103 年度實驗課程循環 II 教案(國中)

北區－新北市立竹圍高中(國中部)

學校名稱 新北市立竹圍高中(國中部)

團隊成員 吳宗珉校長、林義舜主任、數學科蘇德芳老師、藝術領域張綺真老師

學科範疇 數學領域 跨領域科目 視覺藝術

教學對象與

先備能力

一、教學對象：八年級學生

二、先備能力：

1.數學：已學過比與比例式、一元二次方程式公式解、基本幾何圖形

和尺規作圖。

2.美術：已學過幾何圖形與造型的基本概念

跨領域

美感實驗課

程實施模式

與應用策略

本教案於任課的班級實施(807.808.809班，共計 3 班)，其中 807、

808班僅進行前兩堂課程。課程於 5月中旬開始實施，共四節課。課程

實施模式採用資訊融入教學，並進行兩人一組的分組合作學習，以數

學中的模式(pattern)之美─比例為核心，在課程中探討幾何圖形之

美、黃金矩形中的黃金比例、黃金分割以及黃金比例攝影構圖，設計

生活化的實作使學生學會計算並應用。

跨領域

美感實驗課

程應用策略

【應用策略】(請勾選)

使用時機

□課前預習

■引起動機

■發展活動

■綜合活動

□課後複習

□其他

教學策略

■應用藝術素材之問題

導向教學

□虛擬實境之情境教學

■網路資源之體驗學習

教學

■應用藝術類數位典藏

資源之探究式教學

■合作學習式教學

■專題討論式教學

□協同教學

■創造思考教學

□其他

評量模式

■學習單

□試題測驗

□遊戲評量

□專題報告製作

■展演實作

□影音紀錄

□其他

教學計畫

單元名稱 黃金比例･黃金演繹

教學時數 3小時 實施班級 808、809

實施情形

■本教學活動已實際教學

(1)實施時間：2015.05~2015.06

(2)實施課程名稱：數學(八年級下學期)

設計

理念

課程架構圖

黃金比例的黃金演繹

找出攝影作品中

的幾何圖形。

了解並運算出

生活中的黃金比

例。

拍出符合黃金分

割的人像攝影構

圖。

3~5 節課

目標

時間

子題

主要

教學

活動

教學

策略

數學眼看照片

數學盃選美大會

觀景窗內有黃金

1. 學生找出一

張自己最欣

賞的照片。

2. 找出照片中

的數學元

素。

3. 解構照片中

的幾何圖

形。

1. 黃金比例是

甚麼?

2. 黃金比例如

何計算?

