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1/6
V a r i o u s M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g F o r m u l a t i o n s f o r a
G e n e r a l O n e M a c h i n e S e q u e n c i n g P r o b l e m
S t e p h a n e D a u z e r e - P e r e s M a r c S e v a u x
R e p o r t 9 8 / 3 / A U T O
E c o l e d e s M i n e s d e N a n t e s
D e p t . o f A u t o m a t i c C o n t r o l a n d P r o d u c t i o n E n g i n e e r i n g
4 r u e A l f r e d K a s t l e r { L a C h a n t r e r i e { B P 2 0 7 2 2
4 4 3 0 7 N a n t e s C e d e x 0 3 { F r a n c e
E - m a i l : f S t e p h a n e . D a u z e r e - P e r e s , M a r c . S e v a u x g @ e m n . f r
F e b r u a r y 2 0 , 1 9 9 8
A b s t r a c t
T h e p a p e r c o n s i d e r s t h e p r o b l e m o f s c h e d u l i n g n o b s o n a s n g l e m a c h n e t o m n m z e
t h e n u m b e r o f t a r d y j o b s ( o r l a t e j o b s ) . E a c h j o b h a s a r e l e a s e d a t e , a p r o c e s s i n g t i m e a n d a
d u e d a t e . T h e g e n e r a l c a s e w i t h n o n - e q u a l r e l e a s e d a t e s a n d d i e r e n t d u e d a t e s i s c o n s i d e r e d .
V a r i o u s m i x e d - i n t e g e r l i n e a r p r o g r a m m i n g f o r m u l a t i o n s a r e p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d . A n e w
p o l y n o m i a l s o l v a b l e c a s e i s a l s o i n t r o d u c e d .
K e y w o r d s : s c h e d u l i n g , s i n g l e m a c h i n e , l a t e j o b s , i n t e g e r p r o g r a m m i n g .
1 I n t r o d u c t i o n
S i n g l e m a c h i n e s c h e d u l i n g m o d e l s s e e m t o b e
v e r y s i m p l e b u t a r e v e r y i m p o r t a n t f o r u n d e r -
s t a n d i n g a n d m o d e l i n g m u l t i p l e m a c h i n e s m o d -
e l s . M i n i m i z i n g t h e n u m b e r o f l a t e j o b s c o u l d
a p p e a r a s o m e w h a t a r t i c i a l p r o b l e m b u t i s o f -
t e n c o n s i d e r e d a s a p e r f o r m a n c e m e a s u r e .
O u r s t u d y c o n c e r n s t h e g e n e r a l o n e - m a c h i n e
s c h e d u l i n g p r o b l e m d e n o t e d b y 1 r
j
P
U
j
i n t h e
s t a n d a r d c l a s s i c a t i o n G r a 7 9 ] . A s e t J o f n o b s
h a s t o b e s c h e d u l e d o n a s i n g l e m a c h i n e i n o r -
d e r t o o p t i m i z e a g i v e n c r i t e r i o n . I n t h i s p r o b -
l e m , p r e e m p t i o n i s n o t a l l o w e d , n o p r e c e d e n c e
r e l a t i o n a m o n g j o b s i s a s s u m e d , a n d o n a s i n g l e
m a c h i n e , o n l y o n e j o b J
j
c a n b e p r o c e s s e d a t a
t i m e . E a c h j o b h a s a r e l e a s e d a t e r
j
a t w h i c h i t
c a n n o t b e p r o c e s s e d b e f o r e . E a c h j o b J
j
n e e d s
p
j
t i m e u n i t s t o b e p r o c e s s e d o n t h e m a c h i n e ,
a n d t h e j o b m u s t b e c o m p l e t e d b e f o r e i t s d u e
d a t e d
j
T h e s t a r t t i m e o f a j o b J
j
i s t
j
( t
j
r
j
)
a n d i t s c o m p l e t i o n t i m e i s C
j
( C
j
= t
j
+ p
j
) . I f
a j o b J
j
i s c o m p l e t e d a f t e r i t s d u e d a t e ( C
j
>
d
j
) U
j
= 1 ) , t h i s j o b i s s a i d t o b e l a t e ( o r
t a r d y ) , o t h e r w i s e ( C
j
d
j
) U
j
= 0 ) t h i s j o b
i s s a i d t o b e o n t i m e ( o r e a r l y o r r e a d y ) . O u r
o b j e c t i v e i s t o m i n i m i z e t h e n u m b e r o f l a t e j o b s
(
P
U
j
) . I t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d t h a t t h i s
o b j e c t i v e i s d i e r e n t f r o m m i n i m i z i n g t h e t o t a l
t a r d i n e s s . I f a j o b J
j
i s l a t e , i t c a n b e s c h e d u l e d
a r b i t r a r i l y a f t e r t h e j o b s o n t i m e . T h e o b j e c t i v e
i s t h e n e q u i v a l e n t t o s e q u e n c i n g t h e m a x i m u m
n u m b e r o f j o b s o n t i m e .
