离散型随机变量的分布列 (二 )

一、复习引入：问题 1 ：抛掷一个骰子，设得到的点数为 ξ ，则 ξ的取值情况如何？ ξ 取各个值的概率分别是什么？

ξ

p

21 3 4 5 6

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

问题 2 ：连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为 ξ ，则 ξ 取哪些值？各个对应的概率分别是什么？

ξ

p42 3 5 6 7 8 9 10 11 12

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

表中从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，称为随机变量的概率分布。

如何给出定义呢？

二、离散型随机变量的分布列

1 2 3, , , , ix x x x

ξ x1 x2 … xi …

p p1 p2 … pi …

称为随机变量 ξ 的概率分布，简称 ξ 的分布列。

则表( 1,2, )ix i ( )i iP x p ξ 取每一个值 的概率

设离散型随机变量 ξ 可能取的值为1 、概率分布（分布列）

根据随机变量的意义与概率的性质，你能得出分布列有什么性质？

离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

，，， 321,0).1( ipi1).2( 321 ppp

例、某一射手射击所得环数的分布列如下：ξ 4 5 6 7 8 9 10

p 0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

求此射手“射击一次命中环数≥ 7” 的概率

练习、随机变量 ξ 的分布列为

求常数 a。解：由离散型随机变量的分布列的性质有

20.16 0.3 110 5

a aa

解得： 9

10a

3

5a （舍）或

ξ -1 0 1 2 3

p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3

( ) k k n knP k C p q

ξ 0 1 … k … n

p … …0 0 nnC p q 1 1 1n

nC p q k k n k

nC p q 0n nnC p q

( ; , )k k n knC p q b k n p

~ ( , )B n p我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 , 其中 n， p为参数 , 并记

如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是多少？在这个试验中，随机变量是什么？

2 、二项分布

其中 k=0,1,…,n.p=1-q.

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下：

例 1 ：一个口袋里有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5, 在袋中同时取出 3 只 , 以 ξ 表示取出的 3 个球中的最小号码 , 试写出 ξ 的分布列 .

解 : 随机变量 ξ 的可取值为 1,2,3.当 ξ=1 时 , 即取出的三只球中的最小号码为 1, 则其它两只球只能在编号为 2,3,4,5 的四只球中任取两只 ,故有 P(ξ=1)= =3/5;3

524 /CC

同理可得 P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10.

因此 ,ξ 的分布列如下表所示

ξ 1 2 3

p 3/5 3/10 1/10

例 2:1 名学生每天骑自行车上学 , 从家到学校的途中有 5个交通岗 , 假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的 , 并且概率都是 1/3.(1) 求这名学生在途中遇到红灯的次数 ξ的分布列 .(2) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 .

解 :(1)ξ∽B(5,1/3),ξ 的分布列为

P(ξ=k)= ,k=0,1,2,3,4,5.kkkC 55 )

3

2()

3

1(

(2) 所求的概率 :P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243.

例 3 ：将一枚骰子掷 2 次 , 求下列随机变量的概率分布 .(1) 两次掷出的最大点数 ξ;(2) 两次掷出的最小点数 η;(3) 第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差 ζ.解 :(1)ξ=k 包含两种情况 , 两次均为 k 点 , 或一个 k 点 ,另一个小于 k 点 , 故 P(ξ=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.

36

12

66

2)1(1

kk

(3)ζ 的取值范围是 -5,-4,… ， 4 ， 5.ζ=-5, 即第一次是 1 点，第二次是 6 点；……，从而可得 ζ 的分布列是：

(2)η=k 包含两种情况 , 两次均为 k 点 , 或一个 k 点 ,另一个大于 k 点 , 故 P(η=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.

