Λεπτός µεταλλικός αγωγός ηµικυκλικού σχήµα τος ακτίνας R, στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

�

! ! πάνω σε

οριζόντιο επίπεδο, περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα του άκρο. Στον χώρο, όπου περιστρέφεται ο ηµικυκλικός αγωγός, υπάρχει κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, που η έντασή του έχει µέτρο B. Nα υπολογιστεί η επαγωγική τάση που αναπτύσσεται στις άκρες του αγωγού. ΛYΣH: A! Tρόπος. Έστω ότι, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, o ηµικυκλικός µεταλλικός αγωγός στρέφεται κατά γωνία dθ, διαγράφοντας οριζόντια επιφάνεια εµβαδού dS. Eάν dΦ είναι η µαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια αυτή, τότε η επαγωγική H.E.Δ. που δηµιουργείται πάνω στον ηµικυκλικό αγωγό, κατά τη χρονική στιγµή t, δίνεται από τη σχέση:

E

!"=

d#

dt=

BdS

dt (1)

Όµως το εµβαδόν dS είναι ίσο µε το αντίστοιχο εµβαδόν του κυκλικού τοµέα ΚΓΓ΄ που διαγράφει η διάµετρος ΚΓ του ηµικυκλικού αγωγού, οπότε θα έχου µε:

�

dS = (!! ')(K! )/2 = 2Rd" 2R/2 = 2R2d! (2) Έτσι η σχέση (1) γράφεται:

E!"= 2BR

2(d# dt) = 2R

2B! (3)

όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα του αγωγού κατά τη χρονική στιγµή t. Aλλά ο

αγωγός αποτελεί ανοικτό κύκλωµα και εποµένως η επαγωγική ηλεκτρεγερτι

Σχήµα 1 κή δύναµή του είναι ίση µε την επαγωγική τάση στις άκρες του, δηλαδή ισχύ ει:

V!"= E

!" !

(2)

V!"= 2R

2B# (4)

B! Tρόπος. Θεωρούµε τον υποθετικό ευθύγραµµο µεταλλικό αγωγό, που ενώνει τις άκρες Κ και Γ του περιστρεφόµενου ηµικυκλικού αγωγού. Σχηµατί

ζεται µε τον τρόπο αυτό ένα ηµικυκλικό πλαίσιο, κατά την περιστροφή του οποίου διέρχεται σταθερή µαγνητική ροή µέσα από την επιφάνειά του. Έτσι η επαγωγική H.E.Δ. που δηµιουργείται κατά µήκος αυτού είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η επαγωγική H.E.Δ. κατά µήκος του υποθετικού ευθύγραµµου αγωγού ΚΓ αντισταθµίζεται από την επαγωγική H.E.Δ. που δηµιουργείται κατά µήκος του ηµικυκλικού αγωγού ΚMΓ, δηλαδή ισχύει:

�

E!"

K#= E

!"

KM# (5) Όµως ισχύει και η σχέση:

�

E!"

K# = d$/dt = B(dS/dt) (6) όπου dΦ η στοιχειώδης µαγνητική ροή που διέρχεται µέσα από τη στοιχειώδη επιφάνεια dS του κυκλικού τοµέα που σαρώνει ο υποθετικός αγωγός ΚΓ, στον στοιχειώδη χρόνο dt. Έτσι η (5) σε συνδυασµό µε την (2) γράφεται:

�

E!"

K# = 2R2B(d$/dt) = 2R2B! (7)

Aπό (5) και (7) προκύπτει η σχέση:

�

E!"

KM#= 2R

2B$ κ.λ.π.

P.M. fysikos

Λεπτή µεταλλική ράβδος, µήκους L µάζας m και ηλεκτρικής αντίστασης R, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της O, ενώ το άλλο της άκρο A µπο ρεί να γλυστράει χωρίς τριβή κατά µήκος ηµικυκλικού αγωγού αµε λητέας ηλεκτρικής αντίστασης, κέντρου O και ακτίνας L. Tο επίπεδο του ηµικυκλικού αγωγού είναι κατακόρυφο και το ένα του άκρο M συνδέεται µε το O µέσω µιας αντίστασης R΄. Όλο το σύστηµα βρίσκε ται µέσα σε οριζόντιο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυνα µικές γραµµές είναι κάθετες στο επίπεδο του ηµικυκλικού αγωγού, η δε έντασή του έχει µέτρο B. Bρέθηκε ότι, για να στρέφεται η µεταλ λική ράβδος µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

�

! ! , πρέπει να ενεργεί στο

άκρο της κατάλληλη δύναµη

�

!

F , που ο φορέας της είναι συνεχώς κά θετος στην ράβδο. Eάν τη χρονική στιγµή t=0 η ράβδος OA βρίσκεται στη θέση OM, να εκφράσετε τη δύναµη σε συνάρτηση µε το χρόνο t. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Eξετάζουµε την ράβδο OA κατά µία τυχαία χρονική στιγµή t, οπότε αυτή έχει στραφεί από την αρχική της θέση OM κατά γωνία ωt. Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου υπάρχει επαγωγική H.E.Δ. µε πολικότητα που φαίνεται στο σχήµα (2), της οποίας η τιµή είναι: E!"

= BL2#/2 (βλέπε προηγούµενο παράδειγµα) (1)

Tην στιγµή t κυκλοφορεί στο κύκλωµα OMAO ρεύµα επαγωγικό, του οποίου η ένταση είναι:

I!"=

E!"

R + R# !

(1)

I!"=

BL2#

2(R + R$ ) (2)

Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος η ράβδος OA δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη Laplace

�

!

F L, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το µέσον της και είναι

κάθετος στη ράβδο, το δε µέτρο της δίνεται από τη σχέση:

�

FL= BLI

!" !

(2)

�

FL =B

2 L

3!

2(R + R") (3)

Σχήµα 2 Eξάλλου την χρονική στιγµή t η κάθετη προς τη ράβδο συνιστώσα

�

! w

1 του βά

ρους της

�

! w έχει µέτρο:

w1 = wσυνωt = mgσυνωt (4) Eφαρµόζοντας για τη ράβδο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, για ένα στοιχειώδες χρονικό διάστηµα dt, που θεωρείται µετά από τη στιγµή t, παίρ νουµε τη σχέση:

�

dK = dW!

F +dW!

w 1+ dW!

F L (5)

Όµως η µεταβολή dK της κινητικής ενέργειας της ράβδου στον χρόνο dt είναι µηδενική, διότι αυτή κινείται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, τα δε στοιχειώδη έργα

�

dW!

F ,

�

dW! w 1

,

�

dW!

F L υπολογίζονται από τις σχέσεις:

�

dW!

F = Fvdt = F!Ldt (6)

�

dW! w 1

= -w1(v/2)dt !(4)

�

dW! w 1

=-mg(L/2)!"#$t (v/2)dt=-mgLv!"#$tdt (7)

�

dW!

F L

=- FL (v/2)dt !(3)

dWFL = -

B2L4!

2 dt

4(R + R') (8)

όπου

�

! v η ταχύτητα του άκρου A,

�

! v /2 η ταχύτητα του µέσου M της ράβδου

κατά τη χρονική στιγµή t και F το αντίστοιχο µέτρο της δύναµης

�

!

F . Συνδυά ζοντας τις σχέσεις (5), (6), (7) και (8) έχουµε:

0 = F!Ldt ! mg

!L

2

"

#

$

% "#$!t dt !

B2L4!

2dt

4(R + R') !

F =

B2L3!

4(R + R')+

mg

2

!

"

#

$ "#$!t

P.M. fysikos

Δύο ευθύγραµµα µεταλλικά σύρµατα A1x1, A2x2 µεγάλου µήκους και αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, στερεώνον ται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, το ένα ακριβώς απένανται από το άλλο, σε απόσταση L µεταξύ τους. Oι ακρες A1 και A2 των συρµάτων συνδέονται µε αντιστάτη αντίστασης R1, ενώ πάνω σ’ αυτά µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή µεταλλική ράβδος ΓΔ, µήκους L, µαζας m και ηλεκτρικής αντίστασης R2, όλο δε το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, έντασης

�

! B . Kάποια στιγµή, η

οποία λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, η ράβδος ΓΔ εκτο ξεύεται πάνω στα σύρµατα µε ταχύτητα µέτρου v0, της οποίας ο φορέ ας είναι παράλληλος προς τα σύρµατα, η δε φορά της είναι προς τις άκρες τους x1 και x2. i) Nα δείξετε ότι, η ράβδος θα εκτελέσει µη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση και να βρείτε την επιβράδυνσή της, όταν η ταχύτητά της έχει µειωθεί στο µισό της αρχικής της τιµής. ii) Nα βρείτε τον αντίστοιχο ρυθµό ελάττωσης της κινητικής ενέργει ας της ράβδου. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε τη µεταλλική ράβδο ΓΔ κατά µιά τυχαία στιγµή t, που η ταχύτητά της έχει µέτρο v. Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου υπάρχει επαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (3), η δε τιµή της είναι: Eεπ=BLv (1) H Eεπ δηµιουργεί στο κύκλωµα ΓA1A2ΔΓ ρεύµα επαγωγικό, που η αντίστοιχη έντασή του δίνεται από τη σχέση:

I!"=

E!"

R1+ R

2

!(1)

I!"=

BLv

R1+ R

2

(2)

H Eεπ δηµιουργεί στο κύκλωµα ΓA1A2ΔΓ ρεύµα επαγωγικό, που η αντίστοιχη έντασή του δίνεται από τη σχέση:

I!"=

E!"

R1+ R

2

!(1)

I!"=

BLv

R1+ R

2

(2

Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος η ράβδος ΓΔ δέχεται από το µαγνητικό πε δίο δύναµη Laplace

�

! F

L, αντίρροπη της ταχύτητάς της

�

! v , η οποία την επιβραδύ

νει, το δε µέτρο της είναι:

FL= BLI

!" !

(2)

FL

= BLBLv

R1

+ R2

!

" #

$

% & =

B2L

2v

R1

+ R2

(3)

Παρατηρούµε από την (3) ότι, το µέτρο της

�

! F

L είναι ανάλογο του µέτρου της

ταχύτητας

�

! v της ράβδου και επειδή το µέτρο της

�

! v µειώνεται χρονικά, θα µει

Σχήµα 3 ώνεται και το µέτρο της

�

! F

L. Έτσι, κατά το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα

θα µειώνεται και το µέτρο της επιβράδυνσης της ράβδου, δηλαδή αυτή θα εκτε λεί πάνω στα σύρµατα µη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µέχρις ότου µηδενι στεί η ταχύτητά της. Aν

�

! a είναι η επιβράδυνση της ράβδου τη χρονική στιγµή

t θα έχουµε τη σχέση:

�

FL= ma !

(3)

�

B2L

2v

R1

+ R2

= ma !

�

a =B

2L

2v

m(R1 + R2) (4)

H (4) εφαρµοζόµενη για v=v0/2 δίνει:

�

a =B

2L

2v0

2m(R1 + R2) (5)

ii) Θεωρούµε τη µεταλλική ράβδο µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και εφαρµόζουµε κατά το στοιχειώδη χρόνο dt το θεώρηµα κινητικής ενέργει ας-έργου, οπότε θα έχουµε:

dK = dWFL ! dK = -F

Ldx !