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2/6
2 C o m p l e x i t y r e s u l t s
A l o t o f w o r k h a s b e e n d o n e o n t h e g e n e r a l
o n e - m a c h i n e s c h e d u l i n g p r o b l e m , b u t t h e r e s u l t s
p r e s e n t e d h e r e o n l y c o n c e r n t h e m i n i m i z a t i o n o f
t h e n u m b e r o f l a t e j o b s .
I n t h e s p e c i a l c a s e w h e r e p r o c e s s i n g t i m e s
a r e e q u a l t o 1 , M o n m a M o n 8 2 ] g i v e s a n
O ( n l o g n ) a l g o r i t h m f o r t h e 1 p
j
= 1
P
U
j
p r o b l e m . M o o r e M o o 6 8 ] d e v e l o p s a n O ( n l o g n )
a l g o r i t h m t o s o l v e t h e 1
P
U
j
p r o b l e m . U n f o r -
t u n a t e l y , t h e 1 r
j
P
U
j
p r o b l e m , s t u d i e d i n t h i s
p a p e r h a s b e e n p r o v e d N P - h a r d L e n 7 7 ] . B u t
K i s e , I b a r a k i a n d M i n e K i s 7 8 ] g i v e a n O ( n
2
)
a l g o r i t h m f o r t h e c a s e w h e r e r e l e a s e d a t e s a n d
d u e d a t e s a r e s i m i l a r l y o r d e r e d ( i . e . r
i
< r
j
)
d
i
d
j
) . L a w l e r L a w 8 2 ] p r o p o s e s a n a l g o r i t h m
f o r t h e s a m e p r o b l e m i n O ( n l o g n ) t i m e . H e a l s o
s h o w s h o w t o a p p l y d y n a m i c p r o g r a m m i n g t e c h -
n i q u e s t o s o l v e t h e 1 p m t n ; r
j
P
U
j
p r o b l e m i n
O ( n
5
) t i m e . T h e 1 p r e c ; p
j
= 1
P
U
j
p r o b l e m
i s s t r o n g l y N P - h a r d G a r 7 6 ] , e v e n f o r c h a i n - l i k e
p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s L e n 8 0 ] .
3 V a r i o u s m i x e d - i n t e g e r l i n e a r p r o g r a m m i n g f o r m u l a t i o n s
D i e r e n t m i x e d - i n t e g e r l i n e a r p r o g r a m m i n g
f o r m u l a t i o n s a r e p r e s e n t e d h e r e . F o r m u l a t i o n s
u s i n g s e q u e n c i n g v a r i a b l e s
D i s j u n c t i o n s b e t w e e n j o b s a r e s o l v e d
t h r o u g h b i n a r y v a r i a b l e s y
i j
, w h e r e y
i j
=
1 i f j o b J
i
i s s e q u e n c e d b e f o r e j o b j
j
, a n d
0 o t h e r w i s e .
