12장. 정적 평형과 탄성(Static Equilibrium and Elasticity)

12.1 분석 모형: 평형 상태의 강체

12.2 무게중심 알아보기

12.3 정적 평형 상태에 있는 강체의 예

12.4 고체의 탄성

1

입자의 경우에는 작용하는 알짜 힘이 0일 때 평형 상태를 유지한다. 강체의 경우에는 추가 조건이 필요하다.

오른쪽 그림과 같은 경우 알짜 힘은 0이지만 물체가평형 상태에 있지는 않다. 즉, 회전운동을 하게 된다.

◎ 강체의 평형 조건:

1. 물체에 작용하는 알짜 외력이 반드시 영이어야 한다.

2. 어떤 축에 관해서든 물체에 작용하는 알짜 외부 토크가 반드시영이어야 한다.

평형의 제1 조건 : 물체는 가속되지 않는다

평형의 제2조건 : 물체는 회전하지 않는다

0extF

0extτ

12.1 분석 모형: 평형 상태의 강체(Analysis Model: Rigid Object in Equilibrium)

12.1 분석 모형: 평형 상태의 강체(Analysis Model: Rigid Object in Equilibrium)

두 번째 조건을 적용할 때 회전축의 위치를 결정해야 한다. O축에 대한 토크를 계산하면

332211 FrFrFrτo

O’축에 대한 토크를 계산하면

o

o

τFrFrFr

FFFrFrFrFrFrrFrrFrrτ

332211

321332211

332211'

)(')'()'()'(

만일 어떤 물체가 병진 평형 상태에 있고, 하나의 축에 관한 알짜토크가 영이라면, 다른 어떠한 축에 관해서도 알짜 토크는 반드시영이다.

o 정적 평형 (Static Equilibrium)

- 물체가 움직이지 않을 때

ex) Spring이 움직이지 않을 때의 초기 위치 : x = 0

o 안정적 평형 (Stable Static Equilibrium)

- 운동하는 물체의 위치가 Static Equilibrium의 위치에 왔을 때

ex) 운동하는 Spring의 위치가 초기 위치 x = 0 에 왔을 때

∴ 평형의 조건 (The Requirement of Equilibrium)

- 0NetF

0Net

12.2 무게중심 알아보기(More on the Center of Gravity)

12.2 무게중심 알아보기(More on the Center of Gravity)

한 물체의 모든 서로 다른 질량 성분에 작용하는 서로 다른 중력의 모두는 무게 중심점에 작용하는 단 하나의 중력과 같다.

중력가속도가 물체 전반에 균일하게 미친다면, 그 물체의 무게 중심은 질량 중심과 일치한다.

ii

iii

CM m

xm

mmmxmxmxmx

321

332211

개별 입자에 작용하는 중력을 고려하는 또 다른 관점에서 상황을 살펴보자. 각 중력에 의한 토크는

CGCGxgmmmxgmxgmxgm

rgmrgmrgm

)(

sinsinsin

321

333222111

333322221111

물체 전반에 대하여 g가 균일하다고 가정하면(대개는 성립)

CM

CG

xmmm

xmxmxmx

321

332211

12.3 정적 평형 상태에 있는 강체의 예(Examples of Rigid Objects in Static Equilibrium)

12.3 정적 평형 상태에 있는 강체의 예(Examples of Rigid Objects in Static Equilibrium)

다시 보는 시소 문제예제 12.1

질량이 M, 길이가 ℓ 인 균일한 판자로 만들어진 시소에 각각의 질량이 mf 와 md인 아버지와 딸이 타고 있다. 지지점(시소의 받침대)이 판자의 무게 중심 아래에서받치고 있으며, 아버지는 중심으로부터 거리 d, 딸은 중심으로부터 거리 ℓ/2 되는지점에 앉아 있다.(A) 지지점이 위쪽 방향으로 판자를 받치는 힘 n의 크기를 구하라.(B) 계가 균형을 이루려면 아버지가 어디에 앉아야 하는지 구하라.(C) 회전축을 다른 점에 두면 어떻게 될까? (회전축을 아버지 아래 두면)

