第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布. 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量的函数的分布. 第一节 二维随机变量. 定义. y. o. x. ( x,y ). 分布函数具有以下的基本性质：. 分布律. 联合分布律. 它们的联合分布函数则由下面式子求出：. 例1 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品。每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取，连续两次。. 由概率的性质. 例2. 第二节 边缘分布. 把两封信随机地投入已经编好号的 3 个邮筒内,设. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
第二节 边缘分布
第三节 条件分布
第四节 随机变量的独立性
第五节 两个随机变量的函数的分布
第一节 二维随机变量
定义维随机变量。称为二维随机向量或二则
上的两个随机变量是定义在样本空间设),(
,,
YX
YX
函数对于任意实数 ,, yx ( , ) { , }F x y P X x Y y
或称为随机的分布函数称为二维随机变量 ,),( YX
的联合分布函数。和变量 YX
的看成是平面上随机点若将二维随机变量 ),(),( YXYX
落在以点就表示随机点则分布函数的坐标 ),(),(, YXyxF矩形域内的概率。为顶点的左下方的无限),( yx
(x,y)y
xo
落入任一矩形点这时 ),(, YX
1 2 1 2{( , ) , }G x y x x x y y y
, ( )的概率即可由概率的加法性质求得 如下图
1 2 1 2{ , }P x X x y Y y 2 2 1 2 2 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ).F x y F x y F x y F x y
分布函数具有以下的基本性质：
）（1 0 ( , ) 1F x y 且,y对任意固定的 ( , ) 0F y
，对任意固定的x ( , ) 0F x
( , ) 0F ( , ) 1F
的不减函数或是）（ yxyxF ),(2
( 0, ) ( , ), ( , 0) ( , )F x y F x y F x y F x y ）（3
）对任意的（4 1 1 2 2 1 2 1 2( , ), ( , ), ,x y x y x x y y
2 2 1 2 2 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0F x y F x y F x y F x y
有
只有有限对可能取的值如果二维随机变量 ),(),( ii yxYX
。是二维离散型随机变量则称或可列无限对 ),(, YX
记 { , } , , 1 , 2,i j ijP X x Y y p i j
满足下列条件：其中 ijp
0ijp ）（1
）（21 1
1iji j
p
( , )X Y并称为二维离散型随机变量 的分布律联合分布律X Y或称为随机变量 和 的
下表表示：它们的联合分布律可用和离散型随机变量 ,YX
它们的联合分布函数则由下面式子求出： ( , )
i j
i jx x y y
F x y p
例 1 一箱子装有 5 件产品，其中 2 件正品， 3 件次品。每次从中取 1 件产品检验质量，不放回地抽取，连续两次。
如下：和定义随机变量 YX
1
0X
，第一次取到次品，第一次取到正品
1
0Y
，第二次取到次品，第二次取到正品
的分布律。试求 ),( YX
解：得：按概率的乘法公式计算
及对：可能取的值只有 ),1,1()0,1(),1,0(),0,0(4),( YX
{ 0, 0} { 0} { 0 0}P X Y P X P Y X 2 10.1
5 4
{ 0, 1}P X Y 2 30.3
5 4
{ 1, 0}P X Y 3 20.3
5 4
{ 1, 1}P X Y 3 20.3
5 4
：的分布律用表格表示为),( YX
如果存在的分布函数是设二维随机变量 ),,(),( YXFYX
有使得对于任意的非负的函数 yxyxf ,),,(
( , ) ( , )y x
F x y f u v dudv
( , )X Y则称 是连续型二维随机变量
X Y或称为随机变量 和 的联合概率密度
( , ) ( , )f x y X Y函数 称为二维随机变量 的概率密度
具有以下性质：概率密度 ),( yxf
( , ) 0f x y ）（1
( , ) 1f x y dxdy
）（2
）（3 内的概率为）落在（上的区域是平面设 GYXxoyG ,,
{( , ) } ( , )G
P X Y G f x y dxdy ）（4 连续，则有在点若 ),(),( yxyxf
2 ( , )F x y
x y
( , )f x y
例 2 二维随机其面积为域是平面上的一个有届区设 ,, AG
中的每一个点并且取中取值只在变量 GGYX ,),(的概率密度为即“ ”点都是 等可能的 ),(, YX
由概率的性质 ( , ) 1f x y dxdy
1C
A可得
故有 ( , )f x y1, ( , )
0 ,
x y GA
其它
以上式为概率密度，如果一个二维随机变量 ),( YX
上的均匀分布。服从区域则称 GYX ),(
( , )f x y, ( , )
0 ,
C x y G 其它
3例 具有概率密度设二维随机变量 ),( YX
( , )f x y(2 )2 , 0 , 0
0 ,
x ye x y 其它
1 ( , ) 2 { }F x y P X Y试求: ( )分布函数 ( )
解： ）（1 ( , ) ( , )y x
F x y f x y dxdy
(2 )
0 02 , 0, 0
0 ,
y x x ye dxdy x y
其它.
