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상위권을 위한 나만의 맞춤 교재

풍산자 등급

해 설 편

미분•적분Ⅰ

#풍산자영역별-속표지.indd 4 15. 10. 20. 오후 3:45

52 미분·적분Ⅰ [해설편]

조건㈎를이용하여 f(2), f '(2)의값구하기

조건㈎에서 x → 2일때(분모) → 0이므로(분자) → 0이다.

즉, `f(x)=0에서 f(2)=0⋯ ⋯yy ㉠

`=

`

=f '(2)

=0 yy ㉡

삼차함수 y=f(x)가 x=2에서 x축에접하는경우를그래

프로나타내기

㉠, ㉡에서삼차함수 y=f(x)의그래프는 x=2에서 x축에접

하므로다음두가지경우가있다.

⁄

¤

조건㈏를이용하여 f(3)의값구하기

⁄의 경우 조건 ㈏를 만족시

키려면 f(0)=0이어야 한

다. 이때, 그래프의 개형은

오른쪽그림과같다.

따라서 f(x)=x(x-2)¤

이므로

f(3)=3_(3-2)¤ =3

x

y=f{x}

2

x

y=f{x}

2

f(x)-f(2)x-2

limx⁄2

f(x)x-2

limx⁄2

limx⁄2

Step1

Step2

조건㈏에서극한값이존재하고,

x→ 1일때(분모)→ 0이므로(분자) → 0이어야한다.

즉, { f(x)g(x)-10}=0에서 f(1)g(1)=10

이때, f(1)=2이므로 g(1)=5

한편, h(x)=f(x)g(x)로놓으면

h'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)

h(1)=f(1)g(1)=10이므로

= =h'(1)

=f '(1)g(1)+f(1)g'(1)

=25+2g'(1)=5

2g'(1)=-20 ⋯ ⋯

∴ g'(1)=-10

|정답--1100

h(x)-h(1)x-1

limx⁄1

h(x)-10x-1

limx⁄1

limx⁄ 1

Step3

01 함수의그래프T h e m e

풀이 제한 시간 : 5분대표 문제

1등급 완성하기

ASol

BSol

=f '(1)

=2

∴ = [ _(x+1)]

∴ =2f '(1)

∴ =2_2

∴ =4

|정답 44

f(x¤ )-f(1)x¤ -1

limx⁄1

f(x¤ )-f(1)x-1

limx⁄1

f(1+h)-f(1)h

limh⁄0

한편, ¤의경우 f(0)f '(0)+0이므로조건㈏를만족시키지않

는다.

따라서 f(x)=x(x-2)¤ 이므로 f(3)=3

|정답 33

Ox

y

y=f{x}

2

최고차항의계수가 1인삼차함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

f(3)의값을구하여라.

㈎ =0

㈏방정식 f(x)f '(x)=0의가장작은실근은 0이다.

f(x)x-2lim

x ⁄2 다항함수 f(x)에대하여 =2일때,

의값을구하여라.f(x¤ )-f(1)

x-1limx⁄1

f(1+h)-f(1)h

limh ⁄0

두다항함수 f(x), g(x)가다음조건을만족시킨다.

g'(1)의값을구하여라.

㈎ f(1)=2, f '(1)=5

㈏ =5f(x)g(x)-10

x-1limx⁄1

영역별-미분적분1정답(52~94)-수 15.10.6 2:12 PM 페이지52 DK

Theme 01. 함수의그래프 53

조건㈎에서 x→ 1일때(분모)→ 0이므로(분자) → 0이다.

즉, `f(x)=0에서 f(1)=0⋯ ⋯yy ㉠

∴ =

∴ =f '(1)=0 yy ㉡

㉠, ㉡에서 f(x)=(x-1)¤ (x-a) (a는상수)로놓으면

조건㈏에서 f(2)=-2이므로

(2-1)¤ (2-a)=-2, 2-a=-2⋯ ⋯∴ a=4

즉, f(x)=(x-1)¤ (x-4)=x‹ -6x¤ +9x-4에서

f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)

f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3

x=1, x=3을기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나타

내면다음과같다.

즉, 함수 f(x)의그래프는오른

쪽그림과같고, 극댓값은 0, 극

솟값은 -4이므로모든극값의

합은-4

|정답--44

f(x)-f(1)x-1

limx⁄1

f(x)x-1

limx⁄1

limx⁄ 1

x

f '(x)

f(x)

y 1 y 3 y

+ 0 - 0 +

↗ 0 ↘ -4 ↗

C1 풀이 제한 시간 : 7분

f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d (a+0)로놓으면

조건㈎에서

ax‹ +bx¤ +cx+d=x‹ { + + +d}

ax‹ +bx¤ +cx+d=dx‹ +cx¤ +bx+a

즉, a=d, b=c이므로

f(x)=ax‹ +bx¤ +bx+a

=a(x‹ +1)+b(x¤ +x)

=a(x+1)(x¤ -x+1)+bx(x+1)

=(x+1){ax¤ +(b-a)x+a}

=a(x+1)[x¤ +{ -1}x+1]

이때, g(x)=x¤ +{ -1}x+1로 놓으면 조건 ㈏에서 방정

식 f(x)=0이서로다른두실근 a, b (a<b)를 갖는경우는

다음과같다.

⁄ 이차방정식 g(x)=0이 x=-1을근으로가질때

g(-1)=(-1)¤ -;aB;+1+1=0이므로

;aB;=3⋯ ⋯

∴ b=3a⋯ ⋯yy ㉠

즉, f(x)=a(x+1)(x¤ +2x+1)=a(x+1)‹

이경우에는방정식 f(x)=0이삼중근을갖게되므로조건

㈏를만족시키지않는다.

¤ 이차방정식 g(x)=0이 x=-1 이외의중근을가질때

이차방정식 g(x)=0의판별식을D라하면

D={;aB;-1}¤ -4= -3=0

b¤ -2ab-3a¤ =0, (b+a)(b-3a)=0

∴ b=-a (∵㉠)

즉, f(x)=a(x+1)(x¤ -2x+1)=a(x+1)(x-1)¤

이므로 a=-1, b=1

⁄, ¤에서 f(x)=a(x‹ -x¤ -x+1)이므로

f '(x)=a(3x¤ -2x-1)

=a(3x+1)(x-1)

이때, f(-1)=0, f(1)=0, f '{-;3!;}=0, f '(1)=0이고,

조건㈐에의하여함수 f(x)는-1…x…1에서극댓값을가지

므로함수 f(x)의그래프는다음과같다.

O x

y

1

-1

3-

1

y=f{x}

b¤ -2aba¤

ba

ba

cx

bx¤

ax‹

O x

y

31 4

-4y=f{x}

CSol

1등급 뛰어넘기

삼차함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

㈎x+0인모든x에대하여 f(x)=x‹ f {;[!;}이다.

㈏방정식 f(x)=0은서로다른두실근 a, b (a<b)를갖는다.

㈐ a…x…b에서극댓값 32를갖는다.



함수 f(x)의모든극값의합을구하여라.

㈎ =0

㈏ f(2)=-2

f(x)x-1lim

x⁄1



C 풀이 제한 시간 : 7분3

함수 f(x)가 x>1에서증가, x<0에서감소하므로 xæ1에서

f '(x)æ0, x…0에서 f '(x)…0이다.

이때, f '(2)=0이므로함수 f '(x)의그래프는다음과같다.

이때, f '(x)=(x-2)(x¤ +ax+b)에서이차방정식

x¤ +ax+b=0의두실근을 a, b (a<b)라할때,

0…a…1, b=2이어야하므로

g(x)=x¤ +ax+b로놓으면

g(2)=4+2a+b=0 ⋯ ⋯ yy ㉠

g(0)=bæ0⋯ ⋯ yy ㉡

g(1)=1+a+b…0 ⋯ ⋯ yy ㉢

㉠에서 b=-2a-4이므로㉡에대입하면

-2a-4æ0 ⋯ ⋯

∴ a…-2 yy ㉣

b=-2a-4를㉢에대입하면

1+a-2a-4…0, -a-3…0

∴ aæ-3 ⋯ ⋯ yy ㉤

㉣, ㉤에서-3…a…-2

한편, b=-2a-4를 a¤ +b¤ 에대입하면

a¤ +b¤ =a¤ +(-2a-4)¤

=5a¤ +16a+16

=5{a+;5*;}¤ +:¡5§:

-3…a…-2에서최댓값은 a=-3일때이므로

b=(-2)_(-3)-4=2

∴ f '(x)=(x-2)(x¤ -3x+2)

=(x-1)(x-2)¤

f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2

x=1, x=2를기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나타


Ox

yy=f`'{x}

1… 2

x

f '(x)

f(x)

y 1 y 2 y

- 0 + 0 +

↘ 극소 ↗ ↗

C2

f(x)=3x› +4(a-1)x‹ -6ax¤ 에서

f '(x)=12x‹ +12(a-1)x¤ -12ax

=12x{x¤ +(a-1)x-a}

=12x(x+a)(x-1)

f '(x)=0에서 x=-a 또는 x=0 또는 x=1

x=-a, x=0, x=1을 기준으로 함수 f(x)의 증가, 감소를

표로나타내면다음과같다.

즉, 함수 y=f(x)의그래프는다음과같다.

이때, 직선 y=t와의교점의개수 g(t)의그래프에서불연속점

이 2개가되려면두극솟값이같아야한다.

즉, f(-a)=f(1)이어야하므로

3a› -4(a-1)a‹ -6a‹ =-2a-1

-a› -2a‹ =-2a-1

a› +2a‹ -2a-1=0, (a-1)(a+1)‹ =0

∴ a=1 (∵ a>0)

따라서 f(x)=3x› -6x¤ 이므로

a+f(a)=1+f(1)

=1+(-3)

=-2

|정답--22

Ox

y

g{t}=2

y=f{x}

g{t}=4

g{t}=0

1-a

풀이 제한 시간 : 5분

x

f '(x)

f(x)

y -a y 0 y 1 y

- 0 + 0 - 0 +

↘ f(-a) ↗ 0 ↘ f(1) ↗

원점을 지나는 함수 f(x)의 도함수 f '(x)가 f '(x)=(x-2)(x¤ +ax+b)이다.

함수 y=f(x)가 x>1에서 증가하고 x<0에서 감소할 때, a¤ +b¤ 이 최대가 되도

록하는함수 f(x)의극솟값을m이라하자. 144m¤ 의값을구하여라.

사차함수 f(x)=3x› +4(a-1)x‹ -6ax¤ 과실수 t에대하여함수 y=f(x)의그

래프와직선 y=t의교점의개수를 g(t)라하자. 함수 g(t)의그래프의불연속점

이 2개일때, a+f(a)의값을구하여라. (단, a>0)

즉, 함수 f(x)는 x=-;3!;에서극댓값 32를가지므로

f {-;3!;}=a{-;2¡7;-;9!;+;3!;+1}=;2#7@;a=32⋯ ⋯

∴ a=27

따라서 f(x)=27(x‹ -x¤ -x+1)이므로

f(0)=27

|정답 2277

영역별-미분적분1정답(52~94)-ok 2015.9.24 1:46 PM 페이지54 DK

Theme 01. 함수의그래프 55

C4

xæ0인범위에대하여두함수 f '(x), g'(x)의차수가 2, 1이

고, 최고차항의계수가양수, 음수이므로

f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c,

g(x)=-x¤ +dx+e

로놓으면

f '(x)=3x¤ +2ax+b,

g'(x)=-2x+d


주어진그래프에서

f '(0)=g'(0)=0이므로 b=d=0

∴ f '(x)=3x¤ +2ax, g'(x)=-2x

또, f '(2)=g'(2)이므로

12+4a=-4 ⋯ ⋯

∴ a=-4

즉, f(x)=x‹ -4x¤ +c, g(x)=-x¤ +e이므로

h(x)=f(x)-g(x)=x‹ -3x¤ +(c-e)

h(2)=0이므로 c-e=4⋯ ⋯

∴ h(x)=x‹ -3x¤ +4

한편, 함수 h'(x)=f '(x)-g'(x)의 그래프가 y축에 대하여

대칭이고, xæ0일 때 h'(x)=3x¤ -6x이므로 x<0일 때

h'(x)=3x¤ +6x

즉, x<0일 때 h(x)=x‹ +3x¤ +C (단, C는 적분상수)이고

함수 h(x)는 x=0에서연속이므로C=4이다.

따라서 xæ0일때 h(x)=x‹ -3x¤ +4, x<0일때

h(x)=x‹ +3x¤ +4인함수 h(x)의그래프는다음과같다.

이때, 함수 h(x)는

x=-2에서극댓값 h(-2)=-8+12+4=8,

x=2에서극솟값 h(2)=8-12+4=0

을가지므로극댓값과극솟값의합은 8

|정답 88

O x

y

2-2

4

y=h{x}

최고차항의 계수의 절댓값이 1인 미분가

능한 두 함수 f(x), g(x)의 도함수

f '(x), g'(x)의 그래프가 오른쪽 그림과

같이 모두 y축에 대하여 대칭이고, 두 그

래프의교점의 x좌표는-2, 0, 2이다.

함수 h(x)=f(x)-g(x)에대하여

h(2)=0일때, 함수 h(x)의극댓값과극

솟값의합을구하여라. (단, xæ0일때도

함수 f '(x), g'(x)는각각이차함수, 일차함수이다.)

Ox

y

y=f`'{x}

y=g`'{x}

-2 2

이때, f '(x)=x‹ -5x¤ +8x-4이므로

f(x)=;4!;x› -;3%;x‹ +4x¤ -4x+C (단, C는적분상수)

이고, f(0)=0이므로C=0

즉, f(x)=;4!;x› -;3%;x‹ +4x¤ -4x이므로극솟값은

f(1)=;4!;-;3%;+4-4=-;1!2&;

따라서m=-;1!2&;이므로 144m¤ =144_;1@4*4(;=289

|정답 228899



함수의연속성을이용하여ㄱ의참, 거짓판별하기

g(x)=x¤ +ax+b ( a, b는상수)로놓으면

함수 h(x)=f(x)g(x)가모든실수에서미분가능하므로

x=1에서미분가능하다.

즉, x=1에서연속이어야하므로

`h(x)=

`f(x)g(x)

`h(x)=1_(1+a+b)

`h(x)=1+a+b⋯ ⋯ yy ㉠

`h(x)=

`f(x)g(x)

h(x)=-1_(1+a+b)

h(x)=-1-a-b ⋯ ⋯yy ㉡

h(1)=f(1)g(1)

=1_(1+a+b)

=1+a+b ⋯ ⋯yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

1+a+b=-1-a-b

2(1+a+b)=0⋯ ⋯

∴ 1+a+b=0 ⋯ ⋯yy ㉣

∴ g(1)=1+a+b=0 (참)

미분계수의성질을이용하여ㄴ의참, 거짓판별하기

㉣에서 b=-a-1

∴ g(x)=x¤ +ax+b

=x¤ +ax-a-1

=(x-1)(x+1+a)

limx⁄1+

limx⁄1+

limx⁄1-

limx⁄1-

한편, = 이므로

=

=

=`f(x)(x+1+a)

=1_(2+a)

=2+a ⋯ ⋯yy ㉤

=

=

=`f(x)(x+1+a)

=-1_(a+2)

=-a-2 ⋯ ⋯ ` `yy ㉥

㉤, ㉥에서 2+a=-2-a⋯ ⋯

∴ a=-2

즉, g(x)=(x-1)¤ 이므로모든실수 x에대하여 g(x)æ0이

다. (참)

증감표를이용하여ㄷ의참, 거짓판별하기

h'(1)=

h'(1)=

h'(1)=

h'(1)=`f(x)(x-1)

h'(1)=0

한편, h'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)에서 x=1을기준으로

함수h(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.

위의표에서함수h(x)는x=1에서극값을갖지않는다. (거짓)

limx⁄1

f(x)(x-1)¤x-1

limx⁄1

f(x)g(x)-f(1)g(1)x-1

limx⁄1

h(x)-h(1)x-1

limx⁄1

limx⁄1+

f(x)(x-1)(x+1+a)x-1

limx⁄1+

f(x)g(x)-f(1)g(1)x-1

limx⁄1+

h(x)-h(1)x-1

limx⁄1+

limx⁄1-

f(x)(x-1)(x+1+a)x-1

limx⁄1-

f(x)g(x)-f(1)g(1)x-1

limx⁄1-

h(x)-h(1)x-1

limx⁄1-

h(x)-h(1)x-1

limx⁄1+

h(x)-h(1)x-1

limx⁄1-

Step1

Step2

Step3

x

f '(x)

g(x)

f(x)

g'(x)

h'(x)

h(x)

y 1 y

- -

+ 0 +

+ 1 -

- 0 +

- 0 -

↘ 0 ↘

02 미분가능성T h e m e



1이 아닌 모든 실수 x에 대하여 미분가능한 함수 f(x)

의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 최고차항의 계수가 1

인이차함수 g(x)에대하여함수 h(x)를

h(x)=f(x)g(x)라하자. 함수 h(x)가모든실수에서

미분가능할때, 옳은것만을<보기>에서있는대로고른

것은?

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄴ, ㄷ

④ㄱ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

O x

y

y=f{x}

1

1

-1

보기

ㄱ. g(1)=0

ㄴ. 모든실수x에대하여 g(x)æ0

ㄷ. 함수h(x)는x=1에서극값을갖는다.


Theme 02. 미분가능성 57

f(x)=[

함수 f(x)가 x=1에서미분가능하므로 f '(1)이존재한다.

f(1)=0이므로

=

= (-x-a)

=-1-a

=

= (x+a)

=1+a

= 이어야하므로

-1-a=1+a, 2a=-2⋯ ⋯

∴ a=-1

|정답--11

|다른 풀이|

f(x)=[ 에서

f '(x)=[

`f '(x)=

`f '(x)이어야하므로

a+1=-1-a

∴ a=-1

limx⁄1+

limx⁄1-

-2x+a-1 (x>1)

-2x-a+1 (x<1)

-(x-1)(x+a) (xæ1)

-(x-1)(x+a) (x<1)

f(x)-f(1)x-1

limx⁄1+

f(x)-f(1)x-1

limx⁄1-

limx⁄1+

(x-1)(x+a)x-1

limx⁄1+

f(x)-f(1)x-1

limx⁄1+

limx⁄1-

-(x-1)(x+a)x-1

limx⁄1-

f(x)-f(1)x-1

limx⁄1-

-(x-1)(x+a) (xæ1)

-(x-1)(x+a) (x<1)

ASol

BSol

f(x)=(x-1)(x¤ +2x+a)에서

f '(x)=(x¤ +2x+a)+(x-1)(2x+2)

=3x¤ +2x+a-2

=f '(1)=4이므로

3+2+a-2=4, 3+a=4

∴ a=1

|정답 11

f(1+h)-f(1)h

limh⁄ 0

CSol

f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y)⋯ ⋯yy ㉠

㉠에 x=0, y=0을대입하면

f(0)=f(0)-f(0) ⋯ ⋯∴ f(0)=0

또, ㉠에 x 대신 0, y 대신 x를대입하면

f(-x)=f(0)-f(x), f(x)=-f(-x)

즉, 함수 f(x)의그래프는원점에대하여대칭이다.