(3)

dK = -B

2L

2v dx

R1+ R

2

(6)

όπου dx η στοιχειώδης µετατόπιση της ράβδου στον χρόνο dt. Όµως ισχύει dx=vdt, οπότε η σχέση (6) γράφεται:

dK = -

B2L

2v vdt

R1+ R

2

!

dK

dt= -

B2L

2v

2

R1+ R

2

(7)

όπου dΚ/dt ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου κατά τη χρονική στιγµή t που την εξετάζουµε. Eφαρµόζοντας την (7), όταν v=v0/2, παίρ νουµε τη σχέση:

�

dK

dt= -

B2L

2v0

2

4(R1 + R2)

P.M. fysikos

Δύο µεταλλικές ράβδοι A1x1 και A2x2, αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, στερεώνονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο η µιά ακριβώς απέναντι από την άλλη σε απόσταση L µεταξύ τους. Oι άκρες A1 και A2 των ράβδων συνδέονται µε τους πόλους γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος, που έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και εσωτερι κή αντίσταση r, ενώ πάνω στις ράβδους µπορεί να ολισθαίνει ένας ευθύγραµµος αγωγός MN, µήκους L µάζας m και ηλεκτρικής αντί στασης R, ο οποίος παρουσιάζει µε τις ράβδους συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Όλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογε νές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B. i) Nα βρείτε τη συνθήκη, ώστε, όταν ο αγωγός MN αφεθεί ελεύθερος να τεθεί σε κίνηση πάνω στις ράβδους. ii) Eάν η συνθήκη αυτή ικανοποιείται, να δείξετε ότι, ο αγωγός MN θα εκτελέσει πάνω στα σύρµατα µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση και ότι, τελικά θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα, της οποίας να υπολογίσε τε το µέτρο. iii) Eάν στη διάρκεια της επιταχυνόµενης κίνησης του αγωγού η συνολική θερµότητα που ελευθερώνεται είναι Qολ, να βρείτε το αντί στοιχο ηλεκτρικό φορτίο που θα περάσει µέσα από τη γεννήτρια. iv) Λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου τη στιγµή που ο αγω γός MN αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί, σχεδιάστε µε ελεύθερη εκτί µηση τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, σε συνάρτηση µε το χρόνο. ΛYΣH: i) Tη χρονική στιγµή t=0 που ο µεταλλικός αγωγός MN αφήνεται ελεύθερος, διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα που η έντασή του είναι: Iαρχ = E/R+r (1) Λόγω του ρεύµατος αυτού δέχεται από το οµογενές µαγνητικό πεδίο δύναµη Laplace, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς τα σύρµατα, έχει φορά προς τις άκρες A1, A2 των συρµάτων, το δε µέτρο της είναι:

FL(!"#) = BLI!"#

!(1)

FL(!"#) =

BLE

R + r (2)

Για να τεθεί ο αγωγός MN σε κίνηση πάνω στα σύρµατα πρέπει το µέτρο της

�

! F L(!"# ) να υπερβαίνει το µέτρο της τριβής ολίσθησης

�

! T που δέχεται ο αγωγός

από τα σύρµατα, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

FL(!"#) > T !

FL(!"#) > nmg !

(2)

BLE

R + r> nmg (3)

H σχέση (3) αποτελεί τη συνθήκη, ώστε ο αγωγός MN να τεθεί σε κίνηση, όταν αφεθεί ελεύθερος.

Σχήµα 4 ii) Έστω ότι η σχέση (3) ισχύει, οπότε ο αγωγός κινείται πάνω στα σύρµατα. Tότε θα αναπτύσσεται κατά µήκος του επαγωγική H.E.Δ. η οποία έχει την πολικότητα του σχήµατος (39), η δε τιµή της είναι: Eεπ =BLv (4) όπου

�

! v η ταχύτητα του αγωγού την χρονική στιγµή που τον εξετάζουµε. Tην

στιγµή αυτή στο κύκλωµα MA1A2NM κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύµα, που η ένταση του I υπολογίζεται µε εφαρµογή του δεύτερου κανόνα του Kirchoff, οπότε θα έχουµε:

E – Eεπ = I(R + r) !(4)

E – BLv = I(R + r) !

I =E - BLv

R + r (5)

Tο µέτρο της δύναµης Laplace

�

! F

L που δέχεται ο αγωγός MN την στιγµή αυτή,

δίνεται από τη σχέση:

�

FL= BLv !

(5)

FL= BL

E - BLv

R + r

!

" #

$

% & (6)

Παρατηρούµε από την (6) ότι, το µέτρο της

�

! F

L µειώνεται µε το χρόνο, αφού το

µέτρο v της ταχύτητας του αγωγού αυξάνεται, που σηµαίνει ότι θα µειώνεται αντιστοίχως και το µέτρο της συνισταµένης δύναµης, που δέχεται ο αγωγός κατά τη διεύθυνση της κίνησής του. Έτσι, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Nεύτωνα θα µειώνεται χρονικά και το µέτρο της επιτάχυνσης του αγω γού, δηλαδή αυτός θα εκτελέσει πάνω στα σύρµατα µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε διαρκώς ελαττούµενη επιτάχυνση. Όταν µηδενιστεί η επιτάχυνση του αγωγού, αυτός θα κινείται πλέον µε σταθερή ταχύτητα

�

! v !" (οριακή ταχύ

τητα), της οποίας το µέτρο υπολογίζεται µέσω της σχέσεως:

FL= T !

(6)

BLE ! BLv

!"

R + r

"

# $

%

& ' = nmg !

E - BLv

!"=

nmg(R + r)

BL !

BLv

!"= E -

nmg(R + r)

BL !

v

!"=

E

BL-nmg(R + r)

B2L

2 (7)

iii) Kατά τον χρόνο t* που ο αγωγός MN επιταχύνεται, ελευθερώνεται θερµό τητα λόγω τριβής και λόγω φαινοµένου joule στις ηλεκτρικές αντιστάσεις του κυκλώµατος. Eφαρµόζοντας στο κύκλωµα την αρχή διατήρησης της ενέργειας για το χρόνο t*, παίρνουµε τη σχέση: Wγεν = Qολ + ΔK (8)

όπου Wγεν η ηλεκτρική ενέργεια που δηµιούργησε η γεννήτρια στο κύκλωµα σε χρόνο t* και ΔK η αντίστοιχη αύξηση της κινητικής ενέργειας του αγωγού. Όµως, εάν q* είναι το ηλεκτρικό φορτίο που πέρασε µέσα από τη γεννήτρια στο χρόνο t*, θα έχουµε Wγεν =Eq* και επιπλέον K=mvορ

2/2, αφού ο αγωγός MN ξεκίνησε από την ηρεµία. Έτσι η σχέση (8) γράφεται:

Eq* = Q!" +

mv!#

2

2 !

q

!=

2Q!" + mv!#

2

2E

Σχήµα 5

iv) Σύµφωνα µε τη σχέση (5), η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος στο κύκλω µα µειώνεται γραµµικά µε το µέτρο v της ταχύτητας του αγωγού MN. Όµως, επειδή η κίνηση του αγωγού είναι µη οµαλά επιταχυνόµενη, το µέτρο της ταχύτητάς του θα αυξάνεται µη γραµµικά µε το χρόνο t, οπότε και η ένταση I του ρεύµατος θα µειώνεται επίσης µη γραµµικά µε το χρόνο, από την αρχική τιµη E/(R+r) στην τελική τιµή nmg/BL. Έτσι η ζητούµενη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο, θα είναι η καµπύλη γραµ µή του σχήµατος (5).

P.M. fysikos

Δύο µεταλλικά σύρµατα A1x1, A2x2 αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης και πολύ µεγάλου µήκους, στερεώνονται σε

oριζόντιο επίπεδο το ένα απέναντι του άλλου σε απόσταση L µεταξύ τους. Oι άκρες τους A1, A2 συνδέονται µε τους πόλους γεννήτριας συ νεχούς ρεύµατος αµελητέας εσωτερικής αντίστασης και ηλεκτρεγερτι κής δύναµης E, ενώ κατά µήκος των συρµάτων µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή µεταλλική ράβδος MN εφαπτοµένη δια των άκρων της στα σύρµατα, ώστε να παραµένει κάθετη σ' αυτά. Όλο το σύστηµα βρίσκεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση είναι κατακόρυφη µε κατεύθυνση προς τα πάνω και έχει µέτρο B. Tη χρο νική στιγµή t=0 η ράβδος MN έχει µηδενική ταχύτητα και επιτάχυν ση

�

! a , η οποία έχει τη φορά που φαίνεται στο σχήµα (6) και διατη

ρείται χρονικά σταθερή. i) Nα δείξετε ότι, το ηλεκτρικό φορτίο που θα περάσει µέσα από τη γεννήτρια σε χρόνο t, αφότου ξεκίνησε η ράβδος, ικανοποιεί τη σχέ ση:

q =

Et

R+!"

R

όπου R η αντίσταση της ράβδου MN και ΔΦ η µεταβολή της µαγνητι κής ροής µέσα από την επιφάνεια του κυκλώµατος A1MNA2A1σε χρό νο t. ii) Nα υπολογίσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t, την ηλεκτρική ενέρ γεια που παρέχει η γεννήτρια στο κύκλωµα. ΛYΣH: i) Eάν

! v είναι η ταχύτητα της ράβδου MN κατά τη χρονική στιγµή t,

θα δηµιουργείται τη στιγµή αυτή επί της ράβδου επαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (6), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: Eεπ = BLv = BLat (1)

Σχήµα 6 Eφαρµόζοντας στο κύκλωµα κατά τη χρονική στιγµή t τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση:

E + E!"

= IR !

I =E + E

!"

R

(1)

!

�

I =E + BLat

R (2)

όπου I η αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα A1MNA2A1. Aπό τη σχέση (2) παρατηρούµε ότι η ένταση I αυξάνεται γραµµικά µε το χρόνο, δηλαδή δεν είναι σταθερή. Για να υπολογίσουµε εποµένως το ηλεκτρικό φορτίο q που θα περάσει µέσα από τη γεννήτρια σε χρόνο t, διαµερίζουµε τον χρόνο αυτό σε στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1, dt2,...dtn και θεωρούµε τα αντίστοιχα στοι

χειώδη φορτία dq1, dq2,...dqn που διέρχονται από την γεννήτρια, οπότε θα έχου µε: q = dq1 + dq2+. . .+dqn = I1dt1 + I2dt2+. . .+Indtn !

�

q = (! Idt) (2)

!

�

q =(E + E

!")dt

R

!

" #

$

% & ' (3)

όπου I1, I2,...In οι αντίστοιχες τιµές της έντασης του ρεύµατος. H σχέση (3) γρά φεται:

�

q =Edt

R

!

" #

$

% & ' +

E!"dt

R

!

" #

$

% & ' =

E

R(dt)' +

1

R(E

!"dt)' !

�

q =Et

R+

1

R(BLvdt) =

Et

R+

1

R(BLdx)!! !

�

q =Et

R+

1

R(BdS) =

Et

R+

1

R(d!)!! !

q =

Et

R+!"

R (4)

όπου dS η αύξηση του εµβαδού του κυκλώµατος κατά ένα στοιχειώδη χρόνο dt, στη διάρκεια του οποίου η ράβδος µετατοπίστηκε κατά dx. ii) Σε χρόνο t αφότου ξεκίνησε η ράβδος MN, η γεννήτρια παρέχει στο κύκ λωµα ηλεκτρική ενέργεια Wγεν, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση:

W

!"#= Eq

(4)

!

W!"# = EEt

R+$%

R

!

" #

$

% & =

E2t

R+

E'$%R

(5)

Όµως η αύξηση ΔΦ της µαγνητικής ροής σε χρόνο t, µέσα από την επιφάνεια του κυκλώµατος είναι: !" = B!S = BL!x = BL#t

2/2

οπότε η (5) γράφεται:

W

!"#=

E2t

R+

EBL$t2

2R

P.M. fysikos

Ένας ευθύγραµµος µεταλλικός αγωγός MN, µή κους L µάζας m και ηλεκτρικής αντίστασης R1, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε δύο παράλληλες σιδερένιες ράβδους A1x1, A2x2 αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, που έχουν στερεωθεί σε οριζόντιο επίπεδο, ώστε ν’ απέχουν µεταξύ τους απόσταση L. Όλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, που η έντασή του έχει µέτρο B, οι δε άκρες A1, A2 συνδέονται µε σύρµα αντί στασης R2. Kάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρό

νου επιδρά επί του αγωγού MN οριζόντια δύναµη σταθερού µέτρου F, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στον αγωγό και διέρχεται από το µέσον του. i) Nα δείξετε ότι, ο αγωγός MN θα εκτελέσει πάνω στις ράβδους µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση και ότι τελικά θ’ αποκτήσει σταθερή ταχύτητα, της οποίας να υπολογίσετε το µέτρο. ii) Eάν στη διάρκεια που ο αγωγός επιταχύνεται, η µετατόπισή του πάνω στις ράβδους είναι x0, να υπολογίσετε τις θερµότητες joule που ελευθερώνουν οι αντιστάσεις R1 και R2, iii) Nα δώσετε τη γραφική παράσταση της ισχύος της δύναµης

�

! F , σε

συνάρτηση µε το χρόνο. ΛYΣH: i) Έστω

�

! v η ταχύτητα του µεταλλικού αγωγού MN κατά µιά τυχαία

χρονική στιγµή. Tη στιγµή αυτή δηµιουργείται πάνω στον αγωγό επαγωγική H.E.Δ., µε πολικότητά που φαίνεται στο σχήµα (7), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: Eεπ = BLv (1)

Σχήµα 7 H επαγωγική αυτή H.E.Δ. δηµιουργεί στο κύκλωµα MA1A2NM ρεύµα επαγω γικό που η αντίστοιχη έντασή του είναι:,

I!"=

E!"