2(1 )(1 ), 0, 0( , )
0 ,
x ye e x yF x y
其它.
即有
）（2 GyxXOY 上方的区域记为平面的直线把位于 1
于是 { } {( , ) } ( , )G
P X Y P x y G f x y dxdy (2 )
0
22
3x y
xe dydx
定义 个随机变量上的是定义在样本空间设 nXXX n ,, 21
则 1 2( , , , )nX X X n n称为 维随机向量或 维随机变量
个实数对于任意n 1 2, , , nx x x 函数
1 2( , , , )nF x x x 1 1 2 2{ , , , ,}n nP X x X x X x
维随机变量称为n 1 2( , , , )nX X X 的分布函数或
的联合分布函数。随机变量 nXXX ,,, 21
第二节 边缘分布( , ),X Y X Y对于二维随机变量 随机变量 和 各自的
( , )X Y X Y分布函数称为 关于 和 的边缘分布函数
( ) { } { , } ( , )XF x P X x P X x Y F x
( , ) lim ( , )y
F x F x y
其中
同理 ( ) ( , )YF y F y ( , ) lim ( , )x
F y F x y
其中( ), ( )
( , )X YF x F y
X Y
故边缘分布函数可由 的分布函数所确定
( ), ( )X YF x F y记为( , ) ( , )X Y F x y若二维随机变量 的分布函数 已知，则
则有的分布率为设离散型随机变量 ,),( ijpYX
1
( ) ( , )i
X i jx x j
F x F x p
),2,1,,2,1( ji
的分布律为X1
{ } , { }i i j i ij
P X x p P X x p
记为 1,2,i
的分布律为Y1
{ } { }j i j j ji
P Y y p P Y y p
，记为 1,2,j
分别称 ip ( 1,2, )i jp ( 1,2, )j
为( , )X Y 和关于关于X 的边缘分布律。Y
( , ) ( , ),X Y f x y对于连续型随机变量设 的概率密度为 于是
( ) ( , ) ( , )x
XF x F x f x y dydx
其概率密度是一个连续型随机变量则 ,X
( ) ( , )Xf x f x y dy
其概率密度量也是一个连续型随机变 ,Y
( ) ( , )Yf y f x y dx
( ) ( , )Xf x X Y
X
称 为关于 的边缘概率分布
( ) ( , )Yf x X Y
Y
称 为关于 的边缘概率分布
1例 把两封信随机地投入已经编好号的 3个邮筒内 ,设
。的分布律及边缘分布率求个邮筒内信的数目分别表示投入第 ),(,2,1, YXYX
解： )2,2(),1,2(),2,1(),(2,1,0, 取由题设，各自的取值为 YXYX均不可能，因而相应的概率均为 0
2
1 1{ 0, 0}
3 9P X Y 2
2 2{ 0, 1}
3 9P X Y
2
1 1{ 0, 2}
3 9P X Y
2
2 2{ 1, 1}
3 9P X Y
{ 1, 0}, { 2, 0}P X Y P X Y 可由对称性求得
再由古典概率计算得 ：
所有计算结果列表如下 ：
( , )X Y X Y和 的边缘分布律可由 的分布律确定
( X,Y )关于 Y的边缘分布律( X,Y )关于 Y的边缘分布律
( X,Y )关于 X的边缘分布律( X,Y )关于 X的边缘分布律
2例 将２只红球和２只白球随机地投入已经编好号的 3个盒子内红球的数目，表示落入第设个盒子中去 1, X
及边缘分布律。的分布律求个盒子内白球的数目表示落入第 ),(,2 YXY