☆

풀이

평형에 관한 1조건을 적용하면

0 NdfNet FMggmgmF

gMmmMggmgmF dfdfN )(

0002

gmdgm dfNet

21

f

d

mmd

0)2/(0' dFdgmMgd NdNet

0)(2

0

gdMmmdgmMgd dfd

02

gmgdm df

21

f

d

mmd

NsisordauterfatherNet FFFFF

(B) 계가 균형을 이루려면 ⇒ 평형에 관한 2조건 0Net

NsisordauterfatherNet

(C) 회전축을 아버지 아래 두면 → 아버지는 회전하지 않게 된다.

∴ 균형 상태에서는 축과무관하게 회전하지 않는다

벽에 기대놓은 사다리예제 12.2

풀이 최소 각도에서 정지해 있는 경우를 고려하면

☆

0 frNgNet FFPFF

- 힘을 성분분해 하면 :

000 NNet FmgFy

000 frNet FPFx frFP

mgFN

mgFFP sNsfr

평형 제2 조건 : O 점에 대하여 τ =0

00)..(sin).(sin2

002

0

wccPwcmg

PFg

frNPgO Net

매끈한 수직 벽에 길이가 ℓ 인 균일한 사다리를 기대 세웠다. 사다리의 질량이 m 이고, 사다리와 지면 사이의 정지 마찰 계수가 μs = 0.40 라고 할 때, 사다리가 미끄러지지 않을 최소 각도 θmin 을 구하라.

51)25.1(tan 1min

cos)90sin(sin90) cf

0sincos2

PmgO

25.14.02

121

22tan

cossin

ssmg

mgP

mg

경계턱 넘기예제 12.3

(A) 휠체어의 큰 바퀴가 보도 경계턱을 굴러서 올라갈 때, 환자가 수평 방향으로 작용해야 되는 힘 F의 크기를 구하라. 큰 바퀴의 반지름은 r 이고 경계턱의 높이는 h이다.

풀이 휠체어와 사람의 무게는 mg=1400N, 바퀴의 반지름 r =30cm, 경계턱의 높이 h =10cm라고 가정하자. 또한 휠체어와 사람은 대칭을 이루며 각각의 바퀴가 700N씩 지탱한다고 가정한다. 그림을 참조하여 한쪽 바퀴에 대해 분석하자. A점을 지나는 축에 대해 중력의 모멘트 팔은

222 2)()1( hrhhrrd

0)2()2( hrFmgdA

0)2(2 2 hrFhrhmg

Nhr

hrhmgF 22

1032

2

(B) R의 크기와 방향을 결정하라.

0cosRFFx

0sin mgRFy

33.2300700tan

cossin

NN

Fmg

RR

70)33.2(tan 1

N

NN

FmgR

2

22

22

108

)300()700(

)(

o 고체의 길이 변형

- 장력에 의해 늘어난 길이- by Exp. : Robert Hooke (1635~1783)

ΔL ∝ F → F = kΔL

- 비례한계 : Hooke's Law가 성립하는 한계- 탄성영역 (Elastic Region) : 막대는 복원된다 (탄성)

막대의 복원력 : F = -kΔx : "Hooke's Law"

- 탄성한계 (Elastic Limit) : 탄성이 유지되는 범위cf) 탄성한계 이상의 힘에 의하여 탄성이 파괴

→ 영구변형- 소성변형 (Plastic Deformation) :

원래의 형태로 회복 불가능- 파괴점 (파손점) : 물체가 파괴

용수철에 관한 경우를 제외하면, 물체에 외력이 작용하더라도 물체의 모양은유지된다고 가정해 왔다. 실제로는 외력이 작용하면 모든 물체는 어느 정도모양이 변할 수 있다. 즉, 어떤 물체에 외력을 가함으로써 모양이나 크기(또는 둘 다)에 변화를 주는 것이 가능하다.그러나 변화가 일어남에 따라, 물체의 내부 힘은 모양의 변화에 저항한다.