R1+ R

2

!(1)

I!"=

BLv

R1+ R

2

(2)

Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος ο αγωγός MN δέχεται δύναµη Laplace

�

!

F L

αντίρροπη της εξωτερικής δύναµης

�

!

F , της οποίας το µέτρο είναι:

FL= BLI

!" !

(2)

�

FL=

BLBLv

R1

+ R2

=B

2L

2v

R1

+ R2

(3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι το µέτρο της

�

!

F L αυξάνει µε την παρόδο του χρόνου,

διότι το µέτρο της ταχύτητας του αγωγού αυξάνει, που σηµαίνει ότι το µέτρο της συνισταµένης δύναµης επί του αγωγού, κατά τη διεύθυνση της κίνησής του θα µειώνεται, οπότε θα µειώνεται αντιστοίχως και το µέτρο της επιτάχυν

σης του αγωγού, δηλαδή αυτός θα εκτελεί πάνω στις σιδερένιες ράβδους A1x1

και A2x2 µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. Όταν συµβεί FL =F θα µηδενιστεί η επιτάχυνση του αγωγού και αυτός πλέον θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα

�

! v !" ,

που ονοµάζεται οριακή ταχύτητα και το µέτρο της υπολογίζεται µέσω της σχέ σεως:

F =

B2L

2v

!"

R1+ R

2

! v!"

=F (R1 + R2 )

B2L

2 (4)

ii) Eφαρµόζοντας για τον αγωγό MN την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την κίνησή του από τη στιγµή που άρχισε να ενεργεί η δύναµη

�

!

F , µέχρις ότου αυτός αποκτήσει οριακή ταχύτητα, παίρνουµε τη σχέση:

�

W!

F = mv0

2 /2 + Q1 + Q2 !

�

Fx0 = mv0

2 /2 + Q1 + Q2 !

�

Q1 + Q2 = Fx0 - mv0

2 /2 (5) όπου Q1, Q2 είναι οι αντίστοιχες θερµότητες joule που ελευθερώνουν οι αντιστά σεις R1 και R2. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, ο αγωγός MN επιταχύνεται επί χρόνο t*. Kάθε µιά από τις θερµότητες joule Q1, Q2 θα είναι ίση µε το άθροισµα των στοιχειωδών θερµοτήτων joule που ελευθερώνει η αντίστοιχη αντίσταση, στα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα στα οποία διαµερίζεται* ο χρόνος t*, δηλαδή θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

Q1 = (dQ1

0

t*

! ) = (R1I!"2 dt)

0

t*

! = R1 (I!"

2 dt)0

t*

! (6)

και

�

Q2 = (dQ2

0

t*

! ) = (R2I!"2 dt)

0

t*

! = R2 (I!"

2 dt)0

t*

! (7)

Διαιρώντας τις σχέσεις (7) και (8) κατά µέλη παίρνουµε:

Q1 /Q2 = R1 /R2 (8)

Aπό τη λύση του συστήµατος των εξισώσεων (5) και (8) υπολογίζουµε τις θερµότητες Q1 και Q2. iii) H ισχύς NF της εξωτερικής δύναµης

�

!

F , δίνεται κάθε στιγµή από τη σχέση: NF = Fv (9) όπου v το µέτρο της ταχύτητας του µεταλλικού αγωγού MN κατά τη στιγµή που τον εξετάζουµε. Όµως, επειδή η κίνηση του αγωγού είναι µη οµαλά επιτα χυνόµενη, η ταχύτητά του αυξάνεται µε το χρόνο όχι γραµµικά, δηλαδή η -------------------------------- * H διαµέριση του χρόνου t

* επιβάλλεται, διότι κατά τον χρόνο αυτό η ένταση του

επαγωγικού ρεύµατος που διαρρέει τις αντιστάσεις R1 και R2 µεταβάλλεται και ως εκ τούτου δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε τον νόµο του joule.

συνάρτηση v=f(t) δεν είναι πρώτου βαθµού ως προς τις µεταβλητές ποσότητες

Σχήµα 8 v και t, οπότε σύµφωνα µε την (9) η NF θα αυξάνεται µη γραµµικά µε το χρόνο, από την τιµή 0 στην τιµή Fvορ. Έτσι η γραφική παράσταση της NF=f(t) θα είναι µια ανερχόµενη καµπύλη γραµµή, όπως φαίνεται στο σχήµα (8).

P.M. fysikos

Λεπτό µεταλλικό σύρµα µήκους 2L, κάµπτεται στο µέσον του O, έτσι ώστε τα δύο σκέλη του OA1 και OA2 να σχηµατί ζουν γωνία φ=π/3, στερεώνεται δε πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα άλλο ευθύγραµµο σύρµα, όµοιο µε το πρώτο, ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω στις µεταλλικές ευθείες OA1 και OA2 µε σταθερή ταχύτητα µέτ ρου v, της οποίας ο φορέας ταυτίζεται µε την διχοτόµο της γωνίας φ, αποµακρυνόµενο από το σηµείο O. Όλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B. Eάν η ανά µονάδα µήκους αντίσταση των δύο συρµάτων είναι R* και τη στιγµή t=0 το κινούµενο σύρµα βρίσκεται στο O, να βρείτε: i) την ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος που διαρρέει το σχηµατιζό µενο τριγωνικό κύκλωµα, ii) την αναγκαία εξωτερική δύναµη επί του κινούµενου σύρµατος, ώστε να κινείται ισοταχώς και iii) την συνολική θερµότητα joule που ελευθερώνει το κύκλωµα. ΛYΣH: i) Θεωρούµε το µεταλλικό σύρµα που κινείται πάνω στις πλευρές OA1

και OA2 της γωνίας φ, κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, οπότε αυτό έχει µετατοπιστεί κατά OK=x=vt. Tη στιγµή αυτή πάνω στο τµήµα MN του σύρµα τος υπάρχει επαγωγική H.E.Δ. µε την πολικότητα που φαίνεται στο σχήµα (9), της οποίας η τιµή υπολογίζεται από τη σχέση: Eεπ = Bv(MN) (1) Aυτή δηµιουργεί στο τριγωνικό κύκλωµα MONM ρεύµα επαγωγικό, που η αντίστοιχη έντασή του είναι:

I!"=

E!"

R#$

!(1)

I!"

=B(MN)v

R#$

(2)

όπου Rολ η ολική ηλεκτρική αντίσταση του κυκλώµατος τη χρονική στιγµή t. Όµως κάθε στιγµή το τρίγωνο OMN είναι ισόπλευρο, οπότε Rολ =3R*(MN) και έτσι η σχέση (2) γράφεται:

Σχήµα 9

I!"

=B(MN)v

3R!(MN)

=Bv

3R!

(3)

Aπό την (3) παρατηρούµε ότι, η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος που κυκλο φορεί στο τριγωνικό κύκλωµα, είναι σταθερή. ii) Eξ’ αιτίας του επαγωγικού ρεύµατος το τµήµα MN του κινούµενου σύρµα τος δέχεται από το οµογενές µαγνητκό πεδίο δύναµη Laplace

�

!

F L, αντίρροπη

της ταχύτητας του

�

! v , της οποίας το µέτρο δίνεται από τη σχέση:

FL = I!"B (MN) !

(3)

FL =B2v(MN)

3R!

(4)

Όµως ισχύει MN=2(MK)=2(OK)εφ(π/6)= 2vt 3 /3, οπότε η σχέση (4) γράφεται:

F

L=

B2v

3R!

2 3vt

3

"

#

$ $

%

&

' '

=2 3B

2v

2t

9R!

(5)

Για να κινείται το σύρµα µε σταθερή ταχύτητα

�

! v , πρέπει να ενεργεί σ’ αυτό

εξωτερική δύναµη

�

!

F οµµόρροπη της

�

! v και ίσου µέτρου µε την

�

!

F L, δηλαδή πρέ

πει να ισχύει:

F = FL !

(5)

F =2 3B

2v

2t

9R!

(6)

H σχέση (6) έχει νόηµα εφ’ όσον ισχύει 0≤t≤ t*, όπου t* ο χρόνος που το κινού µενο σύρµα είναι σ’ επαφή µε τις πλευρές OA1 και OA2, υπολογίζεται δε από το γεγονός ότι στον χρόνο αυτό το σύρµα θα έχει µετατοπιστεί κατά το ύψος

L

�

3 /2 του ισοπλεύρου τριγώνου OA1A2, δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

vt*= L 3/2 ! t! = L 3/2v (7)

Σχήµα 10 iii) H συνολική θερµότητα joule που ελευθερώνει το κύκλωµα στη διάρκεια του χρόνου t* , είναι ίση µε το αντίστοιχο έργο της

�

!

F , αφού το σύρµα κινείται χωρίς τριβή και µε σταθερή ταχύτητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή θα ισχύει: Qολ = WF (8) Όµως κάθε στιγµή t η ισχύς της

�

!

F είναι:

P = Fv !(6)

P =2 3B

2v

3t

9R!

(9)

Για τον υπολογισµό του έργου WF θεωρούµε τη γραφική παράσταση της σχέ σεως (10), που είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος (10). Tότε θα έχουµε:

WF = εµβ(ONt*) =

t!P!

2 !

(10)

WF =

t!

2

2 3B2v

3t!

9R!

!

WF =

3B2v

3t!

2

9R!

!(7)

WF =

3B2v

3

9R!

3L2

4v2

!

WF =

3B2L

2v

12R!

(9)

!

Q!"=

3B2L2v

12R!

P.M. fysikos

Δίνεται συρµάτινο πλαίσιο AΓΔ σχήµατος ισόπλευ ρου τρίγωνου πλευράς α, του οποίου η αντίσταση ανά µονάδα µήκους είναι R* Tο πλαίσιο κινείται µε σταθερή ταχύτητα

�

! v , της οποίας ο φο

ρέας συµπίπτει µε τη διχοτόµο της γωνίας ΓAΔ και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου αρχίζει να µπαίνει µε την κορυφή του A, µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο απεριόριστης έκτασης, που η έντασή του έχει µέτρο B και οι δυναµικές του γραµ µές είναι κάθετες στο επίπεδο του πλαίσιου (σχ. 11). Nα εκφράσετε την τάση που αναπτύσσεται στις άκρες της πλευράς ΓΔ του πλαίσιου, σε συνάρτηση µε το χρόνο και να δώσετε τη γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ΛYΣH: Eξετάζουµε το µεταλλικό πλαίσιο κατά µιά τυχαία χρονική στιγµή, που έχει εισχωρήσει µέσα στο µαγνητικό πεδίο κατά x=vt. Tη στιγµή αυτή κατά µήκος των τµηµάτων MA και NA του πλαίσιου αναπτύσσονται επαγω γικές H.E.Δ. των οποίων η πολικότητα δηλώνεται στο σχήµα (11), οι δε τιµές τους δίνονται από τις σχέσεις:

E!"

(MA)= B(MA)v

#

E!"

(NA)= B(NA)v'

#

!

" #

(1)

Σχήµα 11

όπου

�

! v

!,

�

! v

!

' οι κάθετες στα τµήµατα αυτά συνιστώσες των ταχυτήτων τους. Όµως έχουµε: vκ = v΄κ = vηµθ = v ηµ(π/6) = v/2 και

MA = NA = KA/συνθ = KA/συν(π/6) = 2vt 3 οπότε οι σχέσεις (1) γράφονται:

�

E!"

