b>1

성취도 만들기 비법A두 실수 x, y에 대하여 절대부등식이 되려면 먼저 한 문자에 대하

여 성립할 조건을 찾고, 찾은 식에서 다른 한 문자에 대하여도 성

립할 조건을 찾아야 한다.

126절대부등식의 활용

1단계 피타고라스 정리를 이용하여 ^-AC^-의 길이를 구한다.

피타고라스정리에의하여

^-AC^-^2=3^2+4^2 .t3^-AC^-=5

2단계 삼각형의 넓이에 대한 식을 구한다.

semoABC의넓이는

1/2.c13.c1PH_1+1/2.c14.c1PH_2+1/2.c15.c1PH_3=1/2.c13.c14

.t33 PH_1+4 PH_2+5 PH_3=12 .c3.c3㉠

3단계 코시-슈바르츠의 부등식을 활용한다.

{(root3)^2+(root4)^2+(root5)^2}

\{(root3.c1PH_1)^2+(root4.c1PH_2)^2+(root5.c1PH_3)^2}

->(3 PH_1+4 PH_2+5 PH_3)^2

.t312(3 PH_1 ^2+4 PH_2 ^2+5 PH_3 ^2)->(3 PH_1+4 PH_2+5 PH_3)^2

(단,등호는`PH_1=`PH_2=`PH_3일때성립)

.c3.c3㉡

4단계 주어진 식의 최솟값을 구한다.

㉠,㉡에의하여3 PH_1 ^2+4 PH_2 ^2+5 PH_3 ^2->12

따라서주어진식의최솟값은12이다.

성취도 만들기 비법A최댓값 또는 최솟값의 문제가 주어지면 산술평균과 기하평균의

관계를 확인한 후, 코시－슈바르츠의 부등식을 이용하여 문제를

해결할 수 있는지 살펴본다.

일등급수2해설(10-17)ok.indd 17 13. 11. 29. 오후 5:48

03. 함수 1918 바른답•알찬풀이


127 ⑴집합X의원소b에대응하는집합Y의원소가2개이므로 함수가아니다.

⑵집합X의모든원소에집합Y의원소가하나씩만대응하

므로함수이다.

정의역：{a,b,c,d},공역：{1,2,3},치역：{1,2}

⑶집합X의원소d에대응하는집합Y의원소가없으므로

함수가아니다.

128 ⑴(g˚f)(x)=g(`f(x))=g(x^2)=x^2-1

⑵(`f˚g)(x)=f(g(x))=f(x-1)=(x-1)^2

⑶(g˚g)(x)=g(g(x))=g(x-1)=(x-1)-1=x-2

129 ⑴함수y=2x+1은실수전체의집합R에서R로의일대

일대응이므로역함수가존재한다.

y=2x+1을x에관하여풀면

x=1/2&y-1/2

x와y를서로바꾸면구하는역함수는

y=1/2&x-1/2

⑵함수y=-1/2&x는실수전체의집합R에서R로의일대일

대응이므로역함수가존재한다.

y=-1/2&x를x에관하면풀면

x=-2y


y=-2x

⑶함수y=1/3&x-2는실수전체의집합R에서R로의일대

일대응이므로역함수가존재한다.

y=1/3&x-2를x에관하여풀면

x=3y+6


y=3x+6

기본 문제

127 함수인 것：⑵

⑵ 정의역：{a, b, c, d}, 공역：{1, 2, 3}, 치역：{1, 2}

128 ⑴ (g˚f)(x)=x^2-1

⑵ (~f˚g)(x)=(x-1)^2

⑶ (g˚g)(x)=x-2

129 ⑴ y=1/2&x-1/2 ⑵ y=-2x ⑶ y=3x+6

함수03

pp. 44 ~ 45

130 주어진그래프에직선x=a(a는상수)를그으면다음그림과

같다.

①

x

x=a

y

O

②

x

y

O

x=a

③

x

y

O

x=a

④

x

y

Ox=a

⑤

x

y

O

x=a

①,②,③,⑤주어진그래프와직선x=a의교점이2개이

상이므로함수가아니다.

④주어진그래프와직선x=a의교점이1개이므로함수이다.

따라서함수의그래프인것은④이다.

131 두집합X={x|-1-<x-<1},Y={y|0-<y-<3}에대하여

주어진함수의그래프를그리면다음그림과같다.

ㄱ.

x

y

O-1 1

21

3 ㄴ.

x

y

O-1 1

1

ㄷ.

x

y

O 1-1

23

4 ㄹ.

xO-1 1

2

y

이상에서X에서Y로의함수인것은ㄱ,ㄴ,ㄹ이다.


130 ④ 131 ④ 132 10 133 a=4, b=7

134 ⑤ 135 f`Ñ5-2x

3Ò=-4x+6 136 ①

137 ⑤ 138 0 139 {1}, {4}, {1, 4} 140 ③

141 2 142 4 143 ③ 144 6 145 7

146 ⑤ 147 12 148 ① 149 ④ 150 ⑤

151 ④ 152 -36 153 ④ 154 0

155 ⑴ h(x)=-2x+8 ⑵ 2 156 3 157 ⑤

158 ② 159 2 160 ① 161 ③

162 a<-1 또는 a>1 163 ⑤ 164 ③ 165 ①

166 ② 167 ② 168 ③ 169 ① 170 ③

171 2rt2

일등급수2해설(18-26)ok.indd 18 13. 11. 29. 오후 5:48



함수

132 f(-2)=-2.c1(-2)+1=5

f(-1)=-2.c1(-1)+1=3

f(0)=2

f(1)=1^2+1=2

f(2)=2^2+1=5

따라서함수`f의치역은{2,3,5}이므로치역의모든원소

의합은2+3+5=10

133 `f(-1)=3이므로

-a+b=3 .c3.c3㉠ .c3.c3

`f(2)=15이므로

2a+b=15 .c3.c3㉡ .c3.c3

㉠,㉡을연립하여풀면

a=4,b=7 .c3.c3


f(-1)=3을 이용하여 a, b 사이의 관계식 구

하기30%

f(2)=15를 이용하여 a, b 사이의 관계식 구

하기30%

a, b의 값 구하기 40%

134 a<0이므로함수y=ax+b는x의값이증가할때,y의값

은감소한다.즉,

0=2a+b,4=-2a+b

두식을연립하여풀면

a=-1,b=2

.t3a+2b=(-1)+2.c12=3

출제확실Why?정의역과 치역이 주어지고 기울기에 대한 조건이 주어질 때, 미지수

의 값을 구하는 문제는 출제될 확률이 높으므로 잘 알아 두어야 한다.

135 x+32

=t로놓으면x=2t-3이므로

f(t)=3(2t-3)+5

=6t-4 .c3.c3㉠ .c3.c3

t=5-2x

3`를㉠에대입하면

f`Ñ5-2x

3Ò=6.c1

5-2x3

`-4

=10-4x-4

=-4x+6 .c3.c3


x+3

2=t로 놓고 ~f(t) 구하기 50%

f~Ñ5-2x

3Ò 구하기 50%

136 ㈎에x=-1을대입하면

`f(-1)=f(-1+2)=f(1)

`f(1)=2이므로f(-1)=2

㈏에x=-2를대입하면

g(2+(-2))=g(2-(-2))

.t3g(0)=g(4)

g(4)=-1이므로g(0)=-1

㈏에x=1을대입하면

g(2+1)=g(2-1)

.t3g(3)=g(1)

g(1)=2이므로g(3)=2

㈐에x=2를대입하면

h(2+2)=h(2)+2

.t3h(2)=h(4)-2

h(4)=-1이므로h(2)=-1-2=-3

㈐에x=0을대입하면

h(2)=h(0)+2

.t3h(0)=h(2)-2

h(2)=-3이므로h(0)=-3-2=-5

.t3f(-1)+g(0)+g(3)+h(0)=2+(-1)+2+(-5)

=-2

137 ㄱ.`f(x)=x,g(x)=x^3에서

`f(-1)=g(-1)=-1,f(1)=g(1)=1

.t3f=g

ㄴ.`f(x)=|-x|,g(x)=x^2에서

`f(-1)=g(-1)=1,f(1)=g(1)=1

.t3f=g

ㄷ.`f(x)=2,g(x)=x^2+|x|에서

`f(-1)=g(-1)=2,f(1)=g(1)=2

.t3f=g

이상에서f=g인것은ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.

138 집합{-1,2}의임의의원소x에대하여f(x)=g(x)이

므로

f(-1)=g(-1),f(2)=g(2)

f(-1)=g(-1)에서1+a=-b+2

.t3a+b=1 .c3.c3㉠

f(2)=g(2)에서4+a=2b+2

.t3a-2b=-2 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=0,b=1

.t3ab=0

139 f(x)=g(x)에서

x^2+2x-3=2x^2-3x+1

x^2-5x+4=0,(x-1)(x-4)=0

.t3x=1또는x=4

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따라서구하는집합X는집합{1,4}의공집합이아닌부분

집합이어야하므로{1},{4},{1,4}이다.

140 주어진함수의그래프중임의의실수k에대하여직선y=k

와오직한점에서만나는그래프는ㄱ,ㄴ,ㅁ이다.

따라서일대일대응인것은ㄱ,ㄴ,ㅁ이다.

성취도 만들기 비법A함수 ~y=f~(x)의 그래프가 공역의 각 원소 k에 대하여 x축과 평

행한 직선 y=k와 한 점에서 만나면 ~f~(x)는 일대일 대응임을 이

용한다. 한편, 함수의 그래프는 정의역의 각 원소 a에 대하여 y축

에 평행한 직선 x=a와 한 점에서 만난다는 것과 구별하여 기억

해 두도록 한다.

141 a>0이고함수`f(x)=ax+b가일대일대응이므로

f(0)=1,f(1)=3

.t3b=1,a+b=3

따라서a=2,b=1이므로ab=2

출제확실Why?함수 f(x)가 일대일 대응임을 이용하여 미지수의 값을 구하는 문제

는 자주 출제되므로 잘 익혀 두어야 한다. 이때 정의역과 공역에서

주어진 값이 함수 f(x)의 조건을 만족시키도록 값을 대입하여 미지

수의 값을 구해야 한다.

142 `f(x)=-x^2+8x-12

=-(x^2-8x+16-16)-12

=-(x-4)^2+4

이므로함수y=f(x)의그래프는오른

쪽그림과같다.

따라서함수f(x)가일대일함수가되려

면정의역이{x|x-<4인실수}이어야

하므로a의최댓값은4이다.

143 f(x)가항등함수이므로f(x)=x

x^2-30=x,x^2-x-30=0

(x+5)(x-6)=0

.t3x=-5또는x=6

따라서집합X는집합{-5,6}의공집합이아닌부분집합

이어야하므로{-5},{6},{-5,6}의3개이다.

144 f_3은항등함수이므로 f_3(2)=2,f_3(3)=3 .c3.c3㉠ .c3.c3

f_3(2)=2이므로

f_1(1)=f_2(2)=f_3(2)=2

f_1은상수함수이므로f_1(3)=2 .c3.c3㉡ .c3.c3

f_2(1)-f_2(2)=f_2(3)에서

f_2(1)-2=f_2(3)

x

y

O

-12

4

4

이때`f_2는X={1,2,3}에서X로의일대일대응이므로

f_2(1)=3,f_2(3)=1 .c3.c3㉢ .c3.c3

㉠,㉡,㉢에의하여

f_1(3)+f_2(3)+f_3(3)=2+1+3=6 .c3.c3


f_3(3)의 값 구하기 30%

f_1(3)의 값 구하기 30%

f_2(3)의 값 구하기 30%

f_1(3)+f_2(3)+f_3(3)의 값 구하기 10%

145r1par일대일함수의개수1에대응할수있는집합X의원소는1,2의2개이고,

2에대응할수있는집합X의원소는1에대응한원소를

제외한1개이므로

a=2\1=2 .c3.c3

r2par일대일대응의개수

치역과공역이같으므로일대일함수의개수와같다.

.t3b=2 .c3.c3

r3par항등함수의개수：c=1 .c3.c3

r4par상수함수의개수

1,2모두에대응할수있는집합X의원소는1,2의2개

이므로d=2 .c3.c3

.t3a+b+c+d=2+2+1+2=7 .c3.c3



b의 값 구하기 20%

c의 값 구하기 20%

d의 값 구하기 20%

a+b+c+d의 값 구하기 20%

출제확실Why?함수의 개수, 일대일함수의 개수, 일대일 대응의 개수, 항등함수의

개수, 상수함수의 개수를 구하는 문제는 자주 출제되므로 각각을 잘

구분해서 구할 수 있도록 한다.

146 집합Y의원소의개수를n이라하면 원소a에대응할수있는집합Y의원소는n개

원소b에대응할수있는집합Y의원소는a에대응한원소

를제외한(n-1)개

원소c에대응할수있는집합Y의원소는a,b에각각대응

한원소를제외한(n-2)개

집합X={a,b,c}에서집합Y로의일대일함수의개수는

210이므로

n.c1(n-1).c1(n-2)=210=7\6\5

.t3n=7

따라서X에서Y로의상수함수의개수는a,b,c모두에대

응할수있는집합Y의원소의개수와같으므로7이다.

일등급수2해설(18-26)ok.indd 20 13. 11. 29. 오후 5:48



함수

147 {`f(1)-1}{`f(2)-2}not=0에서

f(1)not=1이고f(2)not=2

f(1)의값이될수있는것은2,3중하나이므로2개

f(2)의값이될수있는것은1,3중하나이므로2개

f(3)의값이될수있는것은1,2,3중하나이므로3개

따라서주어진조건을만족시키는함수f의개수는

2\2\3=12

148 rt3`은무리수이므로f(rt3)=(rt3)^2=3

또,3은유리수이므로f(3)=-3^2=-9

.t3(`f˚f)(rt3`)=f(`f(rt3`))=f(3)=-9

149 (g˚f)(2)=g(`f(2))=g(5)=13

150 (`f˚g˚h)(1)=f(g(h(1)))=f(g(1))

=f(-4)=8

151 다항식(`f˚f˚f)(x)를x-1로나누었을때의나머지는

나머지정리에의하여(`f˚f˚f)(1)이므로

(`f˚f˚f)(1)=f(`f(`f(1)))=f(`f(2))

=f(5)=26

152 (g˚f)(x)=g(~f(x))=g(ax+b)

=ax+b+c

(g˚f)(x)=2x-3이므로

ax+b+c=2x-3

.t3a=2,b+c=-3 .c3.c3㉠

또,f(-1)=1이므로-a+b=1 .c3.c3㉡

㉠,㉡에서

a=2,b=3,c=-6

.t3abc=-36

153 (`f˚f)(x)=f(`f(x))=2`f(x)+1

=2(2x+1)+1

=4x+3

(`f˚f˚f)(x)=f(`f(`f(x)))=f(4x+3)

=2(4x+3)+1

=8x+7

(`f˚f˚f)(a)=-1에서8a+7=-1

.t3a=-1

154 (`f˚g)(x)=f(g(x))=f(ax+b)

=3(ax+b)-2`

=3ax+3b-2

(g˚f)(x)=g(`f(x))=g(3x-2)

=a(3x-2)+b

=3ax-2a+b

f˚g=g˚f이므로3ax+3b-2=3ax-2a+b

.t3b=-a+1 .c3.c3㉠ .c3.c3

㉠을g(x)=ax+b에대입하면

g(x)=ax-a+1=a(x-1)+1

이므로y=g(x)의그래프는a의값에관계없이항상점

(1,1)을지난다. .c3.c3

따라서p=1,q=1이므로p-q=0 .c3.c3


f˚g=g˚f를 이용하여 a, b 사이의 관계식 구

하기40%

점 (p, q)의 좌표 구하기 40%

p-q의 값 구하기 20%

155 ⑴ (`f˚h)(x)=f(h(x))=h(x)-3

(`f˚h)(x)=g(x)이므로

h(x)-3=-2x+5

.t3h(x)=-2x+8 .c3.c3

⑵ h(3)=-2.c13+8=2 .c3.c3


h(x) 구하기 60%

h(3)의 값 구하기 40%

출제확실Why?f(x), g(x)가 주어지고 f(h(x))=g(x)를 만족시키는 h(x)를

구하는 문제는 자주 출제되므로 h(x)를 구하는 방법을 꼭 기억해

두어야 한다.

156 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1이므로

f ^3(1)=f(`f(`f(1)))=f(`f(2))=f(3)=1

같은방법으로

f ^3(2)=2,f ^3(3)=3이므로f ^3(x)=x

따라서f ^3=I(I는항등함수)이므로

f ^2^0^1^0(2)=(`f ^3)^6^7^0(2)=I(2)=2

f ^2^0^1^1(3)=f((`f ^3)^6^7^0(3))=f(3)=1

.t3`f ^2^0^1^0(2)+f ^2^0^1^1(3)=2+1=3

157 f^-^1(1)=2에서f(2)=1

1=3.c12+k

.t3k=-5

따라서f(x)=3x-5이므로

f(1)=3.c11-5=-2

출제확실Why?f ^-^1(a)=b이면 f(b)=a인 역함수의 정의를 이용하는 문제는 자주

출제되므로 잘 익혀 두도록 한다.

158 f`^-^1(5)=2에서f(2)=5

(`f˚f`)(2)=14에서

(`f˚f`)(2)=f(`f(2))=f(5)=14

f(2)=5,`f(5)=14이므로

일등급수2해설(18-26)ok.indd 21 13. 11. 29. 오후 5:48



5=2a+b,14=5a+b

위의두식을연립하여풀면a=3,b=-1

따라서`f(x)=3x-1이므로

f(4)=3.c14-1=11

159 (`f˚g)(x)=`f(g(x))=`f(bx+2)

=1/2(bx+2)+a

=b/2&x+1+a

(`f˚g)(x)=x+2이므로

b/2x+1+a=x+2 .c3.c3㉠

㉠은x에대한항등식이므로

b/2=1,1+a=2

.t3a=1,b=2

.t3`f(x)=1/2x+1 .c3.c3

f`^-^1(2)=t라하면f(t)=2이므로

1/2t+1=2 .t3t=2

.t3f`^-^1(2)=2 .c3.c3


f(x) 구하기 60%

f ^-^1(2)의 값 구하기 40%

160 f^-^1(2)=1에서f(1)=2

(g˚f)(x)=3x+2에x=1을대입하면

g(`f(1))=3.c11+2

.t3g(2)=5

161 주어진함수f의역함수가존재하기위해서는함수f가실수 전체의집합R에서R로의일대일대응이어야한다.

r1parx=1에서의두일차함수의함숫값이서로같아야하므로

2.c11=p.c11+q

.t3p+q=2

r2parx->1일때와x<1일때의직선의기울기의부호가같아

야하므로p>0


p+q=2,p>0

162 f(x)=|x|+ax+4에서

f(x)=Õx+ax+4(x->0)

-x+ax+4(x<0)` .c3.c3

이므로함수f의역함수가존재하기위해서는함수f가실수

전체의집합R에서R로의일대일대응이어야한다.

따라서x->0일때와x<0일때의직선의기울기의부호가

같아야하므로 .c3.c3

(1+a)(-1+a)>0

.t3a<-1또는a>1 .c3.c3


x=0을 기준으로 함수 f(x)를 나누어 구하기 30%

함수 f의 역함수가 존재하기 위한 조건 구하기 30%


성취도 만들기 비법A함수 f가 일대일 대응이 아니면 역으로 대응되는 관계는 함수가

아니므로 역함수를 정의할 수 없다.

163 ㈎,㈏에의하여함수f(x)는일대일대응이고,㈐에의하여

f(`f(a))=a이다.

r1parf(a)=a인경우

f(b)의값이될수있는것은b,c,d의3개

f(c)의값이될수있는것은f(a),f(b)의값을제외한

2개

f(d)의값이될수있는것은f(a),f(b),f(c)의값을

제외한1개

따라서함수f의개수는3\2\1=6

r2parf(a)=b인경우

f(a)=b이면f(b)=a이므로f(c)의값이될수있는것

은c,d의2개

f(d)의값이될수있는것은f(a),f(b),f(c)의값을

제외한1개

따라서함수f의개수는2\1=2

r3parf(a)=c인경우

f(a)=c이면f(c)=a이므로r2par와같은방법으로하면

함수f의개수는2이다.

r4parf(a)=d인경우

f(a)=d이면f(d)=a이므로r2par와같은방법으로하면

함수f의개수는2이다.

이상에서함수f의개수는6+2+2+2=12

164 y=2/3x-1에서

x에관하여풀면x=3/2&y+3/2

x와y를서로바꾸면y=3/2x+3/2

따라서함수y=2/3x-1의역함수는y=3/2x+3/2

.t3a=3/2,b=3/2

.t3a-b=0

165 y=g(x)라하면y=-2x-3

x에관하여풀면x=-1/2&y-3/2

일등급수2해설(18-26)ok.indd 22 13. 11. 29. 오후 5:48



함수

x와y를서로바꾸면y=-1/2&x-3/2

.t3g~^-^1(x)=-1/2&x-3/2

.t3h(x)=(`f˚g~^-^1)(x)=f(g~^-^1(x))

=f`Ñ-1/2&x-3/2Ò

=3Ñ-1/2&x-3/2Ò+2

=-3/2x-5/2

166 함수f(x)의역함수는f&~~^-^1(x)=2x-2이고g=f&~~^-^1이므로

(g˚f˚g)(4)=(~f^-^1˚f˚f^-^1)(4)

=f^-^1(4)

=6

다른풀이 g=f&~~^-^1이므로

(g˚f˚g)(4)=(f&~~^-^1˚f˚f&~~^-^1)(4)

=f&~~^-^1(4)

f&~~^-^1(4)=k라하면f(k)=4

1/2&k+1=4 .t3 k=6

167 (g˚f)^-^1=f^-^1˚g^-^1이므로

(`f˚(g˚f)^-^1˚f)(3)=(f˚f`^-^1˚g^-^1˚f)(3)

=(g^-^1˚f)(3)

=g^-^1(`f(3))

=g^-^1(2)

g^-^1(2)=k라하면g(k)=2이므로

2k+4=2 .t3k=-1

.t3(`f˚(g˚f)^-^1˚f)(3)=-1

다른풀이 (`f˚(g˚f)^-^1˚f)(3)

=(`f˚f^-^1˚g^-^1˚f)(3)=(g^-^1˚f)(3)

=g^-^1`(`f(3))=g^-^1(2)

g(x)=2x+4에서g^-^1(x)=1/2&x-2

.t3(`f˚(g˚f)^-^1˚f)(3)=g^-^1(2)

=1/2&.c12-2=-1

출제확실Why?역함수의 성질을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후, 함숫값을 구

하는 문제는 자주 출제되므로 (g˚f)^-^1=f ^-^1˚g ^-^1를 꼭 이해하고

있도록 한다.

168 (`f˚(g^-^1˚f)^-^1˚f)(k)=5에서

(`f˚f^-^1˚g˚f)(k)=(g˚f)(k)=5

.t3g(`f(k))=5

f(x)=x+1,g(x)=-2x+3이므로

g(k+1)=5,-2(k+1)+3=5

-2k=4 .t3k=-2

169 f^-^1˚g=f에서f˚f^-^1˚g=f˚f

.t3g=f˚f

(`f˚f)(x)=f(`f(x))

=4`f(x)-a

=4(4x-a)-a

=16x-5a

이때g=f˚f이므로

bx+1=16x-5a .c3.c3㉠

㉠은x에대한항등식이므로

a=-1/5,b=16

.t3ab=-16/5

170 f(2)=3이고

(`f˚f)^-^1(a)

=(`f^-^1˚f^-^1)(a)

=f^-^1(`f^-^1(a))

f^-^1(a)=m이라하면

f(m)=a이므로m=3

.t3f^-^1(`f`^-^1(a))

=f^-^1(3)

f^-^1(3)=n이라하면f(n)=3이므로n=2

.t3(`f˚f)^-^1(a)=2

.t3f(2)+(`f˚f)^-^1(a)=3+2=5

출제확실Why?주어진 그래프를 보고 직선 y=x를 이용하여 필요한 값들을 구하는

문제는 매우 중요한 문제이고 자주 출제되는 문제이다. 그래프를 이

해하고 필요한 값이 무엇인지 찾을 수 있도록 한다.