한편, f '(0)= = 이므로

f '(x)=

=

=

= - x(x+h)

=f '(0)-x¤

f '(x)=0에서

f '(0)-x¤ =0, x¤ =f '(0)

∴ x=—"√f '(0)

따라서 f("√f '(0))=-f(-"√f '(0))이므로 함수 f(x)의 모든

극값의합은 0이다.

|정답 00

limh ⁄ 0

f(-h)-h

limh ⁄ 0

-f(-h)-xh(x+h)h

limh ⁄ 0

f(x)-f(-h)+x(-h)(x+h)-f(x)h

limh ⁄ 0

f(x+h)-f(x)h

limh ⁄ 0

f(h)h

limh ⁄ 0

f(h)-f(0)h

limh ⁄ 0

CBA1

f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c ( a, b, c는상수)로놓으면

f '(x)=3x¤ +2ax+b

조건㈏에서 f '(x)가 x=1에서극솟값을가지므로`

f '(x)=3x¤ +2ax+b=3{x+;3!;a}¤ -;3!;a¤ +b에서

-;;3!;a=1 ⋯ ⋯∴ a=-3



함수 f(x)=(x-1)(x¤ +2x+a)에대하여

=4일때, 상수 a의값을구하여라.f(1+h)-f(1)

hlimh ⁄0

함수 f(x)=|x-1|(x+a)가 x=1에서미분가능할때, 상수 a의값

을구하여라.


실수 t에대하여 x…t에서 f(x)의최댓값을 g(t)라하자. 함수 g(t)가 t=5에서

미분가능하지않을때, 함수 f(x)가극값을갖는모든 x의값의곱을구하여라.

㈎ f(1)=0

㈏함수 f(x)의도함수 f '(x)가x=1에서극솟값을갖는다.

모든실수에서미분가능한함수 f(x)가임의의두실수 x, y에대하여

⋯ ⋯f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y)

를만족시킨다. 함수 f(x)의모든극값의합을구하여라.

따라서보기중옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

|정답②



한편, 함수 f(x)가극값을갖지않는다고생각하자.

조건㈎에서 f(1)=0, 즉

f(x)=(x-1)‹ , f '(x)=3(x-1)¤ 꼴이면함수 f(x)는실수

전체에서증가하므로함수 g(t)=f(t)는실수전체에서미분가

능하다. 이것은 g(t)가 t=5에서 미분가능하지 않다는 조건을

만족시키지않으므로함수 f(x)는극값을갖는다.

이때, 함수 f '(x)의 그래프의 대칭축이 x=1이므로 양수 k에

대하여 함수 f(x)가 x=1-k에서 극댓값을 가지면 x=1+k

에서극솟값을갖는다.

즉, x=1-k, x=1+k를기준으로함수 f(x)의증가, 감소를


함수 g(t)는 t=5에서미분가능하지

않으므로오른쪽그림과같이

f(1-k)=f(5)

이때, h(x)=f(x)-f(5)로 놓으

면

h'(x)=f '(x)

h(5)=f(5)-f(5)=0

h(1-k)=f(1-k)-f(5)=0

이고, 함수 f(x)가 x=1-k에서극댓값을가지므로

h'(1-k)=f '(1-k)=0

∴ h(x)=(x-1+k)¤ (x-5) ⋯ ⋯yy ㉠

㉠의양변을 x에대하여미분하면

h'(x)=f '(x)

=2(x-1+k)(x-5)+(x-1+k)¤

=(x-1+k)(3x+k-11)⋯ ⋯yy ㉡

함수 f(x)가 x=1+k에서극솟값을가지므로

f '(1+k)=(1+k-1+k)(3+3k+k-11)

=2k(4k-8)

=8k(k-2)

∴ k=2 (∵ k>0)

k=2를㉡에대입하면

∴ f '(x)=(x+1)(3x-9)

=3x¤ -6x-9

따라서함수 f(x)가극값을갖는모든x의값의곱은

=-3

|정답--33

-93

x=5x=1-k

C2

조건㈏에서함수 g(x-2)의그래프는함수 g(x)의그래프를

x축의양의방향으로 2만큼평행이동시킨것과같고, 모든실수

x에대하여 g(x)=g(x-2)이므로 -1…x<1에서의그래프

가반복적으로나타난다.

함수 g(x)가실수전체에서미분가능하려면조건㈎에의하여

f(1)=f(-1), f '(1)=f '(-1)이어야한다.

f(x)=x› +ax‹ +bx¤ +cx+d ( a, b, c, d는상수)로놓으면

f '(x)=4x‹ +3ax¤ +2bx+c

f '(-1)=f '(1)=0이므로

f '(-1)=-4+3a-2b+c=0 ⋯ ⋯yy ㉠

f '(1)=4+3a+2b+c=0⋯ ⋯ ⋯ ⋯ yy ㉡

㉠+㉡을하면 6a+2c=0에서 3a+c=0⋯ ⋯ ⋯ ⋯ yy ㉢

㉠-㉡을하면-8-4b=0에서 b=-2

또, f(1)=f(-1)이므로

1+a+b+c+d=1-a+b-c+d에서

a+c=0 yy ㉣

㉢, ㉣을연립하여풀면 a=0, c=0

즉, f(x)=x› -2x¤ +d에서

f '(x)=4x‹ -4x=4x(x-1)(x+1)

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1

x=-1, x=0, x=1을 기준으로 함수 f(x)의 증가, 감소를


즉, 함수 f(x)의그래프는오른쪽

그림과 같고 함수 | f(x)|가 실

수전체에서미분가능하려면

f(-1)=f(1)æ0이어야하므로

d-1æ0 ⋯ ⋯∴dæ1

따라서 f(0)=d의최솟값은 1

|정답 11

0 x-1 1

y=f{x}


최고차항의계수가 1인사차함수 f(x)에대하여함수 g(x)가다음조건을만족시

킨다.

함수 g(x)가실수전체에서미분가능하고, f '(1)=0일때, 함수 | f(x)|가실수

전체에서미분가능하기위한 f(0)의최솟값을구하여라.

㈎-1…x<1에서 g(x)=f(x)

㈏모든실수x에대하여 g(x)=g(x-2)

x

f '(x)

f(x)

y 1-k y 1 y 1+k y

+ 0 - - - 0 +

↗ 극대 ↘ ↘ ↘ 극소 ↗

x

f '(x)

f(x)

y -1 y 0 y 1 y

- 0 + 0 - 0 +

↘ d-1 ↗ d ↘ d-1 ↗


Theme 02. 미분가능성 59

A C3

x의값의범위에따라함수 f(x)를구하면다음과같다.

⁄ 0<x<1일때

x« =0이므로

f(x)=

f(x)=

f(x)=ax¤ +bx

¤ x=1일때

x« =1이므로

f(x)=

f(x)=

f(x)=

‹ x>1일때

x« =¶이므로

f(x)=

f(x)=

f(x)=x‹

⁄, ¤, ‹에서 f(x)=[

각 구간에서 함수 f(x)는 다항함수이므로 그 구간에서는 모두

미분가능하다. 따라서함수 f(x)가양의실수전체에서미분가

능하려면 x=1에서미분가능한지확인하면된다.

함수 f(x)가 x=1에서미분가능하면 x=1에서연속이어야하

므로

f(x)= (ax¤ +bx)

f(x)=a+b ⋯ ` ⋯yy ㉠

f(x)= x‹

f(x)=1 ⋯ ` ⋯yy ㉡

f(1)= ⋯ ⋯yy ㉢1+a+b

2

limx⁄ 1+

limx⁄ 1+

limx⁄ 1-

limx⁄ 1-

ax¤ +bx (0<x<1)

(x=1)

x‹ (x>1)

limn ⁄¶

x« ±‹ +ax¤ +bxx« +1

limn ⁄¶

limn ⁄¶

1+a+b2

1+a+b1+1

x« ±‹ +ax¤ +bxx« +1

limn ⁄¶

limn ⁄¶

0+ax¤ +bx0+1

x« ±‹ +ax¤ +bxx« +1

limn ⁄¶

limn ⁄¶


x‹ + + bx« —⁄

ax« —¤

1+ 1x«

1+a+b2

양의실수전체에서정의된함수 f(x)= 가양의실수전체

에서미분가능하다. 0<x<1에서함수 f(x)의그래프위의점P와두점A(2, 1),

B(18, 1)에대하여삼각형ABP의넓이의최댓값을구하여라.

(단, a, b는상수이다.)

xn+3+ax¤ +bxx« +1lim

n ⁄¶

㉠, ㉡, ㉢에서

a+b=1 ⋯ ⋯yy ㉣

또, x=1에서의미분계수가존재해야하고,

f(1)= =1=a+b이므로

=

=

= {a(x+1)+b}

=2a+b

=

=

= (x¤ +x+1)

=3

= 이므로

2a+b=3 ⋯ ⋯ ` `yy ㉤

㉣, ㉤을연립하여풀면 a=2, b=-1

즉, f(x)=[ 이므로함수 f(x)의그래프

는다음과같다.

한편, 0<x<1에서함수 f(x)의그래프위의점P(t, 2t¤ -t)

에 대하여 삼각형 ABP의 넓이가 최대가 되는 경우는 점 P가

극소가되는점, 즉꼭짓점일때이므로

f(x)=2x¤ -x=2{x-;4!;} ¤-;8!;에서꼭짓점의좌표는

{;4!;, -;8!;}

따라서구하는삼각형ABP의넓이의최댓값은

;2!;_(18-2)_{1+;8!;}=9

|정답 99

O x

y

A{2,`1}

P

B{18,`1}1

1

y=f{x}

2x¤ -x (0<x<1)

1 (x=1)

x‹ (x>1)

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1+

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1-

limx⁄ 1+

(x-1)(x¤ +x+1)x-1

limx⁄ 1+

x‹ -1x-1

limx⁄ 1+

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1+

limx⁄ 1-

a(x+1)(x-1)+b(x-1)x-1

limx⁄ 1-

(ax¤ +bx)-(a+b)x-1

limx⁄ 1-

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1-

1+a+b2



한편, 곡선 y=f(x) 위의점 (t, f(t))에서 x축, y축까지의거

리중작지않은값이 g(t)이므로직선 y=x와곡선 y=f(x)

가원점과다른한점에서만나고, 직선 y=-x가곡선

y=f(x)와원점에서만만나려면앞의그림과같이직선 y=x

와직선 y=-x가곡선 y=f(x)의접선이되어야한다.

x의값의범위에따라 k의값을구하면다음과같다.

⁄ 0…x…2일때

f(x)=-k(x-1)› +k에서 f '(x)=-4k(x-1)‹ 이고,

y=x에서 y'=1이므로 f '(0)=1에서

4k=1⋯ ⋯

∴ k=;4!;

¤ x…0일때

f(x)=k(x-1)› -k에서 f '(x)=4k(x-1)‹ 이고,

y=-x에서 y'=-1이므로 f '(0)=1에서

-4k=-1⋯ ⋯

∴ k=;4!;

⁄, ¤에서구하는 k의값은 ;4!;

|정답 ;;44!!;;

C4

h(x)=k(x-1)› -k (k>0)로놓으면

h'(x)=4k(x-1)‹

h'(x)=0에서 x=1

x=1을기준으로함수 h(x)의증가, 감소를표로나타내면다

음과같다.

또, h(x)=0에서 k(x-1)› -k=0, (x-1)› =1

∴ x=0 또는 x=2

따라서 함수 f(x)=|h(x)|의 그래프는 x=0, x=2에서 극

솟값 0, x=1에서극댓값 k를갖는다.

O x

y

21

k

y=x

y=-x

y=f{x}


함수 f(x)=|k(x-1)› -k| (k>0)와 실수 t에 대하여 곡선 y=f(x) 위의 점

(t, f(t))에서 x축, y축까지의거리중작지않은값을 g(t)라하자. 함수 g(t)가원점과다른한점에서만미분가능하지않도록하는상수 k의값을구하여라.

x

h'(x)

h(x)

y 1 y

- 0 +

↘ -k ↗


Theme 03. 접선에의활용 61

주어진 조건을 이용하여 함수 g(x)의 그래프의 형태 파악

하기

두조건㈎, ㈏에의해함수 g(x)의그래프는-'3…x<'3의

범위에서의 함수 f(x)의 그래프를 x축의 양의 방향으로 2'3,

y축의양의방향으로 2'3만큼평행이동한그래프를다시같은

방법으로평행이동한그래프가반복된다.

미분가능할조건을이용하여함수 g(x)의그래프그리기

함수 g(x)가미분가능하려면

g(-'3)+2'3=g('3),

g'(-'3)=g'('3)

이어야하므로조건㈎에의하여

f(-'3)+2'3=f('3),

f '(-'3)=f '('3)

이어야한다.

한편, f(x)=x‹ +ax¤ +bx에서

f '(x)=3x¤ +2ax+b

f(-'3)+2'3=f('3)이므로

-3'3+3a-b'3+2'3=3'3+3a+b'3

2b'3=-4'3⋯ ⋯

∴ b=-2

f '(-'3)=f '('3)이므로

9-2a'3-2=9+2a'3-2, 4a'3=0 ⋯ ⋯

∴ a=0

즉, f(x)=x‹ -2x, f '(x)=3x¤ -2이므로함수 g(x)의그래

프는다음과같다.

Step1

Step2

l(x)…g(x)…m(x)가될조건을이해하여 l(x)-m(x)

의최댓값구하기

두일차함수 l(x), m(x)가모든실수 x에대하여

l(x)…g(x)…m(x)를 만족시키려면 두 직선 l(x), m(x)

의기울기는위그림과같이두점 (-'3, -'3 ), ('3, '3 )

을지나는직선의기울기와같아야한다.

두점 (-'3, -'3 ), ('3, '3 )을지나는직선의기울기는

=1

f '(x)=3x¤ -2=1에서 3x¤ =3, x¤ =1⋯ ⋯∴ x=—1

즉, 두접점 (-1, 1), (1, -1)에서의접선의방정식은

y-1=x-(-1),

y-(-1)=x-1

따라서 l(x)-m(x)가최댓값을가질때

l(x)=x-2, m(x)=x+2

이므로

l(x)-m(x)=(x-2)-(x+2)

=-4

즉, a=-4이므로 a¤ =16

|정답 1166

'3-(-'3 )'3-(-'3 )

Ox

y

{-1,`1}

{1,`-1}

{Â3,`Â3}

{-Â3,`-Â3}

y=g{x}

Step3

03 접선에의활용T h e m e



ASol

조건㈏에의하여함수 g(x-2)의그래프는함수 g(x)의그래

프를 x축의양의방향으로 2만큼평행이동시킨것과같고, 모든

원점을 지나고 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대하여 모든

실수에서미분가능한함수 g(x)가다음조건을만족시킨다.


㈎-1…x<1일때, g(x)=f(x)

㈏모든실수x에대하여 g(x)=g(x-2)

함수 f(x)=x‹ +ax¤ +bx에대하여미분가능한함수 g(x)가다음조건을만

족시킨다.

모든실수 x에대하여두일차함수 l(x), m(x)가 l(x)…g(x)…m(x)를만

족시킬때, l(x)-m(x)의최댓값을 a라하자. a¤의값을구하여라.

(단, a, b는상수이다.)

㈎-'3…x<'3일때, g(x)=f(x)

㈏ g(x)=g(x-2'3 )+2'3



BSol

CSol

f(x)=[ 에서

f '(x)=[

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1에서 연속이어야

한다. 즉,

`f(x)=

`(ax¤ +bx)=a+b ⋯ ⋯

`f(x)= x‹ =1⋯ ⋯

f(1)=1‹ =1⋯ ⋯

이므로 a+b=1⋯ ⋯yy ㉠

또, x=1에서미분계수가존재해야하므로

`f '(x)=

`f '(x)

∴ 2a+b=3⋯ ⋯ ` ⋯yy ㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=2, b=-1

∴ a¤ +b¤ =4+1=5

|정답 55

limx⁄ 1+

limx ⁄ 1-

limx⁄ 1+

limx ⁄ 1+

limx⁄ 1-

limx ⁄ 1-

3x¤ (x>1)

2ax+b (x<1)

x‹ (xæ1)

ax¤ +bx (x<1)

실수 x에대하여 g(x)=g(x-2)이므로-1…x<1에서의그

래프가반복적으로나타난다.

함수 g(x)가모든실수에서미분가능하려면

g(-1)=g(1), g'(-1)=g'(1), 즉조건㈎에의하여

f(-1)=f(1), f '(-1)=f '(1)이어야한다.

한편, 함수 f(x)는원점을지나고최고차항의계수가 1인삼차

함수이므로 f(x)=x‹ +ax¤ +bx ( a, b는상수)로놓으면

f '(x)=3x¤ +2ax+b

f(-1)=f(1)에서

-1+a-b=1+a+b, 2b=-2 ⋯ ⋯∴ b=-1

f '(-1)=f '(1)에서

3-2a+b=3+2a+b, 4a=0⋯ ⋯∴ a=0

따라서 f(x)=x‹ -x이므로 f(2)=2‹ -2=6

|정답 66

f '(x)=3x¤ -18x+20=3(x-3)¤ -7이므로

f '(x)는 x=3일때최솟값-7을갖는다.

이때, f(3)=27-81+60+15=21이므로 접점의 좌표는

(3, 21)

따라서 a=3, b=21, m=-7이므로

a+b+m=17

|정답 1177

함수 f(x)=x‹ -9x¤ +20x+15의 그래프 접선의 기울기의 최솟값을

m, 이때의접점의좌표를 (a, b)라할때, a+b+m의값을구하여라.

