第三章多维随机变量及其概率分布

§3.1 多维随机变量及其联合概率分布

第三章作业题

P158

1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30

31,34,39,40

有些随机现象用一个随机变量来描述不够，例如1 、 在打靶时 , 命中点的位置是由一对 r.v( 两个坐标 ) 来确定的 .

2 、 飞机的重心在空中的位置是由三个 r.v ( 三个坐标）来确定的等等 .

3 、研究某年龄段儿童的身体发育情况，同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标

4 、研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最大湿度、最大风力等指标。

设随机试验 E 的样本空间是 Ω.ξ =ξ()和 η=η() 都是定义在 Ω 上的随机变量 , 由它们构成的变量 (ξ,η), 称为二维随机变量 .

二维随机变量 (ξ,η) 的性质不仅与 ξ 及η 的性质有关 , 而且还依赖于 ξ 和 η 的相互关系 , 因此必须把 (ξ,η) 作为一个整体加以研究 .

一、多维随机变量的概念

定义：设（定义：设（ ξ ,ηξ ,η ）是二维随机变量，对）是二维随机变量，对于任意实数于任意实数 ξ ,η,ξ ,η, 二元函数：二元函数：

称为二维随机变量（称为二维随机变量（ ξ ,ηξ ,η ）的）的联合分布联合分布函数。函数。

),()}(){(),( yxPyxPyxF

二、二维随机变量的联合分布函数

二维随机变量（ ξ,η ）

ξ 和 η 的联合分布函数

yx,

)()( xPxF x

ξ 的分布函数

一维随机变量 ξ

),(),( yxPyxF

如果把 (ξ,η) 看成平面上随机点的坐标 . 取定 x,y R1 ， F(x,y) 就是点 (ξ,η)落在平面上的以(x,y) 为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率 . 见右图 .

由上面的几何解释 , 易见 :随机点 (ξ,η) 落在矩形区域 : x 1<ξ ≤x 2, y1<η≤y2

内的概率

P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2}=F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)

说明

二维分布函数 F(x ,y) 的四条基本性质1. F(x ,y) 是单变量 x ,y 的非减函数 . 即 yR1 取定 ,当 x 1<x 2时 ,

F(x 1, y)≤F(x 2, y). 同样 , x R1 取定 ,当 y1 < y2时 ,

F(x , y1)≤F(x , y2).

2. x , y R1 有 0≤F(x , y)≤1

yR1, F(-∞,y)=0 ， xR1, F(x,-∞)=0 ， F(-∞,-∞)=0 ， F(∞,∞)=1

),(lim:),(

,),(lim:),(

),,(lim:),(

,),(lim:),(

yxFF

yxFF

yxFxF

yxFyF

xx

yx

y

x

其中 :

33 、、 F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0)F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0)

即即 F(x ,y)F(x ,y) 关于关于 x x 右连续，关于右连续，关于 yy 也右也右连续。连续。

44、、 P{x P{x 11<ξ ≤x <ξ ≤x 22 ,y ,y11<η≤y<η≤y22}}

=F(x =F(x 22,y,y22)-F(x )-F(x 22,y,y11)- F(x )- F(x 11,y,y22)+F(x )+F(x 11,y,y11))≥0≥0

§3.2二维离散型随机变量及其联合概率分布列

如果二维随机变量 (ξ,η) 的每个分量都是离散型随机变量 , 则称 (ξ,η) 是二维离散型随机变量 . 二维离散型随机变量 (ξ,η) 所有可能取的值也是有限个或可列无穷个 .