171 함수f(x)=1/4(x^2+3)(x->0)과그역함수y=g(x)의그

래프의교점은함수`y=f(x)의그래프와직선y=x의교점과

같으므로 .c3.c3

1/4(x^2+3)=x,x^2-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0

.t3x=1또는x=3

따라서교점의좌표는(1,1),(3,3)이므로 .c3.c3

두교점사이의거리는

2(3-1x)^2+(x3-1)^2x=14+4z =2rt2 .c3.c3


구하는 교점은 함수 y=~f(x)의 그래프와 직선

y=x의 교점임을 알기30%

교점의 좌표 구하기 40%

두 교점 사이의 거리 구하기 30%

x

y y=xy=f{x}

O123ab

1 2 3 a b

일등급수2해설(18-26)ok.indd 23 13. 11. 29. 오후 5:48




172 ② 173 ② 174 ⑤ 175 5 176 0

177 ① 178 ② 179 3 180 ⑤ 181 20

182 10 183 ④

172함수의 정의

전략 가우스 기호를 포함한 함수는 가우스 기호 안이 정수가 되는 값

을 기준으로 나누어 생각한다.

풀이 0-<a-<1에서0-<5a-<5이고,~f(5a)=5a-[5a]이므로

r1par0-<5a<1인경우

f(5a)=5a이므로5a=0 .t3a=0


f(5a)=5a-1이므로5a-1=0 .t3a=1/5


f(5a)=5a-2이므로5a-2=0 .t3a=2/5


f(5a)=5a-3이므로5a-3=0 .t3a=3/5


f(5a)=5a-4이므로5a-4=0 .t3a=4/5

r6par5a=5인경우

f(5a)=5a-5이므로5a-5=0 .t3a=1

이상에서모든a의값의합은

0+1/5+2/5+3/5+4/5+1=3

173함숫값 구하기

전략 자연수 n에 대하여 ~f(2n)=2~f(n)을 이용하여 홀수인 n의 값

을 구한다.

풀이 f(2n)=2`f(n)의n에7,10을각각대입하면

f(14)=2`f(7),f(20)=2`f(10)=4`f(5)

f(2n-1)=(-1)^n에서

f(7)=(-1)^4=1,`f(5)=(-1)^3=-1

따라서f(14)=2.c11=2,f(20)=4.c1(-1)=-4이므로

f(14)+f(20)=2+(-4)=-2

174일대일함수

전략 주어진 함수의 그래프를 좌표평면 위에 그려서 일대일함수인지

판별한다.

풀이 f(x_1)=f(x_2)이면x_1=x_2인함수f(x)는일대일함수

이므로주어진함수의그래프를그려서일대일함수를찾는다.

①

x

y

O

1

②

x

y

O

③

x

y

O 2

④

x

y

O123

1-1

-2

-1-2-3

-32 3

⑤

x

y

O

따라서일대일함수인것은⑤이다.

175일대일 대응

전략 함수 f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점을 기준으로 f(x)가

X에서 X로의 일대일 대응이 되도록 집합 X를 정한다.

풀이 함수f(x)가X에서X로의일대일대응이되려면정

의역과치역이같아야한다.

f(x)=x^2-4x의그래프는오른

쪽그림과같고y=`f(x)의그래

프와직선y=x의교점의x좌표

를구하면

x^2-4x=x,x(x-5)=0

.t3x=0또는x=5

따라서함수f(x)가X={x|x->a}에서X로의일대일대

응이되려면a=5이어야한다.

176일대일 대응

전략 x->2에서 함수 f(x)가 일대일 대응이 되도록 하는 조건을 이용

하여 정수 b의 최댓값을 구한다.

풀이 f(x)=Õ ax+b (x->2)

-(x-2)^2+1(x<2)의그래프는점

(2,1)을지나야하므로

1=2a+b

.t3a=-1/2&b+1/2 .c3.c3㉠

.c3.c3

직선y=ax+b(x->2)의기울기가

양수이어야하므로

a>0 .c3.c3㉡ .c3.c3

㉠,㉡에의하여

-1/2&b+1/2>0

.t3b<1

따라서정수b의최댓값은0이다. .c3.c3


직선 y=ax+b가 점 (2, 1)을 지남을 이용하기 40%

직선 y=ax+b의 기울기가 양수임을 이용하기 40%

정수 b의 최댓값 구하기 20%

x

y=xy f{x}=x@-4x

-4

2 45

5

O

x

y

O

1

-3

2

일등급수2해설(18-26)ok.indd 24 13. 11. 29. 오후 5:48



함수

177함수의 정의역, 치역 + 합성함수의 성질

전략 함수 f(~f(x))에서 ~f(x)=t라 하고 함수 y=f(t)의 최댓값과

최솟값을 구한다.

풀이 f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2

이므로정의역{x|0-<x-<1}에서함수

y=`f(x)의그래프는오른쪽그림과같고

함수f(x)의치역은{y|0-<y-<1}이다.

y=f(`f(x))에서`~f(x)=t라하자.

0-<t-<1에서함수f(t)는

t=0일때,최댓값~f(0)=1을갖고

t=1일때,최솟값~f(1)=0을갖는다.

따라서정의역{x|0-<x-<1}에서함수f(`f(x))의최댓값

M은1이고최솟값m은0이다.

.t3M+m=1

178합성함수의 성질

전략 (~f @ g)(x)->0이 성립하도록 하는 g(x)의 값의 범위를 구한다.

풀이 f(x)=x^2+x-6에서f(x)->0인x의값의범위는

x^2+x-6->0,(x+3)(x-2)->0

.t3x-<-3또는x->2

모든실수x에대하여(`f@g)(x)->0이성립하려면

g(x)-<-3또는g(x)->2이어야한다.

r1parg(x)-<-3인경우

g(x)=x^2-2ax+6에서g(0)=6이므로모든실수x에

대하여g(x)-<-3이성립하도록하는a의값은없다.

r2parg(x)->2인경우

x^2-2ax+6->2에서x^2-2ax+4->0

이차방정식x^2-2ax+4=0의판별식을D라하면

;D/4:=a^2-4-<0 .t3-2-<a-<2

r1par,r2par에의하여-2-<a-<2

성취도 만들기 비법A이차함수 ~f(x)의 이차항의 계수가 양수일 때, 모든 실수 x에

대하여 (~f @ g)(x)->0이 성립하려면 ~f(x)=0의 두 근을 alpha, beta

(alpha<beta)라 할 때, 모든 실수 x에 대하여 g(x)-<alpha 또는

g(x)->beta가 성립해야 함을 이용한다.

179역함수가 존재하기 위한 조건

전략 x의 값의 범위를 나누고, 역함수가 존재하기 위한 조건을 이용

하여 정수 m의 개수를 구한다.

풀이 `f(x)=m|x+1|+2x-1에서

r1parx->-1일때

f(x)=m(x+1)+2x-1

=(m+2)x+m-1

r2parx<-1일때

f(x)=-m(x+1)+2x-1

=(2-m)x-m-1 .c3.c3

x

y

O 1

1

r1par,r2par에서함수f(x)의역함수가존재하려면f(x)가일대

일대응이어야하므로x->-1일때와x<-1일때의직선

의기울기의부호가서로같아야한다. .c3.c3

(m+2)(2-m)>0,(m+2)(m-2)<0

.t3-2<m<2

따라서정수m은-1,0,1의3개이다. .c3.c3


절댓값 기호를 없애고 f(x) 나타내기 40%

역함수가 존재하기 위한 조건 구하기 40%

정수 m의 개수 구하기 20%

180함숫값 + 서로 같은 함수

1단계 함수 f_k(x)의 정의를 이용하여 함수 ~f_4(x), ~f_6(x), ~f_8(x)를 구

한다.

f_k(x)=Õ0(x가k의배수일때)

1(x가k의배수가아닐때)`에서

f_4(x)=Õ0(x가4의배수일때)

1(x가4의배수가아닐때)





2단계 함수 1-f_4(x), 1-f_6(x), 1-f_8(x)를 구한다.

1-f_4(x)=Õ1(x가4의배수일때)






3단계 (1-f_4(x))(1-f_6(x))(1-f_8(x))와 같은 함수를 구한다.

4,6,8의최소공배수가24이므로

(1-f_4(x))(1-f_6(x))(1-f_8(x))

=Õ1(x가24의배수일때)

0(x가24의배수가아닐때) .c3.c3㉠

㉠은1-f_2_4(x)와같다.

181여러 가지 함수 + 합성함수

1단계 ㈏를 만족시키는 집합 A를 구한다.

집합A의원소가2개이므로집합A는

{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4},

{2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}의10개이다.

2단계 1단계 에서 구한 집합 A와 ㈎, ㈐를 만족시키는 함수 f의 개수

를 구한다.

A={1,2}일때,㈎,㈐를만족시키는함수f는다음과같

이2가지뿐이다.

일등급수2해설(18-26)ok.indd 25 13. 11. 29. 오후 5:48

섹션 PB26 바른답•알찬풀이


f

1

X

12 23 34 45 5

Xf

1

X

12 23 34 45 5

X

따라서집합A의각경우에따라주어진조건을모두만족시

키는함수는2가지씩이므로구하는함수의개수는

10\2=20

성취도 만들기 비법A집합 A={x|~f(x)=x, x\<X}의 원소가 아닌 x에 대하여 ㈎,

㈐를 만족시키는 함수 ~f의 개수도 조사해 보아야 한다. 이때 A의

원소가 아닌 x는 f(x)not=x임에 주의한다.

182 역함수의 성질

1단계 주어진 조건을 이용하여 g˚f와 f˚g의 관계를 안다.

(`f^-^1@(g^-^1@f)@g)(x)=x에서

((`f^-^1@g^-^1)@f@g)(x)=x

((g@f)^-^1@(f@g))(x)=x

((g@f)^-^1)^-^1(x)=(`f@g)(x)

(g@f)(x)=(`f@g)(x) .t3g(`f(x))=f(g(x))

2단계 a의 값을 구한다.

g(2x-5)=f(-x+a)이므로

-(2x-5)+a=2(-x+a)-5

5+a=2a-5 .t3a=10

성취도 만들기 비법A(g˚f)(x)=x이면 g ^-^1(x)=f(x)임을 이용한다.

183역함수와 그래프

1단계 함수 y=f(x)의 그래프~와 직선 y=x가 서로 다른 두 점에서 만난

다는 것을 이용한다.

함수y=`f`(x)와그역함수y=g(x)의그래프가서로다

른두점에서만나면역함수의그래프의성질에의하여함수

y=`f`(x)의그래프와직선y=x도서로다른두점에서만

난다.

1/4&x^2+a=x에서x^2-4x+4a=0


;D/4:=4-4a>0 .t3a<1 .c3.c3㉠

2단계 제한된 영역에서의 a의 값의 범위를 구한다.

함수f(x)=1/4&x^2+a의그래프가x->1에서직선y=x와서

로다른두점에서만나려면f(1)->1이어야하므로

1/4+a->1 .t3a->3/4 .c3.c3㉡

3단계 a의 값의 범위를 구한다.

㉠,㉡에의하여 3/4-<a<1

184 ⑴y= 1x-1

+2의그래프는

y=1/x의그래프를x축의방향

으로1만큼,y축의방향으로2

만큼평행이동한것이므로오

른쪽그림과같다.

이때정의역은{x|x≠1인실수}이고,점근선의방정식

은x=1,y=2이다.

⑵y=-1

x-2-1의그래프는

y=-1/x의그래프를x축의방향

으로2만큼,y축의방향으로-1

만큼평행이동한것이므로오른

쪽그림과같다.

이때정의역은{x|x≠2인실수}이고,점근선의방정식

은x=2,y=-1이다.

185 y= &-x+3x-2

=&-(x-2)+1

x-2

=&1

x-2-1

이므로y=&-x+3x-2

의그래프는y=;1/x:의그래프를x축의

방향으로2만큼,y축의방향으로-1만큼평행이동한것이다.

.t3a=2,b=-1

186 ⑴y=rtx-1&+2의그래프는

y=rtx~의그래프를x축의방향으

로1만큼,y축의방향으로2만큼

평행이동한것이므로오른쪽그

림과같다.

이때정의역은{x|x≥1}이고,치역은{y|y≥2}이다.

⑵y=rt2(x+2)&+1의그래프는

y=rt2x의그래프를x축의방

향으로-2만큼,y축의방향으

로1만큼평행이동한것이므로


이때정의역은{x|x≥-2}이고,치역은{y|y≥1}이다.

x

yy= +21-x-1

O

1

2

1

1-2

x

y y=- -11-x-2

O 1 2

-1 1-2-

x

y

O

2

1

y= x-1+2

x

y

O

1

3

-2

y= 2{x+2}+1

기본 문제

184 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 185 a=2, b=-1

186 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 187 a=6, b=1

유리함수와 무리함수04

pp. 58 ~ 59

일등급수2해설(18-26)ok.indd 26 13. 11. 29. 오후 5:48

04. 유리함수와 무리함수 27PB 바른답•알찬풀이

190 1a(a+1)

+2

(a+1)(a+3)+

3(a+3)(a+6)

=^(&1/a-1

a+1^)+^(

1a+1

-1

a+3^)+^(

1a+3

-1

a+6^)

=&1/a-1

a+6=

6a(a+6)

참고 분모가두인수의곱의꼴인분수식의합은부분분수

로의변형을이용한다.

① 1AB

=1

B-A^(#&1/A$-#1/B$)(단,Anot=B)

② kAB

=k

B-A^(#&1/A$-#1/B$)(단,Anot=B,k는상수이다.)

191 12^2-2

+1

3^2-3+

14^2-4

+…+1

50^2-50

=1

2(2-1)+

13(3-1)

+1

4(4-1)+…+

150(50-1)

.c3

=1

2·1&+

13·2

+1

4·3+…+

150·49

=^(1-1/2)+^(1/2-1/3)+^(1/3-1/4)+…+^(1/49-1/50)

.c3

=1-1/50=49/50 .c3


분모 인수분해하기 40%

부분분수로의 변형을 이용하여 식 변형하기 40%

식의 값 구하기 20%

출제확실Why?부분분수로 변형하여 주어진 식을 간단히 하거나 식의 값을 구하는

문제는 출제될 확률이 매우 높으므로 부분분수로의 변형을 많이 연

습하도록 한다.

1921+

&xx-1

3xx+1

-1=

x-1+xx-1

3x-(x+1)x+1

=

&2x-1x-1&2x-1x+1

=x+1x-1

193 a=rt2이므로

2+

1

rt2& -1

rt2& - 1rt2&-1

=2+

1

rt2&-1

2-rt2-1rt2&-1

188 x^2+x-2x^2-9

÷x^2-3x+2

x+3\

x-2x^2+2x

=(x+2)(x-1)

(x+3)(x-3)\

x+3(x-1)(x-2)

\x-2

x(x+2)

=1

x(x-3)

189 주어진식의우변을통분하면

&1x-1

-&b

x+3=

&x+3-b(x-1)

(x-1)(x+3)

=&(1-b)x+3+b

(x-1)(x+3)

따라서주어진등식은

&ax+1

(x-1)(x+3)=

(1-b)x+3+b

(x-1)(x+3)

이식은x에대한항등식이므로

a=1-b,1=3+b

∴a=3,b=-2

다른풀이 주어진식의양변에(x-1)(x+3)을곱하여정

리하면

ax+1=x+3-b(x-1)

∴(a+b-1)x-2-b=0

이식은x에대한항등식이므로

a+b-1=0,-2-b=0

∴a=3,b=-2


188 ③ 189 ④ 190 ③ 191 49/50 192 ④

193 ③ 194 42 195 3 196 ① 197 -1

198 ③ 199 ④ 200 7 201 ③ 202 ③

203 ③ 204 ① 205 ⑴ f(x)=x-3x-2

⑵ 2/3

206 ④ 207 ⑤ 208 ② 209 ② 210 5

211 ① 212 ③ 213 ④ 214 6 215 ②

216 ③ 217 ④ 218 ⑤ 219 ③ 220 -3

221 ④ 222 3 223 ② 224 5 225 ④

226 ④ 227 ③ 228 ③ 229 ②

230 2-<k<9/4 231 ③ 232 ① 233 15/2

187 y=1-x+z6q&&~+1=1-(xz-6)z&&~+1

이므로y=1-x+z6q&&~+1의그래프는y=1-xa&~의그래프를x

축의방향으로6만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것

이다.

∴a=6,b=1

04유

리함

수와

무리

함수

일등급수2해설(27-35)ok.indd 27 13. 11. 29. 오후 5:49

04. 유리함수와 무리함수 2928 바른답•알찬풀이


=2+

1

rt2 &- rt2&-11-rt2

=2+1

rt2&+1

=2+rt2&~-1

=1+rt2

19433/13=2+7/13=2+1

13/7

=2+1

1+6/7=2+

1

1+1

7/6

=2+1

1+1

1+1/6

.c3.c3

a=2,b=1,c=1,d=6이므로 .c3.c3

a^2+b^2+c^2+d^2=4+1+1+36=42 .c3.c3


주어진 분수 변형하기 60%

a, b, c, d의 값 구하기 20%

a^2+b^2+c^2+d^2의 값 구하기 20%

195 y= 2xx-1

=2(x-1)+2

x-1=

2x-1

+2

따라서점근선의방정식은x=1,y=2이므로a=1,b=2

∴a+b=3

196 그래프를평행이동하여y=1/x의그래프와겹쳐지는유리함

수의식은y=1

x-p+q꼴이어야한다.

①y=2x-1x-1

=2(x-1)+1

x-1

=1

x-1+2

②y=2x+1x-1

=2(x-1)+3

x-1

=3

x-1+2

③y=2x+2x-1

=2(x-1)+4

x-1

=4

x-1+2

④y=2x

2x-1=

(2x-1)+12x-1

=1

2x-1+1

⑤y=2x

2x+1=

(2x+1)-12x+1

=-1

2x+1+1

따라서평행이동하여주어진함수의그래프와겹쳐질수있

는것은①이다.

197 y= cx+a

+b의그래프의점근선의방정식이x=-2,y=3

이므로a=2,b=3

y=c

x+2+3의그래프가점(0,0)을지나므로

0=c/2+3 ∴c=-6

∴a+b+c=2+3-6=-1

출제확실Why?점근선의 방정식을 이용하여 유리함수의 식을 구하는 문제는 자주

출제되므로 주어진 그래프에서 점근선의 방정식과 지나는 한 점을

찾을 수 있도록 한다.

198 y= 2x+3

+1의그래프를x축의방향으로m만큼,y축의방

향으로n만큼평행이동한그래프의함수의식은

y=2

x+3-m+1+n .c3.c3㉠

y=-2x+6x-2

=-2(x-2)+2

x-2

=2

x-2-2 .c3.c3㉡

㉠과㉡이같으므로

3-m=-2,1+n=-2

∴m=5,n=-3

∴m+n=2

199 y=ax-3x-1

=a(x-1)+a-3

x-1=

a-3x-1

+a

이므로점근선의방정식은x=1,y=a

따라서주어진함수의그래프는점근선의교점에대하여대

칭이므로a=2,b=1 ∴a+b=3

참고 유리함수y=k

x-p+q(knot=0)의그래프는점근선의

교점(p,q)에대하여대칭이다.

200 유리함수의그래프는점근선의교점에대하여대칭이고,점

근선의교점을지나면서기울기가1또는-1인직선에대하

여도대칭이다.따라서두직선y=x+2와y=-x+4의교

점이점근선의교점이므로

y=x+2,y=-x+4

두식을연립하여풀면x=1,y=3

따라서두직선의교점은(1,3)이고 .c3.c3

y=2

x-a+b의점근선의교점은(a,b)이므로

a=1,b=3 .c3.c3

∴a+2b=7 .c3.c3

일등급수2해설(27-35)ok.indd 28 13. 11. 29. 오후 5:49



ㄱ.점근선의방정식은x=1,y=3이다.(참)

ㄴ.그래프는제`3`사분면을지난다.(참)

ㄷ.그래프는점근선의교점(1,3)을지나고기울기가1또

는-1인직선에대하여대칭이므로

y-3=x-1또는y-3=-(x-1)

즉,y=x+2또는y=-x+4에대하여대칭이다.(거짓)


203 주어진함수의그래프의점근선의방정식이x=1,y=1이

므로a=-1,c=1

제~1,2,4~사분면을지나므로b<0

ㄱ.a+b+c=-1+b+1=b<0(참)

ㄴ.bc=b<0(거짓)

ㄷ.abc+b=(-1)·b·1+b=0(참)


204 y= 2x-1x-2

=2(x-2)+3

x-2=

3x-2

+2

이므로주어진함수의그래프는y=3/x의그래프를x축의방

향으로2만큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이다.