함수 f(x)=[ 이 x=1에서미분가능하도록하는

두상수 a, b에대하여 a¤ +b¤ 의값을구하여라.

x‹ (xæ1)ax¤ +bx (x<1)

C1

조건㈎에서함수 f(x)의그래프는 y축에대하여대칭이므로

f(x)=x› +ax¤ +b (a, b는상수)로놓으면

f '(x)=4x‹ +2ax

조건㈏에서 f(0)=2이므로 b=2

조건㈐에서 f '(1)=2이므로

4+2a=2, 2a=-2⋯ ⋯∴ a=-1

∴ f(x)=x› -x¤ +2, f '(x)=4x‹ -2x

한편, 곡선 y=f(x) 위의점 (t, t› -t¤ +2)에서의접선의기울

기는 4t‹ -2t이므로이점에서의접선의방정식은

y-(t› -t¤ +2)=(4t‹ -2t)(x-t)

∴ y=(4t‹ -2t)x-(3t› -t¤ -2)

이직선이원점을지나므로

3t› -t¤ -2=0, (t+1)(t-1)(3t¤ +2)=0

∴ t=-1 또는 t=1

즉, 두접점의좌표가 (-1, 2), (1, 2)이므로접선의방정식

은 y=-2x, y=2x

한편, 위그림과같이두접선에동시에접하고점 (0, 2)를지

나는두원의중심은 y축위에있으므로중심을 (0, c)라하면

반지름의길이는 |c-2|

점 (0, c)와직선 y=2x, 즉 2x-y=0 사이의거리가반지름

길이와같으므로

=|c-2|, =|c-2|

c¤ =5(c-2)¤ , c¤ -5c+5=0

|-c|'5

|-c|

"√2¤ +√(-1≈)Ω¤

O x

y

2

y=-2x y=2xy=f{x}



최고차항의계수가 1인사차함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

㈎모든실수x에대하여 f(x)=f(-x)

㈏ f(0)=2

㈐ f '(1)=2

원점에서곡선 y=f(x)에그은두접선에동시에접하고, 점 (0, 2)를지나는두

원의중심사이의거리가d일때, d¤의값을구하여라.


Theme 03. 접선에의활용 63

∴ c=

따라서두원의중심사이의거리d는

d= - ='5

∴d¤ =5

|정답 55

5-'52

5+'52

5—'52

C2

f(x)=x‹ +ax¤ +x에서 f '(x)=3x¤ +2ax+1

원점에서그은접선의기울기는 f '(0)=1이므로원점에서의접

선에수직인직선 l의방정식은 y=-x

이직선과곡선 y=f(x)와의교점의 x좌표를구하면

x‹ +ax¤ +x=-x에서 x‹ +ax¤ +2x=0

x(x¤ +ax+2)=0

점 A가접점이므로이차방정식 x¤ +ax+2=0은중근을가져

야한다. 즉, 판별식을D라하면

D=a¤ -4_1_2=a¤ -8=0

∴ a=-2'2 (∵ a<0)

이차방정식 x¤ -2'2x+2=0의근은 x='2이므로점A의좌

표는 ('2, -'2 )

한편, 삼각형 OAP의넓이가최대가되려면곡선위의점 P에

서그은접선의기울기가직선 l의기울기와같은-1이어야하

므로

f '(x)=3x¤ -4'2x+1=-1에서

3x¤ -4'2x+2=0⋯ ⋯∴ x= (∵ x+'2 )

점P의좌표가P{ , - }이므로점P와직선 y=-x,

즉 x+y=0 사이의거리d는

d= =;2•7;

OA”="√('2)√¤ +(√-'ç2)¤Ω =2

이므로삼각형OAP의넓이의최댓값은

;2!;_2_;2•7;=;2•7;

따라서 a=;2•7;이므로 27a=27_;2•7;=8

|정답 88

"√1¤ +≈1Ω¤

'227

'23

'23


| - |'227

'23

C3

y=2x¤ 에서 y'=4x

두점 P, Q의좌표를각각 P(a, 2a¤ ), Q(b, 2b¤ )이라하면

두점에서그은접선의기울기는각각 4a, 4b이므로이점에서

의접선의방정식은

y=4ax-2a¤ , y=4bx-2b¤ ⋯ ⋯

두접선의교점의 x좌표를구하면

4ax-2a¤ =4bx-2b¤에서

4(a-b)x=2(a+b)(a-b)

∴ x=

x= 를 y=4ax-2a¤에대입하면

y=4a_ -2a¤

=2ab

즉, 점R의좌표는R{ , 2ab}

이때, 삼각형PQR의무게중심G(x, y)의좌표는

G{ , }

=G{ , }

=x에서 a+b=2x⋯ ⋯yy ㉠

=y에서 2a¤ +2b¤ +2ab=3y

2(a+b)¤ -2ab=3y, 8x¤ -3y=2ab

∴ ab=4x¤ -;2#;y⋯ `yy ㉡

㉠, ㉡에서 a, b를두실근으로하는 t에관한이차방정식

t¤ -2xt+4x¤ -;2#;y=0

을생각하면이이차방정식이서로다른두실근을가져야하므

로판별식D에대하여

=x¤ -{4x¤ -;2#;y}>0, -3x¤ +;2#;y>0

∴ y>2x¤

|정답 yy>>22xx¤¤

D4

2a¤ +2b¤ +2ab3

a+b2

2a¤ +2b¤ +2ab3

a+b2

2a¤ +2b¤ +2ab33

a+b2

a+b2

a+b2

a+b2


a+b+a+b2

오른쪽그림과같이곡선 y=2x¤ 위의서로다른두점

P, Q에서그은접선의교점을R라하자. 두점 P, Q가

곡선위를움직일때, 삼각형 PQR의무게중심 G가존

재하는범위를구하여라.

O x

y y=2x@

QG

R

P

오른쪽 그림과 같이 원점을 지나는 삼차함수

f(x)=x‹ +ax¤ +x의그래프에대하여원점O에

서의접선과수직인직선 l이원점을지나고곡선

y=f(x)와점A에서접한다. 두점O, A 사이에

서 움직이는 곡선 위의 점 P에 대하여 삼각형

OAP의 넓이의 최댓값은 a이다. 27a의 값을 구

하여라. (단, a<0)

O x

y y=f{x}

P

A

l



한편, 점 A에서의 기울기 f '(1)= 을 구해

야하므로

-x¤ +4x-1…f(x)…x¤ +1에서 x>1일때

… …

… …

∴ 3-x… …x+1 ⋯ ⋯yy ㉠

마찬가지방법으로 x<1일때

x+1… …3-x ⋯ ` ` ` ⋯yy ㉡

x=1에서 의좌극한과우극한을구하면

㉡에서 (3-x)… … (x+1)

이므로

2… …2

∴ =2 ⋯ ⋯yy ㉢

㉠에서 (x+1)… … (3-x)

이므로

2… …2

∴ =2 ⋯ ⋯yy ㉣

㉢, ㉣에서 =f '(1)=2

이므로점A에서의접선의방정식은

y-2=2(x-1)⋯ ⋯∴ y=2x

이직선의 y절편은 0이므로점B의좌표는

B(0, 0) ⋯ ⋯ ∴ b=0

∴ a+b=1

|정답 11

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1+

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1+

limx⁄ 1+

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1+

limx⁄ 1+

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1-

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1-

limx⁄ 1-

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1-

limx⁄ 1-

f(x)-f(1)x-1

f(x)-f(1)x-1

f(x)-f(1)x-1

(x+1)(x-1)x-1

f(x)-f(1)x-1

-(x-1)(x-3)x-1

x¤ +1-2x-1

f(x)-f(1)x-1

-x¤ +4x-1-2x-1

f(x)-f(1)x-1

limx⁄ 1

C4

f(x)=x‹ +3x¤ -9x-2에서

f '(x)=3x¤ +6x-9=3(x+3)(x-1)

f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)

x=1을기준으로 x>0인범위에서함수 f(x)의증가, 감소를


한편, 점 (2, 0)을지나는일차함수 g(x)의그래프에대하여

f(x)æg(x)를만족시키는경우는위그림과같이직선

y=g(x)가곡선 y=f(x) 위의점 (2, 0)에서의접선이되어

야한다.

이때, f '(2)=3_2¤ +6_2-9=15이므로

g(x)=15(x-2)=15x-30

∴ g(1)=15-30=-15

|정답--1155

y=f{x}y=g{x}

O x

y

12

-7


x

f '(x)

f(x)

(0) y 1 y

- 0 +

↘ -7 ↗

CB5

두 곡선 y=-x¤ +4x-1, y=x¤ +1의 교점의 x좌표를 구하

면-x¤ +4x-1=x¤ +1에서

2x¤ -4x+2=0, 2(x-1)¤ =0 ⋯ ⋯

∴ x=1

x=1을 y=x¤ +1에대입하면 y=2

즉, 점A의좌표는A(1, 2)이므로 a=1, f(1)=2


모든 실수 x에 대하여 부등식 -x¤ +4x-1…f(x)…x¤ +1을 만족시키는 미분

가능한함수 f(x)에대하여함수 f(x)의그래프는점 A(a, f(a))를반드시지

난다. 점 A에서의접선이 y축과만나는점을 B(0, b)라할때, a+b의값을구

하여라.

양의 실수 전체에서 정의된 함수 f(x)=x‹ +3x¤ -9x-2의 그래프 위의 점

(2, 0)을지나는일차함수 g(x)의그래프에대하여 f(x)æg(x)를만족시킬때,

g(1)의값을구하여라.


Theme 04. 최대·최소에의활용 65

점 P에서의 접선의 방정식을 구하고 QR”, PR”를 t에 관한

식으로나타내기

곡선 y=f(x) 위의점P(t, f(t))의접선의방정식은

y=f '(t)(x-t)+f(t)

∴Q(0, -tf '(t)+f(t))

선분PQ가원의지름이므로∠QRP=90˘, 즉점R의 y좌표는

점P의 y좌표와같으므로R(0, f(t))

∴QR”=|-tf '(t)+f(t)-f(t)|

=|-tf '(t)|,

∴PR”=t

삼각형 PQR의넓이 g(t)를 t에관한식으로나타내기

한편, f(x)=x‹ -3x¤ 에서

f '(x)=3x¤ -6x

삼각형PQR의넓이를 g(t)라하면

g(t)=;2!;_PR”_QR”

|g(t=;2!;_t_|-tf '(t)|

|g(t=;2!;_t_(-3t‹ +6t¤ ) (∵ 0<t<2)

|g(t=-;2#;t› +3t‹

0<t<2에서함수 g(t)의최댓값 a를구하고 64a의값구

하기

g'(t)=-6t‹ +9t¤ =-3t¤ (2t-3)

g'(t)=0에서 t=;2#; (∵ 0<t<2)

f(x)=x‹ -2x+3에서 f '(x)=3x¤ -2

곡선 y=f(x) 위의점A(-1, 4)에서의접선의기울기는

f '(-1)=3_(-1)¤ -2=1

이므로이점에서의접선의방정식은

y-4=x+1⋯ ⋯∴ y=x+5

이접선과곡선 y=f(x)가만나는다른한점의 x좌표를구하

면 x‹ -2x+3=x+5에서

x‹ -3x-2=0, (x+1)¤ (x-2)=0

∴ x=2 (∵ x+-1)

따라서점B에서의접선의기울기는

f '(2)=3_2¤ -2=10

|정답 1100

Step1

Step2

Step3

t

g'(t)

g(t)

(0) y ;2#; y (2)

0 + 0 - -

0 ↗ ;3*2!; ↘ 0

04 최대·최소에의활용T h e m e


1등급 완성하기 t=;2#;을기준으로 0<t<2에서함수 g(t)의증가, 감소를표로

나타내면다음과같다.

위의표에서함수 g(t)는 t=;2#;에서최댓값 ;3*2!;을갖는다.

따라서 a=;3*2!;이므로

64a=64_;3*2!;=162

|정답 116622

ASol

BSol

점P의좌표를 (t, f(t))라하면

Q(t, 0), R(0, f(t))

사각형OQPR의넓이를 g(t)라하면

오른쪽그림과같이삼차함수

f(x)=-x‹ +4x¤ 의 그래프 위의 점 P에서

x축, y축에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라

하자. 원점 O에 대하여 사각형 OQPR의 넓

이의최댓값을구하여라.

(단, 점P는제1`사분면위의점이다.) O x

y

f{x}=-x#+4x@

R P

Q

삼차함수 f(x)=x‹ -2x+3의그래프위의점 A(-1, 4)에서의접

선이함수 f(x)의그래프와만나는또다른한점을 B라할때, 점 B

에서의접선의기울기를구하여라.

함수 f(x)=x‹ -3x¤ 의그래프위의점 P(t, f(t))에서의접선이 y축과만나

는점을Q, 선분 PQ를지름으로하는원이 y축과만나는점을R라하자. 점 P

가 0<t<2인 곡선 위를 움직일 때, 삼각형 PQR의 넓이의 최댓값은 a이다.

64a의값을구하여라.

Ox

y f{x}=x#-3x@

P

Q

R



CSol

OP”=r, OA”=3이므로피타고라스정리에의해

PA”="√OA” ¤ √-OPΩ” ¤

PA”="√9-çr¤

즉, 삼각형OPA의넓이는

;2!;_OP”_PA”=;2!;r"√9-r Ω¤

이때, 삼각형OPA의넓이의제곱을S(r)라하면

S(r)=;4!;r¤ (9-r¤ )

S(r)=-;4!;r› +;4(;r¤

∴S'(r)=-r‹ +;2(;r

∴S'(r)=-r {r¤ -;2(;}

∴S'(r)=-r{r+ }{r- }

S'(r)=0에서 r= (∵ 0<r<3)

r= 를기준으로 0<r<3에서함수S(r)의증가, 감소를


3'22

3'22

3'22

3'22

g(t)=OQ”_OR”=tf(t)

=-t› +4t‹

∴ g'(t)=-4t‹ +12t¤

=-4t¤ (t-3)

g'(t)=0에서 t=3 (∵ t>0)

t=3을기준으로 t>0에서함수 g(t)의증가, 감소를표로나

타내면다음과같다.

위의표에서함수 g(t)는 t=3일때최댓값 27을갖는다.

|`정답 2277

t

g'(t)

g(t)

(0) y 3 y

0 + 0 -

0 ↗ 27 ↘

r

S'(r)

S(r)

(0) y y (3)

0 + 0 - -

0 ↗ ;1*6!; ↘ ↘

3'22

앞의표에서함수S(r)는최댓값 ;1*6!;을가지므로

삼각형OPA의넓이의최댓값은æ;–1*6!;=;4(;이다.

따라서 a=;4(;이므로

16a¤ =16_;1*6!;=81

|정답 8811

|참고|

원밖의점P에서원O에그은접선

의접점을A라할때

①OA”⊥PA”

②PO” ¤ =PA” ¤ +OA” ¤ P

O

A

A1

f(x)=x‹ +;2#;(-k+1)x¤ -3kx에서

f '(x)=3x¤ +3(-k+1)x-3k

=3(x-k)(x+1)

f '(x)=0에서 x=k 또는 x=-1

k의값의범위에따라최솟값을구하면다음과같다.

⁄ k<-1일때

함수 f(x)는 x=k에서극댓값, x=-1에서극솟값을갖지

만 x>0에서정의되므로최솟값은존재하지않는다.

¤ k=-1일때

f '(x)æ0이므로함수 f(x)는 x>0에서증가하지만최솟값

은존재하지않는다.

xk -1 0



x>0에서정의된함수 f(x)=x‹ +;2#;(-k+1)x¤ -3kx가최솟값을갖는다. 함수

f(x)의최솟값이-20보다크도록하는정수 k의개수를구하여라.

오른쪽 그림과 같이 점 A(-3, 0)

에서 원 x¤ +y¤ =r¤ 에 그은 접선이

원과만나는점을 P라할때, 원점 O

에대하여삼각형 OPA의넓이의최

댓값은 a이다. 16a ¤ 의 값을 구하여

라. (단, 0<r<3)

O x

y

r

rx@+y@=r@

-r

-r-3

A

P



‹ -1<k…0일때

함수 f(x)는 x=-1에서극댓값, x=k에서극솟값을갖지

만, x>0에서정의되므로최솟값은존재하지않는다.

› k>0일때

함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값, x=k에서 극솟값을 갖

고, k>0이므로최솟값은 f(k)이다.

⁄~›에서 k>0이고, 함수 f(x)의최솟값은 f(k)이므로

f(k)=k‹ +;2#;(-k+1)k¤ -3k¤

=-;2!;k‹ -;2#;k¤ >-20

이때, k>0이므로 k=1, 2, 3, y을차례로대입하면

f(1)=-;2!;-;2#;=-2>-20

f(2)=-4-6=-10>-20

f(3)=-:™2¶:-:™2¶:=-27<-20

이므로조건을만족시키는정수 k는 1, 2의 2개이다.

|정답 22

x-1 k0

x-1 k 0

A2

f(x)=3x› +4x‹ -12x¤ +20에서

f '(x)=12x‹ +12x¤ -24x=12x(x+2)(x-1)


f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=1

x=-2, x=0, x=1을기준으로함수 f(x)의증가, 감소를


이때,

f(t)-f(-t)

=(3t› +4t‹ -12t¤ +20)-(3t› -4t‹ -12t¤ +20)

=8t‹ >0 (∵ t>0)

이고, 방정식 f(x)=20을만족시키는양의근을 a라하면

f(t)>f(-t)

이므로다음그림과같이 t>a이면함수 f(x)의최댓값은

f(t), 0<t…a이면함수 f(x)의최댓값은 20이다.

∴ g(t)=[

한편, [그림 1]과같이 t<2이면함수 f(x)의최솟값은 f(-t),

[그림2]와같이 tæ2이면함수 f(x)의최솟값은-12이다.

[그림1]

[그림2]

O x

y

-22

-t

t

-12

1

20

y=f{x}

15

O x

y

-2-t

t

-12

1 2

20

15

y=f{x}

3t› +4t‹ -12t¤ +20 (t>a)20 (0<t…a)

O x

y

-2

å

-12

1 2

20

15

y=f{x}

사차함수 f(x)=3x› +4x‹ -12x¤ +20과 양수 t에 대하여 구간 [-t, t]에서 함수

f(x)의최댓값과최솟값을각각 g(t), h(t)라하자. 옳은것만을 <보기>에서있는대

로고른것은?

