第二讲 随机变量及其概率分布2.1 随机变量的概念

E1 抛硬币：可能出现正面或反面；

E2 从一批产品中任取 10 件，抽到的废品数可能是 0,1,2,…,10 中的一个数；

E3 掷骰子：可能出现 1,2,3,4,5,6 点

定义 设随机试验的样本空间为 S ＝ {e

i} ，如果对样本空间的每一个元素 ei ，都有一实数 X(ei) 与之对应，对所有的元素

，就得到一个定义在空间 S 上的实单值函数 X(e) ，称 X(e) 为随机变量，简写为 X 。

Se

2.2 离散型随机变量及其分布律

如果随机变量 X 只能取有限个或可列无穷多个数值，则称 X 为离散型随机变量。

定义 设 X 为一个离散型随机变量，它所有可能取的值为 xk(k=1,2,…) ，而 pk (k=1,2,…) 是 X 取值 xk 时相应的概率，即

或写成

则称上式或表格表示的函数为离散型随机变量 X 的概率分布，或称为 X 的分布律。

),2,1(}{ kpxXP kk

X

P

x1 x2 … xk …

p1 p2 … pk …

2.3 连续型随机变量

对于可以在某一区间内任意取值的随机变量，它的值不是集中在有限个或可列无穷个点上，这就是连续型随机变量。

2.4 概率分布函数

定义 设 X 是一随机变量， x 是任意实数，函数

称为 X 的概率分布函数 , 简称为分布函数。（对连续和离散随机变量都适用）

),(}{)( xxXPxF

根据分布函数的定义，可得下面的基本性质：

性质 1 ：满足

1)(0 xF

性质 2 ： F(x) 是单调非减函数，即当

则有

21 xx

)()( 21 xFxF

性质 3 ：

)(1}{ xFxXP

性质 4 ：随机变量 X 在区间

上取值的概率为21 xXx

)()(}{ 1221 xFxFxXxP

性质 5 ：

1)(,0)( FF

性质 6 ： F(x) 右连续，即

)()( xFxF

对于离散随机变量的分布函数，除满足以上性质外，还具有阶梯形式，即

1

1

)(

)(}{)(

iii

ii

i

xxUp

xxUxXPxF

2.5 概率密度函数

概率密度函数定义为概率分布函数F(x) 对 x 的导数，即

有时简称为密度函数。dx

xdFxf

)()(

对于离散随机变量，其概率密度函数为 ( 只含有冲激函数）

i

ii xxpdx

xdFxf )(

)()(

如果概率分布函数 F(x) 对 x 的导数定义的概率密度函数既有连续函数又有冲激函数，则成为混合型随机变量：

( )( ) 0.5 ( ) 0.2 ( 2) 0.1 ( 1) 0.2 ( 2)xdF xf x e x x x x

dx

根据概率分布函数的性质，可得到概率密度的性质：

性质 1 ：概率密度函数非负

0)( xf

性质 2 ：概率密度函数在 (x1,x2) 区间积分，得到该区间的取值概率

2

1

)(}{ 21

x

xdxxfxXxP

性质 3 ：概率密度函数在整个取值区间积分为 1 ，即

1)( dxxf

2.6 二维随机变量及其分布

1. 二维随机变量及其分布函数

定义 设随机试验 E 的样本空间 S={e} ，X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在样本空间S 上的两个随机变量，由 X 和 Y 构成的矢量 (X,Y) 称为二维随机矢量或二维随机变量。