解：不妨分别把 2 只红球和 2 只白球看作是有差别的（例如编号），由古典概型计算得
4
2 22 2
1 1 16{ 1, 1}
3 81P X Y
1 2 3
类似地计算出下表内的其它结果 ：
比较一下例 1 的表和例 2 的表，立即可以发现，两者有完全相同的边缘分布，而联合分布却是不相同的。由此可知，由边缘分布并不能唯一地确定联合分布 。
3例 在区域设二维随机变量 ),( YX
},10|),{( 2 xyxxyxG
( ) ( )X Yf x f y上服从均匀分布，求边缘概率密度 ，
解： ( , )X Y不难得到 的概率密度
.,0
,,10,6),(
2
其它xyxx
yxf
则
.,0
,10),(66),()( 2
2
其它
x
xX
xxxdydyyxfxf
.,0
10),(66),()(
其它
y
yY
yyydxdxyxfyf
( , ) ,X Y G虽然 的联合分布是在 上服从均匀分布但是它们的边缘分布却不是均匀分布。
( , ) ,X Y G虽然 的联合分布是在 上服从均匀分布但是它们的边缘分布却不是均匀分布。
第三节 条件分布
其分布律为：是二维离散型随机变量设 ,),( YX
{ , } , , 1, 2, .i j i jP X x Y y p i j
的边缘分布律分别为：和关于关于 YXYX ),(
1
{ } , 1,2, ,i i i jj
P X x p p i
1
{ } , 1,2, .j j i ji
P Y y p p j
设 0jp 由条件概率公式可得[ , }
{ | } , 1, 2,{ }
i ji ji j
j j
pP X x Y yP X x Y y i
P Y y p
的条件分布律条件下随机变量上式称为在 XyY j
若同样的, 0ip
{ | }i iP Y y X x { , }
{ }i j
i
P X x Y y
P X x
ij
i
p
p
1,2,j
的条件分布律条件下随机变量上式称为在 XxX j
不难验证以上两式均满足分布律的基本性质 。
1例 把两封信随机地投入已经编好号的 3个邮筒内 ,设
的条件分布律。条件下随机变量＝求在个邮筒内信的数目分别表示投入第
X
YYX 0,2,1,
解： 的条件分布律为的条件下＝在 XY 0
{ 0 | 0}P X Y { 0, 0}
{ 0}
P X Y
P Y
1949
1
4
{ 1| 0}P X Y 2949
1
2
{ 2 | 0}P X Y
{ 1, 0}
{ 0}
P X Y
P Y
{ 2, 0}
{ 0}
P X Y
P Y
1949
14
的边缘概率密度。和
分别是关于和的概率密度为设
YX
yfxfyxfYX YX )()(),,(),(
( ) 0Yf y 若 则 { | }P X x Y y ( , )
( )
x
Y
f x ydx
f y
记为的条件分布函数条件下称为在 ,XyY | ( | )X YF x y
的条件概率密度为时故 XyY
| ( | )X Yf x y ( , )
( )Y
f x y
f y
类似可定义 | ( | )Y XF y x ( , )
( )
y
X
f x ydy
f x | ( | )Y Xf y x( , )
( )X
f x y
f x
2例 具有概率密度和设随机变量 YX
2 211
( , )0,
x yf x y
，
其它
| ( | )X Yf x y求
解： ( )Yf y ( , )f x y dx
＋
22 1| | 1
0,
yy
，
其它
对符合| | 1x 有的一切x
2
2
1, 1 ,( , )
( ) 2 1( )
0,X Y
Y
x yf x yf x y y
f y
其它.