36

213

66

2)6(1 kk

ζ -5

-4

-3

-2

-1

0 1 2 3 4 5

p 36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

536

4

36

3

36

2

36

1

例 3. （ 2000 年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5% ．现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 ξ 的概率分布．解：依题意，随机变量 ξ ～ B(2 ， 5%) ．所以，

0.00251005

C2)P(ζ

0.09510095

1005

C1)P(ζ 0.9025,10095

C0)P(ζ

222

12

202

因此，次品数 ξ 的概率分布是ξ 0 1 2

P 0.9025 0.095 0.0025

例 4 、在一袋中装有一只红球和九只白球。每次从袋中任取一球取后放回，直到取得红球为止，求取球次数 ξ 的分布列。分析：袋中虽然只有 10 个球，由于每次任取一球，取后又放回，因此应注意以下几点：

(1) 一次取球两个结果：取红球 A 或取白球 Ā ，且 P(A)=0.1 ；

(2) 取球次数 ξ 可能取 1 ， 2 ，…；

(3) 由于取后放回。因此，各次取球相互独立。

1.09.0)()()()()()( 1

11

k

kk

APAPAPAPAAAAPkP

3. 几何分布在次独立重复试验中，某事件 A 第一次发生时所作的试验次数 ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ ξ =k”表示在第 k 次独立重复试验时事件 A 第一次发生。如果把第 k 次实验时事件 A 发生记为 Ak ， p （ Ak ） =p ，那么

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下：pqpp

APAPAPAPAP

AAAAAPkP

kk

kK

kK

11

1321

1321

)1(

)()()()()(

)()(

（ k=0,1,2…,q=1-p. ）

ξ 1 2 3 … k …

P p pq pq2 … pqk-1 …

称 ξ 服从几何分布，并记 g(k,p)=p·qk-1

检验 p1+p2+…=1

例 (1) 某人射击击中目标的概率是 0.2 ，射击中每次

射击的结果是相互独立的，求他在 10 次射击中击中目标的次数不超过 5 次的概率（精确到 0.01 ）。

例 (2) 某人每次投篮投中的概率为 0.1 ，各次投篮的结果互相独立。求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在 5 次内投中的概率（精确到 0.01 ）。

返回

　从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数　 的分布列．

解：”1“ 表示只取一次就取到合格品 )1(P

113

110

C

C

13

10

”2“ 表示第一次取到次品，第二次取到合格品

)2(P 213

110

13

A

CC

26

5

”3“ 表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品 ∴ )3(P

313

110

23

A

CA143

5

随机变量的分布列为：

的所有取值为： 1 、 2 、 3 、 4 ．每次取出的产品都不放回此批产品中；

P

4321

13

1026

5

143

5

286

1

返回

某射手有 5 发子弹，射击一次命中的概率为 0.9⑴如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数　的分布　　　　　　　　　　　　　⑵如果命中 2 次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数　的分布列．

解：⑴

的所有取值为： 1 、 2 、 3 、 4 、 5

”1“ 表示第一次就射中，它的概率为： 9.0)1( P”2“ 表示第一次没射中，第二次射中，∴ 9.01.0)2( P

9.01.0)4( 3P9.01.0)3( 2 P同理　　　　　　　　，”5“ 表示前四次都没射中，∴ 41.0)5( P

∴随机变量 的分布列为：

P

4321 5

9.0 9.01.0 9.01.0 2 9.01.0 3 41.0

返回

某射手有 5 发子弹，射击一次命中的概率为 0.9 ．⑴如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数　的分布列．⑵如果命中 2 次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数　的分布列．解：⑵

的所有取值为： 2 、 3 、 4 、 5

”2“ 表示前二次都射中，它的概率为：29.0)2( P

”3“ 表示前二次恰有一次射中，第三次射中，∴

9.01.09.0)3( 12 CP

”5“ 表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部没射中　∴　∴ 随机变量 的分布列为：

212 9.01.0 C

9.01.09.0)4( 213 CP 同理

　221

3 9.01.0 C

P

5432

29.0 212 9.01.0 C 221

3 9.01.0 C 4314 1.01.09.0 C

小结：本节学习的主要内容及学习目标要求：

1 、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；

2 、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题；

3 、理解二项分布和几何分布的概念。

求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：

1 、找出随机变量 ξ 的所有可能的取值 ( 1,2, );ix i

2 、求出各取值的概率 ( ) ;i iP x p

3 、列成表格。

作业 :课本第 9页 5 、 6 、＊ 7 、8 、 9