따라서0≤x<2또는2<x≤3에

서y=2x-1x-2

의그래프는오른쪽

그림과같으므로치역은

^{y^|y≤1/2또는y≥5^}

205 ⑴~f(x)=ax+bx+c

=a(x+c)-ac+b

x+c=

b-acx+c

+a

이므로점근선의교점은(-c,a),즉(2,1)이므로

a=1,c=-2 .c3.c3㉠

f(x)의그래프가점(1,2)를지나므로

2=a+b1+c

~~~.c3.c3㉡

㉠을㉡에대입하면b=-3 .c3.c3

∴f(x)=x-3x-2

.c3.c3

⑵f(x)의그래프는y=-;1/x:의그래프를x축의방향으로

2만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.

따라서-1≤x≤1에서

`f(x)=-1

x-2+1의그래프는

오른쪽그림과같으므로x=1일

때최댓값2,x=-1일때최솟

값4/3를갖는다. .c3.c3

∴M-m=2-4/3=2/3 .c3.c3

x

y

1-22

2

5

3O

x

y

O-1 11

2

2

4-3

3


두 직선의 교점 구하기 40%


a+2b의 값 구하기 20%

다른풀이 주어진함수의그래프는두점근선x=a,y=b의

교점(a,b)를지나면서기울기가1또는-1인직선에대하

여대칭이다.즉,점(a,b)가두직선y=x+2,y=-x+4

위의점이므로b=a+2,b=-a+4 .c3.c3

두식을연립하여풀면a=1,b=3 .c3.c3

∴a+2b=7 .c3.c3


a, b에 대한 식 구하기 40%


a+2b의 값 구하기 20%

x

y

O

1

3

31

201 y=-2

x-1+1의그래프는

y=-2/x의그래프를x축의방향으

로1만큼,y축의방향으로1만큼

평행이동한것이므로오른쪽그림

과같다.

①,②,④y=-2

x-1+1의그래프는점(0,3)을지나고,

점근선의방정식은x=1,y=1이며,정의역과치역은1을

제외한실수전체의집합이다.

③그래프는제`1,2,4`사분면을지난다.

⑤y=-;2/x:의그래프는직선y=x,y=-x에대하여대칭

이다.

y=-2

x-1+1의그래프는y=-;2/x:의그래프를x축,y

축의방향으로각각1만큼평행이동한것이므로

y=-2

x-1+1의그래프는직선y-1=x-1또는

y-1=-(x-1),즉직선y=x또는y=-x+2에대

하여대칭이다.

따라서옳지않은것은③이다.

출제확실Why?유리함수의 그래프의 성질에 대한 문제는 자주 출제되므로 잘 알아

두도록 한다. 유리함수의 그래프가 지나는 사분면을 그래프를 그려

확인하여 본다.

202 y= 3x+5x-1

=3(x-1)+8

x-1

=8

x-1+3

이므로주어진함수의그래프는오른

쪽그림과같다.

x

y

3

1-5-3

O

04유

리함

수와

무리

함수

일등급수2해설(27-35)ok.indd 29 13. 11. 29. 오후 5:49




a, b, c의 값 구하기 30%

f(x) 구하기 30%

최댓값, 최솟값 구하기 30%

M-m의 값 구하기 10%

206 y=;2/x:의그래프와직선y=-3x+k가한점에서만나므로

;2/x:=-3x+k에서3x^2-kx+2=0


D=k^2-4·3·2=0,k^2=24

∴k=2rt6&(.T3k>0)

출제확실Why?판별식을 이용하여 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 파악

하는 문제는 자주 출제되므로 꼭 익혀 두도록 한다.

유리함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=g(x)가 한 점에서 만나면

방정식 f(x)=g(x)의 판별식을 D라 할 때, D=0임을 이용한다.

207 y= x+1x-1

=2

x-1+1

이므로2-<x-<4에서주어진함수

의그래프는오른쪽그림과같다.

또,직선y=ax+1은a의값에관

계없이항상점(0,1)을지난다.

직선y=ax+1이점(2,3)을지날때,a의값이최대가되

므로

3=2a+1 ∴a=1

또,직선y=ax+1이점^(4,5/3)를지날때,a의값이최소

가되므로

5/3=4a+1 ∴a=1/6

따라서a의최댓값과최솟값의합은1+1/6=7/6

208 g(3)=k라하면f(k)=3이므로

3k-1

+2=3,k-1=3

∴k=4

209 f(g(x))=x이므로f(x)의역함수가g(x)이다.

y=2x+ax+b

`로놓고x에관하여풀면x=-by+ay-2

x와y를서로바꾸면y=-bx+ax-2

∴f& ^-^1(x)=-bx+ax-2

f& ^-^1=g이므로-bx+ax-2

=-x-1x+c

∴a=-1,b=1,c=-2

∴a+b+c=-2

x

y

O 11

2 4

5-3

3

210 f `^-^1(1)=2이므로f(2)=1

또한,

(`f`@`f)(2)=f(`f(2))=f(1)=1/2 .c3.c3

f(1)=1/2,`f(2)=1이므로

f(1)=a-1b+1

=1/2 ∴b=2a-3 .c3.c3㉠

f(2)=2a-12b+1

=1 ∴a-b=1 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=2,b=1 .c3.c3

따라서f(x)=2x-1x+1

`이므로 .c3.c3

f(-2)=-4-1-2+1

`=-5-1`=5 .c3.c3


f(1), f(2)의 값 구하기 30%


f(x) 구하기 20%

f(-2)의 값 구하기 20%

211 rt2x-1&+rt3-x의값이실수가되려면

2x-1≥0,3-x≥0이므로

1/2≤x≤3

따라서정수x는1,2,3의3개이다.

212 rt2-x&+1

rtx+4`의값이실수가되려면

2-x->0,x+4>0이므로

-4<x-<2

출제확실Why?무리식의 값이 실수가 되기 위한 조건은 자주 출제되므로 무리식

rtA~~B

가 실수가 되기 위한 조건은 A->0, Bnot=0임을 기억해 두도록

한다.

213 x+1>0,x-3<0이므로

rtx^2+2x+1&+rtx^2-6x+9=rt(x+1)^2~+rt(x-3)^2~

=|x+1|+|x-3|

=(x+1)-(x-3)

=4

214 rta+3rta-1

=-4a+3a-1 t~

에서a+3->0,a-1<0이므로

-3-<a<1 .c3.c3

∴rt(a+3)^2~+rt(a-3)^2~~ =|a+3|+|a-3|

=(a+3)-(a-3)=6 .c3.c3



주어진 식 간단히 하기 40%

일등급수2해설(27-35)ok.indd 30 13. 11. 29. 오후 5:49



220 y=-rtax의그래프를x축의방향으로3만큼,y축의방향으

로-1만큼평행이동하면

y=-rta(x-3)&-1 .c3.c3

이그래프를x축에대하여대칭이동하면

-y=-rta(x-3)&-1

=-rtax-3a&-1

∴y=rtax-3a&+1 .c3.c3

rt2x+b&+c=rtax-3a&+1이므로

a=2,b=-6,c=1 .c3.c3

∴a+b+c=-3 .c3.c3


평행이동한 그래프의 식 구하기 40%

대칭이동한 그래프의 식 구하기 40%


a+b+c의 값 구하기 10%

참고 무리함수y=rtax+b&+c(a≠0)의그래프의대칭이동

①x축에대하여대칭이동할때,y=-rtax+b&-c

②y축에대하여대칭이동할때,y=rt-~ax+b&+c

③원점에대하여대칭이동할때,y=-rt-~ax+b&-c

221 6-2x->0이므로x-<3

주어진함수의정의역이{x|x-<a}이므로a=3

y=rt6-2x&+3+b에서rt6-2x->0이므로치역은

{y|y->3+b}

∴b=2

∴a+b=5

222 정의역이{x|x≤2}이려면a<0이고치역이{y|y≥-1}이

므로주어진함수는

y=rta(x-2)&-1

이함수의그래프가점(1,1)을지나므로

1=rt-~a&-1

∴a=-4

y=2-4(xx-2)x&~ -1=rt-~4x+8&-1이므로

b=8,c=-1

∴a+b+c=3

223 y=-rt2x-4&~+1=-rt2(x-2)~+1

이므로주어진함수의그래프는y=-rt2x의그래프를x축의

방향으로2만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.

4-<x-<10에서

y=-rt2x-4&+1의그래프는

오른쪽그림과같으므로치역은

{y|-3-<y-<-1}이다.

따라서a=-3,b=-1이므로

b-a=2

x

y

O

-3

24 101

-1

215 rtx+5&-rtx-5

rtx+5&+rtx-5=

(rtx+5&-rtx-5`)^2

(rtx+5&+rtx-5)(rtx+5&-rtx-5)

=x+5-2rtx^2-25&+x-5

x+5-(x-5)

=x-rtx^2-25

5

216 xrtx&-1

-x

rtx&+1=

x(rtx&+1)

(rtx&-1)(rtx&+1)-

x(rtx&-1)

(rtx&+1)(rtx&-1)

=xrtx&+xx&-1

-xrtx&-xx&-1

=&2xx&-1

x=rt2&+1이므로

&2xx&-1

=2(rt2&+1)

rt2&+1-1=

2rt2&+2

rt2&

~~=2+rt2

217 f(x)=rtx+rtx+1에서

f(x)=&1

rtx&+rtx+1=rtx+1&~-rtx

∴&1

f(1)+

&1f(2)

+&1

f(3)+.c3+

&1f(80)

=(rt2&-1)+(rt3&-rt2&~)+(rt4&~-rt3&~)+.c3+(rt81&~-rt80&~)

=-1+9=8

218 y=rt2x-8&~-2=rt2(x-4)~-2

이므로주어진함수의그래프는y=rt2x&`의그래프를x축의

방향으로4만큼,y축의방향으로-2만큼평행이동한것이

므로

m=4,n=-2

∴m-n=4-(-2)=6

출제확실Why?무리함수의 그래프의 평행이동을 이용하여 미지수를 구하는 문제는

자주 출제되므로 주어진 함수의 식을 보고 x축, y축의 방향으로 각

각 얼마만큼 평행이동한 것인지 파악할 수 있어야 한다.

219 ㄱ.y=-rt-~x`의그래프는y=-rtx~`의그래프를y축에대

하여대칭이동한것이다.

ㄴ.y=rtx+1&-2의그래프는y=-rtx`의그래프를x축에

대하여대칭이동한후,x축의방향으로-1만큼,y축의

방향으로-2만큼평행이동한것이다.

ㄷ.y=rt-~x+1`의그래프는y=-rtx`의그래프를원점에

대하여대칭이동한후,x축의방향으로1만큼평행이동

한것이다.

ㄹ.대칭이동이나평행이동으로겹쳐지지않는다.

이상에서겹쳐질수있는함수인것은ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.

04유

리함

수와

무리

함수

일등급수2해설(27-35)ok.indd 31 13. 11. 29. 오후 5:49



224 y=rt9-x&+k=rt-(x-9)&+k

이므로주어진함수의그래프는y=rt-~x의그래프를x축의

방향으로9만큼,y축의방향으로k만큼평행이동한것이다.

x=8일때최솟값3을가지므로 .c3.c3

3=1+k ∴k=2 .c3.c3

따라서y=rt9-x&+2는x=0일때최댓값5를갖는다.

.c3.c3


최솟값을 가질 때의 x의 값 구하기 40%

k의 값 구하기 30%

최댓값 구하기 30%

225 f(x)의그래프는y=-rtax(a<0)의그래프를x축의방향

으로4만큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이므로

f(x)=-rta(x-4)&+2

f(0)=-2이므로

f(0)=-rt-~4a&+2=-2 ∴a=-4

f(x)=-rt-~4(~x-4)~&+2이므로

f(-5)=-rt-~4(~-5-4)~&+2=-4

226 y=ax^2+bx+c=a^(x+b/2a)^^2-b^24a

+c

이차함수의그래프가위로볼록하므로

a<0

y절편이양수이므로

c>0

대칭축이y축의오른쪽에있으므로

-b/2a>0 ∴b>0

f(x)=a1-x+b&z~-c=art-(x-b)&-c의그래프는

y=art-~x~(a<0)의그래프를x

축의방향으로b만큼,y축의방향

으로-c만큼평행이동한것이므로


227 y=-1+rt3x-9=rt3(x-3)&-1

이므로주어진함수의그래프는y=rt3x의그래프를x축의방

향으로3만큼,y축의방향으로-1만큼평행이동한것이다.

따라서y=-1+rt3x-9의그

래프는오른쪽그림과같으므로

제~1,4~사분면을지난다.

228 ①y=rtx+1&-2의그래프는

y=rtx의그래프를x축의방향

으로-1만큼,y축의방향으로

-2만큼평행이동한것이다.

x

yy=ax@+bx+c

O

c

- b-2a

x

y

O-c

b

x

y

O-1

3-1

-2

②,③정의역은{x|x≥-1},치역은{y|y≥-2}이다.

④제`1,3,4`사분면을지난다.

⑤x축과만나는점의x좌표는3,y축과만나는점의y좌표

는-1이다.


229 y=rt2x+k의그래프가직선y=x에접하므로

rt2x+k=x의양변을제곱하면

2x+k=x^2

∴x^2-2x-k=0


;D/4:=(-1)^2-(-k)=0,1+k=0

∴k=-1

230 y=rtx+2`의그래프는y=rtx`의

그래프를x축의방향으로-2만큼

평행이동한것이고,y=x+k는

기울기가1이고y절편이k인직선

이다.

r1par직선y=x+k가y=rtx+2`의

그래프에접할때

rtx+2=x+k의양변을제곱하면

x+2=x^2+2kx+k^2

∴x^2+(2k-1)x+k^2-2=0


D=(2k-1)^2-4(k^2-2)=0

-4k+9=0 ∴k=9/4 .c3.c3

r2par직선y=x+k가점(-2,0)을지날때

0=-2+k ∴k=2 .c3.c3

r1par,r2par에의하여k의값의범위는

2-<k<9/4 .c3.c3


직선과 그래프가 접할 때, k의 값 구하기 40%

직선이 점 (-2, 0)을 지날 때, k의 값 구하기 40%


231 k-<0이면두그래프는항상한점에서만나므로k>0

rt2kx=x+1-k의양변을제곱하여정리하면

x^2+2(1-2k)x+(1-k)^2=0


;D/4:=(1-2k)^2-(1-k)^2<0

3k^2-2k<0,k(3k-2)<0

∴0<k<2/3

x

y

O-2

y= x+2

x

y

O

-1

3

일등급수2해설(27-35)ok.indd 32 13. 11. 29. 오후 5:49



232 f(x)=rtax+b`의그래프가점(1,2)를지나므로

2=rta+b

∴ a+b=4 .c3.c3㉠

역함수의그래프가점(1,2)를지나므로

f(x)=rtax+b의그래프는점(2,1)을지난다.

1=rt2a+b

∴2a+b=1 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면

a=-3,b=7

∴a-b=-10

233 (g`@`f)^-^1=f`^-^1`@`g`^-^1이므로

(`f`@`(g`@`f)^-^1`@`f)(2)=(`f`@`f`^-^1`@`g`^-^1`@`f)(2)

=(g`^-^1`@`f)(2) .c3.c3

f(2)=2+22-1

=4이므로

(g`^-^1`@`f)(2)=g`^-^1(`f(2))=g`^-^1(4)

g`^-^1(4)=t라하면g(t)=4

g(t)=rt2t+1=4

∴t=15/2

∴(`f`@(g`@`f)^-^1@`f)(2)=15/2 .c3.c3


주어진 식 간단히 하기 40%

식의 값 구하기 60%

출제확실Why?역함수와 합성함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구하는 문제는 매

우 자주 출제되므로 역함수와 합성함수의 성질을 반드시 기억하고

있어야 한다.


234 ⑤ 235 k<0 또는 0<k-<2 236 ④ 237 ①

238 ② 239 rt2 240 ⑤ 241 3/4 242 ⑤

243 1 244 2+2rt2 245 ③

234여러 가지 유리식의 계산

전략1

AB=

1B-A ~^(

1A-

1B^) (AB≠0, Anot=B)을 이용하여 부분

분수로 변형하여 a, b의 값을 구한다.

풀이 f(x)=4

(4x+1)(4x+5)

=4

(4x+5)-(4x+1) ~^(

14x+1

-1

4x+5^)

=1

4x+1-

14x+5

∴f(1)+f(2)+f(3)+.c3+f(10)

=^(1/5-1/9)+^(1/9-1/13)+^(1/13-1/17)+.c3

+^(1/41-1/45)

=1/5-1/45=8/45

∴a=8,b=45

∴a+b=53

235유리함수의 그래프의 점근선과 평행이동

전략 점근선을 구하고, 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표의 부호를

이용하여 k의 값의 범위를 구한다.

풀이 y=;k/x:의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방

향으로2만큼평행이동한그래프의함수의식은

y=k

x-1+2 .c3.c3

이그래프의점근선이x=1,y=2이므로제`3`사분면을지나

지않으려면k<0이거나k>0일때는y축과만나는점의y

좌표-k+2는0보다크거나같아야한다.

∴k<0또는0<k-<2 .c3.c3


함수의 식 구하기 40%


236유리함수의 그래프의 활용

전략 점 P에서 두 점근선에 내린 수선의 발 A, B의 좌표를 구한 후,

산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 ^-PA^-+^-PB^-의 최솟값을 구한다.

풀이 점P의x좌표를a(a>2)라

하면P~^(a,25

a-2+1^)

∴A(a,1),B~^(2,25

a-2+1^)

∴^-PA^-=25

a-2+1-1=

25a-2

>0,

^-PB^-=a-2>0


^-PA^-+^-PB^-=25

a-2+a-2≥2rrt

25a-2

'·('a-2')'`=10

^(단,등호는25

a-2=a-2일때성립^)

따라서^-PA^-+^-PB^-의최솟값은10이다.

237유리함수의 그래프의 활용

전략 점 A의 좌표를 ^(a, 1/a)이라 하고, 두 점 B, C의 좌표를 구하

여 semoABC의 넓이를 구한다.

x

y

25-a-2+1

O 2 a

P

A

B

1

04유

리함

수와

무리

함수

일등급수2해설(27-35)ok.indd 33 13. 11. 29. 오후 5:49



풀이 점A의x좌표를a라하면

A^(a,1/a),B^(ak,1/a),C^(a,k/a)

∴^-AB^-=ak&-a,^-AC^-=k/a-1/a

semoABC의넓이는2이므로

1/2(ak&-a)^(k/a-1/a)=2

1/2(k-1)^2=2 ∴(k-1)^2=4

k>1이므로k=3

238제곱근의 성질

전략 a, b, c의 부호를 결정하고 제곱근의 성질을 활용한다.

풀이 이차함수y=ax^2+bx+c의그래프가위로볼록하므로

a<0 ……㉠

대칭축이y축의오른쪽에있으므로

-b/2a>0 ∴b>0 ……㉡

y절편이음수이므로c<0 ……㉢

㉠,㉡,㉢에의하여a-b<0,b-c>0

∴rt(a-b)^2~&-rt(b-c)^2~&` =|a-b|-|b-c|

=-(a-b)-(b-c)

=-a+c

239무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계

전략 그래프와 직선이 접할 때와 직선이 점 (1, 0)을 지날 때로 나누

어 m의 값을 구한다.

풀이 y=rtx-1의그래프와직

선y=mx-1이서로다른두점

에서만나려면직선y=mx-1

은항상점(0,-1)을지나므로

오른쪽그림과같이직선r1par의

기울기보다작고직선r2par의기울

기보다크거나같아야한다.

r1par직선y=mx-1이y=rtx-1의그래프와접할때

rtx-1=mx-1의양변을제곱하면

x-1=(mx-1)^2

∴m^2x^2-(2m+1)x+2=0


D=(2m+1)^2-8m^2=0,4m^2-4m-1=0

∴m=2±rt8

4=

1±rt22

접하려면m>0이어야하므로

m=1+rt2

2 r2par직선y=mx-1이점(1,0)을지날때

0=m-1 ∴m=1

x

y

O

C

AB1-a

k-a

a ak

x

y

y= x-1

O 1-1

r1par,r2par에의하여m의값의범위는

1-<m<1+rt2

2

따라서a=1,b=1+rt2

2이므로

2b-a=1+rt2&-1=rt2

240무리함수의 그래프의 활용

전략 y=rtx~의 그래프와 직선 y=x의 교점을 이용하여 k^8의 값을 찾

는다.

풀이 rtc~=k,rtd~=c,rte~=d~

이므로

c=k^2,d=c^2=k^4,e=d^2=k^8

241무리함수와 유리함수의 합성함수

전략 rtx~&+1=t로 놓고 t의 값의 범위를 구한 후, f(t)의 최댓값과


풀이 g(x)=rtx~&+1=t라하면0≤x≤4에서1≤g(x)≤3

이므로1≤t≤3 .c3.c3

y=f(g(x))=1

g(x)+1=

1t+1

∴y=1

t+1(1≤t≤3) .c3.c3

1≤t≤3에서y=1

t+1 ~은t=1일때

최댓값1/2,t=3일때최솟값1/4을갖

는다.

따라서최댓값과최솟값의합은

1/2+1/4=3/4 .c3.c3


g(x)=t로 놓고 t의 범위 구하기 30%

f(g(x))를 t로 나타내기 30%

최댓값과 최솟값의 합 구하기 40%

242유리함수의 그래프

1단계 y=x+1x-1

(2≤x≤3)의 그래프를 그린다.

y=x+1x-1

(2-<x-<3)이라하면

y=x+1x-1

=(x-1)+2

x-1

=2

x-1+1

이므로2-<x-<3에서y=x+1x-1

의

그래프는오른쪽그림과같다.

xe d c k ba

y y=x

e

d

ckab

O

y=Âx

t

y

O-1 11

3

x

y

O 1 2 3

2

3

1

일등급수2해설(27-35)ok.indd 34 13. 11. 29. 오후 5:49



2단계 y=ax^2-2ax+a+1, y=bx^2-2bx+b+1의 그래프를 그려

가능한 경우를 생각하여 본다.

y=ax^2-2ax+a+1,y=bx^2-2bx+b+1이라하면

y=a(x-1)^2+1,y=b(x-1)^2+1

위의두함수의그래프는a,b의

값에관계없이항상점(1,1)을

지난다.

ax^2-2ax+a+1-<x-1x+1

-<bx^2-2bx+b+1

이성립하고a가최댓값을갖도록하는함수의그래프는㉡,

b가최솟값을갖도록하는함수의그래프는㉠이다.

r1par㉡에서

y=a(x-1)^2+1의그래프가점(3,2)를지나므로

a=1/4 ∴M=1/4

r2par㉠에서

y=b(x-1)^2+1의그래프가점(2,3)을지나므로

b=2 ∴m=2

3단계 M+m의 값을 구한다.


M+m=1/4+2=9/4

성취도 만들기 비법Ay=ax^2-2ax+a+1, y=bx^2-2bx+b+1의 그래프는 a, b의

값에 관계없이 항상 점 (1, 1)을 지난다는 것을 이용한다.

243유리함수의 합성함수

1단계 f(1), f ^2(1), f ^3(1)의 값을 구하여 규칙성을 찾는다.

f(x)=2x+1x-2

에서

f(1)=3-1

=-3

f ^2(1)=f(~f(1))=f(-3)=-5-5

=1

f ^3(1)=f(~f ^2(1))=f(1)=-3

f ^4(1)=f(~f ^3(1))=f(-3)=1

.^3

∴f(1)=f ^3(1)=f ^5(1)=.c3=-3,

f ^2(1)=f ^4(1)=f ^6(1)=.c3=1

2단계 2014=2\1007임을 이용하여 f~2014(1)의 값을 구한다.

2014=2\1007이므로

f~2014(1)=f ^2(1)=1

244무리함수의 최대, 최소

1단계 y=f(x)의 정의역을 구한다.

f(x)=rt2+x&+rt2-x에서2+x≥0,2-x≥0이므로정의

역은{x|-2≤x≤2}

2단계 y=rt2+x~와 y=rt2-x~의 그래프를 통하여

f(x)=rt2+x&`+rt2-x의 그래프 모양을 유추한다.

x

y

O 1 2 3

23

1

y=rt2+x`와y=rt2-x의그래프가 [그림`1]과같으므로정

의역이{x|-2≤x≤2}인f(x)=rt2+x&+rt2-x의그래프

는[그림`2]와같다.

[그림`1] [그림`2]

x

y

O-2

2

2

y= 2+xy= 2-x

Â2x

y

O 2-2

2Â2

2

3단계 최댓값과 최솟값의 합을 구한다.

f(x)의최댓값은2rt2,최솟값은2이므로최댓값과최솟값의

합은2+2rt2

성취도 만들기 비법A두 무리함수 f(x), g(x)에 대하여 y=f(x)+g(x)의 정의역은

각 무리함수의 정의역의 공통부분임을 이용한다.

245유리함수의 그래프 + 무리함수의 그래프

1단계 점근선의 방정식을 이용하여 a, b의 값을 구한다.

f(x)=ax+3x+b

=3-abx+b

+a이므로점근선의방정식은

x=-b,y=a이다.

∴a=-2,b=-1

2단계 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ.g(x)=1-2xz-1z&`이므로

g(-5)=2(-2)x·(-x5)-x1x&`=3(참)

ㄴ.g(x)=rt-~2x-1`에서

-2x-1≥0 ∴x≤-1/2

따라서정의역은^{x^|x-<-1/2^}이다.(거짓)

ㄷ.g(x)=rt-~2x-1`=rrt-2`^('x+'1/2)'`

이므로y=g(x)의그래프는y=rt-~2x`의그래프를x축

의방향으로-1/2만큼평행이동

한것이다.

따라서함수y=g(x)의그래프

는오른쪽그림과같으므로제~2

사분면을지난다.(참)


x

y

O1-2-

04유

리함

수와

무리

함수

일등급수2해설(27-35)ok.indd 35 13. 11. 29. 오후 5:49

05. 등차수열과 등비수열 3736 바른답•알찬풀이


기본 문제

246 ⑴ a_n=-3n+8 ⑵ a_n=4n-5

247 95

248 ⑴ a_1=3, a_n=3.c1(1/2)^^n^^-^^1~(n=2, 3, 4, .c3)

⑵ a_1=1,a_n=(-3)^n^-^1`(n=2, 3, 4,.c3)

249 3-13^7

등차수열과 등비수열05

pp. 76 ~ 77

250 첫째항을a,공차를d라하면 a_2=a+d=-1 .c3.c3㉠

a_1+a_6=a+(a+5d)

=2a+5d=7 .c3.c3㉡

246 ⑴a_n=5+(n-1).c1(-3)

=-3n+8

⑵첫째항이-1,공차가4이므로

a_n=-1+(n-1).c14

=4n-5

247 10{2.c1(-4)+(10-1).c13}2

=95

248 ⑴a_1=3,a_n=3.c1(1/2)^^n^^-^^1`(n=2,3,4,.c3)

⑵첫째항이1,공비가-3이므로

a_1=1,a_n=1.c1(-3)^n^-^1=(-3)^n^-^1(n=2,3,4,.c3)

2492^{1-(1/3)^^8}

1-1/3=3^{1-(1/3)^^8}=3-

13^7


250 ② 251 ④ 252 ② 253 ④ 254 제~17~항

255 11 256 ⑤ 257 21 258 15 259 -2