u s i n g t i m e - i n d e x e d v a r i a b l e s
J o b s a r e s c h e d u l e d b y d i s c r e t i z i n g t h e t i m e
h o r i z o n , v
i t
= 1 i f j o b J
i
s t a r t s i n p e r i o d
t , a n d 0 o t h e r w i s e .
u s i n g p o s i t i o n a l v a r i a b l e s
J o b s a r e s p e c i e d b y t h e i r p o s i t i o n i n t h e
s e q u e n c e , u
i
k
= 1 i f j o b J
i
i s s e q u e n c e d a t
t h e k
t h
p o s i t i o n , a n d 0 o t h e r w i s e . T h i s
w a s s t u d i e d b y L a s s e r r e a n d Q u e y r a n n e
i n L a s 9 2 ] .
3 . 1 A f o r m u l a t i o n u s i n g s e q u e n c -
i n g v a r i a b l e s
T h e c o e c i e n t M
d
h a s t o b e l a r g e e n o u g h t o
s o l v e t h e d i s j u n c t i o n s b e t w e e n j o b s , a n d i t c a n
b e d i e r e n t f r o m t h e c o e c i e n t M . T h e l a t t e r
h a s a l s o t o b e l a r g e e n o u g h t o e n s u r e t h e f e a s i -
b i l i t y o f C o n s t r a i n t ( 4 ) .
F o r m u l a t i o n S E Q
m n
n
X
= 1
U
S u b j e c t T o
t
j
? t ? p + M
d
( 1 ? y
j
) 0 8 i 8 j > i ( 1 )
t ? t
j
? p
j
+ M
d
y
j
0 8 i 8 j > i ( 2 )
t ? r 0 8 i ( 3 )
t + p ? d ? M U 0 8 i ( 4 )
y
j
2 f 0 1 g 8 i 8 j > i
U 2 f 0 1 g 8 i
C o n s t r a i n t s ( 1 ) a n d ( 2 ) s p e c i f y t h a t o n l y o n e
o b a t a t i m e c a n b e p r o c e s s e d o n t h e m a c h i n e
i . e . , e i t h e r j o b J
i
i s s e q u e n c e d b e f o r e j o b J
j
o r
v i c e - v e r s a . C o n s t r a i n t ( 3 ) e n s u r e s t h a t n o j o b
s t a r t s b e f o r e i t s r e l e a s e d a t e . I f a j o b J
i
i s l a t e ,
t h e n U
i
h a s t o b e e q u a l t o 1 f o r C o n s t r a i n t ( 4 )
t o b e s a t i s e d .
3 . 2 A f o r m u l a t i o n u s i n g t i m e -
i n d e x e d v a r i a b l e s
T h e h o r i z o n i s d i s c r e t i z e d i n T p e r i o d s .
F o r m u l a t i o n T I D X
m n
n
X
= 1
U
S u b j e c t T o
T p
i
+ 1
X
t = 1
v
t
= 1 8 i ( 5 )
n
X
= 1
t
X
s = t p
i
+ 1
v
s
1 8 t ( 6 )
r
i
X
t = 1
v
t
= 0 8 i ( 7 )
T p
i
+ 1
X
t = 1
v
t
+ p ? d ? 1 ? M U 0 8 i ( 8 )
v
t
2 f 0 1 g 8 i 8 t < T ? p
U 2 f 0 1 g 8 i
C o n s t r a i n t ( 5 ) g u a r a n t e e s t h a t j o b J s t a r t s a t
o n e a n d o n l y o n e p e r i o d o v e r t h e w h o l e h o r i z o n , a n d
-
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3/6
-
7/30/2019 10.1.1.44.3362
4/6
w h e n
n
X
= 1
u
k
= 0 ( i . e . , p o s i t i o n k i s n o t o c c u p i e d ) ,
C o n s t r a i n t s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) a r e s i m u l t a n e o u s l y s a t i s -
e d o n l y i f t
k
= 0 ( b e c a u s e ( 1 5 ) i m p l i e s t
k
0 , a n d
( 1 6 ) i m p l i e s t
k
0 )
B y l i n e a r r e l a x a t i o n , o n e k n o w s t h a t t h e r e a r e
a t l e a s t d ^c
2
e l a t e j o b s . T h i s c a n b e x e d i n P O S 2
b y k e e p i n g o n l y n ? d ^c
2
e p o s i t i o n s f o r t h e j o b s ,
i . e . , r e p l a c i n g k = 1 ; : : ; n b y k = 1 ; : : ; n ? d ^c