一、联合分布列

二维离散型随机变量（ ξ ,η ）的联合分布列

,),( ijji pyxP

i, j =1,2, …

i j

ij

ij

p

jip

1

,2,1,,0

,)( kk pxP k=1,2, …

离散型一维随机变量 ξ

,0kp

k

kp 1

k=1,2, …

ξ 的概率分布

η ξ

y1 y2 yj

x1 p11 p12 p1j

x2 p21 P22 p2j

┇ ┇ ┇ ┇

xi pi1 Pi2 pij

┇ ┇ ┇ ┇

联合分布列也可以用表格表示 .

xx yy

ij

i j

pyxF ),(

1 、多维超几何分布

设某总体共有 N 个元素，其中有 Ni 个元素具有特征 Ai, 1≤i≤k, 现从中随机取出 n 个元素，求其中有 mi 个具有特征 Ai 的概率用 ξi 表示 n 个元素中具有特征 Ai 的个数

nmk

ii

1

二、常见多维分布

2 、多项分布 - 二项分布的推广设每次试验共有 k 种不同的可能结果

将该实验独立地重复 n 次，用 ξ 1,ξ 2,…ξ k表示

发生的次数，则 (ξ 1,ξ 2,…ξ k)服从多项分布，其联合分布列为

kAAA ,, 21

kAAA ,, 21

1,2,1,)(1

k

iiii pkipAP

nnpppnnn

n

nXnXnXP

ii

nk

nn

k

kk

k

,!!!

!

),,(

21

2121

2211

例：例：设随机变量设随机变量 ξ ξ 在在 11 ，， 22 ，， 33 ，， 44 四个四个数中等可能地取一个值，另一个随机变量数中等可能地取一个值，另一个随机变量 ηη在在 11——ξ ξ 中等可能地取一个整数值，中等可能地取一个整数值，试求试求（（ ξξ ，， ηη ）的联合分布列。）的联合分布列。并计算并计算 P(ξ >η)P(ξ >η) ξ η

1 2 3 4

1 1/4 1/8 1/12 1/16

2 0 1/8 1/12 1/16

3 0 0 1/12 1/16

4 0 0 0 1/16

例 设有 10 件产品 , 其中 7 件正品 ,3 件次品 .现从中任取两次 , 每次取一件产品 , 取后不放回 .令 : ξ =1 ： 若第一次取到的产品是次品 . ξ =0 ： 若第一次取到的产品是正品 . η=1 ： 若第二次取到的产品是次品 . η=0 ： 若第二次取到的产品是正品 .

求 : 二维随机变量 (ξ ,η) 的联合分布列 .

例、设 ξ ~E(λ),令

2,1

2,0

1,1

1,021

求 (η1,η2) 的联合分布列

一、二维联合概率密度函数 设二维随机变量 (ξ ,η) 的联合分布函数为F(x,y). 如果存在一个非负函数 p(x ,y), 使得对任意实数 x ,y, 总有

则称 (ξ ,η) 为连续型随机变量 ,p(x ,y) 为二维随机变量的联合概率密度 .

( , ) ( , )y x

F x y p u v dudv

§3.3 二维连续型随机变量及其联合概率密度函数

（ ξ ,η） ~ ( , )p x y( , ) 0p x y

( , ) 1p x y dxdy

( , )G

p x y dxdy2G

)),(( GP

( )b

ap x dx

ξ ~

( ) 1p x dx

( ) 0p x

}{ baP

)(xp

对二维连续型 r.v(ξ ,η) ，其联合概率密度与联合分布函数的关系如下：

2 ( , )( , )

F x yp x y

x y

在 p (x ,y) 的连续点

( , ) ( , )x y

F x y p u v dudv

( , ) ( , )y x

F x y p u v dudv

22 0 0

0

( ) ,( , )

x ye x yp x y

其它

例：设二维随机变量 (ξ ,η) 具有概率密度：

（ 1 ）求概率 P(ξ <1); (2) 求概率P(η <ξ);

二、 两种常用的多维连续型概率分布

定义 设 D 是平面上的有界区域 , 其面积为d, 若二维随机变量 (ξ ,η) 的联合密度函数为 :

则 (ξ ,η) 称 服从 D 上的均匀分布 .

Dyx

Dyxdyxp

),(0

),(1

),(

1 、二维均匀分布

解 :

例 设 (ξ,η) 服从圆域 x2+y2≤4 上的均匀分布 . 计算 P{(ξ,η)A}, 这里 A 是图中阴影部分的区域

圆域 x2+y2≤4 的面积 d=4 区域 A 是 x=0,y=0和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域 , 并且包含在圆域 x2+y2≤4之内 , 面积 =0.5 ∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8

若二维随机变量（ ξ,η ）具有概率密度2

1

122

21

)[()1(2

1exp{

12

1),(

xyxp

]})())((2 2

2

2

2

2

1

1

yyx

记作（ ξ ,η ）～ N( ) ,,,, 22

2121

则称（ ξ ,η ）服从参数为 的二维正态分布 .