260 ② 261 ① 262 25 263 ③ 264 ①

265 15/59 266 ③ 267 ② 268 ⑤ 269 630

270 10 271 ③ 272 ③ 273 ⑴ -38 ⑵ -2

274 ② 275 96 276 ③ 277 16 278 ①

279 78 280 ② 281 ② 282 ③ 283 10`%

284 ③ 285 ② 286 ③ 287 60 288 ⑤

289 ④ 290 1024 291 ② 292 ④

293 2000만 원 294 ② 295 40 296 ①

㉠,㉡을연립하여풀면a=-4,d=3

.t3a_1_0=a+9d=-4+27=23

251 첫째항을a,공차를d라하면 a_6-a_7+a_8=(a+5d)-(a+6d)+(a+7d)

=a+6d=2014

.t3a_7=a+6d=2014

252 첫째항을a라하면일반항은a_n=a+(n-1).c12이므로

a_3~a_5=a_2~a_8에서(a+4)(a+8)=(a+2)(a+14)

a^2+12a+32=a^2+16a+28

-4a=-4 .t3a=1

.t3a_7=1+6.c12=13

253 첫째항이-3,공차가6인등차수열의일반항a_n은

a_n=-3+(n-1).c16=6n-9

6n-9=117에서6n=126 .t3n=21

따라서117은제`21`항이다.

254 첫째항이31,공차가-2인등차수열의일반항a_n은

a_n=31+(n-1).c1(-2)=-2n+33 .c3.c3

제`k`항에서음수가나온다고하면

-2k+33<0에서k>33/2=16.5

따라서처음으로음수가나오는항은제`17`항이다. .c3.c3


등차수열의 일반항 구하기 50%

처음으로 음수가 나오는 항 구하기 50%

출제확실Why?등차수열에서 조건을 만족시키는 항이 제 몇 항인지 구하는 문제는

자주 출제되므로 잘 알아 두어야 한다.

참고 첫째항이a,공차가d인등차수열{a_n}에서

①처음으로양수가되는항

a+(k-1)d>0을만족시키는자연수k의최솟값

②처음으로음수가되는항

a+(k-1)d<0을만족시키는자연수k의최솟값

255 공차를d라하면등차수열2,a_1,a_2,.c3,a_8,101은첫째항

이2,제10항이101이므로

2+9d=101,9d=99 .t3d=11

참고 두수a,b사이에n개의수를넣어등차수열을만들면

a는첫째항이고,b는제`(n+2)항이므로

b=a+(n+1)d(단,d는공차이다.)

256 2x+1,x-3,4x+5가이순서대로등차수열을이루므로

x-3=(2x+1)+(4x+5)

2

일등급수2해설(36-44)ok.indd 36 13. 11. 29. 오후 5:49



x-3=3x+3,-2x=6

.t3x=-3

257 1,a,b,c,13이이순서대로등차수열을이루므로1,b,13 도이순서대로등차수열을이룬다.

.t3b=1+132

=7

1,a,7,c,13에서

a= 1+72

=4

c=7+132

=10

.t3a+b+c=4+7+10=21

258 1,x,y,z가이순서대로등차수열을이루므로 1,x,y에서2x=1+y .c3.c3㉠

x,y,z에서2y=x+z .c3.c3㉡

주어진조건에서6x+z=5y .c3.c3㉢

㉠,㉡,㉢을연립하여풀면

x=3,y=5,z=7

.t3x+y+z=15

259 나머지정리에의하여 f(0)=3,f(1)=a+2,f(2)=4a+1 .c3.c3

위의세수가이순서대로등차수열을이루므로

a+2= 3+(4a+1)2

a+2=2a+2

.t3a=0 .c3.c3

f(x)=-x+3이므로

f(5)=-5+3=-2 .c3.c3


나머지 구하기 40%


f(5)의 값 구하기 20%

260 등차수열을이루는세수를a-d,a,a+d라하면

세수의합이15이므로

(a-d)+a+(a+d)=15,3a=15

.t3a=5

세수의곱이45이므로

5(5-d)(5+d)=45,25-d^2=9

d^2=16

.t3d=±4

따라서세수는1,5,9이므로가장큰수는9이다.

261 다섯사람에게지급된성과급을 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d~(만원)라하면

(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=900

5a=900 .t3a=180

가장적은금액을받은사람과그다음으로적은금액을받은

사람의성과급의합은나머지세사람이받은성과급의합의

1/2이므로

(a-2d)+(a-d)=1/2{a+(a+d)+(a+2d)}

4a-6d=3a+3d,a=9d

.t3d=1/9&a=1/9.c1180=20

.t3x=a+2d=180+2.c120=220

262 200과300사이에있는자연수중4로나누었을때의나머지 가3인수는

203,207,211,.c3,299

이므로이수들은첫째항이203,공차가4인등차수열을이

룬다.299를제`n`항이라하면

203+(n-1).c14=4n+199=299

4n=100 .t3n=25

따라서4로나누었을때의나머지가3인수의개수는25이다.

263 ㄱ.a_1,a_2,a_3,a_4,a_5가이순서대로등차수열을이루므로 a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3

이때a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20이므로

2a_3+a_3+2a_3=20,5a_3=20

.t3a_3=4(참)

ㄴ.a_1+a_5=2a_3=8(참)

ㄷ.a_3+a_5=2a_4,a_2+a_4=2a_3이므로

2a_2+a_3+a_5=2a_2+2a_4=2(a_2+a_4)

=4a_3=16(거짓)


다른풀이 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5가이순서대로등차수열을이루

므로공차를d라하면

a_1=a_3-2d,a_2=a_3-d,a_4=a_3+d,a_5=a_3+2d

ㄱ.a_1+a_2+a_3+a_4+a_5

=(a_3-2d)+(a_3-d)+a_3+(a_3+d)+(a_3+2d)

=5a_3=20

.t3a_3=4(참)

ㄴ.a_1+a_5=(a_3-2d)+(a_3+2d)=2a_3=8(참)

ㄷ.2a_2+a_3+a_5=2(a_3-d)+a_3+(a_3+2d)

=4a_3=16(거짓)


264 수열1/9,a,b,c,1의각항의역수로이루어진수열

9,1/a,1/b,1/c,1이등차수열을이루므로

1/b= 9+12

=5

05등

차수

열과

등비

수열

일등급수2해설(36-44)ok.indd 37 13. 11. 29. 오후 5:49



9,1/a,5,1/c,1에서

1/a= 9+52

=7

1/c= 5+12

=3

.t31/a+1/b+1/c=7+5+3=15

265 수열{a_n}의각항의역수로이루어진수열1/15,1/5,1/3,

7/15,.c3은수열^{ 1a_n

}이다.

수열^{ 1a_n

}은첫째항이1/15,공차가2/15인등차수열이므로

일반항 1a_n

`은

1a_n

=1/15+(n-1).c12/15

=2/15&n-1/15

= 2n-115

.c3.c3

.t3a_n= 152n-1

.t3a_3_0= 152.c130-1

=15/59 .c3.c3


수열 ^{ 1a_n }

의 일반항 구하기 70%

a_3_0의 값 구하기 30%

266 첫째항을a,공차를d라하면 a_2=a+d=1 .c3.c3㉠

a_4=a+3d=-5 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=4,d=-3

따라서첫째항부터제`20`항까지의합S_2_0은

S_2_0=20{2.c14+(20-1).c1(-3)}

2

=-490

267 3,a_1,a_2,a_3,.c3,a_n,111이첫째항이3,공차가4인등차

수열을이룬다.

제(n+2)항이111이므로

3+(n+1).c14=111

.t3n=26

따라서a_1+a_2+a_3+.c3+a_n은첫째항이7,공차가4인등차

수열의첫째항부터제`26`항까지의합이므로

26{2.c17+(26-1).c14}

2=1482

출제확실Why?두 수 사이에 수를 넣어 만든 등차수열 문제와 등차수열의 합을 구

하는 문제가 결합된 형태의 문제로 시험에 자주 출제되므로 잘 익혀

두도록 한다. 먼저 항의 수를 구하고 등차수열의 합의 공식을 이용

하여 문제를 해결한다.

268 100과200사이의7의배수는105,112,119,.c3,196이다.

이때196=105+7.c113이므로구하는합은첫째항이105,공

차가7,항수가14인등차수열의합과같다.

.t314{2.c1105+(14-1).c17}

2=2107

269 첫째항을a라하면a_n=a+(n-1).c14이므로

a_9=a+(9-1).c14=33 .t3a=1

.t3a_n=1+(n-1).c14=4n-3 .c3.c3

a_3_n=12n-3이므로a_3+a_6+a_9+.c3+a_3_0의값은첫째항이

9,공차가12인등차수열의첫째항부터제10항까지의합과

같다.

.t3a_3+a_6+a_9+.c3+a_3_0=10{2.c19+(10-1).c112}

2

=630 .c3.c3


일반항 a_n 구하기 50%

a_3+a_6+a_9+.c3+a_3_0의 값 구하기 50%

270 S_n= n{2.c1(-30)+(n-1).c14}2

=2n^2-32n

S_2_n_+_1=(2n+1){2.c1(-30)+(2n+1-1).c14}

2

=8n^2-56n-30

S_2_n_+_1<S_n에서

8n^2-56n-30<2n^2-32n

n^2-4n-5<0,(n+1)(n-5)<0

.t3-1<n<5

따라서모든자연수n의값의합은

1+2+3+4=10

271 첫째항을a,공차를d라하면 a_4=a+3d=37 .c3.c3㉠

a_9=a+8d=27 .c3.c3㉡


제`k`항에서음수가나온다고하면

a_k=43+(k-1).c1(-2)<0

-2k+45<0

.t3k>45/2=22.5

따라서제~23~항부터음수이므로첫째항부터제~22~항까지의합

이최대이다.

.t3S_2_2=22{2.c143+(22-1).c1(-2)}

2=484

일등급수2해설(36-44)ok.indd 38 13. 11. 29. 오후 5:49



다른풀이 첫째항을a,공차를d라하면

a_4=a+3d=37 .c3.c3㉠

a_9=a+8d=27 .c3.c3㉡


S_n=n{2.c143+(n-1).c1(-2)}

2`=-n^2+44n

=-(n^2-44n+484)+484=-(n-22)^2+484

이므로S_n의최댓값은484이다.

272첫째항을a라하면S_1_0=S_2_0에서

10{2a+(10-1).c12}

2=

20{2a+(20-1).c12}2

2a+18=2(2a+38) .t3a=-29

제`k`항에서양수가나온다고하면

a_k=-29+(k-1).c12>0,2k-31>0

.t3k>31/2=15.5

따라서제~16~항부터양수이므로S_n의값이최소가되도록하

는n의값은15이다.

273 ⑴첫째항을a라하면

S_n=n{2a+(n-1).c14}

2`=2n^2+(a-2)n

=2^{n^2+(a-22

&&&&&)n+(a-2)^2

16}-

(a-2)^28

=2(n+a-24

)^^2-(a-2)^2

8

n=-a-24일때최솟값이-

(a-2)^28

이므로

-(a-2)^2

8=-200,(a-2)^2=1600

.t3a=-38(.T3-`a-24

>0이므로a<2) .c3.c3

⑵a_n=-38+(n-1).c14=4n-42이므로

a_1_0=4.c110-42=-2 .c3.c3


첫째항 구하기 70%

a_1_0의 값 구하기 30%

274 첫째항을a,공비를r라하면 a_3=ar^2=2 .c3.c3㉠

a_6=ar^5=16 .c3.c3㉡

㉡/㉠을하면r^3=8 .t3r=2

r=2를㉠에대입하면a=1/2

.t3a_1_1=ar^1^0=1/2.c12^1^0=2^9

출제확실Why?등비수열에서 제~k~항의 값을 구하는 문제는 학교 시험뿐만 아니라

학력평가, 수능에도 자주 출제되므로 주어진 조건을 이용하여 일반

항을 구하는 연습을 많이 하도록 한다.

275 첫째항을a,공비를r라하면 a_1=a=3 .c3.c3㉠

a_2：a_5=1：8에서

ar：ar^4=1：8,r^3=8 .t3r=2 .c3.c3㉡

㉠,㉡에의하여

a_6=3.c12^5=96

276 첫째항을a,공비를r라하면 a_6a_2

+a_7a_3

=14에서

ar^5ar

+ar^6ar^2

=14

r^4+r^4=14 .t3r^4=7

.t3a_2_2a_1_4

=ar^2^1

ar^1^3=r^8=(r^4)^2=7^2=49

277 첫째항을a,공비를r라하면 a_1~a_2=a.c1ar=a^2r=4 .c3.c3㉠

a_3~a_4=ar^2.c1ar^3=a^2r^5=8 .c3.c3㉡

㉡/㉠을하면r^4=2

.t3a_5~a_6=ar^4.c1ar^5=(r^4)^2.c1a^2r

=2^2.c14=16

278 첫째항을a,공비를r라하면 a_1+a_3+a_5=14에서

a+ar^2+ar^4=14 .c3.c3㉠

a_2+a_4+a_6=28에서

ar+ar^3+ar^5=28

.t3r(a+ar^2+ar^4)=28 .c3.c3㉡

㉠을㉡에대입하면r=2

279 공비를r`(r>0)라하면첫째항이2,제~5~항이162이므로

2.c1r^4=162,r^4=81 .t3r=3(.T3r>0) .c3.c3

이때세수는2r=6,2r^2=18,2r^3=54 .c3.c3

따라서세수의합은6+18+54=78 .c3.c3


공비 구하기 50%

세 수 구하기 30%

세 수의 합 구하기 20%

2801/5,x,y,-200이이순서대로등비수열을이루므로

x^2=1/5&y .c3.c3㉠

y^2=x.c1(-200)=-200x .t3x=-1/200&y^2 .c3.c3㉡

㉡을㉠에대입하면

(-1/200&y^2)^^2=1/5&y

y^3=8000 .t3y=20

y=20을㉡에대입하면x=-2

.t3x+y=-2+20=18

05등

차수

열과

등비

수열

일등급수2해설(36-44)ok.indd 39 13. 11. 29. 오후 5:49



281 2,a,b가이순서대로등차수열을이루므로

a= b+22 .c3.c3㉠

2,b,a가이순서대로등비수열을이루므로

b^2=2a .c3.c3㉡

㉠을㉡에대입하면

b^2=2.c1( b+22

),b^2-b-2=0

(b+1)(b-2)=0

.t3b=-1(.T3anot=b)

b=-1을㉠에대입하면a=1/2

.t3a^2+b^2=(1/2)^^2+(-1)^2=5/4

출제확실Why?등차중항과 등비중항을 동시에 묻는 문제는 자주 출제된다. 세 수를

이용하여 식을 세우고 조건에 맞는 미지수를 구하도록 한다.

282 x^3-13x^2+kx-27=0의세실근을a,ar,ar^2이라하자.

삼차방정식의근과계수의관계에의하여

a+ar+ar^2=13

a^2r+a^2r^2+a^2r^3=k .c3.c3㉠

a^3r^3=27 .c3.c3㉡

㉡에서ar=3

㉠에서ar(a+ar+ar^2)=k

3.c113=k .t3k=39

283 처음빛의양을A,일정한비율을r라하면유리를n장통과

한후의빛의양은A(1-r)^n

유리를6장통과한후의빛의양이처음빛의양보다19`%

줄어들었으므로

A(1-r)^6=(1-0.19)A

(1-r)^6=0.81

.t3(1-r)^3=0.9

유리를3장통과한후의빛의양은A(1-r)^3=0.9A

따라서유리를3장통과한후의빛의양은처음빛의양의

10`%이다.

284 b가a와c의등비중항이므로 b^2=ac .c3.c3㉠

2b^2이a^2과4c^2의등차중항이므로

2b^2= a^2+4c^22

.c3.c3㉡


2ac= a^2+4c^22

,a^2-4ac+4c^2=0

(a-2c)^2=0 .t3a=2c

㉠에a=2c를대입하면b=rt2&c

세변의길이는a=2c,b=rt2&c,c이므로a가가장길다.

b^2+c^2=2c^2+c^2=3c^2 .c3.c3㉢

a^2=4c^2 .c3.c3㉣

㉢,㉣에서a^2>b^2+c^2

이므로semoABC는gakA가둔각인삼각형이다.

참고 semoABC의세변의길이가a,b,c이고a가가장긴

변일때

①a^2<b^2+c^2이면gakA는예각

②a^2=b^2+c^2이면gakA는직각

③a^2>b^2+c^2이면gakA는둔각

285 첫째항부터제~n~항까지의합을S_n이라하면

S_9=a(2^9-1)2-1

=2044,511a=2044 .t3a=4

출제확실Why?등비수열의 합의 공식을 이용하는 문제는 반드시 출제되므로 공식

을 꼭 외워 두도록 한다.

286 a_1,a_3,a_5,a_7,a_9는3,3.c12^2,3.c12^4,3.c12^6,3.c12^8이므로첫째 항이3이고공비가2^2인등비수열이다.

.t3a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=3.c1{(2^2)^5-1}

2^2-1=1023

참고 수열{a_n}이등비수열을이루면수열{a_2_n_-_1}도등비

수열을이룬다.

287 첫째항을a,공비를r라하면 a_2=ar=8 .c3.c3㉠

S_6=9S_3에서a(r^6-1)r-1

=9.c1a(r^3-1)r-1

r^3+1=9,r^3=8 .t3r=2

r=2를㉠에대입하면a=4

.t3S_4=4(2^4-1)2-1

=60

288 첫째항을a,공비를r,첫째항부터제~n~항까지의합을S_n이

라하면

S_n=a(r^n-1)r-1

=10 .c3.c3㉠

S_2_n=a(r^2^n-1)

r-1

=a(r^n-1)(r^n+1)

r-1=30 .c3.c3㉡

㉡/㉠을하면r^n+1=3 .t3r^n=2

.t3S_3_n=a(r^3^n-1)

r-1

일등급수2해설(36-44)ok.indd 40 13. 11. 29. 오후 5:49



=a(r^n-1)(r^2^n+r^n+1)

r-1

=10.c1(2^2+2+1)=70

289 첫째항을a,공비를r,첫째항부터제~n~항까지의합을S_n이라

하면

S_1_0=a(r^1^0-1)

r-1=7 .c3.c3㉠

a_1_1+a_1_2+.c3+a_2_0=S_2_0-S_1_0=21이므로

S_2_0-7=21 .t3S_2_0=28

.t3S_2_0=a(r^2^0-1)

r-1=

a(r^1^0-1)(r^1^0+1)r-1

=28 .c3.c3㉡

㉡/㉠을하면r^1^0+1=4 .t3r^1^0=3

.t3a_2_1+a_2_2+.c3+a_4_0=S_4_0-S_2_0=a(r^4^0-1)

r-1-28

=a(r^2^0-1)(r^2^0+1)

r-1-28

=28(3^2+1)-28=252

290 첫째항을a,공비를r라하면a_1+a_2+a_3+.c3+a_1_0=16에서

a(r^1^0-1)

r-1=16 .c3.c3㉠

또, 1a_1

+ 1a_2

+ 1a_3

+.c3+ 1a_1_0

~은첫째항이1/a이고,공비가

1/r인등비수열의첫째항부터제~10~항까지의합이므로

1/a^{1-(1/r)^^1^^0}

1-1/r= 1

a^2r^9.c1a(r^1^0-1)

r-1=4 .c3.c3㉡.c3.c3

㉡/㉠을하면

1a^2r^9

=1/4 .t3a^2r^9=4 .c3.c3

.t3a_1~a_2~a_3.c3a_1_0=a.c1ar.c1ar^2.c1~.c3`.c1ar^9

=a^1^0r&1+2+3+.c3+9

=a^1^0r^4^5=(a^2r^9)^5

=4^5=1024 .c3.c3


주어진 식을 첫째항과 공비로 나타내기 40%

a^2r^9의 값 구하기 20%

a_1~a_2~a_3~.c3~a_1_0의 값 구하기 40%

291 100(1+0.01)+100(1+0.01)^2+.c3+100(1+0.01)^2^4

=100\1.01{(1.01)^2^4-1}

1.01-1

=101(1.27-1)

0.01

=2727`(만원)

292 이달말부터a만원씩갚는다고하면갚는금액의12개월후 의원리합계는

a+a×1.015+a\1.015^2+.c3+a×1.015^1^1

=a(1.015^1^2-1)

1.015-1=

a(1.2-1)0.015

=40/3&a(만원) .c3.c3㉠

한편,20만원의12개월후의원리합계는

20×1.015^1^2=20×1.2=24(만원) .c3.c3㉡

㉠과㉡이같아야하므로

40/3&a=24 .t3a=1.8

따라서매달18000원씩갚아야한다.

참고 S원을n년에걸쳐상환할때,다음을이용한다.

(S원의n년후의원리합계)

=(n년동안상환할금액의원리합계)

293 1억5천만원을10년간예치한원리합계는 15000×1.05^1^0=15000×1.6

=24000(만원) .c3.c3㉠ .c3.c3

매년말에받게되는금액을a만원이라하면매년말에a만

원씩10년간적립한원리합계는

a+a×1.05+a×1.05^2+.c3+a×1.05^9

=a(1.05^1^0-1)

1.05-1=12a(만원) .c3.c3㉡ .c3.c3

㉠,㉡에서

12a=24000 .t3a=2000

따라서매년말에2000만원씩받게된다. .c3.c3


10년간 예치한 원리합계 구하기 40%

a원씩 10년간 적립한 원리합계 구하기 40%

매년 말에 받게 되는 금액 구하기 20%

294 a_n=S_n-S_n_-_1

=n^2+2n+2-{(n-1)^2+2(n-1)+2}

=2n+1(n=2,3,4,.c3)

그런데S_1=1+2+2=5이므로

a_n=^{5` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `(n=1)

2n+1 (n=2,3,4,.c3)

따라서a_1=5,a_6=13이므로

a_1+a_6=5+13=18

성취도 만들기 비법AS_n=an^2+bn+c에서 cnot=0이면 수열 {a_n}은 둘째항부터 등차수

열을 이루므로 주의해야 한다.

295 S_n=n^2+pn에서

a_n=S_n-S_n_-_1

=n^2+pn-{(n-1)^2+p(n-1)}

=2n+p-1(n=2,3,4,.c3)

05등

차수

열과

등비

수열

일등급수2해설(36-44)ok.indd 41 13. 11. 29. 오후 5:49



S_1=1+p이므로

a_n=2n+p-1(n=1,2,3,.c3) .c3.c3

a_1_0=20에서a_1_0=2.c110+p-1=20

.t3p=1 .c3.c3

따라서a_n=2n이므로

a_2_0=2.c120=40 .c3.c3


일반항 a_n 구하기 40%

p의 값 구하기 40%

a_2_0의 값 구하기 20%

296 S_n=4n^2-3n,T_n=2n^2+pn

이라놓고,첫째항부터제~n~항까지의합이S_n,T_n인수열의

일반항을각각a_n,b_n이라하면

a_n=S_n-S_n_-_1

=4n^2-3n-{4(n-1)^2-3(n-1)}

=8n-7(n=2,3,4,.c3)

b_n=T_n-T_n_-_1

=2n^2+pn-{2(n-1)^2+p(n-1)}

=4n+p-2(n=2,3,4,.c3)

따라서a_5=b_5이므로

8.c15-7=4.c15+p-2 .t3p=15


297 ④ 298 ⑤ 299 ④ 300 ④ 301 3

302 ③ 303 ⑴ 2 ⑵ 3 304 ⑤ 305 ③

306 31일째 날 307 ① 308 ⑤

297등차수열의 활용

전략 등차중항을 이용하여 gakB의 크기를 구하고, 삼각비를 이용하여

넓이를 구한다.

풀이 gakA+gakB+gakC=180° .c3.c3㉠

gakA,gakB,gakC의크기가이순서대로등차수열을이루므로

gakB=gakA+gakC

2 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면gakB=60°

또한,semoABC는직각삼각형이므로gakA=90°또는

gakC=90°이다.

r1pargakA=90°일때

gakA=90°,gakB=60°,gakC=30°

빗변의길이를2x라하면

semoABC=1/2\rt3x\x

=8rt3

x^2=16 .t3x=4

A30æ

60æ

B

CÂ3x

x2x

r2pargakC=90°일때도r1par과마찬가지로x=4이다.

따라서빗변의길이는8이다.

298등차수열의 합

전략 등차수열의 합의 공식을 이용한다.

풀이 첫째항을a,공차를d라하면

㈎에의하여

5(2a+4d)

2=100

.t3a+2d=20 .c3.c3㉠

㈏에의하여

5[2{a+(n-5)d}+4d]

2 ~=250

.t3a+(n-3)d=50 .c3.c3㉡

㈐에의하여

n{2a+(n-1)d}

2 ~=3500 .c3.c3㉢

㉠+㉡을하면2a+(n-1)d=70 .c3.c3㉣

㉢/㉣을하면;n/2:=50

.t3n=100

299등차수열의 합의 최대, 최소

전략 첫째항과 공차를 구한 후, 음수인 항들을 찾는다.

풀이 첫째항을a,공차를d라하면

a_2=a+d=-4 .c3.c3㉠

a_5=a+4d=14 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=-10,d=6

제~k~항에서양수가나온다고하면

a_k=6k-16>0

.t3k>16/6=8/3=2.\&\&\

제~3~항부터양수이므로a_1,a_2의값은음수이다.

.t3|a_1|+|a_2|+|a_3|+.c3+|a_1_0|

=-a_1-a_2+a_3+.c3+a_1_0

=a_1+a_2+a_3+.c3+a_1_0-2(a_1+a_2)

=10{2.c1(-10)+(10-1).c16}

2-2{(-10)+(-4)}

=198

300등비수열의 활용

전략 항들 사이의 관계가 등비수열임을 알고, a_1_1의 값을 구한다.

풀이 n회때의넓이를a_n이라하면

a_1=8,a_2=8.c18/9,a_3=8(8/9)^^2,.c3

수열{a_n}은첫째항이8,공비가8/9인등비수열이다.

따라서a_n=8.c1(8/9)^^n^^-^^1(n=2,3,4,.c3)이므로

a_1_1=8.c1(8/9)^^1^^0=8^1^19^1^0

일등급수2해설(36-44)ok.indd 42 13. 11. 29. 오후 5:49




전략 정삼각형의 한 변의 길이가 a일 때, 이 정삼각형의 넓이는

;#!rt3/4$:~a^2인 것과 등비중항을 이용한다.

풀이 ^-EC^-=a라하면

semoGEC=;#!rt3/4$:a^2

semoAGH=1/2a(4-a)~sin`60°=;#!rt3/4$:a(4-a)

semoDEF=;#!rt3/4$:~r^2 .c3.c3

semoGEC,semoAGH,semoDEF의넓이는이순서대로공비가r

인등비수열을이루므로

semoAGH=r.c1semoGEC이므로

;#!rt3/4$:a(4-a)=;#!rt3/4$:a^2r

.t34-a=ar ……㉠

semoDEF=r.c1semoAGH이므로

;#!rt3/4$:~r^2=;#!rt3/4$:ar(4-a)

.t3r=a(4-a) ……㉡

㉠,㉡에서

r=a.c1ar=a^2r,a^2=1

.t3a=1(.T3a>0) .c3.c3