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄴ

④ㄱ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

보기

ㄱ. 함수 g(t)의최솟값이존재한다.

ㄴ. 모든양의실수 t에대하여함수 g(t)-h(t)는연속이다.

ㄷ. 모든양의실수 t에대하여함수 g(t)h(t)는미분가능하다.

x

f '(x)

f(x)

y -2 y 0 y 1 y

- 0 + 0 - 0 +

↘ -12 ↗ 20 ↘ 15 ↗



∴ h(t)=[

따라서두함수 g(t)와 h(t)의그래프는다음그림과같다.

ㄱ. 함수 g(t)는최솟값이 20으로존재한다. (참)

ㄴ. 두함수 g(t), h(t)가모든양의실수 t에서연속이므로함

수 g(t)-h(t)도연속이다. (참)

ㄷ. p(t)=g(t)h(t)로놓으면

p'(t)=g'(t)h(t)+g(t)h'(t)

이때, g(t)=[ 에서

g'(t)=[

h(t)=[ 에서

h'(t)=[

이므로

p'(t)

= {g'(t)h(t)+g(t)h'(t)}

=0_(3a› -4a‹ -12a¤ +20)+20(12a‹ -12a¤ -24a)

=240a(a+1)(a-2)

p'(t)

= {g'(t)h(t)+g(t)h'(t)}

=(12a‹ +12a¤ -24a)(3a› -4a‹ -12a¤ +20)

+(3a› +4a‹ -12a¤ +20)(12a‹ -12a¤ -24a)

즉, p'(t)+ p'(t)이므로함수p(t)=g(t)h(t)

는모든양의실수 t에대하여미분가능하지않다. (거짓)

따라서보기중옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

|정답③

limt⁄a+

limt⁄a-

limt⁄a+

limt⁄a+

limt⁄a-

limt⁄a-

12t‹ -12t¤ -24t (0<t<2)

0 (t>2)

3t› -4t‹ -12t¤ +20(0<t<2)

-12 (tæ2)

12t‹ +12t¤ -24t (t>a)0 (0<t<a)

3t› +4t‹ -12t¤ +20(t>a)20 (0<t…a)

O t

y

2å

-12

20

y=g{t}

y=h{t}

3t› -4t‹ -12t¤ +20(0<t<2)

-12 (tæ2)

BA3 풀이 제한 시간 : 3분

OP”="√t¤ + √(t¤ -ç1≈)Ω¤ ="√t› -√t¤ +1

이므로OP”를대각선으로하는정사각형의넓이S(t)는

S(t)=;2!;_("√t› -√t¤ +1)¤

S(t)=;2!;(t› -t¤ +1)

∴S'(t)=2t‹ -t=t(2t¤ -1)

=t('2t+1)('2t-1)

S'(t)=0에서 t=- 또는 t=0 또는 t=

t=- , t=0, t= 를기준으로함수 S(t)의증가, 감

소를표로나타내면다음과같다.

위의표에서함수S(t)는 t=— 에서최솟값 ;8#;을가지므로

a=— , b=;8#; ⋯ ⋯

∴ a¤ +b=;2!;+;8#;=;8&;

따라서 p=8, q=7이므로 p+q=15

|정답 1155

'22

'22

'22

'22

'22

'22

t

S'(t)

S(t)

y y 0 y y

- 0 + 0 - 0 +

↘ ;8#; ↗ ;2!; ↘ ;8#; ↗

- '22

'22

A 풀이 제한 시간 : 10분4

ㄱ. 함수 f(x)는최고차항의 계수가 양수인 사차함수이므로 최

솟값이존재한다. (참)

ㄴ. f '(x)=x‹ +2ax¤ +bx=x(x¤ +2ax+b)에서 이차방정

식 x¤ +2ax+b=0의두근을 a, b (a<b)라하자.

b<0이면근과계수의관계에의해 ab=b<0

이고, 판별식D에대하여 =a¤ -b>0

이므로이차방정식 x¤ +2ax+b=0은서로다른두실근을

갖고, 두근의부호는다르다. ⋯ ⋯∴ a<0, b>0

f '(x)=0에서 x=a 또는 x=0 또는 x=b

x=a, x=0, x=b를기준으로함수 f(x)의증가, 감소를

D4

원점을지나는사차함수 f(x)의도함수 f '(x)=x‹ +2ax¤ +bx에대하여옳은것만을

<보기>에서있는대로고른것은? (단, a, b는상수이다.)

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. 함수 f(x)의최솟값이존재한다.

ㄴ. b<0일때, 방정식 f(x)=0은서로다른네실근을갖는다.

ㄷ. 곡선 y=x¤ 위의점 (a, b)에대하여부등식 f(x)æ0이항상성립한다.

오른쪽 그림과 같이 정의역이 -1…x…1인

곡선 y=x¤ -1 위의점 P(t, t¤ -1)에대하

여 OP”를 대각선으로 하는 정사각형의 넓이

를S(t)라하자. 함수S(t)가 t=a에서최솟

값 b를가질때, a¤ +b=;pQ;이다. p+q의값

을구하여라. (단, p, q는서로소인자연수이다.)

O x

y

-1

-1

1

y=x@-1P{t,`t@-1}

S{t}



x

f '(x)

f(x)

y a y 0 y b y

- 0 + 0 - 0 +

↘ 극소 ↗ 0 ↘ 극소 ↗


즉, 함수 f(x)의 그래프는 다음 그림과 같으므로 방정식

f(x)=0은서로다른세실근을갖는다. (거짓)

ㄷ. 점 (a, b)가곡선 y=x¤ 위의점이므로

b=a¤ 에서 a¤ -b=0

ㄴ에서 =a¤ -b=0이므로이차방정식

x¤ +2ax+b=0은중근 a를갖는다.

a의값의범위에따라최솟값을구하면다음과같다.

⁄ a>0일때

다음그림과같이 f '(x)의그래프는 x>0에서

f '(x)æ0, x<0에서 f '(x)<0이므로 x=0에서 함수

f(x)는최솟값 0을갖는다. ⋯ ⋯∴ f(x)æ0

Ox

y

xO å

å

y=f`'{x}

y=f{x}

D4

Ox

y

∫å

¤ a<0일때


f '(x)>0, x<0에서 f '(x)…0이므로 x=0에서 함수

f(x)는최솟값 0을갖는다. ⋯ ⋯∴ f(x)æ0

‹ a=0일때


f '(x)>0, x<0에서 f '(x)<0이므로 x=0에서 함수

f(x)는최솟값 0을갖는다.

∴ f(x)æ0

⁄, ¤, ‹에서부등식 f(x)æ0은항상성립한다. (참)

따라서보기중옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

|정답③

O x

y

xO

y=f`'{x}

y=f{x}

Ox

y

xOå

å

y=f`'{x}

y=f{x}



점A의좌표를 (a, 0) (a>0)이라하면

f(x)=x¤ (x-a)

∴ f '(x)=2x(x-a)+x¤

=x{2(x-a)+x}

=x(3x-2a)

점A에서의접선의기울기가 9이므로

f '(a)=a(3a-2a)=a¤ =9

∴ a=3 (∵ a>0)

즉, f(x)=x¤ (x-3), f '(x)=x(3x-6)=3x(x-2)이고,

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

x=0, x=2를기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나타


따라서함수 f(x)의극솟값은-4이다.

|정답--44

함수의그래프를이용하여ㄱ의참, 거짓판별하기

주어진 조건에서 f '(a)=0이고 f(x)가 최고차항의 계수가 1

인삼차함수이므로 f(x)의그래프는다음그림과같다.

즉, 방정식 f(x)=0은 x=a에서중근을갖는다. (참)

도함수를이용하여ㄴ의참, 거짓판별하기

ㄱ에의해삼차함수 f(x)는

f(x)=(x-a)¤ (x+2a)

∴ f '(x)=2(x-a)(x+2a)+(x-a)¤

=(x-a){2(x+2a)+(x-a)}

=3(x-a)(x+a)

f '(x)=0에서 x=-a 또는 x=a

x=-a, x=a를기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나


위의표에서함수 f(x)는x=-a에서극댓값4a‹을갖는다. (참)

O x

y

-2å å

y=f{x}

Step2

Step1

x

f '(x)

f(x)

y 0 y 2 y

+ 0 - 0 +

↗ 0 ↘ -4 ↗

x

f '(x)

f(x)

y -a y a y

+ 0 - 0 +

↗ 4a‹ ↘ 0 ↗

05 방정식·부등식에의활용T h e m e


1등급 완성하기 두그래프의교점의개수를이용하여ㄷ의참, 거짓판별하기

ㄴ에의해함수 f(x)의그래프는다음그림과같다.

함수 f(x)가 x=-a에서극댓값 4a‹을가지므로함수 f(x)의

그래프와직선 y=5가서로다른세점에서만나려면 4a‹ >5이

어야한다.

이때, a=1이면 4¥1‹ =4<5, a=2이면, 4¥2‹ =32>5이므로

구하는양의정수 a의최솟값은 2이다. (참)

따라서보기중옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

|정답⑤

O x

y

-2å-å å

4å#

5

y=f{x}

ASol원점에서 x축에 접하고, 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)의 그

래프가 x축의양의방향에서점A와만난다. 점A에서의접선의기울

기가 9일때, 함수 f(x)의극솟값을구하여라.

최고차항의계수가 1이고 a, -2a를두근으로갖는삼차함수 f(x)가

f '(a)=0을만족시킬때, 옳은것만을<보기>에서있는대로고른것은?

(단, a>0이고, f '(x)는 f(x)의도함수이다.)

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

보기

ㄱ. 방정식 f(x)=0은x=a를중근으로갖는다.

ㄴ. 함수 f(x)는x=-a에서극댓값을갖는다.

ㄷ. 함수 f(x)의그래프와직선 y=5가서로다른세점에서만나게되는양의

정수 a의최솟값은 2이다.

Step3


Theme 05. 방정식·부등식에의활용 71

삼차함수 f(x)=x‹ +kx¤ -9x+3에서 극소인 점의 좌표가

(3, -24)이므로

f(3)=27+9k-27+3

=-24

9k=-27⋯ ⋯

∴ k=-3

즉, f(x)=x‹ -3x¤ -9x+3이므로

f '(x)=3x¤ -6x-9

=3(x+1)(x-3)

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3

x=-1, x=3을기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나


위의표에서함수 f(x)는 x=-1일때극댓값 8을가지므로극

대가되는점은 (-1, 8)

따라서 a=-1, b=8이므로

a¤ +b¤ =1+64=65

|정답 6655

|다른 풀이|

f(x)=x‹ +kx¤ -9x+3에서

f '(x)=3x¤ +2kx-9

함수 f(x)가 x=3에서극값을가지므로

f '(3)=0에서

27+6k-9=0, 6k=-18⋯ ⋯

∴ k=-3

즉, f(x)=x‹ -3x¤ -9x+3

f '(x)=3x¤ -6x-9

=3(x+1)(x-3)

이므로

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3

이때, 함수 f(x)는 x=-1에서

f(-1)=-1-3+9+3

=8

이므로 a=-1, b=8⋯ ⋯

∴ a¤ +b¤ =1+64

=65

BSol CSol

x

f '(x)

f(x)

y -1 y 3 y

+ 0 - 0 +

↗ 8 ↘ -24 ↗

f (x)=3x› -8x‹ -6x¤ +24x로놓으면

f '(x)=12x‹ -24x¤ -12x+24

=12x¤ (x-2)-12(x-2)

=12(x+1)(x-1)(x-2)

f '(x)=0에서x=-1 또는x=1 또는x=2

x=-1, x=1, x=2를 기준으로 함수 f(x)의 증가, 감소를


위의 표에서 함수 f(x)의 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음

그림과같다.

주어진 방정식의 근의 개수는 함수 f(x)의 그래프와 직선

y=-k의 그래프의 교점의 개수와 같으므로 근의 개수가 3이

되려면-k=8 또는-k=13

∴ k=-8 또는 k=-13

따라서구하는모든 k의값의합은

-8+(-13)=-21

|정답--2211

O x

y

y=-k

y=-k

-19

8

13

-1

1 2

y=f{x}

CA1 풀이 제한 시간 : 10분


방정식 3x› -8x‹ -6x¤ +24x+k=0의서로다른실근의개수가 3이

되도록하는모든상수 k의값의합을구하여라.

삼차함수 f(x)=x‹ +kx¤ -9x+3에서 극소가 되는 점의 좌표가

(3, -24)일때, 극대가되는점의좌표를 (a, b)라하자. 이때, a¤ +b¤

의값을구하여라. (단, k는상수이다.)

x

f '(x)

f(x)

y -1 y 1 y 2 y

- 0 + 0 - 0 +

↘ -19 ↗ 13 ↘ 8 ↗

사차함수 f(x)=x› +4x‹ 에대하여실수m과정수 n이다음조건을만족시킨다.

m의값을 a, 정수 n의개수를 b라할때, a+b의값을구하여라. (단, m+0)

㈎곡선 y=f(x)와접하고기울기가m인직선은 2개존재한다.

㈏방정식 f(x)=mx+n의한근은 1보다크고 2보다작다.




위의표에서함수 h(x)의그래프를좌표평면에나타내면다음

그림과같다.

이때, h(1)=-11, h(2)=16이므로방정식 h(x)=n이 1보

다크고 2보다작은실근을갖기위한n의값의범위는

-11<n<16

따라서정수n의개수는 16-(-11)-1=26이므로

a=m=16, b=26

∴ a+b=42

|정답 4422

O x

y

12-2

-11

16

y=h{x}

f(x)=x› +4x‹ 에서

f '(x)=4x‹ +12x¤ =4x¤ (x+3)

f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=0



위의표에서함수 f(x)의그래프를좌표평면에나타내면다음

그림과같다.

조건 ㈎에서 곡선 y=f(x)와 접하고 기울기가 m인 직선이 2

개존재하므로방정식 f '(x)=m은서로다른두실근을가져

야한다.

즉, 곡선 y=f '(x)와직선 y=m이곡선 y=f '(x)의극대또

는극소가되는점에서만나야하므로

g(x)=f '(x)=4x¤ (x+3)으로놓으면

g'(x)=8x(x+3)+4x¤

=12x(x+2)

g'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0

x=-2, x=0을기준으로함수 g(x)의증가, 감소를표로나


위의 표에서 함수 g(x)는 x=-2에서 극댓값 16, x=0에서

극솟값 0을갖는다.

그런데m+0이어야하므로m=16

한편, 조건㈏에서 f(x)=mx+n, 즉 x› +4x‹ =16x+n에서

x› +4x‹ -16x=n이므로주어진방정식의해는곡선

y=x› +4x‹ -16x와직선 y=n의교점의 x좌표와같다.

h(x)=x› +4x‹ -16x로놓으면

h'(x)=4x‹ +12x¤ -16

=4(x-1)(x+2)¤

h'(x)=0에서 x=-2 또는 x=1

x=-2, x=1을기준으로함수 h(x)의증가, 감소를표로나

O x

y

-27

-3

y=f{x}

CBA2

점P(t, t‹ -6t¤ +10t+3)에서직선 y=x+k,

즉 x-y+k=0에이르는거리 g(t)는

g(t)=

=

이때, h(t)=t‹ -6t¤ +9t+3-k로 놓으면 함수 g(t)가 구간

(0, ¶)에서미분가능하려면이구간에서h(t)æ0이어야한다.

h'(t)=3t¤ -12t+9=3(t-1)(t-3)이므로

h'(t)=0에서 t=1 또는 t=3

|t‹ -6t¤ +9t+3-k|'2

|t-(t‹ -6t¤ +10t+3)+k|

"√1¤ +√(√-1)¤Ω


오른쪽그림과같이함수

f(x)=x‹ -6x¤ +10x+3 위의점 P(t, f(t))에

서 직선 y=x+k까지의 거리를 g(t)라 하자. 함

수 g(t)가 구간 (0, ¶)에서 미분가능하도록 하

는실수 k의최댓값을 a라하고, k=a일때구간

(-¶, ¶)에서방정식 g(t)=2의서로다른실

근의개수를 b라하자. a+b의값을구하여라. O x

yy=x+k

y=f{x}

P{t,`f{t}}

g{t}

|약해| ?

x

g'(x)

g(x)

y -2 y 0 y

+ 0 - 0 +

↗ 16 ↘ 0 ↗

x

h'(x)

h(x)

y -2 y 1 y

- 0 - 0 +

↘ 16 ↘ -11 ↗

x

f '(x)

f(x)

y -3 y 0 y

- 0 + 0 +

↘ -27 ↗ 0 ↗


Theme 05. 방정식·부등식에의활용 73

t=1, t=3을기준으로함수 h(t)의증가, 감소를표로나타내

면다음과같다.

tæ0에서 t=0 또는 t=3일때함수 h(t)가최솟값을가지고

h(0)=h(3)=3-k이므로

3-kæ0 ⋯ ⋯∴ k…3

따라서실수 k의최댓값은 3⋯ ⋯∴ a=3

한편, k=3일때함수 h(t)는 t=1에서극댓값 4를가지므로

g(1)= =2'2

또, g(0)=0이므로다음그림과같이방정식 g(t)=2의서로

다른실근의개수는 4이다. ⋯ ⋯

∴ b=4

∴ a+b=7

|정답 77

O t

y

1 3

2Â2

y=g{t}

y=2

4'2

t

h'(t)

h(t)

y 1 y 3 y

+ 0 - 0 +

↗ 7-k ↘ 3-k ↗

BA3

ㄱ. 함수 f(x)의그래프는원점을지나고최고차항의계수가양

수이므로 x>0에서 역함수가 존재하려면 함수 f(x)는

x>0에서증가해야한다.

즉, x>0에서 f '(x)æ0이어야한다.

함수 f(x)의 역함수 f —⁄ (x)가 존재하므로 함수 f(x)는

x>0에서극값이존재하지않는다. (참)


ㄴ. f(x)=;4!;x› -x‹ -(k¤ -5k)x에서

f '(x)=x‹ -3x¤ -(k¤ -5k)

g(x)=f '(x)이므로

g '(x)=3x¤ -6x

=3x(x-2)

g '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

x>0에서 x=0, x=2를 기준으로 함수 g(x)의 증가, 감

소를표로나타내면다음과같다.