(MA) = (2Bvt/ 3)v/2

E!"

(NA) = (2Bvt/ 3)v/2

!

" #

$ #

! E

!"

(MA)= E

!"

(NA)=

Bv2t

3 (2)

Eφαρµόζοντας στο τριγωνικό κύκλωµα ΓAΔΓ, κατά τη χρονική στιγµή t, το δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση:

E!"

(MA)+ E

!"

(NA)= I

!"3#R* !

(2)

2Bv2t

3= 3R

*!I

"# !

I!"=

2Bv2t

3 3#R*

(3)

όπου Iεπ η αντίστοιχη ένταση του επαγωγικού ρεύµατος. Όταν το πλαίσιο δεν

έχει εισχωρήσει ολόκληρο µέσα στο µαγνητικό πεδίο ( 0! t< ! 3/2v ), τότε η πλευρά ΓA αυτού συµπεριφέρεται ως αγωγός µε ηλεκτρική αντίσταση αR*, ο οποίος διαρρέεται από ρεύµα έντασης Iεπ, οπότε η διαφορά δυναµικού VΓ,Δ στις άκρες του είναι:

V!," = I#$R

!" !

(3)

V

!," =2Bv2 t#R

!

3 3#R!

=2Bv

2t

3 3 (4)

Όταν ο χρόνος κίνησης του πλαισίου τείνει στην τιµή ! 3/2v εκ µικροτέρων τιµών, τότε η τάση VΓ,Δ τείνει στην τιµή :

V

*=

2Bv2

3 3

! 3

2v=

B!v

3 (5)

Σχήµα 12 Eξάλλου, όταν το πλαίσιο έχει εισχωρήσει ολόκληρο µέσα στο µαγνητικό πεδίο

(t>α 3 /2v), τότε δεν θα µεταβάλλεται η µαγνητική ροή µέσα από την επιφάνεια του, οπότε η συνολική επαγωγική H.E.Δ. κατά µήκος των τριών πλευρών του θα είναι µηδενική και το πλαίσιο δεν θα διαρρέεται από επα γωγικό ρεύµα. Όµως τώρα η πλευρά ΓΔ του πλαίσιου θα συµπεριφέρεται ως ηλεκτρική γεννήτρια, που δεν διαρρέεται από ρεύµα, µε θετικό πόλο το άκρο Γ και αρνητικό πόλο το άκρο Δ, οπότε η διαφορά δυναµικού VΓ,Δ θα είναι: VΓ,Δ = Bαv (6)

Όταν ο χρόνος κίνησης t του πλαισίου τείνει στην τιµή α 3 /2v εκ µεγαλυτέ ρων τιµών, τότε η τάση VΓ,Δ τείνει στην τιµή Bαv≠V* που σηµαίνει ότι, η συ

νάρτηση VΓ,Δ =f(t) είναι ασυνεχής για t=α 3 /2v. H συνάρτηση λοιπόν VΓ,Δ =f(t) έχει τη µορφή:

�

V!,"=

2Bv2t/3 3 , 0!t<" 3/2v

B#v , t >" 3/2v

#

$ %

& %

H γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο σχήµα (12).

P.M. fysikos

Mεταλλική ράβδος MN, µήκους L µάζας m και ηλεκτρικής αντίστασης R, µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβές κατά µήκος δύο κατακόρυφων µεταλλικών αγωγών A1x1, A2x2, αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, όπως φαίνεται στο σχήµα (13). Oι πάνω άκρες A1, A2 των µεταλλικών αγωγών συνδέονται µε τους πόλους µιας γεννήτριας, που έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και εσωτερική αντίσταση r, το δε σύστηµα βρίσκεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, που η έντασή του έχει µέτρο B, οι δε δυναµικές του γραµµές είναι κάθετες στο επίπεδο των δύο αγωγών. Kάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, η MN αφήνεται ελεύθερη. i) Nα δείξετε ότι, η µεταλλική ράβδος διαρρέεται από ρεύµα, που κά ποια στιγµή η έντασή του µηδενίζεται και στη συνέχεια αυτό αλλάζει συµβατική φορά. ii) Nα δείξετε ότι η ράβδος MN θα αποκτήσει τελικά σταθερή ταχύ τητα (οριακή ταχύτητα) της οποίας να υπολογίσετε το µέτρο. iii) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος, σε συνάρτηση µε το χρόνο. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Tη στιγµή t=0 που η µεταλλική ράβδος MN αφήνεται ελεύθερη, διαρ ρέεται από ρεύµα έντασης Iαρχ , για την οποία ισχύει: Iαρχ = E/(R + r) (1) H αντίστοιχη δύναµη Laplace που δέχεται η ράβδος είναι οµόρροπη του βάρους της

�

m! g , οπότε αυτή µόλις αφήνεται ελεύθερη θα τεθεί σε κίνηση προς τα

κάτω. Έτσι θα δηµιουργείται κατά µήκος αυτής επαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (13), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: Eεπ = BLv (2) όπου v το µέτρο της ταχύτητας της ράβδου κατά τη στιγµή που την εξετάζου µε. Eφαρµόζοντας τη στιγµή αυτή στο κύκλωµα A1MNA2A1 το δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση:

E - Eεπ = I(R + r) !(2)

E - BLv = I(R + r) !

I =E -BLv

R + r (3)

Aπό την (3) παρατηρούµε ότι, η ένταση I του ρεύµατος µειώνεται µε το χρόνο, διότι η ταχύτητά της ράβδου αυξάνεται, αφού αυτή επιταχύνεται. Όταν η ταχύ

τητα της ράβδου λάβει την τιµή v* για την οποία ισχύει E-BLv* =0, δηλαδή την τιµή v* =E/BL, θα µηδενιστεί τη στιγµή αυτή η ένταση του ρεύµατος, δηλαδή

θα µηδενιστεί η δύναµη Laplace

�

!

F L και η µόνη δύναµη επί της ράβδου θα είναι

το βάρος της, οπότε αυτή θα συνεχίσει επιταχυνόµενη και το µέτρο της ταχύτητάς της θα υπερβεί την τιµή v*, οπότε η ένταση I θα γίνει αρνητική, που σηµαίνει ότι θα αλλάξει η συµβατική φορά του ρεύµατος στο κύκλωµα, δηλαδή θ’ αλλάξει φορά η δύναµη Laplace

�

!

F L και θα γίνει αντίρροπη του βάρους της

ράβδου. ii) Kατά το στάδιο αυτό της κίνησης της ράβδου θα ισχύει BLv>E, οπότε το µέτρο της

�

!

F L θα είναι:

�

FL= BL|I| !

(3)

FL

= BLE - BLv

R +r= BL

BLv - E

R + r

!

" #

$

% & (4)

Σχήµα 13 Σχήµα 14

Aπό την (4) παρατηρούµε ότι το µέτρο της

�

!

F L αυξάνεται µε το χρόνο, διότι η

ταχύτητα της ράβδου αυξάνεται. Όταν συµβεί FL=mg θα µηδενιστεί η επιτά χυνση της ράβδου και αυτή πλέον θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα

�

! v !" (ορια

κή ταχύτητα) της οποίας το µέτρο υπολογίζεται µέσω της σχέσεως:

BL.

BLv!"

- E

R + r

!

" # #

$

% & & = mg !

BLv

!"- E =

mg(R + r)

BL !

BLv

!"=

mg(R + r)

BL+ E !

v!"

=mg(R + r)

B2L

2 +E

BL (5)

iii) Eάν t* είναι η χρονική στιγµή που µηδενίζεται η ένταση του ρεύµατος, τότε σύµφωνα µε την (3), η ένταση του ρεύµατος από τη χρονική στιγµή t=0 εώς τη χρονική στιγµή t=t* µειώνεται από την τιµή Iαρχ στην τιµή µηδέν, ενώ για t>t* η ένταση του ρεύµατος γίνεται αρνητική και καταλήγει σε µια τελική τιµή Iτελ. για την οποία ισχύει:

mg = -IτελBL ! Iτελ. = -mg/BL Όµως η κίνηση της ράβδου MN είναι µη οµαλά επιταχυνόµενη, οπότε το µέτρο της ταχύτητάς της αυξάνεται όχι γραµµικά µε το χρόνο. Έτσι η ένταση I είναι µη γραµµική συνάρτηση του χρόνου και η γραφική της παράσταση είναι µια κατερχόµενη καµπύλη γραµµή όπως φαλινεται στο σχήµα (14).

P.M. fysikos

Στη διάταξη του σχήµατος (15) οι µεταλλικές ράβδοι M1N1 καί M2N2 έχουν αµελητέα αντίσταση, το ίδιο µήκος L, αντίστοιχες µάζες m1, m2 και µπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβή πά νω στα οριζόντια καί παράλληλα µεταλλικά σύρµατα xx' καί yy'. H διάταξη βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B και φορά πρός τα κάτω. Eάν E είναι η ηλεκτρεγερτική δύναµη της γεννήτριας, να βρεθούν οι τελι κές ταχύτητες που θ’ αποκτήσουν οι δύο ράβδοι, όταν κλείσει ο διακόπτης Δ. ΛYΣH: Mε το κλείσιµο του διακόπτη στον βρόχο M1M2N2N1M1 κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύµα, µε αποτέλεσµα οι µεταλλικές ράβδοι M1N1 καί M2N2 να δέχον

ται από το µαγνητικό πεδίο τις δυνάµεις Laplace

�

!

F 1 καί

�

!

F 2 αντιστοίχως, οι

οποίες τις θέτουν σε κίνηση µε αποτέλεσµα οι ράβδοι να αποµακρύνονται µε ταξύ τους. Έτσι κατά µήκος τους αναπτύσσονται επαγωγικές H.E.Δ. µε πολι κότητα που φαίνεται στο σχήµα (53), των οποίων οι αντίστοιχες τιµές είναι:

Σχήµα 15

�

E1

= BLv1

E2

= BLv2

!

"

#

(1)

όπου

�

! v

1,

�

! v

2 οι ταχύτητες των δύο ράβδων κατά τη στιγµή που εξετάζουµε το

σύστηµα. Eφαρµόζοντας στο βρόχο M1M2N2N1M1 κατά τη στιγµή αυτή, το δεύτερο κανόνα του Kirckoff παίρνουµε τη σχέση:

�

E - E1- E

2= IR

!" !

�

I = (E - E1 - E2)/R!" !

(1)

�

I = [E - BL(v1 + v2)]/R!" (2)

όπου I η αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος στο βρόχο καί Roλ η ολική αντίσταση των στοιχείων του βρόχου. Aπό τη σχέση (2) προκύπτει ότι η ένταση I µειώνε

ται µε το χρόνο, διότι οι ταχύτητες v1, v2 αυξάνονται, οπότε κάποια στιγµή η ένταση αυτή θα µηδενιστεί µε αποτέλεσµα να µηδενιστούν καί οι δυνάµεις Laplace

�

!

F 1,

�

!

F 2. Έτσι οι δύο ράβδοι θα αποκτήσουν τελικά σταθερές ταχύτητες

�

!

V 1 καί

�

!

V 2 (οριακές ταχύτητες) γιά τις οποίες η σχέση (2) γράφεται:

�

0 = [E - BL(V1 + V2)]/R!" !

�

V1+ V

2= E/BL (3)

Όµως, κάθε στιγµή οι δυνάµεις

�

!

F 1,

�

!

F 2 έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά καί

ίσα µέτρα, οπότε το σύστηµα των δύο ράβδων είναι µηχανικά µονωµένο. Έτσι γιά το σύστηµα αυτό ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής, δηλαδή ισχύει σχέση:

�

!

0 = m1

!

V 1+ m

2

!

V 2 !

�

!

V 1

= -m2

!

V 2/m

1 !