12.4 고체의 탄성(Elastic Properties of Solids)

12.4 고체의 탄성(Elastic Properties of Solids)

StrainStress)Modulus(

변형

변형력탄성률변형율

◎ 변형력, 변형 그리고 탄성률

- 변형을 일으키는 외력 :AF

면적

힘Stess

cf) 물체가 받는 압력 : AFP

)()((Stain)

단위원래의

단위변형된변형

- 단위의 변화 → 길이, 체적, 층밀리기 등

- 변형의 단위 : unitless (단위 없음)

unit : N /㎡ = ㎩ (Pascal, 파스칼)

변형력(stress): 모습의 변화를 일으키는 힘에 비례하는 양,단면의 단위 면적당 물체에 작용하는 외력

변형(strain): 변형력의 결과로 나타나는 형태의 변화 정도

변형력이 아주 작을 때 변형력은 변형에 비례함이 알려져 있다. 비례 상수는 모양에 변화를 겪고 있는 물질과 그 변화의 성질에 따라달라진다. 이 비례 상수를 탄성률(elastic modulus)이라고 한다.

▒ 영률: 길이 방향으로의 탄성(Young’s Modulus: Elasticity in Length)

인장 변형력(tensile stress): 단면적 A에 대한외력의 크기 F의 비율로 정의

인장 변형(tensile strain): 원래 길이 Li 에 대한길이의 변화 △L의 비율

1. 영률(Young’s modulus): 길이 방향의 변화에 대한 고체의 저항

2. 층밀리기 탄성률(shear modulus): 고체 내에서 서로 마주보는 면들

의 상대적인 움직임에 대한 저항의 척도

3. 부피 탄성률(bulk modulus): 고체나 액체의 부피 변화에 대한 저항의

척도

13

iLLAFEY

//

)(

변형인장

변형력인장

hxAFS

//

변형층밀리기

변형력층밀리기

▒ 층밀리기 탄성률: 형태에 대한 탄성 (Shear Modulus: Elasticity of Shape)

층밀리기 변형력(shear stress): 층밀리는 면의 넓이에 대한A접선 방향 힘의 비(F/A)

층밀리기 변형(shear strain): △x/h로 정의△x는 층밀리는 면이 움직인 수평 거리, h는 물체의 높이

▒ 부피 탄성률: 부피에 대한 탄성 (Bulk Modulus: Volume Elasticity)

부피 변형력(volume stress): 표면에 작용하는 전체 힘의크기 F 와 표면의 넓이 A 의 비율

부피 변형(volume strain): 부피의 변화 △V 를원래의 부피 Vi로 나눈 것

ii VVP

VVAFB

///

변형부피

변형력부피

▒ 여러 분야에 적용: 콘크리트, 철 구조물 등

(B를 양(+)으로 하기 위해서 –부호)

- "-" Sign : 압력, 압축력(P),

- Fn =F⊥ : 수직력, Normal Force

- 액체 or 기체내 에서의 압력은 단면에 수직!

무대 디자인예제 12.4

예제 8.2에서 줄에 매달려 그네를 타는 연기자에 대한 문제를풀었다. 연기자가 가장 낮은 지점을 지날 때 줄의 장력이 940N 이라고 가정하자. 주어진 조건 하에서 10m 길이의 쇠줄이 0.50 cm 이상 늘어나지 않으려면 쇠줄의 지름이 얼마이어야 하는가?

풀이

단면을 원형으로 가정하면

26210 104.9

)0050.0)(/1020()10)(940( m

mmNmN

LYFLA i

mm

mmAr

7.1

107.1104.9 326

mmmmrd 4.37.122

☆

iLLAFEY

//)(