,,,, 2121

其中 均为常数 , 且,0,0 21 1||

,,,, 2121

2 、 二维正态分布

1、 n 维随机变量或 n 为随机变量：E 是一个随机试验，它的样本空间是 Ω={e}, 设

1 1 2 2( ), ( ), ( ) n nX X e X X e X X e

是定义在 Ω 上的随机变量，由它们构成一个 n 维变量，叫做 n 维随机变量或 n 为随机变量

2 、随机变量的分布函数或联合分布函数：

1 2

1 2 1 1 2 2

, , ,

, , , , ,

n x x x

(x x x ) { x x x }

对任意 个实数 元函数n

n n n

n

F P X X X

§3.4 边际分布与

随机变量的独立性

一、 边际分布

二维随机变量 (ξ,η) 作为一个整体 , 具有分布函数 F(x,y). 其分量 ξ 和 η 也都是随机变量 , 也有自己的分布函数 , 将其分别记为 Fξ (x ),Fη(y).依次称为 ξ 和 η 的 边际分布函数 . 而把 F(x,y) 称为 ξ 和 η 的 联合分布函数 .

1 、随机变量的边际分布函数

Fξ (x )=P{ξ≤x }=P{ξ≤x ,η<∞}=F(x ,∞)Fη(y)=P{η≤y}=P{ξ <∞,η≤y}=F(∞,y)

ξ 和 η 的边际分布函数 , 本质上就是一维随机变量 ξ 和 η 的分布函数 . 之所以称其为边际分布是相对于 (ξ,η) 的联合分布而言的 . 同样地 , 联合分布函数 F(ξ,η) 就是二维随机变量 (ξ,η) 的分布函数 , 之所以称其为联合分布是相对于其分量 ξ 或 η 的分布而言的 .

注意

求法

例例 :: 设设 (ξ ,η) 的联合分布函数为的联合分布函数为

求关于求关于 ξ ξ 和和 ηη 的边际分布函数 的边际分布函数 ((λλ>0>0).).

其它0,0

0

1),(

yxeee

yxFxyyxyx

一般，对离散型 r.v ( ξ ,η ) ，

则 (ξ ,η) 关于 ξ 的边际分布列为

,2,1,)( ippxPj

ijii

(ξ ,η) 关于 η 的边际分布列为

ξ 和 η 的联合分布列为

,2,1,,),( jipyxP ijji

2 、 二维离散型随机变量的边际分布列

,2,1,)( jppyPi

ijji

例 1

η ξ

0 1

0 7/15 7/30

1 7/30 1/15

求表中 (ξ ,η) 的分量 ξ 和 η 的边际分布 .

10

3

15

1

30

7}{

10

7

30

7

15

7}{

2

1222

2

1111

jj

jj

pxPp

pxPp

η ξ

0 1 pi.

0 7/15 7/30 7/10

1 7/30 1/15 3/10

p.j 7/10 3/10 1

把这些数据补充到前面表上 :

3 、二维连续随机变量的边际密度函数

ξ 和 η 的联合概率密度为

则 ( ξ ,η ) 关于 ξ 的边际密度函数为

( ξ ,η ) 关于 η 的边际密度函数为

( , )p x y

xdudvvupxFxF ),(),()(

ydvduvupyFyF ),(),()(

dyyxpxp ),()(

dxyxpyp ),()(

例 设随机变量 ξ 和 η 具有联合概率密度

26( , )

0

x y xp x y

其它

求边际概率密度 )(),( ypxp

课堂练习课堂练习 设二维随机变量 (ξ, η) 的密度函数为

求： 1 、边缘密度函数 2 、计算概率 P{ξ+η≤1}.