�

V1

= m2V

2/m

1 (4)

Aπό τη λύση του συστήµατος των (3) καί (4) προκύπτουν τελικά οι σχέσεις:

�

V1 =Em2

BL(m1 + m2) και

�

V2 =Em1

BL(m1 + m2)

P.M. fysikos

Tα µεταλλικά σύρµατα A1x1, A2x2 του σχήµατος (16) έχουν αµελητέα αντίσταση και το επίπεδό τους σχηµατίζει γωνία φ=π/3 µε το οριζόντιο επίπεδο. Oι πάνω άκρες A1, A2, των συρµάτων συνδέονται µε τον αρνητικό και τον θετικό πόλο αντιστοίχως µιας γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος ηλεκτρεγερτικής δύναµης E=10 V και αµελητέας εσωτερικής αντίστασης, ενώ πάνω στα σύρµατα µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή µεταλλική ράβδος MN µήκους L=0,5 m, µάζας m=1 Kg και ηλεκτρικής αντίστασης R=1 Ω, εφαπτόµενη δια των άκρων της µε τα σύρµατα ώστε να είναι κάθετη σ' αυτά. Όλο το σύ στηµα βρίσκεται σε οµογενές κατακόρυφο µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση κατευθύνεται προς τα πάνω και έχει µέτρο B=1 Ts. i) Eάν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη να δείξετε ότι θα τεθεί σε κίνηση και τελικά θ' αποκτήσει σταθερή (οριακή) ταχύτητα, της οποίας να υπολογίσετε το µέτρο. ii) Eάν ΔΦ είναι η µεταβολή της µαγνητικής ροής που διέρχεται µέσα από την επιφάνεια του κυκλώµατος A1NMA2 σε χρόνο t αφότου αφέ θηκε ελεύθερη η ράβδος MN, να δείξετε ότι το αντίστοιχο ηλεκτρικό φορτίο q που διέρχεται µέσα από τη γεννήτρια ικανοποιεί τη σχέση:

q =

Et

R+!"

R

ΛYΣH: i) Tη χρονική στιγµή t=0 που η ράβδος MN αφήνεται ελεύθερη το κύκλωµα A1NMA2A1διαρρέεται από ρεύµα που η έντασή του I0 είναι: I0=E/R=10 A

Λόγω του ρεύµατος αυτού η ράβδος δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη Laplace

!

F L, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος, η φορά της ανταποκρίνεται

στον κανόνα του δεξιού χεριού (σχ. 17) το δε µέτρο της είναι: FL=BLI0=1.0,5.10 Nt=5 Nt

H συνιστώσα

!

F Lx

της

!

F L που επηρεάζει την κίνηση της ράβδου πάνω στα

σύρµατα είναι παράλληλη προς τα σύρµατα, έχει φορά προς τα πάνω και µέτρο που δίνεται από τη σχέση: FLx=FLσυνφ= 5.0,5.Nt=2,5 Nt Eξάλλου η συνιστώσα

! w

x του βάρους

! w της ράβδου που επηρεάζει την κίνησή

της είναι παράλληλη προς τα σύρµατα, έχει φορά προς τα κάτω το δε µέτρο της είναι:

wx=wηµφ=mgηµφ = 1.10. 3/2 Nt = 5 3 Nt

Σχήµα 16 Σχήµα 17 Παρατηρούµε ότι Wx >FLx, που σηµαίνει ότι η ράβδος MN θα τεθεί σε κίνηση προς τα κάτω, όταν αφεθεί ελεύθερη. Aς εξετάσουµε τη ράβδο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή που έχει ταχύτητα

! v . Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου

υπάρχει επαγωγική H.E.Δ της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (16) το δε µέτρο της είναι: Eεπ=ByLv=BLvσυνφ (1) όπου

�

! B y η κάθετη προς το επίπεδο κίνησης της ράβδου συνιστώσα της έντασης

!

B . Eφαρµόζοντας στο κύκλωµα κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή το δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση:

E + E!"

= IR (1)

! E + BvL!"#$ = IR !

I =E

R+

BvL!"#$

R (2)

Tο µέτρο της

!

F Lx

κατά τη στιγµή αυτή είναι:

FLx= F

L!"#$ = BLI!"#$

(2)

!

FLx

= BLE

R+

BvL!"#$

R

!

" #

$

% & !"#$ (3)

Παρατηρούµε από την (3), ότι το µέτρο της

!

F Lx

αυξάνεται µε το χρόνο, διότι η ταχύτητα

! v αυξάνεται και επειδή το µέτρο της

! w

x παραµένει σταθερό η συνισ

ταµένη δύναµη επί της ράβδου κατά τη διεύθυνση κίνησής της θα µειώνεται µε το χρόνο, δηλαδή θα µειώνεται η επιτάχυνση της ράβδου. Aυτό σηµαίνει ότι η κίνηση της ράβδου πάνω στα σύρµατα θα είναι µη οµαλά επιταχυνόµενη. Όταν µηδενιστεί η επιτάχυνση της ράβδου θα πάψει η αύξηση του µέτρου της ταχύτητάς της, δηλαδή αυτή θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα

! v

!", και θα ισχύει

η σχέση:

FLx= w

x

(3)

!

BLE

R+

Bv!"L#$%&

R

!

" #

$

% & #$%& = mg'µ& !

E + BLv

!"#$%& =

mgR'µ&

BL#$%& !

BLv

!"#$%& =

mgR'µ&

BL#$%&- E !

v!"

=mgR#µ$

B2L

2%&'$

-E

BL%&'$ (4)

ii) Σύµφωνα µε τη σχέση (2) η ένταση I του ρεύµατος που διαρρέει τη γεννήτ ρια αυξάνεται µε το χρόνο. Για να υπολογίσουµε εποµένως το ηλεκτρικό φορτίο q που θα περάσει µέσα από τηνγεννήτρια σε χρόνο t αφότου η ράβδος αφέθηκε ελεύθερη, διαµερίζουµε το χρόνο αυτόν σε στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1, dt2,...dtn και θεωρούµε τα αντίστοιχα στοιχειώδη φορτία dq1, dq2,...dqn που διέρχονται µέσα από τη γεννήτρια, οπότε θα έχουµε: q = dq1 + dq2+. . .+dqn = I1dt1 + I2dt2+. . .+Indtn !

�

q = (! Idt) (2)

!

�

q =(E + BLv!"#$)dt

R! !

�

q =(Edt)

R! +

(BLv!"#$dt)

R! !

�

q =E

R(dt)! +

1

R(BL!"#$dx)! !

�

q =Et

R+

1

R(BdS!"#$)! !

�

q =Et

R+

1

R(d!)! =

Et

R+"!

R

όπου dx η στοιχειώδης µετατόπιση της ράβδου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, dS η αντίστοιχη αύξηση του εµβαδού του κυκλώµατος και dΦ η αντί στοιχη στοιχειώδης αύξηση της µαγνητικής ροής που διέρχεται από την επιφά νεια του.

P.M. fysikos

Δύο µεταλλικά σύρµατα A1x1 και A2x2 αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης στερεώνονται ώστε να είναι αντικρυστά σε απόσταση L=0,5 m, και το επίπεδό τους να σχηµατίζει γωνία φ=π/6 µε το οριζόντιο επίπεδο. Oι κάτω άκρες των συρµάτων συνδέονται µε αγωγό αντίστασης R1=9 Ω µήκους L, µάζας m=1 kg και ηλεκτρικής αντίστασης R2=1 Ω, ο οποίος εφάπτεται δια των άκρων του µε τα σύρ µατα. Όλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναµικές γραµµές κατευθύνονται κάθετα στο επίπεδο των δύο συρµάτων προς τα πάνω, η δε έντασή του έχει µέτρο B=1 Ts. Kάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, ο αγωγός έχει µηδενική ταχύτητα και ενεργεί σ' αυτόν οριζόντια δύναµη µέτρου F=10 Nt, η οποία τείνει να τον µετακινήσει προς τα πάνω. Eάν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10 m/s2 να βρείτε: i) την επιτάχυνση εκκίνησης του αγωγού, ii) την τελική επιτάχυνση του αγωγού και iii) την τελική τάση στις άκρες του αγωγού. ΛYΣH: i) Tην χρονική στιγµή t=0 που η ράβδος MN αφήνεται ελεύθερη, δέχεται το βάρος της

! w που αναλύεται στην παράλληλη προς τα σύρµατα

συνιστώσα

! w

x που επηρεάζει την κίνηση της ράβδου και την κάθετη προς αυτή

συνιστώσα

�

! w

y. Δέχεται ακόµη την αντίδραση

!

N των συρµάτων, η οποία είναι κάθετη σ' αυτά, και δεν επηρεάζει την κίνησή της και τέλος δέχεται την οριζόν τια δύναµη

!

F , που αναλύεται στην συνιστώσα

!

F x που επηρεάζει την κίνησή

της και στη συνιστώσα

�

! F y. Για τα µέτρα των

! w

x και

!

F x ισχύουν οι σχέσεις:

wx = wηµφ = mgηµφ = 1.10.0,5 Nt = 5 Nt

Fx = Fσυνφ = 10. 3/2 Nt Παρατηρούµε ότι Fx >wx, που σηµαίνει ότι η ράβδος θα τεθεί σε κίνηση κατευ θυνόµενη προς τις άκρες x1 και x2 των συρµάτων. H επιτάχυνση εκκίνησης

�

! a

0

της ράβδου θα έχει µέτρο, που υπολογίζεται από τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, δηλαδή από τη σχέση:

�

Fx- w

x= ma

0 !

�

a0 =Fx - wx

m=

5 3 - 5

1m/s = 3,66m/s

ii) Aς εξετάσουµε τη ράβδο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που έχει ταχύ

τητα ! v . Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου υπάρχει επαγωγική H.E.Δ. της

οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (18) η δε τιµή της δίνεται από τη σχέ ση: Eεπ = BLv (1) H Eεπ δηµιουργεί στο κύκλωµα επαγωγικό ρεύµα του οποίου η αντίστοιχη ένταση Iεπ είναι:

I!"

=E

!"

R1+ R

2

(1)

!

I!"

=BLv

R1+ R

2

(2)

Σχήµα 18 Σχήµα 19 Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος η ράβδος δέχεται δύναµη Laplace

!

F L αντίρρο

πη της ταχύτητας της ! v (σχήµα 19), της οποίας το µέτρο δίνεται από τη σχέση:

FL= BI

!"L

(2)

!

FL

=B

2L

2v

R1+ R

2

(3)

H ράβδος κατά τη διεύθυνση κίνησής της δέχεται συνισταµένη δύναµη

!

F !"

µε µέτρο:

F!"= F

x- w

x- F

L

(3)

!

F!" = F#$%& -mg'µ& -B2L2v

R1 + R2

(4)

H επιτάχυνση της ράβδου κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή t θα έχει µέτ ρο:

�

a =F

!"

m (4)

!

�

a =F!"#$ - mg%µ$

m-

B2L2v

(R1 + R2)m (5)

Παρατηρούµε από την (5) ότι το µέτρο της

�

! a µειώνεται µε το χρόνο, διότι το

µέτρο της ! v αυξάνεται και κάποια στιγµή η

�

! a θα µηδενιστεί, οπότε η ράβδος

θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα

! v

!" µε την οποία θα συνεχίσει να ανέρχεται.

Άρα η τελική επιτάχυνση της ράβδου είναι µηδέν. iii) H τάση στις άκρες της ράβδου είναι κάθε στιγµή ίση µε την τάση στις άκρες της R1, οπότε θα ισχύει:

VN,M = I

!"R1

(2)

!

VN,M =BLR1v

R1 + R2

(6)

H τελική τιµή V* της VN,M βρίσκεται από την (6) θέτοντας όπου v=vορ οπότε θα έχουµε:

V*=

BLR1v!"

R1+ R

2

(7)

H vορ θα βρεθεί από τη σχέση (5) θέτοντας a=0, οπότε θα έχουµε:

F!"#$ - mg%µ$ =B2L2v

&'

R1 + R2

!

v!"

=R1 + R2

B2L

2 (F#$%& -mg'µ&) !

v!"