따라서a=1을㉠에대입하면r=3 .c3.c3


semoGEC, semoAGH, semoDEF의 넓이 구하기 40%

^-EC^-의 길이 구하기 40%

r의 값 구하기 20%

302등비수열의 합

전략 수열 a, aa, aaa, .c3의 일반항은 a/9(10^n-1)임을 이용한다.

풀이 3=1/3(10-1),33=1/3(100-1),

333=1/3(1000-1),.c3

이므로제~n~항은

1/3(10^n-1)

따라서첫째항부터제~7~항까지의합은

1/3(10-1)+1/3(10^2-1)+1/3(10^3-1)+.c3+1/3(10^7-1)

=1/3(10+10^2+10^3+.c3+10^7)-7/3

=1/3.c110(10^7-1)

10-1-7/3

=11111110

3-7/3

=3703701


전략 등비수열의 합의 공식을 이용한다.

풀이 ⑴공비를r라하면

a_2+a_4+a_6+.c3+a_2_k

=r+r^3+r^5+…+r^2^k^-^1

=r{(r^2)^k-1}

r^2-1

=r(r^2^k-1)

r^2-1=42 ……㉠

a_1+a_3+a_5+.c3+a_2_k_-_1

=1+r^2+r^4+.c3+r^2^k^-^2

=1{(r^2)^k-1}

r^2-1

=r^2^k-1

r^2-1=21 ……㉡ .c3.c3

㉠÷㉡을하면

r=42/21=2 .c3.c3

⑵r=2를㉡에대입하면

4^k-14-1

=21,4^k-1=63

4^k=64=4^3 .t3k=3 .c3.c3


주어진 조건을 이용하여 식 세우기 50%

공비 구하기 30%



전략 첫째항과 공비를 구하여 등비수열의 합의 공식을 이용한다.

풀이 점A_n의x좌표인1+1/2+.c3+1

2^n^-^1은첫째항이1,

공비가1/2인등비수열의첫째항부터제n항까지의합이므로

1^{1-(1/2)^^n}

1-1/2=2^{1-(1/2)^^n}

.t3S_n=1/2\A_n_-_1A_n\A_nB_n

=1/2\1

2^n^-^1\

3

2^{1-(1/2)^^n}

=3

2(2^n-1)(n->2)

∴S_1_0=3

2046=1/682


1단계 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

alpha+beta+gamma=9 ……㉠

alphabeta+betagamma+gammaalpha=a ……㉡

alphabetagamma=15 ……㉢

05등

차수

열과

등비

수열

일등급수2해설(36-44)ok.indd 43 13. 11. 29. 오후 5:49



2단계 공차를 d라 하고 세 근을 beta-d, beta, beta+d로 놓는다.

alpha=beta-d,gamma=beta+d라하고㉠,㉡,㉢에대입하여정리

하면

(beta-d)+beta+(beta+d)=9,3beta=9

.t3beta=3

(beta-d)beta+beta(beta+d)+(beta-d)(beta+d)=a

.t33beta^2-d^2=a ……㉣

(beta-d)beta(beta+d)=15

.t3beta^3-betad^2=15 ……㉤

beta=3을㉤에대입하면

3^3-3d^2=15 .t3d^2=4

beta=3,d^2=4를㉣에대입하면a=23

성취도 만들기 비법A삼차방정식 ax^3+bx^2+cx+d=0의 세 근을 alpha, beta, gamma라 할 때,

alpha+beta+gamma=-b/a, alphabeta+betagamma+gammaalpha=c/a, alphabetagamma=-d/a임을 이용한다.

여기서 세 수 alpha, beta, gamma는 이 순서대로 등차수열을 이루므로

alpha=beta-d, gamma=beta+d로 놓고 식을 세우면 그 계산이 편리하다.


1단계 영어 단어의 개수들이 등차수열임을 알고, 일반항을 구한다.

민지가첫째날,둘째날,셋째날,.c3에외운영어단어의

개수를a_1,a_2,a_3,.c3이라하면수열{a_n}은등차수열을이

룬다.

영어단어를전날보다3개더많이외우므로수열{a_n}의공

차는3이다.

첫째항을a라하면

a_n=a+(n-1).c13

2단계 주어진 조건을 이용하여 식을 세워 첫째항을 구한다.

12일째되는날에외운영어단어의개수는첫째날외웠던

영어단어의개수의4배이므로

a+(12-1).c13=4a .t3a=11

3단계 일반항을 이용하여 100개가 넘는 영어 단어를 외운 날을 구한다.

제`k`항이100을넘는다고하면

11+(k-1).c13>100,3k>92

.t3k>92/3=30.\&\&\

따라서처음으로100개가넘는영어단어를외운날은31일

째날이다.


1단계 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

x^2+x+1=0의두근이alpha,beta이므로이차방정식의근과계수

의관계에의하여

alpha+beta=-1,alphabeta=1

x^2+x+1=0의양변에x-1을곱하면x^3-1=0이므로

alpha^3=1,beta^3=1

2단계 S_8의 값을 구한다.

첫째항이alpha,공비가beta인등비수열의첫째항부터제~8~항까지

의합은

alpha(beta^8-1)beta-1

=alpha{(beta^3)^2.c1beta^2-1}

beta-1

=alpha(beta^2-1)beta-1

(.T3beta^3=1)

=alpha(beta+1)

=alphabeta+alpha=1+alpha(.T3alphabeta=1)

=-beta(.T3alpha+beta=-1)


1단계 A(n)을 구한다.

공비를r(r>1)라하면

A(n)=r.c1r^3.c1r^5.c1~.c3~.c1r^2^n^-^1

=r&1+3+5+.c3+(2n-1)

=r~n{1+(2n-1)}

2

=r~n^2

2단계 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ.A(4)=r^4^2=r^1^6

{A(2)}^4=(r~&2^2)^4=r^1^6

이므로A(4)={A(2)}^4(참)

ㄴ.A(n+1)=r(n+1)^2=rn^2+2n+1

an^2+2n+2=r(n^2+2n+2)-1

=rn^2+2n+1

ㄴ.이므로A(n+1)=an^2+2n+2(참)

ㄷ.A(3n)=r(3n)^2=r9n^2

A(4n)=r(4n)^2=r16n^2

A(5n)=r(5n)^2=r25n^2

이므로A(3n)\A(4n)=r9n^2\r16n^2=r25n^2=A(5n)

.t3A(3n)\A(4n)=A(5n)(참)

이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.

일등급수2해설(36-44)ok.indd 44 13. 11. 29. 오후 5:49

06. 수열의 합과 수학적 귀납법 45PB 바른답•알찬풀이

309 ⑴1^2+2^2+3^2+.c3+12^2=sigk=1^12 k^2=12·13·25

6=650

⑵1^3+2^3+3^3+.c3+10^3=sigk=1^10 k^3=Ñ10·112

^)^^2=3025

⑶sigk=1^10(3k+1)=3sigk=1^10 k+sigk=1^10 1=3· 10·112

+10=175

⑷sigk=1^7 k(k-2)=sigk=1^7 k^2-2sigk=1^7 k=7·8·15

6 -2·

7·82

=84

310 11·2

+ 12·3

+ 13·4

+.c3+ 1

99·100

=sigk=1^99~ 1

k(k+1)~=sigk=1^99 Ñ&1/k~-~

1k+1

Ò

=Ñ1-1/2&^)+Ñ&1/2-1/3&^)+Ñ&1/3-&1/4^)+.c3+Ñ&1/99-1/100&^)

=1-1/100=99/100

311 ⑴ a_n_+_1=a_n-3에서

a_2=a_1-3=10-3=7

a_3=a_2-3=7-3=4

.t3 a_4=a_3-3=4-3=1

⑵ a_n_+_1=4a_n에서

a_2=4a_1=4·2=8

a_3=4a_2=4·8=32

.t3 a_4=4a_3=4·32=128

⑶ a_n_+_1=a_n+2n에서

a_2=a_1+2·1=1+2=3

a_3=a_2+2·2=3+4=7

.t3 a_4=a_3+2·3=7+6=13

⑷ a_n_+_1=na_n에서

a_2=1·a_1=1·3=3

a_3=2a_2=2·3=6

.t3 a_4=3a_3=3·6=18

312 a_n_+_2=a_n_+_1+a_n에서

a_3=a_2+a_1=2+(-1)=1

a_4=a_3+a_2=1+2=3

a_5=a_4+a_3=3+1=4

a_6=a_5+a_4=4+3=7

.t3a_7=a_6+a_5=7+4=11

기본 문제

309 ⑴ 650 ⑵ 3025 ⑶ 175 ⑷ 84 310 99/100

311 ⑴ 1 ⑵ 128 ⑶ 13 ⑷ 18 312 11

수열의 합과 수학적 귀납법06

pp. 92 ~ 93

313 sigk=1^10(a_k-2)^2=sigk=1^10(a_k&^2-4a_k+4)

=sigk=1^10 a_k&^2-4sigk=1^10 a_k+sigk=1^10& 4

=100-4·5+4·10

=120

314sigk=1^10 a_k=a_1+a_2+a_3+a_4+.c3+a_9+a_1_0

=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+.c3+(a_9+a_1_0)

=sigk=1^5 (a_2_k_-_1+a_2_k)

=5^2=25

다른풀이 수열{a_n}의첫째항부터제`n`항까지의합을S_n이

라하자.

sigk=1^n (a_2_k_-_1+a_2_k)=n^2이므로

(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+.c3+(a_2_n_-_1+a_2_n)=n^2

.t3S_2_n=n^2 .c3.c3㉠

sigk=1^10 a_k=S_1_0이므로㉠에n=5를대입하면

S_1_0=5^2=25

315sigk=1^20(a_2_k_-_1+a_2_k)=a_1+a_2+a_3+a_4+.c3+a_3_9+a_4_0

=sigk=1^40 a_k=47

.t3sigk=1^40(2a_k+1) =2sigk=1^40 a_k+40

=2.c147+40=134

316 두수열{a_n},{b_n}이등차수열이므로수열{a_n+b_n}도등차

수열이다. .c3.c3

수열{a_n+b_n}의첫째항은a_1+b_1=5이고,제`10`항은

a_1_0+b_1_0=10이므로

sigk=1^10 a_k+sigk=1^10& b_k=sigk=1^10(&a_k+b_k) .c3.c3

= 10(5+10)

2 =75 .c3.c3


313 ① 314 ① 315 134 316 75 317 ②

318 ② 319 ④ 320 255 321 ③ 322 -108

323 ④ 324 ② 325 ③ 326 ④ 327 149

328 ② 329 ⑤ 330 ⑤ 331 9/100 332 ③

333 24 334 ③ 335 ① 336 509/128 337 ④

338 84 339 ② 340 ① 341 ② 342 420

343 7 344 ① 345 ④ 346 ④

06수

열의

합과

수학

적 귀

납법

일등급수2해설(45-52)ok.indd 45 13. 11. 29. 오후 5:50

06. 수열의 합과 수학적 귀납법 4746 바른답•알찬풀이



수열 {a_n+b_n}이 등차수열임을 설명하기 30%

sigk=1^10 a_k+sigk=1^10 b_k=sigk=1^10(&a_k+b_k)임을 알기 30%

sigk=1^10 a_k+sigk=1^10& b_k의 값 구하기 40%

317sigk=1^5~{k^2(k-2)+3}=sigk=1^5 (k^3-2k^2+3)

=sigk=1^5 k^3-2sigk=1^5 k^2+sigk=1^5 3

=Ñ5·62

^)^^2-2·5·6·11

6 +3·5

=130

출제확실Why?합의 기호 sig의 성질을 이용하여 자연수의 거듭제곱의 합을 구하는

문제는 자주 출제되므로 자연수의 거듭제곱의 합의 공식을 꼭 외워

두도록 한다.

318sigk=1^10(k^4+1)-sigk=1^9(k^4-1)

=sigk=1^10(k^4+1)-^{sigk=1^10(k^4-1)-(10^4-1)^}

=sigk=1^10 {k^4+1-(k^4-1)}+10^4-1

=sigk=1^10 2+10^4-1

=20+10^4-1

=10019

319 6sigk=1^10 ~1^2+2^2+3^2+.c3+k^2

2k+1~=6sigk=1^10`~~

k(k+1)(2k+1)6

2k+1

=6sigk=1^10 ~k(k+1)

6~

=sigk=1^10(k^2+k)

=sigk=1^10 k^2+sigk=1^10 k

= 10·11·21

6 +

10·112

~

=440

320 이차방정식의근과계수의관계에의하여 alpha_k+beta_k=k,alpha_k`beta_k=k+1 .c3.c3

.t3alpha_k&^2+beta_k&^2=(alpha_k+beta_k)^2-2alpha_k`beta_k

=k^2-2(k+1)

=k^2-2k-2 .c3.c3

.t3sigk=1^10(alpha_k&^2+beta_k&^2)=sigk=1^10(k^2-2k-2)

=sigk=1^10 k^2-2sigk=1^10 k-sigk=1^10 2

= 10·11·21

6 -2·

10·112

-2·10

=255 .c3.c3


이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여

alpha_k+beta_k, alpha_k~beta_k를 k에 대한 식으로 나타내기20%

alpha_k&^2+beta_k&^2을 k에 대한 식으로 나타내기 30%

sigk=1^10(alpha_k&^2+beta_k&^2)의 값 구하기 50%

321sigk=1^n a_k=S_n이라하면S_n=2n^2+n

.t3a_n=S_n-S_n_-_1

=2n^2+n-{2(n-1)^2+(n-1)}

=2n^2+n-2n^2+3n-1

=4n-1(n=2,3,4,.c3)

이때a_1=S_1=3이므로n=1일때에도성립한다.

.t3a_n=4n-1

따라서자연수k에대하여

a_2_k_-_1=4(2k-1)-1=8k-5이므로

sigk=1^10 a_2_k_-_1=sigk=1^10(8k-5)=8· 10·112

-50=390

성취도 만들기 비법A수열의 합 S_n을 이용하여 일반항 a_n을 구할 때에는 a_n=S_n-S_n_-_1

이 n=2, 3, 4, .c3일 때 성립하므로 첫째항 a_1의 값을 구하여 n=1

일 때에도 성립하는지 조사해야 한다.

322sigk=1^n a_k=S_n이라하면S_n=n^2+n

.t3a_n=S_n-S_n_-_1

=(n^2+n)-{(n-1)^2+(n-1)}

=n^2+n-n^2+n

=2n(n=2,3,4,.c3)

이때a_1=S_1=2이므로n=1일때에도성립한다.

.t3a_n=2n

따라서자연수k에대하여

a_2_k_-_1-a_2_k=2(2k-1)-4k=-2

이므로

a_5-a_6+a_7-a_8+.c3+a_1_1_1-a_1_1_2

=(a_5-a_6)+(a_7-a_8)+.c3+(a_1_1_1-a_1_1_2)

=(-2)+(-2)+.c3+(-2)

=(-2)\54=-108

323 1+1^2+1^3+2+2^2+2^3+3+3^2+3^3+.c3+20+20^2+20^3

= (1+2+3+.c3+20)+(1^2+2^2+3^2+.c3+20^2)

~+(1^3+2^3+3^3+.c3+20^3)

=sigk=1^20 k+sigk=1^20& k^2+sigk=1^20& k^3

= 20·212

+ 20·21·41

6 +Ñ

20·212

^)^^2

=210+2870+44100=47180

일등급수2해설(45-52)ok.indd 46 13. 11. 29. 오후 5:50



324 주어진수열의일반항은a_n=n^2-n이므로첫째항부터제`15

`항까지의합은

sigk=1^15(k^2-k)=sigk=1^15 k^2-sigk=1^15 k

= 15·16·31

6 -

15·162

=1120

출제확실Why?자연수의 거듭제곱의 합을 이용하여 첫째항부터 제~n~항까지의 수열

의 합을 구하는 문제는 자주 출제되므로 주어진 수열의 일반항을 구

하고 자연수의 거듭제곱의 합의 공식을 이용하여 수열의 합을 구하

는 연습을 많이 하도록 한다.

325 a_k=k{n-(k-1)}=-k^2+(n+1)k이므로

sigk=1^n a_k=sigk=1^n{-k^2+(n+1)k}

=-sigk=1^n k^2+(n+1)sigk=1^n k

=- n(n+1)(2n+1)

6 +(n+1)·

n(n+1)

2

= n(n+1)(n+2)

6

326 자연수n은4k-3,4k-2,4k-1,4k(k는자연수)꼴중

의하나이다.

r1parn=4k-3일때

n^2=(4k-3)^2

=16k^2-24k+9

=8(2k^2-3k+1)+1

r2parn=4k-2일때

n^2=(4k-2)^2

=16k^2-16k+4

=8(2k^2-2k)+4

r3parn=4k-1일때

n^2=(4k-1)^2

=16k^2-8k+1

=8(2k^2-k)+1

r4parn=4k일때

n^2=(4k)^2=16k^2=8(2k^2)

이상에서

a_4_k_-_3=1,a_4_k_-_2=4,a_4_k_-_1=1,a_4_k=0

이고,150=4·37+2이므로

150sigk=1

a_k =a_1+a_2+a_3+a_4+.c3+a_1_4_9+a_1_5_0

=37(a_1+a_2+a_3+a_4)+a_1+a_2

=37(1+4+1+0)+1+4

=37.c16+5

=227

327 1

(2k+1)(2k+3)=1/2&^(

12k+1

- 1

2k+3^)이므로

sigk=1^20~~1

(2k+1)(2k+3)

=1/2~&sigk=1^20~^(1

2k+1 -

12k+3

^)

=1/2^{Ñ1/3-1/5^)+Ñ1/5-1/7^)+.c3+Ñ1/41-1/43^)^}

=1/2Ñ1/3-1/43^)=1/2·40/129=20/129

p=129,q=20이므로

p+q=149

328 1k(k+1)

=1/k - 1

k+1이므로

11·2

+ 12·3

+ 13·4

+.c3+ 1

n(n+1)

=sig k=1 `1

k(k+1)=sig k=1 `Ñ

1k -

1k+1

Ò

=Ñ1-1/2^)+Ñ1/2-1/3^)+Ñ1/3-1/4^)+.c3+Ñ1n -

1n+1

Ò

=1- 1

n+1=

nn+1

n

n+1 =

20142015

`이므로n=2014

329 11·3

+ 12·4

+ 13·5

+…+ 1

20·22

=sig k=1^2 ~

1k(k+2)

=1/2sig k=1^2 Ñ1/k-

1k+2

Ò

=1/2&^{Ñ1-1/3^)+Ñ1/2-1/4^)+Ñ1/3-1/5^)+.c3

+Ñ1/19-1/21^)+Ñ1/20-1/22^)^}

=1/2&Ñ1+1/2-1/21-1/22^)=325/462

330 수열1, 11+2

,1

1+2+3,.c3,

11+2+3+.c3+2014

~의

제`k`항을a_k라하면

a_k= 1

1+2+3+.c3+k =` `

1k(k+1)

2

= 2

k(k+1) =2Ñ&1/k-

1k+1

Ò

주어진식은수열{a_n}의첫째항부터제`2014`항까지의합이

므로

1+ 1

1+2 +

11+2+3

+.c3+ 1

1+2+3+.c3+2014

=2014sigk=1

a_k=22014sigk=1

Ñ1/k- 1

k+1Ò

=2^{Ñ1-1/2^)+Ñ1/2-1/3^)+.c3+Ñ1

2014 -

12015

^)^}

=2Ñ1- 1

2015^)=

40282015

06수

열의

합과

수학

적 귀

납법

일등급수2해설(45-52)ok.indd 47 13. 11. 29. 오후 5:50



출제확실Why?1

(k+a)(k+b)=

1

b-aÑ

1

k+a -

1

k+bÒ을 이용하여 분수 꼴인 수

열의 합을 구하는 문제는 자주 출제되므로 잘 익혀 두도록 한다.

331 이차방정식의근과계수의관계에의하여

f(n)= 1

n(n+1) =1/n-

1n+1

.c3.c3

.t3sigk=10^99``~f(k)=Ñ1/10-1/11^)+Ñ1/11-1/12^)+Ñ1/12-1/13^)

+.c3+Ñ1/99-1/100^)

=1/10-1/100&=9/100 .c3.c3


이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여

f(n) 구하기40%

주어진 식의 값 구하기 60%

332sigk=1^99~1

rtk+1&+rtk~

=sigk=1^99(rtk+1&~-rtk&)

=(rt2&~-1)+(rt3&~-rt2& )+(rt4&-rt3 )+.c3+(rt100&~-rt99& )

=rt100&~-1=9

333 1f(k)

= 1

rtk&~+rtk+1` =rtk+1&~-rtk&~ .c3.c3

이므로

sigk=1^n~~1

f(k) =sigk=1^n(rtk+1&~-rtk&)

=(rt2&~-1)+(rt3&~-rt&2 )+.c3+(rtn+1&~-rtn& )

=rtn+1&-1 .c3.c3

sigk=1^n~~1

f(k) =4이므로

rtn+1&~-1=4

rtn+1&~=5,n+1=25

.t3n=24 .c3.c3


1

f(k) 구하기 30%

sigk=1^n~~1

f(k)` ~을 간단히 하기 40%

n의 값 구하기 30%

334 a_n=1+(n-1)·3=3n-2이므로

sigk=1^56~~1

1a_k&~+1a_k_+_1a`~

=sigk=1^56~1

rt3k-2&~+rt3k+1`~

=sigk=1^56~rt3k-2&~-rt3k+1

(rt3k-2&~+rt3k+1)(rt3k-2&~-rt3k+1)~

~ =sigk=1^56~rt3k-2&-rt3k+1&

(3k-2)-(3k+1)~~

=-1/3sigk=1^56(rt3k-2&~-rt3k+1& )

=-1/3{(1-rt4& )+(rt4&~-rt7& )+(rt7~&-rt10& )+.c3

+(rt166&~-rt169& )}

=-1/3(1-rt169 )=4

출제확실Why?주어진 조건을 이용하여 등차수열의 일반항을 구하고, 이를 활용하

여 근호가 포함된 수열의 합을 구하는 문제는 출제될 확률이 아주

높으므로 분모를 유리화하는 방법을 꼭 기억하고 있도록 한다.

335 1.c12+2.c12^2+3.c.c12^3+.c3+100.c12^1^0^0의값을S라하면

S=1.c12+2.c12^2+3.c.c12^3+.c3+100.c12^1^0^0

-82S=` ` ` ` k 1.c12^2k+2.c12^3k+.c3+k99.c12^1^0^0k+100.c1k2k^1k^0k^1

-S=1.c12+~1.c12^2+1.c12^3+.c3+ 1.c12^1^0^0-100.c12^1^0^1

.t3S=100·2^1^0^1-(2+2^2+2^3+.c3+2^1^0^0)

=100.c12^1^0^1- 2(2^1^0^0-1)

2-1

=100.c12^1^0^1-(2^1^0^1-2)

=99.c12^1^0^1+2

336 `f~Ñ1/2^)=1+2·1/2+3·Ñ1/2^)^^2+.c3+9·Ñ1/2^)^^8+10·Ñ1/2^)^^9

.c3.c3 ㉠ .c3.c3

1/2&f~Ñ1/2^)=1·1/2+2·Ñ1/2^)^^2+.c3+9·Ñ1/2^)^^9+10·Ñ1/2^)^^1^^0

.c3.c3 ㉡ .c3.c3

㉠-㉡을하면

1/2&`f~Ñ1/2^)=1+1/2+Ñ1/2^)^^2+.c3+Ñ1/2^)^^9-10·Ñ1/2^)^^1^^0

= 1·^{1-Ñ&1/2&^)^^1^^0^}

1-1/2 -10·Ñ1/2^)^^1^^0

=2^{1-Ñ1/2^)^^1^^0^}-10·Ñ1/2^)^^1^^0

=2-Ñ1/2^)^^9-5·Ñ1/2^)^^9

=2-6·Ñ1/2^)^^9

.t3f~Ñ1/2^)=4-12·Ñ1/2^)^^9

=4-3·~Ñ1/2^)^^7=509/128 .c3.c3

일등급수2해설(45-52)ok.indd 48 13. 11. 29. 오후 5:50




f~Ñ1/2^)의 식 구하기 20%

1/2&f~Ñ1/2^)의 식 구하기 30%

f~Ñ1/2^)의 값 구하기 50%

337 a_n_+_1=a_n-3에서수열{a_n}은공차가-3인등차수열이다.

이때첫째항이10이므로

a_n=10+(n-1) .c1 (-3)=-3n+13

a_k=-17에서-3k+13=-17

-3k=-30

.t3k=10

출제확실Why?귀납적으로 정의된 수열을 보고 등차수열인지 등비수열인지를 판단

하여 항의 값이나 미지수를 구하는 문제는 자주 출제되므로 다음과

같이 귀납적으로 정의된 수열이 등차수열, 등비수열임을 알고 활용

하도록 한다.

⑴ 등차수열의 귀납적 정의

① a_n_+_1=a_n+d (단, d는 일정하다.)

② a_n_+_1-a_n=a_n_+_2-a_n_+_1 또는 2a_n_+_1=a_n+a_n_+_2

⑵ 등비수열의 귀납적 정의

① a_n_+_1=ra_n (단, r는 일정하다.)

② a_n_+_1&^2=a_n~a_n_+_2

338 a_n_+_2-a_n_+_1=a_n_+_1-a_n에서수열{a_n}은등차수열이므로첫

째항을a,공차를d라하면

a_2=8에서a+d=8 .c3.c3㉠

a_1_0=24에서a+9d=24 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=6,d=2

.t3a_4_0=6+39.c12=84

339 a_n_+_1&^2=a_nà_n_+_2에서수열{a_n}은등비수열이다.이때

a_1=3,a_2a_1

=9/3=3

이므로첫째항이3,공비가3이다.

.t3a_2_0=3·3^2^0^-^1=3^2^0

340 수열{a_n}은첫째항이1,공차가2인등차수열이므로 a_n=1+(n-1)·2=2n-1

수열{b_n}은첫째항이1,공비가2인등비수열이므로

b_1=1, b_n=1·2^n^-^1=2^n^-^1(n=2,3,4,.c3)

.t3a_1_0+b_1_0 =(2.c110-1)+2^1^0^-^1

=531

341 a_n_+_1=a_n+n의n에1,2,3,.c3,9를차례로대입하여변끼

리더하면

a_2=a_1+1

a_3=a_2+2

a_4=a_3+3

.^3

+8 a_1_0=a_9k+9kk`k

a_1_0=a_1+1+2+3+.c3+9

=1+sig k=1 k=1+ 9·102

=46

342 a_n_+_1= n+2n

~ a_n의n에1,2,3,.c3, 19를차례로대입하여

변끼리곱하면

à_2=3/1&a_1

à_3=4/2&a_2

à_4=5/3&a_3

.^3

a_1_9=20/18&a_1_8

~\8 a_2_0=k21/19kk~ka_1_9k .c3.c3