)(),( ypxp

else

yxeyxp

y

,0

0,),(

例、设 (ξ ,η) 的联合密度函数为1,0 1, ;

( , )0, .

x y xp x y

others

求（ 1 ）边际密度函数 （ 2 ）( 0.5), ( 1)P X P X Y

)(),( ypxp

例 若 (ξ ,η) 服从矩形区域 a≤x≤b.c≤y≤d上均匀分布 , 两个边际概率密度分别为 :

],[0

],[1

)(bax

baxabxp

],[0

],[1

)(dcy

dcycdyp

注 上题中 ξ 和 η 都是服从均匀分布的随机变量 . 但对于其它 ( 不是矩形 ) 区域上的均匀分布 , 不一定有上述结论 .

例 设 (ξ,η) 服从单位圆域 x2+y2≤1上的均匀分布 ,求 :ξ 和 η 的边际概率密度 .

Dyx

Dyxyxp

),(0

),(1

),( 解 :

当 x<-1或 x>1 时

00),()(

dydyyxpxp

当 -1≤x≤1 时

2

1

1

12

1

),()(

2

2

x

dy

dyyxpxp

x

x

（注意积分限的确定方法）

由 ξ 和 η 在问题中地位的对称性 , 将上式中的 ξ 改为 η, 就得到 η 的边际概率密度 :

]1,1[0

]1,1[12

)(

2

x

xxxp

]1,1[0

]1,1[12

)(

2

y

yyyp

例： ),1,1,0,0(~),( N ，求 ( ) ( ).X Yp x p y、

2

1

122

21

)[()1(2

1exp{

12

1),(

xyxp ]})())((2 2

2

2

2

2

1

1

yyx

（ ξ ,η ）～ N( ) ,,,, 22

2121

ξ ~N(0,1) , η~N(0,1)

说明

对于确定的 1,2,1,2 , 当不同时，对应了不同的二维正态分布。

对这个现象的解释是 : 边际概率密度只考虑了单个分量的情况 , 而未涉及 ξ 与 η 之间的关系 .

(ξ 1 ,ξ2)∼N(1,2, ,)

ξ1∼ ξ2∼ ( 与参数无关 )

),( 211 N ),( 2

22 N

22

21 ,

ξ 与 η 之间的关系这个信息是包含在(ξ ,η) 的联合概率密度函数之内的 .

因此 ,

联合 边际

二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性定义：若对于 , 都有

yPxPyxP ,

即 )()(),( yFxFyxF 则称 ξ 与 η 是相互独立的。

Ryx ,

离散型（定理 1 ）：

连续型（定理 2 ）：成立）（对所有即 jippp

yPxPyxP

jiij

jiji

,

}{}{},{

成立对任意的 yxypxpyxp ,),()(),(

例 : 袋中有 2 个白球， 3 个黑球，从袋中（ 1 ）有放回地；（ 2 ）无放回地 取二次球，每次取一个，令

试问 ξ 与 η 是否相互独立？ 　 0 1

P{η=j}

0 9/25 6/25 3/5

1 6/25 4/25 2/5

P{ξ =i}

3/5 2/5 1

解 :(1) 有放回地取球 ξ

η

容易验证，对一切 i, j=0,1 ，

有 P{ξ =i,η=j}=P{ξ =i}P{η=j}

故 ξ 、 η 相互独立。

(2) 无放回地取球

　 0 1P{η=j

}

0 6/20 6/20 3/5

1 6/20 2/20 2/5

P{ξ =i}

3/5 2/5 1

ξ

η

P{ξ =0,η=0}≠P{ξ =0}P{η=0}

故 ξ 、 η 不相互独立。

例：设随机变量 ),( 的概率分布如下表, 则

(1)a、b应满足的条件是 ；

(2)若、 相互独立，则 a= ,b= ；

ξ η 1 2 3

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3 a b

(2 )0, 0;2( , )

0

x yx yep x y

，其它，

.,0

;0,220

2)2(

其它xedye xyx

.,0

;0,20

)2(

其它yedxe yyx

例 设 (ξ ,η) 具有概率密度

解 :pξ (x )=

∴ p(x ,y)=pξ (x ) pη(y), 因而 ξ ,η 是相互独立的。

pη(y)=

问 ξ ,η 是否相互独立 ?