=10(5 3 - 5)

12!0, 5

2 m/s = 146,4 m/s

Θέτοντας στη σχέση (7) όπου vορ=146,4 m/s έχουµε:

V* =

1!0,5!9!146,4

10V = 65,88 V

P.M. fysikos

Δύο µεταλλικά σύρµατα A1x1 και A2x2 αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης στερεώνονται το ένα ακριβώς απέναντι από το άλλο σε απόσταση L=1 m µεταξύ τους, ώστε το επίπεδό τους να σχη µατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=π/6. Oι κάτω άκρες A1, A2 των συρµάτων συνδέονται µε σύρµα αµελητέας αντίστασης, ενώ πάνω στα σύρµατα µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή µεταλλική ράβδος MN, µήκους L µάζας m=1 kg και ηλεκτρικής αντίστασης R=0,1 Ω, εφαπτό µενη δια των άκρων της µε τα σύρµατα. Όλο δε το σύστηµα βρίσκε ται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναµικές γραµµές εί ναι οριζόντιες και κάθετες στη ράβδο, η δε ένταση έχει µέτρο B=1 Ts. Kάποια στιγµή η ράβδος MN αφήνεται ελεύθερη και µετά από λίγο αποκτά σταθερή ταχύτητα (οριακή ταχύτητα). i) Xρησιµοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας να υπολογί σετε την οριακή ταχύτητα της ράβδου. ii) Eάν η ράβδος MN εκτοξευθεί προς τα κάτω µε ταχύτητα ίση προς την οριακή, να βρείτε το ηλεκτρικό φορτίο που θα περάσει από µια διατοµή της ράβδου σε χρόνο t=10 s από τη στιγµή της εκτόξευσής της. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2.

ΛYΣH: i) Eξετάζουµε τη ράβδο MN αφού αποκτήσει την οριακή της ταχύτητα

! v

!". Kατά µήκος της ράβδου αναπτύσσεται H.E.Δ από επαγωγή της οποίας η

πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (20) η δε τιµή της είναι: Eεπ = BψLvορ = BLvορηµφ (1) όπου

�

! B y η συνιστώσα της έντασης

!

B η κάθετη στο επίπεδο κίνησης της ράβ δου. H Eεπ δηµιουργεί στο κλειστό κύκλωµα ρεύµα επαγωγικό σταθερής έντα σης, η οποία υπολογίζεται από τον νόµο του Ohm για κλειστό κύκλωµα, δηλα δή από τη σχέση:

I!"

=E

!"

R

(1)

! I!"

=BLv

#$%µ&

R (2)

Eάν s είναι η µετατόπιση της ράβδου σε χρόνο t, τότε κατά τον χρόνο αυτό η µεν κινητική ενέργεια της ράβδου παραµένει αµετάβλητη, ενώ η βαρυτική της δυναµική ενέργεια µειώνεται κατά: ΔU = mgh = mgsηµφ = mgvορtηµφ (3)

Σχήµα 20 Σχήµα 21 Eξάλλου κατά τον χρόνο t το κύκλωµα ελευθερώνει θερµότητα Joule Q,, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση:

Q = I!"

2Rt

(2)

! Q =

B2L2v!"

2#µ2

$

R2 Rt =

B2L2v!"

2 t#µ2$

R (4)

Όµως σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ισχύει:

!U = Q (4)

(3 )

! mgv

!"t#µ$ =

B2L2v!"

2 t#µ2$

R !

mgR = B

2L

2v

!"#µ$ !

v

!"=

mgR

B2L

2#µ$

(5)

Aντικαθιστώντας στη σχέση (5) τα γνωστά µεγέθη στο S.I. έχουµε:

v!"

=1!10!0,1

12!1

2!0, 5

m/s = 2 m/s

ii) Όταν η ράβδος εκτοξευθεί προς τα κάτω µε ταχύτητα

! v

!", θα εκτελεί οµαλή

ευθύγραµµη µεταφορική κίνηση µε αποτέλεσµα να διαρρέεται από ρεύµα σταθε ρής έντασης, η οποία καθορίζεται από τη σχέση (3). Έτσι το ηλεκτρικό φορτίο που θα περάσει από µια διατοµή της ράβδου σε χρόνο t* θα είναι:

q* = I!"t*

(2)

! q* =

BLv!"t*#µ$

R !

q* =

1!1!2!10!0, 5

0,1Cb = 10

2Cb

P.M. fysikos

Δύο παράλληλα σύρµατα A1x1, A2x2 αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, απέχουν µεταξύ τους απόσταση L και σχηµα τίζουν µε τον ορίζοντα γωνία θ. Oι κάτω άκρες A1 και A2 των συρµά των συνδέονται µε αντιστάτη που παρουσιάζει αντίσταση R1, ενώ πά νω σ’ αυτά αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβή κατά µήκος τους ένας πρισµατικός αγωγός, µήκους L µάζας m και ηλεκτρικής αντίστασης R2. Oλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, που οι δυναµικές του γραµµές είναι οριζόντιες και κάθετες στον αγω γό, η δε έντασή του έχει µέτρο B. Kάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ο αγωγός αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί. i) Nα δείξετε ότι, αυτός θα εκτελέσει πάνω στα σύρµατα µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση και τελικά θ’ αποκτήσει σταθερή ταχύτητα (οριακή ταχύτητα), της οποίας να υπολογίσετε το µέτρο. ii) Nα παραστήσετε γραφικά, σε συνάρτηση µε το χρόνο, την τάση στις άκρες του πρισµατικού αγωγού. iii) Eάν η αρχική απόσταση του αγωγού από τις άκρες A1, A2 είναι x0, να βρεθεί η ολική θερµότητα joule που ελευθερώνουν οι αντιστά σεις του κυκλώµατος, από τη στιγµή που ο αγωγός αφήνεται ελεύθε ρος, µέχρις ότου αποκτήσει την οριακή του ταχύτητα. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Eξετάζουµε τον πρισµατικό αγωγό MN κατά µιά τυχαία στιγµή, που η ταχύτητά του είναι

�

! v . Tη στιγµή αυτή κατά µήκος του αγωγού υπάρχει

επαγωγική H.E.Δ. µε της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (22), η δε τιµή της υπολογίζεται από τη σχέση:

Eεπ = ByLv = Bηµθ Lv (1) όπου

�

! B y η συνιστώσα της έντασης

�

! B του οριζόντιου µαγνητικού πεδίου, που

είναι κάθετη στο επίπεδο κίνησης του αγωγου. H Eεπ δηµιουργεί στο κλειστό κύκλωµα MA1A2NM ρεύµα επαγωγικό, του οποίου η ένταση δίνεται από τη σχέση:

I!"=

E!"

R1+ R

2

!(1)

I!" =BLv #µ$

R1 + R2

(2)

Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος ο πρισµατικός αγωγός MN δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη Laplace

�

! F

L, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος,

έχει φορά προς τα πάνω (σχήµα 23), το δε µέτρο της είναι:

FL= BLI

!" !

(1)

FL =B2L2!µ" .v

R1 + R2

(3)

Eάν

�

! F

Lx είναι η συνιστώσα της

�

! F

L κατά τη διεύθυνση κίνησης του αγωγού,

τότε το µέτρο της είναι:

FLx = FLηµθ !(3)

FLx =B2L2v !µ2"

R1 + R2

(4)

Σχήµα 22 Σχήµα 23 Eξάλλου η συνιστώσα

�

m! g

x του βάρους του αγωγού, κατά την διεύθυνση xx΄

έχει µέτρο: mgx = mgηµθ (5) Aπό τη σχέση (4) παρατηρούµε ότι, το µέτρο της

�

! F

Lx αυξάνεται µε τον χρόνο,

αφού η ταχύτητα του αγωγού αυξάνεται. Aυτό σηµαίνει ότι, το µέτρο της συνι σταµένης δύναµης επί του αγωγού κατά τη διεύθυνση xx΄ µειώνεται µε το χρό νο και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, θα µειώνεται και το µέτρο της επιτάχυνσής του, δηλαδή αυτός θα εκτελεί πάνω στα σύρµατα µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. Όταν συµβεί FLx=mgx, θα µηδενιστεί η επιτάχυν ση του αγωγού και αυτός πλέον θα κινείται πάνω στα σύρµατα µε σταθερή τα χύτητα

�

! v !" (οριακή ταχύτητα) της οποίας το µέτρο υπολογίζεται µέσω της σχέ

σεως:

mg !µ" =B2L2v#$ !µ2"

R1 + R2

! v!" =

mg(R1 + R2 )

B2 L

2#µ$

(6)

ii) H τάση VM,N στις άκρες M και N του πρισµατικού αγωγού MN είναι κάθε

στιγµή ίση µε την τάση στις άκρες της αντίστασης R1, αφού τα σύρµατα δεν έχουν αντίσταση, δηλαδή ισχύει :

VM,N = IεπR1 !(2)

VM,N =BLR1v !µ"

R1 + R2

(7)

δηλαδή η VM,N αυξάνεται ανάλογα µε την ταχύτητα του αγωγού. Όµως επειδή η κίνηση του αγωγού είναι µη οµαλά επιταχυνοµένη, η ταχύτητα v αυξάνεται όχι γραµµικά µε το χρόνο t, από την τιµή µηδέν στην τιµή vορ., οπότε σύµφωνα µε την (7) και η τάση VM,N θ’ αυξάνεται µη γραµµικά µε τον χρόνο από την τιµή µηδέν στην τιµή BLR1voρηµθ/(R1+R2). Έτσι η γραφική παράσταση της συ νάρτησης VM,N = f(t) θα είναι η καµπύλη γραµµή του σχήµατος (24).

Σχήµα 24

iii) Eφαρµόζοντας στο σύστηµα την αρχή διατήρησης της ενέργειας, για το χρο νικό διάστηµα που ο πρισµατικός αγωγός µετατοπίζεται πάνω στα σύρµατα κατά x0, παίρνουµε τη σχέση:

ΔU = ΔK + Qjoule (8) όπου ΔU η µείωση της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του πρισµατικού αγω γού, ΔK η αύξηση της κινητικής του ενέργειας και Qjoule η ζητούµενη θερµό τητα joule, που ελευθερώνουν οι αντιστάσεις R1 και R2 του κυκλώµατος. Όµως ισχύουν ακόµη οι σχέσεις:

�

!U = mgh = mgx0"µ# και !K = mv"#

2/2 (9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) έχουµε:

�

mgx0!µ" = mv#$

2 /2 + QJoule !

�

QJoule = m(gx0!µ" - v#$

2 /2)

P.M. fysikos

Δύο σιδερένιες ράβδοι A1x1 και A2x2, αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, στερεώνονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο η µία ακριβώς απέναντι της άλλης σε απόσταση s µεταξύ τους. Oι άκρες A1 και A2 των ράβδων συνδέονται µε πηνίο αµελητέας αντίστα σης, που έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L, ενώ πάνω στις ράβδους µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή πρισµατικός αγωγός KΛ, µήκους s και αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης. Όλο το σύστηµα βρίσκεται

µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η έντασή έχει µέτρο B. Kάποια στιγµή, που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, ο αγωγός KΛ έχει ταχύτητα

�

! v , της οποίας ο φορέας είναι

παράλληλος προς τις δύο ράβδους, η δε ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι µηδέν. Nα βρείτε την εξωτερική δύναµη, που πρέπει να ενεργεί στον πρισµατικό αγωγό, ώστε αυτός να συνεχίσει να ολισ θαίνει στις ράβδους µε σταθερή ταχύτητα

�

! v , καθώς και το έργο της

για χρόνο t* αφότου αυτή άρχισε να ενεργεί επί του αγωγού. ΛYΣH: Tη στιγµή t=0 ο πρισµατικός αγωγός KΛ έχει ταχύτητα

�

! v , οπότε κατά

µήκος αυτού υπάρχει επαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (60), η δε τιµή της είναι: Eεπ = Bsv (1) H επαγωγική αυτή H.E.Δ. θα διατηρείται και στη συνέχεια ίδια, αφού σύµφω να µε το πρόβληµα η ταχύτητα του αγωγού θα παραµένει σταθερή. Έτσι η Eεπ θα προκαλεί στο κύκλωµα του πηνίου και του αγωγού KΛ ρεύµα, που η έντασή του θ’ αυξάνεται από την τιµή µηδέν προς το άπειρο, αφού στο κύκ λωµα δεν υπάρχει ωµική αντίσταση να περιορίσει το ρεύµα. Aυτή όµως η αύξη

Σχήµα 25 ση της έντασης του ρεύµατος θα δηµιουργεί στις σπείρες του πηνίου αυτε παγωγική H.E.Δ. η οποία, σύµφωνα µε τον κανόνα του Lenz, θα έχει τέτοια πολικότητα ώστε ν’ αντιστέκεται στην αύξηση της έντασης του ρεύµατος (σχ. 25), δηλαδή θα φρενάρει την αύξηση της έντασης, η δε τιµή της υπολογίζεται κάθε χρονική στιγµή t από τη σχέση: Eαυτ = L(dI/dt) (2) όπου dI/dt η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος κατά τη χρονι κή αυτή στιγµή. Eφαρµόζοντας εξάλλου τη στιγµή αυτή στο κύκλωµα, τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff, παίρνουµε τη σχέση:

E!"- E

#$%= 0

�

!

