NAIZMJENIČNE STRUJE I NAPONI

U praktičnoj primjeni, dominantni značaj imaju električne struje i naponi čije se karakteristične veličine mjenjaju po sinosoidalnom zakonu. Često se nazivaju i naizmjenične struje i naizmjenični naponi. Od niza električnih uređaja istaknimo veliku upotrebu onih koji proizvode ili pretvaraju naizmjeničnu električnu energiju (generatori, elektromotori, transformatori i dr.)

OSNOVNI POJMOVI I KARAKTERISTIKE NAIZMJENIČNIH

STRUJA I NAPONA

Na slici je prikazan vremenski tok naizmjenične sinosoidalne struje koja ima harmonijski karakter sa ciklusom T

Broj kompletnih promjena ili ciklusa (T) u jednoj sekundi definira

frekvenciju (učestalost) pojave koja se obilježava sa f.

Na osnovu navedene definicije može se uspostaviti veza između

frekvencije i periode naizmjenične električne struje

Jedinica za frekvenciju u SI sistemu je herz i obilježava se sa Hz. Ovo

je izvedena jedinica koja se dobije iz:

Jedan herz pretstavlja frekvenciju periodične struje, čija je perioda

jednaka jednoj sekundi.

Treba istaći da je opseg ovih frekvencija veoma širok:

-elektroenergetske mreže f = 50 Hz u Europi dok Amerika koristi

f = 60 Hz;

-akustika, f = 20-20 000 Hz;

-radio difuzno područje f > 100 kHz – 1 000 MHz;

-područje televizijskih signala f = 47 MHz – 900 MHz;

-područje satelitskih veza (signala) f = 4,5 GHz do 25 GHz;

-postoji čitav niz frekvencijskih opsega kojima se koriste značajni

subjekti i djelatnosti (vazdušni saobraćaj, PTT veze, pomorski

saobraćaj, radarski uređaji i dr.)

.1

Tf =

[ ] [ ] [ ] .111 1 HzssT

f ==

=

= −

Karakteristične vrijednosti sinusne veličine prikazane na slici su trenutna vrijednost, npr. u tačkici, koja može poprimiti različite vrijednosti po znaku i veličini, i maksimalna veličina (Im) koja se naziva još i amplituda.

Matematički izraz za prikazanu naizmjeničku struju je: i (t) = Im sin (ωt + Ψ i)

Vremenski tok struje i(t) a); ugaoni tok struje i(t) b)

Da bi pokazali vezu između vremenskog i ugaonog predstavljanja naizmjenične veličine (t i ωt), pretpostavimo da je sinosodalna veličina data jednadžbom.Komprirajući dijagrame a) i b) sa slike može se uočiti:- da je karakter promjene isti;- da se jedina razlika odnosi na prirodu apscise (u slučaju a) je

vremenskog, a u slučaju b) je ugaonog karaktera);- prelaz iz jednog u drugi dijagram je jednostavan i ostvaruje se

množenjem, odnosno dijeljenjem veličinom ω , dok se promjene duž ordinate zadržavaju i u jednom i u drugom slučaju u istom obliku.

Iz izraza i (t) = Im sin (ωt + Ψ i) slijedi da je α i(t) = ωt + ψ i koji pretstavlja trenutni fazni ugao naizmjenične struje. Ovaj ugao (α i(t)) naziva se i fazom naizmjenične veličine. Posebno je interesantan trenutak kada faza naizmjenične veličine ima vrijednost koja odgovara trenutku t = 0 (tačka a). Tada jeα i(t=0) = ω ⋅ o + ψ i = ψ igdje je ψ i vrijednost faze u trenutku t = 0. Ovom trenutku odgovara neka trenutna vrijednost naizmjenične struje

.1

Tf =

Brzina kojom će se obavljati prolaz kroz ove vrijednosti odgovara brzini

promjene trenutne faze (α) u vremenu

gdje ω pretstavlja ugaonu brzinu ili kružnu frekvenciju, čija je jedinica

radijan u sekundi (rad/sek).

Uspostavljanjem veze između definicije periodičnosti sinusne funkcije

(2π) i funkcije koja definira trenutni oblik naizmjenične veličine (struje)

dolazi se do izraza ωT = 2π , što onda daje vezu između kružne

frekvencije i periode iz čega slijedi da je ω = 2π f .

Na osnovu dosad uvedenih pojmova naizmjeničnih veličina, stvoreni su

uslovi za predstavljanje analitičkih oblika trenutnih vrijednosti napona i

struje: u(t) = Um sin (ωt + θ)

i(t) = Im sin (ωt + ψ)

čiji su tokovi predstavljeni na slici

dt

td )(αω =

.2

T

πω =

Tokovi u(t) i i(t) naizmjeničnih veličina

• Grafičkim prikazom funkcija i(t) i u(t) za različite početne faze ψ i θ , brzo bi se došlo do zaključka da su ove dvije krivulje pomaknute međusobno, odnosno da su njihovi prolazi kroz karakteristične tačka (nula, maksimalna vrijednost i dr.) uvijek fazno pomaknuti za isti ugao.

• Ovo navodi na zaključak da dvije naizmjenične veličine istog ili različitog karaktera, koje se mjenjaju istom frekvencijom, karakterizira razlika trenutnih faza u svakom trenutku, koja je konstantnog iznosa, te u skladu s time jednaka je iznosu razlike faza u trenutku t = 0. Dakle, za dvije naizmjenične veličine iste frekvencije f, fazna razlika (razlika trenutnih faza) jednaka je razlici početnih faza ovih veličina.