η

ξ

( , )p x y dy

( , )p x y dx

结论：设（ξ , η ）～ ) ,,,,( 22

2121 N ，则ξ 与η

相互独立的充要条件是 0 。(p132)

解：二维正态随机变量（ ξ, η）概率密度为

]

)())((2

)([

)1(2

1exp

12

1),(

22

22

21

2 1 21

21

2221

yyxx

yxp

yx

其边缘密度分别为

“ ”充分性 : 当

故 ξ 与 η 相互独立。

)()(2

1

2

1

2

1),(

22

22

21

21

]22

2)2(21

2)1([

2

1

2

)(

2

2

)(

1

21

ypxpee

eyxp

yx

yx

22

22

21

21

2

)(

2

2

)(

1 2

1)( ,

2

1)(

yx

eypexp

“ ”必要性 : 如果 ξ， η 独立，于是应有

即为

解得

]

)())((2

)([

)1(2

1exp

12

1),(

22

22

21

2 1 21

21

2221

yyxx

yxp

22

22

21

21

2

)(

2

2

)(

1 2

1)( ,

2

1)(

yx

eypexp

)()(),( 2121 ppp

n 维 r.v.

),,,( 21 n

1. 联合分布函数},,,{),,,( 221121 nnn xxxPxxxF

若连续1 1

1 2 1 2 1( , , , ) ( , , , )n nx x x

n n nF x x x p x x x dx dx

2. 边际分布

),,,,(),(

),,,()(

2121,

11

21

1

xxFxxF

xFxF

n ,,,.3 21 相互独立)()()(),,,( 2121 21 nn xFxFxFxxxF

n

例 设例 设 ((ξ ξ ,,ηη)) 的概率密度是的概率密度是

其它,0

0,10),2(),(

xyxxcyyxp

求 (1) c 的值 ,（ 2 ）判断 ξ 和 η 是否相互独立

课堂练习

其它,0

10),2

22

3(

5

24)(

2

yy

yyyfY

其它,0

10),2(5

12)(

2 xxxxf X

c =24/5

§3.5 多维随机变量函数的概率分布

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论 :

我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形 .

当随机变量 ξ 1, ξ 2, …,ξ n 的联合分布已知时，如何求出它们的函数

ηi=gi(ξ 1, ξ 2, …,ξ n), i=1,2,…,m

的联合分布 ?

),( f

例 、设 (ξ ,η) 的联合分布列为ξ

η-1 2

-1

1

2

5/20 3/20

2/20 3/20

6/20 1/20

求， ζ1=ξη, ζ2=min(ξ ,η) 的分布列

一、二维离散型随机变量函数的分布

例 若 ξ 、 η 独立， P(ξ =k)=ak , k=0,1,2,…,

P(η=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 ζ=ξ +η 的分布列 .

解 : )()( rPrP

r

i

irPiP0

)()( =a0br+a1br-1+…+arb0

r

i

iriP0

),( 由独立

性此即离散型卷积公式

r=0,1,2, …

解：依题意

r

i

iriPrP0

),()(

例 若 ξ 和 η 相互独立 , 它们分别服从参数为 的泊松分布 , 证明 ζ=ξ +η 服从参数为

21,

21 的泊松分布 .

由卷积公式

i=0,1,2,…

j=0,1,2,…

!)( 1

1

i

eiP

i

!)( 2

2

j

ejP

j

r

i

iriPrP0

),()( 由卷积公式

r

i 0

i-r2-

i1-

i)!-(re

i!e 21

r

ir

e

0

i-r2

i1

)(

i)!-(ri!

r!

!

21

,)(! 21

)( 21r

r

e

即 ζ 服从参数为 的泊松分布 .21

r =0,1，…

1)确定 ζ=g(ξ,η) 的值域；

2)分段计算 ζ 的分布函数

连续型：连续型：分布函数法分布函数法

}{)( zPzF

3)

二、二维连续型随机变量函数的分布

变量变换法 （详见下一节）

1、M=max (ξ ,η)及 N=min(ξ ,η) 的分布 设 ξ ， η 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 Fξ (x )和 Fη(y),我们来求 M=max (ξ ,η)及 N=min(ξ ,η) 的分

布函数 .