第四节 随机变量的独立性
定义 分别是二维随机变量及设 )(),(),( yFxFyxF YX
有所有若对函数的分布函数及边缘分布
yx
YX
,
,),(
yYPxXPyYxXP ,
即 )()(),( yFxFyxF YX
是相互独立的。和则称随机变量 YX
分别是连续型随机变量设 )(),(),,(,),( yfxfyxfYX YX
独立条件等价于的相互和则密度的概率密度和边缘概率为 YXYX ,),(
)()(),( yfxfyxf YX
( , ), ( ), ( )X Yf x y f x f y在 的一切公共连续点上成立
相互独立的条件等价于和是离散型随机变量设 YXYX ,),(
),(),( ii yxYX 的所有可能取的值对于
iiii yyPxxPyyxxP ,
即 ,,2,1,,2,1,.. jippp jiij
1例 的分布律如下表所示设二维离散型随机变量 ),( YX
?, 相互独立和取何值时，当 YX
解： 的边缘分布律分别为YX ,
则有相互独立和若 ,YX
1 1 11, 2 1 2 ( )
9 3 9P X Y P X P Y
9
1,9
2 解得 均成立对所有此时 iijiij yxppp ,..
相互独立和即 YX
1 1 11, 3 1 3 ( )
18 3 18P X Y P X P Y
2例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8 ～ 12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 7 ～9 时。设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟（ 1/12 小时）的概率 。
解： 则达办公室的时间分别是负责人和秘书到和设 ,YX
其它，,0
,128,4
1)(
xxf X
其它，
，
,0
97,2
1)(
yyfY
的概率密度为由独立性得 ),( YX
1, 8 12, 7 9,
( , ) ( ) ( ) 80, .
X Y
x yf x y f x f y
其它
依题意求概率
12
1YXP
画出区域：12
1 yx 以及长方形 97;128 yx
它们的公共部分是
BCC B G 四边形 记为
：小时。故所求的概率为超过不两人到达的时间相差才内取值于仅当
12/1
,),( GYX
12
1YXP
G
Gdxdyyxf 的面积）(8
1),(
G ABC AB C 的面积 的面积 的面积
6
112
11
2
1
12
13
2
1 22
）（）（
48
1
12
1
YXP于是
即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5 分钟的概率为 1/48
维随机变量的情况推广到随机变量的独立性可以 n设 ),,2,1()(),,,,( 21 nixFxxxF iXn i
维随机变量分别是n),,,( 21 nXXX 的分布函数和边缘分布函数
)()()(),,,( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxFN
是相互独立的。则称 nXXX ,,, 21 相互独立的充要条件是故连续型随机变量 nXXX ,,, 21
)()()(),,,( 2121 21 nXXXn xfxfxfxxxfn
相互独立的充要条件是离散型随机变量 nXXX ,,, 21 nnnn xXPxXPxXPxXxXxXP 22112211 ,,,
1 2, , , ,nx x x若对任意实数 有
第五节 两个随机变量的函数的分布的分布（一） YXZ
的分布律为设二维随机变量 ),( YX
ijii pyYxXP },{ ,2,1i ,2,1j
YXZ 若 jik yxz 则
由上式及概率的加法公式，有
i jjik yYxXPzZP },{}{
i
iki xzYxXP },{
j
jjkk yYyzXPzZP },{}{或者
1例 的分布律为设二维随机变量 ),( YX
的分布律试求 YXZ
解： , 1 0 1 2,X Y Z由 可能取的值知 的可能值为:－、、、且有1.0}1,0{}1{ YXPZP
5.03.02.0}1,1{}0,0{}0{ YXPYXPZP
2.01.01.0}0,1{}1,0{}1{ YXPYXPZP
2.0}1,1{}2{ YXPZP
的分布律为Z
),(),(, yxfYX 的概率密度为若对于连续型随机变量