위의표에서함수 g(x)는 x=2에서극솟값을갖는다.

(거짓)

ㄷ. x>0에서 g(x)æ0이어야 하고, 함수 g(x)가 x=2에서

최솟값을가지므로

g(2)=8-12-k¤ +5kæ0

k¤ -5k+4…0, (k-1)(k-4)…0

∴ 1…k…4

즉, 실수 k의최댓값은 4이다. (참)

따라서보기중옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

|정답③

CBA4

f(x)=2x‹ -9(k-1)x¤ +6(2k¤ -3k)x

에서

f '(x)=6x¤ -18(k-1)x+6(2k¤ -3k)

=6{x¤ -(3k-3)x+k(2k-3)}

=6(x-k)(x-2k+3)

f '(x)=0에서

x=k 또는 x=2k-3

이때, 0…k<3 ⋯ ⋯ yy ㉠

이므로 (2k-3)-k=k-3<0⋯ ⋯

∴ 2k-3<k


실수전체를정의역으로하는함수

⋯ ⋯f(x)=2x‹ -9(k-1)x¤ +6(2k¤ -3k)x

에대하여방정식 f(x)=0은오직 x=0에서만근을갖는다. 0…k<3인실수 k에

대하여함수 f(x)의그래프위의점 (0, 0)에서의접선의기울기를 g(k)라할때,

a<g(k)<b이다. :£aı:의값을구하여라.

x>0에서정의된사차함수 f(x)=;4!;x› -x‹ -(k¤ -5k)x의역함수 f —⁄ (x)가존

재할때, 옳은것만을<보기>에서있는대로고른것은? (단, k는실수이다.)

보기

ㄱ. x>0에서 f(x)의극값은존재하지않는다.

ㄴ. g(x)=f '(x)일때, 함수 g(x)의극값은존재하지않는다.

ㄷ. k의최댓값은 4이다.

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

x

g'(x)

g(x)

(0) y 2 y

0 - 0 +

↘ 극소 ↗



x=2k-3, x=k를기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로

나타내면다음과같다.

위의 표에서 함수 f(x)는 x=2k-3에서 극댓값, x=k에서

극솟값을 갖고, 함수 f(x)의 그래프가 원점을 지나므로 함수

f(x)의 그래프의 개형은 다음 그림과 같이 두 가지로 생각할

수있다.

[그림1]

[그림2]

[그림 1]의 경우에는 방정식 f(x)=0이 0이 아닌 해를 가지므

로주어진조건을만족시키지않는다.

y=f{x}

O x

y

k2k-3

O x

y

k

y=f{x}

2k-3

즉, 2k-3>0에서 k>;2#; ⋯ ⋯yy ㉡

[그림2]의경우에서주어진조건을만족시키려면 f(k)>0이어

야하므로

f(k)=2k‹ -9(k-1)k¤ +6(2k¤ -3k)k

=5k‹ -9k¤ >0

k¤ (5k-9)>0, 5k-9>0⋯ ⋯∴ k>;5(;⋯ ⋯yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 ;5(;<k<3

한편, 함수 f(x)의그래프위의점 (0, 0)에서의접선의기울

기가 g(k)이므로

g(k)=f '(0)

g(k)=6k(2k-3)

g(k)=12{k-;4#;} ¤ -:™4¶:

함수 g(k)의그래프의대칭축이 k=;4#;<;5(;이므로

g{;5(;}<g(k)…g(3) ⋯ ⋯

∴ <g(k)…54

따라서 a= , b=54이므로

= =25

|정답 2255

16216225

3ba

16225

16225

x

f '(x)

f(x)

y 2k-3 y k y

+ 0 - 0 +

↗ 극대 ↘ 극소 ↗


Theme 06. 정적분 75

주어진조건을이용하여함수 f(x)의그래프의개형그리기

조건 ㈏에서 함수 f(x)의 그래프는 x=1을 대칭축으로 하고,

조건 ㈐에서 함수 f(x-4n)의 그래프는 함수 f(x)의 그래프

를 x축의양의방향으로 4n만큼평행이동한것과같으므로그

그래프는다음그림과같다.

함수 f(x)의그래프를이용하여 g(n) 구하기

조건㈎에서

f(-x)=-f(x)

이므로함수 f(x)의그래프는원점에대하여대칭이고,

f '(x)=-3x¤ +3에서

f '(-x)=f '(x)

이므로함수 f '(x)의그래프는 y축에대하여대칭이다. 즉,

g(n)=:_n N (x+1)f '(x)dx

g(n)=:_ nN {xf '(x)+f '(x)}dx

g(n)=:_ nN xf '(x)dx+:_ nN f '(x)dx

g(n)=0+2:) n f '(x)dx

g(n)=2[f(x)]n)

g(n)=2f(n)

O x

y

4 53

2

2

-2

1

-1-2-3

-4-5

y=f{x}

함수 f(x)가 정수 n에 대하여 f(x)=f(x-5n)이므로 함수

f(x-5n)의그래프는함수 f(x)의그래프를 x축의양의방향

으로 5n만큼평행이동시킨것과같다. 즉,

y=f(-3)=f(2)=f(7)=f(12)=y

이므로 :_2# f(x)dx=:@7 f(x)dx=:&1 2 f(x)dx=3

∴ :_1#2 f(x)dx=:_2# f(x)dx+:@7 f(x)dx+:&1 2 f(x)dx

∴ :_1#2 f(x)dx=3+3+3=9

|정답 99

Step1

Step2

Step3

f(x)=x‹ +x에서 f(-x)=-f(x)이므로 함수 f(x)의 그래

프는원점에대하여대칭이다.

또한, f '(x)=3x¤ +1에서 f '(-x)=f(x)이므로 함수 f '(x)

의그래프는 y축에대하여대칭이다.

∴ :_1! {f(x)+f '(x)}dx=:_1! f(x)dx+:_1! f '(x)dx

∴ :_1! {f(x)+f '(x)}dx=0+2:)1 f '(x)dx

∴ :_1! {f(x)+f '(x)}dx=2[f(x)]1)

∴ :_1! {f(x)+f '(x)}dx=2{f(1)-f(0)}

∴ :_1! {f(x)+f '(x)}dx=2(2-0)=4

|정답 44

06 정적분T h e m e


1등급 완성하기함수의그래프를이용하여수열의합계산하기

g(k)=2{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+y+f(2017)}

에서 2017=4_504+1이므로

2{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+y+f(2017)}

=2{(2+0-2+0)+(2+0-2+0)+y+2}

=2_2=4

|정답 44

2017;

k=1

ASol

BSol 삼차함수 f(x)=x‹ +x에대하여정적분 :_1! {f(x)+f '(x)}dx의값

을구하여라.

실수전체에서연속인함수 f(x)가정수 n에대하여

f(x)=f(x-5n)을만족시킨다. :@7 f(x)dx=3일때,

정적분 :_1#2 f(x)dx의값을구하여라.

미분가능한함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

g(n)=:_nN (x+1)f '(x)dx일때, g(k)의값을구하여라.2017

; k=1

㈎-1…x…1에서 f(x)=-x‹ +3x

㈏모든실수x에대하여 f(1-x)=f(1+x)

㈐정수n에대하여 f(x)=f(x-4n)



CSol

|다른 풀이|

:_1! {f(x)+f '(x)}dx=:_1! {(x‹ +x)+(3x¤ +1)}dx

:_1! {f(x)+f '(x)}dx=:_1! (x‹ +3x¤ +x+1)dx

:_1! {f(x)+f '(x)}dx=[;4!;x› +x‹ +;2!;x¤ +x]1_!

:_1! {f(x)+f '(x)}dx={;4!;+1+;2!;+1}-{;4!;-1+;2!;-1}

:_1! {f(x)+f '(x)}dx=4

R¡=:)1 f(x)dx-1_f(0)

=:)1 3x¤ dx-1_0

=[x‹ ]1)=1-0

=1

R™=:!2 f(x)dx-1_f(1)

=:!2 3x¤ dx-1_3

=[x‹ ]2!-3=(8-1)-3

=4

⋯ ⋯⋯

R«=:Nn_! f(x)dx-1_f(n-1)

=:Nn_! 3x¤ dx-1_3(n-1)¤

=[x‹ ]nN_!-3(n-1)¤

={n‹ -(n-1)‹ }-3(n-1)¤

=3n-2

∴ R˚= (3k-2)

∴ R˚=3_ -10_2

∴ R˚=165-20=145

|정답 114455

10_112

10;

k=1

10;

k=1

B1

조건㈎에서

:_3@ f(x)dx=:_2@ f(x)dx+:@3 f(x)dx=:@3 f(x)dx

이므로

:_2@ f(x)dx=0

함수 f(x)의그래프가원점을지나고, 최고차항의계수가 1이므

로 f(x)=x‹ +ax¤ +bx (a, b는상수)로놓으면

:_2@ f(x)dx=:_2@ (x‹ +ax¤ +bx)dx

=:_2@ ax¤ dx=2:)2 ax¤ dx

=2[;3!;ax‹ ]2)

=:¡3§:a=0

에서 a=0 ⋯ ⋯

∴ f(x)=x‹ +bx

즉, 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)이므로 함수 f(x)

의그래프는원점에대하여대칭이고, 함수 |f(x)|의그래프는

y축에대하여대칭이므로함수 x|f(x)|의그래프는원점에대

하여대칭, 함수 xf(x)의그래프는 y축에대하여대칭이다.

한편, 조건㈏에서

:_1! x{|f(x)|+f(x)}dx=:_1!x|f(x)|dx+:_1!xf(x)dx

=2:)1 xf(x)dx

=2:)1 (x› +bx¤ )dx

=2[;5!;xfi +;3!;bx‹ ]1)

=;5@;+;3@;b=-;1¢5;

이므로 ;3@;b=-;3@;⋯ ⋯

∴ b=-1

따라서 f(x)=x‹ -x, f '(x)=3x¤ -1이므로



최고차항의계수가 1이고, 원점을지나는삼차함수 f(x)가다음조건을만족시킨

다.

정적분 :_2@ f '(x)dx의값을구하여라.

㈎:_3@ f(x)dx=:@3 f(x)dx

㈏:_1! x{|f(x)|+f(x)}dx=-;1¢5;

오른쪽그림과같이함수 f(x)=3x¤ 의그

래프와 두 직선 x=1, y=f(0)으로 둘러

싸인도형의넓이를 R¡, 함수 f(x)=3x¤

의그래프와두직선 x=2, y=f(1)로둘

러싸인도형의넓이를R™라하자. 이와같

은 방법으로 도형을 계속 만들어 함수

f(x)=3x¤ 의 그래프와 두 직선 x=n,

y=f(n-1)로 둘러싸인 도형의 넓이를

R«이라할때, R˚의값을구하여라.

(단, n은자연수이다.)

10;

k=1

O x

y

…

…1 2 3 4 5

y=f{x}

R∞

R¢

R£

R™R¡


Theme 06. 정적분 77

:_2@ f '(x)dx=:_2@ (3x¤ -1)dx

=2:)2 (3x¤ -1)dx

=2[x‹ -x]2)

=2(8-2)=12

|정답 1122

A2

:)2 f(x)dx-:!3 f(x)dx+:@4 f(x)dx-y+:(1*0 0 f(x)dx

=[:)2 f(x)dx+:@4 f(x)dx+y+:(1*0 0 f(x)dx]

-[:!3 f(x)dx+:#5 f(x)dx+y+:(9&9 f(x)dx]

=:)1 0 0 f(x)dx-:!9 9 f(x)dx

=:)1 f(x)dx+:(1(0 0 f(x)dx

한편, 함수 f(x-3n)의그래프는함수 f(x)의그래프를 x축의

양의방향으로 3n만큼평행이동시킨것과같고,

100=3_33+1, 99=3_33이므로

:(1(0 0 f(x)dx=:)1 f(x)dx

∴(주어진식)=2:)1 f(x)dx

∴(주어진식)=2_;2!;_1_1=1

|정답 11


CB3 풀이 제한 시간 : 5분

구간 [0, 3]에서정의된함수 f(x)의그래프가다음과같다.

구간 [3n, 3n+3]에서 f(x)=f(x-3n)일때,

정적분:)2 f(x)dx-:!3 f(x)dx+:@4 f(x)dx-y+:(1*0 0 f(x)dx의값을구하여라.

O x

y

1

1

2 3

y=f{x}

삼차함수 f(x)=x‹ -x에대하여 수열 {a«}을

⋯ ⋯a«=:

n+1

n-1{f(x-n)+n}dx (n=1, 2, 3, y)

라하자. =;pQ;일때, pq의값을구하여라.

(단, p, q는서로소인자연수이다.)

1a˚a˚≠¡

10;

k=1

모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)이므로 함수 f(x)의

그래프는원점에대하여대칭이다.

즉, 오른쪽그림과같이함수

f(x)의 그래프와 x축으로

둘러싸인두도형 S¡, S™의

넓이는서로같다.

이때, a¡=:)2 {f(x-1)+1}dx의값은 [그림 1]과같이가로가

2, 세로가 1인직사각형의넓이와같으므로

a¡=2_1=2

a™=:!3 {f(x-2)+2}dx의값은 [그림 2]와같이가로가 2, 세

로가 2인정사각형의넓이와같으므로

a™=2_2=4

[그림1]

[그림2]

같은방법으로 a«=:

n+1

n-1{f(x-n)+n}dx의값은가로가 2,

세로가n인직사각형의넓이와같으므로

a«=2_n=2n

∴ =

=;4!; {;k!;- }

=;4!;[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;1¡0;-;1¡1;}]

=;4!;{1-;1¡1;}

=;4!;_;1!1)=;2∞2;

따라서 p=22, q=5이므로 pq=110

|정답 111100

1k+1

10;

k=1

12k¥2(k+1)

10;

k=1

1a˚a˚≠¡

10;

k=1

{2,`2}

O x

y

2

31

y=f{x-2}+2

O x

y

1

2

{1,`1}

y=f{x-1}+1

O x

y

-1 1

S¡

S™

y=f{x}



⁄, ¤에서 g(t)=[

ㄱ. g(t)= {;3!;t‹ -2t+;3*;}

ㄱ. g(t)=;3*;-4+;;3*;

ㄱ. g(t)=;3$;

g(t)= {2t-;3*;}

ㄱ. g(t)=4-;3*;=;3$;

g(2)=;3$;

즉, g(t)= g(t)=g(2)이므로함수 g(t)는

tæ0에서연속이다. (참)

ㄴ. g'(t)=[ 에서

g'(t)= (t¤ -2)=4-2=2

g'(t)= 2=2

g'(t)= g'(t)이므로함수 g(t)는 t>0에서

미분가능하다. (참)

ㄷ. :)3 g(t)dt=:)2 {;3!;t‹ -2t+;3*;}dt+:@3 {2t-;3*;}dt

=[;1¡2;t› -t¤ +;3*;t]2)+[t¤ -;3*;t]3@

={;3$;-4+:¡3§:}+[(9-8)-{4-:¡3§:}]

=5 (참)

따라서보기중옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

|정답⑤

limt⁄2+

limt⁄2-

limt⁄2+

limt⁄2+

limt⁄2-

limt⁄2-

t¤ -2 (0<t<2)

2 (t>2)

limt⁄2+

limt⁄2-

limt⁄2+

limt⁄2+

limt⁄2-

limt⁄2-

;3!;t‹ -2t+;3*; (0…t…2)

2t-;3*; (t>2)4

t의값의범위에따라함수 g(x)를구하면다음과같다.

⁄ 0…t…2일때

|f(x)|=[ 이므로

g(t)=:)2 |f(x)|dx

g(t)=:)t (-x¤ +tx)dx+:T2 (x¤ -tx)dx

g(t)=[-;3!;x‹ +;2!;tx¤ ]t)+[;3!;x‹ -;2!;tx¤ ]2T

g(t)={-;3!;t‹ +;2!;t‹ }+[{;3*;-2t}-{;3!;t‹ -;2!;t‹ }]

g(t)=;3!;t‹ -2t+;3*;

¤ t>2일때

|f(x)|=-x¤ +tx이므로

g(t)=:)2 |f(x)|dx

g(t)=:)2 (-x¤ +tx)dx

g(t)=[-;3!;x‹ +;2!;tx¤ ]2)

g(t)=2t-;3*;

-x¤ +tx (0…x<t)

x¤ -tx (t…x…2)


함수 f(x)=x(x-t) (tæ0)에대하여함수 g(t)를

⋯ ⋯g(t)=:)2 |f(x)|dx

라하자. 옳은것만을<보기>에서있는대로고른것은?

보기

ㄱ. 함수 g(t)는 tæ0에대하여연속이다.

ㄴ. 함수 g(t)는 t>0에대하여미분가능하다.

ㄷ. :)3 g(t)dt=5

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ


Theme 07. 정적분과미분 79

주어진조건을이용하여 f(x) 구하기

f(x)=x‹ +px¤ +qx+r (p, q, r는상수)로놓으면

f '(x)=3x¤ +2px+q

조건㈎에의해 f '(-1)=0, f '(1)=0이므로

f '(x)=3(x+1)(x-1)

로놓을수있다.

즉, f '(x)=3x¤ -3이므로

p=0, q=-3

또한, F(x)=:A/ f(t)dt의양변을 x에대하여미분하면

F'(x)=f(x)

조건㈏에의해F'(0)=0이므로

F'(0)=f(0)=0, 즉 r=0

∴ f(x)=x‹ -3x

함수F(x)의증가, 감소파악하기

따라서

F(x)=:A/ (t‹ -3t)dt

F(x)=[;4!;t› -;2#;t¤ ]/A

F(x)={;4!;x› -;2#;x¤ }-{;4!;a› -;2#;a¤ }

이므로

F'(x)=f(x)=x‹ -3x

=x(x+'3)(x-'3)

F'(x)=0에서 x=-'3 또는 x=0 또는 x='3

x=-'3, x=0, x='3을기준으로함수F(x)의증가, 감소

를표로나타내면다음과같다.

Step1

Step2

그래프를이용하여 a와 a¤의값구하기

방정식F(x)=0이서로다른세실근을가지려면다음그림과

같이함수F(x)의극댓값이 0이어야한다.