2
e n
C o n s t r a i n t s ( 1 4 ) - ( 1 7 ) . L e t P O S 2
f
b e t h e r e s u l t -
i n g m o d e l , w h e r e f = d ^c
2
e . A g a i n , b e c a u s e l e s s
p o s i t i o n s a r e a v a i l a b l e , t h e n e w l o w e r b o u n d d ^c
2 f
e
m i g h t b e s u c h t h a t d ^c
2 f
e > f . T h e s a m e t y p e o f d i -
c h o t o m y p r o c e d u r e a s t h e o n e p r o p o s e d i n D a u 9 5 ]
t o d e t e r m i n e L B 1 c a n b e a p p l i e d t o d e r i v e t h e b e s t
p o s s i b l e l o w e r b o u n d L B 2
T h e o r e m 1
T h e l o w e r b o u n d L B 1 i n d e p e n d e n t o f M o b t a i n e d
u s i n g t h e f o r m u l a t i o n P O S 1 , a n d t h e l o w e r b o u n d
L B 2 o b t a i n e d u s i n g t h e f o r m u l a t i o n P O S 2 a r e
e q u a l .
S e e p r o o f i n D a u 9 7 ] .
3 . 5 V a l i d I n e q u a l i t i e s
R e c a l l t h a t a v a l i d i n e q u a l i t y , o r c u t , i s a c o n s t r a i n t
t h a t c a n b e a d d e d t o t h e m o d e l s u c h t h a t t h e s e t
o f i n t e g e r s o l u t i o n s r e m a i n s t h e s a m e , b u t t h e s e t
o f r e a l s o l u t i o n s i s r e d u c e d , t h u s l e a d i n g t o a b e t t e r
b o u n d b y l i n e a r r e l a x a t i o n .
S e v e r a l t y p e s o f v a l i d i n e q u a l i t i e s c a n b e d e r i v e d
f o r o u r f o r m u l a t i o n . H o w e v e r , t h e o n e t h a t w i l l b e
d i s c u s s e d h e r e , a n d w h i c h l e a d s t o t h e b e s t r e s u l t s
i s g i v e n i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :
T h e o r e m 2
I f , f o r a p a i r o f j o b s ( J J
j
) , b o t h c o n d i t i o n s r +
p + p
j
> d
j
a n d r
j
+ p
j
+ p > d h o l d , t h e n t h e
c o n s t r a i n t
U + U
j
1 ( 1 9 )
i s a v a l i d i n e q u a l i t y f o r S E Q T I D X a n d P O S 2
P r o o f :
I f b o t h c o n d i t i o n s h o l d , t h e n j o b s J a n d J
j
c a n n o t
b e s i m u l t a n e o u s l y o n t i m e , o r e q u i v a l e n t l y e i t h e r j o b
J o r j o b J
j
i s l a t e , i . e . U + U
j
1 2
W h e n a l l c u t s ( 1 9 ) a r e d e t e r m i n e d , i t i s o f t e n
p o s s i b l e t o g e n e r a t e t i g h t e r c u t s , s u c h a s :
U + U
j
+ U
k
2 ( 2 0 )
I f ( 1 9 ) e x i s t s f o r t h e p a i r s ( J J
j
) ( J J
k
) a n d
( J
j
J
k
) . T h e s e c u t s c o r r e s p o n d t o c r e a t i n g a s l a r g e
c l i q u e s ( c o m p l e t e s u b g r a p h s ) a s p o s s i b l e i n a n u n d i -
r e c t e d g r a p h w h e r e t h e n o d e s a r e j o b s , a n d a n e d g e
i s s e t b e t w e e n e v e r y p a i r o f n o d e s t h a t s a t i s e s t h e
c o n d i t i o n s i n T h e o r e m 2 . T h e p r o b l e m i s t h a t , i n
t h e g e n e r a l c a s e , d e t e r m i n i n g c l i q u e s o f m a x i m a l s i z e
s N P - c o m p l e t e . H e n c e , w e h a v e t o s e t t l e f o r c l i q u e s
o f s m a l l s i z e s .