3. 從名畫到近

代生活中找

出黃金矩形

的蹤影。

4. 數學盃選美

大會:數據證

明。

1. 說明攝影技

術中的黃金

分割與幾何

構圖。

2. 黃金分割井

字構圖的作

圖步驟與分

析。

3. 學生自製黃

金分割觀景

窗貼拍照並

以數學語彙

公開發表。

1. 小組教學策

略。

2. 實務鑑賞與

導賞教學。

3. 融合實作與

知識概念。

1. 多元智慧教

學策略。

2. 資訊媒體融

入教學。

3. 融入時事和

生活議題。

1. 實作取向教

學法

2. 資訊媒體融

入教學。

3. 任務型策

略:練習性

策略。

這篇教案主要希望學生能了解何為黃金比例的定義，進而如何尋找生活中的黃金比

例與黃金比例在生活中的重要性。課程初探黃金比例與黃金矩形的關係，除了辦理

數學盃選美大賽由學生學習黃金比值的運算，再透過攝影鑑賞與實作讓學生學習到

分析及應用黃金分割法構圖的方法。

跨領域課程運用圖

藝術概念與

美感元素

對於科學家而言，理論模型的美感大多是來自於數學美，而數學

美感較之理論中其他的美感要素，具有相對客觀的性質。「比例」

﹝Proportion﹞可以解釋為整體形式的部分與部分之間，或部分與整

體之間的完美關係。更明確的說，整體形式中一切有關數量的條件，

如長短、大小、粗細、厚薄、濃淡、輕重等，在搭配恰當的原則下，

並能合乎一定數量關係即能產生優美視覺感受。如希臘美學家所倡導

的 1:7﹝七頭身﹞或 1:8﹝八頭身﹞的人體比例，以及矩形長寬的黃

金比等都是「比例」的例子。比例的構成條件頗為微妙，在組織上含

有濃厚的數理關係，在感覺上流露出恰到好處的完美形態。數學上的

級數和比例都是構成優美比例形式的主要基礎，但是在藝術的表現

中，比例在形式上所呈現的不是機械的反應，而是視覺的自然感覺。

教學方法 講述教學法:教師告知學習目標，引用生活中的數學為例誘導學生主動

學習。

討論教學法:學生分組學習，嘗試運用數學的語言討論運算的過程與結

果，溝通意見達成學習目標。

• 藉由名作構圖了解幾何與比例概念

•結合學生生活經驗，從中加深加廣

•藉由實際測量體驗數學

•用攝影媒材連結學科與生活 攝影

科技 數學比例

藝術構圖

生活經驗

現代科技的深入應用

促

進

學

科

與

經

驗

連

結

結

合

數

學

測

量

與

鑑

賞

連結藝術表現與生活體驗

靈活運用媒

介表達與溝

通之能力

增強跨領域思

維及統整實踐

之能力

發展學生活

美感素養覺

察能力

藉由鑑賞培

養美感覺察

的能力

練習教學法:安排學生攝影的情境(淡水社區住家)，讓學生練習教師已

解說的取景方式(黃金分割觀景窗)進行攝影實作。

發表教學法:課堂中讓學生發表自己(分組)的攝影作品，並解說其中應

用到的美感元素及數學語彙。

教學資源 教材來源

教師自編教材

硬體設備

電腦、投影機、拍照設備(手機、平板或數位相機)、30 公分直尺、

皮尺、實體投影片

教學場域

一般教室

資源網站

非想非非想數學網站

教學目標

單元目標 1. 能從相片中找出數學的元素:幾何圖形，發現運用幾何構圖可以達

到攝影作品的美感。

2. 了解「黃金比例」數學名詞的由來，並學會運算黃金比例的比值。

3. 能分析並欣賞黃金分割運用在攝影作品的美感，透過貼上黃金分割

幾何圖透明片的觀景窗，實踐於攝影作品中。

4. 公開發表作品，能以數學語彙解釋其構圖並與同儕從數學的角度鑑

賞照片。

具體目標 能力指標／核心素養

1. 透由數學元素提升照片美感

2. 黃金比例的運算與實體測量

3. 黃金分割幾何作圖與攝影井字構圖法

分析

4. 讓學生嘗試運用黃金分割與幾何形為

攝影構圖

5. 讓學生以數學語彙解釋攝影作品運用

的黃金分割與幾何形構圖

N-3-05 能理解比例的意涵

N-4-01 能認識二次方根及其近似值

N-4-02 能理解二次方根的四則運算

S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題

S-4-07 能根據直尺、圓規操作過程的敘

述，完成尺規作圖

A-4-05 能在具體情境中認識一元二次方

程式，並理解其解的意義

課程架構

節次 課程名稱 教學重點 教學工具

1

20min

用數學眼來看一

張照片 透由數學元素提升照片美感 照片、油漆筆

2

45min 數學盃選美大會 黃金比例的運算與實體測量

30cm尺、軟尺、計算

機、學習單、單槍、投

影機

3

20min

找出螢幕中最美

麗的分割點

黃金分割幾何作圖與攝影井

字構圖法分析

尺、圓規、單槍、投影

機

4-1

15min

戴著黃金分割的

眼鏡拍我的同學

讓學生嘗試運用黃金分割與

幾何形為攝影構圖

相機、投影片、投影片

簽字筆

4-2

45min 成果分享

讓學生以數學語彙解釋攝影

作品運用的黃金分割與幾何

形構圖

單槍、投影機、學生攝

影數位檔案

教學流程

節次 教學活動 時間 藝術教學資源 藝術教學元素 評量方式 備註

一 準備活動：