~~~~~~~a_2_0=3/1·4/2·5/3·~.c3~·20/18·21/19·a_1

``````````~= 20·212

·2(.T3 a_1=2)

=420 .c3.c3


주어진 식의 n에 1, 2, 3, .c3, 19를 차례로 대

입하기40%

a_2_0의 값 구하기 60%

343 a_n_+_1=2a_n-1에서a_n_+_1-1=2(a_n-1)

n에1,2,3,.c3,k-1을차례로대입하여변끼리곱하면

a_2-1=2(a_1-1)

a_3-1=2(a_2-1)

a_4-1=2(a_3-1)

.^3

\8 a_k-1 k=k2k(ak_k_-_1k-k1)k

~a_k-1=2^k^-^1(a_1-1)

a_1=2, a_k=65이므로

65-1=2^k^-^1(2-1)

2^k^-^1=64=2^6

.t3k=7

344r2parn=k일때,주어진등식이성립한다고가정하면

1+3+5+.c3+(2k-1)=k^2

위의식의양변에 2k+1 `을더하면

06수

열의

합과

수학

적 귀

납법

일등급수2해설(45-52)ok.indd 49 13. 11. 29. 오후 5:50



1+3+5+.c3+(2k-1)+ 2k+1

=k^2+ 2k+1 = (k+1)^2

따라서주어진등식은n=k+1일때에도성립한다.

이때`f(k)=2k+1,g(k)=(k+1)^2이므로

f(1)·g(1)=3.c12^2=12

출제확실Why?수학적 귀납법을 이용하여 등식을 증명하는 문제는 자주 출제되므

로 증명하는 방법을 잘 알아 두어야 한다.

모든 자연수 n에 대하여 등식이 성립함을 증명할 때에는 다음과 같

이 한다.

①n=1일 때, 등식이 성립함을 확인한다.

②n=k일 때, 등식이 성립한다고 가정한다.

③n=k일 때의 등식의 양변에 적당한 식을 더하여 n=k+1일 때

에도 등식이 성립함을 보인다.

345r2parn=k(k->2)일때,k^3-k가3의배수라고가정하면

(k+1)^3-(k+1)=(k^3+3k^2+3k+1)-(k+1)

=k^3-k+3k^2+3k

= k^3-k +3( k^2+k )

이때 k^3-k ,3( k^2+k )는모두3의배수이므로

(k+1)^3-(k+1)도3의배수이다.

따라서n=k+1일때에도n^3-n이3의배수이다.

그러므로㈎,㈏에알맞은식은차례로k^3-k,k^2+k이다.

346 1n+1

+ 1

n+2 +

1n+3

+.c3+ 12n

>1/2 .c3.c3㉠

r1parn=2일때,

(좌변)=7/12>1/2=(우변)

따라서n=2일때,부등식㉠이성립한다.

r2parn=k(k->2)일때,부등식㉠이성립한다고가정하면

1/k+1+`1/k+2+`1/k+3+.c3+1/2k>1/2 .c3.c3㉡

㉡의양변에1

2k+1 +

12k+2 `

을더하면

1/k+1+`1/k+2+`1/k+3+.c3+1/2k+1

2k+1 +

12k+2 `

>1/2+1

2k+1 +

12k+2 ``

이때

`1/k+2+`1/k+3+.c3+1/2k+1

2k+1 +

12k+2 `

>1/2+1

2k+1 +

12k+2

- 1

k+1 `>1/2

.t3`1/k+2 + 1/k+3 +.c3+ 1

2(k+1) >1/2

위의부등식은㉠에n=k+1을대입한것과같다.

따라서n=k+1일때에도부등식㉠이성립한다.


347 ③ 348 ① 349 ② 350 ②

351 ⑴ a_k=1/2(rtk+3&`rtk+4& -rtk+2`rtk+3 ) ⑵ -rt3&~+3rt37

352 ③ 353 ② 354 30 355 ④ 356 30

357 ⑤

347합의 기호 sig의 뜻과 기본 성질 + 등차수열의 합

전략 두 등차수열의 합은 등차수열이 됨을 이용한다.

풀이 두수열{a_n},{b_n}이등차수열이므로수열{a_n+b_n}

도등차수열이다.이때첫째항이a_1+b_1=50이므로

sigk=1^20 a_k+sigk=1^20 b_k=sigk=1^20(a_k+b_k)=2000

20(50+a_2_0+b_2_0)

2 =2000

50+a_2_0+b_2_0=200

.t3a_2_0+b_2_0=150

348sig를 이용한 여러 가지 수열의 합

전략 등차수열 {a_n}의 공차가 d이면 수열 {a_2_n}은 공차가 2d인 등

차수열임을 이용한다.

풀이 sigk=1^15(S_2_k-S_2_k_-_1)

=(S_2-S_1)+(S_4-S_3)+(S_6-S_5)+.c3+(S_3_0-S_2_9)

=a_2+a_4+a_6+.c3+a_3_0

이때등차수열{a_n}의공차가3이므로수열{a_2_n}은첫째항

이a_2=a_1+3,공차가6인등차수열이다.

.t3a_2+a_4+a_6+.c3+a_3_0

= 15{2(a_1+3)+(15-1)·6}

2~

=15(a_1+45)

sigk=1^15`(S_2_k-S_2_k_-_1)=750이므로

15(a_1+45)=750 .t3a_1=5

.t3a_3_0=5+29.c13.c=5+87=92

p=7/12,`f~(k)= 1

2k+1 +

12k+2

,

g(k)= 1

2k+1 +

12k+2

- 1

k+1 이므로

6p

f(5)-g(5) =

6·7/12

1/11+1/12-Ñ1/11+1/12-1/6&^)

=21

일등급수2해설(45-52)ok.indd 50 13. 11. 29. 오후 5:50



349sig로 표현된 S_n과 a_n 사이의 관계 + 분수 꼴인 수열의 합

전략 a_n=S_n-S_n_-_1~(n=2, 3, 4, .c3)임을 이용하여 a_n을 구한 후,

sigk=1^10~1

a_ka_k_+_1 ~의 값을 구한다.

풀이 sigk=1^n a_k=S_n이라하면

a_n=S_n-S_n_-_1~

=2n^2-n+1-{2(n-1)^2-(n-1)+1}

=2n^2-n+1-2n^2+5n-4

=4n-3(n=2,3,4,.c3)

이때a_1=S_1=2이다.

.t3sigk=1^10 1

a_ka_k_+_1

=1

a_1a_2 +sigk=2^10

1(4k-3)(4k+1)

=12·5+1/4sigk=2^10Ñ

14k-3

- 1

4k+1Ò

=1/10+1/4^{Ñ1/5-1/9^)+Ñ1/9-1/13^)+Ñ1/13-1/17^)+.c3

~+Ñ1/37-1/41^)^}

=1/10+1/4Ñ1/5-1/41^)=1/10+9/205=59/410

성취도 만들기 비법A주어진 수열 {a_n}은 둘째항부터 등차수열을 이룬다는 것에 유의

한다.

350분수 꼴인 수열의 합

전략 수열 1

2^2-1,

1

4^2-1,

1

6^2-1, .c3의 제`k`항인 a_k를 구한다.

풀이 수열 12^2-1

,1

4^2-1,

16^2-1

,.c3의제`k`항을a_k라하면

a_k= 1

(2k)^2-1 =

1(2k-1)(2k+1)

=1/2&Ñ1

2k-1 -

12k+1

Ò

.t31

2^2-1 +

14^2-1

+ 1

6^2-1 +.c3+

120^2-1

=sigk=1^10 a_k=1/2sigk=1^10Ñ1

2k-1 -

12k+1

Ò

=1/2^{Ñ1-1/3^)+Ñ1/3-1/5^)+Ñ1/5-1/7^)+.c3

` ` ` ` ` ` ` ` ` `+Ñ1/19-1/21^)^}

=1/2&Ñ1-1/21^)=10/21

351근호가 포함된 수열의 합

전략 주어진 수열의 제~k~항인 a_k를 구하여 수열의 합을 구한다.

풀이 ⑴a_k=rtk+3

rtk+4&~+rtk+2`

=rtk+3&~(rtk+4&~-rtk+2& )

2

=1/2(rtk+3&`rtk+4&`-rtk+2`&rtk+3& ) .c3.c3

⑵주어진수열의첫째항부터제`33`항까지의합은

sigk=1^33 a_k=1/2sigk=1^33(rtk+3`rtk+4&~-rtk+2`&rtk+3 )

=1/2{(rt4&~rt5&-rt3~&~rt4& )+(rt5&~rt6&-rt4&~rt5& )+

(rt6&&~rt7&-rt5&~rt6 &)+.c3+(rt36~&rt37&-rt35&~rt36& )}

=1/2(-rt3& rt4&+rt36& rt37&)

=1/2(-2rt3&+6rt37&)

=-rt3&+3rt37 .c3.c3


a_k 구하기 30%

첫째항부터 제 33 항까지의 합 구하기 70%

352 (등차수열)\(등비수열) 꼴의 수열의 합

전략 sigk=1^n k·2^k을 구한 후, sigk=1^n k·2^k>4000을 만족시키는 자연수 n의


풀이 sigk=1^n k·2^k=S_n이라하면

S_n=1·2+2·2^2+3·2^3+.c3+n·2^n

-82S_n=` ` ` ` k` ` ` ` k`1·k2^2+2·k2^3+.c3k+(n-k1)·2k^n+nk·2^n^+^1k

-S_n=1·2+1·2^2+1·2^3+.c3+ 1·2^n-n·2^n^+^1

.t3S_n=n·2^n^+^1-(2+2^2+2^3+.c3+2^n)

=n·2^n^+^1- 2(2^n-1)2-1

=n·2^n^+^1-2^n^+^1+2

=(n-1)·2^n^+^1+2

sigk=1^n k·2^k>4000에서(n-1)·2^n^+^1+2>4000

(n-1)·2^n^+^1>3998

n=8일때7·2^9=3584이고,n=9일때8·2^1^0=8192이므로

자연수n의최솟값은9이다.

353수열의 귀납적 정의의 활용

전략 n+1번 시행 후에 용기 A에 담긴 물의 양을 구하고, 두 용기

A, B에 담긴 물의 양의 합이 2`L임을 이용하여 관계식을 구한다.

풀이 n번시행후에용기B에담긴물의양을b_n`L라하면

a_n_+_1=1/2&a_n+1/2&Ñ&1/2&a_n+b_n^)

=3/4&a_n+1/2&b_n .c3.c3㉠

한편,a_n+b_n=2이므로b_n=2-&a_n을㉠에대입하면

a_n_+_1=3/4&a_n+1/2&(2-&a_n)=1/4&a_n+1

354등차수열의 귀납적 정의

전략 2a_n_+_1=a_n+a_n_+_2로 정의된 수열 {a_n}은 등차수열임을 이용하

여 첫째항과 공차를 구한 후, S_1_0의 값을 구한다.

풀이 2a_n_+_1=a_n+a_n_+_2에서수열{a_n}은등차수열이다.

.c3.c3

06수

열의

합과

수학

적 귀

납법

일등급수2해설(45-52)ok.indd 51 13. 11. 29. 오후 5:50



수열{a_n}의첫째항을a,공차를d라하면

S_8=40에서 8(2a+7d)

2 =40

.t32a+7d=10 .c3.c3㉠

S_1_5=-30에서 15(2a+14d)

2 =-30

.t3a+7d=-2 .c3.c3㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=12,d=-2 .c3.c3

.t3S_1_0= 10{2·12+9·(-2)}

2 =30 .c3.c3


수열 {a_n}이 등차수열임을 알기 20%

첫째항과 공차 구하기 40%

S_1_0의 값 구하기 40%

355합의 기호 sig의 뜻과 기본 성질 + sig를 이용한 여러 가지 수열의 합

1단계 sig의 기본 성질을 이용하여 주어진 식을 변형한다.

sigk=1^10 2k+sigk=2^10 2k+sigk=3^10 2k+.c3+sigk=10^10`~&2k

=2^{sigk=1^10 k+sigk=1^10 k-1+sigk=1^10 k-(1+2)+.c3

` ` ` `+sigk=1^10 k-(1+2+.c3+9)^}

=20sigk=1^10 k-2{1+(1+2)+.c3+(1+2+.c3+9)}

2단계 자연수의 거듭제곱의 합을 이용하여

1+(1+2)+.c3+(1+2+.c3+9)의 값을 구한다.

수열1,1+2,1+2+3,.c3의제`k`항을a_k라하면

a_k=sigi=1^k i= k(k+1)

2 =1/2(k^2+k)

.t31+(1+2)+(1+2+3)+.c3+(1+2+.c3+9)

=sigk=1^9 a_k=sigk=1^9 1/2(k^2+k)

=1/2&Ñsigk=1^9 k^2+sigk=1^9 kÒ

=1/2&Ñ9·10·19

6 +

9·102

Ò

=1/2(285+45)=165

3단계 주어진 수열의 합을 구한다.

sigk=1^10 2k+sigk=2^10 2k+sigk=3^10 2k+.c3+sigk=10^10&`~2k

=20sigk=1^10 k-2·165

=20· 10·112

-330=770

356등비수열의 귀납적 정의

1단계 판별식을 이용하여 관계식을 구한다.

이차방정식a_nx^2-2a_n_+_1x+a_n_+_2=0의판별식을D라하면

;D/4:=a_n_+_1 ^2-a_na_n_+_2=0 .t3a_n_+_1&^2=a_na_n_+_2

2단계 alpha_n을 구한다.

a_n_+_1&^2=a_n~a_n_+_2에서수열{a_n}은등비수열이다.

a_1=1,a_2a_1 =3/1=3이므로첫째항이1,공비가3이다.

.t3a_1=1,a_n=3^n^-^1(n=2,3,4,.c3)

이차방정식의근의공식에의하여

alpha_n= a_n_+_1a_n

.t3alpha_1= a_2a_1 =3,

alpha_n= a_n_+_1a_n

= 3^n3^n^-^1

=3(n=2,3,4,.c3)

3단계 alpha_1+alpha_2+alpha_3+.c3+alpha_1_0의 값을 구한다.

alpha_1+alpha_2+alpha_3+.c3+alpha_1_0=3+3+3+.c3+3

=3\10=30

성취도 만들기 비법Aa_n_+_1&^2=a_na_n_+_2이면 수열 {a_n}은 등비수열임을 이용한다.

357수학적 귀납법

1단계 수학적 귀납법을 이해하고 증명 과정을 완성한다.

r2parn=k(k->2)일때,부등식㉠이성립한다고가정하면

1+1/2+1/3+.c3+1/k>~2kk+1

.c3.c3㉡

㉡의양변에 1k+1

~을더하면

1+1/2+1/3+.c3+1/k+1

k+1~>

2kk+1

+1

k+1~

(우변)= 2kk+1

+1

k+1~=

2k+1k+1

그런데2k+1k+1

-2k+2k+2

= k

(k+1)(k+2)~>0이므로

1+1/2+1/3+.c3+1/k+1

k+1~ >~

2k+2k+2

~

따라서n=k+1일때에도부등식㉠이성립한다.

2단계 f(k), g(k), h(k)를 구한다.

f(k)= 1

k+1,g(k)=

2k+2k+2

,h(k)= k

(k+1)(k+2)

이므로

`f(2)g(2)

h(2)=

1/3·6/4

23·4

=3

성취도 만들기 비법A수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명할 때, 증명하는 과정의 앞

뒤 관계를 파악하여 빈칸에 알맞은 식이나 값을 구하도록 한다.

문제에서 n=k+1일 때, 우변에는 n=k+1일 때의 꼴인

2k+2k+2

~가 되어야 하므로 두 식 2k+1k+1

~과 2k+2k+2

~의 대소를 비교

해야 한다.

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07. 지수 53PB 바른답•알찬풀이

07지수

기본 문제

358 ⑴ 2 ⑵ -3 ⑶ -3, 3

359 ⑴ 2 ⑵ -4 ⑶ 4

360 ⑴ 5 ⑵ 2 ⑶ 2

361 ⑴ 9 ⑵ 1/4 ⑶ 5rt3

지수07

pp. 108 ~ 109

358 ⑴8의세제곱근을x라하면 x^3=8이므로

x^3-8=0

(x-2)(x^2+2x+4)=0

.t3x=2또는x=-1±rt3& i

따라서8의세제곱근중실수인것은2이다.

⑵-27의세제곱근을x라하면

x^3=-27이므로

x^3+27=0

(x+3)(x^2-3x+9)=0

.t3x=-3또는x=3±3rt3 i

2

따라서-27의세제곱근중실수인것은-3이다.

⑶81의네제곱근을x라하면

x^4=81이므로

x^4-81=0

(x+3)(x-3)(x^2+9)=0

.t3x=±3또는x=±3i

따라서81의네제곱근중실수인것은-3,3이다.

359 ⑴^4rt16=^4rt2^4=2

⑵^32-64x=^3rt(-4)^3~=-4

⑶^6rt(-4)^6~=^6rt4^6=4

360 ⑴^3rt5\^3rt25=^315\25z~=^3rt125~

=^3rt5^3~`=5

⑵^4rt96~

^4rt6=^^4rt96/6~=^4rt16~

=^4rt2^4=2

⑶(^6rt4&~)^3=^6rt4^3=^6rt(2^2)^3~

=^6rt2^6`=2

361 ⑴3^5\3-3=35+(-3)&&=3^2=9

⑵(2-4)1/2=2(-4)\1/2=2-2=1/4

⑶5rt12&÷5rt3=52rt3&-rt3=5rt3

362 ③10의네제곱근중실수인것은4rt10,-4rt10이다.

363 ㄱ.(-3)^3=-27이므로31-27a~=-3(참)

ㄴ.n이홀수일때,a의n제곱근중실수인것은항상존재하

므로a의세제곱근중실수인것은항상존재한다.(참)

ㄷ.n이짝수이고a<0인경우에a의n제곱근중실수인것

은존재하지않는다.(거짓)


364 a=^3rt16`=^3rt2^4`=2 ^3rt2

b=3^3rt4d e=3(^3rt2& )c^2~~c~=^3rt2

.t3a+b=3~~~^2rt2

365-4의오제곱근중실수인것은^51-4a~이므로

f(5,-4)=1 .c3.c3

-8의네제곱근중실수인것은없으므로

f(4,-8)=0 .c3.c3

20의제곱근중실수인것은±rt20`이므로

f(2,20)=2 .c3.c3

.t3f(5,-4)+f(4,-8)+f(2,20)=1+0+2=3.c3.c3


f(5, -4)의 값 구하기 30%

f(4, -8)의 값 구하기 30%

f(2, 20)의 값 구하기 30%

f(5, -4)+f(4, -8)+f(2, 20)의 값 구

하기10%