T h e s a m e t y p e o f c u t s c a n b e d e r i v e d f o r l a r g e r
s e t s o f j o b s , a s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .
T h e o r e m 3
I f , f o r a s e t S o f J , c o n d i t i o n
m n
2 S
r +
X
J
i
2 S
p > m a x
J
i
2 S
d
h o l d s , t h e n t h e c o n s t r a i n t
X
J
i
2 S
U 1 ( 2 1 )
i s a v a l i d i n e q u a l i t y f o r S E Q T I D X a n d P O S 2
P r o o f :
I f t h e c o n d i t i o n h o l d , t h e n a l l j o b s J 2 S c a n n o t b e
s i m u l t a n e o u s l y o n t i m e , o r e q u i v a l e n t l y o n e o f t h e
o b s n S i s l a t e , i . e .
P
J
i
2 S
U 1 2
T h e s m a l l e r S i s , t h e t i g h t e r t h e c u t . U s u -
a l l y , t h e r e i s n o s i g n i c a n t i m p r o v e m e n t w h e n S
i s l a r g e r t h a n 4 . T i g h t e r c u t s c a n b e g e n e r a t e d s i m -
i l a r l y t o ( 2 0 ) .
T a b l e 1 p r e s e n t s s o m e i m p r o v e m e n t s g i v e n b y
a d d i n g c u t s t o t h e P O S 2 f o r m u l a t i o n . T h e l o w e r
b o u n d L B 2 i s g i v e n b y t h e d i c h o t o m y p r o c e d u r e .
C u t s g e n e r a t e d f r o m ( 1 9 ) i m p r o v e L B 2 . B y c r e a t -
i n g a l l t h e c l i q u e s d e r i v e d f r o m ( 1 9 ) , i t i s p o s s i b l e t o
i m p r o v e a g a i n L B 2 . I n s o m e c a s e s , c u t s o f t y p e ( 2 1 )
i n c r e a s e t h e l o w e r b o u n d .
I n m a n y r a n d o m l y g e n e r a t e d i n s t a n c e s , c o m p a r e
t o u s i n g a l l c u t s f r o m ( 1 9 ) t h e i m p r o v e m e n t i s n o t
s i g n i c a n t e n o u g h w h e n u s i n g c u t s ( 2 1 ) , b u t c r e a t -
i n g a l l t h e c l i q u e s t o g e n e r a t e t h e c o r r e s p o n d i n g c u t s
i s a n N P - c o m p l e t e p r o b l e m . O n a 1 0 0 - j o b p r o b l e m ,
t h e C P U t i m e s p e n t i n c r e a t i n g a l l t h e c l i q u e s c o r -
r e s p o n d s t o 9 0 % o f t h e o v e r a l l C P U t i m e .
4 C o m p a r i s o n b e t w e e n f o r m u l a t i o n s
I n T a b l e 2 , a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e f o u r
f o r m u l a t i o n s i s p r e s e n t e d , i n p a r t i c u l a r t h e n u m -
b e r o f b i n a r y v a r i a b l e s a n d c o n s t r a i n t s .