(1),(2)

�

Bsv - LdI

dt

!

" #

$

% & = 0 !

�

dI

dt=

Bsv

L (3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι, η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος είναι σταθερή, οπότε η µεταβολή της ύστερα από χρόνο t, θα είναι:

I - 0 =dI

dt

!

" #

$

% & t !

(3)

�

I =Bsv

Lt (4)

όπου I η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα κατά τη χρονική στιγµή t. Όµως τη στιγµή αυτή ο πρισµατικός αγωγός KΛ θα δέχεται από το µαγνητικό πεδίο ηλεκτροµαγνητική δύναµη Laplace

�

! F

L, αντίρροπη της

�

! v , µε µέτρο:

�

FL

= Bs I !(4)

�

FL=

B2s

2v

Lt (5)

Για να κινείται εποµένως ο αγωγός KΛ µε σταθερή ταχύτητα

�

! v θα πρέπει να

ενεργεί πάνω σ’ αυτόν εξωτερική δύναµη

�

! F !" , ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς

µε την

�

! F

L, οπότε θα ισχύει :

F!" = F

L !

(5)

�

F!" =B

2s

2v

Lt (6)

Σχήµα 26 δηλαδή το µέτρο της

�

! F !" είναι ανάλογο του χρόνου δράσης της. Όµως το γινό

µενο vt αποτελεί τη µετατόπιση x του αγωγού στον χρόνο t, οπότε η σχέση (6) γράφεται:

�

F!" =B

2s

2x

L (7)

Έτσι για τον υπολογισµό του έργου W* της

�

! F !" στο χρόνο t* θεωρούµε τη γρα

φική παράσταση της σχέσεως (7) (σχ. 26) από την οποία έχουµε:

W*=εµβ(OMM΄) ! W

*=

F*x

*

2 !

(7)

�

W*=

B2s

2x

*

2

2L !

�

W*=

B2s

2v

2t*

2

2L

P.M. fysikos

Δύο µεταλλικά σύρµατα A1x1 και A2x2, αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, στερεώνονται πάνω σε οριζόντιο επίπε δο το

ένα ακριβώς απέναντι από το άλλο σε απόσταση s µεταξύ τους. Oι άκρες A1 και A2 των συρµάτων συνδέονται µε ιδανικό πηνίο συντε λεστού αυτεπαγωγής L, ενώ πάνω στα σύρµατα µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή µεταλλική ράβδος KΛ, µήκους α µάζας m και αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης. ΄Oλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακό ρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B. Kάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης των χρόνων επιδ ρά πάνω στη ράβδο KΛ, που είναι ακίνητη, οριζόντια δύναµη

�

!

F , της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς τα δύο σύρµατα και διέρχε ται από το µέσον της ράβδου, η οποία θέτει τη ράβδο σε οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση, µε επιτάχυνση

�

! a .

i) Nα εκφράσετε την ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα, σε συνάρτηση µε τον χρόνο και µε τη βοήθεια της γρα φικής της παράστασης να βρείτε τη σχέση µεταξύ έντασης ρεύµατος και χρόνου. ii) Nα εκφράσετε το µέτρο της εξωτερικής δύναµης, σε συνάρτηση µε το χρόνο και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ΛYΣH: i) Έστω

�

! v η ταχύτητα της ράβδου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t.

Tη στιγµή αυτή αναπτύσσεται πάνω στη ράβδο H.E.Δ. από επαγωγή, της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (27), η δε τιµή της είναι: Eεπ = BSv = BSat (1)

Σχήµα 27 Eπειδή η Eεπ αυξάνεται µε το χρόνο, δηµιουργεί στο κλειστό κύκλωµα KA1

A2ΛK ρεύµα αυξανόµενης έντασης, µε αποτέλεσµα να παράγεται στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ., η οποία σύµφωνα µε τον κανόνα του Lenz, έχει πολικότητα που αντιστέκεται στην αύξηση της έντασης του ρεύµατος (σχ. 27), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: Eαυτ = L(dI/dt) (2) όπου dI/dt η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος κατά τη χρονική στιγµή t, που εξετάζουµε το κύκλωµα. Eφαρµόζοντας τη στιγµή αυτή στο κύκ λωµα το δεύτερο κανόνα του Kirchoff, παίρνουµε τη σχέση:

E!"- E

#$%= 0 !

(2)

(1)

BSat -LdI

dt

!

" #

$

% & = 0 !

�

LdI

dt

!

" #

$

% & = Bsat !

�

dI

dt=

Bsat

L (3)

δηλαδή η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος είναι ανάλογη του χρόνου t. H γραφική παράσταση της σχέσεως (3) είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος (28). Eίναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι, η στοιχειώδης αύξηση dI της έντασης του ρεύµατος, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, εκφράζε ται από το εµβαδόν ενός στοιχειώδους ορθογωνίου, που έχει βάση dt και ύψος dI/dt, οπότε η αύξηση της έντασης του ρεύµατος από τη στιγµή που η ράβδος τέθηκε σε κίνηση (t=0) µέχρι τη στιγµή t, εκφράζεται µε το εµβαδόν του τριγώ νου OMM΄, δηλαδή ισχύει:

I - 0 = εµβ(OMM΄) !

�

I =t

2

Bsat

L=

Bsat2

2L (4)

Aπό την (4) παρατηρούµε ότι, η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα αυξάνεται ανάλογα µε το τετράγωνο του χρόνου t.

Σχήµα 28 Σχήµα 29 ii) Λόγω του ρεύµατος η µεταλλική ράβδος KΛ δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη Laplace

�

!

F L αντίρροπη της

�

! v , µε µέτρο:

�

FL

= Bs I !(4)

�

FL

=B

2s

2at

2

2L (5)

Eφαρµόζοντας τη χρονική στιγµή t στη ράβδο, τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε τη σχέση:

F - FL= ma !

(5)

�

F = ma +B

2s

2at

2

2L (6)

όπου F το µέτρο της εξωτερικής δύναµης

�

!

F τη στιγµή t. H σχέση (6) είναι δευτέρου βαθµού ως προς τις µεταβλητές ποσότητες F και t και η γραφική της παράσταση είναι µια παραβολή, όπως φαίνεται στο σχήµα (29).

P.M. fysikos

Δύο ευθύγραµµα µεταλλικά σύρµατα A1x1 και A2x2, αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, στερεώνονται πάνω σε ορι ζόντιο επίπεδο, το ένα ακριβώς απέναντι από το άλλο, σε απόσταση s µεταξύ τους. Oι άκρες A1, A2 των συρµάτων συνδέονται µε ιδανικό πηνίο, συντελεστού αυτεπαγωγής L, ενώ πάνω στα σύρµατα µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή µεταλλική ράβδος KΛ, µήκους s και αµε λητέας ηλεκτρικής αντίστασης. Όλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κα τακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B. Kάποια στιγµή που η ράβδος ΚΛ ηρεµεί ενεργεί σ’ αυτή οριζόντια δύναµη σταθερού µέτρου F, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το µέσον της και έχει φορά προς τις άκρες x1 και x2 των συρµάτων. i) Nα εκφράσετε την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, σε συνάρτηση µε τη µετατόπιση της ράβδου ΚΛ. ii) Nα υπολογίσετε τη µέγιστη ταχύτητα της ράβδου ΚΛ, καθώς και την αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε τη µεταλλική ράβδο κατά µιά τυχαία χρονική στιγµή t που η ταχύτητά της είναι

�

! v , η δε αντίστοιχη µετατόπισή της πάνω στα σύρµα

τα είναι x. Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου υπάρχει επαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (30), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: Eεπ = Bsv (1)

Σχήµα 30 H Eεπ δηµιουργεί στο κύκλωµα ΚA1A2ΛΚ ρεύµα αυξανόµενης έντασης, µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα ανταποκρίνεται στον κανόνα του Lenz (σχ. 30) η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση:

Eαυτ = L(dI/dt) (2) όπου dI/dt η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος κατά τη χρονική στιγµή που εξετάζουµε το κύκλωµα. Eφαρµόζοντας τη στιγµή αυτή στο κύκλωµα το δεύτερο κανόνα του Kirchoff, παίρνουµε τη σχέση:

E - E!"#

= 0

�

!

(1),(2)

�

Bsv - LdI

dt

!

" #

$

% & = 0 !

�

LdI

dt

!

" #

$

% & = Bsv !

�

LdI

dt

!

" #

$

% & = Bs

dx

dt

!

" #

$

% & !

�

LdI = Bsdx !

�

dI =Bsdx

L (3)

όπου dI η στοιχειώδης µεταβολή της έντασης του ρεύµατος στον στοιχειώδη χρόνο dt, που θεωρείται µετά από την στιγµή t και dx η αντίστοιχη στοιχει ώδης µετατόπιση της ράβδου. Όµως η µεταβολή I-0 της έντασης του ρεύµα τος στην διάρκεια του χρόνου t, είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχει ωδών µεταβολών dI1, dI2,...dIn της έντασης του ρεύµατος, οι οποίες αντιστοι χούν στα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1, dt2,...dtn στα οποία διαµερίζεται ο χρόνος t. Έτσι θα έχουµε τη σχέση:

�

I - 0 = (dI)0

t

! !(3)

�

I =Bsdx

L

!

" #

$

% &

0

t

' =Bs

L(dx)

0

t

' =Bsx

L (4)

δηλαδή η ένταση I του ρεύµατος στο κύκλωµα, είναι ανάλογη της µετατόπισης x της ράβδου. ii) Eφαρµόζοντας εξάλλου για το όλο σύστηµα κατά τον χρόνο t, την αρχή διατήρησης της ενέργειας, παίρνουµε τη σχέση:

WF =

mv2

2+

LI2

2 !

Fx =

mv2

2+

LI2

2 !

(4)

�

2Fx = mv2+

LB2s

2x

2

L2

!

�

2FLx = mLv2+ B

2s

2x

2 !

�

B2s

2x

2- 2FLx + mLv

2= 0 (5)

όπου WF το αντίστοιχο έργο της

�

! F . H σχέση (5) είναι µιά εξίσωση δεύτερου

βαθµού ως προς x και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή η διακρί νουσά της πρέπει να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει:

�

4F2L

2- 4B

2s

2mLv

2! 0 !

�

F2L ! B

2s

2mv

2 !

�

v2!

F2L

B2s

2m

!

�

v !F

Bs

L

m !

�

vmax

=F

Bs

L

m (6)

Όταν όµως συµβεί v=vmax, τότε η (5) θα έχει µιά διπλή ρίζα x*, η οποία δίνεται από τη σχέση:

�

x!=

- (-2FL)

2B2s

2=

FL

B2s

2 (7)

Tότε, η αντίστοιχη τιµή I* της έντασης του ρεύµατος, σύµφωνα µε τη σχέση (4) θα είναι:

�

I!=

Bs

L

FL

B2s

2=

F

Bs (8)

Παρατήρηση: H σχέση (5) γράφεται:

�

v2=

2Fx

m-B

2s

2x

2

mL !

�

v =x

m2F -

B2s

2x

L

!

" #

$

% & (9)

Aπό την (9) προκύπτει ότι, η ταχύτητα της ράβδου ΚΛ είναι µηδέν τη χρονική στιγµή t=0 που η µετατόπισή της είναι x=0 καθώς και τη χρονική στιγµή t=t0, που η αντίστοιχη µετατόπισή της x0 ικανοποιεί τη σχέση

�

2F -B

2s

2x

0

L= 0 !

�

x0=

2FL

B2s

2 !

(7)

x0= 2x

!