三、次序统计量及其概率分布

又由于 ξ 和 η 相互独立 , 于是得到 M=max (ξ ,η) 的分布函数为 :

即有 FM(z)= Fξ (z)Fη(z)

FM(z)=P(M≤z)

=P(ξ ≤z)P(η≤z)

=P(ξ ≤z,η≤z)

由于 M=max (ξ ,η) 不大于 z 等价于 ξ

和 η 都不大于 z ，故有 分析：

P(M≤z)=P(ξ ≤z,η≤z)

类似地，可得 N=min(ξ ,η) 的分布函数是

下面进行推广

即有 FN(z)= 1-[1-Fξ (z)][1-Fη(z)]

=1-P(ξ >z,η>z)

FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)

=1- P(ξ >z)P(η>z)

设 ξ 1,…,ξ n是 n 个相互独立的随机变量 , 它们的分布函数分别为

我们来求 M=max (ξ 1,…,ξ n)和

N=min(ξ 1,…,ξ n) 的分布函数 .

)(xFi

(i =1，… , n)

用与二维时完全类似的方法，可得

N=min(ξ 1,…,ξ n) 的分布函数是

M=max (ξ 1,…,ξ n) 的分布函数为 :

)](1[1)(1

zFzFN … )](1[ zFn

)()(1

zFzFM )(zFn

…

特别，当 ξ 1,…,ξ n 相互独立且具有相同分布函数 F(x ) 以及密度函数 p(x) ，有 (P143, 定理 5)

FM(z)=[F(z)] n;

pM(z)=n [F(z)] n-1p(z);

FN(z)=1-[1-F(z)] n

pN(z)=n [1-F(z)] n-1p(z);

需要指出的是，当 ξ 1,…,ξ n 相互独立且具有相同分布函数 F(x )时 , 常称

M=max (ξ 1,…,ξ n)， N=min(ξ 1,…,ξ n)

为极值 .

由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值 .

如图所示 . 设系统 L由两个相互独立的子系统 L1 ,L2 联接而成 , 联接的方式分别为 : (1)串联 . (2) 并联 .

例

解 :

设 L1,L2 的寿命分别为 ξ ， η. 其概率密度函数分别为 :

其中 >0,>0, 且≠ . 分别对以上两种联接方式写出 L的寿命Z 的概率密度函数 .

0( )

0

x

X

e xp x

其它

0( )

0

y

Y

e yp y

其它

先求 ξ ,η 的分布函数 :

1 0( ) ( )

0 0

xx

X X

e xF x p t dt

x

(1)串联 . Z=min{ξ ,η} FZ(z)=1-[1-Fξ (z)][1-Fη(z)]

1 0( ) ( )

0 0

yy

Y Y

e yF y p t dt

y

0001 )(

zze z

( )( ) 0( ) '( )

0 0

z

Z Z

e zp z F z

z

(2) 并联 . Z=Max {ξ ,η} FZ(z)=Fξ (z)Fη(z)

000)1)(1(

zzee zz

( )

( ) '( )

( ) 0

0 0

Z Z

z z z

p z F z

e e e z

z

§3.6 多维连续型随机变量变换的概率分布

).,(),(

),,(

),,(

),,(),(

21,21

2122

2111

21,21

21

21

yyp

f

f

xxp

的联合密度函数求

且

的联合密度函数为设

一、变量变换的雅可比方法

要求有 3 个

),(

),(

2122

2111

xxfy

xxfy1 、 有唯一反函数

2 、有连续偏导数

3 、雅克比行列式

),(

),(

2122

2111

yyxx

yyxx

0),(

),(

21

21

yy

xxJ

则

的值域属于变换 2121

212211,21,

,),(

,)),(),,((),(2121

ffyyIf

Jyyxyyxpyyp

例、设 ξ 和 η 独立同分布，都服从N(μ,σ2)

V

U

求 (U,V) 的联合密度函数 p(u,v)

增补变量法

可增补一个变量 ζ2 = g2(X, Y) ，

若要求 ζ1 = g1(X, Y) 的密度 pζ1(y1) ，

先用变量变换法求出 (ζ1, ζ2) 的联合密度 p (y1, y2) ，然后再由联合密度 p (y1, y2) ，去求出边际密度pζ1(y1) 用此方法可以求出卷积公式、差的公式、积的公式、商的公式

设 ξ 和 η 的联合密度为 p (x ,y), 求 Z=ξ +η的密度 .