I n t h e f o r m u l a t i o n T I D X , t h e n u m b e r o f
v a r i a b l e s / c o n s t r a i n t s d e p e n d s o n t h e d a t a . T h e
h o r i z o n i s d i s c r e t i z e d i n T p e r i o d s , a n d t h e n u m -
-
7/30/2019 10.1.1.44.3362
5/6
P r o b l e m n u m b e r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
L B 2 1 9 1 6 1 5 1 6 1 9 1 7 1 7 1 6 1 8 1 5
L B 2 w i t h c u t s ( 1 9 ) 2 1 1 8 1 7 1 9 2 0 1 7 1 8 1 8 1 9 1 5
L B 2 w i t h a l l c u t s f r o m ( 1 9 ) 2 2 2 0 1 8 2 0 2 0 1 7 1 9 2 0 2 0 1 5
L B 2 w i t h c u t s ( 1 9 ) , ( 2 0 ) a n d ( 2 1 ) 2 2 2 0 1 9 2 0 2 1 1 8 1 9 2 0 2 0 1 6
T a b l e 1 : D e t a i l s f o r t e n i n s t a n c e s o f t w e n t y j o b s
F o r m u - B i n a r y N u m b e r o f L P W e i g h t -
l a t i o n v a r i a b l e s c o n s t r a i n t s R e l a x . e d c a s e
S E Q
n ( n + 1 )
2
n ( n + 1 ) ? Y e s
T I D X n ( T + 1 ) 3 n + T ? Y e s
P O S 1 n ( n + 1 ) 5 n + N o
P O S 2 n ( n + 1 ) 5 n + + Y e s
T a b l e 2 : B i n a r y v a r i a b l e s / C o n s t r a i n t s c o m p a r i s o n
b e r o f p e r i o d s i s d i r e c t l y c o n n e c t e d t o t h e n u -
m e r i c a l v a l u e o f t h e r e l e a s e d a t e s , p r o c e s s i n g
t i m e s a n d d u e d a t e s . H e n c e , T c a n b e v e r y l a r g e ,
a n d t h e n u m b e r v a r i a b l e s / c o n s t r a i n t s m i g h t b e
m u c h l a r g e r t h a n i n t h e o t h e r f o r m u l a t i o n s .
F o r m u l a t i o n s S E Q T I D X a n d P O S 1 n e e d
a t l e a s t a b i g - M c o e c i e n t , w h i c h u s u a l l y l e a d s
t o p o o r l o w e r b o u n d s b y L P r e l a x a t i o n a s o b -
s e r v e d i n D y e 9 0 ] . H o w e v e r , t h e d i c h o t o m y p r o -
c e d u r e o f D a u 9 7 ] a p p l i e d o n f o r m u l a t i o n P O S 1
l e a d s t o a l o w e r b o u n d L B 1 i n d e p e n d e n t o f M
w h i c h m a k e s t h i s m o d e l i n t e r e s t i n g .
I n t h e P O S 1 f o r m u l a t i o n , b e c a u s e t h e b i -
n a r y v a r i a b l e U
k
i s a s s o c i a t e d t o t h e j o b a t t h e
k
t h
p o s i t i o n , i t i s n o t t r i v i a l t o t a k e i n t o a c c o u n t
t h e c a s e w h e r e j o b s h a v e d i e r e n t w e i g h t s w
j
d e p e n d i n g f o r e x a m p l e o n t h e i r i m p o r t a n c e . I n
t h e o t h e r f o r m u l a t i o n s , i t s u c e s t o c h a n g e t h e
c r i t e r i o n t o
P
w
j
U
j
T h e f o r m u l a t i o n P O S 2 h a s s e v e r a l a d v a n -
t a g e s c o m p a r e t o t h e p r e v i o u s o n e P O S 1
A s i m i l a r l o w e r b o u n d c a n b e d e t e r m i n e d
m u c h f a s t e r ( s e e T h e o r e m 1 ) .
T h e w e i g h t e d c a s e c a n r e a d i l y b e c o n s i d -
e r e d w i t h P O S 2 . I t s u c e s t o c h a n g e t h e
c r i t e r i o n a c c o r d i n g l y .
S e v e r a l v a l i d i n e q u a l i t i e s ( o r c u t s ) c a n b e
i n t r o d u c e d t o s t r e n g t h e n t h e f o r m u l a t i o n ,
a n d i m p r o v e t h e q u a l i t y o f t h e b o u n d .