定义 设 (X,Y) 为二维随机变量，对于任意实数 x 和 y ，令

则称 FXY(x,y) 为二维随机变量 (X,Y)的联合分布函数，或称二维分布函数。

},{),( yYxXPyxFXY

二维分布函数 FXY(x,y) 的性质：

性质 1 ：

1),(0 yxFXY

性质 2 ：对于任意固定的 x 和 y ，分布函数满足

1),(,0),(

0),(,0),(

XYXY

XYXY

FF

xFyF

性质 3 ：对于每个变量， FXY(x,y) 都是单调非减的，即

当 y2>y1 时

当 x2>x1 时),(),( 12 yxFyxF XYXY

),(),( 12 yxFyxF XYXY

如果二维随机变量的可能取值为有限个或可列无穷个，则称 (X,Y) 为二维离散型随机变量。

对于二维离散型随机变量，有

pij 称为 (X,Y) 的联合概率分布列，简称为分布列。

ijji pyYxXP },{

2. 二维概率密度

定义 若二维分布函数 FXY(x,y) 连续并存在二阶偏导数，则定义

为 (x,y) 的二维联合概率密度，简称为二维概率密度。

yx

yxFyxf XY

XY

),(

),(2

二维概率密度具有以下性质：

性质 1 ：

0),( yxfXY

性质 2 ：

1),(

dxdyyxfXY

性质 3 ：

dxdyyxf

yYyxXxPx

x

y

y XY

2

1

2

1

),(

},{ 2121

例：设 (X,Y) 的联合密度函数

求

0

0,0),(

)( yxeyxf

yx

XY

}10,10{ YXP

3. 边缘分布 定义 设 FXY(x,y) 为二维随机变量 (X,

Y) 的分布函数，令

则称 FX (x) 、 FY(y) 分别为 (X,Y) 关于X 和 Y 的边缘分布函数，简称为 X 和Y 的边缘分布函数。

),()(

),()(

yFyF

xFxF

Y

X

将

分别称 fX(x) 和 fY(y) 为 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

dxyxfyf

dyyxfxf

XYY

XYX

),()(

),()(

4. 随机变量的独立性

定义 设 X 、 Y 为两个随机变量，如果对任意实数 x 和 y ，事件

和 相互独立，即

则称 X 和 Y 相互独立。

}{ xX }{ yY

}{}{},{ yYPxXPyYxXP

5. 条件分布 在 的条件下，随机变量 Y 的条

件概率分布函数和条件概率密度函数可分别表示为

xX

)(

),()|(

)(

),()|(

xf

yxfxyf

xF

yxFxyF

X

XYY

X

XYY

2.7 n 维随机变量及其分布

定义 n 维随机变量 的 n 维（联合）分布函数为

),,,( 21 nXXX

},,,{

),,,(

2211

21

nn

n

xXxXxXP

xxxF

定义 设 为 n 维随 机变量 的 n 维分 布函数，如果它的 n 阶混合偏导数存

在，那么定义

为 n 维随机变量的 n 维概率密度。

),,,( 21 nxxxF

),,,( 21 nXXX

n

nn

n xxx

xxxFxxxf

21

2121

),,,(),,,(

n 维随机变量相互统计独立的充要条件为：对于所有的

满足),,,( 21 nXXX

)()()(),,,( 2121 nn xfxfxfxxxf

2.8 随机变量的数字特征

2.8.1 数学期望 对于连续随机变量 X ，它的概率

密度为 fX(x) ，则其数学期望定义为

dxxxfXEm XX )(][

对于离散随机变量 X ，假定它有 n个可能取值，各个取值的概率为

，则数学期望定义 为

}{ ii xXPp

n

iii

n

iii pxxXPxXE

11

}{][

混合型随机变量的数学期望就是两部分数学期望的和。

均值具有如下性质：

性质 1 ：

其中 c 为常数

][][ XcEcXE

性质 2 ：若 c 为常数，则有

ccE ][

性质 3 ：若 X 、 Y 是任意二个随机变量，则有

][][][ YEXEYXE

][][][

][

21

21

n

n

XEXEXE

XXXE

性质 4 ：若 X 、 Y 是二个相互独立的随机变量，则有

][][][ YEXEXYE

性质 5 ：切比雪夫不等式：若 X 随机变量，是其数学期望，则有

推广为比安内梅不等式（对任意 a ）：

[ ] XE X

2

1X XP X k

k 2

11X XP X kk

nn

E X aP X a

2.8.2 方差

连续随机变量 X 的方差定义为

dxxfXEx

XEXEXD

X

X

)(])[(

}])[{(][

2

22

离散随机变量 X 的方差定义为：

1

2

22

])[(

}])[{(][

iii

X

pXEx

XEXEXD

方差的性质：

性质 1 ：若 c 为常数，则

0][ cD

性质 2 ：若 X 是随机变量， c 是常数，则有

][][ 2 XDccXD

性质 3 ：若 X 、 Y 是两个相互独立的随机变量，则有

][][][ YDXDYXD

][][][

][

21

21

n

n

XDXDXD

XXXD

2.8.3 矩

n 阶原点矩定义为

,2,1][ nXEm nn

对于离散和连续随机变量，则分别有

dxxfxm

pxm

Xn

n

ii

nin

)(

1

n 阶中心矩定义为：

,2,1}])[{( nXEXE nn

对于离散和连续随机变量，则分别有

dxxfXEx

pXEx

Xn

n

ii

nin

)(])[(

])[(1

二维随机变量 X 和 Y 的 n+k 阶联合原点矩定义为：

dxdyyxfyx

YXEm

XYkn

knnk

),(

][

二维随机变量 X 和 Y 的 n+k 阶联合中心矩为：

dxdyyxfYEyXEx

YEYXEXE

XYkn

knnk

),(])[(])[(

}])[(])[{(

当 n=1 ， k=1 时，二阶联合原点矩为

它又称为 X 和 Y 的相关矩。

XYRXYEm ][11

当 n=1 ， k=1 时，二阶联合中心矩为

它又称为 X 和 Y 的协方差。

XYCYEYXEXE ])[])([(11

由协方差定义得相关系数定义为：

11

][][

XY

YX

XYXYXY

r

C

YDXD

Cr

当 时，则称 X 与 Y 不相关；若 ，则称 X 与 Y 相关。

当 ，称为正相关；当 ，称为负相关。

0XYr

0XYr

10 XYr

01 XYr

2.8.4 统计独立与不相关

统计独立：对于随机变量而言， X 和Y 相互统计独立的充要条件为

)()(),( yfxfyxf YXXY

相关是指两个坐标之间的线性相关程度。

下面对这两个概念进行讨论：

1. 随机变量 X 和 Y 相互统计独立的充要条件为

)()(),( yfxfyxf YXXY

2. 随机变量 X 与 Y 不相关的充要条件是

0XYr

3. 若两个随机变量统计独立，它们必然不相关。

4. 两个随机变量不相关，则它们不一定互相独立。

5. 若随机变量 X 、 Y 的相关矩为零，即

则称 X 、 Y 互相正交。

0XYR