366 ①^43^325d^2^4ddsd~~d=^1^225^2^4s~=12rt(5^2)^1^2s~=5^2=25

②^91-5a12a~=^9rt(-2)^9s~=-2

③^332&7&^1^2sd~e=^6rt(7^2)^6s~=7^2=49

④^4rt(-2)^4s~=^4rt16~=^4rt2^4&~=2

⑤^6rt27\^1^2rt9

^6rt81=

^6rt27&\^1^2rt3^2

^6rt81=

^6rt27\^6rt3

^6rt81

=^6�27\381

=^6rt1`=1


362 ③ 363 ④ 364 ① 365 3 366 ①

367 ④ 368 ① 369 ⑤ 370 1 371 ③

372 2 373 ⑤ 374 ④ 375 ⑤ 376 ③

377 ① 378 3/2 379 ② 380 ④ 381 ①

382 ② 383 ⑤ 384 ⑴ A=^4rt8, B=^3rt5, C=rt3

⑵ A<B<C 385 ② 386 ⑤ 387 3

388 ③ 389 ④ 390 ⑤ 391 -&2/5 392 0

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07. 지수 5554 바른답•알찬풀이


따라서옳지않은것은①이다.

출제확실Why?거듭제곱근의 성질을 이용한 계산 문제는 자주 출제되므로 거듭제

곱근의 성질을 이해하고 잘 활용하도록 한다.

367 51-3a2&a+2316s4sq~\3rt(-3)^6~

=5rt(-2)^5&s+6rt2^6\3rt9^3

=-2+2\9=16

368 ^35 ^4rt6

rt6`\5

^3rt6

^6rt6`=

^32^4rt6&~s~

^32rt6&~s~\2^3rt6&~s~

2^6rt6&~s~=

^1^2rt6&`

^6rt6\

^6rt6

^1^2rt6&~=1

369 (^3rt3&+^3rt2&)(^3rt9&-^3rt6&+^3rt4&`)

=(^3rt3&+^3rt2&)(^3rt3^2&-^312\a3a+^3rt2^2&)

=(^3rt3&)^3+(^3rt2`)^3=3+2=5

성취도 만들기 비법A분배법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있지만 그 계

산 과정이 복잡하므로 곱셈 공식 (a±b)(a^2/_+ab+b^2)=a^3±b^3

(복부호 동순)을 이용한다.

370 8&^-^3\2^5&÷4&^-^2=2&^-^9\2^5÷2&^-^4

=2-9+5-(-4)=2^0=1

371 ①a^2/a&^-^3\a^4=a^2-(-3)+4&=a^9

②(a&^-^3)^2\(a^2)^-^4=a&^-^6\a&^-^8=a-6-8=a-14

③a^2\a-3

a-2\a^4= a-1

a2 =a-1-2=a-3

④(a^3)-3

a^5\a-2=a-9

a^5^-^2=a-9-3=a-12

⑤a^3\a-4

a2\a-5=a&^-^1a&^-^3

=a-1-(-3)=a^2


출제확실Why?지수가 정수일 때의 지수법칙을 이용한 계산은 다양한 문제에서 활

용되고 자주 출제되므로 충분히 연습하여 익혀 두어야 한다.

372 3^9\(4^3)^2&/(12^3\18^2)

=3^9\{(2^2)^3}^2/{(2^2\3)^3\(2\3^2)^2}

=3^9\2^1^2/(2^6\3^3\2^2\3^4)

=3^9\2^1^2\(2^8\3^7)^-^1

=3^9\2^1^2\2&^-^8\3&^-^7=2^4\3^2 .c3.c3

따라서a=4,b=2이므로a-b=2 .c3.c3


주어진 식의 좌변을 간단히 하기 70%

a-b의 값 구하기 30%

373 9-3/2\8&1/3÷281&^-s^3s~=(3^2)-3/2\(2^3)1/3\{(3^4)-3/2}^-^1

=3&^-^3\2\3^6=2\3^3=54

374 (a&^-^3b^3)1/6÷(a&2/3&b-2)-3/4\(a^3b&9/2)2/3

=(a-1/2&b&1/2)÷(a-1/2&b&3/2)\(a^2b^3)

=a-1/2-(-1/2)+2`b1/2&-&3/2+3=a^2b^2

출제확실Why?지수가 유리수인 식의 계산 문제는 자주 출제되므로 지수가 유리수

일 때의 지수법칙을 꼭 기억하고 이를 활용하도록 한다.

3752^5rtas\^5rta

^4rta=a1/10\a1/5\a-1/4=2&1/10+1/5-1/4=a&1/20=^2^0rta

37632322c2crt2&~s&~c&c~=rt2&.c1^4rt2.c1^8rt2.c1^1^6rt2

=2&1/2&.c12&1/4&.c12&1/8&.c12&1/16

=2&1/2+&1/4+&1/8&+&1/16

=2^8^+^4^+^2^+^1^1^6 =2&15/16

다른풀이 32322c2crt2&~s&~c&c~=3232d3dd23/2s~d~d~=3232.c12

3/4c&~v~=32327/4d&~x

=32.c127/8x~=3215/8c~=2 15/16

377 3a3da&&` d^32dda^2wddd=^35~^4rta^n~~~

rtar`에서

rta.c1^4rta.c1^1^2rta^2= ^1^21a^nq~

^6rta

a&1/2&.c1a&&1/4&.c1a&1/6=an/12

a1/6

a&1/2+&&1/4+&1/6=a&n/12-1/6

a ^1^1^1^2=a^n^-^2^1^2

.t3n=13

378 rta^3b÷^3rta^4b^2~\^6rta^5b^4~

=a&3/2&b&1/2÷(a&4/3&b&2/3)\a&5/6&b&2/3

=a&3/2&-&4/3+&5/6&&b&1/2-&2/3+&2/3

=ab&1/2.c3.c3

따라서x=1,y=1/2이므로x+y=3/2 .c3.c3


주어진 식의 좌변을 간단히 하기 70%

x+y의 값 구하기 30%

379 a=^4rt3`=3&1/4,b=^6rt4`=(2^2)1/6=2&1/3이므로

^1^2rt6`=6&1/12=2&1/12.c13&1/12

=(2&1/3)1/4.c1(3&1/4)

1/3

=b&1/4.c1a&1/3=a&1/3.c1b&1/4

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지수

380 ①64-2/3=(2^6)-2/3=2&^-^4=1/16

②^523~~&^4rt3&~s~=3&1/5.c13&1/20=3&1/4=^4rt3

③2&-3/2\2^0^.^5=2&-3/2+1/2=2&^-^1=1/2&

④(rt3&rt2&)rt2=(rt3&~)^2=3

⑤2rt2&+3&/&2rt2&-2=2rt2&+3-(rt2&-2)=2^5=32

따라서옳은것은④이다.

381 (art3&)2rt3÷a^3\(^3rta&)^3^6=a^6\a&^-^3\a&^1^2=a6-3+12=a^1^5

382A=rt2=2&1/2=2&6/12

B=^4rt8=(2^3)1/4=2&3/4=2&9/12

C=^6rt16=(2^4)1/6=2&2/3=2&8/12

밑이같을때,(밑)>1이면지수가큰쪽이큰수이므로

A<C<B

383 2,3,6의최소공배수가6이므로 rt3=3&1/2=(3^3)1/6=271/6

^3rt5=5&1/3=(5^2)1/6=251/6

^6rt26=261/6

이때25<26<27이므로251/6<261/6<271/6

.t3^3rt5<^6rt26<rt3

384⑴A=^4rt8`,B=^3rt5`,C=rt3`

.c3.c3

⑵A=^4rt8=8&1/4=8&3/12=(8^3)1/12=5121/12

B=^3rt5=5&1/3=5&&4/12=(5^4)1/12=6251/12

C=rt3=3&1/2=3&6/12=(3^6)1/12=7291/12.c3.c3

이때512<625<729이므로A<B<C .c3.c3


A, B, C의 값 구하기 30%

A, B, C의 지수를 같게 나타내기 50%

A, B, C의 대소 비교하기 20%

385 (a&1/4-b&1/4)(a1/4+b1/4)(a&1/2+b&1/2)

={(a&1/4)^2-(b1/4)^2}(a&1/2+b&1/2)

=(a&1/2-b&1/2)(a&1/2+b&1/2)

=(a&1/2)^2-(b&1/2)^2=a-b

이때a=2,b=3이므로a-b=-1

386 a&1/2+a&-1/2=3의양변을제곱하면

a+2+a&^-^1=9

.t3a+a&^-^1=7

.t3(a&1/2-a&-1/2)^2=a-2+a&^-^1=5

a>1이므로a&1/2-a&-1/2=rt5

출제확실Why?x의 값 또는 조건식이 주어질 때, 곱셈 공식을 이용하여 식의 값을

구하는 문제는 자주 출제되므로 다음과 같은 곱셈 공식을 잘 알아

두어야 한다.

양수 a에 대하여 (a1/2±a-1/2)^2=a±2+a&^-^1 (복부호 동순)

387 x&3/2&+x&-3/2=(x&1/2+x&-1/2)^3-3(x&1/2+x&-1/2)

=3^3-3.c13=18 .c3.c3

x+x&^-^1=(x&1/2+x&-1/2)^2-2

=3^2-2=7 .c3.c3

.t3 x&3/2+x-3/2

x+x&^-^1-1= 18

7-1=3 .c3.c3


x3/2+x-3/2의 값 구하기 40%

x+x&^-^1의 값 구하기 40%

주어진 식의 값 구하기 20%

388 rtx^2-4&+x

=3(2&1/4+c2&-1/4c)^2-4c`+2&1/4+2-1/4

=32&1/2+2c+c2-1/2c-4c`+2&1/4+2-1/4

=3(2&1/4)c^2-2c+(2c-&1/4)^2c+2&1/4+2-1/4

=^|21/4-2-1/4^|+2&1/4+2-1/4

=2&1/4-2-1/4+2&1/4+2-1/4(.T32&1/4>2-1/4)

=2.c12&1/4=2&5/4

389 3â=4에서3-a=4-1=1/4

9â^+^b=48에서(3^2)a+b=32(a+b)=48

.t33a+2b=32a+2b-a=32(a+b)&.c1&3-a=48.c1&1/4=12

다른풀이 9a+b=48에서

9â9^b=(3â)^29^b=48

3â=4이므로

4^2.c19^b=48 .t39^b=3

.t33â^+^2^b=3â.c13^2^b=3â.c19^b=4.c13=12

390 a^2^x=3이므로a&^-^2^x=1/3,a^4^x=9

주어진식의분모,분자에a^x을곱하면

a^3^x-a&^-^3^x&

a^x+a&^-^x=

a^x(a^3^x&-a&-^3^x)&

a^x(a^x+a&^-^x)= a^4^x&-a&-^2^x&

a^2^x+1

=9-1/3

3+1=13/6

성취도 만들기 비법Aa^x-a-x

a^x+a-x (a>0) 꼴의 식의 값을 구할 때에는 분모와 분자에 a^x

을 곱하여 주어진 식의 값을 이용한다.

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391 3^a=12^b=32에서3=32&1/a,12=321/b

이므로

32&1/a/32&1/b=3/12=1/4

32&1/a-1/b=2&^-^2 .t325(&1/a-1/b)=2-2

.t31/a-1/b=-2/5

출제확실Why?a^x=b 꼴로 주어진 식을 변형하여 지수에 있는 문자를 포함한 식의

값을 구하는 문제는 출제될 확률이 높으므로 주어진 식을 a=b&1/x&

꼴로 변형하여 식의 값을 구하는 방법을 잘 익혀 두도록 한다.

392 2^x=5^y=(1/10)^^z=k(k>0)로놓으면xyznot=0이므로knot=1

k&1/x=2,k&1/y=5,k&1/z=1/10 .c3.c3

이므로

k&1/x.c1k&1/y.c1k&1/z&=2.c15.c11/10=1

.t3k&1/x+&1/y+&1/z&=1 .c3.c3

그런데knot=1이므로&1/x+&1/y+&1/z&=0 .c3.c3


k&1/x, k1/y, k1/z의 값 구하기 40%

k&1/x+1/y+1/z의 값 구하기 40%

1/x+1/y+1/z의 값 구하기 20%


393 ④ 394 3 395 ② 396 ③ 397 ⑤

398 ② 399 ④ 400 ② 401 ② 402 3

403 ④ 404 1350만 명

393 거듭제곱근

전략 집합 Y의 원소 y에 따른 x의 부호를 확인하여 ^yrtx가 실수인 경

우를 찾는다.

풀이 Y={4,9,25}

r1pary=4일때

^4rtx가실수이려면x의값은음수가아니어야하므로구하

는순서쌍은(2,4),(3,4),(5,4)의3개이다.

r2pary=9일때

^9rtx는x의값에관계없이실수이고집합X의원소가6개

이므로구하는순서쌍은6개이다.

r3pary=25일때

r2par와마찬가지로순서쌍은6개이다.

이상에서구하는순서쌍의개수는

3+6+6=15

394 지수가 유리수일 때의 지수법칙

전략 거듭제곱근으로 표현된 식을 유리수인 지수로 나타내고, 지수

법칙을 이용한다.

풀이 5a &^krta^2

^3rtaf=^35

arta^3

rtaf`에서

a1/2.c1a1/k

a1/6= a1/3.c1a&1/2

a1/6

a&1/2.c1a&1/k.c1a&-1/6=a&1/3.c1a&1/2.c1a-1/6

a&1/k=a&1/3.c3.c3

.t3k=3 .c3.c3


주어진 식을 간단히 하기 80%


395 지수가 유리수일 때의 지수법칙

전략 지수법칙을 이용하여 밑을 같게 한다.

풀이 0.75^x=^5425681

~ r`에서 (3/4)^^x=(4^43^4)1/5

(4/3)^^-^^x=(4/3)4/5

.t3x=-4/5

396 거듭제곱근으로 표현된 수의 대소 비교

전략 밑을 같게 하여 지수를 비교한다.

풀이 a=3,b=^3rt9=3&2/3

한편,2/3<1이므로b<a .c3.c3㉠

또,0<2/3이므로3^0<3&2/3,즉1<b

따라서3^1<3^b이므로a<a^b .c3.c3㉡

㉠,㉡에의하여b<a<a^b


전략 거듭제곱근을 유리수인 지수로 표현하여 크기를 비교한다.

풀이 ㄱ.rta<^3rtb`에서a&1/2<b&1/3

양변을여섯제곱하면

(a&1/2)^6<(b&1/3)^6 .t3a^3<b^2(참)

ㄴ.^3rta^2<^4rtb 에서a2/3<b&1/4

양변을세제곱하면

(a2/3)^3<(b&1/4)^3 .t3a^2<b&3/4<b(참)

ㄷ.^4rta<^3rtb^2`에서a &1/4<b&2/3

양변을네제곱하면

(a&1/4)^4<(b&2/3)^4 .t3a<b&8/3<b^3(참)

이상에서ㄱ,ㄴ,ㄷ모두옳다.

일등급수2해설(53-57)ok.indd 56 13. 11. 29. 오후 5:50



지수

398 여러 가지 식의 값 구하기

전략 주어진 식의 좌변의 분자와 분모에 a^x을 곱하여 a^2^x의 값을 구한

다.

풀이 a^x+4a&^-^x&

a^x+a&^-^x=2의좌변의분모,분자에a^x을곱하면

a^x(a^x+4a&^-^x&)

a^x(a^x+a&^-^x)=2, a^2^x+4&

a^2^x+1=2

a^2^x+4=2(a^2^x+1) .t3a^2^x=2

.t3 a^5^x+a&^-&&^x&

a^3^x-a&^-^x=

a^x(a^5^x+a&^-&&^x)&

a^x(a^3^x-a&^-^x)= a^6^x+1

a^4^x-1

=(a^2^x)^3+1

(a^2^x)^2-1= 2^3+1

2^2-1=3


전략 27â=4^b=x^c=k (k>0)라 하고 주어진 식을 변형한다.

풀이 27â=4^b=x^c=k(k>0)라하면

27=k&1/a,4=k&1/b,x=k&1/c .c3.c3㉠

한편,2/a+3/b=6/c이므로

k&2/a+3/b=k&6/c

.t3k&2/a&&.c1k3/b=k&6/c .c3.c3㉡


x^6=27^2.c14^3=6^6 .t3x=6(.T3x>0)

400 지수법칙의 실생활에서의 활용

전략 원본의 글자 크기를 a, 축소 비율을 r (0<r<1), n회째의 복

사본의 글자 크기를 a_n이라 하고 식을 세운다.

풀이 원본의글자크기를a,축소비율을r(0<r<1),n회

째의복사본의글자크기를a_n이라하면

a_n=ar^n(n=1,2,3,.c3)

5회째복사본의글자크기가원본의1/2배이므로

a_5=ar^5=1/2&a .t3r^5=1/2

.t3a_7/a_5= ar^7ar^5

=r^2=(r^5)2/5=(1/2)2/5

따라서p=5,q=2이므로p+q=7


1단계 A-C의 값을 구하여 A, C의 대소를 비교한다.

A-C=3+^4rt3&-(^4rt3&+^3rt28~)=3-^3rt28&

=^3rt27&-^3rt28`<0

.t3A<C .c3.c3㉠

2단계 A-B의 값을 구하여 A, B의 대소를 비교한다.

A-B=3+^4rt3&-(3+^3rt2&`)=^4rt3&-^3rt2&=^1^2rt3^3&-^1^2rt2^4

=^1^2rt27&-^1^2rt16`>0

.t3A>B .c3.c3㉡

3단계 세 수 A, B, C의 대소를 비교한다.

㉠,㉡에의하여B<A<C

성취도 만들기 비법A거듭제곱근의 합으로 표현된 수의 대소 관계를 구할 때에는 두 수

의 차를 이용한다. 이때 거듭제곱근을 같게 만들어 두 수의 대소를

비교한다.

402 곱셈 공식을 이용한 지수의 계산

1단계 rtx^2-1`의 값을 구한다.

x^2-1=( 31/10+3-1/10

2)^^2-1

=(31/10)^2+2+(3-1/10)^2-4

4

=(31/10)^2-2+(3-1/10)^2

4

=( 31/10-3-1/10

2)^^2

31/10>3-1/10`이므로rtx^2-1`= 31/10-3-1/10

2

2단계 (x+rtx^2-1& )^1^0의 값을 구한다.

(x+rtx^2-1&)^1^0=( 31/10+3-1/10

2+ 31/10-3-1/10

2)^^1^^0

=(3&1/10)^1^0=3

성취도 만들기 비법Arta^2=|a|=^{