(學生)挑選或拍一張自己最滿意的照片，將挑選的

照片寄到老師的信箱，或繳交檔案。

現有攝影作品 藝術鑑賞 資料蒐集

整理

引導活動：

針對同學繳交的照片老師從中挑選幾張特別的，請

同學利用數學的語言和角度去說明為何喜歡這張照片。

5min 參與討論

發展活動：介紹照片中的幾何構圖

1. 矩形 2.圓形 3.三角形 4.弧形 5.對稱 6.平

行

8min 從布列松的作

品學習構圖

幾何構圖

對角線

將螢幕調

整顏色或

是運用簡

報畫線功

能，使教師

方便直接

在照片上

加註幾何

構圖的位

置。

綜合活動：

檢視同學所繳交的作業，在照片的構圖中是否具有

幾何的構圖呈現。

5min 攝影構圖 構圖 參與討論

課堂問答

課後活動：

以人像為主題，繳交一張照片。可以是同學，也可

以是親人、朋友，更可以自拍。但照片中只能有一個人。

2min 人物攝影 攝影 作業 繳交作業

以數位檔

案為佳

二 準備活動：(教師)投影片

(學生)事先測量記錄自己的身高

引導活動：

1.請同學在學習單上畫出一個自己認為最美的長方形

2.利用直尺量出該長方形的長和寬並算出長寬比

3.利用數學的語言和鄰座同學分享自己為什麼認為它最

美？

4.老師問：有沒有同學被鄰座同學說服了？因為他的說

明之後你喜歡上他的矩形？(請同學分享)

5.投影片上三個矩形哪一個最接近你所畫出來的矩形？

將代號填寫在學習單中，並進行表決。

1min

2min

5min

3min

1min

尺規製圖 比例之美 參與討論

課堂問答

實務操作

可以搭配

學習共同

體教學模

式，採兩兩

一組的分

組形式。

發展活動：

1.提問：有沒有最美的矩形存在？

2.介紹黃金矩形

3.說明何謂黃金比例？

如果把一條線段分成長、短兩段，而且「全長：長段

＝長段：短段」，這個比例稱為「黃金比例」

4.利用之前學過的比與比例式的概念及公式法解一元二

1min

1min

2min

3min

圖形的個人喜

好

審美 參與討論

課堂問答

學生可以

使用計算

機運算

次方程式求出黃金比例的比值2

51

5.黃金比例的應用：

在商業 logo設計 ex.TOYOTA、NATIONAL GEOGRAPHIC、

iCloud、Pepsi、Apple logo…等

在藝術上 ex.李奧納多·達文西的油畫-蒙娜麗莎的微

笑(Mona Lisa Smile)、李奧納多·達文西鋼筆和墨水

繪製的手稿-維特魯威人(Homo Vitruvianus)、讓-弗

朗索瓦·米勒的布面油畫-拾穗(Des glaneuses) …等

在建築上 ex.巴黎埃菲爾鐵塔、巴黎凱旋門…等

在商品上的設計 ex.Canon IXUS…等

5min

綜合活動：選美大會開始

1.介紹人體中的黃金比例

人體（總身高）的黃金分割點就在肚臍。

臉部（總面長）的黃金分割點在眼睛。

3min

12min

軟捲尺

人物比例

畫作鑑賞

(文藝復興時

期作品:維特

魯威人、蒙娜

麗莎的微笑)

識別系統中設

計中的比例

藝用解剖學

參與討論

課堂問答

實務操作

可以硬尺

頂住頭

頂、下巴等

部位形成

垂直線，方

便測量的

準確性。

眼至下巴的黃金分割點在鼻孔位置。

2.測量實作：

請同學兩兩一組，利用捲尺和 30公分直尺，互相測

量出下列的數據：肚臍到腳底、臉長(髮際線)、眼睛到

下巴、鼻孔到下巴，並依照表格試算出各組的比值

3.將比值 A、B、C相加取平均值到小數點第二位。

從全班同學中選出最接近黃金比值 1.6182的同

學，他即是本班數學盃選美的第一名，公開表揚。

3min

課後活動：

請同學回家試算，如何透由鞋子的高度，讓自己的

比值 A可以更接近黃金比例？

3min 人物比例 漫畫人物 作業

A 公分 B 公分 C 公分

身高 臉長

(髮際線)

眼睛到

下巴

肚臍到

腳底

眼睛到

下巴

鼻孔到

下巴

比值 A 比值 B 比值 C

三 準備活動：

(學生)1.完成前一堂課的作業

2.測量自己拍照螢幕顯示器或是手機螢幕的長和

寬

攝影器材的認

識

攝影 資料蒐集

整理

引導活動：檢討回家作業

如何能更快速的算出自己所需要的鞋子高度？

若身高＝h，肚臍到腳底的距離＝l，設鞋子的高度＝

x

透由式子引導學生計算 618.1

lh

xl

xl

xh

所以利用 618.1

lh

xl求出鞋子的高度 x，可以減少未

知數也可以簡化計算步驟

3min 參與討論

課堂問答

發展活動：

1.複習黃金比例和黃金矩形，2

51

8min

2.如何利用尺規作圖畫出一線段的黃金比(ie.找出線段

的黃金分割點)

3.說明此作圖為何符合黃金比例分割

綜合活動：

請同學將事先測量的螢幕長和寬畫在空白紙上，

分別利用尺規作圖的方式，分別找出他們的黃金分割點。

6min

實務操作

課後活動：回家作業

利用今天學到的黃金分割幾何作圖，在白紙上畫出一個

和螢幕大小相同的矩形，並試著利用黃金分割的幾何作

圖，將此矩行進行井字的黃金分割。

ex.