的分布函数为＝则 YXZ
zyx
Z dxdyyxfzZPzF ),(}{)(
左下方的半平面积分区域是位于直线 zyx
yz
Z dydxyxfzF ]),([)(
令 yux
zyzduyyufdxyxf ),(),(
于是
z
Z dudyyyufzF ),()(
zdudyyyuf ]),([
求导上式两边对z
dyyyzfzfZ ),()(
的对称性由 YX ,
dxxxzfzfZ ),()(
有卷积公式相互独立时和当 ,YX
dyyfyzfzf YXZ )()()(
dxxzfxfzf YXZ )()()(或者
2例其概率密度为正态分布
都服从变量是两个相互独立的随机和设),1,0(
,
N
YX
2
2
2
1)(
x
X exf
x
2
2
2
1)(
y
Y eyf
y
的概率密度求 YXZ
解：由卷积公式
dxxzfxfzf YXZ )()()(
dxeexzx
2
)(
2
22
2
1
dxee
zx
z 22
)2
(4
2
1
2
zxt 令 44
2
2
2
2
1
2
1)(
zt
z
Z edteezf
则
分布服从即 )2,0(NZ
3例 其概率密度分别为相互独立设随机变量 ,,YX
其它,0
10,1)(
xxf X
其它,0
0,)(
yeyf
y
Y
的概率密度求随机变量 YXZ
：解法1 利用公式
dxxzfxfzf YXZ )()()(
仅当的定义知由 ,, yx ff
zx
x
xz
x 10
0
10即
0, 不为上述积分的被积函数才时
由上图知
)(zf Z 1,)()(1
0 0
)( zdxedxxzfxfz xz
YZ
0 其它
即 )(zfZ
,)()(0 0
)( z z xz
YZ dxedxxzfxf 10 z
,1 ze － 10 z,)1( zee 1z
0 其它
：解法2 的概率密度为),( YX
其它,0
0,10,)()(),(
yxeyfxfyxf
y
YX
的分布函数为则Z
zyx
Z dxdyyxfzYXPzZPzF ),(}{}{)(
00 zFz Z时，当
时当 10 z
1][)(0 0
zedxdyezF zz xz yz
时当 1z
zxz yz eedxdyezF )1(1][)(
1
0 0＋
的分布（二） XYZ
4例 在矩形域设二维随机变量 ),( YX 10,20|, yxyxG ,上服从均匀分布
)(sfSYX 的概率密度的矩形面积和试求边长为
解： 的概率密度为由已知 ),( YX
.,0
,,,2
1,
其它
Gyxyxf
则的分布函数为令 ,)( SsF
sxy
dxdyyxfsSPsF ,
；时当 0)(,0 sFs ；时当 1)(,2 sFs
如下图所示时当 ,20 s
)ln2ln1(2
2
11,
2 1
ss
dxdydxdyyxfsFs
x
s
sxy
于是
.2,1
,20),ln2ln1(2
,0,0
s
sss
s
sF
的概率密度为故s
.,0
,20),ln2(ln2
1
其它
sssFsf
的分布及（三） ),min(),max( YXNYXM
它们的分布函数变量是两个相互独立的随机设 ,,YX
的分布函数及。现求和分别为 NMyFxF YX )()(
zYzXPzMP ,由于
的分布函数为得到相互独立和而 MYX , zYPzXPzYzXPzMPzF ,max
zFzFzF YXmax即 的分布函数类似可得N
zYPzXPzYzXP
zNPzNPzF
1,1
1min
即 zFzFzF YX 111min
它们的分布个相互独立的随机变量是设 ,,,, 21 nXXX n
函数分别为 nixF iX i,,2,1
nXXXM ,,,max 21 则 及 nXXXN ,,,min 21
的分布函数分别为 zFzFzFzF
nXXX 21max
zFzFzFzFnXXX 1111
21min
有时布函数相互独立且具有相同分 ,)(,,, 21 xFXXX n
nzFzF max
nzFzF 11min
5例 近似服从以小时计的寿命设某种型号的电子元件 )(
小时的概率小于求其中没有一只寿命只随机选取分布
180
,4,)20,160( 2N
418011801180 FTPTP
解： 4321 ,,,4 TTTT记为只电子元件的寿命分别随机选出的 220,100~ NTi
4,3,2,1i tF其分布函数为 4321 ,,,min TTTTT 令 则 411 tFtTPtFT
120
160180)180(
F
故所求概率为 444 1587.08413.0111180 TP