解 : Z=ξ +η 的分布函数是 : FZ(z)=P(Z≤z)=P(ξ +η ≤ z)

D

dxdyyxp ),(

这里积分区域 D={(ξ,η): ξ +η ≤z}

是直线 ξ +η =z 左下方的半平面 .

例如、两个随机变量和的分布 （方法一）

化成累次积分 , 得

zyx

Z dxdyyxpzF ),()(

yz

Z dydxyxpzF ]),([)(

固定 z和 η, 对方括号内的积分作变量代换 , 令 x =u-y, 得

z

Z dyduyyupzF ]),([)(

zdudyyyup ]),([

变量代换

交换积分次序

由概率密度与分布函数的关系 , 即得 Z=ξ +η

的概率密度为 :

由 ξ 和 η 的对称性 , pZ (z)又可写成

dyyyzpzFzp ZZ ),()()( '

以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式 .

dxxzxpzFzp ZZ ),()()( '

z

Z dudyyyupzF ]),([)(

特别，当 ξ 和 η 独立，设 (ξ ,η) 关于 ξ ,η 的边际密度分别为 px (ξ ) , py(η) , 则上述两式化为 :

这两个公式称为卷积公式 . 记为：

dxxzpxpzp

dyypyzpzp

YXZ

YXZ

)()()(

)()()(

)()( ypxp YX

dxxzpxpdyypyzpypxp YXYXYX )()()()()()(

两个随机变量和的分布 （方法二）

变量变换方法：

例，设 ξ ,η 是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N(0,1) 分布，其概率密度为：

求 ζ=ξ +η 的概率密度。

,,2

1)(

,,2

1)(

2

2

2

2

Ryeyp

Rxexp

y

x

解：由卷积公式：( ) ( ) ( )

Z X Yp z p x p z x dx

2 2( )

2 21

=2

x z x

e e dx

22( )

4 21

=2

z zx

e e dx

用类似的方法可以证明 : 2 2 2

1 2 1 2~ ( , )n nZ N

若 相互独立 ,

2~ ( , ), ( 1,2, , ),i i iX N i n 结论又如何呢 ?

若 ξ 和 η 独立 , 具有相同的分布N(0,1),则 ζ=ξ +η 服从正态分布 N(0,2).

iX

为确定积分限 ,先找出使被积函数不为 0 的区域

例 若 ξ 和 η 独立 , 具有共同的概率密度

求 Z=ξ +η 的概率密度 .

其它,0

10,1)(

xxp

dxxzpxpzpZ )()()(

解 : 由卷积公式

10

10

xz

x 也即

zxz

x

1

10

为确定积分限 ,先找出使被积函数不为 0 的区域

其它,0

21,2

10,

)(1

1

0

z

z

Z zzdx

zzdx

zp

如图示 :

10

10

xz

x 也即

zxz

x

1

10

于是

dxxzpxpzp YXZ )()()(

差的公式

积的公式

商的公式

111

212121

)()(

~,

dxyxxpyp

xxp

，，

，，，（

22

22

212121

1),()(

~,

dxx

xx

ypyp

xxp

，，

，，，（

2222

212121

),()(

~,

dxxxyxpyp

xxp

例、设 ξ 与 η 独立同分布于 U（ 0 ，a ），

others

yaayp,0

0,1

)(

求 ζ=ξ/η 的概率密度函数

二、 n 个独立的标准正态变量在正交变换下的不变性 （略）

例、设 ξ 与 η 独立同分布，其共同的密度函数为

判断 α=ξ+η与 β=η 是否相互独立

1,0

0ln)(

others

yyp

y