• Fazna razlika između napona u(t) i struje i(t), datih izrazima može se izraziti u obliku:ϕ (t) = αu(t) -α i(t) = (ωt + θ) - = (ωt + ψ) .

• Uređivanjem izraza dobije se da je fazna razlika ove dvije veličine ϕ(t) = θ - ψ , odnosno ϕ= θ - ψ .

• Očigledno je da je za navedeni primjer gdje je θ > ψ ugao ϕ pozitivan, što je indikacija da napon u(t) fazno prednjači struji i(t). Prednjačenje jedne naizmjenične veličine u odnosu na drugu podrazumjeva da je ona veličina, koja prednjači, pomaknuta na lijevu stranu u odnosu na onu veličinu s kojom se fazno komparira.

• Za slučaj kada je θ < ψ , to jest kada je napon u(t) u odnosu na struju i(t) pomaknut u desno, slijedi da napon fazno zaostaje za posmatranom strujom, odnosno da struja prednjači naponu.

• Treći karakterisitčni slučaj koji može nastati je θ = ψ . U tom slučaju kažemo da su struja i(t) i napon u(t) u fazi (ϕ = 0).

• U praksi se vrlo često javlja potreba faznog poređenja više naizmjeničnih veličina. pri tome se može jedna veličina odabrati kao referentna a fazni pomak ostalih naizmjeničnih veličina se prikazuje prema njoj.

KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI NAIZMJENIČNIHSTRUJA I NAPONA

Za sinosoidalnu veličinu je karakteristično da u svakoj poluperiodi mora nastupiti barem jedan trenutak u kojem je jedna trenutna vrijednost veća od svih ostalih. Ta najveća trenutna vrijednost se naziva maksimalna vrijednost ili amplituda i u prethodnom izrazu je označena sa Im.Ta vrijednost naizmjenične veličine obično traje beskonačno kratko vrijeme tako da ima praktičnu važnost samo za neke specijalne slučajeve. Međutim, u svakodnevnom životu mnogo je važnije poznavati neku srednju vrijednost naizmjenične veličine, dakle onu prosječnu vrijednost napona ili struje koja bi u strujnom krugu izvršila jednaku radnju kao dotična naizmjenična veličina. U praksi se pojavljuje potreba za dvije prosječne - ugrađene vrijednosti: efektivna vrijednost i srednja vrijednost naizmjenične veličine. Pod efektivnom vrijednošću I neke naizmjenične struje podrazumijeva se ona ekvivalentna istosmjerna struja koja u jednoj periodi T stvara u otporu R istu količinu topline kao i data naizmjenična struja. Matematski se to može prikazati u obliku:

gdje je I efektivna vrijednost struje

dttIRdttIRTIRT

om

T

oω2222 sin)( ∫∫ ==

Iz prethodnog izraza slijedi da je efektivna vrijednost struje

Analogno vrijedi da je efektivna vrijednost naizmjeničnog napona

Koristeći izvedene odnose efektivnih i maksimalnih vrijednosti trenutne vrijednosti naizmjeničnog napona i struje možemo izraziti i pomoću efektivnih vrijednosti u obliku:

gdje je U – efektivna vrijednost naizmjeničnog napona U(t), a I- efektivna vrijednost naizmjenične struje I(t).

mm

T

om

T

om

II

dttTT

IdttIT

I

707,02

2sin

1sin

1 222

==

=== ∫∫πω

.2mUU =

)(sin2)(

sin2)(

ϕωω

±=

=

tItI

tUtU

Neke naizmjenične veličine kao što su npr. električni naboj ili magnetski

tok ne prikazujemo efektivnim nego u srednjim vrijednostima. Srednja

vrijednost naizmjeničnih sinosoidalnih veličina je jednaka nuli ako se

računa za čitavu periodu T. Stoga srednju vrijednost obično računamo

za interval T/2. Srednju vrijednost definiramo kao onu konstantnu

vrijednost koja u intervalu T/2 sa apscisnom osi određuje istu površinu

kao i naizmjenična veličina. Na primjeru sinosoidalne struje se to može

matematski prikazati u obliku

gdje je Is – srednja vrijednost.

Iz izraza slijedi da je

∫=2/

sin2

T

oms dttI

TI ω

.6366,02

2sin

2sin

2 2/2/

mm

T

o

mT

oms

II

dttTT

IdttI

TI

==

== ∫∫

π

πω

Izrazimo li srednju vrijednost pomoću efektivne dobijemo da je

Analogno prethodnom izrazu možemo prikazati srednju vrijednost

naizmjeničnog napona u obliku

Srednje vrijednosti naizmjeničnog napona i struje se najviše koriste u

ispravljačkoj tehnici.

PREDSTAVLJANJE NAIZMJENIČNIH VELIČINA RADIJVEKTORIMA

U elektrotehničkoj praksi se često javlja potreba sabiranja i oduzimanja

sinsoidalnih veličina iste frekvencije ali često različitih amplituda i

faznog pomaka. Sabiranje i oduzimanje sinosoidalnih veličina kod

korištenja izraza za trenutne vrijednosti je veoma nezgodno i

nepregledno.

.9,022

III s == π

.2

ms UUπ

=

Vrlo praktičnom se pokazala metoda kod koje se sinosoidalne veličine

pretstavljaju rotirajućim radijvektorima. Sinosoidalnu veličinu možemo

grafički pretstaviti rotirajućim radijvektorom na način kako je to prikazano na slici. Radijvektor se vrti konstantnom brzinom ω u smjeru suprotno vrtnji kazaljke na satu.