3min 攝影器材 尺規製圖 作業

四-1 準備活動：

(學生)1.完成前一堂課的作業

2.將作業給老師檢查後，利用奇異筆筆，將螢幕

的井字分割畫在透明投影片上並剪下來。

5min 投影片描繪 攝影構圖 作業

實務操作

引導活動：井字構圖的說明

黃金分割比例（亦稱井字構圖）是攝影構圖的入門

方法，也是初學者學習構圖的基本架構。

在矩形的長寬兩側分別找出黃金分割點，連接分割

點後會在畫面中央位置出現四個交叉構成的點，這是畫

面呈現時的視覺重點，只要在取景時將主體放在這四個

點上，就可達到視覺強化目的，讓人一眼就能快速識別

畫面焦點所在。

其他構圖法：

1.三分構圖：營造出遼闊與延伸的氣氛

8min 攝影器材 攝影構圖

2.中央點構圖：具有集中力 最容易操作

3.中央對稱構圖：讓人從畫面中感到寧靜

課後活動：利用井字構圖的方式去拍攝一位同學，並為

自己的作品加上 20個字以內的說明。

2min 相機、手機 人像攝影 作業

四-2 準備活動：

(學生)完成前一堂課的作業，並將照片檔案寄到老師的

信箱，或繳交檔案。

綜合活動：請同學上台分享自己的作品並針對下列的問 40min 學生攝影作業 攝影作品鑑賞 上台分享 鼓勵台上

題回答(每人 2min以內)