Έτσι από τη στιγµή t=0 µέχρι τη στιγµή t* η ράβδος ΚΛ θα επιταχύνεται (F>FL), ενώ από τη στιγµή t* εως τη t0 θα επιβραδύνεται (F<FL). Aπό τη στιγµή t0 και µετά η ράβδος ΓΔ θα κινείται προς την αρχική της θέση, όπου θα φθάσει µε µηδενική ταχύτητα και το φαινόµενο θα επαναλαµβάνεται εξ’ αρχής, υπό την προϋπόθεση φυσικά ότι, η δύναµη

�

! F θα συνεχίζει να ενεργεί επί της ράβ

δου. P.M. fysikos

Iδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L και συνδέεται µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος, αµελητέας εσωτερι κής αντίστασης και ηλεκτρεγερτικής δύναµης E, µέσω διακόπτη Δ. i) Nα εκφράσετε την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, σε συνάρτηση µε το χρόνο. ii) Πόση ηλεκτρική ενέργεια παρέχει η γεννήτρια σε ορισµένο χρόνο t* και σε ποιά µορφή ενέργειας µετατρέπεται η ενέργεια αυτή; ΛYΣH: i) Oταν κλείσει ο διακόπτης Δ η ένταση I του ρεύµατος στο κύκλωµα αυξάνεται από την τιµή µηδέν προς το άπειρο, µε αποτέλεσµα να παράγεται στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ., η οποία σύµφωνα µε τον κανόνα του Lenz έχει τέτοια πολικότητα, ώστε να αντιστέκεται στην αύξηση)

Σχήµα 31

της έντασης (σχήµα 31) η δε τιµή της είναι ίση µε L(dI/dt), όπου dI/dt η ταχύ τητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα, κατά τη χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. Eφαρµόζοντας τη στιγµή αυτή στο κύκλωµα το δεύτερο κανόνα του Kirchoff έχουµε:

E - E!"#

= 0 !

E - LdI

dt

!

" #

$

% & = 0 (1

Aπό τη σχέση (1) παρατηρούµε ότι, η ταχύτητα µε την οποία αυξάνει η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι η ένταση I αυξάνει γραµµικά µε τον χρόνο, δηλαδή ισχύει:

I - 0

t=

E

L !

I =E t

L (2)

ii) H ενέργεια W* που παρέχει η γεννήτρια σε χρόνο t*, µετατρέπεται εξ’ ολοκ λήρου σε ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου, αφού αυτό δεν έχει ωµική αντίσταση. Έτσι θα έχουµε τη σχέση:

W

!= W

L=

LI*

2

2 !

(2)

W

!=

LE2t*

2

2L2

=

E2t*

2

2L

P.M. fysikos

Oι άκρες µη ιδανικού πηνίου συνδέονται µε τους πόλους µιας γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος αµελητέας εσωτερικής αντίσστασης, µέσω ενός διακόπτη Δ. Eάν αµέσως µετά το κλείσιµο του διακόπτη η ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι (dI/dt)0 = 20 A/s, να βρεθεί η ταχύτητα µεταβολής της έντασης την στιγµή που ο ρυθµός αποθήκευσης ενέργειας στο µαγνη τικό πεδίο του πηνίου είναι ίσος µε τον ρυθµό έκλυσης θερµότητας Joule στην ωµική του αντίσταση. ΛYΣH: Όταν κλείσει ο διακόπτης Δ η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα αυξά νεται από την τιµή µηδέν στην τιµή E/Rπ που προβλέπει ο νόµος του Ohm, όπου E η ηλεκτρεγερτική δύναµη της γεννήτριας και Rπ η ωµική αντίσταση των σπειρών του πηνίου. H αύξηση της έντασης του ρεύµατος δηµιουργεί στις σπείρες του πηνίου αντεπαγωγική H.E.Δ, η οποία έχει τέτοια πολικότητα, ώστε να "φρενάρει" την αύξηση αυτή (κανόνας του Lenz) η δε τιµή της υπολογίζε ται από το νόµο της αντεπαγωγής, δηλαδή από τη σχέση: Eαυτ = L(dI/dt) (1)

Σχήµα 32 όπου L ο συντελεστής αντεπαγωγής του πηνίου και dI/dt η ταχύτητα µεταβο λής της έντασης του ρεύµατος στο πηνίο. Eφαρµόζοντας στο κύκλωµα το δεύ τερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση:

E - E!"#

= IR$

(1)

!

E - LdI

dt= IR

! (2)

όπου I η ένταση του ρεύµατος κατά τη στιγµή που εξετάζουµε το κύκλωµα. Eφαρµόζοντας τη σχέση (2) κατά τη στιγµή t=0 έχουµε:

E - LdI

dt

!

" #

$

% &

0

= 0'R! !

E = LdI

dt

!

" #

$

% &

0

(3)

Eφαρµόζοντας την ίδια σχέση τη χρονική στιγµή t* που ο ρυθµός αποθήκευσης ενέργειας στο µαγνητικό πεδίο του πηνίου είναι ίσος µε τον ρυθµό έκλυσης θερµότητας Joule στην ωµική του αντίσταση, παίρνουµε τη σχέση:

E - LdI

dt

!

" #

$

% &

*

= I*R (4)

όπου I* η ένταση του ρεύµατος κατά τη στιγµή αυτή και (dI/dt)* ο αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της έντασης. Eξάλλου, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, την χρονική στιγµή t* η ισχύς EI* της γεννήτριας είναι ίση µε το άθροισµα του ρυθµού Pµ αποθήκευσης ενέργειας στο µαγνητικό πεδίο του πηνίου και του ρυθµού PQ έκλυσης θερµότητας Joule στην αντίσταση Rπ, δηλα δή ισχύει η σχέση:

EI* = Pµ + PQ !

EI* = PQ + PQ = 2PQ !

EI

*= 2I

*

2R

! ! I* = 2E/R

! (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

E - LdI

dt

!

" #

$

% &

*

=ER

!

2R!

!

LdI

dt

!

" #

$

% &

*

=E

2

(3)

!

LdI

dt

!

" #

$

% &

*

=1

2L

dI

dt

!

" #

$

% &

0

!

dI

dt

!

" #

$

% &

*

=1

2

dI

dt

!

" #

$

% &

0

= 10 A/s

Δίνεται η ηλεκτρική διάταξη του σχήµατος (33), στην οποία η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτική δύ ναµη E και αµελητέα εσωτερική αντίσταση, το δε πηνίο είναι ιδανικό µε συντελεστή αυτεπαγωγής L. i) Nα βρείτε την ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο πηνίο τη στιγµή που η ένταση σ' αυτό αποτελεί το µισό της τελικής τιµής που αποκτά, µετά το κλείσιµο του διακόπτη Δ. ii) Όταν τα ρεύµατα στους τρεις κλάδους του κυκλώµατος λάβουν τις τελικές τους εντάσεις ανοίγουµε το διακόπτη Δ. Mετά το άνοιγµα του διακόπτη η διαφορά δυναµικού VA-VB διατηρεί την ίδια πολικότητα

που είχε πριν το άνοιγµα του διακόπτη; Nα συγκρίνετε την ένταση του ρεύµατος στον αντιστάτη 2R αµέσως µετά το άνοιγµα του διακόπ τη µε την ένταση του ρεύµατος λίγο πριν το άνοιγµά του. iii) Nα συγκρίνετε τις θερµότητες Joule, που ελευθερώνουν οι δύο αντιστάτες του κυκλώµατος, µετά το άνοιγµα του διακόπτη Δ. ΛYΣH: i) Mε το κλείσιµο του διακόπτη Δ η ένταση του ρεύµατος στον κλάδο L-R αυξάνεται σταδιακά από την τιµή µηδέν προς την τιµή E/R, µε αποτέλεσ µα να δηµιουργείται στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ, της οποίας η πολικότητα εµποδίζει την αύξηση της έντασης του ρεύµατος (κανόνας του Lenz), η δε τιµή της καθορίζεται από το νόµο της αυτεπαγωγής, δηλαδή από τη σχέση: Eαυτ = L(dI1/dt) (1) όπου dI1/dt η ταχύτητα µεταβολής της έντασης I1 του ρεύµατος που διαρρέει τον κλάδο του πηνίου. Eξάλλου το ρεύµα στον κλάδο 2R αποκαθίσταται αµέ

Σχήµα 33 σως µετά το κλείσιµο του διακόπτη στην τελική του ένταση I2=E/2R διότι στον κλάδο αυτό δεν συµβαίνει φαινόµενο αυτεπαγωγής. Kάθε στιγµή η τάση E στους πόλους της γεννήτριας είναι ίση µε την τάση στις άκρες του κλάδου L-R, δηλαδή ισχύει η σχέση:

E = E!"#

+ I1R

(1)

!

E = LdI

1

dt+ I

1R (2)

H σχέση (2) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t* που ισχύει I1=E/2R δίνει:

E = LdI

1

dt

!

" #

$

% &

*

+ER

2R !

LdI

1

dt

!

" #

$

% &

*

=E

2 !

dI1

dt

!

" #

$

% &

*

=E

2L (3)

όπου (dI1/dt)* η ζητούµενη ταχύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο πηνίο. ii) Όταν ανοίξουµε τον διακόπτη Δ η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος τίθεται εκτός κυκλώµατος µε αποτέλεσµα η ένταση του ρεύµατος στον κλάδο L-R να τείνει προς το µηδέν εκ της τιµής E/R. H ελάττωση αυτή της έντασης δηµιουρ γεί στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα δια τηρεί το ρεύµα στο κλειστό κύκλωµα πηνίο-αντιστάτης R-αντιστάτης 2R, µέχ

ρις ότου η έντασή του I µηδενιστεί σταδιακά (σχ. 34). Παρατηρούµε ότι η φορά του ρεύµατος στον αντιστάτη 2R είναι αντίθετη της φοράς του ρεύµατος που κυκλο φορούσε σ' αυτόν πριν το άνοιγµα του διακόπτη, γεγονός που σηµαίνει ότι η πολικότητα της τάσης VA-VB πριν το άνοιγµα του διακόπτη είναι αντίθε τη, µετά το άνοιγµά του. Eξάλλου λίγο πριν το άνοιγµα του διακόπτη ο αντι

Σχήµα 34 στάτης 2R διαρρεόταν από ρεύµα έντασης I2 = E/2R, ενώ αµέσως µετά το άνοιγ µα διαρρέεται µε το ίδιο ρεύµα που διαρρέει τον κλάδο L-R, δηλαδή µε ρεύµα έντασης I=-E/R, που σηµαίνει ότι αµέσως µετά το άνοιγµα του διακόπτη το ρεύµα στον αντιστάτη 2R αλλάζει συµβατική φορά η δε έντασή του διπλασιάζε ται. Aυτή η απότοµη µεταβολή της έντασης του ρεύµατος στον αντιστάτη 2R είναι επιτρεπτή, διότι απουσιάζει το φαινόµενο αυτεπαγωγής. iii) Mε το άνοιγµα του διακόπτη Δ κυκλοφορεί στο κλειστό κύκλωµα του πηνίου και των δύο αντιστατών ρεύµα που η έντασή του µειώνεται σταδιακά από την τιµή E/R στην τιµή µηδέν, µε αποτέλεσµα οι δύο αντιστάτες να ελευθερώνουν θερµότητα Joule. Eάν Q1, Q2 είναι οι θερµόητες Joule που ελευ θερώνουν οι αντιστάτες R και 2R αντιστοίχως θα ισχύουν οι σχέσεις:*

�

Q1 = !(dQ1) = !(I2Rdt) = R!(I2dt)

Q2 = !(dQ2) = !(I22Rdt) = 2R!(I2dt)

"

#

$

(: )

!

Q1

Q2

=R

2R ! Q2 = 2Q1

P.M. fysikos

------------------------------ * Oι θερµότητες Q1, Q2 υπολογίστηκαν ως αθροίσµατα στοιχειωδών θερµοτήτων Joule, διότι η ένταση I του ρεύµατος που διαρρέει τους δύο αντιστάτες ελαττώνεται χρονικά, οπότε για τις θερµότητες αυτές δεν ισχύει ο νόµος του Joule, ο οποίος απαιτεί σταθερή ένταση ρεύµατος.