Prikaz pretstavljanja naizmjeničnog sinosoidalnog napona rotirajućim

radijvektorom

Fazni pomak ϕ između dvije sinusne veličine može se odrediti iz

njihovog vektorskog dijagrama na načinu kako je to prikazano na slici

Vidimo da je fazni pomak ϕ između dvije sinosoidalne

veličine I1 i I2 jednak uglu što ga zatvaraju radjvektori tih

veličina kod ω t = 0. Pošto se radijvektori dviju

sinosoidalnih veličina iste frekvencije vrte istom kutnom brzinom ω,

njihov međusobni položaj ostaje nepromjenjen i kod vrtnje

Dakle, ako se radi o veličinama, koje se vremenski mijenjaju po zakonu sinusa, možemo ih zamijeniti radijvektorima koji miruju. U pravilu crtamo vektorske dijagrame za trenutak ω t = 0.Prednosti korištenja vektorskog predstavljanja sinosoidalnih veličina ilustrirat ćemo primjerom datim na slici

Prikaz postupka sabiranja naizmjeničnih veličina I1(t) i I2(t) koristeći njihove vektorske dijagrame

Sabiranje dviju naizmjeničnih veličina I1 i I2 obavljamo tako da najprije

nacrtamo njihove radijvektore za ω t = 0, a onda ih saberemo na način kako se zbrajaju vektori. Ako bi sinusne veličine I1 i I2 sabirali koristeći

njihove vremenske dijagrame onda bi morali sabirati njihove trenutne vrijednosti u svakom trenutku njihova perioda T. Vidimo da je metoda vektorskog računa suma sinosoidalnih veličina veoma jednostavna i pregledna, a omogućuje nam da izračunamo i amplitudu i fazni pomak rezultujuće sinosoidalne veličine.Radijvektore kod zbrajanja sinosoidalnih veličina ne moramo crtati tako da imaju izhodište u početku koordinatnog sistema. Da bi sabrali struje I1 i I2 možemo to grafički izvesti i na način kako je to prikazano na slici.

Na slikama su vektori nacrtani tako da vektor I1 prethodi vektoru I2.

Napomenimo još da su vremenski radijvektori sinusnih veličina napona i struja jako slični vektorima fizikalnih veličina (brzine, sile itd.) pa ih možemo rastavljati i na komponente. Pri tome vrijede svi zakoni kao kod vektora fizikalnih veličina.

Poseban prikaz zbrajanja vektorskih veličina U vektorskim dijagramima pretstavljene naizmjenične veličine su vektori amplituda. U praksi nas interesuju efektivne vrijednosti. One se razlikuju od amplitudnih vrijednosti samo sa puta manjim iznosima, pa se može prikaz naizmjeničnih sinosoidalnih veličina pretstaviti i vektorima efektivnih vrijednosti.Položaj vektora efektivnih vrijednosti ostalih veličina određuje se u odnosu na položaj referentnog vektora, a definiran je kutom faznog

pomaka ϕ .

PRETSTAVLJANJE SINOSOIDALNE VELIČINE KOMPLEKSNIM BROJEM

Pored skupa realnih brojeva, uveden je i skup imaginarnih brojeva. Pojam imaginarnog broja je uveden kao posljedica nemogućnoti zadovoljenja rješenja neke jednadžbe raspoloživim jednadžbama x2 = - 4 ima jedno rješenje , koje očigledno nije realan broj,

jer predstavlja imaginarnu jedinicu, te na taj način rješenje jednadžbe pretstavlja imaginarni broj. U opštem slučaju, imaginarni

broj može se pretstaviti u obliku jb, gdje b pretstavlja realni broj, a

imaginarnu jedinicu.Skup realnih brojeva a je raspoređen duž realne ose, dok je skup imaginarnih brojeva raspoređen duž imaginarne ose.Duž ovih se mogu vršiti sabiranja i oduzimanja realnih, odnosno imaginarnih brojeva. Naravno, pri ovom se misli da se operacije sa realnim brojevima vrše duž realne ose, a sa imaginarnim duž imaginarne ose.

12 −=xj=−1

1−j

U slučaju kada se radi o broju a + jb, tada za grafička pretstavljanja ovog broja nije dovoljna jedna osa već se zato mora koristiti ravan. U tom smislu, svaki broj koji sadrži realni i imaginarni dio naziva se kompleksnim brojem, a ravan u kojoj se ovi brojevi pretstavljaju naziva se kompleksna ravan.Kompleksni broj označavati crtom iznad slova. Tako, na primjer, neki kompleksni broj Z može se izraziti kao

jbaZ +=

gdje su:Kompleksni broj može se pretstaviti u kompleksnoj ravni tačkom kako je to prikazano na slici

Kompleksni broj se može prikazati u eksponencijalnom obliku:

Razvijanjem eksponencijalne funkcije ejα, odnosno korištenjem

Ojlerovog obrasca ejα = cos α + j sin α ,dobije se trigonometrijski

oblik kompleksnog broja

.1,,Re −=== jZIbZa m

αjeZZ ⋅=

.sincos αα jZZ +=

Ovaj prikaz se može dobiti korištenjem slike, jer je modul vektora dužina potega koji ide iz koordinatnog početka do tačke koja pripada kompleksnom broju a argumentPrelaz iz jednog u drugi oblik kompleksnog broja je vrlo jednostavan, te se pri računanju koristi onaj oblik koji je datu operaciju najpogodniji. Karakteristične osobine kompleksnih brojeva su:1. Kompleksni broj je konjugovano kompleksan broju Za neku naizmjeničnu veličinu, na primjer, struju kroz granu kruga, čiji je trenutni oblik uvodi se kompleksna predstava u obliku kompleksnog broja gdje je Dakle, za svaku sinosoidalnu veličinu moguće je naći kompleksnog predstavnika na način na koji je to prikazano za struju u prethodnom primjeru