A g a i n , t h i s i s p o s s i b l e b e c a u s e U
i
i s a s -
s o c i a t e d t o j o b J
i
5 A n e w p o l y n o m i a l s o l v a b l e c a s e
K i s e , I b a r a k i a n d M i n e K i s 7 8 ] g i v e a n o p t i -
m a l a l g o r i t h m t o s o l v e t h e 1 r
j
P
U
j
w h e n r e -
l e a s e d a t e s a n d d u e d a t e s a r e s i m i l a r l y o r d e r e d .
T h i s a l g o r i t h m r u n s i n O ( n
2
) t i m e . T h e o r e m 4
i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e i r w o r k .
T h e o r e m 4
I f
r
i
< r
j
) d
i
d
j
8 J
i
J
j
( 2 2 )
t h e n t h e r e i s a l w a y s a n o p t i m a l s e q u e n c e
i n w h i c h e a r l y j o b s a r e s e q u e n c e d i n n o n -
d e c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r r e l e a s e d a t e s .
T h e p r e c e d i n g t h e o r e m c a n b e p r o v e d b y
s h o w i n g t h a t , i n a n y o p t i m a l s e q u e n c e , i t i s a l -
w a y s p o s s i b l e t o i n t e r c h a n g e j o b s t o o b t a i n t h e
s e q u e n c e i n w h i c h e a r l y j o b s a r e s e q u e n c e d i n
t h e i n c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r r e l e a s e d a t e s . I t
m e a n s t h a t , i f j o b s J
i
a n d J
j
a r e e a r l y a n d
r
i
< r
j
, t h e n t h e r e i s a l w a y s a n o p t i m a l s e -
q u e n c e i n w h i c h J
i
i s b e f o r e J
j
. B u t t h i s i s a l s o
t r u e i f j o b J
i
c a n n o t b e s e q u e n c e d a f t e r J
j
. T h e
f o l l o w i n g t h e o r e m , e x t e n d i n g t h e r e s u l t o f K i s e
e t a l . , i s b a s e d o n t h a t r e m a r k .
-
7/30/2019 10.1.1.44.3362
6/6
T h e o r e m 5
I f
r
i
< r
j
)
d
i
d
j
o r r
j
+ p
j
+ p
i
> d
i
8 J
i
J
j
( 2 3 )
t h e n t h e r e i s a l w a y s a n o p t i m a l s e q u e n c e
i n w h i c h e a r l y j o b s a r e s e q u e n c e d i n n o n -
d e c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r r e l e a s e d a t e s .
P r o o f :
A s s u m e t h a t r < r
j
a n d b o t h J a n d J
j
a r e o n
t i m e i n a n o p t i m a l s e q u e n c e . T h e n , e i t h e r d d
j
a n d , u s i n g t h e s a m e i n t e r c h a n g e a r g u m e n t t h a n f o r
T h e o r e m 4 , J c a n b e m o v e d b e f o r e J
j
i f i t i s n o t
a l r e a d y , o r r
j
+ p
j
+ p > d , w h i c h m e a n s t h a t J
h a s t o b e s e q u e n c e d b e f o r e J
j
, o t h e r w i s e J i s l a t e .
2
H e n c e , t h e p r o b l e m i s p o l y n o m i a l l y s o l v a b l e
u s i n g K i s e , I b a r a k i , a n d M i n e ' s a l g o r i t h m o r
L a w l e r ' s a l g o r i t h m .
R e f e r e n c e s
D a u 9 5 ] D a u z
e r e - P
e r
e s , S . ( 1 9 9 5 ) . M i n i m i z i n g l a t e j o b s i n t h e g e n e r a l o n e m a c h i n e s c h e d u l i n g
p r o b l e m . E u r o p e a n J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 8 1 , 1 3 4 - 1 4 2 .