즉, F(0)=0이어야하므로

-;4!;a› +;2#;a¤ =0,

a¤ (a+'6)(a-'6)=0

∴ a='6 (∵ a>0)

∴ a¤ =6

|정답 66

Ox

y

Â3

y=F{x}

-Â3-a a

07 정적분과미분T h e m e



ASol

f(x)=x‹ -4x¤ +ax+1에서

f '(x)=3x¤ -8x+a

함수 f(x)가 x=-;k!;, x=k에서극값을가지므로

f '{-;k!;}=f '(k)=0

즉, f '(x)=3{x+;k!;}(x-k)=3x¤ +3{;k!;-k}x-3

이므로 a=-3

f '(x)=3x¤ -8x-3=(3x+1)(x-3)=0에서

x=-;3!; 또는 x=3

x=-;3!;, x=3을기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나


삼차함수 f(x)=x‹ -4x¤ +ax+1은 x=-;k!;에서 극댓값, x=k에

서극솟값을갖는다. 이때, a+k의값을구하여라. (단, a, k는상수이다.)

최고차항의계수가 1인삼차함수 f(x)와함수

⋯ ⋯F(x)=:A/ f(t)dt

가다음조건을만족시킨다.

방정식F(x)=0이서로다른세실근을갖도록하는양수 a에대하여 a¤의값

을구하여라.

㈎함수 f(x)는x=-1, x=1에서극값을갖는다.

㈏함수F(x)는x=0에서극값을갖는다.

Step3

x

F'(x)

F(x)

y -'3 y 0 y '3 y

- 0 + 0 - 0 +

↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗



:A/ f(t)dt=x¤ -3x+a ⋯ ⋯yy ㉠

㉠의양변에 x=a를대입하면

:Aa f(t)dt=a¤ -3a+a, a¤ -2a=0

a(a-2)=0⋯ ⋯

∴ a=2 (∵ a+0)

또한, ㉠의양변을 x에대하여미분하면

f(x)=2x-3⋯ ⋯

∴ f '(x)=2

∴ a+f '(0)=2+2=4

|정답 44

위의표에서함수 f(x)는 x=-;3!;에서극댓값, x=3에서극솟

값을가지므로 k=3

∴ a+k=0

|정답 00

BA1

함수 f(x)의차수를 n이라하면도함수 f '(x)의차수는 n-1

이므로조건㈎에서함수 f(x)f '(x)의차수는

n+(n-1)=2n-1 ⋯ ⋯ ` yy ㉠

이때, 함수 g(x)의 차수를 비교하여 함수 f(x)의 차수를 구하

면다음과같다.

⁄ g(x)가삼차이하의다항식일때

조건㈎에서우변이삼차식이므로

2n-1=3 ⋯ ⋯

∴n=2

¤ g(x)가사차이상의다항식일때

㉠에의해함수 g(x)의차수는 2n-1이다.

조건㈏에서 3:)/ tf '(t)dt=g(x)+x‹ -4x의양변을 x에

대하여미분하면

3xf '(x)=g'(x)+3x¤ -4⋯ ⋯yy ㉡

양변의최고차항의차수를비교하면

1+(n-1)=2n-2 ⋯ ⋯

∴n=2


f(x)=2x‹ +3x¤ -12x+a로놓으면

f '(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1)

f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=1



위의표에서함수 f(x)는 x=-2에서극댓값, x=1에서극솟

값을갖는다.

O x

y

1

-2

y=f{x}

x

f '(x)

f(x)

y -2 y 1 y

+ 0 - 0 +

↗ 극대 ↘ 극소 ↗


BSol

CSol

한편, 방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 앞 그

림과같이(극댓값)_(극솟값)<0이어야하므로

f(-2)f(1)<0, (a+20)(a-7)<0

∴-20<a<7

따라서구하는모든정수 a의개수는

7-(-20)-1=26

|정답 2266

|참고|

삼차함수 f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d (a, b, c, d는상수)가극

값을가질때, 삼차방정식 ax‹ +bx¤ +cx+d=0의근은극값

을이용하여다음과같이판별할수있다.

① (극댓값)_(극솟값)<0 HjK 서로다른세실근

②(극댓값)_(극솟값)=0 HjK한실근과중근(서로다른두실근)

③ (극댓값)_(극솟값)>0 HjK 한실근과두허근

최고차항의계수가 1인두다항함수 f(x), g(x)가다음조건을만족시킨다.

정적분 :)2 f(x)dx의값을구하여라.

㈎모든실수 x에대하여 f(x)f'(x)=g(x)+x‹ -3x¤

㈏ 3:)/ tf '(t)dt=g(x)+x‹ -4x삼차방정식 2x‹ +3x¤ -12x+a=0의 서로 다른 실근의 개수가 3일

때, 모든정수 a의개수를구하여라.

다항함수 f(x)가 :A/ f(t)dt=x¤ -3x+a를만족시킬때, a+f '(0)의

값을구하여라. (단, a+0)

x

f '(x)

f(x)

y -;3!; y 3 y

+ 0 - 0 +

↗ 극대 ↘ 극소 ↗


Theme 07. 정적분과미분 81

BA2

:)/ f(t)dt=-2x‹ +3x¤ +xf(x)-2:)1 f(x)dx ⋯ ⋯yy ㉠

2:)1 f(x)dx의값은상수이므로㉠의양변을 x에대하여미분

하면

f(x)=-6x¤ +6x+f(x)+xf '(x)

xf '(x)=6x¤ -6x⋯ ⋯

∴ f '(x)=6x-6

∴ f(x)=: (6x-6)dx

∴ f(x)=3x¤ -6x+C (C는적분상수)

㉠에 x=0을대입하면

-2:)1 f(x)dx=0,

즉 :)1 f(x)dx=0이므로


⁄, ¤에서함수 f(x)의차수는 2이다.

f(x)=x¤ +ax+b (a, b는상수)로놓으면

f '(x)=2x+a

조건㈎에서 g(x)=f(x)f '(x)-x‹ +3x¤ 이므로

g(x)=(x¤ +ax+b)(2x+a)-x‹ +3x¤

∴ g '(x)=(2x+a)¤ +2(x¤ +ax+b)-3x¤ +6x

=3x¤ +6(a+1)x+(a¤ +2b)

㉡에서

3x(2x+a)=3x¤ +6(a+1)x+a¤ +2b+3x¤ -4

3(a+2)x+(a¤ +2b-4)=0

이식이모든실수 x에대하여성립하므로

a+2=0, a¤ +2b-4=0

∴ a=-2, b=0

따라서 f(x)=x¤ -2x이므로

:)2 f(x)dx=:)2 (x¤ -2x)dx

:)2 f(x)dx=[;3!;x‹ -x¤ ]2)

:)2 f(x)dx=;3*;-4

:)2 f(x)dx=-;3$;

|정답--;;33$$;;

B3

g(x)= ;n!; ;Kn+! f[1+ ]

g(x)= ;Kn+! f[1+ ]¥

g(x)= :!/ f(x)dx

이므로

`g(x)= :!/ f(x)dx

`g(x)=f(1)

`g(x)=1-2+1

`g(x)=0

|정답 00

1x-1

limx⁄1

limx⁄1

1x-1

x-1n

(x-1)kn

limn ⁄¶

1x-1

(x-1)kn

limn ⁄¶


:)1 (3x¤ -6x+C)dx=0

[x‹ -3x¤ +Cx]1)=0, 1-3+C=0⋯ ⋯∴C=2

따라서 f(x)=3x¤ -6x+2이므로

:!/ f(t)dt=f(1)=3-6+2=-1

|정답--11

1x-1

limx⁄1

C4

구간 (0, 8]에서함수 f(x)의그래프는다음그림과같다.

O x

y

1 3

7

y=f{x}

8

2

-2

5


구간 (0, 8]에서정의된함수 f(x)가다음과같다.

⋯ ⋯f(x)=[함수 f(x)가 구간 (8n, 8n+8]에서 f(8n)=f(8n+8) (n은정수)을만족시킬때,

구간 (0, 2016)에서정의된함수 g(x)=:)/ f(t)dt에대하여곡선 y=g(x)와직선

y=;2!;x+3의교점의개수를구하여라.

2x (0<x<1)2 (1…x<3)

-x+5 (3…x<7)2x-16 (7…x…8)

다항함수 f(x)가모든실수 x에대하여

⋯ ⋯:)/ f(t)dt=-2x‹ +3x¤ +xf(x)-2:)1 f(x)dx

를만족시킬때, :!/ f(t)dt의값을구하여라.1

x-1limx⁄1

yy ㉠

두함수 f(x), g(x)가⋯ ⋯f(x)=x‹ -2x¤ +1

⋯ ⋯g(x)= ;n!; ;Kn+! f[1+ ]

일때, `g(x)의값을구하여라.lim

x⁄1

(x-1)knlim

n ⁄¶



g(x)=:)/ f(t)dt에서양변을 x에대하여미분하면

g'(x)=f(x)

함수 f(x)가 x=5의좌우에서양에서음으로, x=8의좌우에

서 음에서 양으로 바뀌므로 함수 g(x)는 x=5에서 극댓값,

x=8에서극솟값을갖는다. 이때,

g(5)=:)5 f(t)dt

g(5)=;2!;_(2+5)_2

g(5)=7

g(8)=:)8 f(t)dt

g(8)=:)5 f(t)dt+:%8 f(t)dt

g(8)=7-;2!;_3_2

g(8)=4

이므로 함수 g(x)는 x=5에서 극댓값 7, x=8에서 극솟값 4

를갖는다.

또한, 함수 f(x)가구간 (8n, 8n+8] (n은정수)에서같은그

래프가반복적으로나타나므로함수 g(x)는 x=5+8(n-1)

에서극댓값, x=8n에서극솟값을갖는다.

한편,

g(5+8(n-1))

=:)8 f(t)dt+:)1 6 f(t)dt+y+:8(n-1)

5+8(n-1)f(t)dt

=4+4+y+4+:)5 f(t)dt

=4(n-1)+7

g(8n)

=:)8 f(t)dt+:)1 6 f(t)dt+y+:

8n

8(n -1)f(t)dt

=4+4+y+4

=4n

이므로함수 g(x)의극대가되는점의좌표는 (5, 7), (13, 11),

(21, 15), y, 극소가 되는 점의 좌표는 (8, 4), (16, 8),

(24, 12), y이다.

즉, 함수 g(x)의 그래프와 직선 y=;2!;x+3을 좌표평면에 나

타내면다음그림과같다.

이때, 구간 (0, 8)에서두그래프가만나는점의개수가 2이고,

2016=8_252이므로구하는교점의개수는

2_252=504

|정답 550044

O x

y 2y= x+3

1

y=g{x}

P¡{5,`7}

Q¡{8,`4}

P™{13,`11}

P£{21,`15}

Q™{16,`8}

Q£{24,`12}


Theme 08. 정적분과급수 83

두함수 f(x), g(x)의그래프의대칭성파악하기

조건 ㈎에서 f(-x)=-f(x)이므로 함수 f(x)의 그래프는

원점에대하여대칭이다.

조건 ㈏에서 f(1+x)=g(1-x)이므로 두 함수 f(x), g(x)

의그래프는직선 x=1에대하여대칭이다.

또한, f(1+x)=g(1-x)에 x=0을대입하면

f(1)=g(1), 즉 f(1)-g(1)=0이므로 함수 f(x)-g(x)의

그래프는점 (1, 0)에대하여대칭이다.

∴ :!1_—Kk {f(x)-g(x)}dx=0 ⋯ ⋯yy ㉠

급수를정적분의꼴로나타내고간단히하기

한편, 조건㈐에서

;n!;;Kn+![6f{-3+ }-4g{-1+ }]

= ;Kn+! f{-3+ }¥;n^;- ;Kn+!g{-1+ }¥;n$;

=:_3# f(x)dx-:_3! g(x)dx

=:

-1

-3f(x)dx+[:_3! f(x)dx-:_3! g(x)dx]

=:

-1

-3f(x)dx+:_3! {f(x)-g(x)}dx

=:

-1

-3f(x)dx+0 (∵㉠)

=-:!3 f(x)dx (∵조건㈎)

=2

정적분의값구하기

∴ :!3 f(x)dx=-2

|정답--22

4kn

limn ⁄¶

6kn

limn⁄¶

4kn

6kn

limn⁄¶

f(x)+f(-x)=0에 x=0을대입하면

f(0)+f(0)=0 ⋯ ⋯

∴ f(0)=0

또, f(-x)=-f(x)이므로 함수 f(x)의 그래프는 원점에 대

하여대칭이다.

즉, 도함수 f '(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이고, 함수

xf '(x)의그래프는원점에대하여대칭이다.

∴ :_1! (x+1)f '(x)dx=:_1!xf '(x)dx+:_1! f '(x)dx

∴ :_1! (x+1)f '(x)dx=0+2:)1 f '(x)dx

∴ :_1! (x+1)f '(x)dx=2[f(x)]1)

∴ :_1! (x+1)f '(x)dx=2{f(1)-f(0)}

∴ :_1! (x+1)f '(x)dx=2(1-0)

=2

|정답 22

조건㈎에의해함수 f(x)의그래프는 y축에대하여대칭이다.

조건㈏에서

;n!; ;Kn+! f{ }=;2!; ;Kn+! f{ }¥

;n!;;Kn+! f{ }=;2!;:)2 f(x)dx=5

이므로 :)2 f(x)dx=10

∴ :_2@ f(x)dx=2:)2 f(x)dx

∴ :_2@ f(x)dx=2_10

=20

|정답 2200

2n

2kn

limn ⁄¶

2kn

limn ⁄¶

Step1

Step2

Step3

08 정적분과급수T h e m e


1등급 완성하기 ASol

BSol다항함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

정적분 :_2@ f(x)dx의값을구하여라.

㈎모든실수x에대하여 f(-x)=f(x)

㈏ ;n!;;Kn+! f { }=52knlim

n ⁄¶

모든실수에서연속인두함수 f(x), g(x)가다음조건을만족시킨다.

정적분 :!3 f(x)dx의값을구하여라.

㈎ f(-x)=-f(x)

㈏ f(1+x)=g(1-x)

㈐ ;n!;;Kn+![6f {-3+ }-4g {-1+ }]=24kn

6knlim

n ⁄¶

연속함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

정적분 :_1! (x+1)f '(x)dx의값을구하여라.

㈎ f(x)+f(-x)=0

㈏ f(1)=1



CSol

CB1

;n!;;Kn+! f{-1+ }=;6!; ;Kn+! f{-1+ }¥

=;6!;:_5! f(x)dx

조건㈎에서

:)1 f(x)dx=:)1 (-x¤ +2x)dx

:)1 f(x)dx=[-;3!;x‹ +x¤ ]1)

:)1 f(x)dx={-;3!;+1}-0=;3@;

조건 ㈏에서 f(x)=f(x-1)+1이므로 이 식에 x 대신 x+1

을대입하면

f(x+1)=f(x)+1⋯ ⋯

∴ f(x)=f(x+1)-1

∴ :_0! f(x)dx=:_0!{f(x+1)-1}dx

∴ :_0! f(x)dx=:_0! f(x+1)dx-:_0! 1dx

∴ :_0! f(x)dx=:)1 f(x)dx-[x]0_!

∴ :_0! f(x)dx=;3@;-{0-(-1)}=;3@;-1

6n

6kn

limn ⁄¶

6kn

limn ⁄¶



(주어진식)= ;Kn+!{1+ } ‹ ¥;n@;

(주어진식)=:!3 x‹ dx

(주어진식)=[;4!;x› ]3!

(주어진식)=;4!;(81-1)

(주어진식)=20

|정답 2200

2kn

limn ⁄¶

또, f(x)=f(x-1)+1이므로

:!2 f(x)dx=:!2 {f(x-1)+1}dx

:!2 f(x)dx=:!2 f(x-1)dx+:!2 1dx

:!2 f(x)dx=:)1 f(x)dx+[x]2!

:!2 f(x)dx=;3@;+(2-1)

:!2 f(x)dx=;3@;+1

:@3 f(x)dx=:@3 {f(x-1)+1}dx

:@3 f(x)dx=:@3 f(x-1)dx+:@3 1dx

:@3 f(x)dx=:!2 f(x)dx+[x]3@

:@3 f(x)dx={;3@;+1}+(3-2)

:!2 f(x)dx=;3@;+2

:#4 f(x)dx=:#4 {f(x-1)+1}dx

:#4 f(x)dx=:#4 f(x-1)dx+:#4 1dx

:#4 f(x)dx=:@3 f(x)dx+[x]4#

:#4 f(x)dx={;3@;+2}+(4-3)

:!2 f(x)dx=;3@;+3

:$5 f(x)dx=:$5 {f(x-1)+1}dx

:$6 f(x)dx=:$5 f(x-1)dx+:$5 1dx

:$6 f(x)dx=:#4 f(x)dx+[x]5$

:$6 f(x)dx={;3@;+3}+(5-4)

:!2 f(x)dx=;3@;+4

∴ ;6!;:_5! f(x)dx

∴=;6!;[:_0! f(x)dx+:)1 f(x)dx+y+:$5 f(x)dx]

∴=;6!;[{;3@;-1}+;3@;+{;3@;+1}+y+{;3@;+4}]

∴=;6!;[;3@;_6+(-1+0+1+2+3+4)]

∴=;6!;(4+9)

∴=:¡6£:

모든실수 x에대하여연속인함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

;n!;;Kn+! f{-1+ }=;pQ;일때, p+q의값을구하여라.

(단, p, q는서로소인자연수이다.)

6knlim

n ⁄¶

㈎ 0…x<1에서 f(x)=-x¤ +2x

㈏ f(x)=f(x-1)+1

급수

⋯ ⋯ ;n@;[{1+;n@;}‹ +{1+;n$;}‹ +{1+;n^;}‹ +y+{1+ }‹ ]

의값을구하여라.

2nnlim

n⁄¶


Theme 08. 정적분과급수 85

따라서 p=6, q=13이므로

p+q=19

|정답 1199

|다른 풀이|

0…x<1에서 f(x)=-x¤ +2x이고 f(x)=f(x-1)+1이므

로구간 [-1, 5]에서함수 f(x)의그래프를좌표평면에나타내

면다음그림과같다.