ZZ =

,22 baZ += .a

barctg=α

( )ψω += tIti m sin)(tj

m eIω ψj

m eII ⋅=

jbaZ −=jbaZ +=

Često se umjesto kompleksne amplitude sinusne veličine uvodi

kompleksna efektivna vrijednost veličine

Iz datog kompleksnog prikaza neke sinosoidalne veličine moguće je

odrediti trenutni oblik veličine. Tako, na primjer, iz kompleksnog prikaza

električne struje trenutni oblik može se odrediti nalaženjem

njegovog imaginarnog dijela

Razvijanjem izraza u zagradi dobije se da je

Imaginarni dio kompleksnog broja

je jednak tenutnoj vrijednosti struje

Na sličan način se daje kompleksna predstava za naizmjenične

naponske veličine.

Napon između dvije tačke u električnom krugu može se pretstaviti u

trenutnom obliku:

Kompleksna pretstava ove veličine je oblika gdje

predstavlja kompleksnu amplitudu napona

.ψjeII −⋅=

tjeI ω

.Im)( tjm eIdioagti ω⋅⋅=

( ) ( ) .sincos)( ψωψωψωω +++== + tIjtIeIeI mmtj

mtj

m

( ) ( )ψωψω +++ tIjtI mm sincos( ) .sin)( ψω += tIti m

( )OtUtu m += ωsin)(tj

m eU ω Ojmm eUU ⋅=

KARAKTERISTIKE OTPORA POTROŠAČA U NAIZMJENIČNIM STRUJNIM KRUGOVIMA

Potrošači u krugovima naizmjenične struje mogu imati karakteristiku

radnog otpora R, induktivnog otpora XL, kapacititnog otpora Xc i njihove

različite kombinacije.

POTROŠAČ SA RADNIM OTPOROM U NAIZMJENIČNOM

STRUJNOM KRUGU Poznato je da svaki vodič određenih dimenzija i izrađen od nekog

određenog materijala posjeduje električni otpor R koji je dat izrazom

To je tzv. omski otpor vodiča. Ako kroz vodič teče

istosmjerna struja, ona će se raspodjeliti potpuno jednoliko po

njegovom čitavom presjeku S. Međutim, ako kroz vodič protiče

naizmjenična struja, usljed pojave skin-efekta (pojava potiskivanja

struje prema površini vodiča), doći će do neravnomjerne raspodjele

struje po presjeku vodiča. Ta raspodjela struje je takva da će struja teći

uglavnom njegovim površinskim dijelom. Djelovanjem skin-efekta je

takvo kao da se smanjio aktivni presjek vodiča.

( ) .Ω=S

Rρ

Pretpostavimo da smo na izvor sinosoidalnog naizmjeničnog napona

U(t) = Um sin ω t priključili potrošač, koji posjeduje jedino radni otpor

R. Kroz otpor R će poteći struja čija je trenutna vrijednost data izrazom

gdje je ili

Iz izraza se može zaključiti da sinosoidalni narinuti napon U(t)

potjera kroz radni otpor R struju I(t) koja je također sinosoidalna.

Efektivna vrijednost struje I koja teče kroz potrošač je data odnosom

efektivne vrijednosti napona potrošača i njegovog radnog otpora. Izraz

ima oblik Ohmova zakona jednostavnog strujnog kruga. To je još jedna

prednost uvođenja efektivne veličine naizmjeničnog napona i struje.

Iz vremenskih tokova U(t) i I(t) datih na slici se vidi da su napon i struja

u fazi (ϕ = 0). Može se dakle zaključiti da se pri opterećenju radnim

otporom R naizmjenični strujni krug vlada kao i istosmjerni. Znači za

takav naizmjenični strujni krug vrijede Ohmov i II Kirchhoffov zakon u

istom obliku kao kod istosmjernog kruga tj. UR = I R;U = UR = I R

gdje UR – znači pad napona na otporu R.

tItR

U

R

tUtI m

m ωω sinsin)(

)( ===R

UI mm =

R

UI =

Veličine I, U i UR se mogu prikazati vektorski na način dat na slici

Naizmjenični strujni krug sa potrošačem karaktera radnog otpora R a); Vremenski tokovi U(t) i I(t) b); Vektorski dijagram napona i struje c)

POTROŠAČ SA INDUKTIVNIM OTPOROM U NAIZMJENIČNOM STRUJNOM KRUGU

Neka je sinosoidalni naizmjenični napon U(t) = Um sin ω t narinut na idealnu zavojnicu konstantnog induktiviteta L, kroz zavojnicu će proteći struja I(t).