1.設計理念？

2.在拍攝時將什麼元素放在井字構圖中？

3.照片想呈現被拍者的哪樣特質？

4.除了井字構圖外還有用到數學中的那些幾何元素？

台下學生

盡量以數

學的語彙

來分享交

流，聚焦數

學的知識

面。

課後活動：

總結回饋與心得分享

5min

教學省思與建議

1. 本實驗循環為導師任課，在學生的學習方法、態度已先行建立的基礎下，

學生的學習動機與學習效果都頗具成效，容易看到有關本課程實施的主動

回饋反映。也因為本單元有別於一般純講述式的教學方式，學生表示能用

數學語彙證明藝術品的美感是暨生活化又有趣的課堂，而且實作又是青少

年最愛的拍照，更提升了學習意願、配合度。

2. 藝文召集學校有所尷尬，因為畢竟課程設計主體是其他學科，要找到校內

願意投入的學科教師實屬難得，卻也是很珍貴的課堂研究經驗。

3. 數學科有其進度、定期評量的時間壓力，故跨領域課程亦要考量到與現行

課程接軌為原則，可以發揮的空間也因此受限。

4. 藝術領域老師因為已有課程規劃亦並未列入實驗團隊而無法配合給予相

關藝術的教學。

5. 以推廣理念的觀點及目前的教學趨勢，教師普遍對課堂實務較有興趣(具

體回饋公開課收穫最大)，而非從教案文件表格的堆砌中摸索。

教學研發過程實錄

一、課前課程研發期

104.03.20 程許忠老師攝影構

圖教學

課程研發初期，數學科與視覺藝術科實驗教師首先針對如何讓學生學會用

數學的眼睛與手法拍出照片做了討論，首先設定以學生的生活範圍來作為拍攝

照片的場域，於是邀請淡水地區從事淡水文化導覽等文史工作，並經營淡水漁

業文化影像館展出個人獨具風格淡水黑白攝影作品的程許忠老師(阿忠哥)帶

領走訪淡水巷弄，並指導捕捉最美的瞬間與構圖的原理。

二、課中協同教學期

104.04.10 謝佳叡老師與數學

領域教師講授「生活中的數學，

數學中的美學」

為了能在教學中導入更多生活化的例子引起學習動機，團隊再度邀請同時

擔任本計畫諮詢委員，台灣師大數學系的謝佳叡老師來擔任「原來，數學可以

這麼美，而我們離數學這麼近！」的講者，謝老師豐富的舉證確實開闊了大家

的眼界，也點燃了現場教師們熱忱靈感。

實驗課程團隊在進行課程研發過程中，考慮到教學順序應該先讓學生理解

「黃金比例」的數學原理，才能設計符應教學目標的實作內容。於是在課程主

架構還是在攝影鑑賞實作的原則下，先從學生挑選照片的眼光下手，從中找出

數學的元素，之後導入「黃金比例」的概念，學生從測量身高、臉部個數值後

能算出與黃金比值的差距。

三、課後共同評估期

在課程結束後的評估，最令實驗團隊振奮的是學生熱烈的回饋，而且是主

動直接的。學生首先對於數學課能夠如此貼近生活，還能用數學的角度去做感

覺挑戰很大的藝術鑑賞十分佩服；教師的佈題:黃金比例選美大會、黃金分割

拍攝人像，又碰觸到青少年流行文化中的偶像崇拜及手機拍照。所以學生光是

在聯絡簿上的回饋就清楚呈現了學習數學原來可以這麼有趣、這麼實用。

至於學校實驗團隊的課後討論，也一致推崇數學老師的安排設計，也幸好

本次實驗對象:八年級學生已從七年級由蘇老師任課至今，班級經營及學習氛

圍已有建立一段時日，因此學習氣氛是熱絡且愉快的。只是回到最現實的教科

書內容問題，畢竟數學科有教學進度、定期評量的時間壓力，單從八年級下學

期教科書的內容看，可以發揮的空間實為有限，但是這個實驗課程，未來可以

考慮設計成在每個單元的幾分鐘加入此種跨領域的元素，提升學生的學習動機

與興趣。

教學研發成果

未來推廣計畫

未來推廣計畫 01:跨領域實驗課程推廣流程圖 ↓

未來推廣計畫 02:本課程所延伸的其他領域教學形式

1. 本單元為數學科與視覺藝術科之跨領域偕同，數學中的模式之美

(pattern)正巧對應到視覺藝術美的原理原則中的「秩序」之美及「比例」

之美等，有許多的藝術作品皆可用數學來解釋其美感，例如文藝復興時期

的作品。

2. 依據本單元所運用到的元素(比例)，音樂課可以談到音律背後的比例及分

數乘法，表演藝術課則可探討用井字分析法來解釋舞台空間中的上、中、

下舞台位置。

3. 黃金比例、黃金分割在自然界與人類生活中隨處可見，也因此跨領域教學

的層面亦可延伸至自然科、生活與科技等，透過觀察與實作能讓學生更理

解數學與美感。

課程實施紀錄

照片 文字說明

教師讓學生以短尺繪製一

個「心目中認為最美的矩

形」，並統計全班同學喜歡

的矩形比例(圖中各矩形數

值為人數)。

教師解釋黃金比例的源起

與計算方式，解出其數值。

黃金比例在生活周遭運用

廣泛，如:汽車廠牌 TOYOTA

的標誌、國家地理頻道的矩

形標誌，甚至是蘋果電腦的

蘋果商標亦為以黃金比例

做視覺傳達設計。

從名畫分析:文藝復興時期

的巨作維特魯威人、蒙娜麗

莎的微笑，皆可看到黃金比

例黃金矩形的影子。

全班進行「數學盃選美大

賽」，依照老師發下的學習

單，利用布尺(軟捲尺)來測

量同學的身高、肚臍至腳

底、臉部五官的數值，並計

算出比值，紀錄運算在學習

單上。

學生示範正確測量臉部五

官距離的數值的方式(搭配

硬尺找出垂直線)，並計算

出比例。

選出數值最貼近「黃金比

例」的同學!教師頒贈皇冠

及權杖予得到數學盃選美

大賽的冠軍。

學生學習單

黃金分割作圖與運用黃金

分割井字構圖製作的相機

觀景窗貼(材料:透明投影

片、奇異筆)

參考資料

師大數學系非想非非想數學網 http://pisa.math.ntnu.edu.tw/

從布列松的作品中學習構圖部落格

http://streetphotography.thisisethan.com/2012/10/09/%E5%BE%9E%E

5%B8%83%E5%88%97%E6%9D%BE%E7%9A%84%E4%BD%9C%E5%93%81%E5%AD%B8%E

8%A1%97%E9%A0%AD%E6%94%9D%E5%BD%B1/

黃金比例：1.618...世界上最美的數字（新版）李維歐著 遠流出版社

人像構圖美學拍出耐看好照片的法則 侯俊耀著 碁峰資訊出版