따라서

:_5! f(x)dx=:_0! f(x)dx+:)1 f(x)dx+y+:$5 f(x)dx

:_5! f(x)dx={;3@;-1}+;3@;+{;3@;+1}+y+{;3@;+4}

:_5! f(x)dx=;3@;_6+(-1+0+1+2+3+4)

:_5! f(x)dx=4+9

:_5! f(x)dx=13

이므로

;n!;;Kn+! f {-1+ }=;6!;:_5! f(x)dx

;n!;;Kn+! f {-1+ }=:¡6£:

6kn

limn⁄¶

O x

y

1

1

2

3

4

-1

-1

1

2

3

4

5

2 3 4 5

32

32

32

32

32

32

CB 풀이 제한 시간 : 7분2

f(x)=-x¤ +1에서 f '(x)=-2x

곡선 y=f(x) 위의점 P˚(x˚, f(x˚))에서의접선의기울기가

-2x˚이므로접선의방정식은

y-f(x˚)=-2x˚(x-x˚)

CB3 풀이 제한 시간 : 5분

∴ y=-2x˚x+x ¤ +1

∴ y=- x+ +1 {∵ x˚=;nK;}

점Q˚의 y좌표를구하면

y=- x˚–¡+ +1

=- _ + +1 {∵ x˚–¡= }

=- + +1

두점H˚, H˚–¡의 x좌표는각각 , 이므로사다리꼴

P˚Q˚H˚–¡H˚의넓이S˚는

S˚=;2!;_(P ’ ’H ”+Q’˚H ”˚–¡”)_H˚ ”H”˚–¡”

=;2!;_[{- +1}+{- + +1}]_

=- + +

이때, ;Kn+! = =0이므로

;Kn+!S˚= ;Kn+!{- + }

;Kn+!S˚= ;Kn+![-{ }¤+1]¥

=:)1 (-x¤ +1)dx

=[-;3!;x‹ +x]1)

={-;3!;+1}-0=;3@;

따라서 p=3, q=2이므로 p¤ +q¤ =9+4=13

|정답 1133

|다른 풀이|

주어진 조건에 의해 ;Kn+!S˚의 값은 곡선 y=-x¤ +1과 x

축및 y축으로둘러싸인도형의넓이와같다.

따라서구하는넓이는

:)1 (-x¤ +1)dx=[-;3!;x‹ +x]1)

:)1 (-x¤ +1)dx=;3@;

limn ⁄¶

1n

kn

limn⁄¶

1n

k¤n‹

limn⁄¶

limn ⁄¶

n(n+1)2n‹

limn ⁄¶

kn‹

limn ⁄¶

1n

kn‹

k¤n‹

1n

2kn¤

k¤n¤

k¤n¤

k-1n

kn

2kn¤

k¤n¤

k-1n

k¤n¤

k-1n

2kn

k¤n¤

2kn

k¤n¤

2kn

급수

⋯ ⋯ ;Kn+! =;2#;

이성립하도록하는두실수 a, b에대하여 a+b의값을구하여라.

(a-2b)k¤ +(a-b)k+nn¤lim

n⁄¶

오른쪽그림과같이구간 [0, 1]에서정의된함수

f(x)=-x¤ +1이있다. 2 이상인자연수 n에대

하여 구간 [0, 1]을 n등분한 각 분점 (양 끝 점도

포함)을차례로

⋯ ⋯0=xº, x¡, x™, y, x«–¡, x«=1

이라하자. 곡선 y=f(x) 위의점 P˚(x˚, f(x˚))에서의 접선이 직선 x=x˚–¡과 만나는 점을 Q˚,두점P˚, Q˚에서x축에내린수선의발을각각H˚,

H˚–¡이라할때, 사각형P˚Q˚H˚–¡H˚의넓이를S˚라하자. ;Kn+!S˚=;pQ;일때,

p¤ +q¤ 의값을구하여라. (단, p, q는서로소인자연수이다.)

limn⁄¶

O x

y

Hk

Pk

Qk

Sk

Hk-1

y=f{x}

1

1



CBA4

ㄱ. [반례] f(x)=x(x-4)로놓으면

[반례] f(x+4)=(x+4)x=x¤ +4x

[반례] f(-x)=-x(-x-4)=x¤ +4x

[반례] 에서 f(x+4)=f(-x)가성립하지만

[반례] f(2)=2_(-2)=-4+0 (거짓)

ㄴ. f(x+4)=f(-x)에서 x 대신-x-2를대입하면

f(-x-2+4)=f(x+2)⋯ ⋯∴ f(2+x)=f(2-x)

즉, 함수 f(x)의그래프는직선 x=2에대하여대칭이다.

따라서 :)2 f(x)dx=:@4 f(x)dx이므로

:)4 f(x)dx=:)2 f(x)dx+:@4 f(x)dx

:)4 f(x)dx=:)2 f(x)dx+:)2 f(x)dx

:)4 f(x)dx=2:)2 f(x)dx (참)

ㄷ. ;n!;;Kn+! f '{1+ }=;2!; ;Kn+! f '{1+ }¥

ㄷ. ;n!;;Kn+! f '{1+ }=;2!;:!3 f '(x)dx

ㄷ. ;n!;;Kn+! f '{1+ }=;2!;[f(x)]3!

ㄷ. ;n!;;Kn+! f '{1+ }=;2!;{f(3)-f(1)}

이때, 함수 y=f(x)의 그래프가 직선 x=2에 대하여 대칭

이므로 f(3)=f(1)

∴ ;n!;;Kn+! f '{1+ }=;2!;{f(3)-f(1)}

∴ ;n!;;Kn+! f '{1+ }=;2!;{f(1)-f(1)}=0 (참)

따라서보기중옳은것은ㄴ, ㄷ이다.

|정답④

2kn

limn ⁄¶

2n

2kn

limn ⁄¶

2kn

limn⁄¶

풀이 제한 시간 : 7분주어진급수가 ;2#;으로수렴하고, 분모의차수가 2이므로분자의

차수는 2 이하이어야한다.

이때, ;Kn+!k¤ = 은n에관한삼차식이므로 k¤

의계수는 0이어야한다.

즉, a-2b=0⋯ ⋯yy ㉠

이므로

;Kn+!

= ;Kn+!

= ;Kn+![1+ ]¥

= ;Kn+![1+ ]¥

= :!1+a-b

xdx

= [;2!;x¤ ]

= {(1+a-b)¤ -1¤ }

=

= +1

=;2#;

따라서 =;2!;이므로

a-b=1⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ` `yy ㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a=2, b=1

∴ a+b=3

|정답 33

a-b2

a-b2

(a-b)¤ +2(a-b)2(a-b)

12(a-b)

1+a-b

1

1a-b

1a-b

a-bn

(a-b)kn

limn ⁄¶

1a-b

1n

(a-b)kn

limn ⁄¶

(a-b)k+nn¤

limn ⁄¶

(a-2b)k¤ +(a-b)k+nn¤

limn ⁄¶

n(n+1)(2n+1)6

모든실수 x에대하여 f(x+4)=f(-x)를만족시키는다항함수 f(x)가있다. 옳

은것만을<보기>에서있는대로고른것은?

보기

ㄱ. f(2)=0

ㄴ. :)4 f(x)dx=2:)2 f(x)dx

ㄷ. ;n!;;Kn+! f '{1+ }=02knlim

n ⁄¶

①ㄴ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ


Theme 09. 정적분과넓이 87

P«(a«, a«¤ )으로놓고세점 P«, Q«, P«≠¡의좌표를이용

하여 a«과 a«≠¡의관계식구하기

y=x¤ 에서 y'=2x

점 P«의좌표를 (a«, a«¤ )이라하면점 P«에서그은접선의기

울기는 2a«이므로접선의방정식은

y-a«¤ =2a«(x-a«) ⋯ ⋯∴ y=2a«x-a«¤

이직선의 x절편을구하면

2a«x-a«¤ =0 ⋯ ⋯∴ x=;2!;a«

즉, P«(a«, a«¤ ), Q« {;2!;a«, 0}, P«≠¡{;2!;a«, ;4!;a«¤ }이고,

P«≠¡(a«≠¡, a«≠¡¤ )에서 a«≠¡=;2!;a«

직선및곡선으로둘러싸인도형의넓이 S« 구하기

두직선 P«Q«, P«≠¡Q« 및곡선 y=x¤ 으로둘러싸인도형의넓

이S«은

S«=:

;2!;a«

a«x¤ dx-;2!;_{a«-;2!;a«}_a«¤

=[;3!;x‹ ] -;4!;a«‹

=;3!;a«‹ -;2¡4;a«‹ -;4!;a«‹ =;2¡4;a«‹

등비급수의성질을이용하여급수의합구하기

즉, 수열 {S«}은첫째항이 ;2¡4;a¡‹ =;2¡4;, 공비가 {;2!;}‹=;8!;인등

비수열이므로

a«

;2!;a«

Step1

Step2

Step3

;N'+!S«= =;2¡1;


p¤ +q¤ =441+1=442

|정답 444422

|다른 풀이|

삼각형P«P«≠¡Q«의넓이를T«이라하면

T«=;2!;_;2!;a«_a«¤ =;4!;a«‹

수열 {T«}은첫째항이 ;4!;a¡‹ =;4!;, 공비가 `{;2!;}‹=;8!;인등비수열

이므로

;N'+!T«= =;7@;

따라서구하는도형의넓이는

:)1 x¤ dx-;7@;=[;3!;x‹ ]1)-;7@;=;3!;-;7@;=;2¡1;

;4!;

1-;8!;

;2¡4;

1-;8!;

09 정적분과넓이T h e m e



ASol

f(x)=x‹ +x¤ -2에서 f '(x)=3x¤ +2x

곡선 y=x‹ +x¤ -2가 x축과만나는점의좌표를구하면

x‹ +x¤ -2=0, (x-1)(x¤ +2x+2)=0

모든실수 x에대하여 x¤ +2x+2>0이므로 x=1

즉, 점 P의 좌표는 (1, 0)이고, 점 P에서의 접선의 기울기는

f '(1)=3+2=5이므로이점에서의접선의방정식은

y-0=5(x-1)⋯ ⋯∴ y=5x-5 ⋯ ⋯yy ㉠

직선㉠의 y절편은-5이므로점Q의좌표는 (0, -5)

O x

y

-5

-2

1

y=f{x}

P

Q

3-

2

27-

50

함수 f(x)=x‹ +x¤ -2의그래프가 x축과만나는점 P에대하여점 P

에서의접선이 y축과만나는점을Q라할때, 점 P에서의접선과곡선

y=f(x) 및 y축으로둘러싸인도형의넓이는 ;pQ;이다. p+q의값을구

하여라. (단, p, q는서로소인자연수이다.)

오른쪽 그림과 같이 곡선 y=x¤ 위의 점

P¡(1, 1)에서 그은 접선과 x축이 만나

는점을 Q¡, 점 Q¡을지나고 x축에수직

인직선이곡선 y=x¤ 과만나는점을 P™

라하자. 같은방법으로곡선 y=x¤ 위의

점 P«에서그은접선과 x축이만나는점

을 Q«, 점 Q«을지나고 x축에수직인직

선이 곡선 y=x¤ 과 만나는 점을 P«≠¡이라 하자. 이때, 두 직선 P¡Q¡, P™Q¡ 및

곡선 y=x¤ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S¡, 두 직선 P™Q™, P£Q™ 및 곡선

y=x¤ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S™, y, 두 직선 P«Q«, P«≠¡Q« 및 곡선

y=x¤ 으로둘러싸인도형의넓이를 S«이라할때, ;N'+!S«=;pQ;이다. p¤ +q¤ 의값

을구하여라. (단, p, q는서로소인자연수이다.)

Ox

y y=x@

P¡

P™

Q¡Q™Q£

P£P¢1

1



BA1

f(x)=x¤ -6x+10에서 f '(x)=2x-6

곡선위의점 P(n, f(n))에서의접선의기울기는 2n-6이므

로접선의방정식은

y-f(n)=(2n-6)(x-n)

∴ y=(2n-6)x-n¤ +10

곡선 y=f(x)와점 P에서의접선및 y축으로둘러싸인도형의

넓이S«은

S«=:)n [(x¤ -6x+10)-{(2n-6)x-n¤ +10}]dx

=:)n (x¤ -2nx+n¤ )dx

=[;3!;x‹ -nx¤ +n¤ x]n)

=;3!;n‹ -n‹ +n‹ =;3!;n‹


점P¡이반지름이 1인원위의점이므로

O’P¡”=1

사각형OQ¡P¡R¡은정사각형이므로

f(x)=;3!;x‹ -2x¤ +3x+1에서 f '(x)=x¤ -4x+3

곡선 y=f(x) 위의점 (0, 1)에서의접선의기울기는

f '(0)=3이므로접선의방정식은

y-1=3(x-0)⋯ ⋯∴ y=3x+1

이직선과곡선 y=f(x)의다른교점의 x좌표를구하면

;3!;x‹ -2x¤ +3x+1=3x+1, ;3!;x‹ -2x¤ =0

;3!;x¤ (x-6)=0⋯ ⋯∴ x=6 (∵ x+0)


|:)6 [{;3!;x‹ -2x¤ +3x+1}-(3x+1)]dx|

=|:)6 {;3!;x‹ -2x¤ }dx|

=|[;1¡2;x› -;3@;x‹ ]6)|

=|-36|=36

|정답 3366



;2!;_1_5-|:)1 (x‹ +x¤ -2)dx|

=;2%;-|[;4!;x› +;3!;x‹ -2x]1)|

=;2%;-|;4!;+;3!;-2|

=;2%;-;1!2&;=;1!2#;


p+q=25

|정답 2255

BSol

CSol

오른쪽그림과같이함수 f(x)=x¤ -6x+10에대하여

곡선 y=f(x)와 이 곡선 위의 점 P(n, f(n))에서의

접선및 y축으로둘러싸인도형의넓이를S«이라하자.

;Kn+!S˚=;pQ;일때, pq의값을구하여라.

(단, n은자연수이고 p, q는서로소인자연수이다.)

1n›lim

n ⁄¶

O x

y y=f{x}

Sn

P{n,`f{n}}

함수 f(x)=;3!;x‹ -2x¤ +3x+1의그래프위의점 (0, 1)에서의접선

과곡선 y=f(x)로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

오른쪽그림과같이반지름이 1인원위에

∠AOP¡=45˘가되도록점P¡을잡았다.

점 P¡에서 x축, y축에 내린 수선의 발을

각각Q¡, R¡이라하자. O’Q¡”을반지름으로

하는원과 O’P¡”의교점을 P™, 점 P™에서 x

축, y축에 내린 수선의 발을 각각 Q™, R™

라하자. 이와같은방법으로 O’Q«”을반지

름으로 하는 원과 O’P¡”의 교점을 P«≠¡, 점 P«≠¡에서 x축, y축에 내린

수선의발을각각 Q«≠¡, R«≠¡이라하자. ;N'+!O’P«”=a+b'2이다. a¤ +b¤

의값을구하여라. (단, a, b는유리수이다.)

O x

y

A…

……

BP¡

P™R¡

Q™ Q¡

R™

45æ

O’Q¡”=O’R¡”=

점P™는반지름이 인원위의점이므로

O’P™”=

사각형OQ™P™R™는정사각형이므로

O’Q™”=O’R™”={ }¤

⋯

즉, 수열 {O’P«”}은첫째항이 1, 공비가 인등비수열이므로

;N'+!O’P«”=

;N'+!O’P«”= =2+'2

따라서 a=2, b=1이므로

a¤ +b¤ =4+1=5

|정답 55

22-'2

1

'22

'22

'22

'22

'22

1- '22


Theme 09. 정적분과넓이 89

B2

두도형A, B의넓이가같으므로

:)2 {g(x)-h(x)}dx=0, :)2 g(x)dx-:)2 h(x)dx=0

∴ :)2 g(x)dx=:)2 h(x)dx ⋯ ⋯yy ㉠

한편, 두 함수 f(x), g(x)는서로역함수관계이므로위그림

과같이두함수 f(x), g(x)의그래프는직선 y=x에대하여

대칭이다.

이때, 함수 f(x)의그래프와직선 y=2의교점의 x좌표를구하

면 x¤ +x=2, x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0

∴ x=1 (∵ x>0)

즉, 함수 g(x)의그래프와 x축및직선 x=2로둘러싸인도형

의넓이는

:)2 g(x)dx=1_2-:)1 f(x)dx

:)2 g(x)dx=2-:)1 (x¤ +x)dx

:)2 g(x)dx=2-[;3!;x‹ +;2!;x¤ ]1)

:)2 g(x)dx=2-{;3!;+;2!;}=;6&; ⋯ ⋯yy ㉡

㉠, ㉡에의해

O x

y

y=g{x}

y=f{x}y=x

1

2

1 2


∴ ;Kn+!S˚= ;Kn+!{;3!;k‹ }

=;3!; ;Kn+!{ }‹ ¥

=;3!;:)1 x‹ dx

=;3!;[;4!;x› ]1)=;3!;_;4!;=;1¡2;

따라서 p=12, q=1이므로 pq=12

|정답 1122

1n

kn

limn ⁄¶

1n›

limn⁄¶

1n›

limn ⁄¶

B3

점P(p, 0)이곡선 y=f(x) 위의점이므로

p› -4p‹ +ap¤ =0, p¤ (p¤ -4p+a)=0

p¤ -4p+a=0 (∵ p+0) ` ` ⋯ ⋯yy ㉠

곡선 y=f(x), y=g(x)로둘러싸인두도형A, B의넓이가

같으므로 :)p f(x)dx=0

즉, :)p (x› -4x‹ +ax¤ )dx=[;5!;xfi -x› +;3!;ax‹ ]p)=0이므로

;5!;pfi -p› +;3!;ap‹ =0

∴ ;5!;p¤ -p+;3!;a=0 (∵ p+0) ⋯ ⋯yy ㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 p=;2%;, a=:¡4∞:

∴ f(x)=x› -4x‹ +:¡4∞:x¤

한편, 방정식 f(x)=0의근을구하면

x› -4x‹ +:¡4∞:x¤ =0, x¤ {x¤ -4x+:¡4∞:}=0

x¤ {x-;2#;}{x-;2%;}=0

∴ x=0 또는 x=;2#; 또는 x=;2%;

따라서 q=;2#;이므로

a+p+q=:¡4∞:+;2%;+;2#;=:£4¡:

|정답 ::££44¡¡::


:)2 h(x)dx=;6&;이므로

:)2 h(x)dx=:)2 ax¤ dx=[;3!;ax‹ ]2)=;3*;a=;6&;

∴ a=;1¶6;

따라서 h(x)=;1¶6;x¤ 이므로

h(4)=;1¶6;_4¤ =7

|정답 77

오른쪽 그림과 같이 함수 f(x)=x› -4x‹ +ax¤

(a>0)의그래프가원점에서 x축에접하고, x축

과 서로 다른 두 점 P(p, 0), Q(q, 0)를 지난

다. 함수 g(x)=-f(x)에대하여곡선

y=f(x), y=g(x)로둘러싸인도형A, B의넓

이가같을때, a+p+q의값을구하여라.