Naizmjenični strujni krug sa idealnom zavojnicom induktiviteta L a):Vremenski tokovi U(t) i I(t) strujnog kruga induktiviteta L b): Vektorski dijagrami U i I navedenog strujnog kruga c)

Da bi odredili zakonitost promjene struje I(t) pođimo od poznatog izraza o indukovanom naponuIz izraza uz uslov da je I(o)= 0, slijedi da jeProvedbom integracije gornjeg izraza dobije se da je:

Uočava se da je i u ovom slučaju struja I(t) opet sinosoidalnog karaktera toka, ali sa kašnjenjem u odnosu na napon za 90º Maksimalna Im i efektivna I vrijednost struje I(t) su:

U izrazima ω L je veličina, koja pretstavlja otpor toku struje. Taj otpor je

tzv. induktivni otpor. Označimo li ga sa XL, onda se može pisati da je

XL = ω L = 2π f L

Induktivni otpor često se naziva i indktivnom reaktancijom. Njegova veličina je ovisna o frekvenciji narinutog napona. Što je veća frekvencija narinutog napona, idealna zavojnica određenog induktivniteta L suprostavlja se većim otporom toku struje.

dt

tdILtU

)()( =

∫∫ == .sin1

)(1

)( tdtUL

dttUL

tI m ω

.2

sincoscos)(

−−=−=−= πωωω

ωtItIt

L

UtI mm

m

L

UI mm ω

= .L

UI

ω=

Za istosmjernu struju idealna zavojnica ne pretstavlja nikakav otpor.

Kod realnih zavojnica, koje pored induktiviteta imaju i radni otpor R.

Efektivna vrijednost pada napona na induktivitetu L je dat izrazom

UL = I X

gdje je I efektivna vrijednost naizmjenične struje koja teče kroz

zavojnicu induktiviteta L.

Primjenom II Kirchhoffova zakona dobije se odnos između napona

U i pada napona na induktivitetu UL u obliku

POTROŠAČ U VIDU KONDENZATORA U NAIZMJENIČNOM STRUJNOM KRUGU

Često u naizmjeničnim strujnim krugovima imamo kondenzatore. Kod

istosmjernog izvora napona u strujnom krugu ne bi tekla struja I. To

znači da kondenzator pruža istosmjernoj struji beskonačno veliki otpor.

Kod naizmjeničnog napona bi u strujnom krugu potekla struja I(t).

.XIjLIjUU L === ω

U bilo kojem trenutku vrijedi da je:

Uočava se da je i u ovom slučaju struja I(t) sinosoidalnog karaktera

toka, ali sa prednjačenjem u odnosu na napon za 90º .

Maksimalna Im i efektivna I vrijednost struje

I(t) su:Im = Um ω C ;I = U ω C

Recipročna vrijednost ω C je veličina koja pretstavlja otpor toku struje

kroz kondenzator. Taj otpor se naziva kapacitivni otpor. Označimo li ga

sa Xc , onda se može pisati da je

Pad napona na ondenzatoru UC je dat izrazom:

.2

sincoscos

)sin()()()(

+===

====

πωωωω

ω

tItItUC

dt

tUdC

dt

tdUC

dt

tdQtI

mmm

m

.2

11

CfCX c πω

==

.2 Cf

Ij

C

IjXIjU CC πω

===

Prema II Kirchhoffovom zakonu dobije se da je:

gdje je U napon naizmjenične mreže na koju je priključen kondenzator

kapaciteta C.

Naizmjenični strujni krug sa kapacitetom C a); Vremenski tokoviU(t) i

I(t) b); vektorski dijagrami U(t) i I(t) predstavljenog strujnog kruga c)

,CC XIjUU ==

STRUJNI KRUG SA POTROŠAČEM KOJI JE REALIZIRAN SERIJSKIM SPOJEM R i L

Strujni krug sa potrošačem realiziranim serijskim spojem R i L imamo kod realne zavojnice. Pad napona UR ima smjer vektora struje i veličinu

I R, pa ga možemo nacrtati kao što je to prikazano na slici . Pad

napona na induktivitetu UL ima veličinu I X = I ω L i prethodi prema

struji za 90º što u kompleksnom obliku znači množenje sa j. Primjenom II Kirchhoffova zakona dobije se da je

Naizmjenični strujni krug sa potrošačem izvedenim sa serijskim spojem R i L a); vektorski dijagram datog kruga b)

.LR UUU

+=

Prikažu li se vektori UR i UL izraza u kompleksnom obliku dobije se da

je Vidimo da je napon U geometrijska suma UR i UL i

da je njegova brojčana vrijednost data izrazom:Veličina Z u izrazu je tzv. ukupna ili prividna impedancija kruga, a određena je izrazom:Izraz U = I Z predstavlja opći oblik Ohmovog zakona za naizmjenični strujni krug.Iz vektorskog dijagrama datog na slici se vidi da struja I kasni za

naponom U. Mjera njenog kašnjenja je veličina ϕ .

Pri tome vrijedi da je Odatle slijedi da je

Vektorski dijagram otpora strujnog kruga sa potrošačem realiziranim od

serijskog spoja R i L

.XIjRIU

+=

.2222 ZIXRIUUU LR =+=+=

( ) .2 2222 LfRXRZ π+=+=

.R

L

U

Utg =ϕ .

R

L

U

Uarctg=ϕ

Ukupan otpor Z možemo prikazati i u kompleksnom obliku

Fazni pomak ϕ između napona i struje može se prikazati, koristeći vektorski

dijagram prikazan na slici i u ovom obliku odnosno

ϕ = arctg

Vidimo da je ϕ ovisan, kod ω = konst., od odnosa L i R strujnog kruga.