D a u 9 7 ] D a u z
e r e - P
e r
e s , S . ( 1 9 9 7 ) . A n e c i e n t f o r m u l a t i o n f o r m i n i m i z i n g t h e n u m b e r o f l a t e
o b s i n s i n g l e - m a c h i n e s c h e d u l i n g E T F A ' 9 7 , I E E E 6
t h
I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n
E m e r g i n g T e c h n o l o g i e s a n d F a c t o r y A u t o m a t i o n , U C L A , L o s A n g e l e s , C a l i f o r n i a , 4 4 2 -
4 4 5 .
D y e 9 0 ] D y e r , M . E . a n d W o l s e y , L . A . ( 1 9 9 0 ) . F o r m u l a t i n g t h e s i n g l e m a c h i n e s e q u e n c i n g p r o b -
l e m w i t h r e l e a s e d a t e s a s a m i x e d i n t e g e r p r o g r a m . D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s 2 6
2 2 5 - 2 7 0 .
G a r 7 6 ] G a r e y , M . S . a n d J o h n s o n , D . S . ( 1 9 7 6 ) . S c h e d u l i n g t a s k s w i t h n o n u n i f o r m d e a d l i n e s o n
t w o p r o c e s s o r s . J o u r n a l o f t h e A s s o c i a t i o n f o r C o m p u t i n g M a c h i n e r y 2 3 , 4 6 1 - 4 6 7 .
G r a 7 9 ] G r a h a m , R . L . , L a w l e r , E . L . , L e n s t r a , J . K . a n d R i n n o o y K a n , A . H . G . ( 1 9 7 9 ) . A n -
n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s 5 , 2 8 7 - 3 2 6 .
K i s 7 8 ] K i s e , H . , I b a r a k i , T . a n d M i n e , H . ( 1 9 7 8 ) . A s o l v a b l e c a s e o f t h e o n e - m a c h i n e s c h e d u l i n g
p r o b l e m w i t h r e a d y a n d d u e t i m e s . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 2 6 ( 1 ) , 1 2 1 - 1 2 6 .
L a s 9 2 ] L a s s e r r e , J . B . a n d Q u e y r a n n e , M . ( 1 9 9 2 ) . G e n e r i c s c h e d u l i n g p o l y e d r a a n d a
n e w m i x e d - i n t e g e r f o r m u l a t i o n f o r s i n g l e - m a c h i n e s c h e d u l i n g . S e c o n d I P C O C o n f e r e n c e
C a r n e g i e - M e l l o n U n i v e r s i t y , P i t t s b u r g h .
L a w 8 2 ] L a w l e r , E . L . ( 1 9 8 2 ) . S c h e d u l i n g a s i n g l e m a c h i n e t o m i n i m i z e t h e n u m b e r o f l a t e j o b s .
P r e p r i n t , C o m p u t e r S c i e n c e D i v i s i o n , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y .
L e n 7 7 ] L e n s t r a , J . K . , R i n n o o y K a n , A . H . G . a n d B r u c k e r , P . ( 1 9 7 7 ) C o m p l e x i t y o f m a c h i n e
s c h e d u l i n g p r o b l e m s . A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s 1 , 3 4 3 - 3 6 2 .
L e n 8 0 ] L e n s t r a , J . K . a n d R i n n o o y K a n , A . H . G . ( 1 9 8 0 ) . C o m p l e x i t y r e s u l t s f o r s c h e d u l i n g
c h a i n s o n a s i n g l e m a c h i n e . E u r o p e a n J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 4 , 2 7 0 - 2 7 5 .
M o n 8 2 ] M o n m a , C . L . ( 1 9 8 2 ) . L i n e a r t i m e a l g o r i t h m s f o r s c h e d u l i n g o n p a r r a l l e l p r o c e s s o r s . O p -
e r a t i o n s R e s e a r c h 3 0 , 1 1 6 - 1 2 4 .
M o o 6 8 ] M o o r e , J . M . ( 1 9 6 8 ) . A n o b o n e m a c h i n e s e q u e n c i n g a l g o r i t h m f o r m i n i m i z i n g t h e
n u m b e r o f l a t e j o b s . M a n a g e m e n t S c i e n c e 1 5 ( 1 ) , 1 0 2 - 1 0 9 .