~~~a (a->0)

-a (a<0)임에 유의하여 계산한다.


1단계 2â의 값을 구한다.

2â^+^2-2â^+^1=2rt5`에서2â.c12^2-2â.c12=2rt5

2â(4-2)=2rt5 .t32â=rt5

2단계 2^b의 값을 구한다.

2^b-2^b^-^2=6에서2^b-2^b/2^2=6

2^b(1-1/4)=6 .t32^b=8

3단계 구하는 식을 간단히 하여 2â, 2^b의 값을 대입한다.

64&a/3+4&b/2=(2^6)a/3+(2^2)b/2=(2â)^2+2^b

=5+8=13

404 지수법칙의 실생활에서의 활용

1단계 1950년과 1980년의 인구를 이용하여 a, t^3^0의 값을 구한다.

1950년의인구는400만명이므로

a.c1t1950-1950=400

.t3a=400

1980년의인구는600만명이므로

600=400.c1t1980-1950 .t3t^3^0=3/2

2단계 2040년의 인구를 구한다.

2040년의인구는

a.c1t2040-1950=a.c1t^9^0=a.c1(t^3^0)^3=400.c1(3/2)^^3

=400\27/8=1350(만명)

일등급수2해설(53-57)ok.indd 57 13. 11. 29. 오후 5:50

08. 로그 5958 바른답•알찬풀이


405 ⑴ log_5`1-log_1_0`10=0-1=-1

⑵ log_3`4+log_3`9/4=log_3`^(4·9/4)=log_3`9

=log_3`3^2=2

⑶ log_2`8+log_3`rt2&~-1/2`log_3`6

=log_2`2^3+log_3`rt2&&~-log_3`rt6

=3+log_3`rt2

rt6=3+log_3`

1

rt3

=3+log_3`3-1/2

=3+^(-1/2)=5/2

406 ⑴ log_5`64log_5`4 ~=log_4`64=log_4`4^3=3

⑵ log_9`27=log_3_2`3^3=3/2`log_3`3=3/2

⑶ 2log_2`3=3log_2`2=3

407 ⑴ log`10000=log`10^4=4

⑵ log~1/1000~=log~10&^-^3=-3

⑶ log`&^3rt100~=log`&^3rt10^2%~~=log`10&2/3=2/3

408 ⑴ log`301=log`(3.01\10^2)

=log`3.01+log`10^2

=0.4786+2

=2.4786

⑵ log`0.301=log`(3.01\10&^-^1)

=log`3.01+log`10&^-^1

=0.4786+(-1)

=-0.5214

⑶ log`rt3.01~=log`(3.01)1/2

=1/2`log`3.01

=1/2\0.4786

=0.2393

409 log_x`5=1/2에서 x&1/2=5

(x&1/2)^2=5^2 .t3 x=25

410 a=log_2`3에서 2â=3

.t3 8â=(2^3)â=(2â)^3=3^3=27

411 log_2~(log_3`x)=1에서 log_3`x=2

.t3 x=3^2=9

log_3~(log_5`y)=0에서 log_5`y=1

.t3 y=5

.t3 x+y=14

412 x=log_2`(2-rt3 )에서

2^x=2-rt3 .c3.c3

.t3 2^x+2&^-^x=2-rt3&+1

2-rt3`

.t3 2^x+2&^-^x=2-rt3&+2+rt3&=4 .c3.c3


2^x의 값 구하기 50%

2^x+2^-^x의 값 구하기 50%

413 log_x_-_3~(-x^2+10x-16)의 값이 존재하려면

밑의 조건에서 x-3>0, x-3not=1

.t3 x>3, xnot=4 .c3.c3 ㉠

진수의 조건에서 -x^2+10x-16>0

x^2-10x+16<0, (x-2)(x-8)<0

.t3 2<x<8 .c3.c3 ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위는

3<x<4 또는 4<x<8

따라서 정수 x는 5, 6, 7이므로 5+6+7=18

출제확실Why?로그의 값이 존재하도록 하는 미지수를 구하는 문제는 자주 출제되

므로 로그의 밑과 진수의 조건을 잘 알아 두어야 한다.

log_f_(_x_)~`g(x)가 정의되려면

① 밑의 조건：f(x)>0, f(x)not=1

② 진수의 조건：g(x)>0

기본 문제

405 ⑴ -1 ⑵ 2 ⑶ 5/2

406 ⑴ 3 ⑵ 3/2 ⑶ 3

407 ⑴ 4 ⑵ -3 ⑶ 2/3

408 ⑴ 2.4786 ⑵ -0.5214 ⑶ 0.2393

로그08

pp. 120 ~ 121


409 ⑤ 410 ② 411 ③ 412 4 413 ①

414 4 415 ② 416 ④ 417 x, x/y, log_a`x/y

418 ⑤ 419 ① 420 ③ 421 ③ 422 ①

423 ④ 424 16 425 ⑤ 426 ④ 427 ①

428 ⑴ 9 ⑵ 27 429 ⑤ 430 ④ 431 ①

432 ③ 433 ② 434 13째 자리 435 ②

436 ③ 437 ④ 438 104.5배

일등급수2해설(58-64)ok.indd 58 13. 11. 29. 오후 5:51



414 밑의 조건에서 |x-1|>0, |x-1|not=1

xnot=1, xnot=0, xnot=2 .c3.c3 ㉠ .c3.c3

진수의 조건에서

-x^2+2x+15>0, (x+3)(x-5)<0

.t3 -3<x<5 .c3.c3 ㉡ .c3.c3

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

-3<x<5, xnot=1, xnot=0, xnot=2 .c3.c3

따라서 정수 x는 -2, -1, 3, 4의 4개이다. .c3.c3


밑의 조건을 이용하여 x의 값의 범위 구하기 30%

진수의 조건을 이용하여 x의 값의 범위 구하기 30%

공통 범위 구하기 20%

정수 x의 개수 구하기 20%

415 모든 실수 x에 대하여 log_2~(x^2-ax-a+3)이 정의되려면

모든 실수 x에 대하여 x^2-ax-a+3>0이어야 한다.

이차방정식 x^2-ax-a+3=0의 판별식을 D라 하면

D=a^2-4(-a+3)=a^2+4a-12<0

(a+6)(a-2)<0

.t3 -6<a<2

416 ① log_a`1=0

② log_a`x+log_a`y=log_a`xy

③ log_a`xy=log_a`x+log_a`y

⑤ n`log_a`x=log_a`x^n

417 p=log_a`x, q=log_a`y라 하면

a^p= x .c3.c3 ㉠

a^q=y .c3.c3 ㉡

㉠÷㉡을 하면 지수법칙으로부터

a^p÷a^q=a^p^-^q= x/y

로그의 정의에 의하여

p-q= log_a`x/y

.t3 log_a`x/y=log_a`x-log_a`y

418 log_2`;2/3:-log_2`2rt2`3

+log_2`8rt2

=log_2~~^(;2/3:÷2rt2`3

\8rt2 )

=log_2`8=log_2`2^3=3

419 sk=1^2 ~log_3~~k

k+1=log_3 ;1/2:+log_3 ;2/3:+log_3 ;3/4:+.c3+log_3~26/27

=log_3~^(1/2\2/3\3/4\.c3\26/27)

=log_3~1/27=log_3`3&^-^3=-3

420 두 근이 1, 2이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

log_2à=1+2=3 .t3a=2^3=8

log_2`b=-2 .t3 b=2&^-^2=1/4

.t3 a+b=8+1/4=33/4

421 alpha+beta=5, alphabeta=5이므로

log_6`(alpha+beta ^-^1)+log_6`(beta+alpha ^-^1)+log_6àlphabeta

=log_6`{(alpha+beta ^-^1)(beta+alpha ^-^1)alphabeta}

=log_6`{(alphabeta+2+alpha ^-^1beta ^-^1)alphabeta}

=log_6`{(5+2+5 ^-^1)·5}

=log_6`36=2

422 ㄱ. log_3`6-log_3`2=log_3`;6/2:=log_3`3=1 (참)

ㄴ. log_2`1/3=log_2`3&^-^1=-log_2`3=-1

log_3`2 (거짓)

ㄷ. 3~log_1_0`2=log_1_0`2^3not=(log_1_0`2)^3 (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

423 log_5`rt18`=log_1_0`rt18~log_1_0`5

=1/2`log_1_0`(2·3^2)

log_1_0`5

=log_1_0`2+2

~log_1_0`3

2~log_1_0`10/2

=log_1_0`2+2

~log_1_0`3

2(1-log_1_0`2)

=a+2b

2(1-a)

출제확실Why?로그의 성질을 활용하여 주어진 식의 값을 문자로 나타내는 문제는

자주 출제되므로 다음과 같은 방법으로 문제를 해결하도록 한다.

① 주어진 식과 구하는 식의 밑을 통일한다.

② 구하는 식의 진수를 곱의 형태로 바꾸고, 로그의 합으로 나타낸다.

③ 위 ②의 식을 문자로 나타낸다.

424 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

log_2à+log_2`b=6, log_2à·log_2`b=2 .c3.c3

.t3 log_a`b+log_bà=log_2`b

log_2à+

log_2à

log_2`b

=(log_2à)^2+(log_2`b)^2

log_2à·log_2`b

=(log_2à+log_2`b)^2-2~log_2à·log_2`b

log_2à·log_2`b

=6^2-2·2

2=16 .c3.c3


두 근의 합과 곱 구하기 20%

log_a`b+log_bà의 값 구하기 80%

08로그

일등급수2해설(58-64)ok.indd 59 13. 11. 29. 오후 5:51



출제확실Why?이차방정식의 두 근이 로그로 주어졌을 때 식의 값을 구하는 문제는

자주 출제되므로 잘 알아 두어야 한다.

이차방정식 px^2+qx+r=0의 두 근이 log_aàlpha, log_a`beta이면

① log_aàlpha+log_a`beta=log_aàlphabeta=-q

p

② log_aàlpha·log_a`beta=r/p

425 4log_4`2\8&4/3=2log_4`4\(2^3)4/3=2\2^4=2^5=32

참고 a>0, anot=1, b>0일 때, alog_a`b=b

426 log_2~34~~^3~rtd4&~d~-log_4~32~~^3~rtd2&&d~d~

=log_2~{(2^2)1/2·(2^2)1/6}-log2&^2~(2&1/2·2&1/6)

=log_2`2&4/3-log2^2`2&2/3

=4/3`log_2`2-1/3~log_2`2

=4/3-1/3=1

427 log_2_5`32·log_4`9`·log_2_7`5=log5^2`2^5·log2^2`3^2·log3^3`5

=5/2`log_5`2·2/2`log_2`3`·1/3`log_3`5

=5/6`log_5`2·log_2`3·log_3`5

=5/6

.t3m+n=6+5=11

성취도 만들기 비법Aloga^m`b^n=;n/m:`log_a`b, log_a`b·log_b`c·log_cà=1

임을 이용한다. 이 공식들은 자주 사용되므로 꼭 외워 둔다.

428 ⑴ log_3à+3`log_2_7`b+4`log_8_1`c=2에서

log_3à+3`log3^3`b+4`log3^4`c=2

log_3à+log_3`b+log_3`c=2

log_3àbc=2

.t3 abc=3^2=9 .c3.c3

⑵ abc=9이므로

(^333^b^cd~)â=(3&bc/3)â=3&abc/3

=3&9/3=3^3=27 .c3.c3


abc의 값 구하기 60%

(^333^b^cd~)â의 값 구하기 40%

429 A=5log_5`3=3=log_5`125

B=1

log_4`2+

1log_3`5

=log_2`4+log_5`3

B=2+log_5`3=log_5`25+log_5`3=log_5`75

C=log_3`30log_3`5

=log_5`30

log_5`30<log_5`75<log_5`125이므로

C<B<A

다른풀이 A=5log_5`3=3 .c3.c3 ㉠

B=1

log_4`2+

1log_3`5

B=log_2`4+log_5`3

B=2+log_5`3

에서 log_5`rt5`<log_5`3<log_5`5이므로

1/2<log_5`3<1 .t35/2<B<3 .c3.c3 ㉡

C=log_3`30log_3`5

=log_5`30에서

log_5`25<log_5`30<log_5`25rt5`이므로

2<log_5`30<5/2 .t3 2<C<5/2 .c3.c3 ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 C<B<A

430 ① log~67.8 =log~(6.78\10)=log~6.78+1

=0.8312+1=1.8312

② log~678 =log~(6.78\10^2)=log~6.78+2

=0.8312+2=2.8312

③ log~6780 =log~(6.78\10^3)=log~6.78+3

=0.8312+3=3.8312

④ log~0.678 =log~(6.78\10^-^1)&=log~6.78-1

=0.8312-1=-0.1688

⑤ log~0.0678 =log~(6.78\10^-^2)=log~6.78-2

=0.8312-2=-1.1688

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

출제확실Why?상용로그표를 이용하여 상용로그의 값을 구하는 문제는 출제될 확

률이 높으므로 꼭 익혀 두도록 한다. 상용로그 log`N의 양수 N을

a\10^n`(1≤a<10, n은 정수) 꼴로 고친 후, 로그의 성질과 주어

진 상용로그의 값을 이용하여 log`N의 값을 구하도록 한다.

431 log~(0.362\34)=log`0.362+log`34

=log`(3.62\10^-^1)+log`(3.4\10)

=log`3.62-1+log`3.4+1

=log`3.62+log`3.4

log`3.62=0.5587, log`3.4=0.5315이므로

log`(0.362\34)=0.5587+0.5315

=1.0902

432 A는 정수 부분이 네 자리인 수이므로

3-<logÀ<4

433 logÀ^1^0^0의 정수 부분이 233이므로

233-<logÀ^1^0^0<234

2.33-<logÀ<2.34

일등급수2해설(58-64)ok.indd 60 13. 11. 29. 오후 5:51



46.6-<20logÀ<46.8

.t3 46.6-<logÀ^2^0<46.8

logÀ^2^0의 정수 부분이 46이므로 A^2^0은 47자리의 수이다.

434 log`0.25^2^0=20`log`0.25=20`log`1/4

=-40`log`2

=-40\0.3010

=-12.04

=-12-1+(1-0.04)

=-13+0.96 .c3.c3

따라서 log`0.25^2^0의 정수 부분이 -13이므로 0.25^2^0은 소수

점 아래 13째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

.c3.c3


log~0.25^2^0의 값을 정수 부분과 소수 부분의 합

으로 표현하기70%

처음 0이 아닌 숫자가 나오는 소수점 아래 자리

구하기30%

435 log`x^2의 소수 부분과 log`1/x의 소수 부분이 같아야 하므로

log`x^2-log`1/x=2`log`x+log`x=3`log`x

에서 3`log`x는 정수이다.

10<x<100에서 1<log`x<2

.t3 3<3`log ~x<6

이때 3`log`x가 정수이므로

3`log`x=4 또는 3`log`x=5

.t3 x=10&4/3 또는 x=10&5/3

따라서 모든 실수 x의 값의 곱은

10&4/3\10&5/3=10&4/3+&5/3=10^3

참고 logÀ=m+alpha, log`B=n+alpha

(m, n은 정수, 0≤alpha<1)이면

logÀ-log`B=m-n (정수)

436 주어진 식에 g=10, s=8, h=4를 대입하면

v =0.25\100.5\81.67\4-1.17

=2^-^2\100.5\25.01\2-2.34

=20.67\100.5

.t3 log`v^1^0^0^0 =1000`log`(20.67\100.5)

=1000(0.67`log`2+0.5)

=1000(0.201+0.5)=701

437 2등성인 별의 겉보기 밝기를 x, 7등성인 별의 겉보기 밝기를

y라 하면

log`x/y=2/5(7-2), log`x/y=2

.t3 `x/y=10^2

따라서 2등성인 별은 7등성인 별보다 10^2배 더 밝다.

출제확실Why?상용로그를 포함한 관계식이 주어진 실생활의 활용 문제는 시험에

자주 출제되므로 로그의 정의와 성질이 어떻게 이용되는지 잘 기억

하고 있도록 한다.

438 지진의 규모가 a일 때 지진의 에너지를 E_1, 지진의 규모가

a+3일 때 지진의 에너지를 E_2라 하면

logÈ_1=11.4+1.5a .c3.c3 ㉠

logÈ_2=11.4+1.5(a+3) .c3.c3 ㉡ .c3.c3

㉡-㉠을 하면

logÈ_2-logÈ_1=4.5

logÈ_2E_1

=4.5 .c3.c3

.t3 E_2E_1

=104.5

따라서 지진의 규모가 3만큼 증가하면 지진의 에너지는

104.5배 증가한다. .c3.c3


log~E_1과 log~E_2의 값 구하기 40%

logÈ_2E_1

`의 값 구하기 40%

E_2는 E_1의 몇 배인지 구하기 20%


439 ⑤ 440 3 441 13 442 ① 443 ④

444 ⑤ 445 ④ 446 ④ 447 27 448 ④

449 12 450 ②

439 로그의 정의

전략 log_a`2=log_b`5=log_c`10=k로 놓고 k의 값을 구한다.

풀이 log_a`2=log_b`5=log_c`10=k라 하면

a^k=2, b^k=5, c^k=10

a^k·b^k·c^k=2·5·10

(abc)^k=100 .t3 k=log_a_b_c`100

log_a_b_c`x=k이므로 x=100

440 로그의 밑과 진수의 조건

전략 밑과 진수의 조건을 이용하여 a의 값의 범위를 구한다.

풀이 밑의 조건에서 (a-1)^2>0, (a-1)^2not=1

.t3anot=1, anot=0, anot=2 .c3.c3 ㉠

진수의 조건에서 모든 실수 x에 대하여 ax^2+ax+1>0이어

야 한다.

08로그

일등급수2해설(58-64)ok.indd 61 13. 11. 29. 오후 5:51


62 바른답•알찬풀이

r1par a=0일 때, 주어진 부등식이 성립한다.

r2par a>0일 때, 이차방정식 ax^2+ax+1=0의 판별식을 D라

하면 D=a^2-4a<0

a(a-4)<0 .t30<a<4

r1par, r2par에서 0-<a<4 .c3.c3 ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

0<a<4, anot=1, anot=2

따라서 구하는 정수 a의 값은 3이다.

성취도 만들기 비법A모든 실수 x에 대하여 이차부등식 ax^2+bx+c>0이 성립할 조

건은 a>0, D=b^2-4ac<0이다. 이 문제에서는 a=0일 때도 조

사해 봐야 한다.

441 로그의 성질

전략 먼저 세 식을 더하여 abc의 값을 구한 후, a, b, c의 값을 구한다.

풀이 주어진 세 식을 더하면

2`log_2àb+2`log_2`bc+2`log_2`c&a=20

log_2`(ab·bc·c&a)=10, log_2`(abc)^2=10

log_2àbc=5 .t3 abc=2^5 .c3.c3

log_2àb+log_2`bc=5에서

log_2`(abc·b)=5, log_2`(2^5·b)=5

5+log_2`b=5, log_2`b=0

.t3 b=1

log_2`bc+log_2`c&a=8에서

log_2`(abc·c)=8, log_2`(2^5·c)=8

5+log_2`c=8, log_2`c=3

.t3 c=2^3=8

b=1, c=8이므로 a=4 .c3.c3

.t3 a+b+c=4+1+8=13 .c3.c3


abc의 값 구하기 40%


a+b+c의 값 구하기 10%

442 로그의 여러 가지 성질

전략 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

풀이 ㄱ. 2log_2~1+log_2~2+log_2~3+.c3+log_2~10

=2log_2~~(1\2\3\.c3\10)

=1\2\3\.c3\10 (참)

ㄴ. log_2~(2\2^2\2^3\.c3\2^1^0)^2=2`log_2`21+2+3+.c3+10

=2`log_2`2^5^5

=110 (거짓)

ㄷ. (log_2`2)(log_2`2^2)(log_2`2^3).c3(log_2`2^1^0)

=1\2\3\.c3\10 (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

443 로그의 여러 가지 성질

전략 A, B, C 중 1보다 작은 수와 1보다 큰 수를 분류하고 밑을 같

게 하여 대소를 비교한다.

풀이 A=log_2`3>log_2`2=1

B=log_3`2<log_3`3=1

C=log_4`8>log_4`4=1

따라서 A, B, C 중 B가 가장 작다. .c3.c3 ㉠

C=log2^2`8=1/2`log_2`8=log_2`rt8

A=log_2`rt9`>log_2`rt8=C .c3.c3 ㉡

㉠, ㉡에 의하여 B<C<A

444 상용로그의 활용

전략 x의 값을 구하고, 상용로그를 이용하여 자릿수를 구한다.

풀이 log_3`(log_2`x)=4

log_2`x=3^4 .t3 x=2^8^1

양변에 상용로그를 취하면

log`x=81`log`2=81\0.3010=24.381

따라서 x는 25자리 자연수이다.


전략 log~x=2+alpha (0-<alpha<1)라 하고, 주어진 조건을 이용하여 alpha의

값을 구한다.

풀이 log~x=2+alpha (0-<alpha<1)라 하면

log`^3rtx^2=2/3`log~x=2/3(2+alpha)=4/3+2/3&alpha

=1+` 2alpha+13

1/3-<2alpha+1

3 ~<1이므로 log`^3rtx^2의 소수 부분은 2alpha+13

이다.

log`x와 log`^3rtx^2의 소수 부분의 합이 1이므로

alpha+~2alpha+1

3~=1 .t3 alpha=2/5

.t3 log~x=2+2/5=12/5

.t3 log~x^5=5`log`x=5·12/5=12

참고 log~x=m+alpha, log~y=n+beta (m, n은 정수, 0-<alpha<1,

0-<beta<1)의 소수 부분의 합이 1이면

① alpha+beta=1

② log~x+log~y=m+n+1 (정수)

446 상용로그의 실생활에서의 활용

전략 원금을 a라 하고 식을 세워 로그의 정의와 로그의 밑의 변환 공

식을 활용한다.

풀이 원금을 a라 하면

a(1+0.05)^n=2a

.t3 1.05^n=2

로그의 정의에 의하여

n=log1.05`2

로그의 밑의 변환 공식에 의하여

일등급수2해설(58-64)ok.indd 62 13. 11. 29. 오후 5:51


08. 로그 63

n=log~2

log~1.05=

0.300.02

=15

따라서 15개월 동안 예금해야 한다.


1단계 1-<n-<9일 때, a_n의 값을 구한다.

n의 값의 범위를 나누어 a_n의 값을 구하면

r1par 1-<n-<9인 경우

log~rt10`=log~10&1/2=1/2=0.5이므로

n<rt10`일 때, 즉 n=1, 2, 3이면

a_n=0

n>rt10`일 때, 즉 n=4, 5, 6, 7, 8, 9이면

0.5<log`n<1이므로

a_n=1

2단계 10-<n-<30일 때, a_n의 값을 구한다.

r2par 10-<n-<30인 경우

30<10rt10`이고 log~10rt10`=1.5이므로

log~n<1.5

.t3 a_n=1

3단계 sn=1^30`a_n의 값을 구한다.

r1par, r2par에 의하여

sn=1^30&`a_n=30-3=27

448 로그의 성질 + 피타고라스 정리

1단계 주어진 식을 정리한다.

log_c~(a+b)+log_c~(a-b)=2에서

log_c~(a+b)(a-b)=log_c`c^2

a^2-b^2=c^2

.t3 a^2=b^2+c^2

2단계 삼각형의 특징을 파악한다.

a^2=b^2+c^2이므로 피타고라스 정리에 의하여

semoABC는 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다.


1단계 log~9^1^0의 값을 구한다.

log~9^1^0=10`log~9=20`log~3=9.542

2단계 log~2와 log~3을 이용하여 a와 n의 값을 구한다.

0.4771<0.542<2\0.3010

log~3<0.542<2~log~2

log~3<0.542<log~4

9+log~3<9.542<9+log~4

log~(10^9\3)<log~9^1^0<log~(10^9\4)

.t3 10^9\3<9^1^0<10^9\4

따라서 a의 정수 부분은 3, n의 값은 9이므로 합은 12이다.

성취도 만들기 비법A9^1^0=a\10^n일 때의 n의 값은 log`9^1^0의 정수 부분이고 a의 정수

부분은 9^1^0의 최고 자리의 숫자임을 이용한다.

450 상용로그의 실생활에서의 활용

1단계 일정한 비율을 r, 2007년 인구를 a명이라 놓고 r의 값을 구한다.

일정한 비율을 r, 2007년의 인구를 a명이라 하면

ar^6=2a, r^6=2

.t3 r=2&1/6 (.T3 r>0) .c3.c3 ㉠

2단계 주어진 조건을 이용하여 식을 세워 n의 값을 구한다.

2007년으로부터 n년 후에 2007년 인구의 10배가 된다고 하면

ar^n=10a .t3 r^n=10

㉠을 대입하면 (2&1/6&)^n=10

.t3 2&n/6=10

로그의 정의에 의하여 ;n/6:=log_2`10

.t3 n=6

log`2=

60.3

=20

따라서 2007년으로부터 20년 후에 2007년 인구의 10배가

된다.

08로

그

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바른답 알찬풀이 · 2014-01-07 · 4 바른답•알찬풀이 01. 집합 5...

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