STRUJNI KRUG SA POTROŠAČEM KOJI JE REALIZIRAN SERIJSKIM SPOJEM R i C

Naizmjenični strujni krug sa potrošačem realiziranim serijskim spojem R i C prikazan je na slici

.XjRLjRZ +=+= ω

.R

Xtg =ϕ

.R

Larctg

R

X ω=

Primjenom II Kirchhoffova zakona na zadani strujni krug dobije se da je U izrazu je:UR = IR – pad napona na otporu R;

UC = I XC = - pad napona na kondenzatoru kapaciteta C;

U = I Z – efektivna vrijednost napona izvora naizmjeničnog napona.Brojčana vrijednost napona U je jednakaVeličina Z je data izrazom i predstavlja tzv. ukupni otpor zadanog strujnog kruga.Fazni pomak između napona U i struje I je jednak

Iz provedenog razmatranja je vidljivo da u slučaju serijskog spoja R i C napon

fazno zaostaje za strujom za ugao ϕ .

.CCR XIjRIUUU −=+=

C

I

ω

.2222 ZIXRIUUU CCR =+=+=22CXRZ +=

.1

CRarctg

R

Xarctg

U

Uarctg C

R

C

ωϕ −=−==

STRUJNI KRUG SA POTROŠAČEM KOJI JE REALIZIRAN SERIJSKIM SPOJEM R, L i C

Za opći primjer kada u strujnom krugu imamo serijski spojene omski,

induktivni i kapacitivni otpor, prema II Kirchhoffovom zakonu dobije se da

je

gdje je: U – efektivna vrijednost napona U(t);

UR = I R – pad napona na otporu R;

UL = I X – pad napona na induktivitetu L;

UC = I XC – pad napona na kondenzatoru C.

Strujni krug sa potrošačem koji je realiziran serijskim spojem R, L i C

CLR UUUU

++=

Na osnovu vektorskog dijagrama datog na slici dobije se da je:

U izrazu je i ima značenje ukupnog otpora strujnog kruga. Izraz predstavlja Ohmov zakon za promatrani naizmjenični

strujni krug. Fazni pomak između napona U i struje I je dat izrazom

Vektorski dijagrami napona i otpora naizmjeničnog strujnog kruga sa potrošačem koji je realiziran serijskim spojem R, L i C kod realno mogućih vrijednosti odnosa otpora induktiviteta XL i kapaciteta XC

( ) ( ) .2222 ZIXXRIUUUU CLCLR =−+=−+=

( ) 22CL XXRZ −+=

.R

XXarctg CL −=ϕ

Kod različitih odnosa otpora induktiviteta i kapaciteta XL i XC moguće je

ostvariti tri karakteristična stanja datog strujnog kruga prikazana vektorskim dijagramima:

• U slučaju kada je XL > XC razlika UL-UC, odnosno X-XC biti će veća od nule, Z će imati induktivan karakter, a struja I će kasniti za naponom mreže U za ugao ϕ .

• U slučaju kada je XL < XC tada je razlika UL-UC negativna, strujni krug će imati kapacitivan karakter tj. struja I će predhoditi vremenski naponu U.

• U slučaju kada je XL = XC, odnosno UL = UC, nastaje tzv. serijska ili naponska rezonancija. Serijska rezonancija se naziva zbog serijskog spoja induktiviteta L i kapaciteta C, a naponska rezonancija zbog jednakosti padova napona UL i UC.

Rezonantna ili vlastita frekvencija kruga je: .2

1

CLfo π

=

SNAGA POTROŠAČA JEDNOFAZNE NAIZMJENIČNE STRUJE

Poznato je da je snaga P potrošača napajanog iz istosmjernog izvora

napona data izrazom P = U I

gdje je: U – veličina istosmjernog napona na potrošaču,

I – jačina istosmjerne struje koja protiče kroz potrošač.

S obzirom da se naizmjenični napon i naizmjenična struja vremenski

mijenjaju, trenutna vrijednost snage potrošača naizmjenične struje može

se definirati izrazom S(t) = U (t) I(t)

gdje je: S(t) – trenutna snaga potrošača,

U(t) – trenutna vrijednost napona na potrošaču,

I(t) – trenutna vrijednost struje koja protiče kroz potrošač.

Trenutne vrijednosti napona i struje su date

izrazima:

U(t) = Um sin ω t

I(t) = Im sin (ω t - ϕ) .

Ako se izraze uvrstimo u izraz za snagu dobije se da je S(t) = Um Im sin ω t sin (ω t - ϕ)

Primjeni li se na ovu jednadžbu trigonometrijska zakonitost da je

dobije se da je:

Izraz se može prikazati u obliku:

Vidimo da snaga jednofaznog potrošača naizmjenične struje sadrži dva člana. Prvi član je

koji pretstavlja radnu snagu što je uzima jednofazni potrošač iz izvora.

( ) ( )βαβαβα +−−= cos2

1cos2

1sinsin

( )

.2sinsin2

1

2coscos2

1cos

2

1

2cos2

1cos

2

1)(

tIU

tIUIU

tIUIUS

mm

mmmm

mmmmt

ωϕ

ωϕϕ

ϕωϕ

−

−−=

=−−=

( ) .2sinsin2

12cos1cos

2

1)( tIUtIUS mmmmt ωϕωϕ −−=

( )tIUP mmt ωϕ 2cos1cos2

1)( −=

Drugi član je

koji pretstavlja jalovu snagu što je uzima jednofazni potrošač iz izvora

naizmjenične struje.

Obje komponente snage S(t) se vremenski mijenjaju sa dvostrukom

frekvencijom izvora naizmjeničnog napona.