(단, a, p, q는상수이다.)

y=f{x}

y=g{x}

AB

Q PO x

y

오른쪽그림과같이 x>0에서정의된함수

f(x)=x¤ +x의 역함수 g(x)와 함수 h(x)=ax¤

이 있다. 두 곡선 y=g(x), y=h(x) 및 직선

x=2로 둘러싸인 두 도형 A, B의 넓이가 같을

때, h(4)의값을구하여라. (단, a는상수이다.)

O x

y y=h{x}

y=g{x}

A

B

x=2



B4

점P의좌표를 (t, t¤ ) (t>0)이라하면

AP”=æ≠(t-≠0)¤ ≠+{≠t¤ -;–4#;—±}¤

AP”=æt› ≠-;2≠!;t¤ +–;1—ª—±6—;

f(t)=AP” ¤ (t>0)으로놓으면

f(t)=t› -;2!;t¤ +;1ª6;

∴ f '(t)=4t‹ -t

=t(2t+1)(2t-1)

f '(t)=0에서 t=;2!; (∵ t>0)

t=;2!;을기준으로 t>0에서함수 f(t)의증가, 감소를표로나


위의표에서함수 f(t)는 t=;2!;일때최솟값 ;2!;을가지므로

점P의좌표는 {;2!;, ;4!;}

두점A, P를지나는직선의방정식은

y-;4!;= {x-;2!;} ⋯ ⋯

∴ y=-x+;4#;

선분AP와곡선 y=x¤ 및 y축으로둘러싸인도형의넓이는

:)

;2!;

{-x+;4#;-x¤ }dx=[-;2!;x¤ +;4#;x-;3!;x‹ ]

:)

;2!;

{-x+;4#;-x¤ }dx=-;8!;+;8#;-;2¡4;

:)

;2!;

{-x+;4#;-x¤ }dx=;2∞4;


2_;2∞4;=;1∞2;

|정답 ;;11∞∞22;;

;2!;

0

;4!;-;4#;

;2!;-0


t

f '(t)

f(t)

(0) y ;2!; y

0 - 0 +

;1ª6; ↘ ;2!; ↗

B5

g(x)=-(x-a)¤ +b이므로 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의

교점의 x좌표를각각 a, b (a<b)라하면 a, b는이차방정식

x¤ =-(x-a)¤ +b, 즉 2x¤ -2ax+a¤ -b=0의두근이다.

따라서근과계수의관계에의해

a+b=a, ab= ⋯ ⋯yy ㉠

한편, 두곡선 y=f(x), y=g(x)로둘러싸인도형의넓이가 9

이므로

:Ú’ {-(x-a)¤ +b-x¤ }dx=:Ú’ (-2x¤ +2ax-a¤ +b)dx

:Ú’ {-(x-a)¤ +b-x¤ }dx= (b-a)‹ =9

(b-a)‹ =27⋯ ⋯∴ b-a=3 (∵ b>a)

이때,

(b-a)¤ =(a+b)¤ -4ab

(b-a)¤ =a¤ -4_ (∵㉠)

(b-a)¤ =-a¤ +2b=9

에서 b=;2!;a¤ +;2(;이므로 점 (a, b)가 나타내는 도형은 곡선

y=;2!;x¤ +;2(;와같다.

즉, h(x)=;2!;x¤ +;2(;이고, 두곡선 y=f(x), y=h(x)의교점

의 x좌표는

x¤ =;2!;x¤ +;2(;, ;2!;x¤ =;2(;⋯ ⋯∴ x=—3

따라서구하는넓이는

:_3# |f(x)-h(x)|dx=:_3# |x¤ -{;2!;x¤ +;2(;}|dx

:_3# |f(x)-h(x)|dx=:_3# |;2!;x¤ -;2(;|dx

:_3# |f(x)-h(x)|dx= {3-(-3)}‹

:_3# |f(x)-h(x)|dx=18

|정답 1188

|참고|

곡선 y=a(x-a)(x-b) (a+0)와 x축으로 둘러싸인 도형

의넓이는

:Ú’ |a(x-a)(x-b)|dx= (b-a)‹ (단, a<b)|a|6

|;2!;|

6

a¤ -b2

|-2|6

a¤ -b2


함수 f(x)=x¤ 의그래프를 x축에대하여대칭이동한후 x축의양의방향으로 a만

큼, y축의양의방향으로 b만큼평행이동시킨함수 g(x)가있다. 두곡선

y=f(x), y=g(x)로둘러싸인도형의넓이가 9일때, 점 P(a, b)가나타내는도

형을 h(x)라하자. 두곡선 y=f(x), y=h(x)로둘러싸인도형의넓이를구하여

라.

오른쪽 그림과 같이 점 A{0, ;4#;}에서 곡선 y=x¤ 에

이르는 거리가 최소인 두 점 P, Q가 있다. 두 선분

AP, AQ 및 곡선 y=x¤ 으로 둘러싸인 도형의 넓이

를구하여라.

O x

y

Q P

y=x@

4{ }A 0, 3

|약해| ?


Theme 10. 속도와거리에의활용 91

v(t)=0에서

-t¤ +3t=-t(t-3)=0

∴ t=0 또는 t=3

즉, 점P는 t=3에서방향이바뀌므로

a=:)3 v(t)dt

=:)3 (-t¤ +3t)dt

=[-;3!;t‹ +;2#;t¤ ]3)

=-9+:™2¶:

=;2(;

즉, 0…t…2에서 점 P가 원점으로부터 가장 멀리 있을 때는

t=1일때이고, 이때의거리가 1이므로 :)1 v(t)dt=1에서

:)1 (at‹ -3at¤ +2at)dt=1

[;4!;at› -at‹ +at¤ ]1)=1

;4!;a=1⋯ ⋯∴ a=4

즉, v(t)=4t‹ -12t¤ +8t이므로 t=0에서 t=3까지 점 P가

실제로움직인거리는

:)3 |v(t)|dt=2:)1 v(t)dt+:@3 v(t)dt

:)3 |v(t)|dt=2_1+:@3 (4t‹ -12t¤ +8t)dt

:)3 |v(t)|dt=2+[t› -4t‹ +4t¤ ]3@

:)3 |v(t)|dt=2+{(81-108+36)-(16-32+16)}

:)3 |v(t)|dt=2+9-0

=11 (참)

따라서보기중옳은것은ㄴ, ㄷ이다.

|정답④

함수 v(t)의그래프를이용하여ㄱ의참, 거짓판별하기

시간 t에관한함수 v(t)가삼차함수이고

v(0)=0, v(1)=0, v(2)=0이므로

v(t)=at(t-1)(t-2) (a>0)로놓으면

v(t)=at‹ -3at¤ +2at

이때, 함수 v(t)의그래프는점 (1, 0)에대하여대칭이고, 곡

선 y=v(t)와 x축으로둘러싸인두도형의넓이가같으므로

:)2 v(t)dt=0` ` ⋯ ⋯yy ㉠

즉, t=2일때원점으로돌아온후다시방향을바꾸어양의방

향으로움직이므로원점은출발이후한번만지난다. (거짓)

정적분을이용하여ㄴ의참, 거짓판별하기

t=3일때점P의위치는

:)3 v(t)dt=:)2 v(t)dt+:@3 v(t)dt

:)3 v(t)dt=0+:@3 v(t)dt (∵㉠)

:)3 v(t)dt=:@3 v(t)dt (참)

함수 v(t)의 그래프와 정적분을 이용하여 ㄷ의 참, 거짓 판

별하기

0<t<1에서 v(t)>0이므로 점 P는 원점에서 양의 방향으로

멀어지고, 1<t<2에서 v(t)<0이므로 t=1에서다시원점으

로가까워지다가 t=2일때다시원점에도착한다.

Step1

Step2

Step3

10 속도와거리에의활용T h e m e



ASol 원점을출발하여 x축위를움직이는점P의시각 t에서의속도 v(t)가

⋯ ⋯v(t)=-t¤ +3t

이다. 원점을출발한점 P가 x=a에서방향을바꾸어다시원점으로

돌아올때까지걸린시간이 b일때, a+b의값을구하여라.

(단, a>0, b>0)

원점을출발하여수직선위를움직이는

점 P의시각 t에서의속도 v(t)의그래

프가 오른쪽 그림과 같이 점 (1, 0)에

대하여대칭이다. <보기>에서옳은것만

을있는대로고른것은?

보기

ㄱ. 점P는출발후원점을두번지난다.

ㄴ. t=3일때점P의위치는:@3 v(t)dt이다.

ㄷ. 0…t…2에서점 P가원점으로부터가장멀리있을때의거리가 1이면 t=0

에서 t=3까지점P가실제로움직인거리는 11이다.

O t

y

1 2

y=v{t}

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ



두점P, Q의속도가같아지는시각 t=a를구하면

-a¤ +3a=a, a(a-2)=0 ⋯ ⋯∴ a=2 (∵ a+0)

이때, 0<t<2에서 -t¤ +3t>t이므로두점 P, Q 사이의거

리 b는

A1

t=2에서 두 점 P, Q가 만나므로 t=2에서의 두 점의 위치가

서로같다.

즉, :)2 v∏(t)dt=:)2 vŒ(t)dt이므로

:)2 {v∏(t)-vŒ(t)}dt=0

:)2 {at(t-2)-t(t-2)(t-b)}dt=0

:)2 {-t‹ +(2+a+b)t¤ -2(a+b)t}dt=0

[-;4!;t› + t‹ -(a+b)t¤ ]2)=0

-4+ (2+a+b)-4(a+b)=0

;3$;(a+b)=;3$;

∴ a+b=1

|정답 11

83

2+a+b3


두점P, Q가만나는점에서의시각을구하면

t‹ -3t¤ +2t+3=3

t‹ -3t¤ +2t=0

t(t-1)(t-2)=0⋯ ⋯

∴ t=0 또는 t=1 또는 t=2

이때, 두 점 P, Q의 속도를 좌표평면에 나타내면 다음 그림과

같다.

위그림에서두부분A, B의넓이가같으므로 t=2에서두점

P, Q의위치는같다. 즉, t=2에서두점P, Q가오직한번만

나므로 t=0에서 t=2까지점P가실제로움직인거리는

2_3=6

|정답 66

O t

y

1 2

3 AB

y=v{t}


BSol

CSol

CA2 풀이 제한 시간 : 5분

수직선위를움직이는점 P의가속도 a(t)가 a(t)=2t-4이다. 점 P가원점을출

발하여방향을두번바꾸는데첫번째로방향을바꿀때와두번째로방향을바꿀

때의점 P는원점으로부터같은거리에있다고한다. 이때, 점 P가원점을출발할

때의속도를구하여라.

원점을출발하여수직선위를움직이는두점 P, Q의시각 t에서의속

도 v∏(t), vŒ(t)가 각각 v∏(t)=-t¤ +3t, vŒ(t)=t이다. 두 점 P,

Q의속도가같아지는시각 t=a에서의두점 P, Q 사이의거리가 b

일때, a+3b의값을구하여라. (단, a>0, b>0)

원점을출발하여속도 v(t)=t‹ -3t¤ +2t+3으로움직이는점 P와원

점을출발하여일정한속도 3으로움직이는점 Q가있다. 두점 P, Q

가 t=a에서오직한번만날때, t=a까지점 P가실제로움직인거

리를구하여라.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도 v∏(t),

vŒ(t)가각각 v∏(t)=at(t-2), vŒ(t)=t(t-2)(t-b)이다. t=2에서두점 P,

Q가서로만날때, a+b의값을구하여라. (단, a>0, b<2)

또한, t=b일때 :)b v(t)dt=0이므로

:)b (-t¤ +3t)dt=0, [-;3!;t‹ +;2#;t¤ ]b)=0

-;3!;b‹ +;2#;b¤ =0

-;3!;b+;2#;=0 (∵ b+0)

∴ b=;2(;

∴ a+b=9

|정답 99

b=:)2 (-t¤ +3t)dt-:)2 tdt

=[-;3!;t‹ +;2#;t¤ ]2)-[;2!;t¤ ]2)

b={-;3*;+6}-2

b=;3$;

∴ a+3b=2+4=6

|정답 66


Theme 10. 속도와거리에의활용 93

CA3

t초후의점P의 x좌표는

x=-1+:)t (2x-4)dx

=-1+[x¤ -4x]t)

=t¤ -4t-1

t초후의점Q의 y좌표는

y=12+:)t (-4y-2)dy

=12+[-2y¤ -2y]t)

=-2t¤ -2t+12

f(t)=PQ” ¤으`로놓으면

f(t)=(t¤ -4t-1)¤ +(-2t¤ -2t+12)¤

=5t› -30t¤ -40t+145

∴ f '(t)=20t‹ -60t-40

=20(t-2)(t+1)¤

f '(t)=0에서 t=2 (∵ t>0)

t=2를기준으로 t>0에서함수 f(t)의증가, 감소를표로나타


위의표에서함수 f(t)는 t=2에서최솟값 25를가지므로선분

PQ의길이의최솟값은

'∂25=5

따라서 a=2, b=5이므로 a+b=7

|정답 77

풀이 제한 시간 : 7분점 P가원점을출발할때의속도를 vº, 출발후 t초후의속도를

v(t)라하면

v(t)=vº+:)t (2t-4)dt

v(t)=vº+[t¤ -4t]t)

v(t)=t¤ -4t+vº

v(t)=(t-2)¤ -4+vº

t=a, t=b에서점 P가방향을각각바꾼다고하면속도 v(t)

의그래프는다음그림과같다.

t=a에서점 P의위치는 :)a v(t)dt, t=b에서점 P의위치는

:)b v(t)dt이다.

첫번째로방향을바꿀때와두번째로방향을바꿀때원점에서

같은거리에있으려면첫번째로방향을바꿀때는점 P가 x축

의양의방향, 두 번째로방향을바꿀때는점 P가 x축의음의

방향에있어야하므로

:)a v(t)dt=-:)b v(t)dt

:)a v(t)dt=-:)a v(t)dt-:A2 v(t)dt-:@b v(t)dt

그런데 :A2 v(t)dt=:@b v(t)dt이므로

2:)a v(t)dt+2:A2 v(t)dt=0

:)2 v(t)dt=0

:)2 (t¤ -4t+vº)dt=0

[;3!;t‹ -2t¤ +vºt]2)=0

;3*;-8+2vº=0

2vº=:¡3§:⋯ ⋯

∴ vº=;3*;

따라서점P가원점을출발할때의속력은 ;3*;이다.

|정답 ;;33**;;

O t

y

a b2

y=v{t}

점A(-1, 0)을출발하여 x축위를움직이는점 P의시각 t에서의속도 v∏(t)와

점 B(0, 12)를출발하여 y축위를움직이는 점 Q의시각 t에서의 속도 vŒ(t)는

다음과같다.

⋯ ⋯[v∏(t)=2t-4

⋯ ⋯ ` ` ` ` ` ` vŒ(t)=-4t-2

두점P, Q 사이의거리가 t=a에서최솟값 b를가질때, a+b의값을구하여라.

B4 풀이 제한 시간 : 10분

처음출발하여 15분동안일정한가속도로시속 300 km에도달한후일정한속력

으로달리고, 멈추기위해일정한가속도로감속을하여 15분후에멈추는두기차

A, B가있다. A기차는 P역을출발하여 675 km 떨어진Q역까지쉬지않고달리

고, B기차는 Q역을출발하여 Q역과 P역사이에일정한간격으로떨어진두역에

서 15분동안정차한후 P역까지간다고한다. 두기차A, B가만날때, A기차가

달린거리는 a km이다. a의값을구하여라.

t

f '(t)

f(t)

(0) y 2 y

- - 0 +

145 ↘ 25 ↗



두기차A, B가 15분, 즉 ;4!;시간동안일정한가속도로시속

300 km에도달하는동안달린거리는

;2!;_;4!;_300=:¶2∞: (km)

A기차가시속 300 km의속력으로달린시간을 t¡이라하면A

기차가전체달린거리가 675 km이므로

2_:¶2∞:+300t¡=675, 300t¡=600⋯ ⋯

∴ t¡=2

따라서 A기차의 시각 t에서의 속력을 vÅ(t)라 하면 함수

vÅ(t)의그래프는다음그림과같다.

B기차는Q역과P역사이에일정한간격으로떨어진두역에서

15분, 즉 ;4!;시간동안정차하므로역과역사이의간격은

=225 (km)

B기차가시속 300 km의속력으로달린시간을 t™라하면

2_:¶2∞:+300t™=225, 300t™=150 ⋯ ⋯

∴ t™=;2!;

6753

O t

y

41

49

25

300y=vÅ{t}

따라서B기차의시각 t에서의속력을 vı(t)라하면함수 vı(t)

의그래프는다음그림과같다.

두 기차 A, B가 만나려면 시각 t까지 두 기차가 달린 거리의

합이 675 km가되어야한다.

이때,

:)

;4%;

vÅ(t)dt+:)

;4%;

vı(t)dt= +225

:)

;4%;

vÅ(t)dt+:)

;4%;

vı(t)dt= <675,

:)

;2#;

vÅ(t)dt+:)

;2#;

vı(t)dt= +

:)

;2#;

vÅ(t)dt+:)

;2#;

vı(t)dt=675

이므로두기차A, B는 t=;2#;일때서로만난다.

∴ a=:¶2∞:+{;2#;-;4!;}_300

∴ a=:¶2∞:+375

∴ a=

|정답88225522

8252

5252

8252

11252

6752

41

43

45

23

49

25

27

411

413

300

1 2

y=vı{t}

O t

y


메모

영역수_순열과조합(부속)-OK 2015.9.23 1:9 PM 페이지10 DK

메모

영역수_순열과조합(부속)-OK 2015.9.23 1:9 PM 페이지9 DK

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