Ako se umjesto maksimalnih uvrste u izrazima efektivne vrijednosti

napona i struje dobije se da je:

Srednja vrijednost radne snage P(t) date izrazom je P = U I cos ϕ

U praksi je uobičajeno prikazivati jalovu snagu sa veličinomQ = U I sin ϕMnoženjem kompleksne vrijednosti napona i konjugirano kompleksne

vrijednosti struje, dobije se da je

tIUQ mmt ωϕ 2sinsin2

1)( =

( )tIUP t ωϕ 2cos1cos)( −=

tIUQ t ωϕ 2sinsin)( =

ϕϕϕψ sincos)(* IUjIUIUeIUIU jOj +===⋅ −

Izraz U I cos ϕ = S cos ϕ = P, predstavlja radnu snagu potrošača, dok

Izraz U I sin ϕ = S sin ϕ = Q, predstavlja jalovu (reaktivnu) snagu

potrošača.

Na osnovu relacije, može se zaključiti da produkt kompleksne efektivne

vrijednosti napona i konjugirano kompleksne efektivne vrijednosti struje

daje kompleksni prikaz ukupne snage potrošača, poznate pod nazivom

kompleksna snaga, koja se može prikazati u obliku

Prikaz kompleksne snage Ŝ u kompleksnoj ravni

.* jQPIUS +==

Radna snaga je jednaka realnom dijelu kompleksne snage:

Jalova snaga je jednaka imaginarnom dijelu kompleksne snage:

dok je ukupna (prividna) snaga jednaka modulu kompleksne snage

Radna snaga je predana snaga izvora naizmjeničnog napona (mreže)

potrošaču. To je snaga koja može obaviti određeni rad. Ona se pri tome

pretvara u neki drugi oblik energije.

Vidljivo je da jalova snaga stalno mijenja svoj smjer toka pa je njen

rezultirajući rad jednak nuli. Stoga je i opravdano uvođenje naziva za

ovu snagu jalova snaga.

.cosRe ϕIUSP ==

,sinϕIUSIQ m ==

IUQPS =+= 22

TROFAZNI NAPONI I STRUJE

Danas se većina električne energije proizvodi pomoću trofaznih izvora

napona. Da bi objasnili način dobijanja trofaznog napona, odaberimo tri

iste zavojnice, kao na slici.

Sistem prostorno pomaknutih triju zavojnica u stalnom magnetskom polju a); vektorski prikaz indukovanih napona u zavojnicama b)

Zavojnice se nalaze u stalnom magnetskom polju. U zavojnicama (sa počecima 1', 2' i 3' i završecima 1, 2 i 3), koje su prostorno pomaknute jedna prema drugoj za 1200, indukuju se naponi ako se vrte kružnom

brzinom ω : U1(t) = Um sin ω t

U2(t) = Um sin (ω t-1200)

U3(t) = Um sin (ω t-2400)

gdje je U1(t) – indukovani napon u prvoj, U2(t) – indukovani napon u

drugoj i U3(t) – indukovani napon u trećoj zavojnici.

Budući da smo pretpostvili da su sve tri zavojnice jednake, amplitude indukovanih napona u njima biće iste. Jednadžbe se mogu prikazati i u vektorskom obliku:

.2

3

2

1

2

3

2

1

)240(3

)120(2

1

0

0

tj

tj

ejUeUU

ejUeUU

eUU

mtj

m

mtj

m

tjm

ω

ω

ω

ω

ω

+−==

−−==

=

−

−

Vektori su prikazani na slici i kada bi se sve tri zavojnice spojile u seriju

dobili bi između krajeva zbir sva tri napona, a zbir je jednak nuli.

Ta tri napona, dati jednadžbama čine trofazni sistem napona kada ih

spojimo na određeni način.U praksi se najčešće koriste dva načina

spoja, a to su spoj zavojnica u "zvjezdu" i "trokut".

Shematski prikaz spoja "zvijezda" a); uobičajeni način shematskog i slovnog

prikaza spoja "zvijezda" b); vektorski prikaz faznih i linijskih napona kod spoja

"zvijezda" c)

Naponi U1 , U2 i U3 označeni na slici su fazni naponi. Za označavanje

faznih napona općenito se koristi oznaka Uf . Osim faznih napona

postoje i tzv. linijski naponi. Linijski naponi su naponi između slobodnih rajeva zavojnica odnosno slobodnih krajeva namota ostalih trofaznih uređaja. Koristeći vektorski dijagram faznih i linijskih napona za spoj "zvjezda", mogu se dobiti njihovi odnosi u obliku:

Koristeći vektorski dijagram prikazan na slici, može se doći za spoj u zvjezdu do odnosa između linijskog UL i faznog napona Uf:

Uvedu li se po analogiji trofaznih izvora napona i pojmovi fazne struje If i

linijske struje IL dobije se druga karakteristika spoja zvjezda IL = If .

( )( )

( ) .210sin3

90sin3

30sin3

0)(1)(3)(31

0)(3)(2)(23

0)(2)(1)(12

+=−=

+=−=

+=−=

tUUUU

tUUUU

tUUUU

mttt

mttt

mttt

ω

ω

ω

.3 fL UU =

Spoji li se početak jedne zavojnice sa krajem druge zavojnice dobije se

spoj "trokut". Taj spoj je shematski prikazan na slici.

Sa te slike je uočljivo da je fazni napon U1 jednak linijskom naponu

U31, odnosno U2 = U12 , U3 = U23 . Općenito, dakle, vrijedi da je kod

spoja trokut UL = Uf .

Odnos linijske i fazne struje kod spoja trokut je

Shematski prikaz spoja "trokut" a); uobičajeni načini shematskog ili slovnog

prikaza spoja "trokut" b); vektorski prikaz faznih i linijsih napona kod spoja

"trokut" c)

.3 fL II =

Za razvod trofaznog napona potrebna su tri ili četiri voda. Kod spoja trofaznog izvora električne energije (tj. generatora ili sekundara trofaznog transformatora) u spoju zvjezda nekada se izvodi i nultačka 0 U tom slučaju se razvod trofaznog napona izvodi sa četiri voda. Tri voda su tzv. "fazni vodovi", a četvrti tzv. "nula" odnosno "nulti vod". Zvjezdište odnosno nultačka se izvodi uglavnom onda kada se na razvod odnosno mrežu želi priključiti potrošače sa nominalnim naponom jednakim linijskom i faznom naponu. Ako trofazni sistem napona ima izvedenu nultačku, onda se obično označava u vidu razlomka UL/Uf . Tako npr. 3x380/220 V označava trofazni sistem čiji je linijski napon 380 V, a fazni 220 V.

SPAJANJE POTROŠAČA NA TROFAZNI SISTEM NAPONANa trofazni sistem napona (trofaznu mrežu) mogu se priključivati kako trofazni tako i jednofazni potrošači. Trofazni potrošači mogu biti u spoju “zvjezda ili trokut. Oni u većini slučajeva opterećuju mrežu "simetrično", tj. svaki fazni vod sa istom jačinom struje, pri čemu svaka fazna struja ima isti fazni pomak prema svom faznom naponu.

Na slikama je prikazan način spajanja jednofaznog i trofaznog potrošača na mrežu 3x380/220 V, dok je na slici prikazan odgovarajući vektorski dijagram napona i struja trofazne simetrično opterećene mreže.

Shematski prikaz priključka jednofaznog i trofaznog potrošača na trofaznu mrežu sa četiri voda a); vektorski prikaz napona i struja trofazne simetrično opterećene mreže b)

Kod trofazne simetrično opterećene mreže kroz nulti vod ne teče nikakva struja.

Shematski prikaz priključka potrošača na trofaznu mrežu sa trivodiča a); vektorski prikaz napona i struje date trofazne mreže b)

SNAGA TROFAZNOG IZVORA ODNOSNO POTROŠAČA

Snaga trofaznog izvora odnosno trofaznog potrošača je jednaka zbiru snaga pojedinih faza. Izraz za snagu trofaznog izvora napona, odnosno trofaznog potrošača, je jednostavno izvesti ukoliko se radi o simetričnom opterećenju. Pokažimo to na primjeru trofaznog potrošača

prikazanog na slici. Snage svake faze P = Uf If cos ϕ , Q = Uf If sinφ ,

i S = Uf If su jednake. Odgovarajuće snage sve tri faze potrošača su tri

puta veće pa se može pisati da je:

P = 3 Uf If cos ϕ

Q = 3 Uf If sin ϕ S = 3 Uf If

gdje je P radna, Q jalova i S prividna snaga trofaznog potrošača.

Snage P, Q i S se izražavaju pomoću linijskih veličina napona i struje. Ti

izrazi su:

Ovi izrazi za P, Q i S su univerzalniji, a vrijede i za sistem mreže sa tri vodiča te spoja izvora odnosno potrošača u trokut ili zvjezdu. UTICAJ SPOJA ZVJEZDA I TROKUT NA SNAGU TROFAZNOG

POTROŠAČAPriključi li se trofazni potrošač sa spojem zvjezda na trofaznu mrežu, njegova radna snaga je data izrazomgdje je: ILz – linijska struja potrošača kod spoja zvjezda,

UL – linijski napon mreže odnosno potrošača,

Pλ - radna snaga trofaznog potrošača kod spoja u zvjezdu.

.3

sin3

cos3

LL

LL

LL

IUS

IUQ

IUP

=

=

=

ϕ

ϕ

,cos3 ϕλ LzL IUP =

Radna snaga tog istog potrošača sa spojem u trokut i priključka na istu

mrežu, data je izrazom

gdje je: ILt – linijska struja kod spoja trofaznog potrošača u trokut;

UL – linijski napon mreže odnosno potrošača;

P∆ - radna snaga trofaznog potrošača kod spoja u trokut.

Odnos snaga istog trofaznog potrošača kod spoja trokut i zvjezda je

To znači da se snaga P∆ i Pλ odnose kao linijske struje ILt i ILz . Da bi

dobili nihov odnos izrazimo ILt pomoću ILz .Karakteristika spoja trokut je

da je

gdje je Ift – fazna struja kod spoja potrošača i trokut

,cos3 ϕLtL IUP =∆

.Lz

Lt

I

I

P

P =∆

λ

ftLt II 3=

Obzirom da je fazni napon kod spoja potrošača u trokut veći puta od

faznog napona kod spoja potrošača u zvjezdu, očito je da vrijedi odnos

da je

Proizilazi da je

Supstituirajući ovaj odnos ILt/ILz u izrazu za odnos snaga dobije se da je

P∆ = 3 Pλ .

Iz izraza slijedi da je radna snaga P∆, koju trofazni potrošač uzima iz

mreže kod spoja u trokut tri puta veća od snage Pλ tog istog trofaznog

potrošača spojenog u zvjezdu i priključenog na istu mrežu. Ova

mogućnost promjene snage trofaznog potrošača spajanjem u trokut i

zvjezdu koristi se često u praksi, a kao primjer navodimo transformatore

za elektrolučne peći i trofazne asinhrone motore nekih velikih pogona.

.33 Lzzfft III ==

.3=Lz

Lt

I

I